1.6.8 Pohyby centrálním graitačním poli emě Předpoklady: 160 Pedagogická poznámka: Pokud necháte experimentoat s modelem studenty, i případě, že už program odellus znají, stráíte touto hodinou dě yučoací hodiny (samotný učitel dokáže oditeroat úkoly daleko rychleji). Přesto bych se za yužití samostatné práce studentů elmi přimloual, postupné iteroání je elmi blízké způsobu, kterým studenti uažují a přesto yžaduje (pokud má být efektiní) dobrou orientaci a logické uažoání. Důležité je i to, že se žákům líbí a předstauje zajímaou změnu. Jinak platí to co pro každou samostatnou práci na počítačích: má smysl se o ni pokoušet pouze případě, že jsou studenti schopni pracoat samostatně i normálně, na šech počítačích by mělo být to samé a je třeba kontroloat, co studenti dělají (například doplňoáním do souboru se zadáním). Pedagogická poznámka: odellus je možné stáhnout na stránkách www.realisticky.cz. Jde o půodem portugalský program, přeložený do češtiny se sadou fyzikálních modelů. Bohužel je e erzi,5, která je půodem ještě 16 bitoá a na Windows 7 se mohou yskytoat problémy. V takoém případě překopírujte celý adresář s modelem na lokální disk (model nelze oteírat ze sítě), úplném názu (četně cesty) by neměly být mezery, háčky a jiné problematické znaky. Existuje i noější erze programu odellus X stažitelná z oficiálních stránek, model ní bohužel nefunguje. atím jsem neměl čas se tím íce zabýat. Chceme prozkoumat pohyby družic a kosmických lodí okolí emě. Př. 1: ozmysli, zda pro popis pohybu družice okolo emě můžeme použít ronice odozené pro rhy. onice odozené pro rhy jsme ododili za základního předpokladu konstantní graitační síly (homogenního graitačního pole) tento předpoklad při pohybu družice okolo emě neplatí, mění se směr graitační síly a často i její elikost (pokud se mění zdálenost od středu emě) ronice pro rhy použít nemůžeme. Protože graitační síla mění během pohybu družice okolo emě minimálně sůj směr, nemůžeme na středoškolské úroni obecně popsat pohyb družice okolo emě pomocí pohyboých ronic použijeme modeloání pomocí počítače. Př. : V počítačoém modelu postupně měň elikost počáteční rychlosti sondy od 0 do 10000 m/s a sleduj, jak se mění oběžná dráha. Urči co nejpřesněji rychlost, při které sonda obíhá kolem emě po kruhoé dráze (kruhoou rychlost). Při jaké nejmenší rychlosti sonda obletí emi? Hodnoty pro každý uskutečněný pokus zapisuj do tabulky (postupně přidáej řádky). [m s doba oběhu [h nejmenší zdálenost 0 středu od emě [km nejětší zdálenost od středu emě [km [m s min 1
[m s nejmenší zdálenost nejětší zdálenost od 0 min středu od emě [km středu emě [km 0 pád na zem 1,3 0 0000 1000 pád na zem 1,3 0 0000 3000 pád na zem 1,9 0 0000 5000 1 0000 33600 3000 4000 6 13300 0000 4000 4400 7,4 18860 0000 4700 4450 7,5 1970 0000 4500 4460 7,6 19900 0000 4500 4465 7,7 19985 0000 4500 4466 7,8 0000 0003 4500 3600 5 9600 0000 3600 3300 4,6 8100 0000 3400 3150 4,4 6600 0000 3150 Odhad nejmenší rychlosti potřebné k oběhu emě je možné ještě zpřesňoat. Pedagogická poznámka: ozhodně nečekám, až šichni najdou nejmenší rychlost nutnou k oběhu emě. ozhodující je, aby se šichni dostali k přibližné hodnotě kruhoé rychlosti. Př. 3: Nakresli obrázek se emí a družicí obíhají okolo ní po kruhoé dráze. Nakresli do obrázku síly, které působí na družici. Odoď ztah pro ýpočet kruhoé rychlosti záislosti na zdálenosti družice od středu emě. Pokud se družice pohybuje po kruhu, pohybuje se ronoměrným otáčiým pohybem. Na družici působí jediná síla - graitační síla, směřuje přesně do středu tohoto kruhu (středu emě) a hraje tak roli dostředié síly: Fg = Fd. ms κ = m s κ = κ =
= κ, kde je je zdálenost sondy od středu emě a je její hmotnost. Pro každou zdálenost od středu emě existuje jedna hodnota yhoující kruhoé rychlosti, hodnoty kruhoé rychlosti se zmenšují se zdáleností od středu emě. Velmi často se zdálenost sondy od středu emě zapisuje pomocí poloměru emě a ýšky sondy nad jejím porchem h takto: = + h. Pro kruhoou rychlost tak získáme zorec: k = κ + h. Př. 4: Urči kruhoou rychlost pro následující oběžnice emě: a) sondu z našeho modelu (obíhá e zdálenosti 0 000 km od středu emě), b) kosmickou stanici ISS (obíhá e zdálenosti 350 km nad porchem emě), c) ěsíc (obíhá e zdálenosti 384000 km od emě). 4 Výsledky bodech a) a b) oěř pomocí modelu. Hmotnost emě je 5,98 10 kg. Pro ěsíc urči dobu oběhu a poronej ýsledek se skutečností. a) kruhoá rychlost sond z našeho modelu (obíhá e zdálenosti 00000 km od středu emě) 4 11 5,98 10 = κ = 6,67 10 = 4466 m/s 0000000 b) kosmickou stanici ISS, která obíhá e zdálenosti 350 km nad porchem emě 4 11 5,98 10 = κ = 6, 67 10 m/s = 7700 m/s + h 6378000 + 350000 c) ěsíc, který obíhá e zdálenosti 384000 km od emě 4 11 5,98 10 = κ = 6, 67 10 m/s = 100 m/s 384000000 ěsíc se pohybuje okolo emě ronoměrně 3 3 s π π π π t = = = = = = π κ κ κ κ 385000 000 t = = = = 3 3 9 π π s, 38 10 s 7, 5dne 11 4 κ 6,67 10 5,98 10 Výsledky ýpočtu odpoídají ýsledkům získaným modeloáním. Vypočtená oběžná doba měsíce 7,5 dne je dobrém souladu s udáanou oběžnou dobou 7 dní 7 hodin. Pedagogická poznámka: Poloměr emě není ueden záměrně. Žáci sedí u počítačů připojených na internet a mají možnost si jakýkoli údaj na internetu najít (občas je pro obě strany elmi poučné sledoat, jaké problémy s takoou prkotinou někteří příslušníci síťoé generace mají). Pedagogická poznámka: Na oěřoání bodu b) je zajímaé, že si žáci šimnou, že ýška e které obíhá stanice ISS je zhledem k poloměru emě elmi malá. 3
Nejznámější kruhoou rychlost pro družice emě získáme, když dosadíme nuloou ýšku nad porchem emě: = 6378 km (poloměr emě). 4 11 5,98 10 k = κ = 6,67 10 = 7908m/s 6378000 Tato hodnota kruhoé rychlosti se nazýá prní kosmická rychlost. π π 6378000 Doba oběhu: T = = s = 5068s = 84, 4min. 7908 k Př. 5: Najdi na internetu ýznam slo perigeum a apogeum. Nakresli do obrázku emě a sondy s eliptickou oběžnou drahou oba body. Perigeum místo na oběžné dráze, e kterém je oběžnice nejblíže k emi. Apogeum místo na oběžné dráze, e kterém je oběžnice nejdále od emě. perigeum apogeum Pedagogická poznámka: Studenti sice ještě nemají probrány Kepleroy zákony, ale situaci iděli během předchozí práce několikrát. Často sice nakreslí elipsu, ale emi kreslí do středu nebo oba body ani nemají elipse naproti. V záislosti na tom, jaký odkaz yhodí yhledáač jako prní se občas snaží kreslit obrázky s několika oběžnými drahami. Jiní pouze opíší definice. Př. 6: měň nastaení modelu tak, aby sonda startoala z porchu emě. ětšuj počítačoém modelu postupně rychlost sondy startující z porchu emě a sleduj, jak se mění její oběžná dráha okolo emě. Při jaké rychlosti se sonda k emi již nerátí? Na základě jakého zákona bychom mohli tuto rychlost určit? Hodnoty, které popisují každý z Tých pokusů yplň do následující tabulky. [km s doba oběhu [h perigeum [km apogeum [km [km s 0 min [km s 0 min 8 1,4 6378 6680 7,6 9,4 6378 11700 4,9 10 5,8 6378 5400,5 11 84,6 6378 189300 0,4 Sonda se pohybuje po čím dál protáhlejších elipsách. Při rychlostech ětších než 11 km/s je pohyb sondy elmi dlouhý a zdá se, že se k emi již nerátí. 4
Pedagogická poznámka: V předchozím příkladu je třeba lepší odhad, protože příliš elká rychlost znamená nekonečně dlouhou dobu pokusu. Je také zajímaé sledoat, kolik žáků začne rychlostí ětší než 7,9 km s. ychlost potřebnou k opuštění graitačního pole emě bychom mohli určit na základě zákona zachoání energie: kinetická energie sondy při startu se musí ronat potenciální energii sondy nekonečné zdálenosti od emě. Bohužel nejsme matematicky schopni tento problém yřešit, protože graitační síla, kterou musíme při zdaloání překonáat, se se zdáleností od středu emě postupně zmenšuje. Nejmenší rychlost, při které sonda opustí graitační pole emě, se nazýá parabolická rychlost (sonda se tomto případě pohybuje po parabole) a z kruhoé rychlosti ji můžeme ypočítat ze ztahu: Pro porch emě: p = k = κ = κ. 4 11 5,98 10 p = κ = 6,67 10 m s = 11190m s 11, km s. 6378000 Této hodnotě říkáme druhá kosmická rychlost. Vrátíme se k sondám, které emi obíhají, a kruhoé rychlosti. Se zdáleností kruhoá rychlost klesá mohla by existoat zdálenost, e které družice oběhne emi jednou za 4 hodin takoá družice bude stát nad jedním konkrétním místem na zemském porchu a proto se jí říká geostacionární. Př. 7: Najdi pomocí modelu zdálenost, e které musí kolem emě obíhat geostacionární družice (družice, které oběhnou emi jednou za 4 hodin, otáčejí se tak se emí a při sém pohybu stojí nad jedním místem jejího porchu. Otáčení emě je znázorněno šipkou. Hodnoty, které popisují každý z Tých pokusů yplň do následující tabulky. [km s [km 0 0 doba oběhu [h perigeum [km apogeum [km [km s min [km s 0 [km 0 doba oběhu [h perigeum [km apogeum [km 4,5 1000 9, 1000 3900 3 3 30000 9,4 15400 30000 3 3 35000 13,6 800 30000 3 3 4000 37800 4000 3 3 43000 3,6 40500 43000 3 Geostacionární družice obíhají emi přibližně e zdálenosti 43000 km od středu emě. [km s min Pedagogická poznámka: Opět je zajímaé, kdo začne alespoň ýsledky z prního pokusu. Pokud je málo času, řekněte studentům, aby tabulce yplňoali pouze prní da sloupce, tím se iteroání značně urychlí, protože geostacionárnost družice je znát už z malé části oběhu. 5
Př. 8: Odoď zorec pro zdálenost, e které obíhají geostacionární družice. I geostacionární družice se pohybuje po kružnici graitační síla směřuje do středu a hraje tak roli dostředié síly. F = F g d ms κ = m s κ = κ = ychlost družice nemůže být liboolná, aby se sonda udržela nad stejným místem porchu emě, musí ji oběhnout jednou za den T = 1den = 86400s. s π π T = = = T Dosadíme: κ κ = T 3 T = κ = 3 T κ π = = T. 4 11 Dosazení: 3 T 5,98 10 86400 3 = κ = 6, 67 10 m = 450000 m = 450 km. Vzdálenost od emě: h = = 450 6378km = 3587km. 4 11 5,98 10 ychlost oběhu: = κ = 6,67 10 m s = 3070m s. 450000 Geostacionární družice létají e zdálenosti 35 87 km nad porchem emě. Př. 9: Najdi na internetu oběžnou zdálenost geostacionárních družic a sronej údaj s předchozími ýsledky. Wikipedia: h = 35786 km. www.meteopress.cz: necelých 36000 km. Výpočet směru geostacionární družice: 36830 km (nad roníkem). Všechny ýsledky odpoídají námi určené hodnotě. Př. 10: Najdi na internetu ýznam a hodnotu 3. kosmické rychlosti. 3. kosmická rychlost rychlost potřebná k opuštění graitačního pole Slunce záleží na zdálenosti od Slunce. Pro emi se udáají dě hodnoty: 16,7 km s pro tělesa startující z porchu emě, 13,8km s pro tělesa startující z yčkáací dráhy okolo emě. 6
Př. 11: Najdi na internetu, co znamená, že se při yslání kosmické sondy yužilo graitačního praku. Nakresli obrázek se Slunce a celé oběžné dráhy Jupitera s yznačeným směrem oběhu kolem Slunce. Do obrázku dokresli dráhu kosmické sondy, která yužije graitačního praku Jupitera k cestě mimo Sluneční soustau. Graitační prak: Sonda při pohybu okolí planety yužije její graitační síly, ke zýšení sé rychlosti. Při oběhu okolo stojící emě se rychlost sondy na konkrétním místě oběžné dráhy nemění, při pohybu okolí pohybující se planety, planeta strháá sondu e směru sého pohybu zyšuje její rychlost. Sonda musí letět tak, aby blízkosti Jupitera směřoala podobným směrem, kterým Jupiter letí okolo Slunce. Přitažliost Jupitera nedokáže sondu zachytit na oběžnou dráhu okolo planety, ale zětší její rychlost zhledem ke Slunci (a tím i rychlost, kterou směřuje mimo Sluneční soustau). Shrnutí: Pohyb centrální graitační poli nemůžeme popisoat pomocí zorců odozených pro rhy (mění se směr i elikost graitační síly). Obíhající tělesa se pohybují po kružnicích nebo elipsách. 7