M A T E M A T I K A A M O N A L I S A A N E B J E Z D R A V Y R O Z U M O P R A V D U Z D R A V Y? JAN ÁMOS VÍŠEK Šestá přednáška 1 / 65
INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ, FAKULTA SOCIÁLNÍCH VĚD UNIVERSITA KARLOVA (1348) 2 / 65
Turisté v Kaliningradu (Ko nigsberg) Domácí úkol (z minulé pr ednášky) - r ešení 3 / 65
Turisté v Kaliningradu (Kőnigsberg) Domácí úkol (z minulé přednášky) - řešení 4 / 65
Turisté v Kaliningradu (Kőnigsberg) Domácí úkol (z minulé přednášky) - řešení Úloha má za základ skutečnou událost: Turisté byli otráveni, že už jdou po několikáté přes stejný most. Přišli za Leonhardem Eulerem (1707 Basilej 1783 Petrohrad) a položili mu otázku: Existuje místo v Kőnigsbergu a cesta taková, že se po každém mostě půjde právě jednou? Ten úlohu vyřešil pomocí nakreslení grafu, který je na pravé straně předchozího slidu. Jaké je řešení? 5 / 65
Turisté v Kaliningradu (Kőnigsberg) Domácí úkol (z minulé přednášky) - řešení Předpokládejme že takové místo existuje: Ze čtyř možných míst to bude jedno, další může být to, kde skončíme procházku. Zbývají dvě další místa, na ně přijdeme a odejdeme. Abychom nešli dvakrát po některém mostě, musí z nich vést sudý počet mostů. U všech stanovišt je však lichý počet mostů - úloha nemá řešení. Turisté byli zklamáni - po některém mostě musí jít alespoň dvakrát. 6 / 65
Mottem pro dnešek bude: Necítím se povinen věřit, že stejný Bůh, který nás obdařil citem,rozumem a intelektem, po nás chce, abychom se zřekli jejich používání. Galileo Galilei 9 / 65
Přepadá Vás spíše pocit krásy či pocit závrati z nekonečného prostoru, či dokonce z neznalosti, v čem že to vlastně žijeme? 10 / 65
A co když padají hvězdy? Co si přejete? Věříte, že je to pověra? Ale co když né? 11 / 65
Kolik je takových galaxií v našem vesmíru? Hubblův telescope na oběžné dráze jich zahlédl daleko více, než jsme si mysleli, že jich je. O tom si povíme později - nejprve proberme modely planetární soustavy. 12 / 65
Jak je to s naší zemi a vesmírem? Takovéto představy však neměly dlouhého trvání, nicméně to, že hvězdy jsou umístěny na nějaké sféře (kopuli) přetrvává ještě poměrně dlouho. 13 / 65
O tom svědčí tento obrázek 14 / 65
Jak je to s naším vesmírem? Kreacionisté umějí říci, kolik let před Kristem byl svět stvořen. (Rodokmen Ježíše Krista - 42 pokolení od Krista k Davidovi, a 31 pokolení od Davida k Adamovi Lukáš 3 24 34.) 15 / 65
Jak je to s naším vesmírem? Alternativně je to u Matouše v 1. kapitole: (Rodokmen Ježíše Krista - 14 pokolení od Krista k babylonskému zajetí, a 14 pokolení od babylonskému zajetí k Davidovi a 14 pokolení od Davida k Abrahamovi Matouš 1 1 17.) 16 / 65
Toto už není tak primitivní, ale hvězdy jsou stále na něčem připevněny. 17 / 65
Antická řecká astronomie 1 Navazuje na babylónské a egyptské představy o světě. 2 Je ovlivněna zejména filozofickými představami o světě. 3 Nakonec se přikloní ke geocentrickému Ptolemáiovu modelu. 4 Za astronomy jsou různými zdroji považováni různí myslitelé: Anaxagoras, Archimedes, Archytas, Aristarchos ze Samu, Aristaeus, Aristillus, Aristoteles, Conon ze Samu, Democritus, Empedocles, Heraclides Ponticus, Hicetas, Hipparchos, Hippocrates z Chiosu, Macrobius, Martianus Capella, Menelaus z Alexandrie, Meton z Athens, Parmenides, Porphyry, Posidonius, Proclus, Klaudios Ptolemaios, Thales z Milétu, Theodosius z Bithynie, etc. ( Zlomoví jsou na dalším slidu.) 18 / 65
Historický vývoj antické astronomie Thales z Milétu (624-545) Pythagoras ze Samu (569-490) Aristoteles (384-322) Aristarchos ze Samu (310-250) vznik astronomie jako vědecké disciplíny sférický tvar Země geocentrická soustava určování vzdáleností Země - Měsíc - Slunce heliocentrická soustava Eratosthenes (276-194) Hipparchos (190-120) Klaudios Ptolemaios (90-165) stanovení poloměru Země precese, katalog hvězd geocentrická soustava 19 / 65
Aristarchos ze Samu (310 230) 1 Argumentuje pro heliocentrickou soustavu. 2 Odhaduje velikost Měsíce na 1 3 velikosti Země - ve skutečnosti je poměr 0.273. 3 Odhaduje velikost Slunce na 7-krát větší než velikost Země - ve skutečnosti je poměr 109-krát. 4 Stanovuje vzdálenost Slunce od Země na 19krát větší než vzdálenost Země od Měsíce - ve skutečnosti je poměr 395-krát. 5 Nicméně jeho model neodpovídá (ani po opravách) pozorováním - pravděpodobný důvod odklonu ke geocentrickému modelu. 20 / 65
Jak byly opravy prováděny: Pomocí epicyklů Ani to nepomůže To vede - už při k nedůvěře tehdejší přesnosti v tuto teorii. měření by se musely použít epicykly opakovaně, mnohokrát na sebe. 21 / 65
Hipparchus Nicejský (Hipparchus Rhodský, 180-125) 1 Objevil precesi Země. 2 Hvězdárna na Rhodu, hvězdný katalog 1080 hvězd, - používaný nejen Klaudiem Ptolemaiem, ale i později Edmondem Halleym (1656 1742). 3 Neobjevil nutaci zemské osy - to provedl až James Bradley (1747) a vysvětlil ji Jean le Rond d Alembert (1749). 22 / 65
Precese zemské osy 23 / 65
Precese a nutace zemské osy 24 / 65
Proto se nakonec prosadí Aristotelův názor - Země je středem vesmíru Klaudios Ptolemaios (85-165) 1 Klaudios Ptolemaios se ujme vytvoření modelu, který by byl ve shodě s Aristotelovými názory. 2 Musí však také opravovat pomocí epicyklů. 3 Vystačí však s jedním až třemi - jak u které planety. 4 Problém ovšem je, že Země není středem deferentu a systém začíná být složitý, zejména se zvyšující se přesnosti měření pohybu planet - viz další slide. 25 / 65
Země má být středem vesmíru, ale je jím jen přibližně Ptolemaiovy epicykly vypadají takto: 26 / 65
Koperníkovská revoluce Mikuláš Koperník (1473-1543) 1 V době Mikuláše Kopernika je už třeba u většiny planet - v geocentrickém systému - více jak 20 epicyklů na sobě. 2 Navíc vysvětlení zpětného pohybu (některých) planet je přímočaré v heliocentrickém systému. 3 To je hlavní důvod přechodu k heliocentrickému systému. 4 Musí ovšem opět opravovat pomocí epicyklů, ale vyřeší to lépe než Aristarchos - viz další slide. 5 Potřebuje ovšem otáčení Země, ale to neumí (tak úplně) dokázat - viz Galileo Galilei. 6 Navíc špatně vysvětluje nerovnoměrný pohyb planet okolo Slunce. 27 / 65
Koperníkovské opravy (Všimněte si, že Slunce není ve středu kruhu.) 28 / 65
Co bylo třeba opravovat - proč se Mars dostává do protipohybu? Například pozorovaný pohyb Marsu: 29 / 65
Tycho Brahe (1546-1601) 1 Vytvoří hybrid obou modelů vlk se nažral, koza zůstala celá. 2 Náhle umírá, podezřele náhle - nedávná exhumace ale prokázala, že to byla přirozená smrt. 3 Johannes Kepler zdědí největší banku astronomických pozorování do té doby nashromážděnou. 4 Vytěží z ní obrovský pokrok - Keplerův heliocentrický systém, navíc sformuluje Keplerovy zákony, které vysvětlují nerovnoměrný pohyb planet. Nejprve ale obrázek systému Tycho Braheho. 30 / 65
Tycho Brahe (1546-1601) Planetární systém dle Tycho Brahe Proto Je to to skončilo takový dříve krávokůň než to začalo. - zvíře, které běhá dostihy jako kráva a dává mléko jako kůň. 31 / 65
Johannes Kepler (1571-1630) 1 Popíše planetární systém jako heliocentrický a sformuluje zákony pohybu - viz další slide. 2 Potřebuje ovšem také to, že se Země otáčí a to v té době vyplývá právě jen z této verze planetárního systému a nepřímo z precese zemské osy. Tak tedy obrázek Keplerova planetárního systému, pak bude čas na 1. vtip - Konzultant, a pak potvrzení, že se Země točí. 32 / 65
Johannes Kepler (1571-1630) Keplerův planetární systém 33 / 65
Potvrzení otáčení Země Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) 1 Foucaultovo kyvadlo, Pantheon, v roce 1851. 2 Vynálezce gyroskopu. 3 Zdokonalil obloukovou lampu - nejpoužívanější elektrický zdroj světla v tehdejší době. (Ukázat Foucaltovo kyvadlo a Keplerovu rotující elipsu.) 34 / 65
Jak se stane, že se Mars začne vlastně vracet? V heliocentrickém systému to jde vysvětlit snadno: Ted je čas na matematickou zajímavost. 35 / 65
Matematická zajímavost - Georg Cantor (1845-1918) Minule jsem položil otázku: Racionální čísla versus iracionální čísla - kterých je více? A sliboval: To si povíme příště! 36 / 65
Matematická zajímavost - Georg Cantor (1845-1918) 1 Připomeňme, že přirozená čísla jsou {1, 2, 3,...}. 2 Připomeňme ještě, že racionální čísla jsou ta, která se dají zapsat jako zlomek dvou přirozených čísel. 3 Připomeňme dále, že iracionální čísla jsou všechna ostatní (reálná) čísla. 4 To znamená, že racionální čísla dohromady s iracionálními čísly tvoří reálná čísla. 5 Připomeňme konečně, že jsme minule ukázali, že racionálních čísel je právě tolik jako přirozených, tj. dají se uspořádat do posloupnosti, řekněme {r 1, r 2, r 3,...}. 37 / 65
Matematická zajímavost - Georg Cantor (1845-1918) Předpokládejme, že iracionálních čísel je právě tolik jako racionálních čísel. 1 Pak se iracionální čísla dají srovnat také do posloupnosti, řekněme {ir 1, ir 2, ir 3,...}. 2 Pak ovšem také reálná čísla mohou být srovnána do posloupnosti, řekněme {r 1, ir 1, r 2, ir 2, r 3, ir 3,...}. 3 Tím spíše reálná čísla mezi 0 a 1 mohou být uspořádána do posloupnosti, zapišme je pod sebe - viz další slide. 4 Každé číslo bude zapsáno takto: tj. 0. první číslice druhá číslice třetí číslice čtvrtá číslice atd. 0. c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8... 38 / 65
Matematická zajímavost - Georg Cantor (1845-1918) Předpokládáme tedy, že máme všechna reálná čísla, která jsou mezi 0 a 1, srovnána do posloupnosti: (horní index naznačuje, o které číslo v té posloupnosti jde) 0. c (1) 1 c (1) 2 c (1) 3 c (1) 4 c (1) 5 c (1) 6 c (1) 7 c (1) 8... 0. c (2) 1 c (2) 2 c (2) 3 c (2) 4 c (2) 5 c (2) 6 c (2) 7 c (2) 8... 0. c (3) 1 c (3) 2 c (3) 3 c (3) 4 c (3) 5 c (3) 6 c (3) 7 c (3) 8... 0. c (4) 1 c (4) 2 c (4) 3 c (4) 4 c (4) 5 c (4) 6 c (4) 7 c (1) 8........ 39 / 65
Matematická zajímavost - Georg Cantor (1845-1918) Takže máme posloupnost všech reálných čísel 0. c (1) 1 c (1) 2 c (1) 3 c (1) 4 c (1) 5 c (1) 6 c (1) 7 c (1) 8... 0. c (2) 1 c (2) 2 c (2) 3 c (2) 4 c (2) 5 c (2) 6 c (2) 7 c (2) 8... 0. c (3) 1 c (3) 2 c (3) 3 c (3) 4 c (3) 5 c (3) 6 c (3) 7 c (3) 8... 0. c (4) 1 c (4) 2 c (4) 3 c (4) 4 c (4) 5 c (4) 6 c (4) 7 c (1) 8........ Vytvoříme ale další reálné číslo takto (horní index (n) naznačuje nové ): 0. c (n) 1 c(1) 1 c (n) 2 c(2) 2 c (n) 3 c(3) 3 c (n) 4 c(4) 4 c (1) 5 c(5) 5 c (1) 6 c(6) 6 c (1) 7 c(7) 7 c (1) 8 c(8) 8... Toto číslo se neshoduje se žádným v posloupnosti a to je spor s tím, že v ní měla být všechna reálná čísla. 40 / 65
Matematická zajímavost - Georg Cantor (1845-1918) Máme tedy dvě množiny: 1 Množinu přirozených čísel a množinu reálných čísel. 2 Obě mají nekonečný počet prvků. 3 Množina reálných čísel je ale větší než množina přirozených čísel v tom smyslu: Nelze sestavit páry tak, aby v každém páru bylo první číslo přirozené a druhé reálné, každé přirozené číslo je použito jen jednou a žádné přirozené ani reálné číslo nepřebývá. 4 Prostě nám nějaká reálná čísla zbydou, dokonce jich bude daleko více než těch, které by byly použity v párech. 41 / 65
Matematická zajímavost - Georg Cantor (1845-1918) Našli jsme tedy dvě nekonečna, jedno větší než druhé! Jde to popsat nějak obecněji? To si povíme příště! Základ k takovým úvahám dal patrně největší český matematik všech dob Bernard Bolzano svým spisem Paradoxien des Unendlichen Paradoxy nekonečna (1851, Lipsko). 42 / 65
Tak na závěr povídání o vesmíru a naší planetární soustavě nějaké číselné údaje. 43 / 65
1 Velký třesk nastal před 13.8 miliardami let, ale někdy se uvádí jen interval - 10-12 miliard let. 2 Je třeba to upřesnit: Je to čas, který uběhl tady v této části vesmíru. 3 Jinými slovy, pozorujeme, že k nám přichází světlo, které bylo emitováno (vyzářeno) před 13.8 miliardami let. 44 / 65
1 Má se za to, že průměr současného vesmíru je 46 miliard světelných let. 2 Albert Einstein nás poučil (pokud platí teorie relativity), že čím rychleji těleso letí, tím pomaleji na něm plyne čas. 3 A letí-li něco rychlosti světla, přestane na takovém letícím objektu čas plynout úplně. 4 To ovšem znamená, že ty fotony, které tvoří hranici vesmíru, tj. v místech až kam se vesmír rozepnul, mají čas Velkého třesku. 45 / 65
Ted už ledacos víme o naší planetární soustavě Jak je to s celým našim vesmírem? 1 Moderní představy o vzniku a povaze vesmíru se odvozují od speciální teorie relativity Alberta Einsteina: E = m 0c 2 1 v 2 c 2 2 Vždy byly docela vážné námitky, od docela vážených fyziků, že to se (speciální) teorii relativity není úplně v pořádku. 3 Předpokládejme ale, že platí (Karl Popper - je to jen statistický test) - existuje řada pokusů jak tuto rovnici řešit. 4 První dvě řešení nabídli Albert Einstein a Alexandr Fri(e)dman. 46 / 65
Einsteinovo řešení bylo opuštěno - proč? 1 Obě řešení musela něco předpokládat, co nešlo (a asi ani nepůjde úplně) ověřit, jen nepřímo. 1 Einstein - pozitivní kosmologická konstanta, tj. homogenní vesmír se stálými parametry, nezávislými na čase a místě. 2 Fri(e)dman - nulová kosmologická konstanta, tj. vesmír se bud rozpíná nebo smršt uje. 2 Edwin Hubble (1929) - rudý posuv vzdálených galaxií (viz další slide) nepřímo potvrzuje rozpínání vesmíru. 47 / 65
Rudý a modrý posuv (Aleš Tošovský) 48 / 65
Přicházejí další teorie a objevy 1 Ralph Alpher, Hans Bethe, George Gamow, (1948) - model horkého vesmíru, 380 000 let po Velkém třesku začíná vesmír chladnout a (vagně řečeno) záření se odděluje od hmoty, předpověd reliktního záření. 2 Arno Allan Penzias, Robert Wilson (1965) - potvrzují pozorování reliktního záření. 3 Pozorování zpřesňují - odstraněním vlivu atmosféry - satelity, od COBE (Cosmic Background Explorer, 1989) až Planck (2009) záření absolutně černého tělesa o teplotě 2.73 K. 4 Současný převažující názor na správný model - Velký třesk, ale některé jevy se neumí vysvětlit - např. proč se vesmír začal v jeden okamžit rozpínat rychleji. 49 / 65
Temná hnota a temná energie 1 Jan Hendrik Oort (1900-1992) dánský astronom v roce 1932 a Fritz Zwicky (1898-1974) švýcarsko-americký astronom o rok později informovali o chybějící hmotě ve vesmíru - o temné hmotě. 2 Poslední měření naznačují, že temné hmoty je 23%, hmoty, kterou vidíme jsou 4% a zbytek - 73% - tvoří temná energie. (Ta způsobuje rozpínání vesmíru, asi.) 3 V počátečních fázích existece vesmíru byl poměr jiný a to možná ovlivnilo řadu pochodů při tvorbě galaxií. 4 Nepochybně přijdou další objevy, které možná od základu změní naše představy o vzniku a vývoji vesmíru. 50 / 65
Naše planetární soustava je tvořena - kromě Slunce 1 8 planetami - Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun, 2 5 trpasličích planet, 3 150 měsíců - především u Jupitera, Saturnu, Uranu a Neptuna, 4 menší tělesa jako planetky, komety, meteoroidy atd. 5 Vznikla před 4.6 miliardami let a potrvá ještě 5 až 7 miliard let v této podobě. 6 Pak se Slunce zvětší na rudého obra, na dobu 35 milionů let. 7 Vnější obálky se budou dále rozpínat, pohltí zbytek planet a zcela se rozpustí v mezihvězdném prostotu. 8 Jádro Slunce se změní na bílého trpaslíka s extrémní měrnou hmotností. 51 / 65
Hertzsprung-Russell diagram 52 / 65
Kolik je Galaxií? Na začátku dnešní přednášky byla slíbena odpověd : 1 Před vypuštěním Hublova telescopu se počet galaxii odhadoval na 200 bilionů až 3 triliony, tj. 200 000 000 000 až 3 000 000 000 000. 2 Po vypuštění teleskopu (a není tam dnes jen jeden) to bylo zvětšeno na 10ti násobek. 53 / 65
Ještě několik poznámek na konec: 1 Vznik života na Zemi před cca 4 mld. let chemická evoluce, následovaná biologickou evolucí. 2 Charles Darwin & Alfred Russel Wallace (1823-1913) teorie přirozeného výběru Alfred Wallace ji zformuloval 20 let před Darwinem. 3 Změny v rychlosti evoluce, možná i skoky (bifurkace - Ilya Prigogine). 4 Zastavila se evoluce? Nikoliv, stále se přizpůsobujeme, ale možná nastanou (nastaly) i skoky? 5 Existují i bizární teorie - myslící dinosauři. (Ted je čas na druhý vtip - Winston Churchill.) 54 / 65
Intuitivní odhady pravděpodobností a rizika - statistická zajímavost Statistická zajímavost: JAK SPOLEHLIVÝ JE VÝSLEDEK TESTU? 1 Máme test nemoci, který dává pozitivní výsledek, pokud pacient má uvažovanou nemoc. 2 Test dá ale také u 5% zdravých pacientů pozitivní výsledek, tj. signalizuje přítomnost nemoci ač ji pacient nemá. 3 Nemoc je vzácná, má ji v průměru jeden pacient z 1000. Pro náhodně vybraného člověka je test pozitivní. Jaká je pravděpodobnost, že má testovanou nemoc? 55 / 65
Intuitivní odhady pravděpodobností a rizika mohou být mylné!! Statistická zajímavost (pokračování): 1 Obvyklá odpověd je, že dotyčný má tuto nemoc s pravděpodobností 0.95. 2 Připust me, že nemoc je tak vzácná, že byla vymýcena, tj. nevyskytuje se; vše ostatni je stejné. 3 Pak pacient nemoc nemá (nemůže mít), ač test mylně signalizuje (vzpomňte si - v 5% se mýlí), že ji má. 4 Z toho plyne, že je třeba vzít v úvahu, jak často se nemoc vyskytuje. (Nakreslíme si obrázek, ale nejprve si připomeneme....) 56 / 65
Než půjdeme dále, připomeňme si, jak počítáme pravděpodobnosti, např. : Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne trojka nebo pětka? 1 Počet všech možností je 6. 2 Počet příznivých možností - jsou 2. 3 Pravděpodobnost, že padne trojka nebo pětka je Počet příznivých možností Počet všech možností = 2 6 = 1 3. (Ted si už nakresleme si obrázek.) 57 / 65
58 / 65
59 / 65
60 / 65
1 Pozitivně testovaných je 51, z toho spravně jeden. 2 Všech možností je 51. 3 Příznivá možnost je 1. 4 Pravděpodobnost, že pozitivně testovaný člověk má zkoumanou nemoc, je 1 51 = 0.02. 61 / 65
Úvod k domácímu úkolu Ve třetí přednášce jsme mluvili o: Tří nejznámější antické úlohy: a Kvadratura kruhu, zdvojení krychle trisekce úhlu. Někdy bývá zmiňována ještě čtvrtá úloha: Nakreslení pravidelného sedmiúhelníku. POZOR! Vše musí být provedeno jen pravítkem (na kterém nejsou žádné dílky) a kružítkem! 62 / 65
Domácí úkol Provést kvadraturu kruhu nelze - to si povíme příště, ale kvadraturu trojúhelníku lze provést snadno. ZKUSTE TO! 63 / 65
Věř mi příteli, tato zbraň je tak strašná, že si už nikdo nikdy netroufne začít válku! 64 / 65
DIKY ZA POZORN OST 65 / 65