Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační hodiny (LS 2017): Středa 13:30 15:00 Čtvrtek 13:30 15:00 Doporučuji domluvit se dopředu přes e-mail.
Neživotní pojištění - nettopojistné
Nettopojistné Pojistné pro účely sazebníku je vždy vztaženo k určité základní jednotce: jednotková poj. částka (nejčastější), např. 0,006 Kč na jednotkovou poj. částku, 9 promile poj. částky, 9 Kč na 1 000 Kč poj. částky, atp. osoba (příp. člověkoden), např. 30 Kč na osobu a den (cestovní pojištění), pojištěná věc, např. vozidlo (vymezené konkrétními parametry).
Nettopojistné Předpoklady pro odvození vzorce: jednotka = jednotková poj. částka, tarifní skupina o N pojistkách, každá pojistka má stejnou pojistnou částku S, tj. PPČ = S, rovnoměrné rozložení příjmů z pojistného a výdajů na plnění během roku, tj. pojistné bude půl roku vynášet úrok odpovídající TÚM i.
Nettopojistné Dle principu ekvivalence mezi příjmy a výdaji platí: N P (1+i/2) = n PŠ nettopojistné úrokovací faktor průměrná škoda počet pojistek ve skupině počet škod = počet poj. událostí
Nettopojistné Po úpravě: P = v q 1 q 2 S nettopojistné pojistná částka diskontní faktor S = PPČ v = 1/(1+i/2) škodní stupeň škodní frekvence q 2 = PŠ/PPČ q 1 = n/n Příklad na tabuli.
Stanovení škodního stupně q 2 Škodní stupeň ŠSt = q 2 lze stanovit adekvátnějším způsobem respektujícím rozdělení výše škod.
Stanovení škodního stupně q 2 Škodní tabulka: pro danou tarifní skupinu obsahuje četnosti výše škod rozdělené podle velikosti škodního stupně; konstruována pomocí reálných dat, avšak pro fiktivní soubor škod;
Škodní tabulka
Stanovení škodního stupně q 2 Intervaly škodního stupně: např., %), %, 10 0 ۦ z = 0,10 znamená z = 1,00 znamená 90 %, 100 %. Pro každý interval škodního stupně je v tabulce uveden: počet škod T z : T 0,10 + T 0,20 + + T 1,00 = n (celkový počet škod), relativní četnost škod: t z = T z /n
Stanovení škodního stupně q 2 vážený škodní stupeň ve škodním intervalu z: Yz = tz (z-0,05) střed škodního intervalu kumulativní relativní četnost škod ve škodních intervalech nejvýše z: b z = t 0,10 + t 0,20 + + t z kumulativní vážený škodní stupeň ve škodních intervalech nejvýše z: G z = Y 0,10 + Y 0,20 + + Y z
Stanovení škodního stupně q 2 Střední škodní stupeň (zpřesněný odhad ŠSt): q 2 = St z (z-0,05) = SY z = G 1,00 z V naší škodní tabulce je zřejmá převaha drobných škod do 10 %, bylo by tedy vhodné zvětšit hustotu dělení v nejnižším škodním intervalu. Limitním případem je spojité modelování: q 2 = t z z dz z
Výlukový řád ze škodního stavu Při výpočtu nettopojistného v pojištěních, kde výše škody závisí na době trvání jejích následků (např. v úrazovém pojištění, kdy pojišťovna plní za dobu nezbytného léčení, v pojištění denní dávky pracovní neschopnosti, apod.) nahrazuje škodní stupeň tzv. střední délka škodního období d, místo škodní tabulky se používá tzv. výlukový řád ze škodního stavu.
Výlukový řád ze škodního stavu
Stanovení stř. délky škodního období d z = počet dnů (týdnů), po které trvají následky škody vyžadující poj. plnění; V z = počet škod (poj. událostí) s dobou trvání škodních následků nejméně z; U z = počet škod s dobou trvání škodních následků právě z; u z = relativní četnost škod s dobou trvání škodních následků právě z
Stanovení stř. délky škodního období d Střední délka škodního období: Nettopojistné: P = v q 1 d S, d = Su z z z kde S je pojistná částka a vztahuje se k pojistnému plnění za jeden týden (den) doby, po kterou škoda trvá.
Formy pojištění Podle závislosti poj. plnění na výši škody: 1. pojištění na pojistnou částku (plnění nezávisí na velikosti škody), 2. škodová pojištění a spoluúčasti (plnění je rovno škodě, popř. je sníženo o spoluúčast). Předpoklad: M (max. škoda) je přibližně stejná jako pojistná hodnota H.
Pojištění na pojistnou částku Pojištění na pojistnou částku (obnosové, sumové pojištění): poj. plnění závisí pouze na vzniku škody, nikoli na její výši, např. v pojištění smrti úrazem, v pojištění hospitalizace nemocí/úrazem; poj. plnění = pojistná částka S, příp. její násobek (procento), nezjišťuje se výše škody; intenzitu pojistné ochrany nelze určit, jde o krytí tzv. abstraktních škod.
Pojištění na pojistnou částku Nettopojistné: kde q 2 = 1. P (S) = v q 1 S, Škodní frekvence q 1 odpovídá p-sti úmrtí q x v životním pojištění pro případ smrti, jestliže by se stanovovalo pojistné přirozené (na 1 rok) s pojistnou částkou S.
Pojištění na pojistnou částku poj. plnění S H škoda X
Škodové pojištění Škodové pojištění: poj. plnění závisí též na výši škody X, platí: poj. plnění X typické pro pojištění majetku a odpovědnosti za škodu na majetku
Škodové pojištění Základní formy škodových pojištění: 1. ryzí zájmové pojištění (poj. plnění = X), 2. pojištění na plnou hodnotu (je stanovena pojistná částka udávající hodnotu pojištěného majetku), 3. pojištění na první riziko (omezené ryzí zájmové pojištění, je stanoven limit pojistného plnění), 4. kvótové (zlomkové) pojištění (kombinace pojištění na plnou hodnotu a pojištění na první riziko).
Ryzí zájmové pojištění 1. Ryzí zájmové pojištění (pojištění bez pojistné částky) pojistné plnění = X neudává se pojistná částka ani limit poj. plnění, pojištění předmětů, u nichž lze zjistit pojistnou hodnotu (max. možnou škodu), např. kasko pojištění podnikatelských subjektů; intenzita pojistné ochrany = 100%, bývá však spojena se spoluúčastí.
Ryzí zájmové pojištění poj. plnění intenzita pojistné ochrany I H 1 H škoda X H škoda X
Ryzí zájmové pojištění Obecný vzorec nettopojistného v ryzím zájmovém pojištění: Nettopojistné P (Z) = v q 1 q 2 H pojistná hodnota disk. faktor škodní frekvence škodní stupeň neexistující pojistná částka je nahrazena pojistnou hodnotou.
Pojištění na plnou hodnotu 2. Pojištění na plnou hodnotu: uplatnění u pojištění majetku, stanovením pojistné částky se volí intenzita pojistné ochrany: s = S/H, I = min {s,1} pojistná částka pojistná hodnota intenzita poj. ochrany pojistné plnění = min {s,1} X
Pojištění na plnou hodnotu H poj. plnění implicitní spoluúčast intenzita pojistné ochrany I S 1 S/H H škoda X H škoda X Pokud S/H<1, jde o podpojištění.
Pojištění na plnou hodnotu Obecný vzorec nettopojistného v pojištění na plnou hodnotu: Pro: S P H (H) = v q 1 q 2 S = v q 1 q 2 s H = s P (Z) S = H, s = 1... ryzí zájmové pojištění, S < H, s < 1... podpojištění, vznik implicitní spoluúčasti S > H, s > 1 přepojištění, pojistník platí zbytečně vysoké pojistné.
Pojištění na první riziko 3. Pojištění na první riziko (omezené ryzí zájmové pojištění): ryzí zájmové pojištění shora omezené limitem pojistného plnění S (např. připojištění dražších věcí, jízdních kol, atp. v místě pojištění), pro pojistné plnění tedy platí: poj. plnění = při X > S vznik implicitní spoluúčasti. X pro X S S pro X > S
Pojištění na první riziko Využití pojištění na první riziko: v případech, kde dochází převážně k malým škodám, ojediněle k velkým (poj. domácnosti proti povodni), při záměrném pojištění jen části celkové hodnoty (limit na cenné věci, el. spotřebiče, krádeže ve skladu), v pojištění odpovědnosti za škody (maximální výše škody nelze předem odhadnout, plnění je omezeno shora limitem pojistného plnění).
Pojištění na první riziko H poj. plnění implicitní spoluúčast intenzita pojistné ochrany I S S/H 1 S H škoda X S H škoda X
Pojištění na první riziko Obecný vzorec nettopojistného v pojištění na první riziko: S P H (P) = v q 1 [G s H+(1-b s ) S] = v q 1 [G s +(1-b s ) s] H Prům. poj. plnění: pro škody do škod. stupně s, pro škody nad škod. stupeň s
Kvótové pojištění 4. Kvótové (zlomkové) pojištění kombinace pojištění na první riziko a na plnou hodnotu, je stanoven limit pojistného plnění S a udaná hodnota U (U > S) plní roli pojistné částky pro pojištění na plnou hodnotu, někdy bývá dána pomocí kvóty t t = S/U, odkud U = S/t v pojištění majetku s efektem podílové spoluúčasti v poj. na první riziko, která je však jen implicitní
Kvótové pojištění H poj. plnění implicitní spoluúčast intenzita pojistné ochrany I U S U/H S/H 1 H škoda X H škoda X
Kvótové pojištění Obecný vzorec nettopojistného v kvótovém pojištění: S/U P H (K) = v q 1 [G t +(1-b t ) t] U Souhrnný příklad na tabuli.
Spoluúčast Spoluúčast (franšíza): doplňková forma pojištění, kdy se klient určitým explicitním způsobem podílí na úhradě škody; vždy v kombinaci se základní formou pojištění (škodová pojištění).
Spoluúčast Typy spoluúčasti: a) podílová (procentní) spoluúčast, b) excedentní (odčetná) franšíza, c) integrální franšíza.
Spoluúčast Podílová (procentní) spoluúčast pojištěný sjedná procento p možné škody, kterým se v případě jejího vzniku bude na škodě podílet; u ryzího zájmového pojištění s podílovou spoluúčastí pro nettopojistné platí: pp (Z) = P (Z) (100-p)/100
Spoluúčast Excedentní (odčetná) franšíza Pojištěný se na vzniklé škodě podílí: - plně, nepřesahuje-li výše škody sjednanou částku F 0, - částkou F 0, je-li výše škody vyšší než F 0. Sjednáním částky F 0 definujeme poměr f 0 = F 0 /H.
Spoluúčast Nettopojistné základního pojištění na první riziko s excedentní franšízou: F0 S P H (P) = v q 1 [G s +(1-b s ) s - G f 0 -(1-b f 0) f 0 ] H nettopojistné pro samopojištění na první riziko s poměrem f 0 odečítáme od základního pojištění na první riziko s poměrem s
Spoluúčast Integrální franšíza Pojištěný se na vzniklé škodě podílí - plně, nepřesáhne-li výše škody sjednanou částku F i, - vůbec, je-li výše vzniklé škody vyšší než F i. Pojištění v základní formě s integrální franšízou se někdy označuje jako pojištění s výhradou drobných škod.
Spoluúčast Nettopojistné základního pojištění na plnou hodnotu s integrální franšízou: Fi S P H (H) = v q 1 (q 2 -G f i) S, f i = F i /H. Lze: Fi S P H (H) = v q 1 G 1,00 S - v q 1 G f i S Souhrnný příklad na tabuli.
Víceletá pojištění Nettopojistné pro víceletá pojištění: a) předplacené pojistné (na několik let dopředu), b) jednorázové pojistné. Rozdíl v obou formách ve výplatě prostředků při stornu = předčasném ukončení smlouvy.
Víceletá pojištění Storno: dobrovolné (bezdůvodné) z rozhodnutí klienta, přirozené z důvodu zániku pojistného nebezpečí/pojistného zájmu, po škodě po pojistné události, zaniká-li současně pojistka (předmět pojištění je zničen, pojistník je nespokojený s jednáním pojišťovny, ).
Víceletá pojištění Předplacené pojistné: klient si v tomto případě předplatí původně roční pojistné na několik příštích let, klientovi je přiznán úrok z předplaceného pojistného ve výši TÚM, při stornu je vráceno zpět nespotřebované pojistné.
Víceletá pojištění Předplacené nettopojistné na dobu n let s ročním nettopojistným P: Částka k vrácení v případě storna po r letech:
Víceletá pojištění Jednorázové pojistné: nejde o předplacení, pojistné je kalkulováno na celou dobu dopředu, přiznán úrok ve výši TÚM, při stornu se nevrací nespotřebované pojistné, se stornem se počítá už při kalkulacích pojistného, proto je jednorázové pojistné nižší než předplacené pojistné.
Víceletá pojištění Jednorázové pojistné: a... pravděpodobnost přirozeného storna, q1... škodní frekvence, p-st storna po škodě
Kredibilitní pojistné: Kredibilitní pojistné P kredibilitní = Z P vlastní + (1-Z) P globální, kde 0 Z 1. Z kredibilitní koeficient (váha vlastních dat ve smyslu jejich důvěryhodnosti, kterou určuje pojišťovna ve srovnání s daty globálními)
Kredibilitní pojistné Z roste s rostoucím objemem pojistného kmene a klesá s rostoucím rozptylem (škodními výkyvy) pojistného plnění. Např.: v havarijním poj. (nižší škodní výkyvy) v povinném ručení (vyšší škodní výkyvy)
Bruttopojistné = nettopojistné + bezpečnostní přirážka + + správní náklady + kalkulovaný zisk pojistitele
Bruttopojistné Zisk pojistitele vzniká na základě rozdílů mezi kalkulovanými a skutečnými hodnotami výpočetních podkladů (např. p-st škody, náklady, úroková míra, ).
Bezpečnostní přirážka Bezpečnostní (výkyvová) přirážka explicitní charakter (viz míra kolísání) na rozdíl od životního pojištění (posuny v úmrtnostních tabulkách=implicitní charakter); Nettopojistné + bezpečnostní přirážka = = rizikové pojistné
Bezpečnostní přirážka Důvody existence výkyvů škodního průběhu (celk. poj. plnění/celk. pojistné): použití teorie p-sti a expertních odhadů na reálná data, ekonomické, příp. jiné příčiny ovlivňující určitý poj. produkt, cyklické chování mnoha poj. druhů (střídání období s nadměrným objemem přijatého pojistného s obdobími deficitu).
Bezpečnostní přirážka Bezpečnostní přirážka slouží k vytváření výkyvových rezerv na krytí mimořádných rizik pro období, kdy přijaté pojistné nedostačuje. Pozn.: Výkyvová rezerva bývala jedním z druhů rezerv v NŽP.
Rizikové pojistné Modelování rizikového pojistného s bezpečnostní přirážkou vztaženou k použití teorie p-sti a expertních odhadů: nezáporné koeficienty RP = (1+l 1 ) P + l 2 s + l 3 s 2 rizikové pojistné nettopojistné odhad. sm. odchylka odhad. rozptyl
Rizikové pojistné Problém praktické konstrukce RP se pak redukuje na výpočet odhadu s, resp. s 2 a na numerické nastavení hodnot koeficientů 1, 2 a 3. Některé koeficienty často bývají rovny nule. Je-li: l 1 > 0, l 2 = 0, l 3 = 0 princip střední hodnoty, l 2 > 0, l 1 = 0, l 3 = 0 princip směr. odchylky, l 3 > 0, l 1 = 0, l 2 = 0 princip rozptylu. Příklad na tabuli (viz doplňující materiál)
Bruttopojistné Správní náklady: závislé (z) rostou s výší pojistného, resp. s výší pojistné částky; nezávislé (n) nezávisí na výši pojistného, resp. na výši pojistné částky.
Bruttopojistné Jiné členění správních nákladů: získávací (akviziční) a - provize obch. zástupcům, organizační o - např. na rozšiřování provozu pojišťovny, správní ve vlastním smyslu s - na celkovou vnitřní správu, inkasní i - na vybírání pojistného od klientů,
Bruttopojistné stornovací st výlohy spojené s předčasným ukončením pojistné smlouvy likvidační l na likvidaci škod (zabezpečení likvidity peněz, odměny likvidátorům, náklady na výplatu poj. plnění), jiné.
Bruttopojistné bruttopojistné nezávislé náklady kalkulovaný zisk B = RP + a n + o n + s n + i n + st n + l n + + (a z + o z + s z + i z + st z + l z ) B + z B rizikové pojistné závislé náklady bruttopojistné
Bruttopojistné bruttopojistná sazba na jed. poj. částku riziková pojistná sazba na jed. poj. částku, jednotná správní přirážka kalkulovaný zisk pro závislé náklady v (% z bruttopoj.)
Bruttopojistné Příklad: Stanovte roční bruttopojistné: roční rizikové pojistné (RP): 2 174 Kč nezávislé správní náklady: 170 Kč (a n + o n + s n + i n + st n + l n ) závislé správní náklady: 15% bruttopoj. (a z + o z + s z + i z + st z + l z ) kalkulovaný zisk (z): 20% bruttopoj.