Polynomnpning oh pproimtion ten@it.uu.e Approimtion Punktmäng Olik ätt tt pproimer me polynom Approimtion Att pproimer punktmänger me någon unktion rukr kll pproimtion Vnligt me polynom eterom e är enkl tt hnter, t e eriver Kn gör på olik ätt int kvrtnpning, å polynomet inte kär genom punktern utn ntr ett lg meelväre Interpoltion, å polynomet kär ekt i punktern. Kn i in tur gör på olik ätt Som ett polynom över hel punktmängen Som tykvi polynom om ätt mmn till en kurv, k pline
Interpoltion Antg n mätvären Eempel Smmnin e punkter me ett polynom ekt genom mtlig punkter: ett polynom över hel punktmängen eller tykvi polynom, k pline,, K, n, n Om mn nväner ett polynom över ll punkter etämmer ntlet punkter polynomgren. Vrör? För tt entyigt il ett polynom v gr kräv punkter För tt entyigt il ett polynom v gr kräv punkter Slutt: För tt entyigt etämm ett polynom v gr n kräv n punkter Anätter mn ett polynom v gr<n oh hr n punkter år mn mink kvrtnpning Eemplet Kontruer ett interpoltionpolynom. Anätt: punkter > :e grpolynom p Sätt in e punktern i polynomet > ekvtioner likhet i punktern OBS! oeknt,, oh ekvtioner > Entyigt lört ytem!
Löe me Guelimintion..7.7.8. vilket ger löningen Stopp in ett i nten ger et ärig polynomet Plottning ger Anätt ett polynom Sätt in punkter i nten oh nvän likhet i punktern Lö ytemet Sätt in löningen i nten > et ärig interpoltionpolynomet n kn i prinip nätt vilket polynom eller nnn unktion om helt Vi nter eektivre än nr Gången lir lltå,,,, n n K
Bättre nt: Newton interpoltionormel n n n p L Eemplet K K K P P P > På mtriorm > Newton interpoltionormel ger tringulär mtri!
Stopp in mätvären i mtrien....7. Stopp in i nten p K ger p.8.7.7. Smm polynom om tiigre! Att å metoern ger mm polynom eror på Givet,, K, n, n Interpoltion me polynom p n å tt p n i i å gäller entyighet. Bevi Antg eiterr två ån polynom, p n oh q n. Då gäller rn pn qn är rn i, i, K, n, v ett polynom v gr n- me n nolltällen ett nollpolynom pn qn vilket trier mot ntgnet. Stykvi polynom Vnligt tt :e grpolynom nätt melln vrje pr v punkter, k kuik pline. Sätt mmn till en kej v polynom. Eemplet t kuik pline,,,
Stykvi polynom Hur kn mn hitt :e grpolynom melln två punkter? åte hitt på ny krv å ntlet ekvtioner oh oeknt tämmer. Krv Kontinuitet i krvrn Kontinuerlig erivt i krvrn Kontinuerlig nrerivt i krvrn Vnligen nrerivt i änpunktern nturl pline, men inn nr lterntiv Dett leer till tt kejn itter ihop oh tt et lir jämn övergång melln länkrn i kejn Stykvi polynom Anätt :e grpolynom på intervll i, vnligen i i i i i i i i Ger : erivt i i i i i i oh : erivt i i i i Sätt mmn ett å tt llt hänger mmn i krvrn Stykvi polynom Kontinuitet i krvrn meör tt et Dett ger
7 Stykvi polynom ett ytem me 8 ekvtioner: Stykvi polynom På mm ätt meör kontinuerlig : erivt Kontinuerlig : erivt i krvrn ger Totlt ekvtioner Stykvi polynom : erivt i änpunktern ger v ekvtioner Antl ekvtioner totlt: 8 Antl oeknt totlt: i, i, i, i, i,,, oeknt vrje intervll > oeknt > Lört ekvtionytem!
Stykvi polynom Sätt mmn e ekvtionern i ett ekvtionytem oh lö ytemet. Ger Olik ärör tt ATLAB nväner nr villkor i änpunktern not--knot -villkor När k mn nvän v? Inte llti jälvklrt! Någr olik eempel int kvrt Skulle interpoltion unger? Stor tmäng När k mn nvän v? Ktn me tör t int kvrt rukr nvän å mn hr tör t 8
När k mn nvän v? Ktn me tör t Interpoltion ger Inte en r il v ktrörelen När k mn nvän v? Förtoring/örminkning v iler Linjär interpoltion rukr nvän ör tt yll ut t melln pilr meör örämr il När k mn nvän v? Förtoring/örminkning v iler Linjär interpoltion rukr nvän ör tt yll ut t melln pilr meör örämr il 9
När k mn nvän v? CAD/CA Spline i D egentligen k B-pline Spline nvän även ör tt jämn till oktäver i orehnlre, jämn till iler i igitl vieo et et Funktioner i ATLAB p polyit,y,n; Hittr koeiienter till interpoltionpolynom v gr n. Om ntl punkter > n- ker mint kvrtnpning yy polyvlp,; Evluerr polynomet p i punktern y A\; Om A överetäm ker mint kvrtnpning yy pline,y,; Beräkn kuik pline Funktioner i ATLAB Eempel [ 9 ]; y [ ]; linpe,; % kp -el p polyit,y, % :e grpolynom p -.. -.98.9 -. yy polyvlp,; % Evluer polynomet yypline pline,y,; % pline plot,y, *,,yy, :,,yypline, - ; legen ätpunkter, :gr pol, pline ; gri on; lel ; ylel y ;
Funktioner i ATLAB Så här lev et