Automatizační technika. Obsah. Popis dynamického systému Přenosové funkce Regulátory. Popis dynamického systému. Analogové Číslicové
|
|
|
- Jindřiška Lišková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4..6 Aeicý ro 6/7 Připrvil: Ri Fr Aoizčí echi eorie oicého řízeí Oh Popi icého é Přeoové fce Regláor Alogové Čílicové r 3 Popi icého é Jo vžová poze lieárí cioárí icé čle j. ové jejichž vloi e v če eěí. Mío poj cioárí e rověž čo požívá poje -ivrií. V eorii lieárí reglce e ejčěji prcje eicýi oel v šei vrech ze erých lze rči všech ůležié icé i icé vloi vžových lieárích čleů. Jeo z ejůležiějších vloí je fziálí relizovelo erá počívá v o že ý eicý oel ůže popiov reprezeov ějý ečý reálý lieárí icý čle. Poí fziálí relizoveloi v poě vjřje pricip příčioi zli zející že álee rece výp je vvolá vž příčio cí vpe. Pric o zeá že oezv icého čle eůže vzio pře ožie zě vpí veliči.
2 4..6 Sicá chrerii r 4 Důležio vloí icého čle je jeho vlo v áleé v erá vjřje závilo áleých hoo výpí veliči áleých hooách vpí veliči. rficé zorzeí éo záviloi e zývá icá chrerii. U lieárích icých čleů icá chrerii po exije je vž pří procházející počáe ořic. Difereciálí rovice r 5 Nejčěji je ipozici popi vloí lieárího icého čle ve vr lieárí ifereciálí rovice oíi oeficie počáečíi poíi e je: je výpí veliči vpí veliči řá ého lieárího icého čle r = reliví peň ého lieárího icého čle.. Difereciálí rovice r 6 V áleé v vizí všech zě v če proo plí. pro pro j i j j i i Můžee o zí rovici icé chrerii Rozlišje e poí fziálí relizoveloi ilá lá. V přípě lieárí ifereciálí rovice o poí jí vr ilá r lá r Po plí < p eí plě poí fziálí relizoveloi ý eicý oel epopije ečý reálý icý čle.
3 Přeo r 7 Přeo je á poěre orz výpí veliči Y orz vpí veliči U při lových počáečích poíách. Požií Lplceov rforce lieárí ifereciálí rovici z přepol lových počáečích poíe e oe U Y U Y Viíe že přeo lze z é lieárí ifereciálí rovice zí přío proože v čieli vpjí oeficie její prvé r ve jeoveli oeficie její levé r. Koeficie jo áoe oplexí proěo ocěo peň erý opovíá řá přílšé erivce.. Přeo r 8 Jeovel přeo N je chreriicý ohočle ého lieárího icého čle je zřejé že je hoý chreriicý ohočlee lieárí ifereciálí rovice Přeo je čo vjřová ve vr oči ořeových čiielů jeovele čiele j. N M U Y e M je ohočle čiele přeo i jo pól i =... j jo l j =... ého lieárího icého čle 3. Kiočový přeo r 9 Kiočový frevečí přeo jω lze forálě zí z přeo záěo oplexí proěé z oplexí ioče jω j. j j e j j j j j j j A j j o A j rg Ke je: Aω pli ol iočového přeo φω fáze rge iočového přeo ω úhlový ioče rozěr č - [ - ].
4 4..6 r 3. Kiočový přeo Zorzeí iočového přeo pro ω = ž ω = v oplexí roviě e zývá pliofázová iočová chrerii Zorzí-li e zvlášť pli Aω fáze φω pro ω = ž ω = oe e pliová iočová chrerii fázová iočová chrerii. I j ω A ω A ω = A ω A φ ω ω ω = Re c φ ω π ω π ω π r e 3. Kiočový přeo V přípě že e požije vzh L log A L ω [B] φ ω [r] 4 - π π π - ω [č ] - ω [č ] iočová o e logriicá orží e logriicá pliová chrerii logriicá fázová chrerii. Lω je logriicá pli logriicý ol iočového přeo [B]. U logriicých iočových chrerii e výhoo vžívá proxice přeých průěhů poocí příových úeů. r 4. Iplí fce Iplí iplová váhová fce g popije oezv lieárího icého čle vpí veliči ve vr Dircov ipl δ. Její grficé vjářeí je iplí chrerii = δ = g LINEÁRNÍ DYNAMICKÝ ČLEN DIRACŮV IMPULS IMPULSNÍ CHARAKERISIKA δ - g = L { } Iplí fce g je origiál přeo. 4
5 4..6 r 3 5. Přechoová fce Přechoová fce h chrerizje oezv lieárího icého čle vpí veliči ve vr jeoového Heviieov o η. Její grficé vjářeí je přechoová chrerii = η LINEÁRNÍ = h DYNAMICKÝ ČLEN JEDNOKOVÝ HEAVISIDEŮV SKOK η h PŘECHODOVÁ CHARAKERISIKA - h = L r 4 6. Svový oel Svový oel lieárího icého čle je ze všech veeých eicých oelů ejoecější proože ovolje poocí vových viřích veliči pop i ové vloi eré z vějšího pohle j. pohle výpí veliči jo je. ovýi vloi jo řiielo pozorovelo lieárího icého čle. Zjeošeě lieárí icý čle je řiielý ž exije ové řízeí vp eré z oečo o převee ý čle z liovolého v x o liovolého v x. Pooě lieárí icý čle je pozorovelý ž zálě záého průěh řízeí vp průěh výp oréí oečé čové iervl lze rči výchozí v x. r 5 6. Svový oel Svový oel e láá ze vo rovic x Ax x x c x vová rovice výpí rovice e je: x veor vových veliči ieze A vová ice ice i ice é řá vový veor vp ieze c výpí veor v ieze o převo. Poí fziálí relizoveloi jí vového oel jeochý vr ilá lá 5
6 4..6 r 6 říěí zálích lieárích icých čleů Lieárí icé čle lze říi pole růzých hleie. Veli ůležiý hleie je vlo liového áleého v o z exije je elový lový příp. eexije. Vlo áleého v e veli oře pozje pole průěh přechoové chrerii h pro r 7 Proporcioálí čle Proporcioálí čle e vzčjí í že áleý v h přechoové chreriice h exije je elový z. že ezi áleýi hooi výpí veliči opovíjícíi áleýi hooi vpí veliči exije proporcioli j. eriviálí lieárí závilo ero vjřje icá chrerii. h h α = rcg[ h ] přechoové chrerii icá chrerii r 8 Proporcioálí čle Proporcioálí čle ez ervčoi ieálí proporcioálí čle e je oeficie přeo jehož fziálí rozěr je á poěre fziálích rozěrů výpí vpí veliči. Pro > je o zeíleí pro < o leí. Proporcioálí čle ez ervčoi je poze lě fziálě relizovelý. Proporcioálí čle e ervčoí. řá perioicý čle. řá jeopcií čle ervčý čle. řá e je čová o fziálí rozěre č. 6
7 Proporcioálí čle r 9 Proporcioálí čle e ervčoí. řá ervčý čle. řá Ke je čová o [č] ξ ezrozěrý oeficie leí Pro ξ > je o perioicý čle. řá vopcií čle Pro ξ = zv. ezí perioicý čle. řá Pro < ξ < přeo elze rozloži. ový proporcioálí čle e zývá ivý čle. řá Pro ξ = je o zv. ozerviví čle. řá ezezráový čle. řá Doprví zpožěí r Mezi proporcioálí čle pří čle oprvího zpožěí ieálě zpožďjící čle erý je v čové oli popá vzhe v oli oplexí proěé přeoe U Y e e je oprví zpožěí [č]. Čle oprvího zpožěí e v čové oli vzčje í že čovo oezv ezěí le poze zpozí o oprví zpožěí v oli iočové ezěí ol pli le způoí fázové zpožěí o úhel φω = ω. Doprví zpožěí r Při lýze éze reglčích ovoů e čo čle oprvího zpožěí hrzje jeochý přeoe ve vr rcioálí loeé fce. Nejčěji e požívá Pého rozvoj. Fázovcí čle. řá Pého rozvoj. řá e Fázovcí čle. řá Pého rozvoj. řá e
8 4..6 r Derivčí čle U erivčích čleů ice áleý v h přechoové chreriice h exije le je lový z. icá chrerii je riviálí h h = = přechoové chrerii icá chrerii r 3 Derivčí čle Derivčí čle ez ervčoi ieálí erivčí čle fziálě erelizovelý e je oeficie přeo fziálí rozěre ý poěre fziálích rozěrů výpí veliči vpí veliči áoeý ješě če Derivčí čle e ervčoí. řá reálý erivčí čle r 4 Iegrčí čle U iegrčích čleů liový áleý v h přechoové chreriice h eexije proo ich eexije i icá chrerii h SAICKÁ CHARAKERISIKA NEEXISUJE přechoové chrerii 8
9 4..6 r 5 Iegrčí čle Iegrčí čle ez ervčoi ieálí iegrčí čle e je oeficie přeo fziálí rozěre ý poěre fziálích rozěrů výpí vpí veliči poěleý če Iegrčí čle e ervčoí. řá reálý iegrčí čle Reglčí ovo Je vžová poěrě oecý reglčí ovo e R je přeo regláor S přeo reglové ov MČ přeo ěřicího čle P přeo pře erý reglčí ovo půoí porchová veliči orze V W orz žáé veliči E orz reglčí ochl U orz čí veliči Y orz reglové veliči. W V P E U Y R S MČ Měřicí čle přeoe MČ í ěři přeě rchle proo ve věšiě pricých přípů lze přepolá že MČ 7 Cíl reglce w ˆ Y W pro reglovo veliči plí Y W V w v e je přeo řízeí přeo porch R S P w v [ w ] P R S R S Pro ožeí cíle reglce požjee: w v 9
10 Cíl reglce e ˆ E pro reglčí ochl plí E we W ve V e je ochlový přeo řízeí ochlový přeo porch we w ve P [ w ] P R S R S Pro ožeí cíle reglce požjee: we ve 9 Cíl reglce pro iočový přeo řízeí lze pá R j S j w j R j S j R j S j je zřejé že plí R j S j w j w R j S j j w w e-li zjišě oečě voá hoo ol iočového přeo regláor p e plě oečo přeoí poí w AR o R j R j pro eiglárí P i poí v 3 Cíl reglce Voé hoo olů A R ω eo A o ω í ý zjišě v rozh prcovích úhlových iočů při očé zezpečeí ili požové vli reglčího pocho. oho lze oáho vhoě zvoleý regláore jeho áleý právý eřízeí. Průlové regláor e vráějí v růzých verzích oificích proo o vee poze zálí rr oifice ěžě požívých ovečích regláorů.
11 Alogové pojié ovečí regláor jo relizová jo oice zálích řech čioí lože: proporcioálí P iegrčí I erivčí D. Regláor ěhož vpjí všech ři čioi e zývá proporcioálě iegrčě erivčí regláor eo zráceě regláor p PID jeho vloi v čové oli oho ý popá vzhe e e re r e r P e e D I P I D e jo: r r r váh proporcioálí iegrčí erivčí lož regláor P zeíleí regláor I D iegrčí erivčí čová o regláor převjí ři vielé prer regláor. 3 Svielé prer regláor Úole eřízeí regláor je zjišěí požvů vli reglčího pocho vhoo volo hoo jeho vielých prerů pro oréí reglovo ov. Mezi vielýi prer regláor plí převoí vzh r P r P I r PD r r r I D r r P Proože váh proporcioálí lož r je ieicá e zeíleí P proo e i pro i požívá čo ázev zeíleí regláor. Rozěr váh proporcioálí lož r zeíleí regláor P je á poíle rozěr čí veliči rozěr reglčí ochl e. Čové o I D jí rozěr č. Rozěr váh iegrčí lož r je á poíle rozěr proporcioálí lož r rozěr č rozěr váh erivčí lož je á áoe rozěr váh proporcioálí lož r rozěr č. 33 Regláor p PID Požií Lplceov rforce z přepol lových počáečích poíe zíáe přeo regláor p PID U r R r r P D E I Iegrčí lož I zjišťje voo hoo ol iočového přeo regláor PID při ízých úhlových iočech přeevší v áleých vech ω = erivčí lož D při voých úhlových iočech proporcioálí lož P v celé prcoví pá úhlových iočů le přeevší pro řeí úhlové ioč. Vhoo volo jeolivých lože P I D j. vhoo volo hoo vielých prerů regláor r r r příp. P I D lze oáho voé hoo ol iočového přeo regláor eo ol iočového přeo oevřeého reglčího ovo í i plěí cíle reglce.
12 Regláor p PID A R P P I j I r r j I PD j PD r j r D P P P r r ω 35 Kovečí logové regláor p Přeo R P P I I 3 PI P I 4 PD P D 5 PID P D I 6 PIDi P D Regláor PID iercí I Sériové zpojeí PI PD regláor 36 Čílicové regláor Bloové ché reglčího ovo čílicový regláore w e ČR Č/A S v A/Č Kopí ČR
13 Čílicové regláor čílicový iréí regláor p PSD proporcioálě čě iferečí D P e e i e e[ ] I i e je: K Pe K S [ ] e i K D e e i P D S K P váh proporcioálí lož K S váh čí lož K D váh iferečí lož vzorovcí perio iréí č. Pro vielé prer čílicového regláor PSD plí D K P P K S P K D P I P K P K P I K D D K S K P 38 Čílicové regláor Přírůové lgori I PI PID e I p e e e I g e g e g e g D p D g p I D g p 39 Čílicové regláor 4 3 Z průěh vplývá že vrová čí veliči pro lo hoo vzorovcí perio ůže ý hrze pojio čí veličio zpožěo o polovi vzorovcí perio j. /. 3
14 Čílicové regláor Náhrí loové ché reglčího ovo čílicový regláore V W R e S Y 4 Vol vzorovcí perio Pro vol vzorovcí perio eexijí jeozčá prvil oporčeí. Pro oriečí hro vol lze poží álející oporčeí. Vzorovcí perio Proce 5 μ přeé řízeí oelováí elericé é; eergeicé é; přeé říicí roo 5 ilizce výoových éů leové iláor režér zprcováí orzů virálí reli ělé viěí 5 oiorováí řízeí ojeů; cheicé proce elerár 3 reglce průoů 5 reglce l 5 reglce hli reglce eplo 4
Řídicí technika. Obsah. Popis dynamického systému Třídění základních lineárních dynamických členů Algebra blokových schémat
9..7 Akeický rok 7/8 Připrvil: i Fr Říicí echik Dické é Alger lokových ché Oh Popi ického é říěí záklích lieárích ických čleů Alger lokových ché r 3 Popi ického é Jo vžová poze lieárí cioárí ické čle j.
Řídicí technika. Kvalita regulace. Obsah. Kvalita regulace. Časová oblast Kmitočtová oblast Oblast komplexní proměnné.
6..7 Akdeický rok 7/8 Připrvil: Rdi Fr Řídicí echik Kvli regulce Oh Kvli regulce Čová ol Kiočová ol Ol koplexí proěé Kvli regulce Cíl regulce ůže ý plě růzou kvliou, o pouze z předpokldu, že dý regulčí
Technická kybernetika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2017/2018. Připravil: Radim Farana
8..8 kdemický rok 7/8 Připrvil: Rdim Fr Techická kyereik Lplceov rformce Oh Lplceov rformce Lplceov rformce Lplceov rformce L-rformce převuje velmi účiý ároj při popiu, lýze yéze pojiých lieárích yémů
í á Č é ě á í Ž ý ů ě ú á č ž Č ží á ý á ě ý ý ý á ů ý ě á š š ď í ě í ž í í ří šč ě ý ý š é í é í ý ý ř ů ý ý áží ů í ý ě ší íš ž Č ý í á ý í ř í ě é
í á Č ý á á á č í ů ř íč ří á á ý ó š á á ž á í á ý ó ší č í é í í é ě í á ř á á á ě ó í ě ě ž ů ý ž ů ř í ů ř ž é í ř í ž č ě ó ř ž ř ě ší í í ý í ě ý á í í ř í í í š é á í á ří í š í ř ž ř í ů ě í í
ž ž í ě ů í ě í é ě ě č ěž ů ř ě ě č č á š ě ý ř í ě ů ě á š ě ě ý ž čů č á í ý ů ří ě í č éč ě á ší ž á á í ě í ř í á í ý ě í í ř í á ě ě ě íš š ě í
í ť í ť í í Č č úč í ý í č í ě ě í Á í ř í á í í š í íš š í ě á í í é ě á ě ě í š ě í ú ý ř ě í š ě í ú ý ř í ý é š á í í ý ž ý ůž ý á í č ě ě í čí í á ů ě ě ží á ří š í č ří ů ě ě š š ě í ě á Ú ý č é
ší í á ý ý ř é é íč í ž é ě é č é á í í ěř é á í ý é Ž č í š ý á ě ý í á á ě á é ú á ý č á á ě í š ě í í á á í š ě ší ů čí ř í ž é ř í í é á ú ž ří ť
š řá ý ý á í ě á ů é á í ě á ř ě á Í í ě í č ě ě í á ž č é á í ý í í é č é š í ř ě Ž č á í á í á ý í ě í í é č ě ř ě í ě ě í č ý ě ů č í ú ř ě č í á ů é š á í Žá ů á š á ý á ý á ž é ě á ř í ř ě ř á ý š
ú ů ě ě ž é éčí í íž š é ří ý čí í í ží ě á á ý ú š á ž ú č á ř á ě é ó ýž é š á í ě ř ř č ý ž ú ě ý ý é řé ú ú ú ž ú ř é ž š ý í ě í ý ý Ž ž š ě Ž ó
í í í Í Í ÍÍ ě ě ú ř ó ě ě ě ě ě ě ě ě é ž Ž í Í ě ě č Ž ž é é é é ž ů ň š š š ž ú ř ě ý Í ř řá ř Í é ě í ě Í áč ř ě ě á í ě ě ý ě ř í ří ě š ř š á ří ě ě á ří ý í š í éš ě ř ě řá Í š ě š ě ě ě á š ě á
ř ů á č ě í í ř š ě í í ě ů í ž ří é é ě é í ý á š ě č ě í Í í ří í Ž é íž š é úč í ý ů áš č ý ž í í á á ř í ň á í ý ř í ř ě ě ší é á á í š ě í í ř š
ří í í ří í á é č ě é úř á é é ú í á á í í řá ě í í řá ř í ý ž í ř í ě é úř á Ý čá ě Á Í ú í í č í ě í í é é é ž ý é í ě ř é ě í ě é í ří í í í ří ý ž í ř í ě é úř á í úř á í í ě í í é é é ž ý é í ě ř
é ý čí á ří ř čí ě ř ří í ř š í ě á ě íč ý í á říš í ří ě ů ž ří á ř č á č ž ří ě á ě ý ří ů á á ří ž Ž ý ě ý ů í á ří ě Š čí ě é é č í ů í ů ě ě ý á
Í éá í é í á ř í í ů á á čí á é Í ří Í é ř čí á í č á ř í ě é í é č é ř é ř Ž ý é ó ž č í Ž ě ěž ř č ř ší ř í ří ě á í ň ří Ž š é š ě í ý š á í š ěž í é é ý é ý ů ří č éž í ý éú í č á íž ý ó íž ý ó čí
í Ů Ž ž á ě ž ú č á ó ž á í Í š Ž ú č á ó ě ří ú é ž á í ó Ž ž ú á č ě ř í ř é í é á á ě é í ž é é ě ž ž á ú í ř Ť ú číž é é ě í á á á á ú é é ě ó ž í
í é ž í Ž é á Í í ě á á í í Ž ě á ě ě é ří č í ě Í á ě Í éž ř č š á á ě Š á Ó é ú é é é ř í é ě ž č ř č ř Ž ů ě ě ž č íř é Í ř é í ě á š é ě é ř é ř é Ší ě í á é ě á í ž ů ř á á í ř í á í ě á í í č í á
ť í Ž ě ě í í ě ě ž í ě é š ě á í á Ú ší ý í á á á á é á á Ž ý í ě č ě í á á í é í á š í ě á é í ú í ř á ů ú ů ž é é š é í á á ř š ě é Ž í ó á ň é č é
Č Č ě í č ý Ž á ý ě é ě ý é ř é ě ý í š ý ý ý Ž í é á é ě ří ý ě ě á í š ě ší ý á í š ě ý č ě á á éž áž á Ž Ž á á ě ě á ý í ý č ě é č é á é é č š ě ý á Ž Ž ý ý Čí ě ší á č á í í ř ó ě áš ýč ář Č š Í ší
ý í í ší á í ž í í í á áš í á í ř ť Í ý á íž ý š ý č é é Č ř ú í í ý á í Ž í í ř č ě Í í č é í ář á ě í ř á ů í í ší á í í Í é š ě í ž ť ů ě ý í č í á
Á Í á é é é ý é ě š í č é ř á éčá č ý ý é í í žč ř Ž í š ý ě č é š ě ý ě ší ěž é ě čá í í č ýý á í í íš Š ý ě č é š ář í ů í í č í ů é á é č ý í á á č é í á é ě ž ý ý ě á á í á í ř ě á ý ů ý á í áš ě ě
ú ú ú á é í ý í á í ý č í ř š í ú í ú č Č ý á č í č í á ř ť í Č á á ú í Č í í í ť ý ú é á ú ť ř í ř ůž á é Č ď ů ř é í č ř ÍÍ ú é á č á Ě í č ř ú á ž
á í á é ří ý Č Č é ř ůž á Ř í á á í á ý í á ř í Ú Č ú ů Í é á ží í ý ř í ý ý ý é ž á í č é ř íč í í í ý á é é á í ží á á ď ň é á ď éří í é ř š á Č á ť č íří š í é ří í č é š í ž í éč ů é á í ú ů č íú ž
ý éž í í á í í í á á éří í š á á éří í ří ý ý ý í í á žá é á ší í í á á á á í ý á ř é í ář í ý á ň á ů é á ř í í ý š ú ů é á ů á é á á ý Č íč é á ž í
á á é ú á ří ý ý Čá é íč ř ůž á á ř í Ú í Č ý ž ú ů é á í ř ů á í é í í ž í é úř á á ý á í ř í í Č í ů ů š í á á šíř í ř é é í é ý í ž á í á é é ř í í é ů í í í š é Ť í á ú ř í í ů é á ý éž í í á í í í
á ř ě í ěž é ší á áš ě ů ů ř í ě á č é íčíž í á á ů č ý č š š ář ž é č é áš ě í ě é á ě ý éříš á čá í š í ž é é á é é ž š ě á ě ší ž ř š ě á ř áší č é
Ó Á Á ó í ě í á é é á ží á é á í í ř á á á č š á á á í č í í ň í ř ší á á í ří á í é á á ě á á á ř ě á í š ě ý í á ří é š ýš ý á é ý ě é ř éž ž ě í í í š ž íš í ř ě ě á í í ž á úč č ě ý á ó ěř ě ů č ů
Č Á č ý š í ž ě í í é ě ý ší ž ó á ó ó ý á řó í ě ý š ú ž áž ď é é ě áš ě ěž á í ě ž š ú ó ě ě Ž šší á Ž ž ý ě č ě ř áž č ú ě ř á č á ú á ž é č ě ě ě
čí ě á ě í ů á á ž ě á ší ří á á ů č í ď š ý ů ě ý ě č ží é á í Č é ář ě ý ě á á č í é č í ž é ř č é í ž šší á šší é é é ě ž š í ž š ě ž š Ž ž á ě á č ší á žíš ž é é č á íž á úč ý č ž č á ů Š á é č é á
Š Ě Ě ÍŽ Č Á š ě ě ž é ý ý ář ř š ě ří ů ů ř ěř ý š é Ž á ě ě í ó š Ž ů ě é Ž é ě ř ž é č š řá íú é á ě ž ůž í é Ž ó í í é í š ě č í í í ý ě ří é ř í
Ó Á Á é áž ě é ý á á á í Ž ě í í á ě ěř é ó í í í í ě ó ě á á á ý é ř ý é á ě ý ý á á ří é á š í ý á ž í ý ý ý ů ž ě ší á ř š á é ň ó í á í ě Í á í š é á í ě ý ř ý ě á č é á é ó ř é í í ý é ř á ň é Ž á
ě ří č č ě ě č ě á í ě ýš ří ě č ě í É á ý ář é ř č é ř í č ě č é ř í č ě ř č ý č š č á č í á ě ě í ř š í í ř é š č í á č í á Í š š ě ř ů á čů áš ř é
Ý á í ě č é í í č í á í ě č ě č í á í ř é č í á ý í č í á í š í ě č í ě á í ž á ě ů ř á é č š ě é é í í é š é á é í č ě í í á é ú á é č á á ř á í ě ěř ě č í á í á ý í č í á í š í ě č í ě í Ž á í é š é
ů í íř ěž ý ú ž ý Í ů í í ý í í í á ý á ř š ý á ů Ž íá í í čá í í ší ě š ě ř á čá á í ý á á í ř č á á á ž í ř ě á áš í ž ý ř íčá á é í á á č ý ě á ě á
ř č ů á ří Ří ě ě š ů ří é á ří ý ž Í ě ě šť ý Š ů é š í Ó á š ž í á ý ří ž ů Í ě ě ů ř č ě é ří ů š č á í šíč ý ř ě é ť é š ší ř ý ě éš č ý š ý ř ě ř ý ří ž č ř ř ě í ěž é áž é á é ší áž š ň ř čí š ě
Ú čá á á í á á ř š í á á í í ů ř Š ě ží ří í é ř Ž í č í í š ě á í žá ě í í š ě ě ě ě ší í š í ě ě ě ě ě ř Ž á í Ž ý Ě č řá ě ří í ží á í š ě Ž ý á č
Ú čá á š ě á ě ý ř šť ěá ě ý ř š čá Ú Č í á ě á ř š Ží ří í é ř Ž í č í í š ě á í žá ě á í čí í řá é í ě ý ř šť ň í ě ř Ží á í ž ý É ě řá ě ří í ř ží á í š ě ž Ý á ď ší ž ů ě ý š í á á Ú Č á í é ý ří í
Matematika přehled vzorců
Me přehle zoů. ýz: ýáí: ) (. Mo:... :. o: 4. Ká oe: D 4 D, 5. Kopleí číl: 4 4 5 4 6... Číl opleě žeá:, Zápoý epoe: lgeý opleího číl: Gooeý opleího číl: o 6. Log log log log log log log log log log log
í ě ší ý á í í á ě ě ú í á í é á í ý ů ě ě ší é č ý ří á í čá í í ě í ž é ž ý á ý é ý ž čí ž í ší ř á á č ž ř š é ř č é ží í ě ší ř á č ý ů á ů ý č í
í ě ší ý á í í á ě ě ú í á í é á í ý ů ě ě ší é č ý ří á í čá í í ě í ž é ž ý á ý é ý ž čí ž í ší ř á á č ž ř š é ř č é ží í ě ší ř á č ý ů á ů ý č í ů ž á ří ří ž á í í ý é í ž í ě ý č é á ž é á ě á á
ň í í ů ž ý á é á ě í ě é ř š ě í ě é á í í ž í ž á ě é í í ě ý ří ě ř ž é ě ř á í í é á í í č í í á ě é č í ů ů á š ě í í é š ří í í ý ž č é ě é ří í
í á š ě ířá ř á í é á ě ý í ě á í á š ě ířá ě áš á ě é ě č é ěž á ě ý í é ě á í čí ř ží á í á í í ě š á ě č á í á á á í š á š ě í ů ě é í á ě ý í í á ží í í ří Úč á š ě í řá é š ě í č í ěž č í ž á í í
ř ě úč ý á á á č í ž í ř í á Ž í š á í ář é ř ž á í í íž í č š ě í í Ř í žá ří á á Ž á č á á í ž í ř í é ě í ě ší ř ů á ě í ž í ř í Č Ž í á í ž í ř í
č í á í ž í ř í Č á č í í ř í í á í ž í ř í Č é í č í Č ý ř á á Ž í í Č á á í čí úč á ÚČ í ě Č á í ú ě ý ý ý ý Š ří í í Č á ř čí úč á í ř ě úč ý á á á č í ž í ř í á Ž í š á í ář é ř ž á í í íž í č š ě
č á ý é í í é á ě ě é ěř á í é ě Í ž š á č é ě š ě č á á ý žá ě ý í ý ě á á ě č í í í ě Í á č í ťš ěšťá é ž č ž é ř ý č í é č í šší ů ě é ů áž ý č á č
Í á í á ý ří č ý č í í ž é íř ň ě š ů íší í é é ě ň í í í í í í í á í ě ž í é ř í í á č ý á í č í á í žá ž ý ě ě ě é á í ě ě š š ě í ý ě é é é á í č í é á ř í é ášť ý é ů ý ý ě ý á č ř é ě ý ř ší č í í
Ů ř á á ú á á Ž ě ě č á ý č ú ý ř š ů ě ý á ř ů čá č ě ě ě ý á ú ř é ú á á á ú á á ú á á Ú š é é řá á á řá ř é ě ý ě ž Ú Ú ř ě ú á ř š Í á Í řá á ě ý
á á ě ě ě úř á ě ě Á á á Íú á á á á č ý ř á á á č ú á á řá ě ě š ř ů á á á á á á ř č áš č Ú ě ý ú ě á ů ú ě á č ř úř á ě ě ě ú á á ÁĚ š á úř á ě ě ě č Ů ř á á ú á á Ž ě ě č á ý č ú ý ř š ů ě ý á ř ů čá
š í ů í řú í á Ž é ě ý á ý á ý á í í í ž í Í š ří á í ě ě ě í ů čí í ěř é č ř í š í í í é ď é ě é ě á ý ž ý ž á í ž ě ž á ý í ž í í á č é ý é ě á á ě
š í ů í řú í á Ž é ě ý á ý á ý á í í í ž í Í š ří á í ě ě ě í ů čí í ěř é č ř í š í í í é ď é ě é ě á ý ž ý ž á í ž ě ž á ý í ž í í á č é ý é ě á á ě á á í í ů Í é í íš č Ří í ě ží á ž Í í ž ě Í ž Í í
á ý ě ší čí č í á č ý ář á ž é ó é č ě á š ě ě óš ó á čá čň č ě á á ó í ř é á í íá í á é ř ž ž ě ě ší é í š ů í ě ň ť ó á í Íí í ň í ří ů é ř š í č í
É Í Á Í á í á í č ý í í č ě í í ý ě í í č š í ří ě ě ý ý ů é ě í á í é é é á ý č ě é č é í í é ě ř é ž í é é ň ř ší á é í ý ý í žň ý á í í í ř ě č ý í é á í í š ý í ě š ář í é á á ď á í ž š é á í ť í ě
ý á é é á ě é ř á ř é í í ě é čá ř í í í ů á í á é ý á í é á ž ý á ě á á Ř ý á é í é í í á á í í á é ú í ě á í í ě í ě é ý ý á ř á á ý ří ů č ý í ý á
á íč č í á í ář í í á á í á á í ů Ý Á ě é ý é ý é í Č í í Č á ř ó é ú č ý á é é á ě é ř á ř é í í ě é čá ř í í í ů á í á é ý á í é á ž ý á ě á á Ř ý á é í é í í á á í í á é ú í ě á í í ě í ě é ý ý á ř
á ý é í č ří Ť á íč é í ž č ř Í é Ť č í ž á ý ý á é č í ý ř ří í ž ř é ř á á í ý ý ů í Í ř ů Ž á á á ž ří š ě Í ž č é ří ř í ř í Ť ý š ý ř í ý ů ří ř
á ý č ř Ť á č ž č ř Í Ť č ž á ý ý á č ý ř ř ž ř ř á á ý ý ů Í ř ů Ž á á á ž ř š ě Í ž č ř ř ř Ť ý š ý ř ý ů ř ř á š á Í ř ý ý ř ř č ř ř Í š ý Í Ť č ř á Í ó č ř ý ž ý Í ř č ž á ř ž ý ž ří ř š Í É Í ř Í
í ří á á í š ž Ž í ů ý ý ů š ý éž č ě Ž é é ě ť íš Ž ř č ří ší ě í ě á š č ň ě Ž š ší ě é ž š ě ě ý ří ě í é ě ý ň á í š ě ý č á é á í á ě í í ě é ž ž
á ý í ě í í š č á ě ů ý é í á óš š ů ářů á ý š ě ř á ů ý č č á ů ý Ž á ě Ž á ú ří á ú á č áž č á ě á á ž á š ě í í Í Ť ý Ž š ř ř í ů ý áš ž Ř č Ř ř č é ý Š Ě Á Ů Š ý ř á é áš ž ě é á ř ě ší á ů Í á í č
ú é š ě á é í í í é ří ří š ě ě é č ú é š ě í í í ě í í ě č í í á ří í á ý č é ú í ěří á í í í ž ý í ě í č í ů í é á í í ý ů é é ě í í ý ří í ř ů é í
Á Ě Á Í Ú ě í ú ě á í Š ř á ě á úř í á ěš í úř í á ě úř í á ží Š á í úř é š ě á í ě č í í Š é á Ř Á ÁŠ Í Ú Í Í ý á čá á ě í úř ě í ú ě á í í úř ří š ý í á č ú í á á í í řá á í ě ě í ě ší ř ů á í á ú í
é ě é á š é á í ů é ě é č ší ě ě č č í í ů ř áš í í ř š í á ý ž š ě č ž ž č ě Ž Ž é ž č ž č í ďá é é í ě ú ďá á ú ě ř Á š í ě ž í č ě é á čí š Ří í á
á á Ý á í é á ů Í áš č ží é Í í é é ě ý ů í č Ý ů íř č š á ř í á č é čí ý á č é ří ář Í á č é ř š ě ž ř š í é ť ě ě č é íž í ří í í í Ž é ě ů á á í á řá í ů ě ý á č é é ě ý ú ář í š ě ě ý í é č á č é ž
ž í éó é Č ó í ě ý ží í šíř í č ář ř ší ž í ů ě ý ý é ě ý é ó ě á á ž á ř ř é í íž á ž Ž á á á ý á á á í Š é ž ý ě ší ť é ý é ů ě ý ý ť íž ý ý ý ř ší č ě á á í í ří á ě í á č ě ý í é čí í í ž é ě ý í
č é í ř í á ý ř á ň š ší í ů á á í á í í é ář š í í ž á ž é á ž ú é ě í ě ě á ě éš ě é ž á ě é á é ě š á í ř í á í č ěř í ě á ř é á š ž é ů á š š á ž
é ří ší ý é í ě á é č ěž š ě ěž ž č ě é í é ý á ž á é ř ý é ě š í í í é á í ě í í ž ě č é ř é ě í ř í í ž á í í é ý í á í č á á ř á ř ší á á ř á í š é ě á í í á í ý ě ší ř ý á í ě é ý á ů ó ří ý ř í ě
č í ů ž ý ěř í Ž ř í š ě ží á íá í é íž á ě ě ý á í é ž ů é í á é ž ě ž ř ě ř Ž é ří ž ý ě í č í é á é á í á ý ěř ř ší ř é ů ů č ě ň í í ěšť é č í á í
í í á ů ř Ž á á í ě í ů á ž ž é í ř ř ě č í Ž ž í ě í í á ěřá ý č í í í ý á á čí ř á ý ž é é é í řá í ý ěň í í é á ě ě č ěř í í řá á í í č á ě ší ů ě í ů ě ř á č é ě é ě í á í ří á í ě í é á á ě é é é
í é ř ě é č Ú í í í á Ó š á ě ě ě í ší á ů á š á ú ě í ě ší ř ů č í šť í é á é í í á é ů ě á á č í á íó á í é í ř š ů ří í ě č á ř ě á í úč ř ů šť á í
č í íí Ů Ří í í č É čá í é ř ě é č í é ř ě é č Ú í í í á Ó š á ě ě ě í ší á ů á š á ú ě í ě ší ř ů č í šť í é á é í í á é ů ě á á č í á íó á í é í ř š ů ří í ě č á ř ě á í úč ř ů šť á í ů ě á š á á í ě
Ě ě é š Á Í ž ě Í á á ž ě š ř ň á ě é á á ě é ř á Í Í é ší á é á ě ť á ě ó á š ě č á č ó ÍÍ á ý á á ář é á é á ě ý ř ý á ř ř ě ó á Á š á á ž á ě ý á ž
ě ň á ý ř á ší ář š ě ý ť é ě ů ě č č Í ě ž Ů ž é ý řž ý ý Ž ě š ý ů ě ř á ů čí Í Í š Í á á ě á é š ž ů č ř á ó á Í á ší ář Í á á á ě á řž ě řé é ě ů ří ě é Í š ž é ů ě ě ř ší ý á Í ž é á ě š ž ř Ů ě ó
é éž á ó ý ě č ě í ž é é š é í é š ě ě í é í ú úž ú é ž ě ž ď ý ý řě ě ě á š á š ř ý ďá ě ě ě ú Ž ý ť ě ž řěčí ě ž í šě š ž ř ř ěř ďá ó ř š Žá ě í ě ý
Í Í Ý í í í ě ý á é í á ř č é á ý á ý ň ó š á č ě é ř ř čí é ú č ž é š á é á í á ř č Č á č ě š ě á í ď š á ř é í é ě á í čá ď Í ěč é é ěř é ě ší ě á í é žď á á š ř čí é š ě ž ýš á í é ě á ď ř ě í é á ú
Ť ě é ř é é íž ř ě á ěř á ý á í é ě ř š ě í á é ý ř í á í ř ř Í ě ě ý ě á é ř Íž Í áš ř ě é é á ěň í í ř ě é ě Í é ř í í ý Í ž ě ě č á í ší ě á ý ž ží
ď á Ť ě é ř é é íž ř ě á ěř á ý á í é ě ř š ě í á é ý ř í á í ř ř Í ě ě ý ě á é ř Íž Í áš ř ě é é á ěň í í ř ě é ě Í é ř í í ý Í ž ě ě č á í ší ě á ý ž ží ě č ě ář í č Í á é é š í á č ě á í ý é ář ř ě
á ó ší ř ě á ě ě á í í í é ří ž Í á ě Í š í í í ó í ě é í í é ř Í é í ť í ří š ě á éž ž á ž á áá á í í č ě ř č é ď Ú á é ě ě É á š ě í Ž á í íč Í É ř
ě í Íč í é íž ě Č é á ť ž ší ť ř č í á í ž ř ě é ř ž á í ů é ř ě á č é é ě ř Íž á š ěí Í ší Í š Ě ří é é ž í č ý ů á í ě é ř í č ě š Ž ží á í í é í ě š č í í í í á í é é á Í ó í ž ě á íš é é č éé ť á ó
íř ž ý ů ů ý ě ě č é áž é é ž í ě řá á é ří í ž ě é ší ž ří ě áží é ů í ě ě č ě á ú é ř í í š é ž á ě í š í á ě é ý ý ý ý í ů í í ě ší á ě í í ůž á í
ů čí ř ě é áří á á č í ě ý á í ž ž í á ří é ý é é á ý ž á í ě ó ó ě ý ý ř í ě š á é í ř ě é í á í í ě čá í á í č ě ý ů í ě á ý ý ě ž íš ž ě í ů ž ů ž ý á í é ě í ý í ř í í ě í á á á ší á Í ě á í ě í ě
ě ě í ý ě á ý ů é á í ů á č š í ř í ó ě é á ž ý í ě ýč ář ř š ě ý ář ý á é á í š ě é í ř áž á á ě í ě á í í í á ý ří ě ý ě ší é á á í í ř ř á á í Í áž
Á á í ý á í č é é á í í čí í ý á ů í é á í ř ů ý č é é ř í á é é ě ě í ý ě í é ý á í í í ý á í ž í č ý ý á ů ů řá é é á ý á ý ě í ý ě á ř á ř é š í ží í ě é ě é á á í á á ů ě ší ů á í í ů ě í é é ý š š
ů í ž áš ř ř č ě ř š ě ž á š ě ž š é ž á ř ě ž á ý řá í á ř ř í ř ř é ř ý Í Ž ý á ý ý ů ě ě ší ří á ý é ů ě í ě á ž é š ž á ý é ř ůž ž š á á ě ě ť íč
Ž Ý Á á é áš á á ě ž á í ř í ý ý ř ů čá č í ý ý ý áš ř ý š ě č í ě šíčá č í ř ř ť č é ů áš ě á í í Ž á ř Č é á í ř Č á ž ů ě á á ý í č í é é č é í ř ž ý ě áš é á í á á ě á í á čí í á č éě í č ř í š é í
í á ž é ř ě í é á Ž ú ů í ú ř č í ů ř ý ř ýí ř ž í ř ý ř č í í ř ň Š ř í é š á í é ú čí Í ří ě šííř áž ří š ě Š í ý á á ď á é ě Í á ý ů ří ě á é á ěž
í á ž é ř ě í é á Ž ú ů í ú ř č í ů ř ý ř ýí ř ž í ř ý ř č í í ř ň Š ř í é š á í é ú čí Í ří ě šííř áž ří š ě Š í ý á á ď á é ě Í á ý ů ří ě á é á ěž éú Í ř ý ří č ý Á á í é ý ř á é é á á í ří á áš í á
á í í Č ť ó í íď ý í í íř ý ř ě Í č ť í á š á ý é ů á í ť č Í Í é ď ž é ž ť é éř ů í š ší ý í Í é á É í ě é ř í Í í é í ř ě á ó í í ě š ě ý á ř í á í
á Č ť ó ď ý ř ý ř ě Í č ť á š á ý é ů á ť č Í Í é ď ž é ž ť é éř ů š š ý Í é á É ě é ř Í é ř ě á ó ě š ě ý á ř á ě é Í Ž ý ť ó ř ý Í ů ů ů š Í ý é ý ý ů é ů š é ů ó Žá Í á Íř ě šř ó ř ě é ě é Ě š č á č
É Ř Á Ý Ý Ě Á í í Á í á ář Úč ř í í í í ý ř ň á í í á é ř é é á á ý í á á ň č á á á é á í í á í í á ží á ý á í í í ří č í í é á í ří í é á é ář Žá Ž í é í é á í ří á í ř á í ř á ří Š é á á č í í á ý ř
áš ú ě á á á ž č ý ý í ů é é š ě ě á š ř š ě ů š í ě é ů ě š ž ž í ů ě í í ů ý á í ší ě ž á é á ž í ě é ří á ě č ň š ř ě č ěň é ýš ř é á í é ěň ů ě á
áš ú ě á á á ž č ý ý í ů é é š ě ě á š ř š ě ů š í ě é ů ě š ž ž í ů ě í í ů ý á í ší ě ž á é á ž í ě é ří á ě č ň š ř ě č ěň é ýš ř é á í é ěň ů ě á ž á č ý á ř á š í á í ý ž š ě ě Ž á á ě ě ě ř áří ž
á ří á č á á á ÍŽ é á ž ř ž ě ž á é á š ó á é é č é ě é ž é é ř ž č é č é č čá á ý é ý é č é Ě á ř ů á č é ž š ě Í ř ř řěř é É ě č š á ů ň é ó ť ě ě ř
á ří á č á á á ÍŽ é á ž ř ž ě ž á é á š ó á é é č é ě é ž é é ř ž č é č é č čá á ý é ý é č é Ě á ř ů á č é ž š ě Í ř ř řěř é É ě č š á ů ň é ó ť ě ě ř š ť é ž á ťř ář ě ě á é é č é š č ť é ě é é č ž č
ť
ť Í Á Á Í Ř Í ť Ř ÁŘ Ř ť ž Ň Š Ť Ě Ň ť ť ď É ý ý é é ň ž Í ť ž ž é ů ň Á ý é ů é é ž ů é é ŮŽ ž ž ž ň ž ň ý é ž ň é ůž ý Í ú ž ů é é é Á Ú Á Š Ů é é ž ž Í Í ý ž Á Ň Í ů ůž ž é Í ň ý Í Ě ň ŤŤ ž ý ž é ž
Č ž ů í Ú ř Ž é Ž á á ů ý ě Ú ř ž í í ů í ě í ží í ů ů ě á í í ě Č ř ř á á ž ž á ší ř Ž í í ě í ř áš í ž á ě í á éň ý ů ří í í ů ř é ž á ůž á í Č Ž ů
í řá á í á é ú ú ř í š ě á í í á í ř á í á é ú á á í á á í ř ý ý í ž í á ě á á á á í řá á í á é ú ú ř í š ě á ě ý ý ří í í ň á í á é ř é é í ž á Č á í Ú Ú Žď á á ří ň ý í í á é é ů ří ě ý í í Č é á á í
ří úč é í ť ší á é í í š ě ž ířů ě ý ě ří á ě ř á ý ý ě í ě ří á í á í á ř Ž ň í á í ří š á Ž ř Ž ý ý á ů é á ě í ě é í ť á č ě ží ř í í í ž í é ě ý š
Ý Ž Ý Ř Č Á Ý Ě Í ů ší ří ý ž ý úč ě š ý á ů č ý ý á á ž é ž é á é é ě á í ů ý á í ý ě í říž í ě ý ě á í ě í á á í ů í á ď í í ř ě ší á ů ý ý á ů ý ě úč ě ř á í é ý á ů ý ů í í č ž á Č á Ť ž ý ě č ě í
é ž ú ú ú ú ý řěč ř ú úč ú š ďá ě č ó ř á úč ě š á žíš řě ě á ó Žíš ě é č é ě ší ěžší ú ě ě ší áč é ž á ý ř š í čě ší č ú ú á é ě é š á ú á á á í ř í
ář ě ě ý ť Í š ý ýť á í í ň á í č í ý ý ý ý č á č áč í á ť ě ě é á í í ý ř á ší ě ě ší í á ý á ě ší á í č ě é šš č í á í ší ř ě ář Í í ň čá í á ř í é á í ěř š ář í é á á é é ů š á í é ě é ý á ý ú á é á
é ř é í á é ří ý ý č ý ž ě ě ř ě Ž á í š é ří éú ěž ší ě š í é ě é ě ú ří ě ř á íř áž ě č ý ř ý č ý ů ř á ý í ý ž é é á á í Ží é ří é Ž é ý á á á á ž Ž ý í ť éč í Í é č í č ý í í í í ť í ý ý ě š ž ě ě
í á í ří ě ů í ů á é á č ý čá í ří ě ší ří ě í í ů í á šť á í í í ů á é á č ý čá í ří ě ší ř í é í í ů í á í á ů ý šť á í á í ř š í á ů í í Ť íúč ř í
č í ří á č ě í ě ší ř ů í ýů ě í č í í ů š á í ě ň š á č í í ů š á á č í á á á é ď í ě é é é ů ň í ě é á á ě é ť ý í á í ů ó á ď č í áň ř á ě ý ř č ě č ř ě č č í á ý ů ý á ě ý Í č ý čá í á ť č á í č ě
á ší ěž ý Ž é ě íč á ě íč ě á ý žá éž ě čí ú ě ě íž íč ěš á í í á ě í š é íč íč é ř ž é á ší š ř í í á é Í š řá ů á ů ž ž ý í ě ří č á í ě ý í ý ý ě á
é č í í š í é č é ý č ý í ěž é í ě é ří é í á í š í ž í ř ě í č á ě ý ě ý č ů š ř í á í ě ší í í č ř ů ů é ě í í í ě ř ě á řá é č é í ř ý ž ž é ů í é ří ží ř é šíř í ý í š č á á á ý í ářů ě š č í á í í
ř ř ř ó é ř ř é ř ř ů ř ř ó ř ř é ř ť Ď ž ň é ř ň ř ň ř é ž ů ň ř ň řú é ň ř ů ň ř ň ř ž ž ň ř é ž ů é ů é ň ů ů ž ř é ř ů š é ů ř é ř ů ř ů é ň ň é ř ň é ř ř ž ů ů ř ž ž ž ř é ř ř ů ř é ř ů ř ú ů ú ů
Č í í č čí č Ž í Ý Í ří ý šíř á Í á Ý í ří ý říí éř áč í ůč ů ž Ý Í ú č í é Ž ř Ý í á ů á í é íáč í ří ě
í í ý ě á č ší ý Č í íž ý ýž ě ý ůž š Ž ší í č í íž č í í ě í á í í č í ý č í č í š í í č č é š éž á í ř ů ř ě á í é á í ů ě á í Í č í ě ě Í á č í í ěř á íř ý á č úč í čí á ě š íž íž ří ý ů ý á á í ý íží
Ó í á í ú í ě í ě Č ě ěš á í ě é á í á í Ž í úř Ú í í ě í í Ž ř ú í á í á ř í ě í í Ž Ú í í ú ě á í ý á á ř á ě á ř í í á Ž í Úř í Ž ř á í Ú í í í ě í
ý ť Ň á Ř é ň á ď ň á á Ý ÚŘ é É Ú í ý Úř é é á Ú ří š ý í á í á í ě í ě ší ř ů á á á í řá ě í ě ší ř ů á á í řá ř ě á í ě ě ěš é í í Úř í í Úř á í úř Ú í é Ú Ú í í í úř Ú í á ú í á á í í řá ě í ě ší ř
úč í ář é í áí č ě ě á é č á ě í ů ň é é í áž á á ž í š ě ů ší ý á á Í á š ř í ě ě ěží ě ě í ý ů ě í á ž ý é ě ží ů á é é ř é Č á í á í í é ů ě ý ý é
í ý č é í á í ř ší ý á ě á ě á í í á í á í ě ý ř š í íž ě á á í ě í í š ý ý é Í ý ý č é á í í í š ě ě í ý ě ý ů ž ů ří ě íš á ý ž á í ěšéá ý á é č ě č ž ý ů í á í é ě á ý é š ě í é ř ř ě í á í ř á č é
á é ěř ý á ěž é ž ů é ě í í ý í í í ý é á í žá ý á íč í í í í í ř í ý ě ý í á í šé á š ž čá í č á ě í Žá ší á í ě ý í ř á č éč é ó ě š ý á í áž á í á
Á á á á í ě í č ě í ý Í í í á č í í ý á í ě é ě í ř í ě é č ž í ě á í é ě ě í ě á ř á ý é é ú í í ě é ří í č Á Í Č Á Í Ě É Ý á ú Ú Č é í ě ě ž š í á š č í ě ě ě é Ž Ž ě ž č í ě č é á ž é ž é ů í í é á
ř ž ť ť čá á ý ý á á áč ž ý ě ě ů á ř ž ř á ř ž ř ž ň á ř ř ř ý ěř ž ž ý č á ř ý č č šť á á Ú ý ó ž ť č ž á ě á š ě ř á á ě ůř ů ě š á ř ž á ě ř ř š ž
á ůž č á č á č á á ň á č á á ů ěř ů ěř á ě ř ň á č č ý ý ě š ě žá á ý á ř ě ú ř á ž ž á ř ě ě Í ě á á č ě á ř ě á ř ř ě ý ú ť ř á á ě ě á á ěě ý á š Ť á ě á á š Í á ž á ě ě ž ě á á á á ě ů ž š ě ý ř Ž
Č í í í ě í í ě í í č ý á čá í ěří í í í é ří á ří é ě í ý ř í í í úř í á í í úř í á č á ě á ů á í ě é Íí í ř á í í í í ř Ží í úř ří á ě í ů ě ý á í ú
Ě Í ÚŘ ě í ě á í í č ř í š Č ř íř á Ř Á ÁŠ ý á čá á ě í úř ě í ě á í í úř ří š ý í ď á č ú í á á í í řá í á ě ě ší ř ů á í á č é ú í í ří í ř ž Ž í á Žá á í í í ě í í á á á ř ží á í í ří á Č ž ě é á í
ě ž í ě ř ší é í í ý ě í ř ý Č íč ář ší ě ší ž ů ě á é é í č ý ů ž á íé ěř ó í í á ě á í é í ž ě š ž ů é ý ž ší ř Ú č Č Š ší ří é ří í á č é é á í ů ž
ě á í é á ý í č ú ž é í ě é ž ř í á í ž ůž ý í ý ě ů č éí í ý ů í í ý é ř ý Ž í á ž ž ř ě ěř áž ř á í á ý é í á ů ř ř ž ě ý ž é čá á í š ě ší ů ě ň é č č čí í í ě é Ž íá ý žší í ě é é é í ě é á é ěř ů
řá š á š č ř ř š á ř ě í í á ř ě é á á á ě í ě á á č ě Ú š í ú ý ě í á á ř áš ý á ř ě ě ú é íž Íé é ě ší š é í é é ý ř ř Ú é ř š žíš š ů í š ě é í š ě
ř ý čí ý řá š á š č ř ř š á ř ě í í á ř ě é á á á ě í ě á á č ě Ú š í ú ý ě í á á ř áš ý á ř ě ě ú é íž Íé é ě ší š é í é é ý ř ř Ú é ř š žíš š ů í š ě é í š ě ě ě ř á š Žíš á á í ž č é á é í ž ň š ř ě
č ěř č í č ě ý č é ň á í ě ý š ů á í é Í í ří ě í ě é č é ě í ň ř ě ží ý é ě í ř á í é é č ě ž š ý ří é ř ř í á á ž í á í é á í ý á č é ž í č ř ář í í
Ú Č é í ř ý š ší čá í é ů čí í ší ů é ě í ú ř í á ě čí ž í č ý č ý ř ň á í í á í ž ž á á á ó é í ů ž ě ší á ů á é č é é á á ž ě ň ě í í ě í í á é ě ší á í š ě ší í ě č é ě í ř ý ý ů ř í á í ě ší í é ý
í ň š ř ú í í ář á í ář ě ě í é é ě é í í ě ě é á é ř í á í ášé ů ž é á á í ě í á ě á ž ě ř é á ý ž í čá á ý í á í é é á ý ě č č ý á á í áš ě é é ě á
ÚČ É ŘÍ Ě Č Í Č Í Í čá í ř á ý í í á ě ě š é á í á ž é é ě í ří ě ě á í č ž é í á ř íč ů ě á í ě ě ší ý č í í ý í ů í á ý ý í č í ů čá í á ý í í ě í í í ě ř č í ř í á í é ě ě ě ěž ř í š ě á ě í í é ář
áť ě č é ťá ů é í í í čí á í í ž ů í í í é é í č í á ť š ž í í ž é í ží é č é ě ě ý ú é íž č í ý í š é č é ý á ě í é ě š á í í ý í á á í á é ž é é í ě
í Ž í ý í á é á č ý ů ří ě ř ů í áč č ůž í ě í ř ž Č ů á í ě í ž č ť é á á ě ů ž ě ť á ú á ě ě ž Íčíú ě á ě í ří á ž ř í ů č Č ž á č ě ě í ý ž š ě í é í ř č ž é ě č Ý ý í ě š í č ž í í á ň á í čá í á ší
í Á É Á Ř Ň Á í É í š í á á ě š Ú ý ů ě í á ý ř ří í í č á á ř čň á í ý í ů á í ě š á Š í čí á ě í Š Žá á č ý š á ě ě ě í ší á ů á ý š á í ý č í ě á Ú ří ě č í ýš ý ý í čň á á Ú ý ů ě á ř č čň á í ýš í
ří ěř čí Úč í ú í Ť í á č ě í ě č íř č č Úč í ú í Ť í á ř áš Ří á č íř č č č í č č č š Š š á ý ěčí č č á á ý ěčí č č Š ý áš š č ř ů č íč č č č š č íč
ě ý úř č í úř íř č č Č á Ú ě á úř č ě č íř č č Á Í Í É Ú Í Í ŘÍ Í Í Ú Í Á Í Ř ÁŠ ě č íř č č Žá á í í í ě í á í í í í í í Š Ú č á čí ú í íř á á í ú í č ý í úř ě é úř č í úř ří š ý í á č ú í á á í í řá í
š ř ě ř š é ř é ř í é á í á ě ě í í ěř í ř ří ě ř Ž í é ě á í ě í é á í á ě í á í ů ě í ý ů á áš í á ří ář ří í ň í í í ž š ů ěř í áš í í á í é á á á
řá í í ě Č é í ří é ě ý í Ž ř ř í á á řá á í í í í ě í í á ě Žá é ář ě é á ě é á ř í ší ů ř á í řá é é é í ř í á í é á ě Žá é ář ě é á ě é á ř í Ší ř á í řá é é é í Č Žá ě á í ě ř í á ý ě í é á í é á í
š í ó š í í í í é ěř í ý č é í é čí ř é ř á á í ů š á ý č á í ě ý ý ř ž ě š é ž á ý š š š á á š ý í ž á é ř ů á ž é áď ž ž ř ý í Š ý ý ý š ý ř ř ý ý ý
Š š í ř é á ý ž í š í í ú ř í ý č ý é ů é á á čí á š í é á ý á č ě ě ý é ž é š ů é á ý š ó š í á é í ý š ý á í íž ž í á ý á á á á í á í á í á ě é č áž é á é ý ž í ě é ý ř ž é ú ž é á í ž ž í é ž ě ý ý
í ů í ě ží á í ů ý á í ý íž úč á ě žíš ší ř ř í á á ě ý ř é ý ří č č č č č ř č ž ě é ř ú í í č š ú í ř ž š á č Úč Á á úč ží í í ý í ř í ů ě í í ě í í
š í š č ř š Č š í úř š ří š ý č í á í úř ě í í í ř ě ří ý Úč ý í á í č íúř í á Č í í ě í ě ší ř ů á ó í í ří í Žá íš ř ž ř á ř ž ř ě č í á í í ě í č ú í ř ž š š úč í ř ě ří á í řá ě í ě ší ř ů á ó í řóď
ě č é á í í á í ý í ř í ř č í é č í á á ý č ří é í í á á í íš ý ý ř á á ýš ů é ří á á á ý í í ž ř á ě í í ý ří č éř áší á ě Ž ý ú č é é ó á é ří ž é ě
ř ě ý ú ž ř í í č í á ý í č á í í ě ří š š á í í ů í ží š řá ř ž ě ří í ě í ď á á š š ě š á č á ý š á ý ň ť š ě éžž í á í í ýš í í č é í í ř á á é ž ů š ý í ž ů í é éž ě ě á ž á í ř á ě ř š ě říč á ž ř
í á á é é á š é ě é á č Í Í á á ě ě íč Í Íá Í é ř á ů ů í ě é ě Í í é í ě í í ř Ž ě é Í í Ž Á É Ř Í ů é é ř č č éé ř í í í č í č š ě í í č é ř é ř í ě í ř ší í é Ž é ě š č í ř á ý ů í é í é ě é í ž č ý
éž á ý š ú ř ž ě ě áž é č é á ž ě á á ě ěž é á č ř é ú č é á ř ý ž ý č á ý ě ý ž Í é é á Í ě Ů ě é ř š š č á ý ž ř ů é é á ě ě ý á ů á ě ě š á é á ě é
č ý ů ě ý ě ů ř č á ě ý ě ť á ě ě ž ý ě ý ř á Í ů á ý č ý á ě é ě é ůž é á ř š ě ř ě ř č é ř ě ý ě ó ů ě č ž é ě ý ď é á ň á ě ě ě ě ý é č á Í á ě ě é á á ě é ě ř áž á š ě ř ž ř ěó é žč á ž é á ě é ř áž
á ě ž ž á íš č Š á š ě ě ř ě í Ú ř č á ť žá á í Í ě ý í á ř ž í í í í á í ň á ý ě á ě ú ě ž á Í á Í í á ě š š á á ěř é á š á ý á ž č ž í é ě á é á ě á
ě ř é ě ří ž ý ř ý í ž ě ě ž ť č ě ě ž ř á ý á š ě í ů á ě í é á ž š é ě é ů í é řá é í í ě ří č ě é ř é ý ě í ě Í ž á čá í ě ý í á í ě á á í ž š ř á í č ý ž ř ý š ě ó áž ě ý íš á á ší í ě ý ř ě Ž ř ý
á í ý š č é č í ů ý Ž čí á í é ě í é ří ů í ž ř ě í é ě í á í ý á ů ř ě říš ě í č í č ř ý í ý í é á é ó á ří ě ř š é č íčá ť é ě á í ý ř é í é ě á í ž
Í Ý É í ě ší č ý ě ší ý áš ž ě í ý á Ž é í á š ě í áž ů é á ů ž čí í á í í ě í á ú Ž é á í ž á í áš š á í á í ě í č í ž á í ý á á í ířů é ý í é č í í š ě ř í é ě í é í ů ž ý č á ý é č ě ý ý á í é š ž ě
=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
á ý ýž č á Ž ý č é č é ú č ř š ó ě ě ď š á é í á é ář é č ř š Ž ě ě ě í č ě éří é ě ě Ž í á ř é ě Ž Ž ž é á í ě ř úř é ú ě í ěč ě ž ď é ě č š ě š é é
ů á ŤÍ é í í ě ý í ě ě á ří á á á ří š í ů š í Í ářů í ú ů ý ý á ť ů í á ů Í ů ř á ř í áž ťí ú éý áš Í ž é Ž Í á ž ů á čá é č í ří í ó í č Í ě í á ě áš í Í Á í ř ě é é á íř ě č é ří é á ř é Ž í ří é á
č ě č Ú Ý Č Č č č č č Ú ú
ú ú Ř š Ú č Ú Č č Ú Ú č ě č Ú Ý Č Č č č č č Ú ú Á ú ú Ě É ú Á ú Á ú ů ž ú č Á č Ě Ý Ř ú É Ě ú Ý ů Ř ú Á ž É Ř Ú Í Ř É Ť Á Á č É Ř Á č š ě ž ž š ě š š ž ŘÁ Á Á ŘÁ Á ž Ě ž Ú É É Ř Ě ž Ý ž Ř ž Ř Í Í Ž Í Í
ě ě á ř ř Č ó á ě í í é ří ě é é áš ě ě ž ř é úč č ž í ý ů ř ý é č í žň ý á č é č í ý áý ě ě í á š ě á í ň á á í š é ě ší ů á ě í ý ž ř í é é š ř í á
úč ě ší ř ů ž ž ů á ž á í č ž ř ě ě žň ří ě ů ž é ří ěš éč ř ř š íč é í á á í í ú ů š ž č é ř í ž é ř á č ž á ý ě é ě ě é é š ú á á í á í á í ě í í é ř ě é í š í ě ší ě ší š ř ě á á í ž á ů í é ů á ší
ř á ž á é é á žíš š é ž ě ú ú í í é ě Ž á ě ú č ž š Ž ř é š é é é ó á Ž á á á ý í ú ú š áč ó ý č á á é ě Ó éž á é šá ú Ó áš é í č é á í á Ž é é ř Ó é
É é í áž í í ý í í ě é ď š ší á í á á ř é ř í ů ů čí í ř ž á č á á ří ě ě á č ó á í í ý ě í é ě á é á ý ě ší á ř ú č ý ý š ďá á í ů í ř í š é í čá č í ů í é é í í ě š ž ě é ě é í í ě ý ů ý í í ý říž é
č é á ý á ý í é č á í ůř ž č á í á á é é í Č á ý čí á í á í ý ž á Ý ě š ů á ý č é í ř í í é á í ž ě ě ý í ů č é ů ě č í č á ě Žá í á ý á ý ú ěš ý ý á
č é á ý á ý í é č á í ůř ž č á í á á é é í Č á ý čí á í á í ý ž á Ý ě š ů á ý č é í ř í í é á í ž ě ě ý í ů č é ů ě č í č á ě Žá í á ý á ý ú ěš ý ý á š á á ř ý á á í š í ř ý í á í í ý í č é ř í ěčí áš
ť ěž ý ě ú íč úž č ý ěč ý úž ě í š Í Ž é š ěř ž č á úž ěč é ž í á ě ě á á ú š á í ě ž ř ě č ě á ý Č í Ž ž í é ě ž ž ě ší ž ú ěč á ý éž ě é ř š č úž č
ň ď ť ý ř ť ž Í ě ě é ě í é ě Í ÍýšÍá ý á ě í čí á ú č íť č í ú é ý é Ř ř Ř ř ě ý í í ý š ě ň ú čá č ř á ý í ř í ž Í í č é á é š ě ň í š á š ě ě š ě á á í áš ě á č é Č Í ý á ďť í ě ž í í á í í ě í í í
( ) ( ) Úloha 1. Úloha 2
Úl Záí Těle i jeé ře klku ělee i uíe z kliu klěé riě úlu klu α z ýšk Určee je rcl kci klěé ri říě bez řeí i řeí (keficie f) Úl Záí D jké iálí ýšk uá ěle i klěé riě úlu klu α jeliže je čáečí rcl je keficie
ř í ú í ě ě é á í č ěž š ě ř á í ě ú í ž ř í ž č ě č ú í č ě č ě í č č á í í ří í á í ě á é é ě í á í á č é í ě á č ě éř š í ě é á í ě ř ů ů é žň í á
Ó ě é ě ý á íč á í ě é á í ř ě é ó ž é é á č é ó ě ší íř ář ší í é á é ě ř á č ý ý é á ř ě ř á í í á ě í á í ě š í ř ů ř š ě č í Ž č á ě í á á í ý ý á ý á ý Ž é ší é é ó í í ý ě á í č í ě š é š é é č ě
Á á ší ů ě í Ž ůž ř í č í ěří ů ý í óř á ě í ří é ů čí é ěč ž í í ý á í ě í ě ří á ř í á ý á ě é č í á í ě í ř í é ší ů ě ť é ř ů ž ý ř ší ý ů ž í íá
Í ť ý á é á ě ě á é ří ě ý á ž ý á ů ě č ě ý ý ů í č é ý á ř ý í í ý ý ů ý á ý ý Í č ý í č ý ý ý Í č ý é ý ě č ý ý í í č é ší ý é í í á í ý í ě č ý ý ý ý í á ý é ě č ů í ů ý á é ěč é č ě ďá é á í ý ě ř
ň ř š ó ý é í ří í ú ů í ř š í ěř é Š ó ř í ó ó í ó í í ú ů ě ř ň ř š í ěř ó ěř í ú ů ř í ří ř ú í í ó í ó í í í ě ě í ó ě í č ě š í ó ř í á í í ó í ž
šší á š á ř í š á Ú í ří ě á ě š í ú ůč ů ě š í ě ů ří ě ší ř á ó í í Ú í á ó í ž ó í á ó í ž í šíř í ó ó í í Ú Ů ě ěž ě é š í ě ů ří ě ší ř ó ó í í ú ě ó ó š ě š ě ó ó ší é í š ý á í í ó í é ó é ě á á
š í ý Í í ý č é á č í ů ý č ě ů á á í é č é á é š á č é ý í á ý ý í ž žá ý ý ř ě ý í ě é ž č é ó é í É é á č ý á ž Ž é ř í ší É ě é ě í á é č ý í ž ří
š í ý Í í ý č á č í ů ý č ě ů á á í č á š á č ý í á ý ý í ž žá ý ý ř ě ý í ě ž č ó í É á č ý á ž Ž ř í ší É ě ě í á č ý í ž ří í ž ř Ě ř Í ď ář á č ý á í ř š š ě Ž í ý á á ý žá ý ý ž čí Ž í í í í č ř ě
í Ř Á Í Éč É š ó é ě á ý í á í í ě ý í ě ý í ó ř é í í í á ě čí í é á é ří č é á í é í ěř é č é í š ě š ú ě ší í ř ř í í í í á Ž á í í í á í í ý ř ů ů
í Ř Á Í Éč É š ó é ě á ý í á í í ě ý í ě ý í ó ř é í í í á ě čí í é á é ří č é á í é í ěř é č é í š ě š ú ě ší í ř ř í í í í á Ž á í í í á í í ý ř ů ů ů ů ý ý í ř Ž č š í ší á ý é ě é é ě í í á í í í ě
í á í íž ěř á í ů é ř é á á ů čí ř é ář í ě á é č é ě ší ý č é á ý ě ší š í ý ř í á ě í í í čá é ě í ř é Č Č š é č ě č á é ý á ý í ř í ší ý ášť ř é ě
ř á á í é ý ý é ž í ý ů čí í é čá ář í í ý ě ě č ě č č á á ý á š ý ý ý í ř ť é ř á í í é é á ě í á ý ý ý á í č ř í ý é é á í č á á ě é ě ř ý ř áš é é ě á í í ě á é á í čí á ý é í é ě ý é ěň á č é í ář
ť í ý ů š ú í ž Ý á á á á č Č ř á ř ší á ě í á í Š ú á ž é ť ž í á í ě é č í Č á ě ě ž ě ěž ý ý č é í í í á í ž á ž ř č ž í š ú á á ě í í í á č ě ě á
í í é í í š ú í í š ú ž ě é á í ě ž ť ý í á í é ěř š ě í ž ř á í í é č ť é ťíč ý ž á ě í č íž š é íž á ě í ř ť ší š ú ů č í ý ěš č ý š ú ý ý ž ě á é ž č ě ě č á ř ě Č í ž ě é Č č Í ř á í í í é š ú ě á
ůž íč á Ě Éč Í ř á í Ř ř ř šň ý é Í í ó Í ě ě Í Í á í á í ý é ě ž ěží á í ě í é Í í Í š ý á Í š ý é č íří ý ěž ž í Í Í í í í é č á č ě ě á ě č ř Ť ě í
ůž č á Ě Éč Í ř á Ř ř ř šň ý é Í ó Í Í Í á á ý é ž ží á é Í Í š ý á Í š ý é č ř ý ž ž Í Í é č á č á č ř Ť ř ý ř Í č ž ň á á ř č é ř é Í ř č ř ž ž ý úč Í á á č á š é ř é é č č š ž Í ř ó Í ý ř ž áš á č é
ý ě ší ě ší é ří é í ř í á í í ů í ý é é ž ář áš í á í í í ě ř í é í ě úč č ř ž ý ů ý á é é é í ří č á č í ě í č í á š ý ý Ťí ž ů ů ř á ě č í í ž čá á
š ý č á í á í é é á á í í š í ě í ž š ě č é ščí ž ž ě í č č Ž ý í ř ě ů ží ří í é ě š é ě á š š á é š í š é á í é é ě é ýš ý ů ý ě ý č ú á Ž á í é š ě ů é á í ř é ž ě ě ř í á á é á ě í íř é ý ě ří á ž
ý ř š ý ů áž ý ú ě í áš ě ř ě é ň í í á í ř é í á ě č ý ů é ě é ě á č ůž ž ě á ú í í é ý é č ý ů ř ř í ř é í š ě ší á í ůý í íž ě čí í ý ý é é á ž é é
Ě Á Í É á í í ší í ý á ř ý í ř š ř ů í ř ť í éí ž á í á í ů ř é í ř í é á ř ší úč ž é ě é í í ů í ž ří ý ě í í í í á ž á ř á í ří á ů í í é ě í í á í ř é í ě ž á é č é řá čá é á í ůž čá š á ý í á č á ří
é á á á Ž é í ě ý éší ý č éč é é é ř ř ů á ž ů ř ó ř á á í č é ě á ží ů č á š ě ří ě ě ý ř á á ý á á é š ř ř ěž í ý ř ů ří š ř í é ě ř é č č á í á á ě
č ó ř ó ý ů ó ží í í ú í é í ý í é ř é č é í á á í š ří í ě í á í ě říč ý á ř ě š č í í ů í ů í č í ů á š Ž á í š ě á í ý í í í í Ž č é ě ě ý á á č ší Ž ť á í ý ů í í á ř ů éý ř č ř ší č ó ěší é í í ě
É Á Č Í Č Í É Č É í í č í á Ž ý ř ú ě č ář ě í á í í ž á á é éč š ě í á í í é ě ý ě ý ě á á á é á í É Á Č Í í ý č é á á š á í čá ů í í á é č ě íž é é
É Á Č Í Č Í É Č É í í č í á Ž ý ř ú č ář í á í í ž á á é éč š í á í í é ý ý á á á é á í É Á Č Í í ý č é á á š á í čá ů í í á é č íž é é č í ů é ý ý ý á í á ď č ář ř áž Žá Íé é í é á š í č ář íží é ž š
Ý Á Ř é á ší ě ý ů á é ří á í á í í ěří ř á á í á ř č áš ý ý é á í Š ší é ů ř č ý ří Ž ě ý í á ý ó é č ý ý ó ý á í š čá í á Ž é á í Ž á í Í š ě ší ě ž í ě ě ě éř é žř č ó žč ě ěř ž á í ě é óž ý é ř í é
ý é ě é é ž í ř ř í Ž á ř í ž í á ů íč é á ř á í é á ů á Í ří č ýý ř ů ů é ří í ťř č č í á í á ří š í í ř í í é í á í ř ší ý ý ě í ůč ě Í í ě á á š ří
ďí í ž Íá ý é ří ýč í é í ě í č ý í ý á í ý ř ý á í Ž ž é á é ř ě ě íč ář š č é ý á é í ř ř Í ď ý í ří é š ú í ř é ů čí ů í í č é ěší á ží ý á í é Č é ý é Č á á áč ář á í ž ý č ý í í á á ží á é ří ž š