Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Řehořovský O vytvořující funkci Borchardt-ově Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. (882), No. 2, --20 Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mathematicians and Physicists, 882 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 ni nejasnost mezi subjektivnou a objektivnou stránkou, kde těžko přísnou mez stanoviti. Něco z toho osvětlí a doplní se časem; jiné ale ostane snad věčnou hádankou. Předmět sám, z něhož jsem zde pouze mathematickou částku, totiž vzrůst a spor přesvědčení probral, ponechávaje šíření (vědecké bádání) a sdělování přesvědčení budoucnosti, jest ale převelmi vážný jako sotva jiná část počtářství. Nejednat se tu o nic více ani méně než o sílu pravdy. A kdož by mohl mohutnost její popírati? Působit nejen v soukromých rozmluvách, ve školách, spisech a na řečništích, ale ozbrojuje i paže, prolévá krev na bojištích, a neleká se ani smrti na popravišti, vědouc, že tělo sice zmařeno býti může, duch ale nikoli. Ano sama smrt jest její vydatnou pomocnicí v zápase s mocnými bludy. Jednou jest mučednictví, byť i jen subjektivným, ale vždy silným důvodem ve všech příbuzných myslech, a po druhé odchází z duchovního bojiště s tělem i nenapravitelná bludná mysl. Mimo to nemůže našemu materialismem prosáklému století býti na škodu, pakli i o něčem duchovním počítati bude. Z těch a podobných příčin doufám, že neostanu osamělým dělníkem na tomto novém poli. V Jensovicích u Vys. Mýta, v květnu vytvořující funkci Borckardt-ově. Napsal VácJav Řehořovský.. Borchardt ukázal,*) že možno obdržeti veškeré homogenní souměrné funkce kořenů algebraické rovnice n m stupně co koefficienty jednotlivých členů, rozvineme-li jistou funkci v nekonečnou řadu. Funkci tu nazval vytvořující funkcí souměrných funkcí kořenů. Jest to funkce () T = S (t l a l ) («, «,)... (tn-«n y kdež značí t x,..., libovolné veličiny, a y,..., cc n kořeny rovnice n Uh0 stupně *) Bericht über die Verhandlungen der k. preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 855. str. 65.

3 2 (2) f(x)rzx n -i r a l x n fa n =zo, a znamení 27 vztahuje se na všechny členy, které z napsaného vznikají tím spůsobem, že jednu řadu veličin ku př. t podržíme co pevnou a druhou, totiž veličin a, všemožným spůsobem přestavujeme. Rozvine-li se výraz takto vzniklý dle klesajících mocnin veličin, objeví se co koefficienty u jednotlivých těchto mocnin veškeré souměrné homogenní funkce kořenů a u a 2..., a n ; aby však tyto funkce obdržely se vyjádřeny v koefficientech a t,..., a n rovnice (2), oč v theorii souměrných funkcí kořenů hlavně se jedná, nutno výraz T přetvořiti v jiný totožný, v kterém se vyskytují veličiny t a koeíficienty a,,..., a n, takže rozvine-li se tento druhý výraz opět dle klesajících mocnin veličin f, obdrží se porovnáním součinitelů stejných mocnin veličin t na obou stranách souměrné funkce kořenů vyjádřeny co funkce koefficientů. Přetvoření to provedl Borchardt velmi důmyslným spůsobem na základě souvislosti výrazu T s dvěma determinanty, kteráž zní: Jest-li %e (3) D = (A-«,) 2 ' (<.-«!)" ' (tn-- «) 2 (A-«*) 2 ' (í 2 -«2 ) 2 ' ' (t«--«г ) 2 (4) --*= l (Ч-VnЎ" (Һ-Onf ' (V-) 2 <!-«! ' Ч «i ' ' t n «k - «2 ' Ч - «2 ' ' í «2 h~ a n t 2 a n 7 a T značí výraz v () udaný, pak platí tn (5) D = JT. Borchardt na výše uvedeném místě zmiňuje se pouze, jak možno větu tu dokázati, aniž by důkaz sám podával. Jelikož CC n

4 3 důkaz ten neleží tak na snadě, pokusili jsme se podati jej zde úplně, abychom čtenářstvu studium těchto částí moderní algebry usnadnili; provedli jsme zde důkaz pro případ n = 3 tak, že možno jej ihned rozšířiti na libovolné n. *) Důkaz věty založen jest na Lagrange-ově průkladném vzorci a třeba tedy dříve zmíniti se krátce o vzorci tomto rozšířeném na více proměnných. 2. Průkladný vzorec Lagrange-ův pro funkce o jedné proměnné jest všeobecně znám. Dle vzorce toho jest celistvá racionálna funkce <p (x) stupně (?i l) h0 určena, známe-li hodnoty této funkce, které obdrží, položíme-li za x jednu z n zvláštních hodnot x x, x 2,..., x n \ jest pak (6) <p (x)= /* ~ X * ] [' ' ' (*-**> 9(x x )+.-.. * w (x x x 2 )...(x x x n ) y v ' _ _ (x x x )...(x~x n^) ^ ( ^ \X n x x )... \X n X n \) Jedná-li se o funkci <p (x, y,,.., u) m proměnných a stupně (n l) 7t0 vzhledem ku každé z těchto proměnných, jest funkce ta určena, známe-li hodnoty její, které obdrží, položíme-li za x některou z n zvláštních hodnot x x, x 2,..., x n, současně za y některou ze zvláštních hodnot y i, y 2,..., #, a t. d é až současně za u některou ze zvláštních hodnot u x, u t,..., u n ; poněvadž možných tu spojení mezi zvláštními těmito hodnotami jest n, nutno znáti n m zvláštních hodnot funkce y (#, y,..., u). Vyjádření funkce <p pomocí těchto hodnot děje se pak postupně; nejprve se zavedou hodnoty x x,..., x n dle (6), aniž by se bral zřetel ku ostatním proměnným y,... u. Obdrží se [X Xn ),» (X Xn) / \ i ( cc, y,..., u) = ) *4 T ^ w (x x, v,..., u) 4-..., (a; a;-,)... (x x n^x).. \X n X x )... \Xri~~- «^w-l) pak se do každé funkce y(x k, y,..., n) zavedou dle téhož vzorce veličiny y^ takže jest *) Jiný dûkaz dle Cayley-e viz ve Faà de Bruno: Théoríe deв formes binaires. Turin 87ß. str, 39.

5 4 funkce <?(#*, y t, z,..., u) se opět vyjádří dle téhož vzorce a tak se pokračuje, až konečně funkce tvaru 9> (&* y y*,.. - v,, u) vyjádří se funkcemi g>(ak, y*,..., v p, M 9 ), jež pokládají se za známé. Dosazujeme-li pak postupně zpět, obdržíme funkci 9( x i yi-"> u ) vyjádřenu co součet n m členů tvaru A<p(x k, y z,..., w ff ), kdež A jest funkce obsahující každou z proměnných a>, i/,..., u v stupni n a mimo to známé veličiny x k, y*,..., *v 3. Obraťme se nyní k důkazu rovnice (5) a předpokládejme hned nz=3. Tu jest Dr= á-=z (<i-«.)*' («2 -«i) 2 ' («з-«.) 2 (<l.-«.) 2 ' («. «..)** (<з-«.) 2 ľ «з) 2 ' (* 2 -«з) 2 ' «з) 2 (V ' " Ч a г í T = 2ľ-т- (* «l)( ř 2 «2 )( ř 3 a 3> Společný jmenovatel prvků v sloupci prvním determinantu D jest (^-^(íi-^tt «b) f, t. j. dle (2) [/(*,)]', oněch v sloupci druhém podobně [/(* 2 )P a v třetím f/(^)] 2, takže převedeme-li veškeré členy v D na společný jmenovatel, bude tento J»=[/(«.)./«,)./(«,)]«a možno tedy položiti M D = rг > h «i *2 «2 (V ч ч «, kdež M značí jistou celistvou funkci veličin t a a. «2

6 5 Z tvaru determinantu D plyne však dále, že obsahuje kterýkoliv z rozdílů a k a }. jakož i t k tj co činitel, neboť položíme-li kterékoliv dvě z veličin a aneb z veličin t sobě rovny, stávají se dvě řádky neb dva sloupce stejnými a determinant se stává rovným nulle. Označíme-li tedy n («3, a L ) = («3 a x ) (a, c* 2 ) (a 2 a L ), n(t 3, t l ) = (t 3 -t )(t 2 t 2 )(t 2 -t l ), předpokládajíce rozdíly tak tvořeny, že a resp. t s nižším ukazovatelem jest vždy odečteno od a resp. t s vyšším ukazovatelem, můžeme dále položiti M = n(a 3 i a,).n(t 3, ČJ.N, kdež N opět jistou celistvou funkci veličin t a a značí, avšak stupně nižšího jak M. Jest tedy i!d N = JT(a 3, cc t, a L ). /7(<j, <,) Tvar této funkce N zjednáme si pomocí Lagrange-ova prňkladného vzorce rozšířeného na tři proměnné. Dle právě uvedeného jest («l-«i) S (*!-«,), (<!- «.)'(<.-«3) 2, &-«.)'&-«,)' («-«.)*(««.)', (<2-«3) 2 (t :.-«l) 2, («i «,)*(«. «l)* («.- «l)* (íl- «.)', (<,- «l) 2 («, ~ «2 ) 2, (<,- «l) 2 (<3~ «.) 2 N = U(«3, a L ).n(t 3, *,) Považujeme N co funkci proměnných t L, 3 ; jest to funkce celistvá a vzhledem ku každé z těchto proměnných stupně druhého; dle toho, co o Lagrange-ově vzorci předesláno bylo, třeba znáti 3 3 = 27 (pro všeobecné D n n ) zvláštních hodnot, které N obdrží, položíme-li za t x některou ze tří zvláštních hodnot x L, x 2, x %, současně za t 2 některou ze zvláštních hodnot y x, y 2, y 3 a současně za t z některou ze zvláštních hodnot z L, z 2, z 3 ; za zvláštní tyto hodnoty x k, y t, z m, které položíme za každou z proměnných t,, t 3 zvolme veličiny «i, «2, a 8 a označme N^w hodnotu, kterou N obdrží, klademe-li t x = a k =a t, t s = a m. Každá z veličin &,, m může obdržeti jednu z hodnot, 2, 3. Hodnot N,H m bude v celku 27 a funkce N objevila bý se tudíž co součet 27 členů, z nichž každý má zá součinitel jednu z hodnot Nw«. Avšak ze všech těchto členů zbývá jen

7 6 oněch šest (ve všeobecném případě n/), jichž součinitelé jsou ona NjHm, kdež žádná dvě z čísel &, l, m nejsou stejná, neboť funkce N jest takového tvaru, že hodnota NH», se rovná nulle, jakmile dvě z hodnot &, ř, m jsou sobě rovny. Zbývají tedy pouze ony členy, jež obsahují N 23, N 32, N 23, N 23, N 32 a N m. Mimo to jest N vzhledem ku t x, č 3, jakož i ku c n «2J a, funkce souměrná, takže NH»» hodnotu svou nemění, nechť &, Z, m jakkoliv přestavujeme. Veškeré výše vypsané hodnoty N jsou tudíž stejné a možno položiti N = P.N m, kdež P značí součet šesti funkcí vzhledem ku t íy t 2, t z celistvých, vzhledem ku a l, a 3 lomených. Hodnotu N l23 obdržíme dle hořejšího z N, položíme-li tam t x =a x = a 2, 3 = a 3 ; plyne tu N = fa - "*)* («i «3 ) <<ž («2 -«3 ) 2 («2 «i) 2 («3 «i) 2 («3 «2 ) 2 aneb 23 n (<*3, «2, «l). /I («3? «2í «l) N 23 -=[tf(«3, «2, «i)] 2. Zbývá určiti ještě funkci P. obdržíme nejprve Dle vzorce Lagrange-ova v _ (*i «2 ) (* «a) vr i (*i «3) (* «i) vr («i «2 )K «3 ) («2 «a)(«i «i) I fa «l)(*l «2 ) N.З f 2 <3 («3~ «l)(«3 «2 ) označíme-li symbolem N* ^ hodnotu, kterou N obdrží, položíme-li tam t t z=.ak, ponechávajíce však t 2 a t z. Zavedeme-li dále označení T l f \ (* *«) (ft *») llw-(«*-«0( «J f kdež a* jest jedna z hodnot «l9 «2, «3 a a, «w ostatní dvě, můžeme pak psáti kratčeji N = T, K) N l r t + T x («,) N. h + T, («3 ) N 3M3. Každou z funkcí N^t, ^ vyjádříme opět dle vzorce Lagrangeova zavedouce místo t 2 veličiny «i, «2, «3 a ponechávajíce ještě * 3. Poněvadž dle výše učiněné poznámky jest N^-r-O, bude* an třetí člen odpadá, J-W == T,-(«0 N WÍ3 + T 3 (a m ) m mh a N sestávati bude ze součtu šesti členů tvaru T-(a*). T 2 («ř ). NM* 3,

8 7 kdež k a l mohou obdržeti hodnoty, 2, 3, avšak nikoliv současně dvě stejné jako, a t. d. Pišme zkrátka N=2;T («*)T 2 («I )N* I «S. Vyjádříme-li konečně N*^ opět dle Lagrange-ova vzorce, odpadnou dva členy obsahující N«* a N*n a zbývá jen člen s N«OT t. j. s N 23 ; bude tedy N*tt, = T 3 (a m ) N Ww = T 3 (a m ) N 23, což dosazeno podává N = N m.2?t («A )T a («l )T a («fll ) l kdež k, l, rn možno uděliti kteroukoli z hodnot, 2, 3, avšak nikoliv současně dvě stejné jako,, 2 a t. d. Jest tudíž P = 27T («*)T 2 («,)T,(«w), kdež znamení 2? vztahuje se na veškeré přestavy možné z čísel, 2, 3, jichž jest šest (všeobecně ní). Dle významu veličin T ť jest však T, («*) T 2 («,) T 3 (a m ) ( f i «*-)(*! *m) ( l 2 <Xm)(t 2 ) (t 3 ) (t 3 ai) m ~ (a k «,) (a k a m ) ' (a t a m ) ( «2 ) ' (a m ) («a t ) ' doplním«-li čitatel součinem (t x ) (t 2 aj) (t 3 a m \ promění se v f(t x a )»f(t 2 )-f(h) upravíme-li ve jmenovateli rozdíly tak, aby a s nižším ukazovatelem odčítalo se vždy od a s vyšším ukazovatelem, což vyžaduje vyjmutí činitele v počtu 2 + =3 (ve všeobecném případě v počtu («-!) l = ^i^), obdržíme T («*)T («,)T («J = (-l)y(«i)-/ft)-/ft) [27(«3, «2, «J] 2 (t x ) (t 2 at) (t z a m ) a tedy p_ r u,f&)>fl*»):f&) s - ~ < l) [it(a,, * 2, a.)]- * (í, - ) {t, - «.) (t 3 - cc m ) ' aneb dle výměru funkce T dané rovnicí () P - r_ iv/fl.) /(**) /(*.>. T ~ { l) [it(«,,«i, o,)]» ** Jest pak N = PN m = (- l)"/(-i)/(«.)/(«i) T

9 ; 8 a tedy D = ( l) 3 ţf-í"*! *i- a «i_ П i f»_љ!_ /«_)-/( _) /(* ).Zcela podobným postupem bychom obdrželi ve všeobec případě ném n - ř_ n - ^ ) T. / ( «, ) / (... / ( -. ) ' funkce na pravé straně stojící mimo T jest však, jak z theorie determinantů známo *), determinant _/, takže konečně jest D /T, což bylo dokázati. 4. Dodatek. Na základě této souvislosti lze větu Borchardtovu samu snadno dokázati. Věta ta zní: Souměrná funkce kořenů E af cc^2... ciř Pn, kdež a x,..., a j/sow kořeny algebraické rovnice (), rovná se součiniteli Členu n, + -, + * #-?n + l a ' ' ' n v nekonečné řade, která vzniká rozvinutím výrazu,_ i v. - _. [ - l A l u(ť,..., tj dí. ďí, d«n L/^).../(< )J czze klesajících mocnin veličin t x,...t n. Jest totiž dle věty předcházející T - D aneb vložíme-li za / jeho hodnotu v předcházejícím článku udanou rp / i \ % _ /v.) '/(*>») T\ Determinant D povstává však z _/ postupným derivováním tohoto dle proměnných t t, i-,...,.,, při čemž vždy po každé derivaci objeví se co činitel všech prvků jednoho sloupce; můžeme tedy psáti D - Í_ i v - - A [r.^^k-.-,«,)*%. "-< J #..<«, " -.: ;.,_)! /(_).../(<») J' *) Viz Dr. S. Günther: Lehrbuch der Determinanten Theorie, 2. Aufl. Erlangen 877, str.. a näsl.

10 9 aneb jelikož veličiny a jsou tu stálé D_( ) ( ) t. j. w K-.«.) d ř l á ř í - á ( n l / f t ). / ( y J> Dosadíme-li tuto hodnotu do výrazu hořejšího pro T, bude T - (- i>/ft> -/(*») ^ ^ pfe,-i0 - ^ n(t n,...t x ) dt l dt 2 --'dt n lf{t ] )...f(t n )A T_=. Funkce 6) jest tudíž totožná s T, liší se od ní však tím, že místo kořenů a obsahuje koefficienty a rovnice předpokládané. Z totožnosti té následuje, že součinitelé stejných funkcí veličin t na obou stranách jsou sobe rovny; zbývá tedy jen vyšetřiti, u které funkce veličin t objevuje se souměrná funkce kořenů U af a p 2...a Pn ve výrazu T, an pak u téže funkce veličin t v rozvinutém výrazu S stojí příslušná funkce koefficientů rovnice. K tomu cíli stačí vyvinouti skutečné funkci T; jest l jll I L "V I h «"" * ** t -P- + ' ' i a _ =_Í_J _..._ - f.. znásobíme -li, o*«*...«f» -J І _ L (*i ^i) - -. (^» ) ' ' * t pl + t,p, p2 + t Pn,^ + ' * n i 2 n Přestavujeme-li všemožně veličiny a a sečteme-li, obdržíme! 2Ja Pl a p \..a p» pl + 0* ч) (Ь ««) " ' t Í JP, + í ť «+ takže funkce -Ta^ af 2...a Pn jest skutečně součinitelem u ' ;,, - i T-r, jak věta tvrdí. Podotknouti sluší, že funkce T se též nemění, přestavujeme-li všemožně veličiny t ponechávajíce řadu veličin

11 20 a nezměněnou ; z toho plyne, že v rozvinutém výrazu T objevují se též členy s oněmi funkcemi veličin, které z fpi+,p2+- *Pn+ X t l z...t n všemožným přestavováním t x,... t n vznikají a že součinitel u každé takové funkce jest opět Ea^ a Vi... a Vn \ shrnou-li se všechny takové členy v jediný, objeví se T ve tvaru Љ Vl P - T =... + Z!a*a*...al*.EtVi + ^2 + ^n + X a S ve tvaru - 2 ' * " n 0 =... + cp (a., a.,... a n ). 2 r. r-r +... T V nj ' *' ^Pi + i ^2 + t Pn^~ 2 * * ' n Jak samo sebou patrné, mohou i některé z hodnot p býti mezi sebou stejné a třeba i rovny nulle; o případu tom nutno zvláště se zmíniti. Předpokládejme, že ve funkci Ea Pl a Pl... a Vi v rozvinutém výrazu T přichází n t mocnitelů rovných p x, n 2 mocnitelů rovných p 2 a t. d. až n { mocnitelů rovných p^ takže platí n x + n n { = ri; přestavuj eme-li v tomto případě veličiny a opět jako dříve všemožným spůsobem, neobjeví se funkce Za Vl... a Vi jen jednou, nýbrž v počtu n x! n 2!... n t!, a tento násobek funkce Ea vl... a Vi rovná se příslušné funkci <p {a x,..., a n ) koefficientů rovnice v rozvinutém výrazu pro S; chtějíce tudíž obdržeti jednoduchou souměrnou funkci Ea vl... a Pi jest nám onu funkci koefficientů z výrazu S děliti součinitelem n l \n 2 \...n i \ Ku př. ve funkci Ea\ a 2 a z pro sedm kořenů vyskytuje se mocnitel 3 jednou, mocnitel dvakrát, mocnitel O čtyřikrát a funkce ta objeví se v rozvinutém výrazu T v celku 24! = 48krát; byloby tudíž třeba děliti příslušnou funkci koefficientů ve výrazu osmačtyřiceti. Borchardt na jmenovaném místě ukázal, že dělení to vždy vyjde a podal tím důkaz věty pro celou theorii souměrných funkcí kořenů důležité, totiž že funkce koefficientů, která vyjadřuje jistou souměrnou funkci kořenů, jest funkce celistvá a že číselní součinitelé jednotlivých členů této funkce jsou též čísla celistvá.