Časpis pr pěstvání mathematiky a fysiky Matyáš Lerch Příspěvky k therii některých transcendent pčtu integrálníh. [VIII.] Časpis pr pěstvání mathematiky a fysiky, Vl. 50 (1921), N. 4-5, 264--277 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123798 Terms f use: Unin f Czech Mathematicians and Physicists, 1921 Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://prject.dml.cz
264 kdež značí stáří při vstupu, v čekací dbu pr starbní důchd a kde nevzat hled na stupání příplatků mezi 5. 10. rkem příspěvkvým *. ř = 20 25 30 35 40 45 50 55 1> =0-21 0^23 0*26 0-S2 037 038 0*37 0*33. Tyt hdnty liší se" pněkud d hdnt tabulky 10. pjistně matematické zprávy k vládnímu návrhu zákna pensijníh 12 ) prt, že ve vládním návrhu pčítán pžitek vychvávacích příplatků až d 20. rku a byla pr výpčet předpkládána 10-letá čekací dba. Příspěvky k therii některých transcendent pctu integrálníh. Píše M. Lerch., Integrál 00 (Pkiačvání.) má derivaci J (&+v) integrací p částech plyne 00 dát J X + V и=ij ( x -f- v) (x -ţ- n) 0 0 {x + v) (x + n) 1, v n{x + ný (v nү (x+ v) (v ìiү (x + n) V*) Tisk 2.135 zasedání Nár. shr. čsl. r. 1920.
265 tedy dx 1, 1, n v) (x + n) (v n) n (v n) v takže plyne ar s! v?/ 1 1 \ «l 8 n i v 00 1 A>(v) = -2\ \+± - & - -lg^2 7 -j, v i \n n v/ n=i(v n) - (v n) A f (v) = -<p(l v) <p T (1 v) lg v + i - 1?^%. (5) v i. (v n) Integrací vychází A(v) = 9(l- ^lgr + i l g ^ - ^ - ^ + Jr; knstantu K určíme vlbu v = 1: tedy K = 1: /i(l- v )lgi; = / / ^ = l, 4 = 0, 4 (») = - 1 + p (1 - v) lg v + /lg» (-i- - -i-v (5*; w=2 V'* " M 1/ Dsadíme-li tent výraz d rvnice (3)? vyjde p užití vztahu pr integrál vyjádření <p (v) <p (1 v) = 71 ctg V7T B{v)= (t>) = l /[,,/ [.,/ (æ + 1) ç>' (ж + r ] lg sin aгя đж (6) _ І0gя B(v) = - ľ 00 í 1 1 \ 71 COtg Í77T. lg V +.2' lg W I j ), «=i \w + t; w W ^i+ig.+iig^^-^). m Na místě B (u) zaveďme funkci 1 00 JK / \ C i / N i i í lg I sin ^^r I dx,_ 0 (w) = / y' (u + č) lg sin X7i dx = I ^ ~, (7) J J OVt- ar) 18
266 takže B (u) = & (1) (u) a ve vzrci *(«)_* +,ctg M *.lg«+ ^ ^ + _L_]ig, třeba ještě určiti knstantu A'; k tmu služí asympttická hdnta 0 pr neknečně malá u OWCVK+Wrt. («) v Substituce ux za x d druhéh integrálu dává 00.,,. 1 Flg sintmz;, *«= 7J- ( TT«7-" í; ^l w zavedme ještě funkci O 00 00 ^ rlg I cs xn \dr 1 Hg cs uxn j dx _ ** ~J (M 1^? ~ ~"J ~T~~~ ; O pmcí identity lg I sin 2Mawř = lg 2 + lg sin uxn -f lg [ cs uxn \ bdržíme t- j. 2u (2M) = tt<l> (u) + w<3 (u) + lg 2, 20(2//)- 0(tt)= («)+-^; dsadíme-li sem asympttické hdnty dle (a), a užijeme-li klnsti 00 1 a (O) f ^f L ťte = L' (*) lg ICOS xn 1 (t, bdržíme O M K (?(0).
267 Tu máme 2 ' 1 2 K = / + /_-: l(p r (x)\g COBxn j âx-\- 1 0 2 Ì 2 +^(i-.)l~.l «.«!*, 0 ł-«/. / - lg I cs jen \ dxznlim / -7 5 lg csxn dx. J sin 2 xn ' ' ř _A sinají & Integrací p částech plyne c * 2 / : : / n COtg cc/r lg COS X7t / n l COtg xn. tg #;r (fa 0 0 -! + t. j. vychází K. _ Máme tedy ^ ( tt ) = - íl + -7 ctg w*. lg w + ~ g (7*) «_2\^ + ^ w nf Nahradíme-li v práv n ctg un hdntu _ + f/, \ u i \w + a w ny bdržíme ^ ( w M ) = _^+i. + i( 1 +-J_Vg_; (70) K y 2' w ' t \u + n u nf * n ' z tht vyjádření funkce _> vychází, že tat má neknečný pčet hdnt; jedna základní větev je.it na kladné části reálné sy pravidelnu, pněvadž І 0 g M u. - І 0 g H (.- = 1.8,8...) n v? 18*
268 je na u = n pravidelné, statní se d ní liší násbky veličiny 2/Vr*ctgtt;r; všecky tyt větve v sebe přecházejí v klí bdu ramifikačníh u = 0. Také výraz (5*) lze uvésti na tvar A(v)=-l- l^ T -W" + -*í~ L_\igii (5 } w 2 \ n 1 -»/ i \ n n - vj & n ' v z něhž vychází pravidelná pvaha základní větve na kladné části sy reálné. Tu pak snadn nalezneme pmcí známé identity Ábelvy *=f(^-i)-«-=fs'4 i =/*+«= _ ř,,x C<3) ř(4) ř(5) -ř(-)---r + -3--.-r + při čemž jak bvykle značen c 1 S-(*) = -s4. M = l W Výpčet mžn lépe prvésti pmcí identity ---' v m V V l - I 1 i 1 - i m (m -f- 1) (m + 2) Pmcí rzvje pluknvergentníh pr -L+ i + i k * + i W fc+i» /,. -J N*+I ' / - _! č)\h-i ""*" ' * *? (-i)* +1 s ł+1 =,-+-^ (, +!)*+» ^ ч*-l / І,*-! (2 + 2)' - = 1,2,3,... bdržíme pluknvergentní rzvj
Rzklad 1 _1 _f ** 1 dává / ITTZJ^' 1 \T = *,-írr~^- 2: --ig(i + «). JLC+í) Jí *=AX{\-\-U) IX Znamenáme-li tedy U«)=lg(l + «) + JI{l- ^-}, bdržíme pr náš sučet (8) pluknvergentní řádu 00 + C-1)"" 1 f»"^ř_ 1 («), «= 7, (9*) r=l,2,s,... ^ * # 1 Příklad: * = 10, u = 0*1; znamenejme = <y. l + n *
270 г ŕ 1--7* l 0-90909090909. 0-09090909090 2 0-8264462809 0-08677685955 3 0-7513148008 0-08289506640 4 0-6830134553 0-0792466362 5 0-620921323 0-0759157354. 6 056447393 0-07258768 7 0-51315812 0-06954884 lg (1 + u) = 0-0953101798 L 77, =0-18621927072 Я.-П7 = 0-O я J 55182725 #, = 0-35589119667 # 6 = 0-5110535683 H 7 = 0-65319009 2(r-iУ "ìí^ = 0 я, (І 296575 H ьш =QrQПЖ /^0=0-0>»27, = 0 "0 154 888 151.- lg (1 + «) = 0 0 2 4 765 608 990 v f_ v*- x!tl 0 97 605 235 229 Љ«8 = 0-102 525 632 370. K tmut číslu dlužn přičísti agregát =iiig-+--=i ž ( ;.. + I^+-^, -=, v -д*(ľ + l) ' 9 t. j. ff=г2 (1 -+ 1 + 1 з+l+ 1 -) + ř3 (ïï+è+à) + fó (i+ł) 17 + 42' лn f r - 2 m П 4-41 zз + 180 U 4-2 9 Z54- " + Ï8õ' 5 + 42'
271 aby se dstal sučet řady Pr výraz a vypčteme členy 2 los = <7+AS I v V 0-59935226446 0-50953779609 0-04633119402 a = 1-14522125457 8 = 0-10252563237 Veličina dává tedy * 1. v + 1 1 v_ lg L_ i i v " v 24774688694»1 v -4-1 4(0) = 1 - v-lg ti W! V V 00 /*(* í l ) * ( r + 1 } ^ = 2 * 24774688694 - V integrálu (4) aneb 12. A(v) A(u)= v } v f( { Jyt + u % + v j i \ q ( x +i)dx' užijme identity m 1 1 q> (X + 1) = + y(x + m) ^=1 X "T" V a pluknvergentníh rzvje 1 <p(x + m) = E + lg (J? + m) T 2 \x + m) v + 2Ҷ-1) B p 1 i,2,з,... 2P (x + mf
272 Obdržíme A ( ^ A < N v í í \ dx t A (v) A (a) = 2 / - l U w v v=ij\x + v x+ujx + v^. 1 + /Í-T 1") l0 ŠO* +»0 ** + E (í x TA AX j\x + u x-\-v] I 1?/ 1 v l ; ' J\x-{-u x~\-v) 1 \ <fa Máme pak / 2v J U + w : + v/ (a? 2*> J\«+ w a:+ #/(#- <?# 1. v (a? + v) - ^ v ' v +»)"" II * i 1 lg (x + m) dx = («) x (m u). i \Q0 x dx x (m v)j *=i m k /lgm JL \ \ k ^ k*j = lgwilg- + du/l--wdilíl -V užije-li se bvykléh značení Dále plyne z rzkladu 1 gk dil z = 2 -- i * (x -\-u)(x\- mf (m u) (x + w) (m «)(*+«) ^(.m-wf-fic+m) 1,«+i
273 /i dx 1. m ä»-í ^~,,.., lg---g - (x + u)(x+m) iv (m-u) 2 " J* «=. a (m - uf~ a m a =^i j lg -_T- i (i-^n- (m uf' \ u a=l«\ wi/ J Znamenáme-li becně b n (^) = lgi-i!^(l-^ (10) Z a=l a bude tedy b (H) f dx _ 2v - l \m) m J (x + u) (x + m) 2r (m - uf dsazením udaných hdnt integrálů d našeh rzvje vychází rzvj pluknvergentní m --r 1 v 1 i>l.4(0) 4(ti) =-Z - lg- lg-,_! I v v v v u u I + \ lg lg - + (E + lg m) lg -- + dil(l - dil 1 - +2(- 1) p-l ^-+ f V m 7 \ ^/ i-!,2,3,../ 2*1 (m «)*' ( m _,,)»'/* jeh uptřebitelnst vyžaduje, aby čísla m f, m v byla při měřené veliká; je sice pr velká v ^'-Mw/ r ^ i» (m u) 2v m ale vzrce mžn užíti právě jen pr malá v. Dilgarithmy se přetvří dle Eulerva vzrce n l dil.0 +- dil (1 z) = lg Z lg (1 Z) + ---, l
274 a tu knvergují naše řady dil z pr z = a velmi rychle, J 7 m m předpkládá-li se u a v značně menší než w. Může se státi, že v je značně větší než m. / w = 5, v.= 10, uz=z 1); pr ten případ pdávají vztahy z therie tét traňscendenty dstatečné prstředky. Dlužn však tu připmenuti, že naše dvzení integrálu (a) v tmt případě (v > m) pzbývá platnsti; tu dlužn vyjíti z rvnice (a) ti V / / _ \ lg ( x + m) d c J\x + u x+vf = lgm lg + dil/l ) dil/l - ) u \ m ) \ m) platné pr * <i'w *c w, O <: v < w, a uvážiti, že funkce dilč zůstává jednznačnu a pravidelnu v rvině patřené řezem d s= 1 d 0 =, takže vlba z = 1 je dvlena i pr v >?w. 7 m 13. Ve vzrci (I) nahraďme cp (a b n) a q> (b a») hdntami dle vzrce výsledku lze uděliti tvar cp ( li) = qp (U + 1) + n COtg Un ; [<p (x + a) + n ctg n (a b)] [<p (x + b) + n ctg u (b - a)] [<p (a) + n ctg TI (a 6)] [<p (b) + n ctg n (b a)] = 2<p(a~-b + n + 1) f ^-, * ) (I*) v y \a + n a + x + nj + J> (i - a + n + 1) (~- - -i -). \b + n b + x + n) Ylžírae-li b = a + f, plyne
<)P (X a) <jp (x + a + \) qp («)qp (ч f ) + / 1-1 1 = 2'<jp (n + ì) ţ- ^ + " " - ï + a+» 275 - ) } (12) я + a + w + */ t + g + ^)-y(l) _ <p (a + I) v (i). + x + a ' a vlba' a?' z_ pdá /l 1 \ f*(»+^(^- a+m + 1 ) -_ 2 _ aí«-4-'') qf((< + 1 g ( a + 3 ) ) Vztah (I*) pišme ve tvaru půvdním (p (x + a 17. (x + b) q> (a) q (b) *= (13)... + i y(6 _ a+m+1) (;_^ J ) + 27 ctg7t (a b)[cp(x + a) ~ (p(x + b) <T>(a) + cp (b)] r a přejděme k mezím pr b :a; píšeme-li u výsledku # /r za x, bdržíme*) g(^- 9 0,) 2 : ^ \a + n x + nf (14) kde cf (n + 1) má zvláší jednduchý význam q (n + i) = i + l+4r +... +. z n Klacřme v (I*) cc = 1 a, b a u: 00 / 1 1 \ v / _ ^ _ ^ I V («+ 1 «0 +" + \n + l n + aj TK ' y(w ' ' + W+1) f( + 4 + T- w+ t + a) (15) z_ [(p (a) 7T ctg ujt] [(p (a + u) + JI ctg trn] + ;TT COtg W/r [qr («+ 1) + n COtg Wtt] ; *) N. Nielsen, Handbuch der Therie der Gammafunktin, str. 5_.
276 vlží-li se a 1 u, vyjde n COtg Ujt [<p (1 + U) + (p (1 u)] */ 1 1 V i \w + l n+1 *</ yv y ^ J, (16) Í M-T rr-r-^w (* + i + w ) \w + i rc + i+o/ Dsadíme4i sem «1 <p(w + l+fi) = g>(l + w ) + ^-"-^^ etc " bdržíme užívajíce vztahu <P (1 + «) 9 (1 W) + 7T ctg ti.", y(l+tt) + p(l ti) 2r 1 J 1 w 2 «=_i(w + l)(n + l+w) l=:1^ + w ^ QO 1 + v : = 0. n_:i(n + l)(w+l u) t=1v u Násbme w 2 a integrujme d = 0; bdržíme, w 1 (18) iv * rr. ix_i w+i+te, *+wii + _? j («+ l) 2 _0g f-r-= ^2l0g! i- W+l v[ K ' ' & W +1 u ^v-ujj Nielsenův vztah vychází bezprstředně z Eulervy rvnice máme pak kde x".«-vi_^»-» _JĹ \í xý~\lx=- - -, T77 ks /' =/ * -* \i- x )> ð x^^-f^ -J!- * V ' * 0 /(6,) ). /IM)- Г(s + i) ' Л' ('', *)-' =ffø (* + П - ę ІP + *) Л" (*, *) =Л<P (» +1) ~ 9 (Ь + *)]«+ fw (b + I) - ý (b + «)] У(0, S )=1, /'(O, «) = -*(«), УЧO) = -,G") a --p'(s) + 9''(l),
277 takže pak y = 9 - ( a) (,) + -«W - * WL-»' («) + ^ («> ft +,., a tedy derivace pr b = O: i 2 í izf ' l g ( x - *) ř ř x =* (<) 4 - v ( 4 -v(*)+?>' (). Prpčítávání čček. V. Vjtěch. (14 ) (Pkiačvání.) Při knstrukci různých ptických přístrjů je ptřebí znáti knstanty čček a jejich kmbinací, abychm si udělali správnu představu, chdu paprsků. Jsu t především kardinální bdy a pupily. Začátečníkvi v tmt bru dělá pčítání jistých ptíží jak z učitelské mji činnsti je mi znám a prt myslím, že tent článek, který byl půvdně určen jen pr mji sukrmu ptřebu a pr účele přednášek, přijde čtenářům tht časpisu vhd a pvzbudí je ku prpčítávání a knstrukci jednduchých ptických přístrjů. V literatuře vyskytuje se celá řada vzrců pr pčítání s ččkami, nejjedndušší však, které se hdí pr naše účele jsu vzrce Gullstrandvy, kterými zvláště kmbinace čček dají se snadn pčítati. Odvzení *jich nemhu na tmt místě prbírati dkazuje na příslušnu literaturu, uvedu puze hlavní z nich a praktické příklady jak s ččkami jednduchými tak i kmbinacemi Vzrce tyt jsu zalženy na reciprké hdntě hniskvé vzdálensti tak zv. lámavsti I) a dlužn při nich všechny délkvé veličiny vyjádřiti v jnetrech. Lámavst nějaké kul/é plchy plměru r % ddělující dvě prstředí indexu lmu n a rí d sebe, (n před plchu, i/ za plchu ve směru paprsků) je vyjádřena: D = ^-=^ (1)