Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Úlohy Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 14 (1885), No., 19--142 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/12116 Terms of use: Union of Czech Mathematicians and Physicists, 1885 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz
19 jsem v článku svém ukázal patami kolmic z oněch čtyř bodů ku té ose souměrnosti, seznáme ihned, že pronikají tuto menší křivku kruhovou ve čtyřech bodech hyperboly, p. Amesedrem uvedené. Tím tedy souhlas dosti sobě podobných těch konstrukcí dokázán. Já přenáším délku a strojím čtyři stejnosměrky, p. Ameseder za to dvě délky rozpoluje. V srpnu, 1884. Úlohy. Řešení úlohy 5. (Zaslal p. Antonín Klír, stud. VII. tř. české reál. šk. v Praze.) Žádaný díl koule k jest roven kuželi menšímu, zvětšenému o vrstvu koule, kteráž jest omezena podstavami obou kuželů, a zmenšenému o kužel větší. Značí-li R poloměr koule, r poloměr podstav kuželů, v výšku menšího, V výšku většího kužele, jest k = -1 Ttr 2. v \ Ttr 2. V -f- 7tr 2 a ~f- \ itá*; a ježto v V = a, jest &:= f ara (V 2 -}- J. Ale r 2 + -J=R 2, 1 tedy k=\ nk l a = 4^R 2.^ = ^Pa = 299*6 cm 2. Správné řešení zaslali pp.: Jindřich Heinemann a Jar. Pavlousek z VIII. tř. v Ml. Boleslavi, Josef Sumr, B. Tschapek ze VIL tř. r. a Karel Rajdl ze VI. tř. r. městského r. g. na Malé Straně v Praze, Šimon Pokoj z VIII. tř. a Frant. Nusl z V. tř. g. v Jindř> Hradci, Frant. Vítek z VIII. tř. v Hradci Králové, Jan Pochobradský z VIII. tř. a Ant. Pleskot ze VII. tř. g. v Chrudimi, Frant. Jirásek z VIII. tř. v Broumově, a J. Prokůpek ze VIL tř. české reál. šk. v Praze. Řešení úlohy 6. (Zaslal p. Josef Sumr, stud. VII. tř. r. městského r. g. na Malé Straně Y Praze.) Nazveme-li r poloměr obou podstav a v výšku vrstvy kulové, bude její kr. obsah
140 aneb, znamená-li R poloměr koule, jest Vł<v Rovnice tyto dají žádaný kr. obsah a sice vrstvy k = { (2k L + k 2 ) = 18 ^ dm a vnitřní koule k = f (fc x fc 2 ) r= ^ dm. Kr. obsah vnitřní koule jest také k лv = ; z obou výrazů pro k plyne pak výška vrstvy v = V (k k k 2 ), a že kr. obsah zevního válce jest \ = STR 2. v = R 2 \^4 sr 2 (& L k 2 ), bude poloměr koule Rzz /- f V4«* (*i *» ^7 a její obsah l /Vl ivn Správné řešení zaslali pp.: František Vítek z VIII. tř. v Hradci Králové, J. Karlík ze VII. tř. r. v Karlíne, Antonín Pleskot ze VII. tř. g. v Chrudimi, J. Prokůpek a Ant. Klír ze VIL tř. české v. reál. šk. v Praze, Boh. Mašek ze VI. tř. g. na Novém Městě v Praze, Jindřich Heinemann z VIII. tř. v Mladé Boleslavi, Josef Stehlík ze VIL tř. g., Front. Ullrich, B. Tschapek ze VIL tř. r. a Karel Bajdl, Alois Censký, Boh. Muller ze VI. tř. r. městského r. g. na Malé Straně v Praze a Frant. Nušl z V. tř. g. v Jindřichově Hradci. Řešení úlohy 7. (Zaslal p. J. Karlík, stud. VIL tř. r. v Karlině.) Dané koule mějtež poloměry R, r, podstavy komolého kužele R x, r x a strana komolého kužele budiž t, výška V; úseky pak koulí, obsažené v kuželi, nechť mají výšku v. Z podobných trojúhelníků pravoúhlých obdržíme, najdeme-li napřed t = 2VŘř, y t* 4Rr R-t-r"~R4-r'
141 Rt _2B,YBŤ _ rt _2rYŘr' K a r i i- E + r- R+r -R + r B + r" Poněvadž vnitřní tečna koulí půlí stranu ř, půlí také výšku komole; výšky kulových úseků, pláštěm komole zahalených, V 2Hr jsou si tedy rovny a obnáší každá v == =.j-. Kr. obsah žádaného prostoru rovná se obsahu komole J (4R2 + 4 R r + 4rl) = (Ř+V) zmenšenému o oba úseky U i u, totiž u 4-TRV 2 +" = p4^,(r,+rr+r>) ' tudíž i. =J (D + tt) = (R + r) \/K-kneb ^ = V = -124 dm. VK+Vk Tutéž úlohu řešili pp.: Fr. Zelený z VIII. tř. I. r. g. v Praze, Ferd. Koldčný ze VII. tř. r. v Karlině, Josef Sumr, B. Tschapek, Frant. Ullrich ze VII. tř. r. a Karel Eajdl ze VI. tř. r. městského r. g. na Malé Straně v Praze, Šimon Pokoj z VIII. tř. a Fr. Nusl z V. tř. g. v Jindř. Hradci, Ant. Pleskot ze VII. tř. g. v Chrudimi, Ant. Klíma a Ferd. Zuna z VIII. tř. v Písku, Ant. Klír a J. Prokůpek ze VII. tř. české reál. školy v Praze, Jos. Novák ze VII. tř. r. v Hoře Kutné, Fr. Fišer z VIII. tř. v Roudnici a Josef Kulhánek ze VII. tř. r. v Hradci Králové. Řešení úlohy 8. (Zaslal p. Ant. Pleskot, stud. VII. tř. g. v Chrudimi.) Postavme jehlan na pobočnou stěnu %, jejíž hrany a x a b x, vycházející ze společného vrcholu všech skrojků, patří k největšímu skrojku k x, souhlasné pak hrany a 2 a 6 potažně skrojku menšímu a nejmenšímu. Žádaný skrojek bude míti podstavnou hranu a 2 s druhým, b s třetím a výšku pak s prvním skrojkem společně. Je-li tedy jeho podstava s, bude k:k L rr s:s x = a z b :a x \, a že pro podobnost daných skrojků jest
142 bude také tedy i a 2 : a x z= V^2 : VK b :b 1 = Vk --VK, a 2 & : a 1 b 1 z=z VKK : V^i > & : \ Vhh '- V fc í i 1/2 4 z čehož & = V^i^2^ = \ ~\ 9 2.11 2!.1 Q, ir-"ir---9- = 8 * w - Tutéž úlohu správně řešil p. Josef /Swrar ze VIL tř. r. městského r. g. na Malé Straně v Praze. Vyhovují-li veličiny složité srovnalosti platí zároveň Uloha 18. %, Ö&2 î ^З. b!, b 2, b, ťzţ a 2 бř &i \ ~ ъ г ~, &n a n ""^n, V a l^j + V a 2^2 + V a 6 + ' + V a nk VK+«2 + a + ^ - + a n)(6 L + & 2 +& + ---+^)- Jaký jest toho důkaz? Std. Úloha 19. Budiž řešena rovnice 1 tg x cot x cot# 1 tg as z=0. tg a? cot x 1 Prof. A. Strnad. Úloha 20. Má se řešiti trojúhelník, jsou-li dány podstava (c = 20), těžní přímka podstavu půlící (t 12) a příčka půlící protilehlý Úhel (u 11). Prof. Jar. Sobicka. Úloha 21. Budiž ustanovena obalová křivka kružnic majících středy na hyperbole a procházejících středem jejím. Prof. A. Strnad.