Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Václav A. Hruška Les formules de quadrature approchee de M. K. Petr Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (937), No., 26--33 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/229 Terms of use: Union of Czech Mathematicians and Physicists, 937 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz
Les formules de quadrature approchée de M. K. Petr. ) Vâclav HruSka, Praha. (Reçu le 5. janvier 936.). Dans un article récent, 2 ) M. G. N. Watson a démontré, de deux manières différentes, les formules de quadrature approchée, que M K. Petr a publiées, sans démonstration, il y a une vingtaine d'années. ) Moi même, j'ai esquissé une troisième démonstration qui fait l'objet d'une communication au 2 e Congrès des Mathématiciens des Pays Slaves. 3 ) Cette démonstration est fondée sur une interpolation parabolique spéciale de la fonction intégrée. 2. Dans l'intervalle fermée 2. <la;<:i soit donnée une fonction f(x) et supposons que ses dérivées, jusqu'à l'ordre (n + l) r y existent. Soit 2.2 a, a x, a 2,..., a n, n + valeurs différentes dans l'intervalle 2.. Posons ' / K a., = ^>-^>»! a, / K a,, «,) = /< *>-**>'»->, a 2 a 2.3 Un n n n \ /(%> ^2» «l) /K* Vl, «o) T\a, a^, a 2, $) «3 a r,... les différences divisées de f(x). La formule générale d'interpolation parabolique 4 ) nous fournit x ) Casopis pro pëstovâni matematiky a fysiky, 44 (95), p. 454 5,») Ibid. 65 (936), p. 7.») Ibid. 64 (935), p. 46 7. ) V. Lâska-V. Hrtièka, Teorie a praxe numerického pocitâni (Praha, 934), p. 26. aussi: Whittaker-Robinson, The Calculus of Observations (London, 924), p. 25. 26
f(x)=f(a ) + (x~a )f(a,a )+(x a )(x a )f(a,a,a î ) +. +... + (x a )(x a )... (x a n -i)f(a, a v a 2,...,a n ) + R n 2.4 p (x a ) (x a.)... (x a n ).. En = W+l)\ ' (l) ' étant un nombre de l'intervalle (x, a, a v..., a n ), c'est-à-dire un nombre compris entre la plus petite et la plus grande des quantités x, a, a v..., a n. 3. En posant 5 ) f(a, a,... a, a v a v..., a v a 2, a 2,...,) = p-fois r-fois «s-fois (p )\ (r )! (s )\... 3*- a a»"- a x d*- a 2... ' la formule 2.4 subsiste même si les quantités 2.2 ne sont pas toutes différentes. Elle est alors linéaire et homogène en f(a ), f(a ),..., /'K)> /'K)> v /"K)> F(<h), > q ui y figurent. 4. Posons n = 2k, a o = a i = = a k î =, a k = «Jfc + l =... = 2* =, et mettons en évidence, que le polynôme d'interpolation est linéaire et homogène en 4. />(O) = / < f > et /<*>() = /-.<*>, i =,,..., k 4 2 /(*) = P («) /. + Pi(x) /' +...+ P*-i(*) /.M + 4 - Z +Ç (^) A + Q x (x) f\ +... + Qt-i(x) Z^*" ) + B 2k, a» = ^ ï ^ ««. <f<l. -Pi(#) et (&(#) sont des polynômes bien déterminés de degré (2k ) au plus; ils ne changent pas quelque soient les valeurs 4.. 5. Pour les trouver, prennons dans 4.2 pour f(x) des polynômes convenables de degré (2k ) au plus. On aura fw(x) = et par suite B 2k =. Choisissons 5. f(x) = s*-*(l *)* = 2 ( )' (f) ** +i - p, p entier, < p._ k et calculons /(*)(!) =, i =, l,2,...,(k ), fd)() =, i =,, 2,..., (fc p ), *) V. Zcwka-F. Hruška, ibid., p. 9. 27
/(i_ p+. )()== ( _ iy {k + s_ p y_ (*), s = o,, 2,..., (p ). En substituant ces valeurs dans 4.2, on obtient les équations suivantes p = ; a*--(l *)* _. (k )! P*_i(a;), p = 2; a*--(l a?)- = (*) (* )! P*_i(a,)+(fc 2)! P*_-(a:), p = 3; z*- 3 (l a;)* = = (2) (* )! -»-i(*) () (* 2) P*_ 2 (s) + (t 3)! P k - S (x), x*-v(i _ a-)* = (_ i )P -i ( p "ij (É )! P*_i(.r) + + <~ np " 2 (p - 2) <* - 2 >! ^-2^) + + <~ ) P-3 ( p 3) (* - 3 )! P *-3(^) + + (* P)! P*- P (*)- Multiplions ces équations succesivement par tk + p 2\ lk + p 3\ lk l\ \ p l )' \ p 2 }' [ /' et ajoutons les ensuite! Le coefficient de P k i(x) étant égal à fr-o'irp.-'hfflfî-titv +e)(*ïi7i7*) +<-»-(, ij]-^ i=l, 2, 3,..., (p ), il ne reste que l'expression (k p)\pk v (x) au second membre. En effet, ce coefficient de Pjt %(x) est en même temps le coefficient de tp * dans le produit du polynôme (î) * + (2) ''-(s) t3 + + (-!)*<* = <! ')* et de la série infinie + (Î) * + (* 2" l ) t2 + ( k 3 2 ) *' + = (!-«)-* Par suite on a 5.2 f-^^-^( ~f^f (* +!- )^ 6. Pour obtenir les polynômes Q%(x), prennons pour f(x) un polynôme quelconque de degré (2k ), c'est-à-dire un polynôme, 28
pour lequel les quantités 4. étaient choisies d'une manière tout- -à-fait arbitraire. Dans 4.2 on a alors _?2* =. Faisons la substitution x = t et interpolons le polynôme cp(t) = f(l t) d'après 4.2 <p{t) = f(l t) = P (l *) / + P,(l *) f, +... + + P*_i(l t) W-» + Q (l t) h + &( t)f' +...+ 6. + Q k^(l t) /,<*-!> = = P (t)?o + Pi(t) <p' +...+ P*_iM cp <*-» + Qo(t) <pi + QAt) <p\ +... + Q k -i(t) Ç^-D. Mais, on a ^() = ( i)* /_:*>, ^)(i) = (_ i)< / (i) i =,, 2,..., k. En comparant, dans 6., les facteurs des mêmes valeurs arbitraires 4., on conclut que 6-2 &(*) = (-)^(-*). 7. On peut donner une autre forme à 5.2 en remarquant, que la somme dans 5.2 est précisément la somme des premiers p termes du développement / \(*-D.l'exposant (k ) désignant la dérivée (k l)-ième. Alors ïà \. *! (fc l)l[l a? a: j _ f _ { ( a;)}p+*- " (*- > _ ~ (k )\ \T=x T=^Lr J ", p+*-i (*-D -it-iïïfe <-««(» + *->-.>«] = - f <-»>*'(*+,-') (JZ!)<»-*>"- -I<-M*tt7l(* + it') <'-? On a par suite " <-> -f^idz "Pr+T 'H* ÎIT, )< -.* 29
7. 8. Comme, d'après 6.2, on a î 8. f P t (x) dx = ( l)'f Q,(l x)dx = ( l)'f Q,(t) dt = A il vient par intégration de la relation 4.2 i it-i f f(x) dx = 2 -W» + ( -) /i w ] + Ru. 8.2 «= * 2 * = "W~ / ** ( x)k /<2l)(l) dx = ~ -WfâF+îîr' '*'»- <ft< - en supposant la dérivée fw^x) continue dans l'intervalle <I x <^. C'est bien la formule de M K. Petr. 9. Pour calculer les coefficients 8., supposons d'abord 8 >, intégrons 7. par parties de à A *- {s i)r ( } l k + i l \ É-i / / f-ҷ _.)*+*+i ЯГ a #* ҷi x) m^ъ ^Ł т+т+т et transformons cette somme en dx, k s ^-^ fv'ir^-'m^jt )-.fx 8 - ^ *)*+<+ x.dx + 9. + _J y" (_i)c+ii±±( 2*-8 \ (* +»\ (* ) é_i 2* *U +» + i/ U î/ /^""H *)*+'+*d-r, o car, pour i ==, le nouveau terme de la deuxième somme est 3
égal à zéro. Dans la deuxième somme introduisons i + = 7 et remarquons, que i-f- _ k s k s j 2k s ~~ 2k s 2k ~s ~" Cette somme est égale alors à *-«2k s'(s l)\'^ y s ~ ) ~\_ l) i(2k-(s-i)-i\lk l M k + j + j-i\ }\ k /. j x 8 - ^ x) k +>. dx y/_iy_i_.z i?:/2t-«\ /t + ;-i\ (* )' '/_o 2fc * U + j/l A; /*.fx 8 - ^ x) k +>. dx -2k- 8 - A - (ï_rjr-4 (.fx 8 - (l ^l x) k +>dx. * + / M fc-i ) Évidement, on peut omettre le terme j = k s, car il contient le facteur k 8 7 =. La première des sommes 9. est égale à y 8 ~\ ni W s \ ik + i \ (5 )! - K ' \ b + i I \ k /.fx 8 - ^ a:)*+ l 'da;. f x 8 (l x) k +i. dx = L *Y~\_ni/2fc s \ (k + i \ [ L) (s ) \4 \ k + i \ k.fx 8 - ^ x) k +i dx sa t. 3
On a, par suite, la relation c'est-à-dire ^8 = -gj As x sa s, 9.2 «!-<'+?> <**-'> _,. rc S Comme i r -4*-i = ттгzгtj! (F^TГ J **~ ( *)* o åx (ife l)!jfe! (k )! ' (24) k\ (2*)!' on peut calculer de 9.2 succesivement _ («+ 2)(2fc «) _, _ ^r_7_-i ^» + ' _ (., + 3)(2* «2) ^ +- - jfe «~2 ^' +2 '. *(*+-), k(k+ ) *! _*_2 = -d* *~ l (24)!' En multipliant ces équations, on obtient bien le résultat 93 (2k-s-l)\k\ *'* A '--(2k)\(k-s l)\(s+l)\' S > - Au cas que s soit «gai à zéro, l'intégration par parties devient superflue. En procédant de la même manière que dans 9., on a 3? '-Ii-'i-lïr/JPtiT )- ť= Jc - <-» (??/)(* ÍÍT )+ + i! \ k l l k + i + +r<-^^t + f +I )(t±i) =l «-i)'(tt/)(nit I ) + i^o & +» <-'> (*?,)('tit')!'-"'(?+/) 'rtitvt
la somme ] ( )* L 2k \ l k t_t *) = - étant le coěfficient de ť* dans le produit de la série infinie et du polynome «-v[-u*j«+(-*j- -+ + ^)í-»] = (_l)*(l_í)-*.. En appliquant la formule 8.2 a la fonction h.f(a + hy), on obtient, comme M. K. Petr et M. G. N. Watson tt+h,._! f F(x) dx = 2 ^ť+ Ai[F&(a) + ( )<.? «(<» + h)] + R 2k, a <=«I \* lh\\i J2Í+ B --imw+-w F<2im ' a<s<a + h ' les coěfficients.4i étant donnés par 9.3 et 9.4. Praha, le 2 Décembre 935. Vzorce prof. K. Petra pro přibližnou kvadraturu. (Obsah předešlého článku.) V roce 934 upozornil jsem na 2. Kongresu matematiků ze zemí slovanských, ) že dosud nedokázané formule prof. K. Petra pro přibližnou kvadraturu 2 ) dokáží se interpolací integrované funkce speciálními mnohočleny, jimiž jsem se na Kongrese zabýval. V právě uveřejněném pojednání 3 ) G. N. Watson dokazuje formule prof. Petra dvojím způsobem, různým od způsobu mnou sděleného na Kongrese. Provádím nyní in extenso důkaz toho, co jsem na Kongresu uvedl ve výtahu. V uzavřeném oboru ^ x <í mějž f(x) všechny derivace až inkl. řádu 2k. Zavedeme-li označení 4., interpolace zmíněná je dána vzorcem 4.2, v němž mnohočleny Pi(x) =-= ( l) ť Qi(l x) jsou dokonale určeny. Dají se psáti ve tvaru 5.2 nebo 7.. Integrací 4.2 v mezích... obdržíme Petrovu formuli 8.2, jejíž koeficienty 9.3 resp. 9.4 jsou na to vypočteny. Na konec je formule rozšířena na integrační obor a <L x <±a -\- h. -) Časopis 64 (935), str. 46 7. a ) Časopis 44 (95), str. 454 5.») Časopis 65 (936), str. 7. Časopis pro pěstování matematiky a fysiky. 3 33