MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Studijní program: matematika Studijní obor: obecná matematika 2010

2 Poděkování: Děkuji velice prof. RNDr. Radanu Kučerovi, DSc. za vstřícnost, trpělivost a příležitost naučit se opět něco nového. Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně dne 2. června Jana Medková

3 Abstrakt Název práce: Moduly nad okruhy hlavních ideálů Autor: Jana Medková Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty, MU Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Abstrakt: Práce se zabývá odvozením a aplikací vlastností modulů nad okruhy hlavních ideálů. V první kapitole je uvedena definice modulu a pojmy používané v dalším textu. V druhé kapitole se odvozují vlastnosti torzních modulů nad okruhy hlavních ideálů, které se následně použijí v důkazu věty o rozkladu na parciální zlomky. Ve třetí kapitole se zabýváme konečně generovanými moduly nad okruhy hlavních ideálů, pro které, jak dokážeme, platí, že jsou izomorfní vhodnému součtu cyklických modulů. V poslední kapitole se použijí výsledky třetí kapitoly k důkazu, že každá matice je podobná matici v racionálním kanonickém tvaru a k odvození algoritmu na jeho nalezení. Klíčová slova: Modul, okruh hlavních ideálů, torzní modul, racionální kanonický tvar Abstract Title: Modules over principal ideal domain Author: Jana Medková Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Abstract: In this work, we look into properties od modules over principal ideal domain and applications of those. First chapter consist of definition of module and terms used in following text. In second chapter, we derive properties of torsion modules over principal ideal domain, which are used to prove parcial fraction decomposition. In third chapter we study finitely generated modules over principal ideal domain, which, as we prove, are isomorphic to suitable sum of cyclic modules. The results of third chapter are used in the last chapter to show, that every square matrix is similar to matrix in rational canonical form and the algorithm how to find it. Keywords: Module, principal ideal domain, torsion module, rational canonical form

4 Obsah Úvod 6 1 Základní pojmy 7 2 Torzní moduly nad okruhy hlavních ideálů 12 3 Konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů 19 4 Racionální kanonický tvar 28 Literatura 42 5

5 Úvod V této bakalářské práci se budeme zabývat odvozením vlastností modulů nad okruhy hlavních ideálů a jejich aplikacemi. Protože budovat celou teorii od začátku by bylo příliš rozsahově náročné, budeme předpokládat, že čtenář má znalosti v rozsahu publikace [6] a pojmy a věty z této publikace už nebudou v textu dále připomínány. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první kapitole zavedeme pojem modul nad okruhem a uvedeme některá tvrzení vztahující se k tomu pojmu, která budou potřeba v dalších kapitolách a také několik tvrzení o okruzích hlavních ideálů, která nejsou uvedena v [6] a budou v dalším textu potřeba. V druhé kapitole se budeme zabývat torzními moduly nad okruhy hlavních ideálů a jejich rozkladem na součet podmodulů anihilovaných mocninou ireducibilního prvku, který potom použijeme k důkazu věty o rozkladu prvků podílových těles okruhů hlavních ideálů na parciální zlomky. Ve třetí kapitole dokážeme, že každý konečně generovaný modul nad okruhem hlavních ideálů je izomorfní součtu vhodných cyklických modulů. Ve speciálním případě, pokud za okruh hlavních ideálů vezmeme okruh celých čísel, je toto tvrzení ekvivalentní větě o rozkladu konečné komutativní grupy na součin netriviálnách cyklických p-grup. V poslední kapitole pak aplikujeme tento poznatek na vektorové prostory, které uvažujeme jako moduly nad okruhem polynomů nad tělesem, abychom dokázali, že každá matice a lineární transformace má racionální kanonický tvar a ukázali si algoritmus, jak tento tvar najít. Tato bakalářská práce byla vysázena systémem L A TEX. 6

6 Kapitola 1 Základní pojmy Účelem této krátké kapitoly není sdělit nové informace, jako spíše připomenout pojmy, které budou v dalších kapitolách používány již bez vysvětlení. Definice 1.1. Bud R okruh (ne nutně komutativní). Levým R-modulem nazýváme množinu M spolu s: 1. binární operací + na M takovou, že (M, +) je komutativní grupa. 2. akcí R na M tj. zobrazením R M M (obraz dvojice (r, m) značíme rm), která splňuje pro všechna r, s R, m, n M následující podmínky: (a) (r + s)m = rm + sm. (b) (rs)m = r(sm). (c) r(m + n) = rm + rn. (d) pokud má okruh R jedničku, pak 1 R m = m. Pokud se v textu vyskytne pojem R-modul, není pod ním myšleno nic jiného než levý R-modul. Akci R na M často nazýváme násobení prvky z okruhu R. Definice 1.2. Bud M levý R-modul, N M. Pak N se nazývá R-podmodul (nebo jen podmodul) modulu M právě tehdy, když (N, +) je podgrupa grupy (M, +) a pro každé r R, m N je rm N. Pokud uvažujeme okruh R jako levý R-modul, pak jeho podmoduly jsou právě jeho levé ideály. Pokud má okruh jedničku, pak m = ( 1)m a při ověřování, zda podmožina modulu M je podmodul, stačí ověřit uzavřenost vůči sčítání a násobení prvkem z R, protože ta implikuje uzavřenost na inverze vůči sčítání. 7

7 Definice 1.3. Necht M, N jsou levé R-moduly. Pak zobrazení f : M N nazýváme homomorfismus R-modulů, pokud pro libovolná m, n M, r, s R platí f(rm + sn) = rf(m) + sf(n). Jádrem homomorfismu f nazýváme množinu všech prvků m M, které splňují podmínku f(m) = 0, značíme Ker(f). Obrazem homomorfismu f nazýváme množinu všech prvků n N, pro které existuje m M tak, že f(m) = n, značíme Im(f). Bijektivní homomorfismus R-modulů nazýváme izomorfismus R-modulů. Poznámka 1.4. Pro každý homomorfismus R-modulů f : M N je Ker(f) podmodul modulu M a Im(f) podmodul modulu N. Důkaz. Z teorie grup víme, že Ker(f) je podgrupa grupy M, stačí tedy dokázat, že pokud m Ker(f), pak pro libovolné r R je i rm Ker(f). Ale f(rm) = rf(m) = r0 = 0. Tedy jádro homomorfismu f je podmodul modulu M. Stejně tak Im(f) je podgrupa grupy N. Pro libovolné n Im(f) existuje m M tak, že f(m) = n. Ale pak pro libovolné r R platí rn = rf(m) = f(rm), proto rn Im(f). Definice 1.5. Bud R okruh, M levý R-modul, N podmodul modulu M. Pak faktormodulem M/N rozumíme faktorgrupu M/N společně s akcí R na M/N určenou předpisem r(m + N) = rm + N pro všechna r R, m M. Homomorfismus k : M M/N, k(m) = m + N se nazývá kanonická projekce na faktormodul. Definice 1.6. Bud R okruh, M levý R-modul. Řekneme, že množina prvků A generuje modul M, právě když pro libovolné m M existují r i R, m i A tak, že m = n i=1 r im i. Konečně generovaný modul je takový modul, který je generován konečnou množinou. Pokud je modul generován jedním prvkem, nazývá se cyklický. Definice 1.7. Bud R okruh, M levý R-modul. Podmnožina B modulu M se nazývá bází, pokud je libovolná její konečná podmnožina lineárně nezávislá (tj. pro libovolná b 1,..., b n B a a 1,... a n R platí n i=1 a ib i = 0 jedině v případě, kdy všechna a i = 0) a generuje modul M. Řekneme, že R-modul M je volný, pokud má bázi. Definice 1.8. Bud R okruh, M levý R-modul, N i, i I podmoduly modulu M. Pak součtem modulů N i, i I rozumíme množinu všech konečných součtů n N = { m ji m ji N ji i=1 pro i = 1,..., n}, 8

8 značíme N = i I N i. Pokud dále platí, že pro libovolné m i I N i existují jednoznačně určená m i N i tak, že m = i I m i a skoro všechna m i jsou nulová, nazýváme N direktním součtem modulů N i, i I, značíme N = i I N i. Pro direktní součet M dvou modulů N 1, N 2 se používá též značení M = N 1 N 2. Poznámka 1.9. Součet podmodulů N i, i I modulu M je podmodul generovaný sjednocením i I N i. Volný modul je přímý součet modulů izomorfních s R (ne nutně konečný). Definice Rankem volného modulu M rozumíme počet prvků jeho báze. Věta Bud R obor integrity a M volný R-modul ranku n <. Pak libovolných n + 1 prvků je lineárně závislých, tj. pro každé prvky m 1,..., m n+1 M existují r 1,..., r n+1 R, ne všechna nulová tak, že r 1 m r n+1 m n+1 = 0. Důkaz. Modul M je volný ranku n, tedy M = R.... R (n-krát). Vezměme podílové těleso F okruhu R. Pak jistě M F F (n-krát). Toto je ale vektorový prostor jehož vlastnosti dobře známe, tudíž víme, že existují x 1,..., x n+1 F, ne všechna nulová, i, s i, t i R, t i 0 tak, že n+1 i=1 x im i = 0. Všechny tyto koeficienty jsou ve tvaru s i t 1 a vynásobením obou stran prvkem n+1 i=1 t i dostáváme koeficienty r j = s n+1 j i=1,i j t i R do rovnice z tvrzení, které jsou alespoň pro jedno j nenulové (protože R je obor intergity). Rank modulu nad oborem integrity můžeme definovat i jiným způsobem. Povšimněme si, že díky předchozí větě je tato definice ve shodě s definicí ranku volného modulu. Definice Bud R obor integrity. Rankem R-modulu M nazýváme maximální počet lineárně nezávislých prvků modulu M. V textu budeme také využívat některé vlastnosti okruhu hlavních ideálů, které nejsou uvedeny v [6], proto je dokážeme v této kapitole a dále je budeme používat bez důkazu. Další zajímavé vlastnosti okruhů hlavních ideálů, které ovšem nebudeme v textu používat, je možné nalézt např. v [3] nebo [2]. Definice Bud R okruh. Prvek r R nazveme primitivní, pokud je nenulový, není jednotka a pro libovolné s, t R, pro které platí r st, platí, že r s nebo r t. Prvek r R nazveme ireducibilní, pokud je nenulový, není jednotka a neexistují s, t R, které nejsou jednotky, tak, že r = st. Věta Bud R okruh hlavních ideálů. Pak libovolné dva nenulové prvky a, b mají největšího společného dělitele d, který může být zapsán jako lineární kombinace prvků a, b pro vhodná r, s R. ra + sb = d 9

9 Důkaz. Protože R je okruh hlavních ideálů, je i ideál (a, b) hlavní, to znamená, že (a, b) = (d). Prvek d je pak největší společný dělitel prvků a a b. Protože d (a, b), musí existovat r, s R tak, že ra + sb = d. Věta Bud R okruh hlavních ideálů, a 1,..., a n prvky okruhu R tak, že (a i, a j ) = R pro libovolné i j. Bud a = n i=1 a i. Pak R/(a) = n R/(a i ). i=1 Důkaz. Nejdříve dokážeme tvrzení pro dvojici prvků. Bud a = a 1 a 2, (a 1, a 2 ) = R. Uvažujme homomorfismus okruhů f : R R/(a 1 ) R/(a 2 ) daný předpisem f(b) = (b + (a 1 ), b + (a 2 )). Mějme libovolný prvek (b 1 + (a 1 ), b 2 + (a 2 )) R/(a 1 ) R/(a 2 ). Protože (a 1, a 2 ) = R a b 2 b 1 R, musí existovat r, s R tak, že b 2 b 1 = ra 1 + sa 2. Úpravou dostáváme b 2 sa 2 = b 1 + ra 1 = x. Je zřejmé, že obrazem prvku x v homomorfismu f bude prvek (b 1 +ra 1 +(a 1 ), b 2 sa 2 +(a 2 )) = (b 1 +(a 1 ), b 2 +(a 2 )). Tedy libovolný prvek R/(a 1 ) R/(a 2 ) má vzor a f je surjektivní homomorfismus. Jádro homomorfismu f tvoří průnik ideálů (a 1 ) (a 2 ). Ukážeme, že (a 1 ) (a 2 ) = (a). Jistě a (a 1 ) (a 2 ), a proto (a) (a 1 ) (a 2 ). Protože (a 1, a 2 ) = R, existují s, t R tak, že sa 1 + ta 2 = 1. Nyní bud x (a 1 a 2 ) libovolné. Pak existují u, v R tak, že x = ua 1 = va 2. Pak x = xsa 1 + xta 2 = va 2 sa 1 + ua 1 ta 2 = a 1 a 2 (sv + tu) = a(sv + tu) (a). Tedy (a 1 ) (a 2 ) (a). Proto Ker(f) = (a) a podle první věty o izomorfismu dostáváme R/(a) = R/(a 1 ) R/(a 2 ). Nyní dokážeme indukcí, že toto tvzení platí pro libovolných n prvků a 1,..., a n pro které platí (a i, a j ) = R pro libovolné i j. Pro dva prvky jsme toto už dokázali. Nyní předpokládejme, že tvzení bylo dokázáno pro libovolných n 1 prvků s touto vlastností. Protože pro libovolné dva prvky (a i, a j ) = R, existují pro každé i, 2 i n prvky r i, s i R tak, že r i a 1 + s i a i = 1. Vynásobením těchto rovností dostaneme Bezoutovu rovnost pro prvky a 1 a n i=2 a i. Platí tedy, že (a 1, n i=2 a i) = R a z výše dokázaného plyne R/( n i=1 a i) = R/(a 1 ) R/( n i=2 a i). Na faktorokruh R/( n předpoklad, a proto R/(a) = R/(a 1 ) n i=2 R/(a i) = n i=2 a i) se ale vztahuje indukční i=1 R/(a i). Věta Bud R okruh hlavních ideálů, 0 = r R. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní 1. (r) je prvoideál, 2. (r) je maximální ideál, 3. r je ireducibilní prvek, 10

10 4. r je primitivní prvek. Důkaz. (1) (4) Bud I = (r) prvoideál. Pak (r) R, tedy r není jednotka (a r 0 z předpokladů věty). Necht s, t R jsou libovolné prvky takové, že r st. Pak st (r) a podle definice prvoideálu musí bud s R nebo t R. To ale znamená, že bud r s nebo r t a prvek r je primitivní. (4) (3) Bud r primitivní prvek. Pak r 0 a r není jednotka. Necht s, t R jsou libovolné prvky tak, že r = st. To ale také znamená, že r st. Protože je r primitivní prvek, musí platit, že r s nebo r t. Pak ale jeden z činitelů s, t musí být asociovaný s prvkem r a druhý musí být jednotka. Tedy r 0, r není jednotka a neexistuje rozklad r na součin dvou prvků tak, aby ani jeden z nich nebyl jednotka. (3) (2) Necht r je ireducibilní prvek. Pak (r) {0}, protože r 0, a (r) R, protože r není jednotka. Dokážeme, že (r) je maximální ideál okruhu R. Kdyby nebyl, tak existuje s R tak, že (r) (s) R, to ale znamená, že r = st a ani s ani t nejsou jednotky, ale to je spor s ireducibilitou r. (4) (3) Protože faktorizací okruhu podle prvoideálu dostáváme obor integrity, faktorizací podle maximálního ideálu těleso a těleso je z definice obor integrity, je vidět, že každý maximální ideál je i prvoideál. Věta Bud R okruh hlavních ideálů. Pak R je i okruhem s jednoznačným rozkladem. Důkaz. Bud r R libovolné takové, že r 0 a r není jednotka. Nejdříve dokážeme, že r lze rozložit na konečný součin ireducibilních prvků. Pokud je r ireducibilní, jsme hotovi. Nyní předpokládejme, že není. Pak r = r 1 s 1, kde r 1, s 1 nejsou jednotky. Bud jsou r 1, s 1 ireducibilní a jsme hotovi nebo jeden z nich, předpokládejme, že r 1 není ireducibilní a jde dále rozložit na součin r 2 s 2, kde r 2, s 2 nejsou jednotky. Budeme takto pokračovat v rozkládání. Pokud se po konečně mnoha krocích zastavíme, je vše v pořádku a r lze rozložit na konečný součin ireducibilních prvků. Pokud bychom se ale nezastavili, pak lze sestrojit nekonečný rostoucí řetězec ideálů (r) (r 1 ) (r 2 )... to je ale ve sporu s tím, že R je noetherovský okruh (viz. 3.2). Dokážeme nyní, že rozklad na konečný součet ireducibilních prvků je dán jednoznačně až na pořadí a asociovanost. Předpokládejme, že existují dva různé rozklady na ireducibilní prvky r = p 1 p n = q 1 q m, n m. Jistě levá strana je prvkem ideálu (p 1 ), takže musí platit, že p 1 q 1 q m. Prvek p 1 je ireducibilní, tedy i primitivní, to znamená, že musí dělit některý z prvků q 1,..., q m. Změnou pořadí můžeme tento prvek mít na první pozici, a proto můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že p 1 q 1. Protože q 1 je ireducibilní, platí p 1 q 1, tudíž existuje u 1 R, u 1 je jednotka tak, že q 1 = u 1 p 1. Když za q 1 dosadíme zpět do vyjádření, dostáváme p 1 p 2 p n = u 1 p 1 q 2 q m. Protože R je obor integrity můžeme si dovolit krátit p 1. Tedy p 2 p n = u 1 q 2 q m. Opakováním stejného postupu pro p 2,..., p n dostaneme, že p 1 q 1,..., p n q n a 1 = u 1 u n q m n q m. Protože žádné z q m n,..., q m není jednotka, musí být m = n. 11

11 Kapitola 2 Torzní moduly nad okruhy hlavních ideálů Definice 2.1. Bud R okruh, M levý R-modul a x M. Anihilátorem prvku x rozumíme množinu ann(x) = {r R rx = 0} Poznámka 2.2. Anihilátor prvku x je levým ideálem okruhu R a pokud uvažujeme R jako levý R-modul a ann(x) jako jeho podmodul, pak faktormodul R/ ann(x) = (x), kde (x) je podmodul M generovaný prvkem x. Důkaz. Stačí dokázat, že ann(x) obsahuje 0, je uzavřený na sčítání, braní inverze vůči sčítání a násobení prvkem z R zleva. Z definice modulu 0 x = 0, takže 0 ann(x). Necht r, s ann(x) jsou libovolné. Pak (r+s)x = rx+sx = 0 a 0 = (r r)x = rx+( r)x = ( r)x, takže (r +s), r ann(x). Nakonec bud r R, s ann(x) libovolné, pak (rs)x = r(sx) = 0. Uvažujme homomorfismus modulů k : R (x), k(r) = rx. Jistě Im(k) = (x) a Ker(k) = {r R rx = 0} = ann(x). Podle první věty o izomorfismu platí R/ ann(x) = (x). Definice 2.3. Bud R okruh, M levý R-modul, x M. Prvek x se nazývá torzní, pokud ann(x) {0}. Pokud je R obor integrity, nazveme množinu všech torzních prvků modulu M torzní podmodul modulu M a budeme jej značit Tor(M) Bylo by vhodné dokázat, že Tor(M) je opravdu podmodul modulu M. Jistě 0 Tor(M), protože r0 = 0 z definice modulu pro všechna r R. Abychom dokázali, že Tor(M) je podmodul modulu M, stačí už jen ověřit uzavřenost na sčítání a násobení prvkem z R (protože R je obor integrity). Bud x, y Tor(M) libovolné torzní prvky, r ann(x), s ann(y), r, s 0 prvky okruhu R. Pak rs(x + y) = rsx + rsy = s(rx) + r(sy) = 0. Součin rs je tedy prvkem ann(x + y) a je nenulový, protože R je obor integrity a r, s jsou nenulové, tedy x + y je torzní prvek a Tor(M) je uzavřený vůči sčítání. Necht r ann(x), r 0, s R libovolné. Pak r(sx) = s(rx) = 0, tudíž ann(sx) není roven nule pro libovolné s R a tedy sx Tor(M), čímž jsme dokázali uzavřenost vůči násobení prvkem z R. 12

12 Definice 2.4. Modul M nazveme torzním, pokud Tor(M) = M. V dalším textu se budeme zabývat torzními moduly nad okruhy hlavních ideálů. Danou problematiku nelze zobecnit na libovolný okruh, protože potřebujeme, aby okruh, nad kterým operujeme, byl obor integrity a pro dokázání některých vlastností využíváme vlastnost, že anihilátor libovolného prvku je hlavní ideál, tj. ideál generovaný jedním prvkem. R. Bud R okruh hlavních ideálů. Označme P(R) množinu všech maximálních ideálů okruhu Definice 2.5. Bud R okruh hlavních ideálů, M levý R-modul, (p) P(R). Množinou M (p) nazveme množinu všech prvků m M, pro které existuje n N tak, že p n m = 0. Je potřeba ověřit, zda je M (p) definována korektně, tj. je nezávislá na volbě generátoru ideálu (p). Předpokládejme, že (p) = (q). To ale znamená, že existuje jednotka u R tak, že p = uq. Dokážeme, že libovolný prvek m platí, že m M (p) právě, když m M (q). Jestliže m M (p), existuje n N tak, že p n m = 0. Pak ale 0 = p n m = (uq) n m = u n q n m. Vynásobíme obě strany prvkem u n a dostáváme u n 0 = 0 = u n u n q n m = q n m. Tedy existuje n N tak, že q n m = 0, proto pokud m M (p), pak m M (q). Opačný směr dostaneme analogicky pro q = u 1 p. Poznámka 2.6. M (p) je podmodul modulu M. Důkaz. Pro důkaz stačí ověřit uzavřenost na sčítání a násobení prvkem z R, nebot obor integrity má jedničku a 0 M (p). Bud m 1, m 2 M (p). Pak existují n 1, n 2 N tak, že p n 1 m 1 = 0, p n 2 m 2 = 0. Vezmeme n = max{n 1, n 2 }. Potom ale p n (m 1 + m 2 ) = p n m 1 + p n m 2 = 0 tedy M (p) je uzavřeno na součet. Dále pak bud m M (p), r R. Pak existuje n N takové, že p n m = 0. Pak p n (rm) = r(p n m) = 0. Odtud vidíme, že M (p) je uzavřeno i na násobení prvkem z R a je tedy podmodulem modulu M. Věta 2.7. Bud M levý R-modul, M i, i I systém jeho podmodulů. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. M = i I M i, 2. pro systém podmodulů M i platí: (a) M je generován i I M i, (b) pro každé j I bud N j N j M j = {0}. podmodul generovaný sjednocením i I,i j M i. Pak 13

13 Důkaz. (1) (2) První část, že M je generovaný sjednocením i I M i plyne z definice součtu. Stačí tedy dokázat, že N j M j = {0}. Bud m N j M j. Protože m N j, musí existovat konečná podmnožina indexů J I {j} tak, že m = i J m i, m i M i pro i J. Vezmeme homomorfismus p : M M j definovaný následovně: pro každé x M, x = x i1 + + x ik, x il M il, je obraz roven tomu sčítanci, který leží v M j, případně 0, není-li tam takový. Tento homomorfismus je definován korektně, protože sčítance jsou z definice direktního součtu určeny jednoznačně. Pak ale p(m) = m, protože m M j, ale p(m) = p( i J m i) = i J p(m i) = 0. Z toho vyplývá, že m = 0. (2) (1) Jelikož je M generováno systémem modulů M i, i I, tak určitě každý prvek M lze zapsat jako konečný součet prvků z M i, i I. Dokážeme, že tento zápis je jednoznačný. Necht m = i I m i = i I m i jsou dvě různá vyjádření prvku m, ve kterých je pouze konečně mnoho sčítanců nenulových. Pak 0 = i I m i i I m i = i I (m i m i). Platí ale, že m i m i M i N i, protože m i m i = j I,j i (m i m i), takže z (2b) plyne, že m i m i = 0, a proto m i = m i. Tedy M = i I M i. Právě dokázané tvrzení bude důležité pro důkaz následující věty. Věta 2.8. Bud R okruh hlavních ideálů, M torzní R-modul. Pak M = (p) P(R) M (p). Důkaz. K důkazu využijeme předchozí větu, takže stačí dokázat, že M je generovaný sjednocením (p) P(R) M (p) a pro každé (p) P(R) je N (p) M (p) = 0, kde N (p) je podmodul generovaný sjednocením (q) P(R),(p) (q) M (q). Bud x M libovolné. Jelikož je M torzní modul, ann(x) je nenulový a ann(x) = (a) pro nějaké a 0. Jak již dříve zaznělo, platí, že R/(a) = (x) jako moduly, takže existuje izomorfismus modulů ψ : R/(a) (x), ψ(r + (a)) = rx. Okruh R je okruh hlavních ideálů a tedy je i okruhem s jednoznačným rozkladem, a prvek a proto můžeme rozložit na konečný součin ireducibilních prvků a jednotky, tedy a = u k i=1 pn i i, kde p i jsou ireducibilní prvky, u jednotka okruhu R. Podle věty 1.15 platí, že R/(a) = k i=1 R/(pn i i ) jako okruhy. Toto ale platí i pokud uvažujeme R/(a) a k i=1 R/(pn i i ) i ), který je dán předpisem jako levé R-moduly a izomorfismus ϕ : R/(a) k i=1 R/(pn i ϕ(r + (a)) = (r + (p n 1 1 ),, r + (p n k k )), je izomorfismus R-modulů R/(a) a k i=1 R/(pn i i ). Označme y i = (0,..., 1 + (p n i i ),... 0) prvky k i=1 R/(pn i i ) s jedničkou na i-té pozici a f = ψϕ 1, f : k i=1 R/(pn i i ) (x). Pak p n i i f(y i ) = f(p n i i y i ) = 0. Dostáváme tedy, že f(y i ) M (pi ). Je také zřejmé, že x = f((1 + (p n 1 1 ),, 1 + (p n k k ))) = k i=1 f(y i), f(y i ) M (pi ), což nám ale dává vyjádření x jako konečný součet prvků z M (pi ). Proto modul M je generovaný sjednocením (p) P(R) M (p). Bud 0 x N (p) M (p) libovolné. Pak existuje n N tak, že p n x = 0 (protože x M (p) ) a také existují x 1,, x k, x i M (pi ), (p i ) (p), x i 0, pro i = 1,, k tak, že x = k i=1 x i (protože x N (p) ). Ke každému x i M (pi ) existují příslušné exponenty n i N tak, že p n i i x i = 0. Označme r = k i=1 pn i i. Pak rx = 0. Protože p n a r jsou nesoudělná, platí, 14

14 že (p n, r) = R, a proto musí existovat a, b R tak, že ar + bp n = 1, tudíž vynásobením rovnosti prvkem x dostáváme arx + bp n x = x. Vzhledem k tomu, že levá strana je rovna nule, dostáváme spor s tím, že x 0. Proto N (p) M (p) = {0}. Věta 2.9. Bud R okruh hlavních ideálů, K podílové těleso okruhu R a {p i } i I podmnožina ireducibilních prvků R taková, že každý ireducibilní prvek R je asociovaný s právě jedním prvkem množiny {p i } i I. Pak pro každé x K existuje konečná podmnožina I množiny I tak, že x lze vyjádřit ve tvaru r i p n i i, v němž r 0 R a pro všechna i I platí: 1. r i R, 2. r i není dělitelné p i v okruhu R, 3. n i N. x = r 0 + i I Navíc množina I a čísla n i jsou jednoznačně určena. Důkaz. Podílové těleso K i okruh R můžeme uvažovat jako R-moduly, přičemž R je podmodulem K. Vezměme faktormodul M = K/R. Tento R-modul je tvořen prvky ve tvaru rs 1 + R, r, s R, s 0. Je zřejmě vidět, že tento modul je torzní (každý prvek rs 1 + R stačí vynásobit s). Lze ho tedy rozložit na součet podmodulů M (p), kde (p) P(R), jak jsme dokázali v předchozí větě. Bud k : K M kanonická projekce na faktormodul. Dokážeme nejdříve, že pro libovolné x K existují r 0, r i R, i I a n i N tak, že r i není dělitelné p i v okruhu R a platí, že x = r 0 + i I r ip n i i. Nejdříve zobrazíme x projekcí k, k(x) = x + R. Protože M je torzní R-modul, existuje podle předchozí věty konečná množina I a nenulové prvky m i + R, m i + R M (pi ), i I tak, že k(x) = i I (m i + R). Pro každý prvek m i + R M (pi ) existuje n N tak, že p n i (m i + R) = R. Vezměme za n i nejmenší n, které toto splňuje. Prvek p n i i m i leží v Ker(k), protože k(p n i i m i ) = p n i i k(m i ) = p n i i (m i + R) = R. Ale jádro tvoří právě prvky modulu R, a proto pro m i existuje r i R tak, že p n i i m i = r i. Prvek m i tedy můžeme vyjádřit jako r i p n i i a jelikož jsme brali n i nejmenší možné, platí, že p i nedělí r i. Stejně tak x i I r i p n i i leží v jádře homomorfismu k, a proto musí existovat r 0 R tak, že x i I r i p n i i = r 0, z čehož už dostáváme kýžené vyjádření prvku x = r 0 + i I r i p n i i. Zbývá tedy dokázat jednoznačnost takového vyjádření. Nejdříve dokážeme, že množina indexů je jednoznačně daná. Bud I, J dvě různé konečné podmnožiny indexů splňující výše uvedené podmínky. Prvek x tak lze vyjádřit dvěma způsoby jako r 0 + i I r i p n i i = s 0 + j J s j p m j j. 15

15 Zobrazíme obě vyjádření projekcí k : K M. Dostáváme rovnost i I r i p n i i + R = j J s j p m j j + R. Bud l I. Pak + R = ( s j q m j j j J M (pl ) r l p n l l i I,i l r i p n i i ) + R N (pl ), kde N (pl ) je modul generovaný sjednocením i I,i l M (p i ) z čehož dle tvrzení 2.7 a 2.8 vyplývá, že r l p n l l + R = 0 + R, tj. r l p n l l R, což je spor s tím, že p l nedělí r l. Podobné to je pro jednoznačnost exponentů. Předpokládejme, že množina indexů je nyní stejná, ale u p l se liší velikost exponentu. Pak úpravami podobně jako v minulém případě dostáváme, že M (pl ) (r l p n l l s l p m l l ) + R = ( r i p n i i s i p m i i ) + R N (pl ). i I,i l i I,i l Z toho dostáváme, že (r l p n l l s l p m l l ) + R = 0 + R. Bud bez újmy na obecnosti n l < m l. Pak vynásobením obou stran p n l dostáváme s l p m l+n l l + R = 0 + R, m l + n l < 0 což je opět spor s tím, že p l nedělí s l. Vyjádření popsané v předchozí větě ale neodpovídá rozkladu, na který jsme zvyklí třeba při rozkladu na parciální zlomky při integraci racionálních funkcí. Proto bude potřeba naše úvahy ještě dále rozvinout. Věta Bud R okruh hlavních ideálů, K jeho podílové těleso a {p i } i I podmnožina ireducibilních prvků R tak, že každý ireducibilní prvek R je asociovaný s právě jedním prvkem množiny {p i } i I. Dále předpokládejme, že pro každé p i, i I, máme pevně dáno zobrazení s i : R/(p i ) R, 0 Im(s i ) tak, že k i s i = id R/(pi ) pro všechna i I, kde k i je kanonická projekce z R na R/(p i ). Necht x K je libovolný. Pak existuje jednoznačně určená konečná podmnožina I množiny I tak, že prvek x může být zapsán, a to jednoznačně, ve tvaru kde 1. r 0, r i,j jsou prvky z R, x = r 0 + i I 2. skoro všechny prvky r i,j jsou nulové, 3. všechny prvky r i,j Im(s i ). j=1 r i,j p j i, Důkaz. Dokázali jsme, že lze x K rozložit na součet x = r 0 + i I r ip n i i a množina indexů I a exponenty n i jsou určeny jednoznačně. Potřebovali bychom tedy dokázat, že lze r i p n i i dále rozložit na t i + j=1 r i,jp j i, t i, r i,j R. 16

16 Bud p ireducibilní prvek. Uvažujme R jako levý R-modul a k kanonickou projekci na faktormodul R/(p). Vezměme s : R/(p) R zobrazení takové, že k s = id R/(p), dané z předpokladů věty. Dokážeme indukcí, že pro každé r R a každé n N lze najít prvky u i R/(p), i = 0,..., n 1 tak, že r n 1 i=0 s(u i)p i (p n ). Pokud n = 1, stačí vzít u 0 = k(r), jelikož k(r s(k(r))p 0 ) = k(r) k(s(k(r))) = k(r) k(r) = 0, protože k s = id R/(p). Budeme nyní předpokládat, že už byla dokázána existence u 0,..., u n 1 splňujících podmínku r n 1 i=0 s(u i)p i (p n ), tzn. r n 1 i=0 s(u i)p i = tp n, kde t R. Položme u n = k(t). Pak t s(u n ) = lp, pro vhodné l R. Když z této rovnice vyjádříme t a dosadíme do pravé strany indukčního předpokladu, dostáváme, že r n 1 i=0 s(u i)p i = (s(u n ) + lp)p n, tedy r n i=0 s(u i)p i = lp n+1, čímž je důkaz indukcí hotov. Nyní dokážeme, že prvky s(u i ) jsou určeny jednoznačně. Mějme dvě různá vyjádření r n i=0 s(u i)p i a r n i=0 s(v i)p i, která leží v (p n+1 ). Protože nejsou stejná, existuje j < n tak, že s(u 0 ) = s(v 0 ),..., s(u j 1 ) = s(v j 1 ), s(u j ) s(v j ). Pak i jejich rozdíl i=j (s(v i) s(u i ))p i = tp n+1 (p n+1 ). V oboru r n i=0 s(u i)p i (r n i=0 s(v i)p i ) = n integrity můžeme nenulovým p krátit, proto n i=j (s(v i) s(u i ))p i j = tp n+1 j pro vhodné t R. Pak ale k(s(u j ) s(v j )) = k( n i=j (s(v i) s(u i ))p i ) = k(tp n+1 j ) = 0. Platí tedy 0 = k(s(u j ) s(v j )) = k(s(u j )) k(s(v j )) = u j v j. Proto u j = v j, tedy i s(u j ) = s(v j ), což je spor s tím, že jsme předpokládali, že s(u j ) s(v j ). Z věty 2.9 víme, že každé x K lze psát ve tvaru x = r + i I r i p n i i, r 0, r i R pro i I. Pro ireducibilní prvek p i, n i N a r i R využijeme výše uvedené úvahy, že existují s(u i,j ), j = 0,..., n i 1 tak, že r i n i 1 j=0 s(u i,j)p j = t i p n i pro vhodné t i R. Dosazením získáváme vztah x = r + i I (t i + n i 1 j=0 s(u i,j)p j n i i ). Označme r 0 = r + i I t i a pro každé i I položme r i,j = s(u i,ni j) pro 1 j n i, r i,j = 0 pro j > n i. Potom x = r 0 + i I j=1 r i,jp j i, což je dokazované vyjádření prvku x. Zbývá tedy dokázat jeho jednoznačnost. Předpokládejme, že nějaké x K lze vyjádřit dvěma způsoby x = r 0 + r i,j p j i = r 0 + r i,jp j i, i I i J j=1 které oba splňují podmínky věty. Obě množiny I, J jsou konečné, proto bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že jsou stejné, protože můžeme vyjádření doplnit nulovými r i,j a nahradit množiny I, J jejich sjednocením I J. Dále víme, že pro každé i I existuje n i N tak, že r i,j = r i,j = 0 pro všechna j > n i. Vynásobením i I p n i i dostaneme r 0 i I p ni i + l I n l j=1 Odtud plyne pro každé l I r l,j p n l j l n l j=1 i I,i l p n i i = r 0 (r l,j r l,j)p n l j l j=1 i I p ni i + l I i I,i l p n i i (p n l ) n l j=1 r l,jp n l j l i I,i l p n i i 17

17 Protože (p n l, i I,i l pn i i ) = R, existují a, b R tak, že ap n l +b a dostáváme n l n l ( r l,j p n l j l ) ( r l,jp n l j l ) (p n l ) j=1 j=1 i I,i l pn i i Všechna r l,j, r l,j Im(s l) a z výše dokázané jednoznačnosti plyne r l,j = r l,j. = 1. Vynásobením Věta Každé x Q lze jednoznačně napsat ve tvaru x = r 0 + p r p,n p n, n=1 kde p jsou prvočísla a 1. r 0, r p,n Z, 2. skoro všechna r p,n jsou nulová, 3. 0 r p,n p 1. Důkaz. Pokud vezmeme za s p : Z/(p) Z takové zobrazení, které třídu t + Z zobrazí na jejího nejmenšího nezáporného reprezentanta, pak k p s p = id Z/(p) a Im(s p ) = {0,..., p 1}. Tvzení pak přímo vyplývá z předchozí věty. 18

18 Kapitola 3 Konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů V teorii modulů se často setkáváme se závislostí struktury R-modulu na vlastnostech okruhu R. Např. je-li R těleso, je hned z definice vidět, že pojem R-modulu splývá s pojmem vektorový prostor nad tělesem R. Takovéto obecné vlastnosti lze odvodit i pro konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů, přesněji dokážeme, že jsou izomorfní součtu cyklických modulů. V závěru kapitoly potom ukážeme pěknou aplikaci tohoto tvzení na konečně generované Z-moduly, což jsou právě konečné komutativné grupy. Abychom mohli dokázat nejdůležitější tvrzení této kapitoly, budeme nejdříve potřebovat definovat několik pojmů a jejich vlastností. Prvním takovým pojmem je noetherovský modul. Definice 3.1. Bud R okruh a M levý R-modul. R-modul M nazýváme noetherovský, pokud jeho podmoduly splňují podmínku rostoucích řetězců, tj. pokud pro každý rostoucí řetězec podmodulů modulu M M 1 M 2 M 3 M 4... existuje m N tak, že pro všechna n m platí, M n = M m. Okruh R nazveme noetherovský, pokud je noetherovský jako levý R-modul, tj. neexistuje nekonečný rostoucí řetězec jeho levých ideálů. Věta 3.2. Bud R okruh, M levý R-modul. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. M je noetherovský modul, 2. každá neprázdná množina podmodulů modulu M obsahuje maximální prvek vzhledem k inkluzi, 19

19 3. každý podmodul modulu M je konečně generovaný. Důkaz Bud M noetherovský modul, S neprázdná množina jeho podmodulů a předpokládejme, že tato množina nemá maximální prvek. Necht M 1 S. Potom ale musí existovat M 2 S tak, že M 1 M 2 (jinak by M 1 byl maximální prvek). Ale M 2 také není z předpokladu maximální prvek, tudíž musí existovat M 3 S tak, že M 1 M 2 M 3. Takto bychom ale mohli zkonstruovat nekonečnou rostoucí posloupnost podmodulů M, což je spor s tím, že M je noetherovský. Tedy S musí obsahovat maximální prvek Nyní necht každá neprázdná množina podmodulů modulu M obsahuje maximální prvek. Bud N libovolný podmodul modulu M a S množina všech konečně generovaných podmodulů modulu N. Jistě S není prázdná, protože v ní vždy leží prvek {0}. Necht N S je maximální prvek této množiny (který z předpokladu existuje). Dokážeme, že pak N = N. Necht tedy N N. Pak existuje x N tak, že x / N. Označme Ñ = {x} N N. Ale Ñ je konečně generovaný podmodul modulu N, tudíž Ñ S. To je ale spor s maximalitou N. Proto N = N a N je konečně generovaný. Jelikož jsme N volili libovolně, tak každý podmodul modulu M je konečně generovaný Necht každý podmodul modulu M je konečně generovaný. Uvažujme nekonečný neklesající řetězec podmodulů M M 1 M 2 M 3... Bud N = i=1 M i. Toto je ale podmodul modulu M, a proto je konečně generovaný a existuje množina jeho generátorů {a 1,..., a n }. Bud k i nejmenší index tak, že a i M ki a k = max(k i i = 1,... n). Pak a 1,..., a n M k, proto N M k M l N pro libovolné l k. Tedy M je noetherovský modul. Poznámka 3.3. Tento výsledek koresponduje s faktem, že okruh hlavních ideálů je noetherovský. V minulé kapitole jsme používali pojmy torzního podmodulu a anihilátoru. Nyní ještě zavedeme pojem pro anihilátor modulu. Definice 3.4. Anihilátorem R-modulu M rozumíme množinu všech r R splňujících pro všechna m M podmínku rm = 0. Značíme jej ann(m). Tedy. ann(m) = {r R rm = 0 pro všechna m M} Poznámka 3.5. Anihilátor modulu M tvoří ideál okruhu R, protože 0 ann(m), pro libovolné r, s ann(m) a libovolný prvek m M platí (r + s)m = rm + sm = 0 a 0 = (r r)m = rm + ( r)m = ( r)m, proto (r + s), ( r) ann(m) a nakonec 20

20 pro r R, s ann(m) platí (rs)m = r(sm) = r0 = 0 a (sr)m = s(rm), rm M, proto s(rm) = 0. Pokud je N podmodul modulu M, platí, že ann(n) ann(m). Zvláště pak pro případ, kdy je R okruh hlavních idálů, platí, že ann(n) = (a) ann(m) = (b), a proto a b. Věta 3.6. Bud R okruh hlavních ideálů, M volný R-modul konečného ranku m a N podmodul modulu M. Pak 1. N je volný R-modul ranku n, n m. 2. Existuje báze y 1,..., y m modulu M a nenulová a 1,..., a n R tak, že (a) a 1 y 1,..., a n y n tvoří bázi modulu N a (b) a 1 a 2... a n. Důkaz. Nejdříve dokážeme, že pokud je M volný modul ranku m nad okruhem hlavních ideálů, pak libovolný jeho podmodul N je volný ranku n m. Budeme to dokazovat indukcí vůči ranku modulu M. Bud m = 0. Pak tvrzení triviálně platí. Nyní předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny volné moduly ranku nepřevyšujícího m. Bud M volný modul ranku m + 1. Bud x 1,..., x m+1 báze M a f : M R homomorfismus daný předpisem f(x 1 ) = 1, f(x i ) = 0 pro i 2. Jádro tohoto homomorfismu m+1 Ker(f) = { r i x i r i R, r 1 = 0} = Rx 2 Rx m+1 i=1 je volný modul ranku m. Bud nyní g : N R, g = f N homomorfismus vzniklý zúžením f na N. Víme, že Ker(g) = N Ker(f), tedy je podmodulem modulu Ker(N). Na ten se ale vztahuje indukční předpoklad a tak Ker(g) je volný modul ranku k m a existuje nějaká jeho báze B = {u 1,..., u k }. Nyní mohou nastat dvě situace. Bud N = Ker(g), pak jsme hotovi, N je volný modul ranku k m m + 1 s bází B = {u 1,..., u k }. Nebo N Ker(g) a pak {0} Im(g) R. Pak Im(g) = (a), a R, a 0, což je volný modul ranku 1, protože má bázi {a}. Jistě existuje u N tak, že g(u) = a. Dokážeme, že {u} B je báze podmodulu N, tzn. generuje modul N a je lineárně nezávislá. Ukažme, že prvky u, u 1,..., u k jsou lineárně nezávislé. Necht existují r, r 1,..., r n R tak, že ru + k i=1 r iu i = 0. Pak ale 0 = g(0) = g(ru) + g( k i=1 r iu i ) = g(ru) = ra. To je nula jen tehdy, když r = 0 (protože R je obor integrity). Zbývající prvky u 1,..., u k tvoří bázi, takže pokud r = 0, musí být i všechny r i = 0, 1 i k. Prvky u, u 1,..., u k jsou tedy lineárně nezávislé. Necht x N je libovolný. Ukážeme, že existují prvky r, r 1,..., r k R takové, že x = ru + k i=1 r iu i Vezměme homomorfismus R-modulů h : (a) N, určený předpisem h(a) = u. Pak g h = id (a). Protože g(x h(g(x))) = g(x) g(h(g(x))) = g(x) g(x) = 0, je prvek x h(g(x)) Ker(g). Ale Ker(g) je generován prvky u 1,... u k, proto existují r 1,..., r k R tak, že k i=1 r iu i = x h(g(x)). Dále h(g(x)) Im(h). Protože Im(g) = (a) 21