Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Matematika na pražské univerzitě In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918. (Czech). Praha: Matfyzpress, 2010. pp. 25 32. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400978 Terms of use: Mikulčák, Jiří Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://dml.cz
25 3. MATEMATIKA NA PRAŽSKÉ UNIVERZITĚ 3.1 Univerzitní studium To, co se nepodařilo uskutečnit Václavovi II., úspěšně provedl český král a římský císař Karel IV. Roku 1348 založil v Praze univerzitu, první vysokou školu ve střední Evropě na východ od Rýna a na sever od Alp. Podle znění zakládající listiny ji založil v Praze proto, aby obyvatelé království českého, jemu nejmilejšího, se nemuseli v cizině doprošovati vzdělání, ale aby doma nalezli stůl vzdělání prostřený. Podle tehdejších zvyků pozval ovšem na novou univerzitu i Mistry a žáky z ciziny. Po jednom až dvou letech studia na artistické (filozofické) fakultě a po přísných zkouškách získával student titul bakalář; studenti dosažením této úrovně studium většinou končili a odcházeli vyučovat na městské školy nebo působili jako písaři v městských správách a jiných úřadech. Některým bakalářům povolil rektor přednášet i na univerzitě, ti se nazývali licenciáty, nemohli však hlasovat na poradách Mistrů. Po dalších dvou letech a dalších zkouškách se absolvent artistické fakulty stával Mistrem (magistrem). Mohl přednášet na univerzitě, ale právoplatným členem fakulty se stával teprve po dvou až pěti letech. Bakaláři mohli dále pokračovat ve studiu na vyšších fakultách a po zkouškách získávali titul doktor (na fakultě právnické a lékařské) nebo Mistr, magistr (na fakultě teologické). Jistě si uvedené tituly spojíte s nezbedným bakalářem Janem Píčkou (historická osobnost) Zikmunda Wintra, s Mistrem Janem Husem či s doktorem Tadeášem Hájkem z Hájku. 3.2 Studium matematiky Úroveň vyučování matematice na pražské univerzitě byla podle svědectví mistrů, kteří přišli z ciziny a měli možnost srovnávat, vyšší než na univerzitě pařížské. [H. Hankel, 1874] K dosažení titulu bakalář musel student v Praze poslouchat přednášky ze dvou knih Jana de Sacrobosco (Angličan z Halifaxu, studoval v Oxfordu, působil v Paříži): Algoritmus neboli aritmetika byla pro snazší zapamatování pravidel psána ve verších (samozřejmě latinsky) a obsahovala numeraci (indickou), sčítání, odčítání, půlení, zdvojování, násobení, dělení, součet členů aritmetické posloupnosti, vypočet druhé a třetí odmocniny a pak výklad o provádění početních výkonů na linách pomocí kaménků. Přednáška trvala 3 týdny a platilo se za ni 1/2 pražského groše. Tractatus de sphaera seu sphaera materialis pojednával o kouli (střed, osa, póly, tvar Země a vesmíru), o částech koule, o východu a západu hvězd, o rozdílnosti dnů a nocí, ale i o kružnicích a drahách oběžnic. Vysvětloval i zatmění Slunce a Měsíce (3 týdny za 1 groš). Požadavky na titul mistr byly ovšem vyšší. Uchazeč musel poslouchat šest knih Eukleidových Základů obsahujících planimetrii (asi v rozsahu dnešní
26 základní školy 1/2 roku za 8 grošů), dílo neznámého autora Sphaera theorica o vlastnostech nebeských těles a jejich pohybech, dílo Angličana Jana de Peckano Perspectiva communis o působení slunečních paprsků, o záření svítících a osvětlených těles, o zrcadlech rovných i dutých a o užití dutých zrcadel k zapalování hořlavých látek, o původu duhy, o lomu světla. Řada poznatků z matematiky byla obsažena ve studiu astronomie: v Ptolemaiově Almagestu byla z matematiky obsažena sférická trigonometrie včetně tabulek velikosti tětiv středových úhlů od 0 do 180 po 30 minutách (trigonometrie celotětivná 1rokza24grošů,tj. 1zlatý);Computus cyrometricalis učil, jak se pomocí ruky a prstů určují kalendářní údaje a pohyblivé církevní svátky. Podle knih různých autorů se přednášela Theoria planetarum (6 týdnů za 2 groše). [J. Šedivý a kol., 1988] Dokladem o vysoké úrovni absolventů pražské univerzity na konci 14. století je dílo Mistra Jana Šindela (1375 1450), astronoma, o kterém sám papež napsal, že je považován za hlavní ozdobu věku našeho. [F. Palacký, 1829] Astronomické tabulky Jana Šindela o 150 let později vysoko ocenil Tycho Brahe, dodnes obdivujeme staroměstský orloj, který ukazuje řadu astronomických jevů a který navrhl Jan Šindel roku 1405. (Orloj zhotovil pražský hodinář Mikuláš z Kadaně, dokončil jej roku 1410 a za dílo dostal dům na Starém Městě.) Pro srovnání s uvedenou úrovní matematiky na pražské univerzitě uveďme, že na pařížské univerzitě se ještě v roce 1452 vyhlašovalo, že nebude připuštěn k licenciátu nikdo, kdo neslyšel několik matematických knih; i v roce 1536 je v předmluvě k překladu Eukleidových Základů do francouzštiny uvedeno, že se nemůže stát magistrem, kdo neposlouchal Eukleida. Na jiných univerzitách (Lipsko 1409, Köln 1389) byla situace podobná a dlouho se neměnila. Např. v Lipsku se v roce 1437/38 přednášky z Eukleida vůbec nekonaly, i když mezi požadavky ke zkouškám byla znalost Eukleida zařazena; ještě v prvních desetiletích 16. století se v Lipsku konaly pouze ty přednášky jako v Praze na konci 14. století. [H. Hankel, 1874] Prvním nám dnes známým spisem matematického charakteru, podepsaným českým autorem, je rukopis Jana z Březnice Computus clericorum z roku 1393. Řeší se v něm problémy církevního kalendáře pomocí astronomických znalostí a počtářských praktik. [I. Füzéková-Vrchotková, 1981] Pro potřebu studentů na Karlově univerzitě vznikla i učebnice, kterou kolem roku 1400 napsal M. Křišťan z Prachatic a nazval Algorismus prosaycus, tedy v próze, v protikladu k Sacroboscově knize ve verších. Věta veden láskou k maličkým, snažil jsem se stručně sepsati základy umění početního naznačuje, že práce byla možná určena už žákům partikulárních škol, a teprve v případě nedostatečné přípravy i studentům artistické fakulty univerzity [J. Šedivý a kol., 1987]. Práce obsahuje tzv. sedm způsobů aritmetiky: numeraci římskými i arabskými číslicemi, sčítání, odčítání, zdvojnásobování, půlení, násobení, dělení a výpočet druhé a třetí odmocniny. Křišťan z Prachatic vysvětluje dále zlomky, výpočet součtu konečné aritmetické a geometrické posloupnosti. K usnadnění výpočtů jsou v práci i čtvercová tabulka malé a trojúhelníková tabulka velké násobilky až do 20 20 a tabulka druhých a třetích mocnin přirozených čísel menších než 10.
27 3.3 Výpočty s přirozenými čísly Po celý středověk se v Evropě k zápisům čísel užívaly římské číslice (v Čechách jim říkali české). Tyto číslice nebyly vhodné pro provádění písemných výpočtů; výpočty se proto prováděly na tzv. linách pomocí kaménků a teprve jejich výsledek se zaznamenal římskými číslicemi. K počítání na linách se na podložku načrtly 4 rovnoběžné, vodorovné, stejně vzdálené úsečky. Nejnižší úsečka sloužila k záznamu 1 až 4 jednotek položením 1 až 4 početních značek, kaménků apod. 5 jednotek se znázornilo jedním kaménkem položeným mezi první a druhou linku. Na druhé lince se obdobně zaznamenaly 1 až 4 desítky, na třetí lince 1 až 4 stovky, na čtvrté (označené obvykle ležatým křížkem) 1 až 4 tisíce a popř. vyšší jednotky na dalších linkách. Na obr. 3 je na linách znázorněno číslo MMDCCCXLVI, tj. 2 846. (Označení hodnot na linách a mezi nimi se nepsalo, připsali jsme je jen pro větší názornost.) Obr. 3 Sčítání se provádělo tak, že se ke značkám, které znázorňovaly prvního sčítance, přidaly značky znázorňující druhého, popř. dalšího sčítance; když pak na některé lince byly více než čtyři značky, položila se místo každých pěti jednotek jedna značka mezi jednotky a desítky, místo dvou značek na místě pětek se položila jedna značka na linu desítek atd. ve vyšších řádech. Odčítalo se ubíráním značek. Snadné bylo tzv. zdvojování, tj. násobení dvěma; na každé linii i mezi nimi se počet značek položil ještě jednou a výsledek se upravil tak jako u sčítání. Když pak bylo zapotřebí násobit číslo n např. devatenácti, vypočetla se postupným zdvojnásobováním čísla 2n, 4n, 8n a 16n a vypočetlo se číslo 16n + 2n + n. (Takový postup výpočtu nás jako tzv. vlašskou praktiku učili ještě ve 30. letech našeho století v primě na gymnáziu.) 2 Počítání na linách bylo výhodné i při výpočtech s jednotkami mincí, které měly nejrůznější měnitele. Stačilo si pak pamatovat, jakou jednotku značí jednotlivé liny a kolik jednotek nižšího řádu tvoří jednotku vyšší. Proto se počítání na linách udrželo i tehdy, když se od 15. století začalo běžně používat 2 Tento postup má svůj původ v egyptské aritmetice. Viz J. Bečvář, M. Bečvářová, H. Vymazalová: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie. Edice Dějiny matematiky, sv. 23, Prometheus, Praha, 2003, 371 stran.
28 k zápisu čísel a výpočtů číslic indicko-arabských; u nás se jim říkalo číslice latinské, protože se přebíraly od italských kupců; výpočtům se pak říkalo počítání na cifrách. Písemné výpočty s indicko-arabskými číslicemi po jejich zavedení v Evropě do jisté míry kopírovaly počítání na linách; jejich hlavním rysem bylo počítání od nejvyšších řádů. Pak ovšem bylo nutné již zapsané číslice často měnit. Indové při počítání v prachu lehce číslice smazali a nahradili jinými; při počítání na papíře nebo na tabulce bylo nutné nepotřebné číslice škrtnout a nadepsat číslice jiné. Sčítání 2 837 + 3 524 + 1 722 = 8 083 mělo pak tento tvar: 88 6/07/3 2837 3524 1722 Odčítání 8 946 6 983 = 1 963 vypadalo takto: 19 2/0/63 8946 6983 Násobení 324 53 = 17 172 bylo zapsáno takto: 7 716/ 6/2/0/2 15/0/53 3244 32 Nejprve se násobí pěti číslo 324 počínaje sty a částečný součin se píše nad 324. Pak se 324 opíše o jeden řád vpravo a násobí se číslem 3; součin se opět píše nad posunuté číslo 324 a připočítává se k předchozímu částečnému součinu. U Křišťana z Prachatic nalezneme i poznámku o šachovnicovém způsobu násobení, kterého užívali již Indové; např. předchozí součin by měl tento tvar: Obr. 4
29 Nejprve se v šikmých pásech sčítají jednotky, desítky, sta,..., a pak se ve směru šipky čte výsledek. Dělení 17 172 : 53 = 324 vypadalo takto: 1/2/ 2/2/1/ 1/7/1/7/2/ / 324 5/3/3/3/ 5/3/ Podrobnější výklad i další způsoby viz [F. Balada, 1959], [J. Bečvář a kol., 2001]. Obr. 5 Druhy aritmetiky: Pythagoras počítá na linách, Boëtius indicko-arabskými číslicemi (na cifrách)
30 3.4 Životopisy KŘIŠŤAN z Prachatic asi 1367, Prachatice, 4. 9. 1439, Praha 1368 Bakalářem. 1389 Mistrem, studium lékařství. 1392 Profesorem svobodných umění na pražské univerzitě, přednášel matematiku a astronomii 1405, 1412, 1423, 1427, 1432/33, 1434, 1437 rektorem univerzity Český husitský bohoslovec, matematik, hvězdář, botanik a lékař, zprvu horlivý stoupenec učení Husova, později konzervativní odpůrce důsledných představitelů husitského revolučního hnutí. Napsal latinský Herbář a české lékařské knihy, latinský Algoritmus prosaycus (kolem roku 1600) učebnici matematiky Biografie: OSN, [Křišťan, 1999]. Jan Ondřejův, ŠINDEL kolem r. 1370, Hradec Králové, asi r. 1443 1395 Mistr svobodných umění na pražské univerzitě, licenciát na filozofické fakultě 1406 rektor školy u sv. Mikuláše v Praze učitel matematiky a astronomie na gymnáziu ve Vídni 1405 navrhl staroměstský orloj 1410 rektor univerzity v Praze Vynikající astronom; jeho Tabulae astronomicae, které se však nedochovaly, chválil i Tycho Brahe; papež ho označoval za ozdobu století. Karlově koleji věnoval 200 rukopisných knih. V pamětích kapituly Vyšehradské se uvádí ještě roku 1448. Biografie: [I. Depman, 1973], [J. Smolík, 1862], RSN, OSN, MSN. 3.5 Literatura BALADA F.: Z dějin elementární matematiky. SPN, Praha, 1959, 239 stran. BEČVÁŘ J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě. Edice Dějiny matematiky, sv. 19, Prometheus, Praha, 2001, 445 stran. DĚJINY UNIVERZITY KARLOVY I. IV. Univerzita Karlova, Karolinum, Praha, 1995 až 1998, 322+285+390+671 stran. DEPMAN I.: Besedy o matematice, SPN, Praha, 1957, 124 stran. DEPMAN I.: Svět čísel (vyprávění o matematice). SPN, Praha, 1973, 84 stran [přeložil J. Folta], slovensky: Bratislava, 1973. FÜZÉKOVÁ-VRCHOTKOVÁ I.: České praktické početnice z 16. a počátku 17. století. MFF UK, Praha, 1981, 84 stran [strojopis diplomové práce].
HADRAVOVÁ A.: Jan Šindel a jeho traktát Pravidla pro výpočet zatmění Slunce a Měsíce. In Astronomie ve středověké vzdělanosti, VCDV, Praha, 2003, 53 69. HANKEL H.: Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. B. G. Teubner, Leipzig, 1874, 410 stran. HLAVÁČEK J.: Jeden dokument k vztahu univerzity a pražských měst v druhé polovině 14. století. In Acta Universitatis Car. Historia UC II/1, 1961, 89 96. HORSKÝ Z.: Pražský orloj. Panorama, Praha, 1988, 160 stran. KAVKA F. a kol.: Stručné dějiny University Karlovy. Universita Karlova, Praha, 1964, 347 stran. KŘIŠŤAN Z PRACHATIC: Cristanni de Prachaticz Algorismus prosaycus. Základy aritmetiky. OIKOYMENH, Praha, 1999, lxxiii+187 stran [edice a překlad Z. Silagiová]. MONUMENTA historica universitate Pragensi. Tomus 1. 3. Pragae, J. N. Gerzabek, Pragae, 1830 1832, J. Spurny, 1834 [NK 4 C 63, Ed D 14]. NOVÁK J.: Křišťan z Prachatic a matematika v jeho době. Rozhledy MF 38(1959/60), 186 188, 235 237, 272 275. PALACKÝ F.: O pranostikách a kalendářích českých zvlásstě v XVI. stoletj. Časopis českého musea 1829, 33 64. PETRÁŇ J.: Nástin dějin Filozofické fakulty Univerzity Karlovy. Univerzita Karlova, Praha, 1983, 406 stran. SMOLÍK J.: Mathematikové v Čechách od založení university Pražské až do počátku tohoto století. Živa 12(1864), 13 27, 140 171, 193 225, 308 341. Též J. Renn, Praha, 1864. ŠEDIVÝ J. a kol.: Antologie matematických didaktických textů. Období 1360 1860. SPN, Praha, 1987, 264 stran [skriptum MFF UK]. ŠTEMBERKOVÁ M.: Universitas Carolina Pragensis. Univerzita Karlova, Praha, 1998, 141 stran. TOMEK W. W.: Geschichte der Prager Universität. Hofbuchdruckerei von Gottlieb Haase Söhne, Prag, 1849, 377 stran [NK 4 C 1103, 4 D 454, 4 D 455, 4 C 58, 4 D 133]. TOMEK W. W.: Děje University pražské. Nowočeská bibliothéka wydáwaná nákladem Českého Museum, č. XII, W kommissí u Řiwnáče, Praha, 1849, 320 stran. VETTER Q.: Finden sich in Böhmen noch Spuren der alten mediatio und duplatio. Cahiers Scientifiques No 1, Cluj 1. Mars 1930. Cluj Institutul de Arte Grafice Ardealul 1930. VETTER Q.: Šest století matematického a astronomického učení na Karlově universitě. Věstník KČSN 1952, Praha 1954, XIV. VETTER Q.: Stručný přehled vývoje matematiky v českých zemích od založení university do katastrofy bělohorské. MvŠ 7(1957), 343 357. 31
32 VOJTÍŠEK V.: Universita Karlova v Praze 1348 1948. Čtyři dokumenty z doby počátků. Melantrich, Praha, 1948, 20 stran, obrazové přílohy [NK 54 A 2075]. WINTER Z.: Děje vysokých škol pražských od secesí cizích národů po dobu bitvy bělohorské (1409 1622). ČAVU, Praha, 1897, vii+231 stran. WINTER Z.: O životě na vysokých školách pražských knihy dvoje. Kulturní obraz XV. a XVI. století. Novočeská bibliothéka, č. XXXII., Nákladem Matice české a jubilejního fondu Král. české společnosti náuk Praha, 1899, xiii+615 stran. WYDRA S.: Historia matheseos in Bohemia et Moravia cultae. Reg. Schola norm. Pragae, 1778, 100 stran [NK 45 B 22, 65 D 2530].