Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica

Transkript

1 Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica Vlastislav Červený O některých interferenčních vlastnostech odražené a čelné vlny, vznikající při dopadu kulové vlny na tenkou vrstvu Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica, Vol. 3 (1962), No. 2, Persistent URL: Terms of use: Univerzita Karlova v Praze, 1962 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 1962 AOT.4 UlOVXB8.lX.4XI8 C.4RO.UN.4.B M.4.T&.BM-tTI0.4 8X PXT8KU. NO. 2 PAO 1 2 O NĚKTERÝCH INTERf ERENCSÍCH VLASTNOSTECH ODRAŽENÉ A ČELNÉ VLNY, VZNIKAJÍCÍ PŘI DOPADU \ KULOVÉ VLNY NÁ TENKOU VRSTVU VliASTlSLAV ČBBVíKÝ Geofysikální ústav matematioko-fysikalril fakulty Karlovy univerftity v Praze.1. ÚVOD V seismické prospekci se často vyskytuje případ odrazu elastiekých vln na tzv. tenkých vrstvách, tj. vrstvách, jejichž mocnost je srovnatelná nebo menší než vlnová délka dopadající vlny. Vlny odražené na tenkých vrstvách, dále vlny celné, které se podél těchto tenkých vrstev šíří, i vlny tenkými vrstvami procházející mají velmi zajímavé dynamieké vlastnosti. Chování amplitud i spekter těchto vln je značně ovlivněno interferenčními jevy. Uvnitř tenké vrstvy vzniká celá řaaa mnohokrát odražených vln, které na základě Huyghensova principu působí opět na pole V prostředí, které obklopuje vrstvu, Potom uvedené vlny nejsou jednoduchými vlnami odraženými, čelnými či lomenými, ale komplikovaným interferenčním komplexem vln, který má zcela jiné vlastnosti než samotné jednoduché vlpy [1] [7]. Jediná možnost, ják interferenční jevy odstranit, je převést" tenkou ^vrstvu zvýšením frekvence ve vrstvu o velké mocnosti. Tím se ale značně zvyšuje absorpce a snižuje dosah seismických metod. Různé otázky souvisící s tenkými vrstvami byly. již mnohokrát studovány různými autory. V praxi se většinou pro první přiblížení používá předpokladu, že dopadající vlna je rovinná (viz kap. 2)./Toto přihlížení nám může v řadě případů vhodně aproximovat vlastnosti některých vln vzniklých při dopadu kulové vlny, ale v řadě případů je tato-aproximace zcela nevhodná, např. při studiu vln čelných, vln lomených v oblasti stínu" aj. [3], [8] [13]. Studium odrazu vlny kulové na vrstvě je značné komplikované. Proto se pro zjednodušení užívá různých modelů. Vrstva se např. nahrazuje membránami [14], deskami [15] apod. Tyto modely poměrně dobře charakterizují vrstvy velmi tenké, kde je mocnost vrstvy daleko menší než vlnová délka dopadající vlny. Při studiu vln čelných je opět využíváno obdoby s pohybujícím se nábojem [16]. Teoretické výsledky získané pomocí tohoto modelu byh^téi zpracovány kvantitativně [17], [18]. M Objevily se i pokusy řešit poměry na tenkých vrstvách ftpela exaktně, ale výsledky dosud nebyly dove4eny tak daleko, aby jich bylo možno používat v praxi [4], [5], [19] [22]. Užívá se vesměs metod křivkových integrálů v komplexní rovině, jejichž cesta je vhodně ti^ansformována, čímž se pole rozpadne na jednotlivé příspěvky v pólech (kterých je nekonečně mnoho), dále příspěvky podél řezů\hiemannovy plochy a podél nové integrační cesty. Ně-

3 které jednodussí výsledky byly dosaženy jen pro případ mocnosti vrstvy daleko mensí než je vlnová délka dopadající víny [21]. V této práci je použito rozkladu na jednotlivé vlny, vícekrát odražené uvnitř vrstvy. V kap. 3 jsou odvozeny výrazy pro potenciál odražené kulové vlny před kritickým bodem, v kap. 4 pro potenciál vlny čelné. Tyto formule pro interferenční odraženou a čelnou vlnu budou zvlástě vhodné při studiu přechodu od vrstev velkých mocností k vrstvám tenkým. Pro zvlástě tenké vrstvy nebudou odvozené formule vhodné, poněvadž bychom museli sečítat^velký počet vln. Dynamické parametry via Sířících se podél vrstvy byly též studovány experimentálně přímo v terénních podmínkách [23] i na modelech [24] [34]. Velkou důležitost má mj. práce [32]. Bylo v ní ukázáno, že dynamické charakteristiky jednotlivých vln (hlavně vlny čelné) se skutečně podstatně liší od dynamických charakteristik vln vzniklých na jednoduchém rozhraní a bylo ukázáno, někde i kvantitativně, na některé zvláštnosti chování dynamických parametrů jednotlivých vln. Z. ODRAZ ROVINNÉ VLNY NA TENKÉ VRSTVĚ V praxi se zatím výhradně užívá pro zjednodusení výpočtů místo vln kulových vln rovinných. Poněvadž budeme při odvozování výrazu pro odraženou vlnu kulovou potřebovat některé výsledky z teorie odrazu vlny rovinné a také z důvodů, abychom mohli srovnávat potenciály odražených vln rovinných a vln kulových, uvedeme si stručně nejdůležitější závěry. Zavedeme kartézské souřadnice xyz tak, že horní rozhraní vrstvy o mocnosti d položíme do roviny z == 0, spodní rozhraní do roviny z = d (viz obr. 1). Osu a; položíme do průsečnice roviny rozhraní s rovinou dopadu (tj. rovinou proloženou vlnovou normálou Obr. 1. Odraz rovinné vlny na vrstvé. 0 O dopadající vlny kolmo narozhraúhel dopadu, p 9 úhel lomu. ní). Posunutí potom bude záviset pouze na.raz. Posunutí ve směru osy x označíme u, ye směru osy y v, ve směru osy z w. Budeme předpokládat, že vrstva i obklopující prostředí jsou kapalné. Potom rychlosti transversálních vln jsou vsude rovny nule. Rychlost longitudinálních vln a hustotu ve vrstvě označíme o* a g 2, v obklopujícím prostředí a x a Q V Zavedeme označení a x Qi n = ---; o = -= «i fa O indexu lomu n budeme předpokládat, že je mensí než jedna, tj. že rychlost ve vrstvě je větší než rychlost v prostředí, které y. obklopuje. Zavedeme potenciál longitudinálních vln q> vztahy.,.._., _... _ Ki)

4 Budeme předpokládat,, že na vrstvu dopadá rovíma vlna charakterizovaná potenciálem 9? 0 > při čemž vlnová normála dopadající vlny svírá s kolmici k rozhraní úhel t? 0. Pak můžeme potenciál dopadající vlny <p 9 psát ve tvaru y 0 = exp [%k(z sin # 0 -% cos # 0 ) ťťofj, (2,Ž) kde co je kruhová.frekvence a k vlnové číslo. Dopadne-li vlna na rozhraní, vznikne v prvním prostředí odražená vlna s potenciálein $>& ve virstvě vlna s potenciálem <p 2 a vlna která prošla v.fstvou bude mft potenciál q> s. Na rozhraních budou platit známé hraniční podmínky (viz např. [2])' Qt(<Po + д(уo + Уi) дz <Pi) *= Q&2> tyг ~W'\ pro z = 0, ^ (2,3) a podobně i pro z = d. Známými metodami pak již z vlnových rotnic a těchto hraničních podmínek dostaneme výraz pro potenciál vlny odrážené 9l -M&*{ **'! P = *^ ' (M) kde pro zkrácení zápisu je užito označení, f* -=sin#o. v-' (2,6) Ai( f 0 ) je koeficient odrazu rovinných vln na vrstvě, daný vzorcem 1 A*( 0 ).exp[2%kdyn % fj] Koeficient-áífoí/vy^11? 11^04 v (?»P) jo obyčejný koeficient odrazu rovinných vln na jednoduchém rozhraní* daný vzorcem / w Není obtížné získat fysikální představu o významu koeficientu odrazu A<i(š 0 }. Rozvineme-li (2,6) do řady,, dostáváme Mh,) =-4(lo) + la*(t 9 )~l}y A*~\$ 9 ).B»»<yť-ti, (2,8) fix \ takže vzorec pro q> x můžeme přepsat do tvaru!*-o \ kde L j" pгo*=0 ^0 ^ Л(íi).в»(««.+-Vł--łï)-*»í ) pro * ^ 1?, =.á 1 " 1^) [AЧM l].e^u*-vî^^-*v*- a --ř5)--«*i (2Д0) 3

5 Vlny charakterizované potenciály q>(8) můžeme snadno interpretovat jako vlny sx odražené od spodního rozhraní vrstvy (viz obr. 1). Koeficient odrazu A(g 0 ) bývá v praxi často dosti malý (není-li index lomu n velmi malý). Pak můžeme členy s vyššími mocninami A( f 0 ) zanedbat a spokojit se jen s několika prvními Sieny, v pňp. velmi malých A( f 0 ) jen s prvními dvěma členy. Pak dostáváme, A d (Š 0 )^A(Š 0 ) + A( 0 ).[A*(S 0 )- lle^vn'-*?. (2,11) Pro spektrální charakteristiku odražené vlny rovinné na vrstvě Q(f) v tomto zjednodušeném případě dostáváme jednoduchý vzorec kde Q(f) =]/l-dcobq l9 (2,12) i x =2jyy^-^. (2,13) Bylo ukázáno, že ze spektrální charakteristiky, naměřené v polních podmínkách lze podle vzorce (2,13) přibližně odhadnout mocnost vrstvy d. Zjistíme-li totiž, že spektrální charakteristika odražených vln má vždy po pravidelně se opakujících intervalech frekvencí Af 0 nulovou (resp. minimální) hodnotu, dostaneme elementárně z rov. (2,12) a (2,13) 2Af 0 cob$ 0 2Af 0 Yn*-Š* Amplitudy a spektrální charakteristiky odražených rovinných vln na vrstvě byly studovány v mnoha pracích [37] [46]. Byly srovnávány frekvenční charakteristiky odražené vlny vzniklé superposicí všech vln vícenásobněkrát odražených uvnitř vrstvy (2,4) s aproximací dvou vln (2,11), dále byl studován vliv absorpce, vliv nenulových rychlostí transversálních vln (pevná prostředí) aj. V případě, že není koeficient odrazu rovinných vln A($ 0 ) příliš malý a budeme muset použít vzorec (2,9), nebudeme muset sečítat nekonečně mnoho vln, resp. užívat vz. (2,4), ale počet vln bude omezen délkou pulsu dopadající vlny. Bude-li délka pulsu dopadající vlny At, dostáváme snadno z (2,10) závěr, že interferovat bude pouze 3 vln, kde 8 je dáno výrazem l ' ' -r aiat (2,15) Budeme-li předpokládat, že dopadající puls má m maxim, dostáváme At = mt 9 kde T je perioda, z čehož ^m.^a^ řjj" 1. (2,16) Pro malá f 0 bude 8 < m 12 -r-.n I.V praxi je většinou m =-= 3, a vezmeme-li dále průměrnou hodnotu n = 0,5, dostáváme přibližně * <> 3 [-=-1. Počet interferujících vln s tedy poroste nepřímo úměrně hodnotě -y-

6 - ; - í..-' ť^ 3. ODRAZ KULOVÉ VLKY KA VRSTVA V této kapitole odvodíme výrazy pro potenci odražené kulové vlny na vrstvě a ukážeme na nejpodstatnější rozdíly mezi potenciály rovinné doražené a kulové odražené vlny. '* Zavedeme válcové souřadnice r, z & q> tak, že zdroj uložíme do bodu r = 0, z = ZQ a horní rozhraní vrstvy o mocnosti d do roviny OrBrohé rozhraní pak bude v rovině z = d. Zdroj bučte opět harmonický o frekvenci f. Řešení z důvodů symetrie nebude záviset na 9?. Složky posunutí ve směru r a 2 oznaěíme u a ti. Zavedeme potenciál longitudinálních vln 0 vztahy ' d<p Budeme předpokládat, že vrstva i obklopujíoí prostředí jsou kapalná. Potenciál dopadající vlny 0 zavedeme vzorcem 0 9 e w kde R je vzdálenost od zdroje (iř = ^r 1 -f (z ztf). 0 můžeme přepsat v integrálním tvaru d0 **-%?-> ( 3 > 2 ) * = ik ( W.,«ptac+%)Гi-ff]W t (8>3) J VI I* o nebo v ekvivalentním tvaru * -4J <!H expw. +.J^Wj kde J 0 (ifcr f) a.ffj(jferř) jsou Besselova a Hankelova funkce. Věttv Riemannovy plochy, po které integrační cesta probíhá, je dána vztahem argvl I»-* pro {>!. (3,6) 2 Uvážíme-li podmínky na rozhraní (2,3), případně toho, že formule (3,3) * (M) vyjadřují vlastně rozklad kulové vlny na elementární vlny rovinné, dostáváme pro potenciál vlny odražené na vrstvě 0 výraz x (M) * =- ik la^.j^^m^^^mm t ( 3, 6) 0 kde -" CO arg Vn» > = - - pro'; ">:> n. / '.'' (3,8)

7 Výraz (3,6) bude vhodný pro studium pole při velmi malých hr, naopak výraz (3,7) pro velká kr. Formule (3,6) a (3,7) dávají hodnotu potenciálu odražené vlny v širším slova smyslu, tj. celkového vlnění odraženého od vrstvy, včetně vln mnohonásobně* krát odražených uvnitř vrstvy i vlny óelné, Sířící se podél vrstvy. Dříve než přistoupíme k diskusi vzorců (3,6) a (3,7), všimněme si, co dostaneme pro potenciál odražené vlny na vrstvě v geometrickém přiblížení. 3,1 GBOlOCTRIOKfl PftlBLllŽBNl V geometrickém přiblížení doátáváme, že potenciál vlny odražené na vrstvě 0 se skládá z potenciálu odražené vlny na horním rozhraní <P 0 a z potenciálů vln sx odražených od spodního rozhraní uvnitř vrstvy, které označíme & t. Tak dostáváme -f>. (3,9) в-0 Situace zde ale bude podstatně jiná než v případě rovinné vlny. Přichází-li do určitého bodu nevinné vlny sx li odražené uvnitř vrstvy, přichází všechny pod stejným úhlem ů 0 (viz obr: 1). Souvisí to s tím, že fronta vlny dopadající se šíří již z nekonečných vzdáleností. V případě, že existuje bodový zdroj, musí se do konečné vzdálenosti mezi zdroj a pozorovatele vměstnat" všechny sx odražené vlny, pro libovolné 8. Je tedy jasné, že při různých 8 musí být i úhly dopadu ů t různé (viz obr. 2). *% Odvodíme nyní známými metodami geometrické seismiky (viz Obr. 2. Odraz kulové vlny na vrstvě, fy úhly dopadu a lomu pro vlnu sx odraženou např, [2], str. 262) výraz pro 0 t. od spodního rozhraní vrstvy. Pro fázový rozdíl mezi pozorovatelem a zdrojem dostáváme ky 8, kde y, = r. sin &, + (z + ŻQ) COS Ů, + 2ćU cos ß (ЗДO) z čehož dostaneme, vezmeme-li v úvahu sin ft t = n sin fi t a označíme-li sin #/= &. ' ;. - ^ V.(f.) = r t + (z + z.) Vl íř + 2d* \n* g. (3,11) Abychom dovedli určit y> t ($ t ), musíme znát f, elementárně z obr. 2 čili r r =(г + Zo)tgØ, + 2dзtgß, (2 + Zo)f, 2dвf. + Yi ís l!n--й sin#,. Pro ů t dostáváme (3,12) (3,13)

8 Rovnice (3,13) je určující pro,. Jejím řešením pro á$n& r, z + 2* aá dostáváme řadu, -= sin #,. Uhly # f se budou zmenšovat s.rostoucím s a budou vždy ležet v mezích 0 <; fy <; fy. Rovnice (3,13) je čtvrté!*) stupně,.není tedy praktické ji řešit přímo, vhodnější jsou přibližné metody, jak bude na několika případech ukázáno v následujících kapitolám Vezmeme-K dále v úvahu koeficienty odrazu a lomu na.rozhraních a ubývání energie s kvadrátem vzdálenosti, postáváme pro 8 = 0 <J> 0 = ^ ^ -,e**<*> MQ pro, žl ^_mí.)-y.a-m.) ^ ' (3,14) kde' x *"ř f. la-i?)^ + Pro celkový potenciál (P tak podle (3,9) dostáváme <*--«:*-.'': (3,15)» - AJM..»«. + V Wll- ^»-H&),^,, v, _,,,, Tuto řadu nelze sečíst, poněvadž úhel fy se mění se změnou a a Rg s rostoucím a roste. V tom je podstatný rozdíl mezi vlnou roviiyiou a vlnou sférickou, ftadu lze přibližně sečíst pouze v některých případech, jak bude ukázáno v následující kapitole. ' ( - ' ' 3,2 POTENCIÁL ODRAŽENÉ VLNY KULOVft PftED KRITICKÝM BODEM Pro potenciál odražené kulové vlny na vrstvě jsme dostali vzorce (3,6) a (3,7). Tyto vzorce nyní podrobíme diskusi. Nejdříve rozebereme výraz (3,7), který je vhodný pro výpočet pole pro velká hr% Integrační cesta probíhá bodem =s 0, proto není možné ani při velkých hr rozvést asymptoticky Hankelovu funkci. Můžeme však integrační cestu vhodně deformovat do horní poloroviny (Im > 0) v cestu jinou, kterou označíme např. C 0. Označíme-li bod, v kterém se <7 0 nejvíce přibližuje počátku, budeme moci při ;*r i >l (3,17) rozvést Hankelovu funkci asymptoticky a dostáváme pro potenciál EUkri) «jf- Tikrg е-4*/4 е ш* 9 * = ^ew. j ^ >). *** P*^+<*+ «.) IlT^-lňl ms -- ^ (3,18) 7

9 Přitom ovšem bylo dbáno na to, že při transformaci cesty jsme mohli překročit póly funkce A d ( ) 9 tj. kořeny rovnice 1 A 1 («f) e 2ftd V»* *\ Proto jsme spočetli residua v těchto pólech 0 { R a připočetli je k výsledku. Předpokládejme nyní, že cesta C 0 je cesta nejprudšího spádu I tj. cesta procházející sedlovým bodem f 0 -= V tonj případě bychom mohli v případě, že by se integrand velmi málo měnil se změnou f, spočíst (3,18) elementárně a dostali bychom 0 -= já*tt*l. e «*. + 2? (3,19) Kdybychom nebrali v úvahu residua, odpovídala by spektrální křivka vlny odražené kulové na vrstvě spektrální křivce odražené vlny rovinné (2,4). Muselo by ovšem být splněno, že Ad(š) se velmi málo mění se změnou f v okolí sedlového bodu a že póly bud neleží v oblasti překročené při transformaci integrační cesty, nebo že residua lze zanedbat. K tomu bychom museli provádět složitou diskusi polohy pólů. Dá se ukázat, že s rostoucím 0 pólů,které je nutno brát v úvahu, přibývá. Póly tedy pro nás nebudou mít význam pouze tehdy, bude-li f 0 velmi malé. Dále se dá ukázat, že A d ( 0 ) se mění se změnou 0 velmi málo jen při velmi malých kd (poněvadž pak nebudou mít exponenciely ve výraze pro Aa(( 0 ) tak velký význam). Zvláště málo se v tom případě bude-á<f(f 0 ) měnit při malých f 0. Při 0 větších, zvláště při 0 blízkých k n se bude A* (f 0) měnit velmi rychle. Shrneme-li tedy, můžeme předběžně říci, že výraz pro potenciál vlny kulové odražené na tenké vrstvě 0 -= iř 0 "" 1.4 t j(f 0 ).e atb «budeme moci použít jen při velmi malých kd a malých 0. Abychom posoudili rozdíl ve spektrálních charateristikách odražené vlny kulové a rovinné budeme muset použít jiné metody. Budeme-li předpokládat, že prostředí má (i když malou) absorpci, bude mít vlnové číslo k kladnou imaginární část a A d ( 0 ) můžeme rozvést na celé integrační cestě do mocninné řady viz vz. (2,8). Tak dostaneme pro 0 vzorec kde pгoв = 0 Ф = 2 Ф. (3,20) í-0 Фt =4+ J^(f). **P Wł +^ГZľ^-Щ(krt)Щ, (3, 21) рго 8 *> * * f M.( f )_i M -.-.( f ). ^m*+*,m-?+2«iyn*-n H l i k r m i * J VI ž 3 00 Zvolíme nyní obdobně jako v přechozím případě nové integrační cesty C B. Označíme-li bod, který leží na této cestě nejblíže počátku f <5 >, budeme moci v případě Jfcr f<*> >l ( 3 > 22 ) 8

10 rozvinout Hankelovu funkci asymptoticky a dostáváme (3,23) kde y f (f) J e dáno rovnicí (3,11). Snadno nalezneme sedlové body integrálů (3,23). Bude pro ně platit y (f f ) =- 0, tj. _ (*+Щ)h j_ 2d*f. ЛÍm -.4 I 7 t-^ y» (3,24) což je rovnice shodná s rovnicí (3,13). Pro každé 8 tedy dostáváme jiný sedlový bod f f, jemuž přísluší jiný úh^l dopadu # f = arcsin f f. Při malých mocnostech vrstvy bude při malých s přibližně f f» f 0. Položme f/=fo «(3,25) Budeme-li předpokládat, že a je daleko menší než f 0, dostaneme snadno pro a z rovnice (3,24) odhad U fe(l-fg)^ (3,26) * + *<> y?i a si Z této formule vidíme, že a bude veliké (tj. f f se bude značně lišit od f 0 ) tehdy, tmde-li velké.a poroste s rostoucí vzdáleností ód Z + 2Q zdroje. Integrační cestu C t zavedeme parametrickou rovnicí Vl f* = V^g + e-*^o>, (3,27) kde o bude probíhat všechny reálné hodnoty. Tata cesta probíhá sedlovým bodem f = f f a svírá s reálnou osou úhel.obcházíoba 4 body větvení f = n a f = 1 (viz obr. 3). Zavedeme-li nyní novou integrační proměnnou co Vztahem (3,27), dostaneme přibližně při. irf 0»l (3,177 odhady ' v#(f) ^ y f (f f ) + **>**«; A*-*( ) [4 a (f) - 1] m A^t*]ŇHt*) - lí kde _ r 2d*(l-n^ -!. ' ~~ f? + (n»-f?)ví ' ^-W* 06r. 5. Integrační cesta lene vlny kulová před kritiol^ým bodám. čárkovaně jsou označeny HtV Riemannovy plochy.

11 z čehož přibližně plyne pro «_> 1 kde ł_i 4 _- í ^(I+s. ). (3,29) -Br = /rfa- (3,30) Cleny -r^- představují efekty druhého řádu a nebudeme zde proto udávat analytické vyjádření pro N 9. Tyto členy lze ve větsině případů při malých f 0 zanedbat.. Pouze tehdy, když se blížíme ke kritickému bodu (tj. při f 0 -> n) budou mít značný význam, poněvadž pak N 9 nabývá značně velkých hodnot. Nebudeme-li tyto efekty druhého řádu uvažovat, dostáváme pro <P podle (3,20) * #_>_ +y we.)-na-'(i.) - l W, -ix 0 -fc-j ií, v 10 -! což je výraz ekvivalentní vzorci (3,16). Snadno lze ukázat, že i vzorec pro ií» (3,30) je ekvivalentní vzorci (3,15). Bude-li f, malé, bude výhodnějsí užít pro B 9 výraz, který snadno dostaneme z (3,30) 7? --1.T *+*o. 2d * U* + g o, 2dan'(l g)l Pro malá f bude tedy přibližně ' *-*(, + TFT5J-)- 2d Rozdíl mezi jednotlivými B 9 bude tím věstí, čím bude větsí - a menší n. *» + z 0.Řada pro 0 tedy bude konvergovat rychleji než pro vlnu rovinnou, poněvadž B 9 s rostoucím 8 roste. 2d Bude-li o velmi malé a bude-li malé, bude přibližně B 9 & B Q% Z + ZQ A( 9 ) &A( 0 ), ip 9 (š 9 ) ^iř 0 + 2ds. ]/n % ' g. Pak budeme moci řadu přibližně sečíst, uvědomíme-li si, že pro velká 8, kde by uvedené aproximace již mohly být narušeny, nebudou již mít členy řady podstatný význam, z důvodů malého -4(f 0 ). Při tom dostaneme pro potenciál 0 =-= p tf ' e 1 ***. V tom pří- -«o pádě je ale narušen předpoklad (3,17'). Musíme tedy ukázat, že předpoklad (3,17') není podstatný, že jej lze nahradit předpokladem k(z + ZQ) > 1. V případě, že toto dokážeme, budeme moci vzorec (3,31) použít i při r = 0. Bude-li kr velmi malé, nebudeme moci použít asymptotický vzorec pro Hankelovu funkci. Vyjdeme proto nikoliv ze vzorce (3,7), ale ze vzorce (3,6). Předpokládejme přímo kr -= 0. Potom J 0 (kr() = 1 a dostáváme pro <P ю ф = ik f _4 đ (í). «-p[«(» + -»)Ki-Д fdf. J yi p

12 Rozvedeme-li opět -4<i(ř) podle vzorce (2,8), dostaneme pro <P vzorec (3,20), kde 1 *= 0, = ik^a(í).ex P \ik(^+ ^yr=^\ymp., pro 8^1 4>.=»fc f {^(f)-l].á--hř)exp {tt[(s + z,)yi=p~+ 2ásY*=F}},f df. Zavedeme nyní novou integrační cestu, stejnou pro všechna s t danou parametrickou rovnicí Vl * = 1 +uo (3,32) kde co probíhá všechna kladná reálná čísla, ca zvolíme jako novou integrační proměnnou. Pak dostáváme, bude-li splněn předpoklad přibližně Z toho již jednoduše plyne k(z + Zo)^>l A(S) «A(0); IA*(Š) 1] ~ A*(0) 1. pro*=0 _ 4(0).e«v.(0) ф (г + 2,) pro* ;> 1 apro 0 Ф =,4(0)6* <»+V [.4-(0) l].á*--(0). +2 ^+Ч+^) e*v. tt (») (3,33) (3,34) (З.ЗŐ) Tento vzorec odpovídá vzorci (3,31) kam je dosazeno f 0 = 6, kr = 0. Přitom nebylo užito předpokladu (3,17*), aje předpokladu (3,33). Bude-li tedy splněno (3,33), budeme moci použít vzorce (3,31) i při kr = 0. Jak již bylo řečeno, často řada~(3j31) velmi rychle konverguje v důsledku přibývajících mocnin koeficientu odrazu -á( 0 ). Proto se v praxi často užívá, jak již bylo uvedeno v kap. 2, pouze prvních dvou členů rozvoje. P.rpvedme totéž zanedbání v řadě (3,31) a všimněme si rozdílů ve spektrálních chai^akteristikách odražené vlny kulové a vlny rovinné. kde Vezmeme-li v úvahu pouze první dva členy, dostáváme z (3,31) pro potenciál Ф Q^ f&2kd A(f< g^{l+a^-( 0 )-13e-- yn * i 1 + TT^ (»'-&vj- (3,36) (3,37) 11

13 Z (3,36) dostáváme opět pro spektrální charakteristiku vzorec (2,12), kde 5_ 2R 0 R 1 {1 A*(Š <I )) Rl+Bl(l A*(Š 0 )y a íi x je dáno] rovnicí (3,37). Snadno nahlédneme, že při malých г + 2o a malých -á(f 0 ) bude přibližně d a* 1, podobně jako v příp* rovinných vln. Rozdíl bude ve funkci 0_. Bude-li však splněn předpoklad d «(!"«)* < l f (3>39) z + zo (»- f«)'a budeme moci rozdíl mezi oběma spektrálními charakteristikami zanedbat. Předpoklad (3,39) lze přepsat do výhodnějšího tvaru (n- ЦУI' _ n-cos-д, z + Zo ^ fj(l fg)v. sin-0 o.gos-0,, (3,39') Vidíme, že rozdíl mezi oběma spektrálními charakteristikami budeme moci zanedbat při malých a při malých f 0. Obě charakteristiky budou rozz + z 0 dílné pouze při větších mocnostech vrstvy I při větších poměrech -7- I, dále při větších vzdálenostech od zdroje K Rozdíl mezi oběma spektrálními charakteristikami s rostoucí vzdáleností od zdroje vzrůstá. Budeme-li stejně jako v kap. 2 určovat ze spektrálních charakteristik mocnost vrstvy á, dostaneme ke vzorci (2,14) korekční člen na sféričnost" dopadající vlny: d -- i r, ^(i-fg)^ -> (3,40) 2áU y»»-í» l Mf 0.H.(n- - f?) /. ) resp. ň _ a** f, sin^cos^qg^y a "" 2Af 0 cosp 0 [ L -Af 0 n*hcos*p o y l *'"' Nebude-li koeficient -4(í 0 ) malý, rozdíl mezi chováním vln rovinných a kulových odražených na vrstvě se bude stále více a více lišit, poněvadž rozdíly mezi kulovou vlnou s x odraženou a rovinnou, sx odraženou vlnou s rostoucím srostou.. V této kap. nebyl uvažován vliv transversálních vln, vliv absorpce ani efekty druhého řádu kolem kritického bodu. Rozbor těchto vlivů na spektrum a amplitudy odražených kůlových vln na vrstvě by yyžadovaly speciálních studií. ř4. VLNA CELNÁ Je známo, že při dopadu kulové vlny, jejíž potenciál je dán vzorcem (3,2) na jednoduché rozhraní mezi dvěma poloprostory vzniká za kritickým bodem čelná vlna, jejíž potenciál &* je dán vztahem in exp[ffe(ro + (z + z 0 )Vl n»)] k e (l n») ftr/. ' * ' '

14 kde L =r (g + Zд) n fl»«(4,2) X udává vzdálenost od kritického bodu. Pro L malá není vzorec (4,1) použitelný, dá se však ukázat, že tam, kde se čelná vlna objevuje jako samostatná vlna (tj. za zónou, v níž čelná vlna interferuje s vlnou odraženou);vzorec (4,1) charakterizuje potenciál vlny čelné s přesností větsí než 5 % [49}. ' Potenciál (4.1) byl odvozen integrací podél fezu Riemannovy plochy odmocniny \n % f 2. Integrál pro vlnu odraženou v širším slova smyslu (3*6) však nemá, jak se dá snadno ukázat, pro svůj intengrand v bodě = n bod větvení, proto musíme postupovat jiným způsobem. Lze ukázat, že jednotlivé vlny mnohokrát odražené uvnitř vrstvy budou mít při malých mocnostech vrstvy a velkých vzdálenostech od zdroje charakter vlny čelné. Potom tedy výsledná vlna vznikne superposicí všech těchto vln, připoěteme-li k nim <PJ. Při malých mocnostech vrstvy ve velkých vzdálenostěch od zdroje budou úhly /?, ve vrstvě přibližně, tj. vlna mnohonásobněkrát odražená bude jakoby klouzat" okolo rozhrání. Při velkých počtech odrazů se již přirozeně úhly /?, mohou zmenšit, čímž bude tento klouzavý charakter vln narušen. Probereme nejdříve nejjednodušší obdobu tohoto klouzavého charakteru šíření vln: chování vlny lomené na jednoduchém rozhraní v těsné blízkosti rozhraní za kritickým bodem. Uvidíme* že charakter vlny se bude měnit, budeme-li se přibližovat rozhraní. Ve Velké blízkosti rozhraní pak již nebude vlna lomená mít po dynamické stránce charakter vlny lomené, ale vlny čelné. 4,1. CHOVÁNI VLNY CELN.fi A VLNY LOMENÍ V BLÍZKOSTI ROZHRANÍ \ V tomto odstavci si rozebereme vlastnosti potenciálů vlny čelné a vlny lomené v těsné blízkosti rozhraní. Je známo, že vlna čelná předbíhá vlnu odraženou (viz obr. 4). Fronta vlny čelné se na rozhraní stýká s frontou vlny lomené,.šířící se druhým prostředím. - Poblíž front musí být tedy splněny hraniční podmínky =ei<pj^2<pi, d =-,. kde <PJ je potenciál vlny čelné a <P L potenciál vlny lomené. Vzorec pro potenciál vlny čeíné (4,1) platí i v blízkosti rozhraní, známé vzorce geometrické seismiky pro vlnu lomenou jsou však za kritickým bodem ve velké blízkosti rozhraní nepoužitelně. Obr. 4. Stření vln podél jednoduchého rozhraní za kritickým bodem přímá vlna, 2... vlna odražená, 3;.. vlna čelná, 4... vlna lomená, 5... rozhraní. Odvodíme tedy přesnější vzorce pro vlnu lomenou, platné v libo volné blízkosti rozhraní. Budou-li opět souřadnice zdroje r = 0, z = 2Q a souřadnice přijímače r a D 13

15 (tj. přijímač bude ve vzdálenosti D od rozhraní), dostaneme pro potenciál vlny lomené známými metodami vyjádření kde -B(f) je koeficient lomu, daný vzorcem 1»/*)- 2(l-g»)V«eK 1 f 1 + p-* 2 f 2 Integrační cestu deformujeme v nějakou cestu C (jejíž chování určíme později). Označíme-li bod ležící ;na křivce nejblíže počátku fe,, budeme moci při br \h\ > 1 rozvést na celé křivce Hankelovu ftmkci asymptoticky a dostáváme (4,6) kde 0 ' (4,6) V(f) = rf + Zt. 111» + i) lln- ť-. (4,7) K výpočtu integrálu (4,6) je vhodné rozvést i?(f) do dvou členů ^ ~ -á(f) 2K?T } < 4 > 4 '> kde A(i) = e»(l í») (n«-). Tak dostáváme <Pi = <PLI + <PL2, 0X1 = e Vlf*" 5 ^Ajšf- 6XP (ifcv,(f)) KTdf ' ** = -YW eií " 1 í ^Y exp (ťmf)) nd* Pro sedlový bod těchto integrálů f L dostaneme snadno -- * & D h (4,8) Ili a K»- n Integrační cestu nyní určíme parametrickou rovnicí ]/»* * = ll»- f + er 1 "/- co (4,9) v níž co probíhá všechny reálné hodnoty. Tato cesta probíhá sedlovým bodem j nr a svírá v něm s reálnou osou úhel. Zavedeme-li nyní <o jako novou inte- 14

16 graíní proměnnou a vezmeme-li v úvahu, že při (4,5) přibližně platí kde V(f) * V(h) + ^ţ- e; Җí) «A(h); KГ * 111 í, dostáváme přibližně в _ "й (1 - й) é '. '. 1/ 2jfc(l ) e**"í_ f í^-nr- Fr, -«-T i* (4Д0) * - - s 00 ^T- - * 1^+-~,f * oo : v Integrály lze spočíst elementárně a po jejich sečteni dostaneme celkem Skládá se tedy výraz pro potenciál lomené vlny ze dvou členů. Pro první člen jednoduchými úpravami dostaneme (1) _ 2 Vsin fl 0 exp [tó (ZQ.COS-^Q + nd cos-%)] (. L [Q COS Ů 0 + n cos jí 0 ] [r (Zo.cos-»#o + n" 1 v DcoB^fiď* ' ' ' což je známý výraz pro potenciál lomených vln v přiblíženi geometrické seismiky (viz [2], vz. (23,8)). Druhý Sien; v závorce v (4,11) je tedy oprava ke geometrické seismice. Ukážeme nyní, že ve velkých blízkostech rozhraní za kritickým bodem je první člen velmi blízký k nule (pro D = 0 přímo nulový), zatímco druhý člen zůstává při D -> 0 konečný. s Při D malých bude _ velmi blízké k n. Položme h = n x (4,13) a odhadněme a. Z rovnice (4,8) dostáváme pro a přibližný odhad nd* «=- - ' (W) Vidíme tedy, že je tím bližší k n, čím je D menší a čím je větší vzdálenost za kritickým bodem. Pro D malá tak dostáváme, v, 1 nd 2 lín* SI _>,, 2nD L *, ; 6 ^ e.lyi n* * z čehož plyne pro 0_ 2пехр_&у(.)] Г,, > 1 16

17 První člen v závorce se bude tedy při D-> 0 lineárně blížit k nule, druhý člen zůstává konečný. Oba členy budou přibližně rovnocenné pro * 2rc e yi n a l Položíme-li přibližně Q = 1; W =0,5 dostáváme pro DjX odhad D\X 9* 0,2. * (4,15') Člen geometrické seismiky bude tedy převládat ve vzdálenostech oid rozhraní D větších než dvě desetiny vlnové délky. V menších vzdálenostech od rozhraat převládá člen druhý. Je známo, že amplitudy vln čelných ubývají se vzdáleností od zdroje jako f-vij^-vi. Vidíme, že v blízkosti rozhraní, ubývá i vlna lomená obdobným způsobem. Má tedy v blízkosti rozhraní po dynamické stránce charakter vlny čelné. Na rozhraní musí platit, jak bylo již dříve řečeno, hraniční podmínky d0* d& L Qi&l = Q 2 0L*> o = ^. Bez potíží se přesvědčíme na základě vzorců (4,1) a (4,14) že tomu tak je. \ 4,2. ÓELNi. VLNA NA VRSTVÍ Odvodíme nyní vzorce pro potenciál vlny čelné, šířící se podél vrstvy <P*. Budeme předpokládat, že se nenacházíme v blízkosti kritického bodu, tj. že L nebude příliš malé. Vezmeme-li v úvahu rozvoj pro 0, daný formulí (3,20), můžeme pro potenciál vlny čelné psát 0* = 10* 8 0* dostáváme známými metodami ze vzorce (3,21) a je dáno formulí (4,1). 08 jsou vlny sx odťažené od spodního rozhraní ve vrstvě. Na základě odst. 4,1 můžeme předběžně tvrdit, že při malých mocnostech vrstvy a velkých vzdálenostech od kritického bodu budou mít vlny 0* charakter vln klouzajících" podél vrstvy a její dynamické parametry budou přibližně stejné jako parametry vlny čelné. Je přirozené, že nyní při přibližném odhadu potenciálů 0* budeme muset použít jiných aproximací než jsme používali před kritickým bo-. dem. Proto, abychom od sebe oba případy odlišili, označujeme nyní tyto.potenciály hvězdičkovaně. Pro polohu sedlového bodu dostáváme opět rovnici (3,24). Pro velké vzdálenosti za kritickým bodem bude přibližně $ 8 & n. Proto položíme kde a. bude malé. Z s (3,24) dostáváme pro a f, = n a, (4,16) a & 2 d?ns 2 L' 2. (4,16') Bude tedy f, tím bližší k n, čím bude menší mocnost vrstvy d, menší počet odrazů uvnitř vrstvy 8, menší index lomu n a větší vzdálenost L. Zavedeme opět jako v předchozím případě novou integrační cestu parametrickou rovnicí ]fn 2 f* = \n*? + e-**' 4 co, kde co probíhá všechny reálné hodnoty. Tato cesta probíhá sedlovým bodem f = f t a svírá s reálnou 16

18 osou úhel.nová cesta nebude vždy obcházet bod větvení f = 1 takže budeme muset ještě, abychom skončili opět na stejném listě Riemannovy plochy, obejít řez odmocniny Y1 f 2 (viz obr. 5). Příspěvek, získaný integrací po této nové integrační cestě, nás však při studiu vln čelných nebude zajímat, poněvadž bude dávat vlnu, která přichází daleko později po vlně čelné. Zavedeme-li nyní co jako novou integrační proměnnou, dostáváme přibližně při fcm,>l (4,17) tei>kd y>,(š) = ъш + m г (1 n 2 ) (z + Zo) '~ č? " (1 í»)v. (4 ' 18) Pak již lze snadno <PJ spočíst a dostáváme, 0 = [A*(5.)-l]A*-i( ) yvš^y(i #)(»- i?) [(tf-íí)--jlj. (4,19) Vezmeme-li v úvahu f, = n stáváme přibližně є я я& z čehož pro Ol plyne z (4,19) a, do- Obr. 5. Integrační cesta Jpočet potenciálu vlny čelné. Čárované jsou označeny řezy Riemannovy plochy. r>ro A*-ҢÇ.) [AҢÇ.) -1] n бл K(- й) (» a й) ÉЃ (i» 8 ) K--- ' : = y«(f«) **y>(n) + 2nd-«a ^V,, r^r^2 + il **«(4,i9o jfc e (i rc a ) j/72,'/. L J \ První člen ve vzorci (4,19) representuje přiblížení geometrické seismiky, druhý opravu. Z rov. (4,19') vidíme, že oprava má charakter vlny čelné. První člen, tj. přiblížení geometrické seismiky, budeme moci zanedbat tehdy, bude-li platit (jak snadno dostaneme z (4,19')) «d d 8я.n.8*-ү -y- <^ 1 (4,20) Vidíme tedy, že při malých a velkých vzdálenostech za kritickým bodem bude mít vlna vícekrát odražená ve vrstvě charakter vlny čelné. Pro velmi vel- 2 Mathematics 17

19 ké 8 bude přirozeně tento závěr narušen. Interferovat s vlnou čelnou však nebudou všchny vlny &* 9, počet interferujících vln bude omezen délkou pulsu čelné vlny. Předpokládejme, že délka pulsu je At. Potom budou interferovat ty vlny, pro něž bude y>,(f,) y>(n) <. At, tj. přibližně ц,átl 2rиł- (4,21) Názornější vzorec pro počet interferujících vln, který dále označíme 8 H dostaneme, budeme-li předpokládat, že se puls čelné vlny skládá z m period, tj. At mt, a x At mx. Potom Počet interferujících vln tedy bude nepřímo úměrný jas rostoucí vzdáleností poroste jako -. Pro m 3, n 0,5 dostáváme 8 H = 1,7 y -r I -1. Srovnáním s hodnotou I, udávající počet interferujících vln před kritickým bodem vidíme, že za kritickým bodem bude při velkých počet interferujících vln daleko větší. Požadavkem (4,21) omezíme počet členů, které musíme sečíst, abychom dostali interferenční čelnou vlnu, šířící se podél vrstvy. Tak pro <P* dostáváme ^. # _ 2m.exp ikip(n) 4^ V 1 já*^fc).exp fly,(fc) T, t fr2) ť l k Q (l n*)yřl a l* fí Z VtásÍQlfl fř+k^11!?] 2 "- *».! =1 (4,23) Tento výraz pro vlnu čelnou bude vhodný zvláště tehdy, budeme-li studovat dynamické poměry čelné vlny šířící se podél vrstvy střední mocnosti, tj. takové, při které je již nutno brát v úvahu interferenci s vlnami (Pí, ale interferujících vln ještě nebude v zkoumaných vzdálenostech příliš mnoho. Pro příliš tenké vrstvy nebude výraz (4,23) příliš vhodný, museli bychom sečítat příliš mnoho vln. Tam bude výhodnější volit jiné metody, např. metodu sedlových bodů, aplikovanou přímo na integrál (3,4) viz vzorec (3,19). Výraz pro potenciál je pak nutno doplnit, jak již bylo řečeno, řadou residuí v pólech překročených při transformaci integrační cesty. 5. ZÁVĚR V této práci byly rozebrány některé interferenční vlastnosti kulové vlny odražené na tenké vrstvě a čelné vlny, která se šíří podél tenké vrstvy. Pod tenkou vrstvou byla chápána taková vrstva, jejíž mocnost je srovnatelná nebo menší než vlnová délka dopadající vlny. Vlna odražená na vrstvě i vlna čelná, šířící se podél vrstvy, nejsou jednoduchými vlnami, ale komplikovaným interferenčním komplexem vln, který má 18

20 zcela jiné vlastnosti než samotné vlny. V praxi se dosud výhradně užívá v případě vrstvy pro zjednodušení místo vln kulových vlny rovinné. Hlavní výsledky teorie odrazu rovinných vln na vrstvě jsou dány v kap. 2. V kap. 3 je již řešen odraz vlny kulové. Výrazy pro potenciál odražených vln v širším slova smyslu (tj. včetně vln mnohonásobněkrát odražených uvnitř vrstvy i vlny čelné) dávají vzorce (3,6) a (3,7), které jsou v dalším diskutovány. Je použito metody rozkladu na jednotlivé vlny s x odražené od spodního rozhraní vrstvy. Tak byla odvozena rovnice (3,31) pro potenciál odražených kulových vln před kritickým bodem..radu (3,31) však nelze sečíst, jako to lze v případě vlny rovinné. Pouze při velmi malých d/x a malých vzdálenostech od zdroje a malých koeficientech odrazu bude 'mcžno přibližně nahradit spektrální křivku kulových vln odražených na vrstvě spektrální křivkou odražených vln rovinných, v praxi je při malých koeficientech odrazu často používán pro spektrální cha-, rakteristiku odražené ylny rovinné vzorec (2,12). Je ukázáno, že tentýž vzorec je možno užít i pro spektrální charakteristiku odražené vlny kulové, bude-li splněna podmínka (3,39'). Ke vzorci (2,14), kterým se určuje mocnost vrstvy d ze spektrální charakteristiky, musíme v případě, že není splněna podmínka (3,39') přidat korekci na sféričnost" vzorec (3,40). Tato korekce bude tím větší, čím bude větší vzdálenost od zdroje, čím bude menší index lomu n a čím větší mocnost vrstvy vzhledem ke vzdálenosti zdroje od vrstvy. V kap. 4 jsou prostudovány vlastnosti vlny čelné, šířící se podél vrstvy. Abychom dovedli posoudit dynamické vlastnosti vln, které se, šíří ve vrstvě pod úhly blízkými k ~, je v odst. 4,1 prozkoumáno chování vlny lomené, šířící se za kritickým bodem podél jednoduchého rozhraní v jeho velké blízkosti (tj. 7t pod úhlem blízkým k ). Je ukázáno, že v blízkosti rozhraní má vlna lomená Ji po dynamické stránce charakter vlny čelné viz vzorec (4,14). V odst. 4,2 je ukázáno, že i vlny vícenásobněkrát odražené ve vrstvě mají při malých mocnostech vrstvy a velkých vzdálenostech za kritickým bodem charakter vlny čelné (viz vz. (4,19')). Komplex všech těchto vln bude pak tvořit interferenční vlnu čelnou, jejíž potenciál je dán vzorcem (4,23). ЫТЕКАТИВА [1] Ю. В. РИЗНИЧЕНКО: О расхождении и поглощении сейсмических волн. Тр. геофиз. ин-та, 35 (162), Изд. АН СССР, Москва Л. М. БРЕХОВСКИХ: Волны В СЛОИСТЫХ средах. Изд. АН СССР, Москва [i] Г. А. ГАМБУРЦЕВ, Ю. В. РИЗНИЧЕНКО, И. С. БЕРЗОН, А. М. ЕПИНАТЬЕВА, И. П. ПАСЕЧНИК, И. П. КОСМИНСКАЯ,Е.В.КАРУС: Корреляционный метод преломленных волн. Изд. АН СССР, Москва' [4] Г. И. ПЕТРАШЕНЬ, Л. А. МОЛОТКОВ: О некоторых проблемах динамической теории упругости в случае сред, содержащих тонкие слои. Вестник ЛГУ, 23 (1958), [5] Г. И. ПЕТРАШЕНЬ: О некоторых интерференционных явлениях в двухслойной среде. Изв. АН СССР, сер. Геофиз., 10 (1957), [6] Г. И. ПЕТРАШЕНЬ, В. А. ЕНАЛЬСКИЙ: О некоторых интерференционных явлениях в средах, содержащих тонкие плоскопаралелные слои. I. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 9 (1956), , II. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 10 (1956), , III. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 11 (1956),

21 [7] А. Заносят: 8спа11гвпехюп, ЗспаИЪгеспипд ипс! 8сЬа11Ьеидип. ЕгдеЪтязе <1ег ехакъеп КаЬигтззепзсЬаЛеп, XXIII (1950), [8] И. С БЕРЗОН, А. Н. ЕПИНАТЬЕВА: О сейсмическом экранировании. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз.,лме б (1950), [9] И. С. БЕРЗОН: Высокочастотная сейсмика. Изд. АН СССР, Москва [10] Г. И. ПЕТРАШЕНЬ: Постановка задач на сейсмическое экранирование волн тонким слоем и методы их решения. Сб. Динамические задачи теории упругости IV, Уч. зап. ЛГУ,ЛЧв 177, Ленинград {11] А. С АЛЕКСЕЕВ, В. М. БАБИЧ: Об одном эффекте экранирования упругих волн тонким слоем. Динамические задачи теории упругости IV, Уч. зап. ЛГУ, 177, Ленинград (12] Ю. А. ВОРОНИН: О построении теоретических сейсмограмм отраженных и головных экранированных волн в нулевом приближении. Сб. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн III. Изд. ЛГУ, ЛГенинград [13] Ю. А. ВОРОНИН: Об исследовании явлений экранирования сейсмических волн тонкими слоями. Сб. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн III. Изд. ЛГУ, Ленинград [14] Б. С ЧЕКИН: О спектре волн, отраженных и преломленных на пластине. Изв. АН СССР, сер. геофиз., Л* 11 (1958), [15] А. В. МАНУХОВ: Об апроксимации тонких слоев вырожденными моделями. Изв. АН СССР, сер. геофиз.,^. 12 (1956), [16] Г. А. ГАМВУРЦЕВ: О волнах, вызванных движущимся источником в твердой упругой среде. Изв. АН СССР,_сер.^геогр. и геофиз.,,3\(е 1 (1946), [17] Н. И. ДАВИДОВАГ6 зависимости динамических характеристик продольных головных волн, связанных с тонкими слоями, от скоростной дифференциации сред. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 10 (1958), [18] Н. И. ДАВИДОВА: О зависимости амплитуд продольных головных волн, связанных с тонкими слоями, от скоростной дифференциации сред. Изв. АН СССР, сер. геофиз.,лме 5 (1959), [19] И. М. ХАЙКОВИЧ: Динамическая задача для упругого слоя, погруженного в безграничную жидкую среду. Уч. зап. ЛГУ, 177, Ленинград [20] Л. А. Молотков: О распространении упругих волн в средах, содержащих тонкие плоско-параллелные слои. Сб. Вопросы динамической теории рас- ^_ пространения сейсмических волн V, Изд. ЛГУ, Ленинград [21] Л. А. Молотков: О распространении низкочастотных колебаний в жидких полупространствах, разделенных упругим тонким слоем. Сб. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн V, Изд. ЛГУ, Ленинград [22] Л. А. Молотков: Об] инженерных уравнениях колебаний пластин имеющих слоистую структуру. Сб. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн V, Изд. ЛГУ, Ленинград [23] С П. СТАРОДУБРОВСКАЯ: Экспериментальное изучение особенностей продольных волн, отраженных от тонкого слоя. Изв. АН СССР, сер. геофиз., М 10 (1960), [24] Е\ РЙВЗЗ,Л*. ОГЛГЕВ, М. Еягсето: 8б18ппс тос1е1 з1л1с1у ог геггасъюпз Ггот а 1ауег огйпню ЪЫскпезз. Оэорпузюз 19 (1954), [25] М. Б\ М. Озвоятга, 8. Б. НАВТ: Тгапзгшззюп, гепесъюп апы зшсипд ог ап ехропепыа1 ри1зе Ьу а вьее1 р1аъе га.^гаъег. Л". Асоиз!,. 8ос. Атег., 17 (1945), [26] М. Е. М. Озвовм, 8. В. НАВТ: Тгапзпиззюп, гейесыоп апй ^игстш^ ог ап ехропепыа1 ри1зе Ъу а зъее1 р1а1ю га ^а<юг. Л". Асоиз*. 8ос. Атег., 18 (1946), [27] Т. В. 8МЕТН, К. В. ЬПТОЗАУ: 8ирвгзотс *гапзгш8зюп а* оъ^ие гасиепсейъгоидп а зоис1 р1а*е гатгаьег. «Г. Асоиай. 8ос. Атег., 16 (1944). [28] Ю. В. РИЗНИЧЕНКО, О. Г. ШАМИНА: Об упругих волнах в тведой слоистой среде по исследованиям на двумерных моделях. Изв. АН СССР, сер. геофиз., Л\2 7 (1957), [29] И. С. ПАРХОМЕНКО: Изучение на моделях прохождения головной волны через слой с повышенной скоростью.изв. АН СССР, сер. геофиз., 2 (1958), [30] О. Г. ШАМИНА, О. И. СИЛАЕВА: Распространение упрупих импульсов в слоях конечной мощности со свободными границами. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 3 (1958),

22 [31] Ю. В. РИЗНИЧЕНКО, О. Т. ШАМИНА: (ХЬуцругих волнах в слоях конечной толщины (по исследованиям на двумерных моделях). Изв. АН СССР, сер. геофиз., 3 (1959), [32] Б. Н. ИВАКИН: Головные, проходящие и другие волны в случае твердовр слоя в жидкости. Тр. геофиз. ин-та, 35 (162), [33] И. С ПАРХОМЕНКО: Об интенсивности волны, прошедшей через серию слоев с повышенной скоростью I. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 5 (1959), ; II. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 6 (1959), [34] О. Г. ШАМИНА: Изучение динамических характеристик продольных волн в слоях различной толщины. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 8 (1960), [35] Л. Л. ХУДЗИНСКИП: Об определении некоторых параметров слоев промежуточной мощности по спектрам отраженных волн. Изв. АН СССР, сер. геофуз., 5 (1961), [30] «Г. ЗлмёттьА, «Т. КАБАЧКА: Еув&аШ апагува вешппск^сп у1п. 2ауёгебпа гргауа б 6749/Н, Т?в*ау и&иё ^ео-гувхку, Вгпо [37] «Т. ЗАМЗГГЬА, ^. КАБАЙКА: Рув1ка1п1 апа1ува вегетшск^сь У1П. 2ауёгебпа гргауа П-69-17, ТЛйауи_Ш>ё звонку, Вгпо [38] И. И. ГУРВИЧ: Об отражении от тонких пластов в сейсморазведке. Сб. Прикладная геофизика, 9 (1952). [39] И. И. ГУРВИЧ: Анализ отражения от тонких пластов. Сб. Прикладная геофизика, 15 (1956). [40] И. С БЕРЗОН: Определение спектра коеффициента отражения продольных волн от тонкого слоя. Тр. геофиз. ин-та, 6 (173), 1959, [41] И. С БЕРЗОН: О некоторых спектральных особенностях волн отраженных от тонких слоев. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 5 (1958), [42] Г. С Подьянопольский: Коэффициенты преломления и отражения упругих волн на слое. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 4 (1961), [43] А.' \УА1/И: ЦЪег сне ВевЫттипд с!ег е1ав{,1всьеп Копв1ап1еп шо^-горег 1ев1ег Кбгрег пи«, ШНв УОП Ш&авсЬаП^еИеп. Не1у. РЬув. Ас*а, 11 (1938). [44] М. МТГЗКАТ: ТЬе гейесъюп о Г р!апе -етауе ри1вев Ггот р1апе рага11е1 р1а1ев. ^. Арр]. РЬув. 9 (1938), [46] К. В. РАУ, О. V. РОВТГЕВ: Тгапвппввюп ог воипо! йьгоидь 8*ее1 р1а1ев ишпегвей 1П "игайег. «I. Асоивй. 8ос. Атег* 23 (1951). [46] "\У. Т. Тномрао!*: ТЬе е^и^vа1еп^ адгсий Гог *Ье ^гапвпиввюп ог р1апе е1ав1,10 \*гауев ЪЬгоидЬ а р1а*>е а* оьидие тсыепсе, «Г. Арр1. РЬув. 21 (1950). [47] Н. КЕ18З:НЕВ: Бег 8епкгесЫе ипс! всьа^е ВигсМпМ ешег ш ешет Ййвв^еп МесИит еггеи&йеп еьепеп ТУ'й&Ь&Ыопв (Ьоп^1иЧ1та1) \Уе11е йигсь еше ш сивеет МесНит ЪегТпсНспе р1апрага11е1е Гев1е Р1аМе. Не1у. РЬув. АсЬв. 11 (1938). [48] Н. 8АN^ЕВ8: Тгавдппввюп о Г воипс! ЪЬгоидЬ *Ьш р1а1ев. СапасИап X ог КевеагсЬ 17 (1939). [49] V. СЕВУЕ1Г$-: ОП 4Ье 1еп$Ы> ог *Ье цтйептегедсе гопе ог а геяесйес! апс! ЬеаЛ тоаув Ьеуопс! ЬЪв сгшса1 рот! ап<1 оп ЬЪе атршийев о.г Ьеас1 тгауев. ЗйисИа деорьув. еь 8вос1. 6 (1962), у *1вки. О НЕКОТОРЫХ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ ОТРАЖЕННЫХ И ГОЛОВНЫХ ВОЛН, ОБРАЗУЮЩИХСЯ ПРИ ПАДЕНИИ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОДНЫ НА ТОНКИЙ СЛОЙ В. Червены Резюме В настоящей работе рассматриваются некоторые интерференционные свойства отраженной сферической волны на тонком слое и головной* волны, распространящейся вдоль тонкого слоя. Под тонким слоем подразумевается такой слой, мощность которого сравнима или меньше длины волны подающей волны. Отраженная волна на слое и головная волна, распространяющаяся вдоль слоя являются не простыми волнами, а сложным интерференционным комплексом волн, обладающим совсем инными свойствами, чем самые волны. В практике, в случае наличия слоя, для упрощения почти всегда пользуются плоскими вол- 21

23 нами вместо сферических волн. Основные результаты касающиеся теории отражения плоских волн на слое приведены в пар. 2. В пар. 3 приводится решение для случая отражения сферической волны. Выражения для потенциала отраженных волн в более широком смысле слова (т. ё. включая многократно отраженные волны внутри слоя и головные волны) даются формулами (3.6) и (3.7), которые в дальнейшем изложении обсуждаются. Был использован метод разложения на отдельные волны зх отраженные от нижней границы раздела слоя. Таким путем было выведено уравнение (3.31) для потенциала отраженных сферических волн перед начальной точкой. Ряд (3.31) нельзя складывать, как это можнв делать в случае плоской волны. Лишь при весьма малых сщ, малых горизонтальных удалениях от исторника и малых коэффициентах отражения спектральную характеристику отраженных сферических волн на слое окажется возможным приближенно за*- менить спектральной кривой отраженных плоских волн. В практике при малых коэффициентах отражения для спектральной характеристики отражений плоской волны часто применяется формула (2.12). Было показано, что та же формула может быть использована и для спектральной характеристики отраженной сферической волны, если будет выполнено условие (3.39*). К формуле (2.14), определяющей мощность слоя о! из спектральной характеристики, в случае невыполнения условия (3. 39') следует добавить поправку на сферичность" падающей волны, выраженную формулой (3,40). Эта поправка будет тем большей, чем большим будет удаление от источника и чем меньшим будет коэффициент преломления п и чем большей будет мощность слоя по отношению к удалению источника от слоя. В пар. 4 рассматриваются свойства головной волны, распространяющейся вдоль слоя. Для оценки динамического свойства волн, распространяющихся в слое под углами приближающимися к &я, в пар. 4.1 рассматривается поведение преломленной волны, распространяющейся за начальной точкой вдоль простой границы раздела вблизи от нее (т. е. под углом приближающимся к \п). Было показано, что вблизи от границы раздела, преломленная волна с динамической стороны имеет характер головной волны (см. форм. (4.14)). В пар. 4.2 показано, что и волны многократно отраженные в слое при малых мощностях слоя и больших удалениях за начальной точкой имеют характер головных волн-см. форм. (4.19'). Тогда комплекс всех этих волн образует интерференционную головную волну, потенциал которой дается формулой (4.23). ON SOME OP THE INTERFERENCE PROPERTIES OF REFLECTED AND HEAD WAVES PRODUCED AT THE INCIDENCE OF A SPHERICAL WAVE ON A THIN LAYER V. CEBVEN Summary The paper deals with some of the interference properties of a spherical wave reflected from a thin layer and of a head wave propagating along a thin layer. By a thin layer we understand that layer the thickness of which is comparable with or smaller than the wave-length of the incident wave. A wave reflected from a layer as well as a head wave propagating along a layer are not simple waves but a complicated interference complex of waves, which has quite different properties to the waves themselves. For the sake of simplicity in practice, plane waves have been exclusively used instead of spherical waves in the case of a layer. The main results of the theory of the reflection of plane waves from a layer are given in chapter 2. The reflection of a spherical wave is solved in chapter 3. Expres- siona for the potential of reflected waves in the broad meaning of the word (i. e. including waves multiply reflected inside the layer and the head wave) are given by relations (3.6) and (3.7), which are then discussed. The method of decomposition into individual waves 8 x reflected from the lower interface of the layer is used. Equation (3.31) was derived in this way for the potential of reflected spherical waves before the critical point. The series in (3.31) cannot be summedupas is done for a plane wave. Only for very small d/a small horizontal distances from the source and small coefficients of reflection will it be approximately possible to replace the spectral characteristic of spherical waves reflected 22

24 from a layer by the spectral curve of reflected plane waves. In practice, when the reflection coefficients are small, equation (2.12) is often used for the spectral characteristic of a reflected plane wave. It is proved that the same relation can be used also for the spectral characteristic of a reflected spherical wave if condition (3.390 is fulfilled. If condition (3.390 is not fulfilled a correction for the "sphericity" of the incident wave, which is given by Eq. (3.40), must be added to relation (2.14), which determines the thickness d of the layer from the spectral characteristic.this correction will be the larger the greater the distance from the source, the smaller the refractive index n and the thicker the layer with respect to the distance of the source from the layer. The properties of a head wave propagating along a layer are studied in chapter 4. In order to determine the dynamic properties of waves which propagate in a layer at angles near to a/2, the behaviour of a refracted wave, propagating beyond the critical point along a simple interface in its immediate neighbourhood (i. e. at an angle near to a/2) is investigated in para It is shown that near the interface the refracted wave has the character of a head wave from the dynamical point of view (see Eq. (4.14)). It is shown in para. 4.2 that even waves multiply reflected from a layer have the character of a head wave when the thicknesses of the layer are small and the distances beyond the critical point large see Eq. ( Tne complex of all these waves then forms an interference head wave, the potential of which is given by Eq. (4.23). 23