Matematicko-fyzikálny časopis

Matematicko-fyzikálny časopis Karel Tuháček Speciální typy spojitých funkcí více proměnných Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 13 (1963), No. 1, 3--15 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/126788 Terms of use: Mathematical Institute of the Slovak Academy of Sciences, 1963 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-C: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz

MATEMATICKO-FYIKÁLNY ČASOPIS SAV, 13, 1-1963 SPECIÁLNÍ TYPY SPOJITÝCH FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH KAREL TUHÁČEK, Ústí nad Orlicí Označme A množinu bodů a = (m x 2 v, m 2 2 v,..., m n 2 v ), kde m l9 m 2,..., m n jsou libovolná celá čísla a v je libovolné celé nekladné číslo. Potom jsou správná tvrzení: Věta A. Existuje spojitá funkce F(x) n proměnných, pro niž platí: pro к Ф / a každý hod a e A a všude jinde. F(«)4 \_ F(«) дх к dx t dx l dx k Õ 2,,-F(x)= F(x); k*l CX k OX l ox^ cx k Věta B. Existuje spojitá funkce n proměnných G(x) těchto vlastností: Funkce G(x) má ve všech bodech totální diferenciál. Ve všech bodech existují parciální derivace 1. řádu dg(x)/dxj, j= 1,2,...,n, které jsou nespojité v libovolném bodě ccea. Důkaz obou tvrzení provedeme v dalším přímou konstrukcí funkcí požadovaných vlastností. volme libovolně n celých čísel m l9 ra 2,..., m n, celé nekladné číslo v a přirozená čísla i <j; i,j = 1,2,..., n. Položme a = (m x T',m 2 2 v,..., m n T). Definujme funkci n proměnných vztahy: u Jf v (V) = Jmi, m 2,..., m n x*/ = 2,n 2 -W (x, - m i 2 v )(x, - m,2 v ) (x, - m,-2 v ) 2 - (x, - m,2") 2 M ' exp [2(x ; - m ; 2 v ) 2 2(x, - m,2 v ) 2 ]' (x ř - m ( 2 v ) 2 (x, - m,2 v ) 2 pro x 4= a a (1) Věta 1. 1. Funkce UJ f 1, m2 2. Všude existují parciální derivace ' '/»,.».,...».» = lim U f: n. m2,...,,(x) = 0. (2) x-*a (-*) je spojitá. S «./ õx k '/m, m (x); k = \,2,...,n.

3. Ve všech bodech existují parciální derivace 4. Je-li x ф a, je d 2 дx k дx г '/«..-., -, (*): fc*i; fc,/ = l,2,...,n. a dále 32 '-'/,.. «n W = -яä--'''/»..(*); k *'; fc,/ = i,2,...,п(з) dx t dx, - 7 '" 1 m " v ' dxidx k 52 UJ f mi m» -^- i ' J /^,..., m (a); lc l; fc,/ = l,2,...,n.(4) dx k dx l Jmi m " v ' dx t dx k Důkaz. 1. Spojitost funkce ''{/" ^ m (x) je zřejmá z (1) a (2). 2. Existence parciálních derivací 1. řádu. Pro k - i,j je: d U1 r m -j*)-o. (5) Pro x 4= a je ^ n ^v _i_ ř '- / V v TY^? v n?-i»» s i X J ~ m 1 ðx W Imi,...,m n W "~ "- s=l II -- exp r^, [2(x г - m ; 2 v ) 2 ^vx2. -2(x, - m,2 v Y] {[1 - Цx t - m ; 2 v ) 2 ] (Xi ~ ^ţzћz^ţ Г ^ ' (x. I -ffl m I 2т J -m,2') ; 2 v ) 2 (x, - v ) 2 4 (х ; -т,у) 2 (х,-т,у) 2 }. ^ [(х ; -т ; Г) 2 (х,-т,г) 2 ] 2 ]' '''Л, J,x) = 2 V Г] 2"'"-' - - Xi ~ т{г ' dxj " /= 1 exp [2(xj - m f 2 v ) 2 2(x, - m,2 v ) 2 ] [1-4(x, - m,2 v ) 2 ] <*T m?f ~ (*i ~ m J 2 "t _ (x t - m{t) 2 (x, - m,2 v ) 2 a v bodě a /[ (x i -m i rf(x j -m j r)2 [(x i -m i 2 v ) 2 (x,-m,2 v ) 2 ] 2 д дxi '' J f mi m >) = 0, d дxj *-Ý v (a) = 0 Jmi,..., mn\ u J Vztahy (8) a (9) plynou přímo z definice parciální derivace. yj - 4

3. Parciální derivace 2. řádu. Je d 2 'f v,, (*) = o (10) 8x k dx t pro k =f= ij nebo / 4= Lf Pro x # a je i.jp ( x \_ l 'Jp (x) = dx,5x, I"»--"'»W axjsx, 1 / ""-'»-W = 2 V»= [] i 2-1 '"' 1. exp [2(x, - m,2 v ) 2 2(x, - m,2 v ) 2 ] (x,- m,2 v ) 2 - (x, - mjľf ' (x 1.-"rø,.2 v ) 2 (x,-m,2 v ") 2 '. { [1-4(x f -,n,2 v ) 2 ] [1-4(x, - m,2 v ) 2 ] 16 J č L J ^ ^ J l ^. (x, - rø ř 2 ) (x, - m,2 ) a v bodě a: 8 (x, ~ mfilчxj ~ nц-*)2 [(x,.-m ; 2 v ) 2 (x,-m,2 v ) 2 ] 2 (П) ÕXІ ÕXj l 'T mi,»=-2 v П2- w, Kj; s=l (12) u T mi j«)=2 v n2- w, i<j. dxf dxi S=l (13) Tím je věta dokázána. Věta 2. Pro všechna x platí:.' '/, m (x) <2 v n2-'"-'; S=l (14) 4- i 'T mi,... m J,x)\ < 5.2 V П 2-,msl ; /c = 1,2,...,и; s=l (15) j 3x fc dx t ' Jmi m n \ X ) < 19.2 V П 2 s=l w.l. feфi; fc,/= 1,2,...,n. (16) Důkaz. Nerovnost (14) plyne z (1) a (2). Pro x 4= a je: x - m,-2 v I x,-m,2 v ^..., m Wl = 2 v П.=1 Vj ; I.*j. exp [2(x, - m,2 v ) 2 ] exp [2(x, - m,2 v ) 2 ] *> jfv V bodě a platí (2). (x, - m,2 v ) 2 - (x, - m,2 v ) 2 v\2 (x, - m,2 v ) 2 (x, - m,2 v ) g 2 v r j 2 - m s S=l

Nerovnost (15) je správná pro k /,./. Položme nyní k = /. Je-li x 4= a, pak podle (6) je ІJ f (x) X Jmi m \ л J = 2TJ2-1 ' 1 1 xj ~ mjг 1 exp [2(x f - mi2 v ) 2 2(x, - m,2 v ) 2 ]. J 1 _ 4(x ř - m ŕ 2 v ) 2 ( Xi - mi rf-( X j- mj rf (x ; - m,-2 v ) 2 (x, - m,2 v ) 2,vч2 2 2(Xj-mj2 v ) 2 (x,-m,2 v ) 2,^ [(x f -m г 2 v ) 2 (x,-m,2 v ) 2 ] 2 _2 v П2~' m '' l x j~ m y2 v l,. 1 --[l4(x,.-m г 2 v ) 2 2] s=l exp[2(x,-m,2 v ) 2 ] exp [2(x ; - m f 2 v f] ^2 v ГT2~' m *'Jз s=l 2 2(x ŕ - m,.2 v ) 2 ^ ^ 5 2 v - 2 - m. exp[2(x,. - m;2 v ) 2 ] exp[2(x г - mi2 v ) 2 ] J,-i To však platí i pro x = a, vzhledem k (8). Pro k = j je důkaz obdobný podle (7) a (9). Nerovnost (16). (10) plyne její správnost pro k 4= i,j nebo / /,j. Je-li k = i nebo j a / = i nebo j, k 4= /, je pro x 4= a podle (11): a 2 *> IVv Jmi,...,m n \ X ) (x,.-m,.2 v ) 2 -(x,-m,2 v ) v\2 (Xi-mi2 v ) 2 (x,-m,2 v ) 2 П = 2 V ГT 2 ~' Ws ' - 2 x - m f 2 v. jxy mp. (x f - m,.2 v f (x, - m,2 v ) 2 ^2 V Å ì ' exp [2(x, - m^) 2 2(x, - m,2 v ) 2 ] 1-4(x г - mi2 v f. 1-4(x, - m,2 v f ^ 2(Xj-m,.2 v ) 2 (x,-m,2 v f x,. - m í 2 v. x, - m,2 v V\2T2 [(x,.-mi2 v f (x,-m,2 v f] 1 П 2~ msl s=1 exp [2(x ř m ; 2 v ) 2 2(x, m,2 v f ]. {[1 4(x ŕ - m ; 2 v ) 2 ] [1 4(x, - m,2 v f] 8 x ř - m,2 v. x, - m,2 v 4} = = 2 V П 2~ m * 1 "ì exp [2(x ŕ - m ; 2 v ) 2 2(x, - m,2 v f ] {5 [4(x f - m ŕ 2 v ) 2 4(x, - m,2 v ) 2 ] 16(x,- - m f 2 v f (x, - m,2 v ) 2 8 x ; - mi2 v. x,-m,2 v } = = 2 V ff 2~ m» l \l 2(Xj - m,-2 v ) 2 2(x, - m,2 v ) 2»»i 1 exp[2(x,. -mi2 v f2(x, - m,2 v f ]

5 - exp [2(x ř - m,2 v ) 2 2(x,- - mjtf] 4 fot - m?y 2(x, - m^f exp[2(x,- - m ; 2 v ) 2 ] ' exp[2(x ; - m^) 2 ] 8 - x '~ m ' r ' I X J ~ m j r 1 \ < exp [2(x, - mirf] ' exp[2(x, - m,2 v ) 2 ] J " š 19.2 v fl 2" m ' 1. 4=1 To platí podle (12) a (13) i pro.v = a. Tím je věta dokázána. Poznámka 1. Řada 0 oo oo oo n I I I - I K2"Y\2-l"- 1, v= oomi = oo ffl2=- oo m = oo s=l kde K je konstanta, konverguje absolutně a její součet je menší než K2 ni. Dále nechť čísla m t, m 2,..., m n jsou libovolná celá a v libovolné celé nekladné číslo. Množinu bodů a = (m x 2 v, ra 2 2 v,..., m 2 v ) jsme označili A. Definujme funkci F(x) n proměnných rovnicí: O oo co oo n j 1 "X*)- I I I - I I I'"/: -(*) (I") v = o* mi = oc mi = - oc m n = oo j = 1 i = 1 Věta 3. 1. Funkce F(x) je spojitá. 2. VšuďC existují parciální derivace df(x)/dx k ; k -= 1, 2,..., «. 3. V? "ser/ř hodech existují parciální derivace 3 2 F(x)/dx k dx l \ k 4= /; k, / = I, 2,...,n. 4. P/al/: 3 P(x)== ^- -F(x); x^a; k*/. (18) dx fe 3x, ' dx } dx t pro každý bod a množiny,4. ð2 _Ғ(«)Ф^ІІ-Ғ(«), /c*/, (19) <3x fc <3x, r)x ; í9x fc Poznámka 2. Řadou všude rozumím,,zobecněnou řadu"; viz [1], str. 93. Poznámka 3. Buď.// spočetná množina. Řada ž mfí j { f m (x) buď absolutně a stejnoměrně konvergetní řada funkcí n proměnných definovaných v oboru M a součet řady označme f(x). Nechť pro všechna mejf existují v M derivace df m (x)/dx iy i = 1, 2,..., n, a nechť řada ^m^4( df m (x)ldx i konverguje v M absolutně a stejnoměrně. Potom existuje i df(x)ldx^ i = 1, 2,..., n, a platí - -/(*) = I -^/-M- <' X i /ne.// C; - X í

Důkaz věty 3. 1. Spojitost funkce F(x) je zřejmá, protože řada (17) konverguje absolutně a stejnoměrně. 2. Řada (17) a řada 0 oc oc oc n j 1 p - I -ár'/:.,<*) v = oo mi = oc n%2 oo m n = oo j=l ^"^fc konvergují absolutně a stejnoměrně, tedy platí: o O oo oo oo n j 1 p TT F (*)= c A Obdobně platí: - -^' '/:,.... (*) fc v=-oo wi = -.oo ÍM 2 =-OO m =- oo j = l ^-^fc -\2 O oo oo oo n j 1 ^2 lor f (*)= E z - E ^ ^ X -.W. (20) l ' A ft l A l v= -oo wi = -oo m 2 = -oo m n =-oo /= 1 i= 1 e vztahů (20) a (3) plyne rovnost UAf k * A i 82 dx k dx t n*) = -Árn*) dx { dx k pro x < A a k 4= /; k, / = 1, 2,.'.., «. e vztahů (20), (12) a (13) plyne pro a e A a k =t= / ^2 5x fc <3xj ^2 3x z 5x fc Bod a je libovolný bod množiny A. volme libovolně n celých čísel m l9 m 2,..., m n a celé nekladné číslo v. Položme a (m t 2 v, m 2 2 v,..., m n T). Definujme funkci n proměnných rovnicemi: i (x t - m?y Ún Jx) = 2'[]2- W T^ sm~ T^=L= ==, (21) pro.y a a Věta 4. 1. Funkce g mu f] exp [2(x, - m ř 2 v ) 2 ] / ( x. _ m. 2 *) 2 ř=l \ ;=i g;, «n (a) = limg; m (x) = 0. (22) 5 m (x) je spojitá. 2. Všude existují všechny parciální derivace 1. řádu. 3. Všechny parciální derivace 1. řádu jsou nespojité v bodě a. 4. Funkce g mu mn (x) má totální diferenciál. Důkaz. 1. Spojitost funkce g mu..., mn (x) je zřejmá z definice funkce (21) a (22). rovnicemi 8

2. Existence parciálních derivací 1. řádu. Pro x 4= a je: 4r C m» = 2 V n 2-'-' {-- 2(X ' " m^. sin j S=1 i n Д exp Ml [2(x v ; - ^ov\2n m ; 2 v ) 2 ] / ( X; _ m. 2 v)2 I (*. - т ; Г) 2 4 (х-, - т 7 2 у ) ^. 8П1 Пехр[2(х ; -т^) 2 ] / 1=1 V х, - т-г 1 ~=: '.. СОЗ È(*. - m г 2 v ) 2 (x ŕ - m,.2 v ) 2 П exp [2(x ŕ - m ; 2 v ) 2 ] / ( x. _ m. 2 v)2 f ' = 1 '-! V ř=l J l (23) V bodě a platí ÔXj g^,...,» = 0. (24) 3. Počítejme limitu dg mu fmn (x)/dxj pro (mj2 v, m 2 2 v,..., m J _ 1 2 v, x 7, m jx 2 v,..., m 2 v ) -> a, tj. limitu výrazu exp [2(x,- - mj-2 v ) 2 ] x } - m j 2' ) \ AÍ ^\ ( X J ~ m j 2 l 2 1 J - 4(x ř - m.-2 ) ^ t sin exp [2(xj - mj2 v f] \ - mjt \ Xj x, - m.-2 v 1 1 - J J Xj mj2v exp [2(xj - m,.2 v ) 2 ].cos \xj- m Л, y 2 v (25> pro Xj -> Wy2 v. Sestrojme posloupnost { i x J }^L 1 vybranou z hodnot Xj tak, že 1 cos = 1, \ i x j ~m j 2 v \ i = 1, 2,..., a lim ^ = m/2 v. Potom existují následující limity: í-»*oo l,. X: m,2 v 1 hm r- 1 - cos = 1, % mj2v l x 7 - m y 2 v I I l Xj my2 v %-mď 1 ixj-ntj2 v - l Xj m lim -r^ 7-2 v I I *Xj m - cos 7 2 v Tedy neexistuje limita výrazu (25) pro Xj -> /Wy2 ṿ

4. Existence totálního diferenciálu funkce g mi,..., mn (x) je zřejmá v bodech x a ze spojitosti parciálních derivací 1. řádu. Tedy existuje funkce t] mu... t m n (h) daná rovnicí: pro kterou platí V bodě a je g«.....,«(* h )- g«1,...,«n W = = S -JГ S '»»(*)*-' J Ï A 5 fm, --(*)» IІШЧ:,» («) = o. n-*0 gm -.m> Ь) - g, Ja) = g m, m (ö Һ) = kde -jz«?».:, І= 1 Л«)> a tedy je»:, J = 2'П2- w - s=l I" 2 І=l П exp 2ti} limf7«. «n 00 = 0. h-0 Věta 5. Pro všechna x platí nerovnosti: sm I«? ŐXy lg», m Wlá2Tl2-""«'; s=l g«l,..., «n VV = б.2 v П2- ln Ч j-i,2,...,и; (26) (27) Jití"-, m («)^2(l 3n)2Tl2- I V S=l pro \h t \ ž 1, i = 1,2,...,/?. Viz poznámku 1. Důkaz. Nerovnost (26). Pro x 4= a je z (21) (28) I(*i-mЛ 2 g V m,...,, n Wl = 2TІ2- П V bodě a platí (22). 10 exp[ 2(x,-m,2") 2 ] <2 v ft2"",m * 1. sin I(*.-m.2Ч 2

Nerovnost (27). Pro x =f= a plyne ze vztahu (23): ^ / \ Ő*y flexp^x.-m^) 2 ] sin v\2 4- [ Xj - Шj2 v 1 I(*«-m.2У І=l П exp [(*, - m ; 2 v ) 2 ] exp [ І (x, - miг) 2 ì І=l І=l Xj-mjГ v\2 '^-mл 1 = 1 nexp^^-m^) 2 ] І=l = 6.2v n2- m ' 1. s=l cos sin v\2 (x.-m l 2 ł ) v\2 Tento vztah platí vzhledem k (24) i v bodě a. Nerovnost (28). I hf tf m Jh) = g mi Jx h)\ \ g mi Jx) í=l I ri^-g mi jx)\.\hj\]írf\2-m rfi2-^ 6nrfi2-^ = CX j=lli J J s=l s=l s=l = 2(l 3n)2 v n2-^'; A, 1, j = 1,2,...,«. Tím je věta 5 dokázána. S=l Dále buďte čísla m l9 m 2,..., m,, libovolná celá a číslo v libovolné celé nekladné. Množinu bodů a = (m x 2 v, m 2 T 9..., m rt 2 v ) jsme označili A. Definujme funkci n proměnných G(x) rovnicí 00 00 ад- i I i - E *:,...«.(*) V= 00 ftll=~ 00 17І2 = OC Ш = 00 Věta 6. 1. Funkce G(x) je spojitá. 2. Ve usec// bodech existují parciální derivace dg(x)/dx j9 j = 1, 2,..., n. 3. Všechny parciální derivace dg(x)/dx f,j = 1, 2,..., n, jsou nespojité v libovolném bodě oce A. 4. Funkce G(x) má všude totální diferenciál. Důkaz. 1. Funkce g mu, ymn (x) jsou spojité, řada (29) konverguje absolutně a stejnoměrně a tedy je funkce G(x) spojitá. (29) ii

2. Rada (29) i řada I I Í - I ~Sl t,(*),./-1,2,...,«, v = co mj = cc ř»2 ~~ "'». = co VXj konvergují absolutně a stejnoměrně. Tedy platí ^-G(x)= Ž - ~-ť m Jix), J-U2,...,n. (30) ^-^j v = oo ni\ = oc ř«2 = or m = co f Viz poznámku 3. 3. Buď a libovolný bod množiny A. To znamená, že existují celá čísla m i9 m 29..., m a celé nekladné číslo v tak, že a = (m Y T 9 m 2 2\..., m n T). Bod a je charakterizován n 4-1 čísly m l9 m 2,..., m a v. Lze jej určit též čísly kíj, /x 2,..., /^. a ^ pro která platí tifl* = /w ř 2\ / = 1,2, w. (31) toho pro čísla m l9 m 29... 9 m n SL p x, // 2,..., //,, plyne: /I! : /i 2 :...: JU = m x : m 2 :...: rrz, (32) sgn fii = sgn m i9 i = 1, 2,..., n. Nechť číslo 2 není společným dělitelem čísel ju l9 \i l9..., \i n. Potom určení bodu a = (k*i2\ \I 2 2 X 9..., \i n 2 k ) čísly kř t, //. 2,...,// a /l nazveme nejjednodušším vyjádřením bodu a. Všechna ostatní vyjádření jsou dána čísly m x, ra 2,..., m,, a v, která splňují rovnice (31) a (32). Každý bod má právě jedno nejjednodušší vyjádření, které určuje funkci g x (x) s těmito vlastnostmi: /*l»» /*n v ' (A) Funkce g^lt... faln (x) má všude všechny parciální derivace 1. řádu. (B) Všechny parciální derivace 1. řádu jsou nespojité v bodě a = (ix x 2\v 2 2 k 9... 9 ii n 2 x ). Tytéž vlastnosti (A) a (B) mají v bodě a právě ty funkce g m.,..., mn (x), jejichž indexy splňují vztahy (31) a (32). Tím se množina všech funkcí g v _ mu Wn (x) vzhledem k bodu a rozdělí na dvě množiny tak, že do prvé M a budou patřit právě ty funkce, které v bodě a splňují podmínky (A) a (B); do druhé - N a ty, které zbývají. e vztahů (21) a (22) a z věty 4 plyne sgn g* u..., Mn (x) = sgn g wij _ nín (x); (33) glu...,m = 8«,..., «(<*) = a dále ze vztahů (23) a (24) sgn^7 g^- "" (x) = s g n^r g m - " i " (x); ( 34 > 12 s. Á*) = -3r-g», -. (<*) = o;./ = 1.2,...,n,

je-li a = ( í i 1 2 A, \JL 2 2\..., Lí 2 A ) - (m 1 2 v, m 2 2\..., m 2 v ). Vzhledem k (33) a (34) je součet funkcí z množiny M a opět funkce z této množiny a stejně tak pro funkce z N a. Řadu (30), která konverguje absolutně a stejnoměrně, můžeme přerovnat tak, že nejprve sečteme funkce z množiny M a, což bude funkce s vlastnostmi (A) a (B) v bodě a, a potom sečteme zbývající funkce z množiny N a. To bude funkce, která v bodě a podmínky (A) a (B) nesplňuje. Parciální derivace dg(x)/dxj,j = 1, 2,...,«, je vyjádřena jako součet dvou funkcí, z nichž jedna je spojitá a druhá nespojitá v bodě a. Spojitost funkce (30) pro x < A je zřejmá. 4. Totální diferenciál. O oo oo oo G(x h) - G(x) = g»...» (* ft )- v = oo mi = oo /M2 = oo m n oo O oo oo oo - - «:,.-(*)- v= oo mi = - oo ffl2=- oo m n oo O oo oo oo = z z z - z [g; 1...»n( A ft )-g:..-.»nw]- v = oo mi = oo»i2 = oo O oo oo oo = - z JЄ-ll v = oo m j = % m2 = x wj n = x m n oo z --.?:,...,,,,(*) ^ Jt h * *-. -w = ;=i /Г, " A./ flx; V /. O x oo r) 0 x x = -... Jl^-í- ^Sl t i*)h, -(*) a //. ^ 1, / = 1,2,...,/?..7 = 1 v = x mi = x x mj - _ oo m n - x j v=-x mi = x mz= oo mn x \ i 1 = ^G ( x)/ I, /z^(/t), ; = i O«* i V i = 1 '?(*) = z Ž... ч;,...» n ( ft ) v = x ш«= X Hh = x /«м = X Ještě dokážeme, že lim rj(h) = 0. /!->0 O oo oo oo lim f7(ň) = lim '/-». ( /! ) /.- O h-> O v = - x mi = - x m 2 = - co m - - oo O x oo «3 = - lim! ll» -J /J ) = - V = - X III i = - 00 ř"2 = - '^ '".i - ~ *' '' ~* U 13

LITERATURA [1] Jarník V., Diferenciálnípočet II, Praha 1956. [2] Petr K., Diferenciálnípočet, Praha 1925. [3] Grebenča M. K., Novoselov S. L, Učebnice matematické analysy (překlad z ruštiny), Praha 1955. [4] Meder A., Über die Herstellung von Funktionen f(x,y), für welche f xy (x,y) фf yx (x,y) ist, Acta universitatis latviensis (Riga) 13 (1926), 655 668. [5] Hahn H., Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1921. [6] Bögel K., ur theorie der Ғunkťюnen mehrerer Veränderìichen, Jahrsbericht der Deutschen Mathem. Verdnigung 34 (1926), 490 498. [7] Inabe N., Über die nacłг x partiellstetig Funktionen f(x,y), Proceedings of the Physic-Mathematical Society of Japan 16 (19З4), 201 203, 225 226. Došło 18. 8. 1961. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Карел Тухачек Резюме Пусть А множество точек а = (/?? 1 2 у, ш 2 2 у,..., т п 2 х ), где т 1г т 2,..., т п целые числа и V целое отрицательное число или 0. Имеет место Теорема Л. Существует непрерывная функция Р(х) п переменных такая, что 2?2 Õ.,. д ľ( a )*-^-F( a ) дх к дх { дх { дх к для к Ф I; к, I = 1,2,..., п и всякой точки а е А, и, далее. для хф А. 02 дх к дх { F{x) = ^І--F{x); feф/; k,l=\,\ дх 1 дх к Теорема В. Существует непрерывная функция С(х) п переменных, которая обладает следующими свойствами: 1. Существует полной дифференциал С(х) в каждой точке. 2. Частные произвольные первого порядка разрывны в произвольной точке а е А. Доказательство этих теорем заключается в конструкции функций с требуемыми свойствами. Функции '' ^/т и... т п 00 определенные отношениями (1) и (2) выполняют условия теоремы А для /: = /', I = / в точке а = (т { 2 у, т 2 2 у,..., т п 2 х ). Функция Г(х) определенная равенством (17) обладает свойствами требуемыми теоремой А в каждой точке множества А. Функции х ти._ т п (х) оределенные отношениями (22), (23) обладают свойствами теоремы В в точке а = (/?/.2 у, т 2 2 х,..., т п 2 х ) и функция С(х) в равенстве (29) обладает всеми требуемыми свойствами во всех точках множества А. 14

SUR LES TYPES SPECIALS DES FONCTIONS CONTINUES DE PLUSIEURS VARIABLES Karel Tuhâcek Résumé Désignons par A l'ensemble des points a (m x 2 v, m 2 V,..., m n 2 x ), où m i9 m 2,...,m n sont des nombres entiers et v est un nombre entier négatif ou nul. Puis on a le Théorème A. 11 existe une fonction F(x) de n variables pour laquelle on a et pour tous les points a 6 A et partout ailleurs. c) 2 8 2 - F(a) #= - F(a) pour k #= / ox k ox l ox t ox k 8 ôx k dx l F(x) = T4-f(4 *** dx t dx k Théorème B. Il existe une fon ction continue G(x) de n variables jouissante les propriétés suivantes: La fonction G(x) a partout le différentiel total. Les dérivées partielles du premier ordre sont discontinues dans chaque point a e A. La démonstration de tous les deux théorèmes est effectuée par la construction des fonctions en question. La fonction l,j fm u...,m,,w bien définie par les expressions (1) et (2) remplit les conditions du théorème A pour k = i, l = j dans le point a = (tn 1 2 v,..., m n T). La fonction F(x) donnée par l'équation (17) a alors les propriétés demandées par le théorème A dans tous les points de l'ensemble A. La fonction g mu _ s mn (x) donnée par les expressions (22) et (23) a les propriétés du théorème B dans le point a (m t 2 v,..., m n 2 ) et la fonction G(x) de l'équation (29) a déjà toutes les propriétés demandées dans tous les points de l'ensemble A. 15