Symetrie
Co je symetrie? Základní princip pro celý vesmír (proton x antiproton, černá x bílá, parita) Zákon zachování parity (CP, CPT) Fundamentální organizační princip v přírodě a umění (DNA - double helix) Symetrie zachovává vzdálenosti, uhly, velikost a tvar Symetrie molekul, optická aktivita, chiralita
Symetrie v architektuře The best known example of this is the Taj Mahal.
Symetrie Abecedy Písmena dělíme na: Symetrická: A, B, C, D, E, H, I, K, M, N, O, S, T, U, V, W, X, Y, Z Nesymetrická: F, G, J, L, P, Q, R
Motýl
M.C. Escher Dutch graphic artist No formal training in math or science Used intricate repeating patterns in his artwork
Motýle
Ryby a lodě
Ještěrky
Symetrie v chemii Symetrické molekuly NH 3 H 2 O C 6 H 6 SF 6 H 2 C 2 C 60, B 12 H 12
Symetrie v matematice Množiny Grupy Grupoidy E. Galois, 1832. Teorie grup.
Symetrie (souměrnost) Motiv: fundamentální část konceptu symetrie. Opakováním motivu se vytvoří celý vzor. Operace: určitá akce, která zopakuje motiv tak, aby se vytvořil celý vzor Prvek (element) symetrie: operace je lokalizována v určitém místě (bodě) prostoru. Geometrický prvek - bod, přímka, rovina, vektor.
Typy symetrie Rotace Translace Reflexe (odraz) Inverse Rotoinverse Rotoreflexe Skluzná reflexe Šroubovitá rotace (spirála) Bodová symetrie Translační symetrie
2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace a. Dvojnásobná rotace dvojnásobná osa Symetrický vzor 6 = 360 o /2 rotace reprodukuje motiv v symetrickém vzoru 6
2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace a. Dvojnásobná osa Operace rotace = 360 o /2 6 Motif Element Symbol pro 2-osu, C 2 6
2-D Symetrie Prvek symetrie Operace symetrie Symetrická operace 6 first operation step Pohyb, akce second operation step 6
2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace b. Trojnásobná osa 6 rotace = 360 o /3
2-D Symetrie Prvky symetrie Rotace b. trojnásobná rotační osa rotace= 360 o /3 6 step 1 step 3 Symbol pro osu, C 3 step 2
2-D Symetrie Krystalografické prvky rotační symetrie 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1-fold 2-fold 3-fold 4-fold 6-fold 2-fold = dvojnásobná
2-D Symetrie Prvky symetrie Reflexe, odraz (m) Odraz přes zrcadlovou rovinu reprodukuje motiv = symbol pro zrcadlovou rovinu C s, σ
2-D Symetrie Nyní máme 6 unikátních 2-D operací symetrie: 1 2 3 4 6 m Rotace jsou congruentní operace reprodukce jsou identické Inverse a reflexe jsou enantiomorfní operace reprodukce jsou levé a pravé
2-D Symetrie Kombinace prvků symetrie jsou také možné Aby se vytvořila kompletní analýza symetrie v prostoru v okolí bodu, musíme zkoušet všechny možné kombinace těchto prvků symetrie Kvůli čistotě v podání a snadnosti ilustrací, budeme pokračovat pouze v příkladech z 2-D
2-D Symetrie Kombinace 2-rotační osy a zrcadlové roviny
Krok 1: reflexe 2-D Symetrie
2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace
2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace Ještě něco??
2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace Vzniká druhá zrcadlová rovina
2-D Symetrie Výsledek je Bodová Grupa 2mm, C 2v 2mm indikuje 2 zrcadla Zrcadla jsou různá (nejsou ekvivalentní z důvodu symetrie)
2-D Symetrie Kombinace 4-násobné rotace s reflexí Kombinace 4-násobné rotační osy s rovinou symetrie.
Krok 1: reflexe 2-D Symetrie
2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace 1
2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace 2
2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace 3
Ještě nějaký element? 2-D Symetrie
2-D Symetrie Ještě nějaký element? Ano, dvě další zrcadla Bodová grupa 4mm
2-D Symetrie 3-násobná rotace a zrcadlení vytvářejí bodovou grupu 3m
2-D Symetrie 6-násobná rotace a zrcadlení vytvářejí bodovou grupu 6mm
2-D Symetrie Původních 6 elementů plus 4 kombinace vytváří 10 možných 2-D bodových grup: 1 2 3 4 6 m 2mm 3m 4mm 6mm Každý 2-D vzor v okolí bodu musí odpovídat jedné z těchto grup
3-D Symetrie Prvky Symetrie Inverse (i) (-1) C i Střed symetrie. Transformace přes bod. = symbol je bod 6 inverse je identická 2- násobné rotační ose v 2-D, ale je unikátní v 3-D (dvě ruce) 6
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 1 ) a. 1-násobná rotoinverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse a. 1-násobná rotoinverse 1: rotace 360/1 (identita)
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse a. 1-násobná rotoinverse 1: rotace 360/1 (identita) 2: inverse Stejná jako i
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 2 ) b. 2-násobná rotoinverse 1: rotace 360/2 Pozn.: dočasný krok Tento motiv se nebude ve finálním vzoru
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse Step 1: rotate 360/2 Step 2: inverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse Výsledek
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse Stejná jako m
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 3 ) c. 3-násobná rotoinverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Step 1: rotate 360 o /3 Opět, toto je pomocný krok. Nebude ve finálním vzoru. 1
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Step 2: inverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Dokončení první sekvence 1 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Rotace o dalších 360/3
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Inverse přes střed
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Dokončení. Vzniká plocha 3 1 3 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Plocha 4 (3 (1) 4) 4 3 1 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Plocha 5 (4 (2) 5) 5 1 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Plocha 6 (5 (3) 6) 5 1 Šestý krok je návrat na plochu 1 6
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse 3 Toto je unikátní operace 5 1 4 6 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 4 ) d. 4-násobná rotoinverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 1: Rotace 360/4
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 1: Rotace 360/4 2: Inverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 1: Rotace 360/4 2: Inverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 3: Rotace 360/4
3-D Symetrie Symmetry Elements Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 3: Rotace 360/4 4: Inverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 3: Rotace 360/4 4: Inverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 5: Rotace 360/4
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 5: Rotace 360/4 6: Inverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse Toto je unikátní operace
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse Základní vzor
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse( 6 ) e. 6-násobná rotoinverse
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 1
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 1
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 1 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 1 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 1 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 1 2
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 1 2 4
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 1 2 4
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 5 1 2 4
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 5 1 2 4
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 5 1 2 6 4
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse Pozn.: toto je stejné jako 3-násobná rotační osa kolmá na zrcadlovou rovinu Top View
3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinversion e. 6-násobná rotoinverse Jednoduchý vzor Top View
3-D Symetrie Nyní máme 10 unikátních 3-D symetrických operací: 1 2 3 4 6 i m 3 4 6 Kombinace těchto elementů jsou přípustné Kompletní analýza symetrie okolo bodu v prostoru vyžaduje aby se testovaly všechny možné kombinace těchto prvků symetrie. Existuje 32 kombinací. 32 bodových grup.
3-D Symetrie 3-D kombinace prvků symetrie a. Rotační osa paralelní k rovině Stejné jako v 2-D 2 m = 2mm 3 m = 3m, also 4mm, 6mm b. Rotační osa kolmá na rovinu 2 m = 2/m 3 m = 3/m, also 4/m, 6/m c. Kombinace rotací 2 + 2 pod 90 o 222 (třetí 2 je generována) 4 + 2 pod 90 o 422 ( ) 6 + 2 pod 90 o 622 ( )
3-D Symetrie Příklady zobrazení
3-D Symetrie 32 bodových grup Seřazené podle krystalografického systému Crystal System No Center Center Triclinic 1 1 Monoclinic 2, 2 (= m) 2/m Orthorhombic 222, 2mm 2/m 2/m 2/m Tetragonal 4, 4, 422, 4mm, 42m 4/m, 4/m 2/m 2/m Hexagonal 3, 32, 3m 3, 3 2/m 6, 6, 622, 6mm, 62m 6/m, 6/m 2/m 2/m Isometric 23, 432, 43m 2/m 3, 4/m 3 2/m
3-D Symetrie 32 Bodových Grup Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. MSA
Grupy symetrie Množiny operací symetrie, matematická teorie grup prvek symetrie x operace symetrie C 6 C 6, C 6 2 C 3, C 6 3 C 2, C 6 4 C 32, C 65, C 6 6 E - množina je kompletní A, B prvky grupy C=A B je též prvek - existuje prvek E - jednotkový - ke každému prvku existuje inverzní prvek A -1, A A -1 =E - platí asociativní zákon A (B C) = (A B) C
Grupy symetrie C 1 (CFClBrI), C s (H 2 C=CClF, SOCl 2 ) C i (C 2 Cl 2 H 2 Br 2 ) C n (:PPh 3 ) C nv C n + n vertikálních (dihedrálních) σ v (H 2 O, NH 3 ) C nh C n + σ h (C 3h -H 3 BO 3, C 2h -H 2 C 2 O 4 )
Grupy symetrie D n C n + n C 2 C n (D 3 - [Ru(phen) 3 ] 2+ ) D nd C n + n C 2 C n + n σ d (D 2d -allen CH 2 =C=CH 2 ) D nh + σ h (D 4h -[PtCl 4 ] 2-, D 3h -PCl 5, D 6h -C 6 H 6 ) S n (n-sudé, n>4) S n (+C n/2 ) T d (CH 4-4xC 3 ), O h (SF 6-3xC 4, 4xC 3, i ), I h (C 5, 120 operací, B 12 2-, C 60 ) Lineární grupy D h, C v lineární A-A a A-B Kužely, válce, koule
Grupy symetrie 1 C? C n? σ? i? C 1 i? 1 I 0 0 0 0 0 1 C v i? 1 I h C s C i S 2n C nh 1 1 D h 6C 5? 3C 4? 4C 3? nc 2 C n? S 2n? σ h? 0 O i? 1 O h 1 1 1 1 1 0 0 i? σ h? 1 6σ? T 1 h T d T 0 0 1 1 D nh 1 nσ v? 0 nσ v? 1 C nv 0 0 D D C n nd n
Srovnávací tabulky symetrie C 1 1 C 2 2 C 3 3 C 4 4 C 6 6 C 2v mm2 C 3v 3m 4mm C 4v C 6v 6mm C s (C 1h ) m C 2h 2/m C 3h -6 C 4h 4/m C 6h 6/m S 2 (C i ) -1 S 4-4 S 6 3 D 2 222 D 3 32 D 4 422 D 6 622 D 2d -42m D 3d -3 2/m D 2h 2/m 2/m 2/m D 3h -6m2 D 4h 4/m 2/m 2/m D 6h 6/m 2/m 2/m T 23 T d -43m T h 2/m -3 1 O 4 3 2 O h 4/m -3 2/m -6 má být 6 a čárka nad znakem 6, a pod.
Grupy symetrie Aplikace: klasifikace molekul hybridní orbitaly molekulové orbitaly teorie krystalového pole vibrační spektra IČ a Ramanova spektroskopie predikce dovolených spektrálních přechodů chiralita
Absolutní konfigurace CIP - Cahn, Ingold, Prelog Preferenční čísla R,S - volantové pravidlo Asymetrické centrum. Chiralia, Optická aktivita Diastereoizomery Racemická směs, racemická sloučenina
Asymetrický uhlík
Číslo priority 1 1 2 Cl Br F H 4 4 H OH CH 3 CH 2 Br 3 3 2 1 3 CH 2 CH 3 Br CH=CH 2 2 H 4
To assign a priority to an atom that is part of a multiple bond, treat a multiply bonded atom as an equivalent number of singly bonded atoms. For example, the C of a C=O is considered to be bonded to two O atoms. Other common multiple bonds are drawn below:
Volantové pravidlo
Chiralita Pokud má molekula rotačně-reflexní osu S n (1, 2, 3,...) potom není opticky aktivní!!!! S 1 je rovina S 2 je střed souměrnosti - inverse
Carvone CH 3 CH 3 O O H CH 3 H H 3 C Left-handed Carvone Smells like caraway Right-handed Carvone Smells like spearmint S(+) kmínový olej R(-) vůně po mátě
Aspartame O OH H 2 N H H N O OH Left-handed Aspartame "Nutrasweet" 160 times sweeter than sugar O H OH O H H O H 2 N O N H OH Right-handed Aspartame Not at all sweet slightly bitter
Ibuprofen H H 3 C OH HO H CH 3 O O Left-handed Ibuprofen Powerful Pain Killer and Anti-inflamatory Drug Right-handed Ibuprofen No Drug Activity
R good - morning sickness S bad - birth defects