Aplikace matematiky. Daniel Mayer; Vladimír Štembera Vyšetřování proudových diagramu elektrických strojů pomocí samočinného počítače

Transkript

1 Aplikace matematiky Daniel Mayer; Vladimír Štembera Vyšetřování proudových diagramu elektrických strojů pomocí samočinného počítače Aplikace matematiky, Vol. 11 (1966), No. 3, Persistent URL: Terms of use: Institute of Mathematics AS CR, 1966 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 SVAZEK 11 (1966) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 3 VYŠETŘOVÁNÍ PROUDOVÝCH DIAGRAMŮ ELEKTRICKÝCH STROJŮ POMOCÍ SAMOČINNÉHO POČÍTAČE DANIEL MAYER, VLADIMÍR ŠTEMBERA (Došlo dne 13. října 1964.) 1. ÚVOD Při použití symbolicko-komplexní metody lze vyjádřit proudy v ustáleném stavu ve vinutí elektrického stroje jako komplexní funkci reálného argumentu. Pro posouzení vlastností elektrického stroje je důležitá znalost grafu této funkce v komplexní rovině, tzv. proudového diagramu, pro hodnoty argumentu spojitě proměnné v jistém intervalu. Argumentem (parametrem) bývá skluz, resp. otáčky stroje anebo fázový posuv rotorového vinutí vzhledem k ose magnetického pole statoru. V prvém případě hovoříme o modulových proudových diagramech, ve druhém případě o argumentových proudových diagramech. Za předpokladu lineárnosti všech elektrických obvodů vyšetřovaného stroje v celém pracovním rozsahu (tj. za předpokladu konstantnosti impedancí všech vinutí) jsou proudy, jak známo, racionální lomenou funkcí E *v m - (i) m = k = 0 Z b lp "" 1 = 0 kde a kj b l jsou komplexní koeficienty a p je reálný parametr. Jestliže rovnice má h r reálných kořenů násobnosti r (j-tý r-násobný reálný kořen označíme p rj ) a l s komplexních kořenů násobnosti s (j-tý s-násobný komplexní kořen označíme (t) s j), lze vztah (l) vyjádřit ve tvaru 189

3 m-n (2) V( P ) = V + I ~ ЉlŁ - + I ; kr kí ß, J = 0 ' J^P-P t.j J=І(P-P2J) kl R 2J ч ß ' Г ' 2 C '» г +.X = 1 г - ^ + I - ^ - + I 7^^ X (P ~Pr,jY 1=1 P ~ IJ 1=- (P - ^2,j) 2 1=1 (P * G>sj) m n r ki o s kj *- i v +n r^s + n- -^- 1 = 0 i=l /=1 (p - p /5j ) 1 i=l J=i (p - G> /J ) í kde A,., B fclj, B fc2 j,..., B krj, C luj9 C /2>J -,..., C /sj jsou komplexní konstanty a k! + k k r + /\ + / l s = n. V komplexní rovině lze interpretovat prvých r + 1 členů jako součet přímek procházejících počátkem, v obecném případě s nelineární parametrickou stupnicí a dalších s členů jako součet kružnic procházejících počátkem, s různými parametrickými stupnicemi. Při grafickém vyjádření funkce V(p) v komplexní rovině lze vycházet z naznačeného rozkladu a s využitím různých geometrických vlastností komplexních funkcí lze zkonstruovat křivku V(p), včetně parametrické stupnice. Tento způsob konstrukce křivek v komplexní rovině je vsak již u jednodušších typů funkcí V(p) velmi složitý, pracný a nepřehledný a z těchto důvodů se řešitel může snadno dopustit chyby. Teorie a způsoby konstruování křivek v komplexní rovině jsou uvedeny například v článcích [1], [2] pro bicirkulární kvartiku a v pracích citovaných ve [2] a v knihách [3] a [4] pro další typy komplexních funkcí reálného argumentu. Jinak lze postupovat tak, že číselně vyjadřujeme funkci V(p) pro různé hodnoty argumentu p 7 v předepsaném intervalu. Tento způsob je sice velmi prostý, avšak zejména při vyšetřování rozsáhlejší pracovní oblasti vede k velmi zdlouhavým numerickým výpočtům a proto z hlediska starších pracovních možností se v teorii elektrických strojů nejeví jako příliš výhodný. Naproti tomu při použití samočinného číslicového počítače můžsme na základě této výpočtové metody sestrojit algoritmus výpočtu, jímž lze velice rychle dospět k výsledkům i pro složité funkce V(p). 2. PROGRAM PRO VÝPOČET HODNOT FUNKCE V(p) Pro výpočet hodnot komplexní funkce V(p) pro různé hodnoty argumentu p pomocí samočinného počítače je nutno a) upravit výraz (1) pro funkci V(p) tak, aby vlastní výpočet probíhal v oboru reálných čísel; b) zavést vhodné kritérium k volbě kroku pro argument p, pro který ve vyšetřované pracovní oblastí elektrického stroje budeme provádět výpočet. V dalším uvedeme řešení těchto dvou otázek. 190

4 a) Úprava rovnice (l) V rovnici (1) vyjádříme koeficienty a k, b l ve tvaru (3) a k = a rk + ja ik, k = 0, 1,..., m, b, = b rl + jb il9 l = 0, 1,..., n, kde o rjt, o řk, b rz, b a jsou reálná čísla a parametr p nabývá pouze reálných hodnot v předepsaném intervalu <0; M). Předpokládejme, že o 0 4= 0 a b Odděiíme-li v čitateli a ve jmenovateli rovnice (1) reálné a imaginární části, lze ji vyjádřit ve tvaru +j a) v(p) = ^ň a^ V Pr(p)+JPi(p)' kde (5) a,(p) = a ro p m + a rí p m ~ l a r(m _ l)p + a Tm, XÍ(P) = a io p m + a iip ' n a i(m _ l)p + a im, PÍP) = b rop " + b rip n~ l b r, n _ l)p + b rn, ČÁP) = b io p" + b h p" b i(n _ l)p + b in. Čitatele i jmenovatele rovnice (4) vynásobme výrazem f} r (p) j fí^p), čímž dostáváme (6\ y( x = «ÍP) Mv) + a i(p) PÍP) + ÍMÉ> PXP) - «r(i>) PÍ(P)~] l } ^ ' fr(p) + P 2 ÁP) Zavedeme nové označení a rovnici (6) přepíšeme na konečný tvar Polynomy s reálnými koeficienty P(p) a R(p) jsou vesměs stupně m 4- n a polynom Q(p) je stupně 2m; tvar těchto polynomů je zřejmý z rovnic (6) a (7). Z hlediska dalších výpočtů by bylo výhodné znát singulární body funkce V^(p), tj. nulové body polynomu Q(p), ležící na reálné ose, eventuelně v její blízkosti. Pro náš případ bude postačující zjišťovat pro běžné hodnoty parametru p chování polynomu Q(P). b) Volba argumentu p, pro který se počítá funkce V(p) Při vyšetřování jednotlivých bodů proudového diagramu vycházíme jednak z daného intervalu, v němž se mění parametr p, p e <0; M) a dále z počátečního kroku h = 1, který je v dalším postupu stále upravován, v závislosti na funkci V(p). Tato 191

5 úprava kroku h spočívá v tom, že pro zvolené kladné číslo O\ které je mírou přesnosti zakreslení trajektorie koncového bodu vektoru V(p\ obr. 1, musí být splněna podmínka (8) ò ^ AV = У{[Re V(p 2 ) - Re V( Pl )Y + [Im V(p 2 ) - Im V( Pl )Y}. Není-li tato podmínka splněna, je krok půlen, je-li O" > AV, je krok zdvojnásoben. Tak se postupuje pro p g M, dále je vypočtena hodnota funkce V(p) pro p -» oo /mlfe; Obr. 1. a poté počítají hodnoty funkce V(p) pro p e <0; M), tj. vycházeje od p = 0 s krokem h = 1, který se opět upravuje podle kritéria (8). Jestliže pro nějakou hodnotu parametru p = p 0 platí Q(P 0 ) = 10~~ 8 paiauivuu ^/ JJQ piatl M^VIvj ==, pokračuje se ve výpočtu funkce V(p) pro ±KJ ' pujvlacujc bc VC VypUtlU luuft.v/c argument p = p 0 + h a opět se postupuje dále, za respektování kritéria (8). c) Program pro samočinný počítač Program výpočtu je uveden v publikační versi algoritmického jazyku ALGOL 60 v tabulce I. Lze jej použít pro racionální lomené funkce V(p), jejichž stupeň čitatele je m ^ 50 a stupeň jmenovatele je rovněž n ^ 50. Nejprve se ze zadaných hodnot o k, b[ vypočítají koeficienty polynomů P(P), R(p), Q(p)- P a k se počítá hodnota funkce V(p) pro p e ( M; M), přičemž krok se samočinně nastavuje podle výše uvedeného kritéria. Hodnoty funkce V(p) = Re V(p) + j Im V(p) jsou uloženy v poli V, kde Re V(p) je označena V[l,...] a ím V(p) je označena V[2,...]. Při nastavování kroku podle kritéria (8) se počítají hodnoty funkce V(p) pro hodnoty parametru p, jež jsou zpravidla neúplnými čísly. Je to vsak nevýhodné pro vyznačení stupnice parametrického měřítka na křivce V(p) (cejchování křivky 192

6 Tabulka I. KŘIVKY: begin integer m, n, i,j, K, max, N; reál h, delta, M, p; Boolean beh; array a, b [1 : 2,0 : 50], P, Q, R[0 : 100], V[l : 2,1 : 3), r[l : 3]; proceduře TISK (p) reálná část: (Vl( irnag. část: (V2(; cornrnent operační část procedury musí umožňovat tisk reálných čísel nebo řetězů; proceduře Horner (D) výsledek: (x); reál x; array D; begin comment počítá hodnotu polynomu D 0 p N \ D t p N ~ l -f... -f D N pro danép; x := D[0]; for j:= 1 step 1 until jv do x := x x p f D[j] end Horner; comment nutno přečíst stupně polynomů m, n, reálné a[l, i], b[l, i] a imaginární a[2, i], b[2, i] části koeficientů čitatele a jmenovatele, dovolenou odchylku vektorů delta a interval M; KOEF: IV:= m + n; max:= n; if n > m then begin for i := m f 1 step 1 until n do a[i]:=0 end else if m > n then begin for i: = n f 1 step 1 until m do b[i] := 0; max := m for i: = 0 step 1 until max do begin comment výpočet nových koeficientů; Pii] := P[/V - i] := Q[i] := Q[/V - i] := R[i] := R[IV- i] := 0; forj := 0 step 1 until i do begin Pfj] := P[i] f a[l,j] x b[l, i - j] f a[2,j] x b[2, i - jl; R[i] := R[i] f a[2,j] x blu i - J] - aluj] X b[2, i - j]; G[/]: = Q[i] 1 b[vj] 2 i b[2,i- jit 2; if i < max then begin P[N i] := P[!V i] f a[l, max j] X b[u max i f j] f f a[2, max j] X b[2, max i f j]; J?[A! i] := R[Al i] -f a[2, max j] X b[l, max i f j] a[l, /nax j] X b[2, max i f j]; Q[N - i]: = Q[N - i] -f b[l, max - j] 2 -f b[2, max - i -f j] 2; end end end KOEF; h := 0.5; beh := truc; R0: /?: = 0; i:= 2; if C?[N] = 0 then begin TISK (p, 'nevlastní', ^nevlastni'); p := p f h; i := 1; go to R2 end else begin F[l,l]:= P[!V]/62[!V]; V[2,l]:= R[N]/Q[N]; TISK(I>, V[1,l], V[2A]) Rl: if i 3 then begin i := 2; p := p -f h; go to R3 /:= 2; h:= 2 x h;p:= p -f h; if abs (o) g M then go to R2 else if beh = falše then go to PARAMETR else 193

7 if C?[0] = O then TISK ('nekonečno', 'nevlastní', 'nevlastní') else begin V[Ul:= P[0]/G[0]; V[2A]:= R[0]/Q[0]; TISK ('nekonečno', V[1A] V[2A]) beh := falše; h := - 0.5; go to R0; R2: Horner (Q, r[3]); if abs r[3] <^ 10~ 8 then begin TISK (p, 'nevlastní', 'nevlastní'); P := P + h; i:= 1; go to R2 Horner (P, r[l]); Horner (R, r[2]); V[l, i] := r[l]/r[3]; V[2, i] := r[2]/r[3]; if i = 1 then begin TISK (p, V[l,l], V[2A]); p := p 4 h; i:= 2; goto R2 R3: if abs(šqrt)(v[\,\] - V[l, i]) 2 + (V[2A] - V[2, i]) 2)) ^ delta then begin V[l, 1] := V[l, i]; V[2, 1] := V[2, i]; TISK (p, V[1A], V[2, 1]); go to Rl end else if i = 3 then begin V[l, 2] := V[l, 3]; V[2, 2] := V[2, 3] end else i := 3; h : = h/2; p : = p h; go to R2; PARAMETR: comment nutno zadat počet cejcnovnícn bodů K a pro každou obrátku cyklu nový parametr p; for i: = 1 step 1 until K do begin Horner (Q, r[3]); if r[3] <; 10~ 8 then begin TISK (p, 'nevlastní', 'nevlastní'); go to R4 Horner (P, r[l]); Horner (R, r[2]); V[l, 1] := r[l]/r[3]; V[2, 1] := r[2]/r[3l; TISK (p, V[l,l], V[2, 1]); R4: end cyklu PARAMETR; KONEC: end programu KŘIVKY V(p)). Proto je program upraven tak, že po proběhnutí hlavního programu vstoupí na návěští PARAMETR, kde pro K zadaných hodnot parametru p (odpovídajících požadovaným hodnotám na stupnici parametrického měřítka) vypočítá hodnoty funkce V(p). Vzhledem k tomu, že vypočítané hodnoty funkce V(p) v daném intervalu parametru p nabývají praktický význam až po grafickém sestrojení, je výhodné použít počítač, který na výstupu umožňuje grafický záznam křivek, anebo který má dostatečný počet znaků na jeden řádek. Pak proceduru TISK, která v našem případě zprostředkuje vytištění hodnot p\ Re V(p), Im V(p), pozměníme tak, abychom přímo získali trajektorii V(p), anebo jednotlivé její body vyznačíme vhodným typem z tiskárny počítače (například x). Uvedený program byl prakticky ověťqn na několika příkladech různého charakteru na počítači National Elliott 803 A (program z ALGOLu 60 byl přepsán do autokodového jazyka tohoto počítače). 194

8 195

9 Jako jeden z těchto příkladů uvedeme výpočet trajektorie vektoru V( p ) = ( 5 + J) P 2 + (~M + j4,2) p j5,6 (8-j)p 2 + (-6+;9)p+5+i Jedná se zřejmě o bicirkulární kvartiku. Výpočet byl proveden pro tyto hodnoty: M = 10 7, tj. prakticky pro interval p e ( co, co) a ó = 0,2. Program počítal asi pro 80 různých hodnot parametru p, které jsou neúplnými čísly a jsou určovány podle kritéria (8) a dále asi pro 20 dalších hodnot parametru p, jež jsou vhodná pro vyznačení parametrické stupnice. V tabulce II je naznačen soubor výsledků získaných počítačem: je uvedeno několik hodnot funkce V(p) pro hodnoty parametru Tabulka II. p Re V(p) Im V(p) l / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 00 NEKONEČNO / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 00 j -^ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

10 ležící v blízkosti krajních hodnot jednak intervalu <0; M), jednak intervalu <0, M) a posléze pro hodnoty parametru p, jež jsou úplnými čísly a jsou tedy vhodné pro sestrojení parametrické stupnice. Graf funkce V(p) je uveden na obr. 2. Literatura [1] Michael W: Die Konstruktion des singularen Punktes der bizirkularen Quartik und der durch ihn gehenden Tangentialkreise. Archiv fúr Elektrotechnik 30 (1936), [2] Kučera, J: Oskulační kružnice v bicirkulárních proudových kvartikách elektrických strojů. Elektrotechnický obzor 53 (1964), [3] Hlávka, J: Střídavé proudy. SNTL, Praha [4] Kneppo, L.: Striedavé prúdy. Vydav. SAV, Bratislava Резюме ИССЛЕДОВАНИЕ ДИАГРАММ ТОКА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН С ПОМОЩЬЮ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ ДАНИЕЛЬ МАЙЕР, ВЛАДИМИР ШТЕМБЕРА (ОАМЕЕ МАУЕК, УЕАОШПЯ 8ГЕМВЕКА( Токи в обмотках электрических машин можно в установившемся состоянии выразить в виде дробнорациональной функции, урав. (1). При этом предполагают, что все цепи линейные. Дл. оценки свойств электрической машины важно рассмотреть график функции (1) в комплексной плоскости т. наз. диаграмму тока. Алгоритм вычисления отдельных точек диаграммы тока, на основании которого была составлена программа для автоматической вычислительной машины, заключается, в частности, в следующем: а) в преобразовании формулы (1) таким образом, чтобы вычисление совершалось в области действительных чисел, б) в применении критерия при выборе шага для параметра р, для которого в исследуемой области определяют точки диаграммы тока. Программа построена таким образом, что, кроме тех значений параметра р, которые являются, в общем случае, неполными числами, проводится вычисление еще для тех данных параметра р, которые удобны для построения шкалы параметров. Программа для автоматической вычислительной машины разработана на алгоритмическом языке АЕСОЕ 60. Применение этой программы показано на числовом примере бициркулярной квартики, вычисленном на автоматической машине типа 1юпа1 ЕШоИ

11 Summary INVESTIGATION OF CURRENT DIAGRAMS OF ELECTRIC MACHINES BY COMPUTER DANIEL MAYER, VLADIMIR STEMBERA Currents in the winding of electric machines can be represented in the stationary state by a rational function (1), supposing that all circuits are linear. Examination of the graph of the function (1) in the complex plane the so-called current diagram is of great importance for the evaluation of electric machine properties. The computation algorithm of current diagram points, on the basis of which the computer program was designed, consists principally in a) modifying the expression (l) so that the actual computation may be performed only with real numbers, b) introducing criteria of choosing the step for parameter p, for which current diagram points are determined in the examined region. The program is so designed that, in addition to these parameter p values, which are generally incomplete numbers, the computation is performed even for those given parameter values that are suitable for the design of the parametric scale. The computer program is given in the algorithmic language ALGOL 60. The application of this program is exhibited on a numerical example, of the bicircular quartic, and computed by the National Elliott 803 computer. Adresy autoru: Doc. Ing. Daniel Mayer C Sc, Vysoka skola strojni a elektrotechnicka, Nejedleho sady 14, Plzen. Ing. Vladimir Stembera, Skoda Plzen, Vyzkumny a zkusebni ustav. 198