2. D ynam ika. ma lc\r kzv. v- = + 26i ľ +»r = 0

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. D ynam ika. ma lc\r kzv. v- = + 26i ľ +»r = 0"

Kamila Pavlíková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 2. D yna ika 08 T x : T 2 /«. : vyp lýva že T xn A k a n sú najenšie celé čísla ktoré túto úeru spĺňajú perióda pohybu je T w7\ 772. teda výsledná..... T ntx frekvencia je r vx v2 r. T2 n Na obr sú zostrojené p olw bov é krivky (L is s a j o u s o v e ) pre rôzne fázové rozdiel}' v prvo riadku pre po er vx : v2 l : 2 (v hudobnej terinológii pría s oktávou) v druho riadku pre po er vx : v2 2 : 3 (pría s kvintou). Pohodlne ôžee Lissajousove krivky získať po ocou katódového oscilografu v ktoro fluoreskujúca stopa katódových lúčov na stene obrazovky p o ocou striedavých elektrických polí je nútená konať haronické poh yby v dvoch seroch na seba kol ých s dvo a frekvenciai ktoré vzájo ne od seba nezávisia a ktoré ožno lu bovoln e voliť Tlený haronický pohyb. Za účinku sily ktorá je úerná výchylke hotného bodu z jeho rovnovážnej polohy vzniká pohyb haronický pre biehajúci podľa vzorcov odvodených v predošlo článku len vtedy keď súčasne na h otný b od neúčinkuje už nijaká iná sila. Pri pohybe vo vzduchu alebo kvapaline usí však h otný bod prekonávať odpor prostredia ktorý pohyb brzdí tlí až nakoniec poh yb úplne prestane. Odpor prostredia ne závisí od poloh y pohybujúceho sa bodu ale od jeho rýchlosti. Pri alej rých losti je rýchlosti úerný a pôsobí proti rýchlosti. Pri tl eno haronicko pohybe účinkujú teda dve sily: sila f x úerná výchylke (fx kfr) a sila f 2 úerná rýchlosti (f 2 & v f f x -[- f 2). Pre tl ený har onický pohyb platí teda rovnica a lc\r kzv alebo rovnica d 2r k\ dŕ2 kl dr v- dt r 2b dr dt t. j- ^ + 26i ľ +»r 0 w keď se položili Ä 'l O í>7 26 b y bola kruhová frekvencia har onického pohybu keby nebolo tlenia veličina b sa volá koeficient útlu. R ovnici ( ) vyh ovu je riešenie r a e at (2 ) oj0

2 2.!). T l en ý haronický p o h yb 09 kde a je ľubovoľný vektor. Konštantu a nájdee dosadení funkcie ( 2 ) a jej derivácií do rovnice ( ) a riešení takto získanej charakteristickej rovnice a 2 -f- 26a -f- osq 0 *.2 6 ± Íb 2 o l Partikulárne riešenia rovnice () sú teda rx a t e ail a r2 a2 e a* a všeobecný integrál keďže vektory o x a a 2 sú ľubovoľné rovná sa súčtu nájdených partikulárnych integrálov r o x e ^ + <*2 e 2ť (3) pretože diferenciálna rovnica ( ) je lineárna a hoogénna. R ýchlosť tleného haronického pohybu je v a ax ea>ŕ + o 2a2 ea2* Integračné konštanty a o 2 vyp lývajú zo začiatočných podienok z polohy hotného bodu r0 a z jeho rýchlosti v0 na začiatku pohybu (ŕ 0 ). Keď však charakteristická rovnica á jeden koreň dvojnásobný (pri 62 co?) všeobecný integrál diferenciálnej rovnice je r a e ~ bt + a2t e ~ bi (4) akp sa ôžee presvedčiť dosadení. Priebeh tleného pohybu haronického je podstatne iný podľa toho či á charakteristická rovnica dva korene iaginárne jeden koreň dvojnásobný alebo dva korene reálne. Podrobnejšie vykoná e riešenie len pre tl ený haronický pohyb v priake ktorý vznikne napríklad vtedy keď hotnéu bodu v jeho rovnovážnej polohe (r 0 ) udelíe začiatočnú rýchlosť v0. A. P e r i o d i c k ý p o h y b. Pri alo útle je ô 2 co < 0 a korene x x a x 2 sú koplexné. Označe v to prípade kladnú hodnotu co5 62 o)2 takže bude 62 co'o co2 yb2 coq coi a a 2 6 4; coi. Keď pre t 0 je aj r r0 0. z rovnice (3) vyp lýva že a2 o l5 takže ôžee písať: o x a. a2 o a áe: r a (ea^ e a^)

3 0 Dynaika P o obidvoch stranách znaienka rovnosti v rovnici (5) vystupujúce vektory sú rovnobežné rovnajú sa sebe preto aj ich veľkosti teda ak veľkosť v ýchylky označí e u bude u a (ea' e **) g( 4oí)i^ ^ 0 bť^coŕi g wííj _ a e - bt(ooi> cot -f- i sin cot cos cot -+- i sin cot) 2ai e~bt sin cot C e~bt sin cot (6 ) a v Cco e~ bt cos cot bc e~bt sin cot dt (7) V kde C. Pri alo tlení vzniká teda har onický pohyb s kruhovou frekvenciou co ) coq b2 enšou než je kruhová frekvencia netleného pohybu. Jeho 2 tc T perióda 2 tc y - -~ - - je väčšia. Jeho aplitúda C e~bt sa s časo zenšuje a blíži sa k nule. K rajný i poloha i prechádza h otný bod v časoch t{ ktoré v yp lýva jú z rovnice v 0 t. j. oj tg < * - T co f a r c tg T Čas ktorý uplynie edzi dvo a krajný i poloha i idúcii za sebou je TZ T co 2 teda ti+ ít- t akže čas k torý uplynie edzi dvo a po sebe. 2n idúcii výchylka i na tú istú stranu je ti+2 í T Podiel dvoch po sebe idúcich výchyliek (nerovnakých) na tú istú stranu je u{tj) u (ti+2) C e~ hti sin cot C e~ btí + 2 sin coti+2 a nazýva sa útl. Prirodzený logaritus útlu sa volá logarit ický dekreent tleného haronického pohybu ó ln / bt (9) Koeficient útlu 7 ó b -yr ln f ( 0 ) určí sa teda ľahko z útlu á a periódy T. Časové rozvinutie haronického álo tleného pohybu predstavuje krivka na obr. 2.33a.

4 '. /.V. T l en ý haronický p o h yb J. A p e r i o d i c k ý p o h y b. Pri veľko tlení je b2 rakteristickej rovnice aj b -f- Í b2 co j oj2 > 0 a korene cha x 2 b ]/b2 2 Wo sú reálne. Podľa rovnice (5) výchylka u je v to prípade jednoducho u afe0** e a2ť) (H) # a (a x e * a2 e 2*) (2) a rýchlosť Obr Integračná konštanta a vyplýva zo začiatočnej rýchlosti vtí a ^0 «a2 ^ 0 2 l' 62 co' Výchylka je najväčšia v čase ŕ5 ktorý v yp lý v a z rovnice v - 0 t. j. e ií a 2 ea2ťwi 0 p / ( a a.) _ a a.. a. (3) Čas í potrebný na dosiahnutie axiálnej vých ylk y nezávisí teda od začiatočnej rýchlosti. Priebeh pohybu predstavuje krivka na obr. 2.33b. C. H r a n i č n ý p o h y b. K eď sa tlenie pri tl eno pohybe haronicko zväčšuje stáva sa poh yb práve aperiodický keď b2 co. V to prípade charakteristická rovnica á jediný koreň dvojnásobný a b

5 2 2. Dyna ika a všeobecné riešenie rovnice () je dané vzorco (5) alebo v prípade pohybu v priake v tvare skalárno u (ax + a 2t) e~ bt (4) K ed však v čase t 0 bolo aj u 0 vted y a x 0 a? a a závislosť výchylky od času je (obr c) u at e~bt (5) Pre rýchlosť vychádza v a e 4! ( l bt) (6) Ostávajúca integračná konštanta a v yp lý v a zo začiatočnej rýchlosti v0 a v0. Maxiálna výchylka sa dosiahne v čase trn v yp lývajú co z rovnice v 0 t j. " ± 6 J _ ^L <o 2* (7) ' ' kde T 0 je perióda netleného haronického pohybu. *2.20. Vynútené kity ^rezonancia. Periodický alebo taker periodický pohyb h otného bodu alebo telesa nazýva sa vo fyzike aj k itavý pohyb. Predstave si alé teliesko h oty upevnené tak že ôže konať tlené k ity haronické ktorých kruhová frekvencia keby tlenia nebolo by bola co (napríklad kovovú gulku na zvislo oceľovo drôte). N a toto teleso nech účinkuje har onicky sa eniaca vonkajšia sila vyznačujúca sa inou kruhovou frekvenciou co2. K e d sila f zachováva stále tenže ser ôžee ju písať: f f q sin oj2t alebo v tvare skalárno: / / 0 sin co2t. Diferenciálna rovnica vznikajúceho pohybu je poto (pozri čl. 2.9) - k\u k\ ^ + /o sin oj2t kde u značí veľkosť oka žitej vých ylky. K eď vydelí e túto rovnicu hotou / a zavediee substitúcie cor 2b a dostanee ju v tvare + 2b ^ + coiu a sin co2t ( ) N ebyť vonkajšej sily bola b y to diferenciálna rovnica tleného pohybu har onického dávajúca pri poerne alo tlení (b < cox) všeobecné riešenie u C e~ bt sin(cot cpx) kde co Í oj>\ b2~. V našo prípade všeobecný integrálo rovnice ( ) s pravou stranou je však funkcia u C e~ bt sin(a)ŕ cfx) - f A sin(co2ŕ cp2)

Podobné dokumenty

ů ř Ž ý ý ř ď ř

ř ů ř ů ř ř ý ů ř ů ů ř ť ý Ž ř ř ř ř Ž ř ú ý Ž ř ů ů ť Ř ý ř ř ř ů ý ý ř ý ň Ž ý ů ř Ž ý ý ř ď ř Á ů ó ř Í ř ý ř ý ř ř ř ř ř ř ř ř ř ý ř ť ř ř ř ý ť ř ď ú É ř ť ý ů ř ý ď ř ř Ž ý ý Í ý ó ů ý ý ř ř Í ř