MATEMATIKA Jak matematika se ukr v v pra sk m orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha 1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa { kolem roku 1410. Jeho mechanicko-matematick model navrhl Jan Ond ej v, zvan indel, kter se zab val matematikou a astronomi na pra sk univerzit (viz [, s. 15]). Jeho star kolega K i an z Prachatic ji kolem roku 1406 zde p edn - el okonstrukci astrol bu. Unik tn stroj orloje je um st n uvnit starom stsk radni n v e. Vytvo il jej Mikul z Kadan (viz [1]). P vodn se skl dal ze dvou st : jic ho (tj. hlavn ho hodinov ho) stroje a bic ho stroje. Pozd ji byl dopln n je t o stroj apo tolsk (zvonic ), kter pohybuje gurami u ost n astronomick ho cifern ku a poh n pr vod apo tol. Vpr b hu stalet byla konstrukce orloje v cekr t zdokonalov na, nap. pov stn m Janem z R e (mistrem Hanu em). Genialitu tehdej ch hodin m eme demonstrovat na konstrukci za- zen pro p esnou regulaci der zvonu. Bic stroj obsahuje velk ob n kolo o pr m ru 65 cm s 4 z ezy na vn j m obvodu, jejich vzd lenosti postupn nar staj (viz obr. 1 a ). To umo uje periodick opakov n 1{4 der zvonu b hem ka d ho dne. ) Sou st bic ho stroje je i pomocn kole ko o pr m ru 1 cm, jeho obvod je rozd len 6 z ezy na segmenty od lk ch oblouku 1,,, 4,, (viz obr. 1 a ). Tato sla se periodicky opakuj po ka d oto ce a jejich sou et je s = 15. Na za tku ) Po et der zvonu odpov d SE, tj. v letn m ase orloj odb j v dy o hodinu m n. Matematika - fyzika - informatika 16 006/007 1

;;; ;; ;;; ; Obr. 1 Detail bic ho stroje pra sk ho orloje z po tku 15. stolet. ka d hodiny sezvedne z padka, ob kola se za nou ot et a zvon odb j p slu n po et hodin. Kola se zastav, jakmile z padka zapadne sou asn do z ez na obou kolech. Ka d den ude zvon celkem1++:::+4= = 00kr t, a proto e toto slo je d liteln s = 15, bude pomocn kole ko na po tku ka d ho dne v dy ve stejn poloze. Velk kolo m 10 vnit n ch zub, kter zapadaj do c vov ho kola se 6 vodorovn mi ty kami, je obklopuj st ed pomocn ho kole ka (obr. 1 a ). Proto e se velk kolo oto jednou denn, pomocn kole ko seoto za tu dobu 0kr t. Obvodov rychlost pomocn ho kole ka je ale p ibli n 4kr t v t, proto e jeho obvod je 5kr t men ne obvod velk ho kola. To umo uje dostate n p esnou regulaci po tu der zvonu zejm na p i opot eben z ez velk ho kola. Bez pomocn ho kole ka by toti mohl zvon ude it nap. jen 11kr t m sto 1kr t, pokud by segment ozna en 1 na obr. m l ji p li zaoblen konce. Pro jeden der zvonu hodinu po p lnoci je dokonce pomocn kole ko nezbytn, nebo na velk m kole sch z p slu n segment (obr.1a4). Matematika - fyzika - informatika 16 006/007

; Obr. Po et der zvonu je ozna en sly ::: 9 10 11 1 1 ::: po vn j m obvodu velk ho kola. Za n m je um st no pomocn kole ko, jeho obvod je z ezy rozd len na segmenty o d lk ch oblouku 1,,, 4,,. Z padka je zn zorn na mal m obd ln kem naho e uprost ed. Kdy se pomocn kole ko ot, vytv pomoc d lek segment mezi jednotliv mi z ezy periodickou posloupnost, jej ste n sou ty odpov daj po tu der zvonu vka dou celou hodinu, 14 {z} 5 1 6 4 {z} 7 1 8 4 9 14 10 1 11 41 1 (1) 41 1 4 14 14 ::: 15 V dal kapitole uk eme, e takto bychom mohli pokra ovat a do nekone na. V echny periodick posloupnosti ale tuto pozoruhodnou sou tovou vlastnost nemaj. Nap klad je patrno, e nelze pou t periodu 1,,, 4, 5, 4,,, proto e pro 6 der zvonu je6< 4 +. Rovn perioda 1 se k tomuto elu nehod, nebo pro 4 dery m me + 1 < 4 < +1+.. Troj heln kov sla a periodick posloupnosti Vt tokapitole uk eme, jak souvis troj heln kov sla k(k +1) T k =1++:::+ k = k =0 1 ::: () s bic m strojem pra sk ho orloje. Budeme se t zab vat periodick mi posloupnostmi, kter maj podobnou vlastnost jako posloupnost 1,,, 4, Matematika - fyzika - informatika 16 006/007

,, ::: v (1), tj. kter by mohly b t pou ity p i konstrukci pomocn ho kole ka. Mno inu p irozen ch sel ozna me N = f1 :::g. Denice 1 Posloupnost (a i ) 1 se naz v periodick, jestli e existuje p N takov, e 8 i N : a i+p = a i : () Kone n posloupnost a 1 ::: a p se naz v perioda a p d lka periody. Nejmen p spl uj c () se naz v minim ln d lka periody a jemu odpov daj c posloupnost a 1 ::: a p minim ln perioda. Denice Nech (a i ) N je periodick posloupnost. ekneme, e troj heln kov slo T k pro k N je dosa iteln pomoc posloupnosti (a i ), jestli e existuje n N tak, e T k = a i : (4) Posloupnost (a i ) se naz v indelovsk, jestli e T k je dosa iteln pomoc (a i ) pro v echna k N, tj. 8 k N 9 n N : T k = a i : (5) Troj heln kov slo T k na lev stran je rovno sou tu 1 + :::+ k hodin na velk m kole, zat mco sou et na prav stran odpov d celkov mu pooto en pomocn ho kole ka (obr. ). P itom pro k-tou hodinu plat k = T k ; T k;1 = i=m+1 a i (6) kde T k;1 = P m a i. Proto e a i > 0, je slo n ve vztahu (5) z visej c na k ur eno jednozna n. Z () a (4) je tak patrno, e a 1 = 1, je-li (a i ) indelovsk posloupnost. 4 Matematika - fyzika - informatika 16 006/007

{z} 1 4 {z} 1 4 Obr. Schematick zn zorn n troj heln kov ho sla T 7. ern te ky v k-t m dku zn zor uj po et der zvonu vk-t hodin, viz (6). sly jsou ozna eny d lky segment mezi z ezy na pomocn m kole ku. N sleduj c v ta ukazuje, e podm nku (5) lze zam nit mnohem jednodu podm nkou, je obsahuje pouze kone n po et sel k. To n m umo - uje prov st jen kone n po et aritmetick ch operac, abychom zjistili, zda zvolen perioda a 1 ::: a p d v indelovskou posloupnost ve smyslu denice. Sou et prvk periody budeme nad le ozna ovat s = a i : (7) V ta 1 Periodick posloupnost (a i ) je pro lich s ve vztahu (7) indelovsk, jestli e T k je dosa iteln pomoc (a i )prok =1 ::: 1 (s ; 1). D kaz. P pad s = 1 je trivi ln. Nech tedy s je lich a nech 8 k f1 ::: 1 (s ; 1)g 9 n N : T k = a i : (8) Matematika - fyzika - informatika 16 006/007 5

Podle (7) plat 1++:::+(s ; 1) = s ; 1 a i (9) kde p je d lka periody a 1 (s;1) je cel slo. Pro odpov daj c posloupnost a 1 a ::: a p a 1 a ::: a p ::: a 1 a ::: a p s s s (10) pak vztah (9) vyjad uje, e se perioda a 1 a ::: a p v posloupnosti (10) opakuje 1 (s ; 1)kr t. Mus me ov it rovnost (4) pro v echna k 1 (s +1)za p edpokladu (8). Pro k = s ; 1, kter je sud, pomoc (), (9) a () dost v me T k = T s;1 = k a i = neboli n = 1 pk ve vztahu (4), a slo T s;1 je tedy dosa iteln. P edpokl dejme nyn, e k = s ; 1 ; k 0, kde 1 k 0 1 (s ; ) a s>. Podle p edpokladu (8) existuje n 0 N tak, e Ze vztahu () plyne, e k 0 (k 0 +1) = Xn 0 X pk a i a i : (11) T k = T s;1;k 0 = (s ; 1 ; k0 )(s ; k 0 ) = s(s ; 1 ; k0 ) + k0 (k 0 +1) : (1) Proto e s je lich a 1 k 0 1(s ; ), je m = s ; 1 ; k0 sud p irozen slo. Tedy podle (1), (7), (11) a () plat T k = s ; 1 ; k0 a i + Xn 0 a i = X pm +n0 D le nech k = qs + k 0 pro q N a 0 k 0 < s. Potom z () a (7) obdr me T k = (qs + k0 )(qs + k 0 +1) = sj + k0 (k 0 +1) = a i : Xpj a i + T k 0 kde j = 1 q(qs +1)+qk0 je cel slo a T k 0 = 0 pro k 0 =0. 6 Matematika - fyzika - informatika 16 006/007

Z p edchoz sti d kazu ji ale v me, e T k 0 = P n 0 a i pro n jak n 0 N a0<k 0 <s, co jsme cht li dok zat. Pozn mka. slo 1 (s ; 1) ve vztahu (8) nelze zredukovat, je-li p d lka minim ln periody odpov daj c s. Abychom se o tom p esv d ili, sta uva ovat posloupnost (a i ) s minim ln periodou 1 1 4 1 4 a sou tem s = 15. Pak podle denice jsou troj heln kov sla T 1 ::: T 6 dosa iteln pomoc (a i ), ale T 7 nen. P klady V znam v ty 1m eme demonstrovat na posloupnosti (1) pro s = 15. Sta toti ov it vztah (5) pouze pro k 1 (s ; 1) = 7, tedy jen prvn dek ve vztahu (1). Dosa itelnost cel ch sel k > 7 na dal ch dc ch (1) pak vypl v zv ty 1. Podobn m eme ov it p edpoklady v ty 1 i pro dal periody: 1 pro p =as =, 1 prop =as =5, 1 1prop =4as =7, 1 prop =4as =9, 1 1 4 1 4 1 4 1 4prop =11as =5. Existuj indelovsk posloupnosti i pro s sud. Jednu takovou m eme zkonstruovat nap. z periody 1 1 1 1: 1 111 11 4 111 5 1111 6 ::: (1) initel 1 (s ; 1) na prav stran (9) ale nen celo seln. Proto p slu n prvky posloupnosti vyjad uj c slo s =6ve (1) nejsou ve stejn m po ad jako dan perioda. V ta Periodick posloupnost (a i ) je pro sud s ve vztahu (7) indelovsk, jestli e T k je dosa iteln pomoc (a i )prok =1 ::: s; 1. D kaz. Nech s ve vztahu (7) je sud a nech 8 k f1 ::: s; 1g 9 n N : T k = a i : (14) Matematika - fyzika - informatika 16 006/007 7

Ze vztah (7) a () vypl v, e T s;1 =(s ; 1) a i = (s;1)p X Nech k =s ; 1 ; k 0, kde 1 k 0 s ; 1. Podle p edpokladu (14) existuje n 0 N tak, e Potom z () m me k 0 (k 0 +1) T k = T s;1;k 0 = (s ; 1 ; k0 )(s ; k 0 ) = Xn 0 a i : a i : = s(s ; 1 ; k 0 )+ k0 (k 0 +1) a tud T k =(s ; 1 ; k 0 ) a i + Xn 0 a i = pm+n X 0 a i kde m =s ; 1 ; k 0. Zbytek d kazu pro k s ; 1 se podob d kazu v ty 1.. Z v re n pozn mky slo s ;1 v (14) op t nelze zredukovat, je-li p d lka minim ln periody odpov daj c s. Abychom toto ov ili, sta uva ovat periodickou posloupnost (a i ) s minim ln periodou 1 1as =4.Pak jsou troj heln kov sla T 1 a T dosa iteln pomoc (a i ), av ak T dosa iteln nen. V l nku [] jsou uvedenynutn a posta uj c podm nky pro to, abyposloupnost (a i )byla indelovsk, a to vesmyslu denice. Je zde uveden t algoritmus, pomoc n ho nalezneme v echny indelovsk posloupnosti pro dan s. Nap. pro s = m, m 0, jedin mo n indelovsk posloupnost je 1 1 1 ::: 8 Matematika - fyzika - informatika 16 006/007

;;; ;; ;;; ; Obr. 4 Um st n pomocn ho kole ka v bic m stroji. Z padka je v poloze mezi segmenty odpov daj c mi 8. a 9. hodin rann. Pra sk orloj je patrn nejstar a st le funguj c hodinov stroj, kter obsahuje takov d mysln za zen pro p esnou regulaci po tu der zvonu (viz obr. 4 a [1, s. 78]). Z v rem je t poznamenejme, e indel se narodil v Hradci Kr lov. Proto dalekohled na tamn hv zd rn nese jeho jm no. Tak planetka. 847 dostala jm no indel. Literatura [1] Horsk, Z.: Pra sk orloj. Panorama, Praha 1988. [] K ek, M. { olcov, A. { Somer, L.: Triangular numbers and the astronomical clock of Prague, preprint M AV R, Praha, http://mat.fsv.cvut.cz/solcova. [] Smol k, J.: Mathematikov v ech ch od zalo en university Pra sk. Publ. n kladem spisovatelov m, Anton n Renn, Praha 1864. Matematika - fyzika - informatika 16 006/007 9