Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404106 Terms of use: Ljubomir Davidov, 1977 Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://dml.cz
ÚLOHY K PROCVIČENÍ 1. Určete všechny funkce f(x) definované na celé číselné ose a vyhovující funkcionální rovnici f(x + y)- 2f(xy) 3f(x) + (2x 2-1) f(y) = = 2x(xy 1) 5. Odpov&d: f(x) = x 2 + + 1-2. Určete všechny funkce definované na intervalu (0, oo), jež jsou řešeními funkcionální rovnice /(«) = yf{x). Odpověd: f(x) = C log x. 3. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují následujícím podmínkám: a) je-li funkce f(x) definována a spojitá v jistém bodě <x, pak existuje okolí A bodu <x tak, že f(x) je definována a spojitá pro všechna x e A; b) není-li funkce f(x) v bodě <x definována, pak existuje okolí A bodu <x tak, že funkce f(x) je definována a spojitá pro všechna x e A, x ^ a, a platí Um /(a;) = oo; 88 c) funkce f(x) je řešením funkcionální rovnice flx + v ) - /(*> + /(*> n* + V)~ 1 f(x) f(y)
Návod: Nejprve dokažte, že pokud funkce f(x) splňuje uvedené tři požadavky, je už nutně definována v bodě 0. Poté dokažte, že existují čísla a > 0 a c, 0 < c < j, i tak, že platí f(a) = tg c. Nakonec dokažte indukcí, že platí f(x) = tg-^-x pro každé x tvaru x = kde TI a TO S: 0 jsou celá čísla. Odpověď: f(x) = tg Ax, kde A je libovolné reálné 4. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují následujícím podmínkám: a) je-li funkce f(x) definována a spojitá v jistém bodě «, pak existuje okolí A bodu <x tak, že funkce f(x) je definována a spojitá pro všechna x e A; b) není-li funkce f(x) v bodě <x definována, pak existuje okolí A bodu a. tak, že funkce f(x) je definována a spojitá pro všechna x e A, x ^ a, a platí lim /(x) = = oo; c) funkce f(x) je řešením funkcionální rovnice /(a! + ž/)- f(x) + f(y) Odpověď: f(x) = cotg Ax, kde A je libovolné reálné 5. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují podmínkám a) a b) z obou předcházejících úloh a jsou řešeními funkcionální rovnice //,, i _ /(») + M ~ 2/(*) f(y) H x + y ) 1 2 f(x) f(y) 89
Návod: Ukažte, že funkce g{x) = 1 je řešením funkcionální rovnice alx + v)~ 9{X) 9(y) ~ 1 W + y)- g{x)+g(y) Odpovéď: f(x) = - ; r, kde A je reálné ť ' v ' 1 + cotg Ax J 6. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují podmínkám a) a b) z úlohy 4 a jsou řešeními funkcionální rovnioe /(* + y) /(*) + M - 1 2f(x) + 2f(y) - 2f(x)f(y) - 1 Odpovéď: f(x) = ^ ^ ^ ^, kde A je reálné 7. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují podmínkám a) a b) z úlohy 4 a jsou řešeními funkcionální rovnice /(«+ y) = /(*) + f(y) + 2/(*)/(y) i - / ( * ) / ( y ) Návod: Dokažte nejprve, že funkce f(x) je definována v bodě 0, a pak definujte f(x) pro racionální hodnoty proměnné x. Odpovéď: f{x) = l c(x \) X ' 8. Za stejných podmínek ímínek jako v předcházející úloze určete všechna řešení i funkcionální rovnice rn + f(y) - /(* + y) = 00
Odpověď: f(x) = 1 + 9. Určete všechny funkce f(x), které jsou definovány a spojité na celé číselné ose a řeší funkcionální rovnici f(x + y) = f(x)f(y) - l/l-/'(z), l/l-/%). Návod: Metodou, jíž jsme řešili ďalembertovu rovnici, dokažte, že všechna řešení uvedené funkcionální rovnice jsou tvořena funkcemi f(x) = cos Ax, kde A je libovolné reálné 10. Dokažte, že všechny funkce f(x), které jsou definovány a spojité pro všechna x, řeší funkcionální rovnici t(x + y) + /(* y) = 2 f(x)f(y) a splňují podmínku f(x) Si 1 pro všechna x, mají tvar kde a je kladné reálné Návod: Využijte metody, kterou jsme řešili ďalembertovou rovnici. Dokažte nejprve, že pokud je a > 0, a ^ 1 libovolné reálné číslo, existují kladná reálná čísla c a 6 tak, že platí m = J ^ L. 11. Dokažte, že všechny funkce f(x), které jsou definovány a spojité pro všechna x a vyhovují funkcionální rovnici 01
/(* + y) = m f(y) + Vn*) 1 V/ 2 (y) i, mají tvar m -, kde o je kladné reálné 12. Dokažte, že všechny funkce, které jsou definovány a spojité v intervalu ( 1, 1) a řeší funkcionální rovnici f(xy _ yn=^5) = /(*) + jsou tvaru /(x) = C arccos a;, kde O je libovolné reálné 13. Určete všechny funkce /(x), jež jsou řešeními funkcionální rovnice kde a je pevné reálné f(x + y + axy) = f{x)f(y), Odpověď: f(x) = (1 + ax). 14. Určete všechny funkce, které řeší funkcionální rovnici 92» /(y&nř) = m + ny). Odpověď: f(x) = ex"; c je libovolné reálné 15. Určete všechna řešení funkcionální rovnice U- J 2 i. y J Odpověď: f(x) - const.