AŽEB NÉ VE SPO JI TÉM ÈASE Petr MACH, Vy o á šo la eo o mic á, Pra ha, To máš HAN ZÁK, Matematico-fyziálí fa ul ta Ui ver zi ty Kar lo vy, Pra ha. ÚVOD Jed ím ze způ o bů zí á í ve řej é ho příj mu je emi e ově vy tiš tě ých pe ěz. Pro to že emi í pe ěz e do chá zí tvor bě bo hat tví, je hod o ta tat ů, te ré tát ta to zí á, a úor ve řej o ti, jež čelí po le u up í íly pe ěz. Hod o ta tat ů zí a á tá tem emi í pe ěz e a zý vá ra žeb é (ě dy e též mlu ví o i flač í dai). oz li šu je me ab o lut í ra žeb é vy jád ře é ve tá lých pe ěž ích jed ot ách a re la - tiv í ra žeb é vy jád ře é jao po díl emi í pe ěz zí a ých tat ů a hru bém do má - cím pro du tu (HDP). Ab o lut í ra žeb é za daé ob do bí e vět ši ou vy jad řu je jao ou či re ál é mě o vé báze a míry i fla ce (viz apř. Ca ga, 956; Ba i ley, 956; Mar ty, 967; Fri - ed ma, 97; Bar ro, 972), rep. jao ou či re ál é mě o vé báze a re la tiv í ho po - le u up í íly pe ěz (viz apř. Ke y e, 924; Ha lag, 998; Walh, 200). Tato vy jád ře í pra cu jí e zjed o du šu jí cím před po la dem di rét í ho čau a e be rou v úva hu, že exi tu je vliv zvy šo vá í mož tví obě ži va a hod o tu emi to - va ých pe ěz, rep. že te to vliv je prů běž ý. Jií au to ři od vo zu jí vztah pro oa - mži té ra žeb é (a zý va é ra žeb é ve po ji tém čae) (viz apř. Ca ga, 956; Au er - he i mer, 974), jao ra žeb é v di rét ím čae vy jád ře é za e o eč ě rát é ob do bí. V tom to člá u jed a při á ší me vý po čet re la tiv í ho ra žeb é ho v di rét ím čae po mo cí mo de lu, te rý a zve me mo del au ce, a jed a vy uži tím to ho to mo - de lu au ce vy jád ří me ra žeb é za daé ob do bí za před po la du v čae po ji tých změ v mě o vé bázi a ce o vé hla di ě. Ta o vé vy jád ře í, pod le a še ho á zo ru, lépe od po ví dá po va ze eo o mic ých pro ce ů ež ob vy le po uží va á vy jád ře í ra žeb é ho. 2. a žeb é v di rét ím čae Pro od vo ze í ve li o ti re la tiv í ho ra žeb é ho v di rét ím čae po uži je me mo - del jed o rá zo vé au ce HDP vy pro du o va é ho v da ém ob do bí. ) Před po lá dej - me, že HDP za daé ob do bí e pro dá vá a au ci, am tát při chá zí utra tit ově emi - to va é pe í ze a ve řej ot při chá zí utra tit ě ja é mož tví vých pe ěz již dří ve emi to va ých. a žeb é za daé ob do bí, tedy po díl tat ů, te ré tát zí á a ta o - vé to au ci, od po ví dá po dí lu útrat tá tu a cel o vých útra tách a au ci. 2) Ozač me M pů vod í úro veň mě o vé báze a její re la tiv í pří rů te za daé ob - do bí (způ o be ý emi í o vých pe ěz). To za me á, že tát a au ci při chá zí M ) Pro zjed o du še í ab tra hu je me od fa tu, že a trhu e ob cho du je e je ově vy pro du o va ý mi tat y fi ál í pot ře by, te ré tvo ří HDP, ale rov ěž e zbo žím z dru hé ruy a re ál ý mi a fi ač í mi a ti - vy. 2) Před po lá dá me, že celý HDP je a u po vá za daé pe í ze. Ab tra hu je me tedy od tzv. Laf fe ro va efe tu, dy při vyš ších mí rách rů tu mě o vé báze do chá zí pří lo u ve řej o ti pla ce í cizí mě ou ebo a tu rál í mě ě a v dů led u ta to e zme šu jí cí po ptáv y po pe ě zích e i žu je i re ál ý vý o tá tu z ra žeb ého i při zvy šu jí cím e tem pu rů tu mě o vé báze. PO LI TIC KÁ EKO NO MIE, 4, 2004 53
pe ěž í mi jed ot a mi. Nej pr ve pro jed o du chot před po lá dej me, že rych lot ob ra tu pe ěz (za daé ob do bí) a pe ěž í mul ti pli á tor e rov a jí jed é. Pa mož - tví pe ěz utra ce ých a au ci ve řej o tí bude rov o M. (Te to před po lad opu tí me v á le du jí cím od tav ci.) Cel o vé pe ěž í útra ty a au ci (ou čet útrat tá tu a ve řej o ti) jou M + M a ra žeb é () za daé ob do bí je tedy rov o M M M Oputíme-li před po lad, že pe ěž í mul ti pli á tor m a rych lot ob ra tu pe ěz V e rov a jí jed é, pa ve řej ot při chá zí a trh cel o vým mož tvím pe ěz m V M a ra žeb é lze za daé ob do bí aa lo gic y vy jád řit jao M mv M M m V Např. aby tát zí al ra žeb é ve výši 2 % HDP, mu el by za před po la du po dí lu mě o vé báze a HDP 3) ve výši 5 % či it pří rů te mě o vé báze 40 %. 3. a žeb é ve po ji tém čae Pro to že eo o mic ý vý voj eí le dem di rét ích oa mži ů, mezi i miž e o o vě měí hod o ta ve li či jao pe ěž í zá o ba ebo ce o vá hla di a, ale píš v čae po ji tým pro ce em, bu de me před po lá dat, že tát i ve řej ot utrá ce jí pe í - ze po ji tě. Bu de me uva žo vat ob do bí dél y jed o ho rou, te ré roz dě lí me a tej ě dlou hých pe riod. V až dé z pe riod ur čí me ra žeb é pod le vzor ce (), rep. (2) a ra - žeb é za celé ob do bí vy poč te me jao vá že ý arit me tic ý prů měr ra žeb ých za jed ot li vé pe rio dy, de va hou až dé pe rio dy bude mož tví tat ů bě hem í vy - pro du o va ých. Na o ec pro ve de me li mit í pře chod, čímž ob dr ží me vztah pro ra žeb é ve po ji tém čae. Před po lá dej me opět ej pr ve, že pe ěž í mul ti pli á tor a (oa mži tá) rych lot ob ra tu pe ěz e rov a jí jed é. Dej me tomu, že tát za daé ob do bí zvět ší emi í o - vých pe ěz mě o vou bázi a + á o be pů vod í hod o ty ( 0), a to ta, že po - měr ý á růt mě o vé báze za tej ě dlou há ča o vá ob do bí bude tej ý. Ve li ot mě o vé báze v čae t bude tedy vy jád ře á vzta hem M M ( ), t [ 0,, de M je po čá teč í ve li ot mě o vé báze. a žeb é v -té pe rio dě ( =,, ) je pod le vzor ce () rov o M ( ) M ( ) ( ) (3) M ( ) M ( ) M ( ) ( ) ( ) (Vý raz ( ) v rov i ci (3) je ta o vý re la tiv í pří rů te mě o vé báze v jed - ot li vé pe rio dě, že cel o vý pří rů te za celé ob do bí čií.) Ja vy plý vá z výše uve - de é úpra vy vzor ce (3), ra žeb é je tej é ve všech pe rio dách. A pro to že vá že ý arit me tic ý prů měr tej ých čí el li bo vol ý mi va ha mi je ro ve to mu to čí - lu, bude i ra žeb é () za celé ob do bí rov o vý ra zu (3). Nyí zbý vá uči it po led í ro, a to zjem ňo vat dě le í uva žo va é ho ob do bí a tá le vět ší po čet pe riod. a žeb é ve po ji tém čae pa zí á me pro ve de ím li - mit í ho pře cho du. Tedy () (2) 3) Po díl mě o vé báze a HDP e rov á. 532 POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2004
lim lim ( ) ( ( ) ) lim ( ) ( ) Lze ad o do á zat, 4) že lim ( ) l( ), a tu díž ra žeb é ve po ji - tém čae za daé ob do bí lze za před po la du jed ot o vé rych lo ti ob ra tu pe ěz a jed ot o vé ho pe ěž í ho mul ti pli á to ru vy jád řit jao l( ) l( ) Oputíme-li před po lad, že pe ěž í mul ti pli á tor m a rych lot ob ra tu pe ěz V e rov a jí jed é, bude ra žeb é v -té pe rio dě pod le vzor ce (2), ja ož i ra žeb é za celé ob do bí rov o M ( ) M ( ) ( ) mv M ( ) M M m V ( ) ( ) ( ) ( ) a žeb é ve po ji tém čae pa bude rov o ( ) ( ) ( ) lim lim m V lim ( ) m V ( ) což e rov á l( ) mv l( ) Vzo rec (5) ta před ta vu je ej obe cěj ší vy jád ře í ra žeb é ho za daé ob do bí za před po la du po ji té emi e pe ěz a po ji té ho vli vu této emi e a hod o tu pe ěž - ích jed o te. Toto ra žeb é (fu ce pro mě é ) má v bodě 0 hod o tu 0 (u lo vý á růt mož tví pe ěz = u lo vé ra žeb é) a de ri va ci (pro malé hod o ty je mv ). Je ro tou cí (vět ší á růt mož tví pe ěz = vět ší ra žeb é) a li mi ta pro m V je (do ta teč ě rych lým emi to vá ím pe ěz lze zí at ra žeb ým li bo vol ě vel ý díl HDP). Pla tí, že čím vět ší je rych lot ob ra tu pe ěz V a čím vyš ší je pe ěž í mul ti pli á tor m, tím me ší je ra žeb é. Pro daé a pro daý po díl mě o vé báze a HDP má ra žeb é ve po ji tém čae (4), rep. (5) iž ší hod o tu ež ra žeb é v di rét ím čae (), rep. (2). Aby tát zí - al ra žeb é ve výši 2 % HDP, mu el by v tom to pří pa dě za před po la du po dí lu mě - o vé báze a HDP ve výši 5 % či it pří rů te mě o vé báze 50 %. (4) (5) x 4) ( ) e lim ( ) lim lim x x x y e lim l( ) l( ). x y y xl( ) PO LI TIC KÁ EKO NO MIE, 4, 2004 533
4. Ma xi ma li za ce ra žeb é ho K a vy šo vá í mě o vé báze e mu í po cho pi tel ě do chá zet pou ze tá lým tem - pem, tj. pod le vzta hu M M ( ). Uá že me ic mé ě, že prá vě tá lé tem po emi e pe ěz je v pří pa dě tá lo ti pro du ce způ ob emi e, te rý ma xi ma li zu je ra žeb é. Lo gi a aší úva hy je á le du jí cí. Utratí-li apř. tát o vou emi i pe ěz ur če ou a celý ro a jed ou v je de de, může zí at ice té měř veš e rý pro dut, te rý je a trhu pro te de di po zi ci, e zí á ale ic ve zbyt u ob do bí. Si tu a ce tá tu je v tom to aa lo gic á i tu a ci lov ce, te rý, arazí-li až dý de a tej ý ob jem zvě ře, e ma xi ma li zu je roč í úlo ve tím, že i vy tří lí celý zá ob í á bo jů prv í de. Před po lá dej me, že tát chce zvý šit za daé ob do bí mě o vou bázi a + á - o be pů vod í hod o ty ( je pev ě daé). Nech ve li ot mě o vé báze v čae t, t0, je vy jád ře a e le a jí cí fu cí M (t) pl ňu jí cí o ra jo vé pod mí y M ( 0) M a M ( ) M ( ). Ob do bí opět roz dě lí me a tej ě dlou hých pe riod a vy jád ří me pod le vzor ce ( (2) ra žeb é ) v -té v pe rio dě. Pla tí ( ) M M m V M M M ( a žeb é ) za celé ob do bí opět vy poč te me jao vá že ý arit me tic ý prů měr ra - žeb ých za jed ot li vé pe rio dy, de va hou bude pro du ce za da ou pe rio du. Pro to - že yí je pod le před po la du pro du ce ve všech pe rio dách tej á, bude oby čej - ým arit me tic ým prů mě rem ra žeb ých za jed ot li vé pe rio dy. Pla tí te dy ( ) ( ) Te to vý raz upra ví me a ou čet hod ot po moc é o áv í fu ce. 5) Pro o - áv í fu ci to tiž pla tí, že ou čet fuč ích hod ot čí el dá va jí cích daý ou čet je ej vět ší, jou-li tato čí la tej á. 6) ( Z toho ply e, že ra žeb é ) je ma xi mál í prá vě pro fu ci M M ( ). Je li ož ra žeb é je li mi tou po loup o ti ( ), je taé ma xi mál í v pří pa dě M M ( ) a toto ma xi mál í ra žeb é je vy jád ře - o vzor cem (5). Mo del au ce, de ra žeb é před ta vu je po díl tá tem utrá ce é ho pří růt u mě - o vé báze a cel o vých útra tách, před ta vu je ro zu mi tel é vy jád ře í ra žeb é ho * 5) Vý raz ( ) upra ví me a f( x), x M M l /. 6) Za pod mí y x l( ) a bý vá ou èet M M ( ) pl òu je. def( x) x e je o áv í fu ce a m V x e f ( x) ma xi ma v pøí pa dì x x, což fu ce 534 POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2004
v di rét ím čae. Te to mo del je om pa ti bil í pří tu pem řady eo o mů od Key - e e (924) po Wal he (200). Mají-li eo o mic é pro ce y po va hu pí še v čae po ji té ho vý vo je ež di rét - ích změ, je vzo rec pro ra žeb é vy chá ze jí cí ze po ji té ho vý vo je (5) vhod ěj ším vo dít em pro ho po dář ou po li ti u ež vzo rec pro ra žeb é vy chá ze jí cí z di rét - í ho vý vo je. Chce-li tát apř. zí at ra žeb ým 2 % HDP, pa by měl roč í pří rů te mě o vé báze či it pí še 50 %, ja vy plý vá ze vzor ce pro po ji té ra žeb é (5), a i o - liv 40 %, ja by vy plý va lo ze vzor ce pro di rét í ra žeb é (2). Na víc, aby tát u - teč ě zí al ta o vé to ra žeb é, měl by ově vy tiš tě é pe í ze utrá cet bě hem rou ply u le. Li te ra tu ra Au er he i mer, L.: The Ho et Govermet Gu i de to the e ve ue from the Cre a ti o of Mo ey. Jour al of Po li ti cal Eco o my, 974,. 598-606. Ba i ley, M. J.: The Wel fa re Cot of I fla ti o a ry Fi a ce. Jour al of Po li ti cal Eco o my, 956,. 93-0. Ca ga, P.: The Mo e ta ry Dy a mic of Hy per i fla ti o. I: Fri ed ma, M. (ed.): Stu di e i the Qu a ti ty The o ry of Mo ey. Chi ca go, Ui ver i ty of Chi ca go Pre 956,. 25-8. Ea ter ly, W., Mau ro, P., Schmidt-Hebbel, K.: Mo ey De mad ad Seigiorage-Maximizig I fla ti o. Jour al of Mo ey, Cre dit, ad Ba ig, 995,. 583-603. Fi cher, S.: Se ig i o ra ge ad Fi xed Ex cha ge a te: Op ti mal I fla ti o Tax Aa ly i. Cam brid - ge, MA, Na ti o al Bu re au of Eco o mic e e arch 98, Wor ig Pa per No. 783. Fri ed ma, M.: Go ver met e ve ue from I fla ti o. Jour al of Po li ti cal Eco o my, 97,. 846-856. Ha lag, J.: Se ig i o ra ge e ve ue ad Mo e ta ry Po li cy. Eco o mic e vi ew, Third Qu ar ter 998,. 0-20 (Fe de ral e er ve Ba of Dal la). Ke y e, J. M.: A Tract o Mo e ta ry e form. Lo do, Mac mil la 924. Mach, P.: Teo rie ra žeb é ho a i flač í daě. Pra ha, VŠE 2003 (Di er tač í prá ce). Ma iw, G.: The Op ti mal Col lec ti o of Se ig i o ra ge: The o ry ad Evi de ce. Jour al of Mo e - ta ry Eco o mic, 987,. 327-34. Mar ty, A. L.: Growth ad the Wel fa re Cot of I fla ti o a ry Fi a ce. Jour al of Po li ti cal Eco o - my, 967,. 7-76. To bi, J.: O the Wel fa re Mac ro e co o mic of Go ver met Fi a ci al Po li cy. Sca di a vi a Jour al of Eco o mic, 986.. 9-24. Walh, C. E.: Mo e ta ry The o ry ad Po li cy. Lo do, The MIT Pre 200. PO LI TIC KÁ EKO NO MIE, 4, 2004 535
SE IG NI O A GE IN CON TI NU OUS TIME Petr MACH, Ui ver i ty of Eco o mic, 4, W. Chur chill Sq., CZ 30 67 Pra gue 3 (e-mail: mach@iol.cz); To máš HAN ZÁK, Fa cul ty of Mat he ma tic ad Phy ic, Char le Ui ver i ty, Ke Kar lo vu 3, CZ 2 6 Pra gue 2 (e-mail: to ma.ha - za@pot.cz). Ab tract: The go ver met i able to ac qu i re real go od through pri tig mo ey. Be cau e go ver met doe t cre a te we alth through pri tig mo ey, thi re ve ue, the e ig i o ra ge, i at the ex pe e of the pub lic, a the pur cha ig po wer of mo e ta ry uit dec re a e be cau e of the i ue of ew mo ey. The aut hor ue the mo del of auc ti o to which the pub lic co me with the ir mo ey ad the go ver met with the e wly i u ed mo ey. The va lue of go od ac qu i red by the go ver met i uch a auc ti o equ al the e wly pri ted mo ey di vi ded by the um of the e wly pri ted mo ey ad the mo ey pet by the pub lic. Upo thi auc ti o mo del, the aut hor de ve lop the for mu la for e ig i o ra ge i co ti u ou time. The e ig i o ra ge cal cu la ted i thi way i lo wer tha the e ig i o ra ge cal cu la ted upo the a um pti o of di cre te cha ge i eco o mic va ria ble. Ke y word: e ig i o ra ge, i fla ti o tax, mo ey i ue JEL Cla i fi ca ti o: E5 536 POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2004