Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Václv Hübner Stnovení pláště rotčního kužele šikmo seříznutého Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 32 (1903), No. 5, Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists, 1903 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 Příloh k Čsopisu pro pěstování mthemtiky fysiky. Stnovení pláště rotčního kužele šikmo seříznutého. Podává Václv Hiibner, professor n Král. Vinohrdech. Protneme rotční kužel rovinou Q V ellipse o poloosách, 6, jejíž odchylk od roviny zákldny budiž o. Tu musí >(ú, znčí-li odchylku strn kužele od zákldny. Promítneme-li seříznutou část pláště do roviny zákldny, jest průmětem této seříznuté části ploch obsžená mezi zákldnou průmětem řezu elliptického. Ježto obsh průmětu plochy rovná se obshu plochy násobenému cosinem odchylky její od průmětny, jest Z E 1 = p, kdež znčí Z plochu zákldny kužele, E x obsh průmětu ellipsy E, p plášť seříznutého kužele odchylku strn kužele od zákldny. Ježto E x = itb cos co, z = tfr 2, (c? odchylk roviny Q od zákldny kužele), tudíž p % (r 2 áb cos (Ú) Dlší úlohou jest z obou poloos, 6 ellipsy E určiti úhel m. K tomu užito článku v Čsopise pro pěstování mthemtiky fysiky z roku 1898: Určování rozměrů kuželoseček n rotční ploše kuželové," 27

3 408 Z trojúhelník v 2 2 b 2 (obr. 1.) jest dle věty sinové m:2 = sin ( o) : sin 2, kdež znčí v 2 2 = m, 2 b 2 = 2, z čehož m sin 2 m sin (i) = 2 sin ( o) sin ( o) Poloos 6 = 5^! určí se z prvního průmětu, 6 2 = s^. s^. Obr. 1. Ježto s^ = s 2 t 2, s^ = s 2 w 2, obdržíme z trojúhelníků S2M2 $ 2 w 2 dle věty sinové 1 s 2 t 2 : = sin ( co): sin (180 ), tedy dále z čehož tudíž sin ( co) Sqtn 1 : 32 sin s 2 u 2 : = sin [180 ( -f- "Ol : s i Q > sin ( -f- co) s q 2u2 = 7 -, sm

4 409 (2) b zz Vsin ( co). sin ( 4- ID). w sin T v ' v i / Dosdime-li do této rovnice ptřičnou hodnotu z z rovnice (1), jest Vsin ( -f- co) b zzz m cos sin ( co)' nebo též Poměr Z rovnice (2) plyne b Vsin ( co) sin ( -f- co) sin b 2 sin 2 zzz 2 (sin 2 cos 2 co sin 2 co cos 2 «), čili b 2 sin 2 zz 2 (sin 2 sin 2 sin 2 co sin 2 co cos 2 ) b 2 sin 2 zzz 2 (sin 2 sin 2 co). Z této rovnice určíme odchylku co, i jest 2 sin 2 co zz ( 2 b 2 ) sin 2, tedy /ON esin (3) sin co zz, kdež e znčí délkovou výstřednost ellipsy* Jest tudíž, i/* e 2 sin 2 _P čili it(r 2 -b^ 2 e 2 sin 2 ) (4)» zz >. v ; r Důsledky. 1. Je-li zzzb, tu přejde řez E v kruh o poloměru plášť šikmě seříznutého kužele v plást kužele komolého. I jest pk 27*

5 410 nebo též ж (r 2 2 ) = 7t (r -\- ) r ' p=n( + r)s, kdež s znčí délku strny kužele komolého. 2. Je-li = b = r, jest p = 2%rs plášť válce. 3. Je-li = b = O, jest p = nrs plášť kužele. 4. Je-li = 60 (kužel rovnostrnný), jest p = 2я (r 2 - Ъ ]j 3 Ç) Obr. 2. nebo též p = ftr (r- - 6 V--- - ^ + 8Ž>2 ) = «(»' ~ b W+ŠP) ' pro = Ď jest p = % (2r ) = 2n (r -f ) (r ) pro = 6 = O máme jp = 2-tr 2 plášť kužele rovnostrnného.

6 411 Při válci jest = 90 p = -j- Z E l z=0, výrz neurčitý, ježto Z obr. 2. jest zjevno, že plášť válce rotčního šikmo seříznutého jest p = 2itrv, kdež v znčí vzdálenost středu s ellipsy E od zákldny válce. Odchylku co určíme z rovnice (3) e sin co =. Z veličin r co určíme obě poloosy průseku elliptického E. Z obr. 2. plyne z rovnice stnovíme rz cos co, z čehož V 2 i 2 sin co = r = cos co b = cos co, t. j. & = r. Poznámk redkční. Souměrného vzorce nbudeme, vyjádříme-li plášť kužele obsžený mezi vrcholem rovinou sečnou. Plášť tento jest st & cos co jest ptrně Oznčíme-li nejkrtší nejdelší strny odříznutého kužele mimo to pk v = m, vb = n, 2 cos co = (m -f- n),., x w sin 2.,, x n sin 2 sin (o - ) = ^, sin (, + ) = Vložíme-li tyto hodnoty do vzorce (2), ustnovíme b = ^m.n..

7 412 pročež hledný plášť m-\-n m 4- n,, / лl П=n. y v* mn., Úlohy. Řešení úloh. Úloh 21. Úhly, fi, y sférického trojúhelník mjí se k jeho ndbytku s v poměru :$:y:s = m:n:p:q. á) Ustnovte obsh trojúhelník. b) Dokžte, ie trojúhelník jest prvoúhlý, je-li m + n = p + q. Red. A. Strnd v Kutné Hoře. Řešení. (Zsllp. Frnt. Závd, stud. VIL tř. r. v Lipníku.) Z dné úměry vyvodíme mв ns 0 =, ß =, y =._. 2 doszením do rovnice e = -\-ß + y-2r, g.2r vypoбítáme m-\-r-ą-p q' Jest protò obsh sférického trojúhelník л зrr 2 «* жr 2 q ~ 180 ~ m-\-r-\-p -?' Při podmínce m-\-r =p -\- q, 2.2R qr jest - 2p ~ p' tudíž trojúhelnik jest tedy prvoúhlý. _*Î_R; У q