Tato vdní disciplina popisuje a zkoumá pohyb hmotných tles, aniž ji zajímají píiny tohoto pohybu.

Transkript

1 Kineaia Ta dní disiplina ppisuje a zuá phyb hnýh les, aniž ji zajíají píiny h phybu. Pje hnéh bdu áze hný bd (bdé les pužíáe p delý hný bje ( hnsi, jehž zy (bje jsu zanedbaeln alé, aeaiy nenen alé. Zaedení plhéh eu Jesliže dané aézsé susa suadni á hný bd ažiu plhu ( ase : ( x, y, z, p definujee plhý e (pdi h hnéh bdu ja e s páení bde páu 0 susay suadni a s ný bde ís hnéh bdu (iz b. : z z s ( x, y, z dáha 0 i x i x y j j y P aeaié yjádení plhéh eu pa žee yuží liblnu ze í sandadníh žnsí zápisu e, eé znáe z aeaié analýzy :

2 ( x, y, z zápis pdie pí suadni x i y j z zápis pdie pí slže zápis pdie pí jednéh eu P ýše pužiý jedný e pdie plaí nž znáá eá nie : jedný e pdie aé elis pdie usí bý suladu s benýi zahy p ey : x y z elis pdie V ineaie ždy sledujee phyb hnéh bdu p njaé dáze s, hný bd edy ní pbhu asu sji plhu, ní se p i jeh plhý e p šehny ýše uedené eliiny usí bý jednznan definány aždé asé ažiu - jsu edy fune asu ( eé fune, puze pípad elisi pdie fune salání. Když pa dážee naléz plhý e ja au funi (a en pblé eší dynaia : ( x( i y( j z( Znaená lasn nalezení paaeiýh ni dáhy phybu : x y z x( y( z( paaeié nie dáhy T je pní ýhda pužíání plhéh eu hnéh bdu. Duhu a hlaní ýhdu je ša žns plen yjádi záladní ineaié eliiny - yhls a zyhlení phybu - ja eliiny eé : Pipee si ale nejpe, znáe ze sední šly definii yhlsi : Je pdíl elisi (dély s ási dáhy (úseu, eleenu dáhy, iz b. a asu (aséh inealu, za eý hný bd uedenu dáhu uazí, edy : s

3 Pdíl h eliin lze dbe ppsa ja dáhu pbhnuu za (zlenu jednu asu. Je lasn slní yjádení é eliiny : Ryhls je (íseln na dáze (elisi, déle dáhy ynané (uažené, ubhnué za jednu asu. s s s s ds Pužiý sybl ( u dáhy a asu elé eé písen dela se ždy pužíá znaení zlené ási njaé eliiny (jina een inealu, úseu, eleenu. U eliin, eé jsu aeaiýi spjiýi funei, je pa hdnjší puží eín zna eliiny pípadn píse neb úbye é eliiny. T je aé pípad dély ynané dáhy, eá je zeju (suí spjiu funí asu : s s( p její liblná ás (úse je píse é fune za zlený asý ineal, j. je na zdílu hdn fune né a páení bd h aséh inealu : s s( s( s s eb pnud benjší f, bez pužií index : s s( s( Zlená ás eliiny naše pípad úse njaé dáhy - že bý libln eliu ásí elé dáhy (a eba i dáha elá. Pa še ypíaná yhls je spjená s elý a ybaný úsee je pná yhls na úseu dáhy. (apílad na sileé dáze z Plzn d Pahy nás hu zajía pné yhlsi na úseíh dély nlia ile, desíe ile, i na elé dáze. Pzn. : Písen s se edy pužíá znaení pbhnué dély dáhy, i znaení geeié iy é dáhy. Veliina pná yhls edy hdní yhls hnéh bdu na elé úseu dáhy s, ale be ni ná neíá lální phybé sau jednliýh enšíh úseíh é dáhy. P deailní ppis phybu se p zaádí další eliina - ažiá yhls - eá á zejý sysl yhlsi dané ase. V uié asé ažiu je hný bd aé na uié ís dáhy, j. njaé její bd. 3

4 P ýpe aé yhls pa ale jis líe žná nejenší ás dáhy déle ád ey, spíše ša deiey, eniey, iliey..a p usíe ydli u dáhu píslušný ase pebný jejíu pbhnuí - en bude ui aé eli alý. byh se piblížili geeié pedsa bdu dáhy, e eé uujee yhls - ja nenen aléh bjeu - l by bý zlený úse dáhy lasn aé nenen alý, edy paiy nulý - sejn ja pebný as. ulé hdny še d zahu p yhls nežee pí dsadi, pže zle by nel sysl - budee se p nulé dáze a nuléu asu edy puze pibliža a díy aeaié analýze se ni žee piblíži nenen blíz. She y úahy : P ýpe ažié yhlsi pužijee sejný ze ja p yhls pnu, j. bude pdíl ási dáhy a asu pebnéh jejíu ynání. D h ze ša budee (yšlen psupn dsaza sále enší a enší úsey dáhy, nejíe se pibližujíí nule (a píslušné asy, eé se aé budu blíži nule. Výslede bude ada pslupns - hdn yhlsi, eé se budu pibliža njaé ezní hdn - naší pžadané ažié yhlsi. P u ezní hdnu se aeaie pužíá pje liia a její hdna (a pdíny pesu jejíh yáení se fáln zapisuje sandadní zpsbe : li 0 s V pípad exisene funí iaeli a e jenaeli yužijee še znalsi pís h funí : li 0 s( s( s( li s( Pi pesu pibližání ezní, liiní hdn nabýají edy ási eliin iaeli i jenaeli zlu eli alé hdny. ejsu pí nulé, ale nule se pibližují libln blíz jsu z. nenen alé hdny. K pjenání aé nenen alé ási uié eliiny se pa pužíá aeaiéh pju difeeniální (eleenání ás (ineal, úse, eliina, eleen, neb jednduše difeeniál, zejéna je-li a eliina spjiu aeaiu funí neb její spjiu pnnu. K znaení difeeniál pužíáe písen d, ndy δ neb a z pedešléh exu je zejé, že hu bý aé napsány ja liiy : ( s( s( li ( s( s( ds li s li 0 0 d li li ( 0 Oažiá yhls bude edy definána ja pdíl difeeniálníh ásí (difeeniál dáhy a asu : 4

5 li 0 s ds d ažiá yhls (elis Maeaiý psup pibližání se liiní hdn pdílu úseu dáhy a aséh inealu ale ni není na syslu h pdílu aždý len ady, i saa liia, á sále ýzna elisi (déle dáhy pbhnué za jednu asu. Tedy ažiá yhls hnéh bdu yjádená ja pdíl difeeniálníh ásí dáhy a asu á sejný sysl ja pná yhls je na dáze (déle, elisi dáhy uažené za jednu asu - ale je definána dané ís dáhy, j. dané ase. Výše jse již uážili, že déla ynané dáhy je spjiu funí asu a aé nezáisle pnná as je sazej eialenní spjié funi, p je a ažiá yhls pdíle suenýh (úplnýh difeeniál (funí a že bý hápána ja asá zna (píse dély dáhy za jednu asu. P paiý ýpe je p nejdležijší, že yená definie ažié yhlsi je suasn aé aeaiu definií deiae (dély dáhy pdle asu : ds d d d s( Sazej í, že jse pedhzíi ády lehe znudil y z ás, eí už zela bžn deiují a inegují, hl jse ale zpaa p fyziu dležié pjy ja píse fune a difeeniál, eé dále pužijee u fune eé, a hl jse aé zddni, p fyzié deiai fune as adji nahazují pdíle difeeniál, eý á benjší plans. Už edynaie pznáe, že padu exisují fyziální eliiny, eá jsu sie nenen alé, ale nejedná se suené difeeniály funí - z jednduhéh ddu, že píslušné fune ps neexisují. Taé je nap. epl dq pebné (nenen aléu háí plynu - nelze iž nají funi Q (saýh eliin plynu, eá by ppsala elé háí plynu, pže epl záisí aé na néní edynaié pesu heu. Pi exaní ppisu se p u eliinu pužíá aé dlišné znaení Q - je z. neúplný difeeniál. Záe edy shnee : a fální zna deiae j. zle s difeeniálníi eliinai - žee ždy phlíže ja na suený pdíl (suený zle du (nenen alýh eliin, ale ne ždy se aé jedná aeaiu deiai. yní se už pdíeje, ja lze defina ažiu yhls pí plhéh eu : Jde iž, že ažiá yhls je ypiá fyziální eá eliina - j. á nejen elis u jse již sanili - ale á aé uiý s (a ienai. 5

6 Vešeá lidsá zušens s ehaniý phybe nás pi pesduje, že (ažiá yhls á ždy s eny dáhy dané ís. Ja ale naleznee její suisls s plhý ee hnéh bdu? Již pi definii pdie jse si udili, že pdi není njaý nsanní e, ale že se jedná eu funi asu, neb s hný bde, phybujíí se p njaé dáze, se aé suasn phybuje ný bd h eu. Ta ja jse ýše definali znu byejné salání fune pí zdílu jejíh hdn nené a páení bd, žee sejn defina znu (píse eé fune našeh plhéh eu a zna bude še aé eá eliina : ( ( ( ( píse (zna pdie ásledujíí báze ná uazuje, že en e je senu dáhy hnéh bdu ezi ísy a. ena s s ( ( d 0 d ds τ s Je zejé, že déla seny je elisí h eu a že se pibližn ná déle ási dáhy ezi ba uažanýi ísy : s Rns je í lépe splnna, í je sena iy aší a zej edy plaí pesn lii p nenen alý asý ineal, dy ba ajní bdy seny splynu d jednh bdu - sena p pejde na enu iy bd. Pa se e písu pdie blíží nule a zniá lasn difeeniál é eé fune : d li difeeniál pdie 0 6

7 Taé je žn fáln napsa : d ( d ( V ezní pípad, dy se sena zní na enu, splýá difeeniál pdie s difeeniální eleene dáhy a ba í nenen alu ás dáhy hnéh bdu - jejih elisi jsu edy shdné : d ds je aé zejé, že ba y difeeniály jsu aé ásí píy eny hu bý edy zaesleny ja d (nenen alé shdné úsey ale difeeniál pdie je naí e, j. ienaná úsea (e su phybu hnéh bdu - as se aé nazýá ienaný eleene dáhy a jeh znaení se že puží sejné písen, ja je znaení iy ( s, ndy aé l : d d s dl ienaný eleen (iy dáhy Tena (a aé nála je aždé ís iy jednznan definána (její ýpe je aeaiá záležis, p u dáhy hnéh bdu ždy žee pía s exisení jednéh enéh eu τ (ienai líe e su phybu, iz b., s jehž pí lze sandadn yjádi difeeniál pdie ienaný eleen dáhy : d d τ ds τ yní se áíe eu ažié yhlsi, eý nž leží na en dáhy, a lze h edy aé yjádi pí jednéh enéh eu iy a znáé elisi ažié yhlsi : τ ds d τ Jesliže je žn zaháze s deiaí fune ja s byejný pdíle difeeniál, pee edy naznaené násbení : ds ds τ τ d d Pdle hní nie áeu ša nyní znil iaeli difeeniál pdie a dsááe a eli efení žns píé exaní definie eu ažié yhlsi pí pdie hnéh bdu : d li d 0 ažiá yhls (e 7

8 Ten e a bsahuje plení infai yhlsi phybu hnéh bdu jeh elis je shdná se díjší salání definií ažié yhlsi (ja dáhy uažené za jednu asu, ale naí á nyní s eny dáhy a jednznanu ienai (e su phybu hnéh bdu Oažiá yhls hnéh bdu ja pdíl difeeniál pdie a asu že bý hápána (e shd se sysle pdílu saláníh difeeniál ja asá zna pdie (za jednu asu, aeaiy je pa deiae pdie pdle asu. Pzn. : P záení zápisu se fálníu znaení deiae ndy pužíá puze áa nad písene fune, pípadn ea, zejéna jde-li asu deiai : d d Deiae eu (eé fune je sejn ja sá e fální aeaiý ýaz, eý nén znaená deiai šeh suadni eu : dx dy dz ( x,y,z (,, ( x, y, z d d d zápis eu yhlsi pí suadni Pípadn zapsán pí slže : x i y j z dx dy dz i j d d d x i y j z Pzn. : Ten slžý zápis je eeiy eli ýznaný uazuje, že liblný bený iaý phyb (jeh yhls lze zlži d í jednduhýh phyb, eé se nají na suadnýh sáh, j. d í píaýh phyb je lasn zddnní pinipu sládání phyb. Uaže, že lasn aé eleen dáhy ( d se zládá na i eleeny na sáh (dx, dy, dz a na další sáne uidíe, že éž plaí i p zyhlení phybu. Zápis eu yhlsi pí jednéh eu už znáe - z nj jse lasn yházeli : τ zápis eu yhlsi pí jednéh eu de τ je jedný ený e dané ís dáhy a elis yhlsi je uena znáý zahe p elis eu : x y z elis eu yhlsi suasn p elis yhlsi sazej plaí díe dzená salání definie : ds d 8

9 nalgiý zpsbe, ja jse definali e ažié yhlsi, žee dále defina e ažiéh zyhlení hnéh bdu - j. ja asu znu eu yhlsi : d a li 0 d ažié zyhlení (e sejn dbe lze ppsa ýzna slní hdnení - é eliiny : (ažié zyhlení je (íseln n zn (písu yhlsi za jednu asu ( dané ase, dané ís dáhy. D defininíh zahu lze aé hned dsadi pedhzí zah p ažiu yhls : a d d d d d d eb fáln : a d d d d nalgié je aé yjádení eu zyhlení suadniíh a slžáh : a ( a x, a y, a z d ( d x d, d y d, d z ( x, y, z d x ( d d y, d d z, d ( x, y, z a a x i a y j a z x i y j z x i y j z aé jeh elis : x y a a a a z Je ša ynehán zápis pí jednéh eu, neb uení su h eu, na zdíl d su yhlsi, již není iiální. S eu zyhlení žee iž id pí z definie é eliiny (ja pdílu difeeniálu yhlsi a difeeniálu asu, eu pípadn upaíe s yužií žnsi anipula s pdíle difeeniál ja s byejný zle : d a d d d Ta eá nie ná íá, že s zyhlení je dán se difeeniálu yhlsi, j. zny (písu yhlsi - neb násbení saláe á li puze na elis eu a není jeh s. 9

10 dáha s d ( d ( d a Jesliže si pa naeslíe d bázu píse yhlsi ja zdíl e yhlsí e du (nenen blízýh bdeh dáhy : d ( d ( a uážíe-li zné žnsi elisí a s h e ( dsledu nennsi phybu a znéh žnéh zaiení dáhy, pa je jis zejé, že e ažiéh zyhlení že í psu zela liblný s. Pže u dáhy phybu ja geeié iy lze aždé bd ždy jednznan ui enu a nálu, pádí se eli as zlad eu zyhlení d h du s ( in iy dané ís, jina psu je nun pida eí s binálu. Jde lasn zlad eu zyhlení d du aézsýh s na enu a nálu slžu : a aτ an aτ τ an n zlad eu zyhlení τ n de τ je jedný ený e (pužiý již u eu yhlsi a n je jedný nálý e (iz b. nála s dáha n τ a τ ena s a n a sulaní užnie R S 0

11 P sanení bu h slže zyhlení yužijee znáý zápis yhlsi pí jednéh enéh eu : τ a ypíáe zyhlení s yužií paidla deiai suinu (eé plaí ja p suin du salá (funí, a i p suin saláu a eu a nž p suin du e, salání i eý, ja se žee sai pesdi zepsání eýh ýaz d suadni : d d d dτ a ( τ τ d d d d Pní len bsahuje jedný ený e a salání ýaz - je již edy eidenn ená slža zyhlení. Jasn pi idíe, že deiae elisi yhlsi pdle asu neuuje elé zyhlení, ale puze u jednu slžu. Upauje dále duhý len pí fálníh pjeí jednéh enéh eu ja slžené fune : τ τ ( τ ( s( Pa žee iž puží paidel deiai slžené fune : dτ dτ ds dτ d ds d ds Pdíeje se nyní, ja ypadají y eliiny liblné ís dáhy hnéh bdu a jaý je jejih zah sulaní užnii plu R : ds τ ( s dτ n dα dτ τ ( d dáha s sulaní užnie R dα S pí bázu pedeší uaže, jaý s á e S d τ - usí íi pá d sedu é sulaní užnie, j. á s jednéh náléh eu n iy p edy je žn e d τ zapsa pí jeh elisi a h jednéh eu : dτ dτ n

12 Ješ yužije sejnéh úhlu d α pdbnýh júhelnííh yenýh enýi ey a ply sulaní užnie na páu a ni aséh inealu d (iz. b. : dτ d ϕ ds R asu znu jednéh enéh eu lze pa jednduše yjádi : dτ dτ dτ n n ds n dτ n d ds ds ds R ds R Ten ýslede dsadíe d ýhzíh zahu p zyhlení : d dτ d a τ τ n d d d R nené au : a d τ n d R zlad eu zyhlení P elisi slže eu zyhlení edy dsááe : d a τ d elis ené slžy zyhlení ( ené zyhlení R elis nálé slžy zyhlení ( nálé zyhlení a n Pí h slže pa aé žee jednduše yjádi elis eu zyhlení, neb jsu aézsé slžy : a a a n elis zyhlení Z uedenýh ni je zejé, že zyhlení iaéh phybu není nidy nulé. I pípad nnéh phybu (j. nsanní yhlsí, ja nap. nný uhý phyb, dy je sie ené zyhlení n nule : d a τ d 0 je ale dsledu zaiení dáhy (exisene plu isi R ždy nenulé zyhlení nálé (dsedié, sazej pud je nenulá yhls : a n R 0 zyhlení pa uuje i elé zyhlení (jeh elis : a a n R 0

13 Dále si blíže šinee uhéh phybu, ja speiálníh pípadu phybu iaéh, eli as yužíanéh ehniýh apliaíh i eeiýh úaháh : Kuhý (aní phyb niž p zuáe píiny aéh phybu ( dynaie uidíe, že na hný bd usí psbi nsanní dsediá síla, nsaujee puze, že dáhu hnéh bdu je užnie plu R se sede njaé bd S. K ppisu uhéh phybu pa šinu zaádíe úhlé eliiny (iz b. : S R ϕ s x Využíáe pi geeié definie úhlu ( adiáneh pí dáhy s psané (ynané na bdu užnie plu R (ladný s deu úhlu líe sandadn pi su hdinýh uie : s ϕ [ ad] [ ] R definie úhlu eá aeaiy aé znaená jednznané piazení (zah eliin ynané dáhy s a úhlu psanéh pdie : s R ϕ Tu nii deiuje pdle asu, j. deiuje její pau i leu sanu : ds d dϕ R d 3

14 Máe již njaé zušensi s difeeniály, žee p uáži, že znilé asé zny dáhy a úhlu znaenají sazej na jedné san dáhu ynanu na bdu za jednu asu, j. bdu yhls, eá je zej eialenní byejné dáhé ažié yhlsi (salání a na san duhé pa dsááe úhel psaný pdie za jednu asu, j. úhlu yhls : ds d bdá yhls dϕ d úhlá yhls Objeili jse a další jednznaný zah ezi dáhýi a úhlýi eliinai, nyní yhlsí : R Tu nii znu deiujee : d d d R d a leé san zniá znáá eliina enéh zyhlení a τ a na san paé je pa asá zna úhlé yhlsi, j. úhlé zyhlení : d a τ d ené zyhlení d ε d úhlé zyhlení áe eí zah p dáhé a úhlé eliiny, ená p zyhlení : aτ R ε Jeliž lze i dsedié zyhlení yjádi pí úhlé yhlsi : a n R ( R R R znaená, že uhý (aní phyb je úhlýi eliinai (,, dsaen ppsán j. uíe z nih jednznan ui šehny dáhé eliiny (dáhu, yhls a zyhlení edy lasn puze jejih elisi s,, a. 4

15 Uaže še, že dáhé eliiny jsu ale ben ey. Pa se nasýá áza, zda by byl žn defina e aé úhlé eliiny - pní ad úhel psaný pdie. Záladní pdínu je zde jis nalezení su aéh eu, eý by byl žn jednznan piadi u úhlu, j. lasn i eléu uhéu (aníu phybu. Tu lasns á pía pházejíí sede uhé dáhy a lá in phybu, j. aní sa. sa ae ε dϕ ϕ n s 0 ϕ R z α x y Jedný nálý e n, lý in ae, definuje p jednznan s é sy a aé hledaný s eu úhlu - jeh ienae se p sandadn lí a, aby z ne náléh eu byl id phyb p užnii ladné syslu a jeh elis pa jis saníe nu (ladné elisi psanéh úhlu : ϕ ϕ P e úhlu edy žee puží zápis pí jeh elisi a jednéh eu : ϕ ϕ n e psanéh úhlu P se i další úhlé eliiny sanu auaiy eýi eliinai : 5

16 dϕ d e úhlé yhlsi Ped další e uážíe, že s eu úhlé yhlsi je uen se difeeniálu úhlu, j. se písu (zny úhlu ale znaená znu su sy ae - ž je jis eli zásadní zna aníh phybu, eá sie ben že bý suen jaáli, ale napílad u nesíslnéh pu ujííh sjníh suásí s penýi lžisy se bžné pzu ani neeáá (zné hídele, la, ubiny, y. T je jednduhý pípad z. pené sy, eá udžuje nsanní s psu a nepipusí p jinu žns než d ϕ ϕ. Úhlá yhls bude p aé e su sy ae (a její ienae bude sejná ja ienae difeeniálu úhlu, j. z ne eu bude id píse úhlu ladné syslu : ϕ. nalgiy ypíáe e úhléh zyhlení : d ε d e úhléh zyhlení Jeh s je p jednznaný puze u pené sy, dy pa lasn šehny úhlé eliiny budu leže jedné píe se ae : ε ϕ Pi aní phybu hnéh bdu (i lesa se ždy snažíe uísi zažnu susau suadni a, aby její páe ležel na se ae, pi není nuné, aby byl pí e sedu uhéh phybu (iz. b. : Pa lze iž ppsa zah ezi dáhýi a eýi eliinai suen jednduhýi, hezýi niei, ja lasaý ená dále nahlédne. Vyjádee nejpe pl uhéh phybu hnéh bdu (iz. b.: R sinα P p bdu yhls dsanee : R sinα T je ale elis eéh suinu a e yhlsi a že bý yjáden zahe (znluje na bázu s eu : bdá yhls 6

17 Dále ypíáe e zyhlení ja deiai h ýazu, s yužií znalsi deiae suinu a znáýh ýaz p úhlé zyhlení a bdu yhls : d d d d a ( ε ε ( d d d d Uážíe-li pdle bázu sy ýslednýh e, dsááe lasn zlad eu zyhlení na enu a nálu slžu (psá záu není nuné, jesliže pijee dhdu, že psupné aeaié peae se nají zpaa dlea : aτ ε ené zyhlení a n nálé zyhlení Op idíe, že u uhéh nnéh phybu, eý á nsanní bdu i úhlu yhls, je ené zyhlení nulé : a ε 0 τ elé zyhlení je uen puze zyhlení nálý (dsediý : a a n n 0 R ne apily K. Rusá, eze 0/006 e. 0/007 7

18 Dynaia hnéh bdu Dynaia zuá phyb (hnéh bdu a eálnýh les suislsi s jeh píinai silai, eé ají pd e zájené psbení ezi hnýi bjey. Zálade dynaiy a lasn elé lasié ehaniy jsu ewny zány (687: Zán seansi Tles seáá lidu neb phybu nné píaé, pud není nuen psbení lníh les en sj sa zni Ta jednduhá a bsahuje záažná a pinipiální zení : Knsaání lidu neb phybu nnéh píaéh je lasn ýslede hdnení yhlsi lesa, eá ja íe usí bý sanena pí plhéh eu, definanéh njaé susa suadni. Pje lidu neb phybu a záisí na lb susay suadni je edy elainí. Z hledisa zána seansi jsu pa lid a phyb nný píaý zela eialenní - ž je dbé suladu s í, že ba y say jsu lasn ppsány nsanní ee yhlsi ( lidu nulý Pže plaí pinip sládání phyb (blíže iz další apila, je zejé, že dyby nsaání aéh phybu neb lidu njaéh lesa plail suasn e du zažnýh susaáh, j. bu susaáh by les l nsanní e yhlsi, pa by zájený phyb susa usel bý aé ppsán nsanní ee yhlsi byl by edy aé nný píaý phyb. Taé susay suadni, dy se jedna i duhé phybuje nný píaý phybe, se nazýají ineiální a zán seansi lasn aé dí, že y susay exisují. Psbení jinéh lesa (lníh na les sledané je lasn bená definie síly. Je p žn nsaa, že lidu neb phybu nné píaé nepsbí na les žádná síla (edy nulá síla u je ale aeaiy eialenní sa, dy na les psbí íe sil, ale ají nulu ýslednii - jejih úiny se pa nazáje ynáají, je z. nážný sa lesa Jaile zane síla (lní lesa psbi, nasane zna sau (phybéh dynaiéh lesa - a je edy ýslede psbení síly (dpsud nsanní e yhlsi lesa se zane ni - í znine nenulé zyhlení jeh elisi pa pjednáá následujíí zán síly.

19 ewn se dníal, že exisuje njaá ýznaná, záladní ineiální zažná susaa suadni absluní ps, eý je záladní pdínu, pedplade šeh (ehaniýh dj. ewn aé pedpládal exiseni absluníh asu, sejn nn plynuíh e šeh susaáh. Zán síly (phybá nie a Slní yjádení : Oažié zyhlení lesa je pí úné psbíí síle (a nepí úné seané hnsi lesa. Pže se jedná úu eýh eliin, znaená en zah nejen suenu píu úu elisi zyhlení a elisi psbíí síly, ale aé sejný s a ienai h eliin (iz b.. d s dáha a Pi psbení síly edy les (hný bd suladu s pní záne zní sj phybý sa z phybu nnéh píaéh na phyb zyhlený. Pže elis a s psbíí síly hu bý ben jaéli bude aé i dpídajíí zyhlení phybu. Liblná bude edy i zna yhlsi dané ís dáhy, ž znaená nejen znu elisi yhlsi ale i znu jejíh su j. znu eny dáhy. Psbíí síla p že yi jaýli nenný iaý phyb. Pzn. : Z inulé apily íe, že se ehanié phyby jednduše sládají (síají se ja ey, p se sejn jednduše aé sládají síly jednznaní pdi h phyb. Phybá nie je nií eu, j. je fální aeaiý zah, eý se pi néní ýpu usí zepsa d eýh suadni: x a x d x d y a y d d y z a z d z d

20 eb zjedndušen pí fálníh zápisu deiaí : x y z x y z phybé nie Dsááe edy i salání nie. Jsu paiální difeeniální nie. ádu s nenulu pau sanu. P jejih ešení je nun zada psbíí sílu (suadnie a hns lesa. Výslede jejih ešení pa budu suadnie pdie ja fune asu, edy lasn paaeié nie dáhy hnéh bdu : x y z x( y( z( paaeié nie Z nih - ja íe z inulé apily je pa žn sani šehny ineaié eliiny phybu hnéh bdu. Sesaení a yešení phybýh ni je p záladní úle dynaiy. Knéní ešení ýše uedenýh difeeniálníh ni záisí sazej na aeaié au paýh san j. na psbíí síle - a že bý eli pliané (saí si pedsai nap. byejnu bzdií sílu, eá je znýh pípadeh (zájené ení du penýh les, ení penéh lesa s apalinu, s plyne úná zný niná yhlsi. Ja jednduhu apliai si následujííh ádíh uážee ešení phybýh ni pípad nsanní síly psbíí e su phybu hnéh bdu : Knsanní elis a nenný s a á pa pdle phybé nie aé zyhlení i zna yhlsi hnéh bdu zniá p píaý, nn zyhlený phyb. Jesliže plžíe píu dáhy s napílad d sy x, žee ey síly a pdie zapsa následn : ( x,0,0 (,0,0 ( x,0,0 ( s,0,0 Sejný s sy x ají p i ey yhlsi a zyhlení : ( x,0,0 a ( ax,0,0 (,0,0 ( a,0,0 3

21 ze í phybýh ni je nenulá puze jediná, p x-é suadnie : x x Pí ýše uedenéh zápisu suadni žee b sany é nie napsa : x a d d d s d x V nejjedndušší žné pípad, dy phybá nie nebsahuje žádné další deiae suadni, žee pés její yešení psupnu píu inegaí : z nie lze iž ihned sani néní elis zyhlení : a ns. pže zyhlení je deiae yhlsi : a d d Mžee zpn pejí yhlsi báený psupe pí neuiéh inegálu (z. piiiní fune, nezapenee pi piís žnu nsanu : a C Pže zyhlení je nsanní, žee h z inegálu ynu a zbylý inegál z jedniy je en pnné (j. asu pní nin : a C a C a C Ten zah p yhls hnéh bdu (pi píaé, nn zyhlené phybu plaí zela ben jeh ineganí nsana pa užuje pizpsbi, speifia u yhls p jaéli néní pdíny phybu - z. ajé pdíny ešené úlhy : ejasji se pužíají páení pdíny phybu, dy saníe p páe sledané dáhy néní hdny šeh pnnýh eliin : páení as (šinu líe nulý, j. 0, ž je ýhdné, ale není nezbyné páení yhls hnéh bdu páení dáhu hnéh bdu, j. yhls páení ase : ( s, j. dáhu páení ase. s s ( Pzn. : Je zejé, že a že bý zadán i jaéli jiné ís dáhy a že bené jzné pípadu pjde sanení eu yhlsi a pdie h ísa dáhy. 4

22 Ineganí nsanu pa uíe í zpsbe, že páení pdíny (pužije nulý páení as dsadíe d benéh zahu : a 0 C Dsááe ihned : C zniá ná a znáý sedšlsý zah p yhls nn zyhlenéh píaéh phybu : a yhls nn zyhlenéh phybu Pzn. : aše phybá nie je hdná i p uázu ešení difeeniálníh ni edu sepaae pnnýh (ddlení pnnýh eliin : Pužijee ýhzí zah p zyhlení ja deiai asu : a d d Rnii ynásbíe difeeniále asu (a pípadn pehdíe sany : d a d Tí jse dsáhli sau, že na leé san nie je puze fune (záisle pnné yhlsi a na duhé san je puze fune (nezáisle pnné asu, piež leá sana (a edy i jí ná sana paá á fyziální ýzna difeeniálníh písu (elisi yhlsi za as (asý ineal d. Vždy, dyž u difeeniální nie dážee ddli pnné eliiny, paujee ešení a, že udláe uiý inegál leé i paé sany. Z aeaié analýzy byse li d, že en aeaiý ún yí definanýh ezíh (liiní sue inegané eliiny na leé i paé san nie a ns zsane zahána, pi naše pípad á ýslede i jasný ýzna : dyž inegujee síáe (difeeniální písy yhlsi, dsanee elý píse yhlsi (na njaé úseu dáhy hnéh bdu. Pá sepaae pnnýh pa užuje, aby aždý inegál - na leé i paé san nie - l puze jedinu ineganí pnnu a aby é pnné byl aé yjáden ineganí b j. uažaný úse dáhy hnéh bdu. ezanedbaelnu ýhdu é edy je aé, že dyž se pi definání ineganíh ezí pužijí ajé pdíny phybu, ihned se í auaiy saní i ineganí nsany : Knén naše pípad je na paé san ineganí pnnu as - uážíe edy, že se pi phybu hnéh bdu na sledané úseu dáhy bude ni d páeníh asu ( bude dlní ez inegálu, naše pípad nula d njaéh nenéh asu (hní ez inegálu, eý pažujee za liblný, bený, a p nu nepíšee žádný index (zniá í sie fální hyba - že je néní hdna hní eze inegálu znaena sejn ja ineganí pnná spánji byh edy li hní ez naza nap. a epe na zá disusi 5

23 phlási, že ji pažujee za liblnu eliinu a p ji peznaíe na - ale í záený psupe zyhlíe náš ýpe. a leé san pa je ineganí pnnu yhls hnéh bdu, eá se bude ni d páení hdny eze, ale p í šeíe as : d 0 a d d nené yhlsi (a dláe sejnu fální hybu znaení hní Ja zná, ýpu uiéh inegálu aé pebujee piiiní funi (j. neuiý inegál inegané eliiny, d eé psupn dsadíe hní a dlní ez ineganí pnné a ýsledy deee ž se fáln zapisuje ja : [ ] a [ ] 0 P dsazení na bu sanáh p dsanee : a ( 0 ane edy zniá sejná nie, ja u píé inegae : a Dále paujee analgiý zpsbe : Pže nyní již znáe yhls phybu a je deiae dáhy pdle asu : ds a d Mžee dáhu ypía ja inegál é yhlsi (p neuiý inegál a další ineganí nsana : s C ( a C Inegál suu je sue inegál a inegané fune jsu eli jednduhé : s ( a C a C a Ineganí nsanu pa p saníe í zpsbe, že d zniléh benéh zahu dsadíe ajé pdíny ( naše pípad dsadíe páení dáhu páení ase nulé : s a 0 0 ešení je : C s C dsááe zah p dáhu nn zyhlenéh píaéh phybu : C 6

24 s a s dáha nn zyhlenéh phybu Pzn. : Op lze puží edu sepaae pnnýh : napíšee ýhzí zah p yhls ja deiai dáhy : ds d a Rnii ynásbíe difeeniále asu : ds ( a d í jse p dsáhli sau, že na leé san nie je puze fune (záisle pnné dáhy s a na duhé san je puze fune (nezáisle pnné asu, piež b sany nie ají sysl ená difeeniálníh písu dáhy za as d. Dále p udláe uiý inegál bu san na aždé san a dsanee elu délu ubhnué dáhy a ns se nezní. Ineganí nsanu p yíe pi sanení ineganíh ezí : a paé san je ineganí pnná as a bude se ni d nuly d liblné hdny, na leé san pa je ineganí pnnu dáha, eá bude nasa d páení hdny s d nené elisi s : s s ds 0 ( a d Meze inegál p dsazujee d piiiníh funí s [ s ] [ ] a s 0 Dsanee : s s a ( a 0 zniá sazej sejná nie ja píu inegaí : a s s 0 Phybé nie budee aé pbía na iení a s neýi dalšíi sandadníi zpsby ešení difeeniálníh ni se ješ seznáíe ne seesu éau Kiy a lnní. 7

25 yní dále píe e ýladu duhéh ewna zána : as je ýhdné ís yhlsi pužía benjší eliinu, eá záisí i na hnsi a eá edy plenji ppisuje phybý sa lesa (hnéh bdu : p hybns (hnéh bdu d p s a dp dáha P asu znu é eliiny plaí (nii deiujee : dp d d d a Pže jse í dsali pau sanu phybé nie je zejé, že s yužií eu hybnsi žee edy napsa zán síly e fáln jedndušší au : dp zán síly (duhý a d Slní yjádení : asá zna hybnsi je na (je úná psbíí síle. Je i pdní ewna fulae. zána a je eli pzuhdné, že en a phybé nie plaí i e speiální eii elaiiy (na zdíl d pedhzíh ehniéh au phybé nie, pužíajííh eliinu zyhlení. 3 Zán ae a eae Jesliže jedn les psbí na duhé les njau silu (, pa aé suasn psbí duhé les na pní les silu sejn eliu, ale pan ienanu (. 8

26 . les. les Ten zán ná nap. ysluje, p les na pdlže není sj phybý sa (zsane lidu, i dyž na nj psbí gaianí síla.. Oben še nezáleží na, jesli jsu lesa dyu, neb na sebe psbí na dálu. Zásadní dležisi pa nabýá en zán pi ppisu susa hnýh bd a eálnýh les (eší pblé niníh sil. Uee dále p ilusai nli paiýh a zajíaýh sil : Tíha lesa Se znalsí phybé nie: a nyní dbe hápee náze zesé íhé zyhlení p gaianí íhu nsanu g, a i žns eéh zápisu íhé síly lesa : G g íha lesa g g G z M Piažliá síla Ze usí še spla gaianí zán (uee zaí jen znáý salání a, e pzdji : G M g κ κ M Pnání s pedhzí zahe p íhu dsanee zah p zesé íhé zyhlení a žee aé ypía jeh elis na phu Ze, dyž dsadíe hdny gaianí nsany, hnsi a plu Ze : M M g κ κ z 9,8 / s 9

27 0 Dsediá síla Víe již, že elé zyhlení hnéh bdu lze yjádi pí ené a dsedié slžy : a n a a τ Když en zah dsadíe d phybé nie : n n n a a a a ( a τ τ τ Vzninu aé d slžy sily, slža (síla ená a nálá (neb aé dsediá, pže suje d sedu isi dáhy. Zaí pní z nih že bý u iaéh phybu i nulá (nný phyb, síla dsediá je ždy nenulá : τ τ τ d d a ená síla n R a n d n dsediá síla R S τ s n dáha sulaní užnie s n τ n eb yjádíe jen elisi h sil : d d a τ τ R a n d n

28 Vidíe, že ená síla uuje puze znu elisi yhlsi, aniž ní její s, zaí síla dsediá pa fuje iu dáhy paá nie jasn uazuje ja se záislsi na elisi é síly (pi dané hnsi a yhlsi yí dpídajíí pl isi dáhy phybu. Veli as je dsediá síla ealizána ja síla z. azby (nap. lejnie u lau, zás yadla. 3 Odsediá síla Ten eín se pužíá e du pípadeh : ja náze p eai dsedié síle (je síla, eu psbí les nap. na sj zás ja náze p seanu sílu neineiální susa (iz dále 4 Pužná síla Ta síla zniá a psbí pní fázi defae eálnýh les, eu žee paža za zlášní jednázý phyb lesa, a eá ní bu desuí lesa, i lidý sae zdefanéh lesa ( náze s njší psbíí silu, neb hu aé zninu peidié phybé say lesa iy a lnní (budee pbía pzdji. 5 Teí síla Je eli zlášní duh síly psbíí puze ezi zájen se dýajííi lesy, eý á as zásadní ýzna ehniýh apliaíh. Ta síla ždy psbí pi su (žnéh phybu syné plhy, splupsbí pi znáh phybéh sau les, ale saa sb nidy phyb neyáí. Její elis asé pípad syéh ení záisí na lé síle n psbíí na syné plhy, aé na aeiálu a suue h plh ( yjaduje efiien ení f, pípadn na phybé sau : f n n

29 Shnuí : Pje síla edy pdle. ewna zána znaujee zájené eálné (suené psbení jednh lesa na les duhé. Výslede h psbení úine síly je zna phybéh sau lesa pdle. ewna zána (lasn bu les, iz 3. ewn zán je edy phybý úine síly. Síla aé že zpsbi defai lesa, pi žee zua jeh pužns a pens, eé še úze suisí se speiální phybe lesa, pípadn jeh ásí, pi defai. as aé pzujee, že psbíí síla neá na njaé les žádný phybý úine pípad ale ždy dhází psbení dalšíh les - a jejih úiny na sledané les se ynáají zniá nážný sa lesa (blíže iz apila Dynaia susay hnýh bd. Ty say zuá saia a jsu jis zásadn dležié zejéna e saebnií, pi náhu sj, I en sa náhy lesa je nedíln spjen s jeh (žnýi phybýi say. Znu phybéh sau lesa p páe pažujee za suen záladní úine síly. Z eeiéh i aplianíh hledisa jsu pa dležié jeh následujíí speiální pípady : Phybý úine síly pi áié phybu (áiý úine síly : Psuduje siuai na bázu, de síla zpsbuje áiý uhý phyb hnéh bdu le sedu O ( í bde edy phází njaá sa ae lá náesn : s p α n R 0 α d M b

30 Ze sední šly íe, že áiý úine síly (ležíí in áení je úný její elisi a lé zdálensi d sy ae a aniain h ppisujee eliinu en síly : M d R sinα R τ Vidíe, že na aní phyb á li puze ená slža síly, j. slža lá plu áení. álá slža se jen snaží zni pl áení, nejbenjší psé siuai by hla ješ exisa eí slža síly, nbžná s su, eá by se snažila u su yhýli. Když d sedu áení O uísíe páe susay suadni, pa pl áení je suasn pdie hnéh bdu a en síly žee defina e : M Velis h eu je e shd s pedhzí salání definií a naí jeh s udáá nyní s sy ae a en s á i úhlá yhls ae - en síly je edy jednznan spjený s dslede séh psbení (pšine si na bázu, že jsu shdné i ienae h e. Dále - pi znalsi pj sulaní užnie, pípadn pl iy ná usí bý jasné, že i bez exisene suené aní sy lze lui uhé phybu hnéh bdu alesp láln - eéli ís benéh iaéh phybu. Psbení hdné síly se pi sede h uhéh (aníh phybu že sá jaýli bd psu, p jse pánni defina a zua en síly zhlede liblnéu bdu O, d nhž pa uísíe páe zažné susay : M en síly (zhlede bdu O Pzn. : Pa še dyž by se jednal suený aní phyb s penu su ae - a páe susay suadni by byl nde na se ae nebude e enu síly nbžný s u su - a ai bude lia puze jeh nbžná slža (iz phybá nie aníh phybu apile Dynaia susay hnýh bd nalgiu eliinu ja je en síly pužíáe aé p zhdnení ýsledu psbení síly j. p zhdnení íy áiéh phybu hnéh bdu : b p en hybnsi (zhlede bdu O Pzn. : Ja idíe na bázu s a ienae enu hybnsi aé suhlasí s úhlu yhlsí ae (a pípad pdle pedhzí pznáy pjde p jen jeh nbžnu slžu Dležiý zah dsanee, jesliže ypíáe asu znu (deiai é eliiny, s yužií paidel deiai suinu funí: db d ( ( d d d d ( d( d 3 ( ( dp d

31 Zaí ýaz pní záe je zej nulý (nbžné ey, e duhé záe znila asá deiae hybnsi, eá se pdle phybé nie ná psbíí síle. Dsááe edy : db d eb-li : db d M phybá nie aníh phybu (hnéh bdu Slní yjádení : asá zna enu hybnsi hnéh bdu je na (je úná enu psbíí síly. áze é nie puazuje na její zásadní ýzna p ppis aníh phybu hnéh bdu. Veliiny en síly a en hybnsi jsu ša definány zela ben, zhlede liblnéu bdu psu, p a nie plaí i p jaýli phyb hnéh bdu libln zlené susa suadni (ineiální. T bude pzdji yuži pi sudiu dynaiy susa hnýh bd. asý úine síly: Pedee nyní zajíau úpau phybé nie : d d Vynásbíe nii difeeniále asu : d d Tí je lasn pedena sepaae pnnýh a difeeniální nii nyní inegujee uiý inegále (na njaé ási dáhy j. pedee ja inegai leé sany ezíh její pnné (e yhlsi d páení yhlsi d nené yhlsi - a aé inegai paé sany ezíh její pnné (asu d páeníh asu d nenéh asu (idíe aé, že páení as neusí bý nulý : d d Paá sana nie, yjadujíí splupsbení síly a jejíh aséh ání, se definuje ja ná fyziální eliina : I d ipulz síly 4

32 Pzn. : a zdíl d uiýh inegál, eé jse pužili pi uázé ešení phybé nie, se nyní inegují eé eliiny - eý zápis ale ja ždy puze znaená, že jde i paalelní byejné nie (inegály p i salání eliiny - suadnie eu : I x x d I y y d I d I z z d Dslede psbení é eliiny p dbe ppisuje duhá sana nie. Jde jednduhý inegál pís yhlsi (ale p eá eliina : I d d [ ] ( p p Výslede není sazej nija peapiý psbení síly pee dhází e zn yhlsi hnéh bdu, edy i e zn jeh hybnsi - znila ša eli užiená ns elé zny hybnsi a psbííh ipulzu síly (zna hybnsi se edy dje ždy e su ipulzu síly : I p p p ipulz síly a zna hybnsi Speifiá siuae nasane pi psbení nsanní síly u lze iž ynu a zbylý inegál ná dá asý ineal jejíh psbení : I d d [ ] ( jednduhéh ýpéh zahu je zejé, že elá zna hybnsi a nž zna yhlsi nasane nyní nejen e su ipulzu síly, ale pí e su psbíí síly : I p (Další úine síly - dáhý úine síly bude pbán e zlášní apile ne apily K. Rusá, eze 0/006 e. 0/007 5

33 Ineiální a neineiální susay Vae se nyní elainí pj lidu a phybu bsažený ewn zánu seansi, eé záisejí na lb zažné susay suadni. Pedsae si da aézsé suadné syséy S a S, eé se i sb phybují njaý jednduhý zpsbe - napílad a, že S je lidu (i náesn a S se phybuje se (ši pa, piež jejih sy zsáají sále nbžné (a ypadá psuný phyb, neb-li anslae. V bu h syséeh pa budee sleda jeden a enýž hný bd, eý se zela nezáisle na suadnýh syséeh phybuje psu (iz b. z' z S R dx' x' O dx x y y' a bázu jsu yznaeny i plhé ey : ( x, y, z ( x, y, z R ( R,R, R x y z pdi hnéh bdu susa S pdi hnéh bdu susa S pdi bdu O susa S Vidíe, že zej plaí : R zah ezi pdii susa S a S

34 Pee deiai é nie : d d dr d d d uaže ýzna znilýh len : yhls hnéh bdu susa S d d d d d d yhls hnéh bdu susa S dr d u unášiá yhls susay S (zhlede S áze unášié yhlsi phází z ppisu siuae, dy je hný bd lidu susa S (nap. sedíí esujíí e zidle, ale sejn se pa phybuje i susa S, pže je áanu susau (zidle unášen yhlsí u. Pzn. : Pšine si aé e duhé nii h deailu, že yhls áané susa usí bý sazej píána z ení é susa, j. že píse dáhy (jeh i suadnie usí bý zen na sáh é susay, a p je píslušný aeaiý ýaz difeeniál áanéh pdie - znaen ješ další áu, ja difeeniál definaný (ený susa S. Z bázu je dbe id, že ns bu difeeniál (áanýh a neáanýh, enýh S a S nasane puze za pdíny nbžnsi suadnýh s bu susa, ž je pá pípad našeh psunéh phybu susay S (pud by še susaa S nala napílad aní phyb, byla by siuae úpln jiná - iz ýlad na zá é apily. Pa edy p yhlsi hnéh bdu plaí pdbná nie ja p pdie : u zah ezi yhlsi susa S a S Další deiaí pa dsááe zah p zyhlení: d d du d d d Význay jednliýh len nie budu analgié : a zyhlení hnéh bdu susa S d d d d a zyhlení hnéh bdu susa S du a d u unášié zyhlení susay S

35 P zyhlení hnéh bdu plaí p nie : a a a u zah ezi zyhleníi susa S a S Zísané zahy yužije dále p zb du záladníh pípad phybu susay S : nný píaý phyb susay S Unášiá yhls je pípad nsanní : u ns. Uaže pa siuai, že susa S p njaé les plaí. ewn zán - edy že se les bez psbení sil phybuje susa S nný píaý phybe, neb je lidu. Jeh yhls je edy nsanní, en nuly : ns. Z ýše uedenýh pedníh zah p yhlsi ezi ba susaai pa plyne, že yhls lesa susa S bude aé nsanní znaená, že i é susa se les phybuje nný píaý phybe, neb je lidu : u ns. Zán seansi edy plaí susa S, i susa S. Taé suadné susay se pa nazýají ineiální (ineie seans. aleznee nyní néní aeaiý ansfaní zah ezi suadniei ineiálníh susa. Využijee nejpe ýše dzenu ben planu nii p pdie : R Jesliže pijee is fální pedplad, že susaa S je pní ( saá a susaa S je duhná ( ná, pa by pední zahu ly sá né suadnie na leé san nie : R Veu nii žee zepsa d í ni saláníh : x y z x y z R R R x z y 3

36 Unášiá yhls susay S je lasn yhlsí phybu jejíh páu O susa S. Uaže dále, že en phyb je žn zlži na i jednduhé phyby na suadnýh sáh x, y a z (iz dsae Kineaia hnéh bdu a že nsanní unášiá yhls znaená nsanní suadnie jejíh eu - a y suadnie udáají jednlié nsanní yhlsi phyb na h sáh : u ( u x, u y, u z a aždé suadné se susay S se edy dje byejný píaý nný phyb, jehž nie je nejsaší fyziální nií, eu znáe : s Ten jednduhý zah plaí še za pedpladu, že ase 0 je dáha nulá, j. že bd O je ís bdu O, jina een - že nulé ase b susay splýají. P edy p šehny i suadnie bdu O susa S - j. p ynané dáhy na suadnýh sáh x, y, z, bude : R R R x y z u u u x y z Ty i salání zahy že aé pípadn nahadi jedna eá nie (ale dále ji nepužijee : R u Když zísané salání ýazy dsadíe d benýh ni, zninu hledané néní ansfaní zahy ezi ba ineiálníi susaai : x y z x y z u u u x y z Galiley ansfae eb e : u K u pisupuje sazejý zah ezi asy : P báený ped suadni, z né susay S d saé S, je pa hdné, aby na leýh sanáh ansfaníh ni byly suadnie neáané : x y z x y z u u u x z y Galiley ansfae báené (inezní 4

37 Pzn. : Ty ansfaní nie, eé jsu zej neddlieln spjeny s pinipy lasié ehaniy, byly zásadn ppeny inseinu (speiální eií elaiiy a nahazeny ní jinýi zahy p ineiální syséy, z. Lenzýi ansfaei. Pzueje dále aé plans. ewna zána susa S. Pedpládeje edy, že p hný bd susa S již neplaí zán seansi, ale že se psbení njaýh les zaal phyba pdle zána síly : a pdíeje se, zda bude a nie plai i áané susa. Pi nsanní unášié yhlsi susay S je še její unášié zyhlení nulé : a du d u ( ns 0 d d z pedníh zah plyne ns zyhlení hnéh bdu bu ineiálníh susaáh : a a a u a Phybá nie S á edy a : a ( a a u a Vidíe jasn, že bu susaáh jsu sejná zyhlení i sejné psbíí síly. Phybá nie plaí edy neznné au aždé ineiální susa j. je (fáln sejná e šeh ineiálníh susaáh. Ješ jina een : Phybé nie jsu inaianní i Galile ansfai. Ta slá lasns phybýh ni, eá eli zjedndušuje aeaié ýpy a užuje aé jinu, eleganní definii ineiálníh susa ja susa, e eýh plaí ewny zány, ša zela znežuje nalezení né záladní, ýznané ineiální susay, pedpládané ewne j. absluníh psu. yní disuuje duhý dležiý pípad phybu susay S : nenný iaý (psuný phyb susay S Unášiá yhls susay S je nyní ben pnnu eliinu, j. že se ni ja elis, a aé s a ienae jejíh eu : u ns. 5

38 Susaa S se edy phybuje nenný iaý phybe i ineiální susa S (pz - sále usí bý anslae psuný phyb, pi eé sy susay zaháají sj s - je pee nuný pedplad plansi pužíanýh ansfaníh zah. Pzn. : O anslai, pípadn ai se luí zejéna pi ppisu benéh phybu penýh les, san aždá susaa suadni je ždy spjena s njaý hný lese, ja si udíe pzdji e speiální eii elaiiy. Jiná definie ppisuje anslai ja aý phyb, pi eé šehny bdy lesa (zde suadnýh s se phybují p geeiy sejnýh daháh. ázn si žee anslai pedsai ja napí. phyb uzu píaé yši na baze, ldiy na Rusé le, balisiéh yadla, aua p iaé dáze nesl by se ale zaááh naáe d su séh phybu. Pi iaé phybu áané susay je še její unášié zyhlení nenulé : a u du d 0 P i pípad nsanní yhlsi njaéh lesa susa S - j. jesliže by S p les plail zán seansi - pdle benýh pedníh zah ale susa S yhls lesa už nsanní nebude : u ns. Zán seansi edy S neplaí, áaná susaa je nyní neineiální susau a pže je unášié zyhlení nenulé, bude zyhlení hnéh bdu susa S dlišné d zyhlení S : a a a u phybá nie S á p a : a ( a au a au * V neineiální susa již edy phybá nie není inaianní, neb znila sj a na její paé san se pdní psbíí síly bjeuje ná síla záisejíí na unášié zyhlení susay : * a u seaná síla ( neineiální susa Ta síla lasn nuí les paa, seáa pdní phybu, neyjaduje ša psbení žádnéh dalšíh hnéh bjeu (a jsu definány suené síly ewnýh záneh, p se seaná síla aé nazýá silu zdánliu, neb fiiní. Je še síla naps eáln psbíí, ja aždý z nás sá na sb piuje e zyhlujíí neb bzdíí dpaní psedu. (Pd é síly ysluje Obená eie elaiiy. 6

39 Cele edy : V ineiálníh syséeh ždy inaianní phybá nie, eá á na paé san puze suenu sílu, neineiální syséu neplaí! byh zísali planý aeaiý zah, usíe na pau sanu nie pida pdní suené síle ješ sílu seanu : a * phybá nie neineiální susa ezapee, že zah p seanu sílu byl dzen za pedpladu nennéh iaéh phybu neineiální susay S. Mžee p dbe uplani znalsi z ineaiy zyhlení aéh phybu a jeh zladu na enu a nálu slžu : a Ja speiální pípad phybu neineiální susay S lze yleni (anslaní nný iaý phyb, eý se ná s nsanní elisí (ale s pnliý se unášié yhlsi: u ns. Pi phybu sie neexisuje ené zyhlení, ale ždy je nenulé zyhlení dsedié, dané zaiení dáhy, eé pa edy í elé unášié zyhlení susay : a u a n u R n Píslušná seaná síla á sazej paný s (iz báze, dud aé její náze : * n a n dsediá síla Velis dsedié síly je še sejná ja elis síly dsedié : * n n u R b V pípad (anslaníh nennéh iaéh phybu susay S se již bude ni ja elis, a aé s a ienae unášié yhlsi : u ns. sále exisujííh náléh zyhlení se bjeí ješ naí ené zyhlení : a u a n a τ Odsediá síla a bude dplnna další seanu silu ííí pi su enéh zyhlení (iz b. : 7

40 τ * τ aτ du d ulea (seaná síla Její elis je sazej sejná ja elis ení síly : * τ τ du d Z lasní zušensi (p z dpaníh psed, eé dáží bzdi a zyhla i zaááh žee jis pdi, že b síly suen exisují (iz b.. n * - a n τ * - a τ a τ u τ s dáha s a n a u sulaní užnie R n S ejjedndušší (anslaní phybe neineiální susay S je nenn yhlený píaý phyb (je še aé puze speiální pípad nennéh iaéh phybu, eý je žn haaeiza pnnu elisí unášié yhlsi a její nsanní se a ienaí e su phybu na píe dáhy ž lze fáln zapsa ja nenns enéh eu : u ns. τ ns. Unášié zyhlení á aé s píy dáhy : a u a u τ du d τ Seanu sílu pa uíe dsazení h zyhlení d záladní definie : 8

41 * a u du d τ je zejé, že se lasn pinipiáln jedná enu uleu seanu sílu. V nejbenjší pípad je še phyb neineiální susay S (sejn ja bený phyb lesa iz apila Dynaia uhéh lesa ždy yáen spjení phybu anslaníh s phybe aní. P na zá pzuáe ješ eí záladní pípad phybu neineiální susay S : 3 aní phyb susay S Pedpládeje, že ineiální susaa S je lidu i náesn a neineiální susaa S se áí úhlu yhlsí le splenýh s z z, piež páy bu susa splýají (O O. z z' u ' y' S y x x' Op sledujee pdie jedinéh hnéh bdu susa S i S. Pže páy bu susa splýají, jsu y ey žné : 9

42 Suadnie h lasn jedinéh eu jsu še zné bu susaáh, ale hlan jsu zné jeh asé zny (písy, edy i deiae pdle asu h susaáh. Jesliže si nejpe pedsaíe, že hný bd je i áané susa lidu (j. je se susau S napílad pen spjený, pa ná bude zejé, že je u susau unášen a že splen s ní ná uhý phyb. Jeh unášiá yhls je edy na bdé yhlsi uhéh phybu : u Oben se še hný bd že susa S ješ naí phyba njau yhlsí, p pdle pinipu sládání yhlsí je jeh ýsledná yhls lidé susa S na suu bu h yhlsí : sládání yhlsí susa S Ryhlsi hnéh bdu jsu še ueny asýi písy deiaei - píslušnýh pdi bu susaáh : d d d d Z ddu nsi pdi žee pa psá : d d d d Vyili jse edy nii planu p jeden a enýž e pdie e du znýh susaáh, ineiální S a neineiální S, eá ysluje elý píse pdie (asu znu, deiai ineiální susa S ja sue jeh lasníh písu S a písu d unášiéh aníh phybu susa S. Psunu d páu žee še e jaéli fyziální eliiny a í se en e dsane d sejné siuae ja pdi a sejný zpsbe (ja ey se budu sláda jeh písy d aníh phybu i d jeh lasní zny S. Dsanee a eli bený zah ezi deiaei liblnéh eu e du znýh zažnýh susaáh ineiální S a neineiální susa S, ujíí úhlu yhlsí : d d d d Pedsaa, že jaáli eá fyziální eliina se há sejn ja plhý e z ehaniy je še pnud nezylá, ele ale jde puze axiáln názné dzení benéh, eli 0

43 nenáznéh zahu z aeaié analýzy, plaííh p liblné eé spjié fune, eý dne ani nepebuje pedplad splenýh pá a aníh s bu susa. My en zah yužijee p ýpe zyhlení hnéh bdu neineiální susa. ejpe h apliujee na e yhlsi susa S : d d d d a paé san nie hned dsááe hledané zyhlení : a d d d d V pní lenu na paé san dsadíe za áanu yhls z páeníh záladníh zahu p sládání yhlsí a pedee deiae pdle sandadníh paidel p deiae : ( a d d d d d d d d a paé san nie znily nyní znáé eliiny zyhlení, úhléh zyhleni a yhlsi hnéh bdu susa S, edy neáané eliiny : a a ε p yhls S pužijee ješ jednu zah p sládání yhlsí a pedee znásbení a sdužení len pslední nii : ( a ( a a ε ε P ynásbení hnsí dsanee ihned phybu nii ujíí susa : ( a a * 3 * * ε Vidíe, že suené síly psbíí ineiální susa usíe d phybé nie neineiální ujíí susa zapía další ele i zdánlié síly : * * ε τ ulea (seaná síla ( * n * dsediá síla K h du eáanýh a znáýh sil exisuje ješ další síla naphled pnud plianýh lasnsí : * C * 3 Cilisa síla

44 Vze ná uazuje, že a síla se bjeuje puze pípad lasníh phybu neineiální susa yhlsí, eá není nbžná s su ae (iz b.. hnéh bdu sa ae S ' C * n * Z ddu elain alé elisi Cilisu sílu na phu Ze bžné ži pí nepiujee, pes je eliina dbe ielná a za uiýh lnsí že í njaé ehnié apliai ýazný li. (Mže napílad zpsbi í yéajíí apaliny, dlišnéh syslu na seení i jižní pluli, dlán dáhu padajíí sely, sáe inu aeaiéh yadla ne apily K. Rusá, eze 03/006 e. 0/007

45 Páe a enegie P sji zásadní dležis býá ehaniá páe yslána ja jeden z dsled psbení síly na hný bje (hný bd z. dáhý úine síly. Ze sední šly znáe záladní definii fyziální eliiny ehanié páe, eu yná nsanní síla psbíí na hný bd na píé dáze dély s pd nsanní úhle α (zhlede píe dáhy, iz b.: s sα [ Jule] [ J ] α s s Síla je sazej e a jesliže definujee i dáhu ja e (je úsea, saí jí piadi ienai, napílad e su phybu, p je ýše uedený zah lasn salání suine du e : s ehaniá páe P ýpe páe eálnýh pdínáh, dy dáha phybu je liblná (spjiá ia a psbíí síla není nsanní, ale liblná (spjiá eá fune ísa, usíe nyní en zah zbeni : Kiu dáhy zdlíe (yšlen na elý pe ( úse eliseh (iz. b: s, s, s3, s4,..., s 3 s s s 3 s ds d s

46 Z ddu jejih eléh pu jsu y úsey dáhy nepané, p je lze pibližn paža za úsey (pesn bude plai až lii p jejih nenený pe a pidání ienae e su phybu z nih žee yi ey : 4 3 s...,, s, s, s, s Pá p, že aždý z h úse je eli alý ( lii pa nenen alý, neže se na n píliš ni ani elis síly ani její s (je spjiá fune - psbíí sílu na elé úseu je edy žn paža za nsanní e : ,,,,, yní je ale siuae na h úseíh dáhy sejná ja údní definii - nsanní síla psbí na píé dáze - a žee p na aždé úseu ypía ynanu pái pdle záladníh zahu : s s s s elu pái ynanu na elé dáze s, p zísáe seení šeh h jednliýh (dílíh, eleenáníh paí : 3 s... Pdíny h ýpu a edy i uedený ze plaí še í pesnji, í enší jsu jednlié úsey dáhy, edy í ší je jejih pe. xaní zah p dsanee až lii p nenený pe úse. V pípad pa ale nenená sua nenen alýh len je lasn aeaiu definií uiéh inegálu : s d s s li Jesliže dále yužijee znalsí z ineaiy, že difeeniální úse dáhy je en difeeniálu pdie, žee aé psá : s s d ds ehaniá páe na bené dáze Defininí be h uiéh inegálu je zuaná ia dáhy s, aeaiy se edy jedná z. iý inegál.

47 Výaz za znae inegálu je eleenání páe, ynaná na difeeniální úseu dáhy, a jde lasn difeeniální yjádení jednliýh len pdní suy : d d eleenání páe Celá páe ynaná na dané dáze je edy inegále (liiní sue eleenáníh paí. Dále : Pi nání páe eálné siuai, dyž napílad hee psunu les p pedepsané dáze, ždy usíe pi sjí silu penáa njaé jiné síly. Ty síly jsu as dslede psbení znýh silýh plí na dané les (napílad gaianí ple, eleié a agneié ple, ple pužnýh sil, ple eíh sil, Zabýeje se p dalšíh ádíh pedeší ýpe páe byejné gaianí pli naší Ze, e eé šihni žijee : Páe gaianí pli, peniální enegie Cenální les hnsi M (hný bd, uísné e auu páu susay suadni, psbí na duhé, zušební les hnsi, eé je ís, silu : M κ ewn gaianí zán de κ je uniezální gaianí nsana a je jedný e pdie : κ 6, [ SI] z - M 0 y x 3

48 P dsazení jednéh eu dsanee jiný a gaianíh zána : M. κ 3 as pužíaný pje je inenzia gaianíh ple : M K κ Slní yjádení : Inenzia gaianíh ple je (íseln na síle psbíí na zušební les jedné hnsi. Je zejé, že na phu Ze ( z je a eliina na gaianí íhé nsan (zeséu íhéu zyhlení : M g κ z eb salán : M g κ z 9, s yní pe dále a nén ypíeje pái, eu ynáe gaianí pli pi (eli palé psunuí lesa hnsi (hnéh bdu p njaé zadané dáze (ie s z jejíh páeníh bdu d néh bdu. Pže silé ple psbí na les silu, usíe y (edy njší síla - njší zhlede danéu pli psbi na les silu sejn eliu a pan ienanu, j., abyh sílu ple penali. Pzn. : Pesnji za, usíe psbi ješ alu pídanu silu naí p uedení lesa d phybu, eu lze ale zej lii - pi pžadau eli paléh psunu - zanedba. Záladní zah p pái ynanu njší silu silé pli pi phybu lesa na dáze s p bude : d ( s páe njší síly silé pli Je zejé, že sejný inegál, ale bez zápnéh znaéna u síly, by yjádil pái siléh ple na é dáze : d ( s páe síly ple 4

49 yní dsadíe za gaianí sílu a ynee nsany ped inegál : M d ( κ d κ M s s ( ( Siuae pi ýpu páe je znáznna na bázu. Upaíe dále salání suin inegálu, pi yužijee znáé elisi jednéh eu : d d sα d sα s } α ( ( d 0 Z bázu je zejé, že salání suin je pe difeeniálu pdie d d su pdie (d su jeh jednéh eu a že je edy lasn en difeeniálu elisi pdie d : d d sα d Tí se ýazn zjednduší ýpe ynané páe, neb inegál již nebsahuje eé eliiny : d [ ] M M κ κ κ M κ M κ M ( Z ýsledu idíe, že ynaná páe be nezáisí na dáze (na její au, ale záisí puze na páení a né bdu dáhy. Dále si pedsae, že byh užnili zpný phyb lesa z néh bdu d bdu páeníh a již byh en phyb nija neliali, j. nehali byh paa sílu gaianíh ple - pa by ynaná páe byla sejn eliá a y a sji pdn ynanu pái dsanee zp : d d 5

50 Vnjší silu pdn ynaná páe je edy jaby ushána - zanzeána né bdu dáhy a les (lasn pesn een silé ple á ís shpns yna sejn eliu pái (pi náau d ýhzíh ísa. Silé ple s au ýznanu lasnsí, eá užuje zahání, zanzeání ynané páe, se nazýá nzeainí silé ple. Ta shpns lesa yna pái, spjená s jeh (nu plhu, se nazýá peniální enegie lesa (hnéh bdu a její elis se definuje ja elis é páe, j. páe ynané lese pi pesunu d plhy páení. (Tu pái spjujee s daný lese, pinipu ji še nají síly ple a ná se aé pái ynané nái - njší silu - pi pdní phybu z páeníh d néh bdu. Pže ynaná páe nezáisí na au dáhy ezi ba bdy, páení a ný, je peniální enegie jednznanu funí ísa (en ný bd pdn zlené dáhy je še ja ben pnná eliina e funi zela liblný bde psu, píšee h edy ben dále bez indexu a sazej je aé funí ísa (zde je naís pnehání indexu, neb en bd je sie aé ben zela liblný, ale pi ešení danéh pbléu se pede zlí a e funi dále ysupuje ja nsana, aeaiy je lasn paae fune. Bdé les (hný bd á edy dané ís zhlede ísu peniální enegii : W p (, κ M κ M gaianí peniální enegie (bený a Kli zásadníu ýznau é eliiny zpauje znu : gaianí peniální enegie je definána ja páe, eu yná gaianí ple pi phybu lesa z danéh ísa d zlenéh ýhzíh ísa (a je aé na pái, eu usí nejpe yna njší síla pi pesunu lesa paný se - z ýhzíh ísa d danéh ísa. Pznáa : Ze sední šly si jis paaujee jednduhý ze p peniální enegii : W p gh ení en zah zpu s naší pslední ze? Uaže si na iení, že nili, a že jde puze jeh liiní a. 6

51 dále - zejéna eeiýh ýpeh se p peniální enegii šinu lí ýhzí ís nenenu, j. aeaiy zapsán : V é lii je p e zahu p peniální enegii duhý len nulý - zbaíe se a záislsi na páení sau lesa (na jeh páení plze a dsááe eli jednduhý a : W p ( κ M gaianí peniální enegie (speiální a Sane p ýzna : je páe, eu yná gaianí ple pi phybu lesa z danéh ísa d nenena (a je aé na pái, eu usí nejpe yna njší síla pi pesunu lesa paný se - z nenena d danéh ísa. S yužií psledníh zahu žee nyní snadn zapsa pdní ynanu pái (njší silu pi pesunu lesa ezi da ísy : M κ d κ M W Páe pebná p peísní lesa ezi da ísy je edy na zdílu peniálníh enegií ezi i ísy. (áln sejný zah plaí pi jaéli lb ýhzíh ísa, daže sai. p ( W p ( W p W p as pužíanu eliinu gaianí pli je aé : W p ϕ ( gaianí peniál Význa gaianíh peniálu je p eli názný : Je peniální enegie lesa jedné hnsi - edy páe gaianíh ple pebná penesení lesa jedné hnsi z danéh ísa d nenena. Pa lze zapsa ynanu pái aé pí zdílu peniál ezi da ísy : Wp Wp ( ϕ ϕ Pneje píší sees en gaianí peniál s peniále elesaiý, eý je li jeh aséu pužíání eleehnie sazej dale znájší fyziální eliinu. Dále zaedee pje ineié enegie. 7

52 Kineiá enegie yní si budee šía zny phybéh sau hnéh bdu, spjené s nání páe ezi da ísy dáhy. ejpe upaíe phybu nii : a d d byh dsali zah p eleenání pái, ynásbíe nii salán difeeniále pdie: d d d d d K úpa zniléh saláníh suinu na paé san pužijee zah p elis eu : Tu nii deiujee pdle asu, neb jedndušeji difeenujee : d Dsanee : d d d d d Cž dsadíe d zahu p eleenání pái : d d d by byl žn jednznan sani suisls s eliinai pedhzíh dsae, budee dále pedpláda, že páe se p ná silé pli gaianí síly. Výše uedenu eleenání pái na difeeniální dáze 8 d neh edy ná síla gaianíh ple a z nie (z její paé sany idíe, že dslede je zni difeeniálu, j. písu yhlsi hnéh bdu. Knání páe silý ple á edy za následe zyšání yhlsi lesa (pedsae si napílad lný pád gaianí pli Ze. Pedpládeje nén, že nání páe psbíí silu ple na njaé dáze ezi páení bde a ný bde se zýší yhls lesa (hnéh bdu z hdny na. Vynaná páe edy bude (její znaení je e shd s znaení páe gaianíh ple pedhzí dsai peniální enegii : d P dsazení za eleenání pái žee lehe pés ýpe uiéh inegálu : d d d [ ]

53 Vidíe, že sejn ja u peniální enegie, ani a páe nezáisí na au dáhy, dne ani nezáisí na plze páeníh a néh bdu dáhy - dležiý je puze páení a ný phybý sa lesa (páení a nená yhls. Mžee nsaa, že ynaná páe je p usladnna, zanzeána, ená še phybé sau lesa a á edy sau p shpns yna sejn eliu pái (pi náau d pdníh phybéh sau, j. pi zabzdní lesa. Ta shpns lesa yna pái, spjená s jeh phybý sae se pa nazýá ineiá enegie lesa. byh, sejn ja u peniální enegie, yluili záisls na páení sau lesa (nyní phybé, pedpládeje páení nulu yhls ( 0. P je duhý len na paé san en nule a ineiá enegie je edy definána jednduhý zahe : W ( ineiá enegie (hnéh bdu Kli zásadníu ýznau é eliiny p zpauje : Kineiá enegie je definána ja páe, eu les (hný bd hnsi yná, dyž bude zabzdn z yhlsi d lidéh sau (a eu njaá psbíí síla, napílad silé ple, usí nejpe yna pi uedení lesa z lidu d phybu u yhlsí. Pzn. : yní, pi znalsi ineié enegie, už jis zuíe pžadau na eli palé psuání lesa na dáze pi definii enegie peniální. S yužií eliiny ineié enegie pa aé žee pepsa zah p pái psbíí síly (siléh ple d au : d W Páe pebná p peísní lesa ezi da ísy (psbíí silu - silý ple je edy na zdílu ineiýh enegií ezi i ísy. ( W ( W W Z pedhzíh dsae ale aé íe, že pái pi peísní lesa lze nž yjádi zdíle peniálníh enegií ezi i ísy.. až nyní edy lasn aeaiy uplaníe pedplad, že les se phybuje silé (gaianí pli : d W W d W p W p 9

54 Dsááe a zah p peniální a ineié enegie hnéh bdu páení a né bdu dáhy : W W W p W p P pesupení len znine eli zásadní nie p sue bu enegií h bdeh : W W W p p W Páení a né bdy dáhy, sejn ja dáha saa, jsu še psu ( silé pli ben zela liblné, p edy žee nsaa, že : Sue peniální a ineié enegie á jaéli ís nzeainíh siléh ple sále sejnu hdnu. Ten sue se nazýá elá ehaniá enegie a dspli jse a eli dležiéu zánu ehaniy : W Wp W ns. zán zahání elé ehanié enegie Uedený zán byl dzen p hný bd, plaí še i p šehny hné bjey (eé jsu lasn z hnýh bd a - slženy. Jediný pedplade zána zahání enegie je nzeainí silé ple. K gaianíh ple je nzeainí aé ple elesaié a ple pužnýh sil, ýpy h plíh jsu a díy plansi zána zahání ehanié enegie eli phdlné. Knzeains bhužel nejeí napílad ple agneié a ple eíh sil. Dležis nzeainsi siléh ple pdhuje ješ následujíí áý dsae. Další lasnsi nzeainíh ple Víe už, že aé silé pli nezáisí ynaná páe pi pesunu lesa z ísa d ísa na au dáhy. Jesliže edy zlíe d zné dáhy (iy s a s spjujíí ba bdy (iz b., pa usí bý páe na h daháh naps sejné : 0

55 ( s d ( s d nezáisls páe na dáze s s U paéh inegálu pa pehdíe eze - í zní znaén - a peedee h na leu sanu : ( s d ( s d 0 yní lze ba inegály na leé san nie seís (spji d jedinéh inegálu p ýsledné ie, slžené z bu jednliýh ie s s s (jde z. uzaenu iu a inegál á speiální znaení : s s s d 0 inegál p uzaení ie s Pže b pdní iy byly liblné a spjaly liblné da bdy, plaí inegál p jauli uzaenu iu psu siléh ple a nepíšee p žádné znaení é iy : d 0 elá páe na liblné uzaené dáze (je nulá Slní yjádení : Celá ynaná páe na uzaené dáze (pi bhu uzaené iy, j. pi náau d ýhzíh ísa je nulá. Pzn. : Pi sazej na neýh áseh dáhy je ynaná páe ladná a na jinýh áseh dáhy je zápná Ten zah p nh saleí eli znesnadal nadšený ynález nsui ehaniéh n paujííh sje - pepeua bile (. duhu.

56 V nzeainí elesaié pli je ýše uedený zah zálade Kihhfa zána bhu uzaené syy eleiéh bdu (sue napí zdj a úby napí na dpeh je nulý neb šehn jsu páe eleié pli, ladné i zápné. V edynaie ají pdbnu lasns saé eliiny ( jsu saé pnné ja la, bje, epla, ale jde hlan saé fune ja je niní enegie, enpie, enalpie, lná enegie, ad., ben edynaié peniály, uzaenu iu zde še není suená dáha psu, ale sejn geeiy uzaená ia uhéh dje gafu saýh pnnýh (napílad pvdiagau. V píší seesu (Y si ješ uážee další zahy, e au difeeniálníh peáýh ni p inenziu a peniál elesaiéh ple, eé jsu eialenní ýše uedený inegální zah : gadϕ 0 V naše gaianí pli pa plaí analgié nie p gaianí inenziu (neb sílu : K gadϕ K ne apily K. Rusá, eze 0/006 e. 0/007

57 Dynaia susay hnýh bd Ten eli dležiý fyziální pje služí e sudiu a delání phybu eálnýh bje slženýh z nepanýh hnýh ási (lesa pená, apalná i plynná, neb susa les, jejihž elisi lze p pibližné ešení zanedba (slunení susaa. Definuje záladní paaey susay hnýh bd :. hný bd. hnsi. á plhu. yhls. a hybns p. hný bd. hnsi. á plhu. yhls. a hybns p 3. hný bd. hnsi 3. á plhu 3. yhls 3. a hybns p hný bd. hnsi 4. á plhu 4. yhls 4. a hybns p ý h.bd. hnsi.. -ý h.bd. hnsi. á plhu. yhls. á plhu. yhls. a hybns. a hybns p p Uaže dále, jaé síly psbí na liblný hný bd susay (napílad na duhý, iz b. : d bje n susay z. njší síly ( d saníh hnýh bd susay z. niní síly (, 3, 4,...,

58 P aždý hný bd pa napíšee ewnu phybu nii ( njaé ineiální suadné susa : d p d d p d d p d d p d... d p d 3 (... d dp 3 Dsááe a ele ni, eé šehny seee dhady (j. seee šehny jejih leé sany a šehny jejih paé sany : j j j d dp... d dp d dp d p d Pslední len na paé san je fáln zapsaný sue šeh niníh sil naší susa hnýh bd. Pdle 3. ewna zána e aždé jednlié niní síle suu ždy exisuje její sejn eliá a pan ienaná eae (iz b. : j j Sue h du sil je edy ždy nulý : 0 j j Pže nezáleží na padí sían, žee si pedsai, že seení šeh niníh sil se usuení pá p h djiíh, ž ede jednznanéu ýsledu eléh h suu : 0 ( j j j j j j j sue šeh niníh sil je nulý

59 Pže niní síly susay hnýh bd e šin pípad neznáe a p jejih elý pe ani nelze pía s jejih napílad zení, p jejih ýsledná nuls lasn eíá jedinu žnu esu, ja paa ešení naší sué nie, eá á nyní ýazn zjedndušenu pau sanu : dp dp dp d d d dp d Jesliže definuje né fyziální eliiny : P p p p 3... p p d d elá hybns susay 3... ýsledná njší síla P p úpa leé sany nie, za pužií záladníh paidel deiai (suu funí, znine eli jednduhý zah, pdbný byejné phybé nii p (jeden hný bd : dp d. a ipulzá Slní yjádení : asá zna elé hybnsi susay hnýh bd (za jednu asu je na ýsledné njší síle. eb jina : Znu elé hybnsi susay je žn dsáhnu puze pí njšíh sil, j. sil psbííh z lí susay. Tedy jali elé síly niní (jaéli pahy ehanié, eleagneié, heié, a jaéhli haaeu síly psbíí palu, yhle, explsin, nidy nedážu zni elu hybns susay (i dyž sazej zní jednlié hybnsi hnýh bd. Pzn. : ezapee, že en ýznaný a jednduhý eeiý zah byl dsažen jen díy plansi eíh ewna zána - zána ae a eae. Bhužel fální jednduhs pní ipulzé y je yupena pliansí eliin na bu sanáh nie (jsu eny sue bséh pu jednliýh len u eálnýh les ádu gada ísla, a p aé není ihned zejé, jaý je její paiý ýzna. Siuae se íe yjasní epe p zaedení pju hný sed (žiš susay : 3

60 Uaže, že. ipulzé jsu lasn šehny njší síly nahazeny jedinu ýslednu silu - a šehny hybnsi susay nahazuje jediná ýsledná hybns. Puse se p aé šehny hné bdy nahadi jediný hný bde, eéu byh piadili ýslednu hybns a e eé by byl psbiš ýsledné síly. Ten yšlený hný bd - hný sed (žiš susay eý bude epezena elu susau hnýh bd, usí í nž definanu sji hns - jis ji plžíe nu elé hnsi šeh hnýh bd susay : 3... hns žiš Jesliže dále znaíe : plha (pdi žiš Pa žee sani yhls žiš ja deiai jejíh pdie : d d yhls žiš Taé hybns žiš žee sandadn pdle definie yjádi ja : d p d hybns žiš pdle ýhzí úahy se a hybns usí na elé hybnsi susay : p P hybns žiš je na elé hybnsi P dsazení na bu sanáh : d d d d pužií záladníh paidel deiaíh dsanee nii : d d d d Z nsi deiaí pa plyne ns funí ale až na liblnu nsanu : ns 4

61 Pi sandadní lb nulé nsany pa bdžíe bžn pužíaný zah p plhu hnéh sedu (žiš susay hnýh bd : plha hnéh sedu (žiš susay Pdn liblná nsana lasn znaenala, že za psbiš ýsledné síly by byl žn paža jaýli bd psu, ale lba nulé nsany pináší následujíí ýznanu lasns žiš susay hnýh bd : K jejíu bjasnní pužijee z. žišu susau suadni (žee ji znai S, j. au susau aézsýh s, jejíž páe O plžíe pá d žiš susay hnýh bd (iz b. : S 5 O 4 3 V é zažné susa je ale pdi žiš nulý : 0 edy plaí (p ynásbení nie hnsí : 0 yní ješ ynásbíe suu e zpaa - j. aždý její len - ee íhéh zyhlení : g 0 5

62 p pesunu saláu e eé suinu znine už eli názný zah : g 0 Pže suiny íhéh zyhlení a hnsí jednliýh bd jsu íhy h hnýh bd, žee nane napsa : G 0 náha en íhýh sil zhlede žiši Ten zah znaená, že sue en íhýh sil šeh hnýh bd susay zhlede žiši je nulý. Tíhé (gaianí síly jsu njší síly dané susay a dsááe a jednu z pdíne lidé náhy lesa (iz následujíí apila pliae ipulsýh. Ja následujíí apile dále uidíe, je duhu pdínu nážnéh sau ješ náha psbííh sil, edy nulý sue šeh njšíh sil, ž se dá zajisi pdepení lesa žiši (neb jeh zašení žiši - uaže, že í se nezní nuls en - pa susaa hnýh bd (les usí zsa lidu (iz b.. 6 G 6 Tžiš je a nážný bde lesa, p žee d nj jednduše uísi e (elé íhy lesa ja ýslednie gaianíh íhýh sil psbííh na šehny bdy lesa a bez ddaenéh siléh enu (en byh useli pida pi uísní íhy d njaéh jinéh bdu - iz p následujíí apila. Tedy : Tžiš lesa je nejjedndušší psbiš gaianí íhy lesa. aé : Tžiš je nážný bde lesa. 6

63 Dále uaže : jesliže jse definali žiš ja hný bd, e eé je susedna hns elé susay hnýh bd, jehž hybns je na elé hybnsi a na eý psbí ýslednie njšíh sil - p. a se sáá aé phybu nií h hnéh bdu - edy žiš susay : dp d p d d eb zapsán pí plhéh eu žiš : d d phybá nie žiš Slní yjádení : Tžiš se phybuje ja hný bd hnsi elé susay, na eý psbí ýsledná njší síla. Vyešení é phybé nie p žee zísa dáhu žiš susay hnýh bd (pípadn jeh ažiu yhls a zyhlení. Dáha jedinéh bdu, by bdu ýznanéh, neže še ppsa ben slžiý phyb elé susay - speifiéh pípadu, dyž by se šehny hné bdy susay phybaly sejný zpsbe (sejnu yhlsí na geeiy sejnýh daháh ja žiš. Taý phyb susay hnýh bd (lesa je pa zela uen phybe žiš a znauje se ja psuný phyb anslae lesa. Mžee edy nsaa : Pní a ipulzá, ja phybá nie žiš, uuje anslai susay hnýh bd. eb jina : Pní ipulzá a je phybu nií anslae. Dáhy hnýh bd lesa (a žiš hu bý pi anslai ja píaé (nap. zidl phybujíí se na píé dáze, a i iaé (nap. zašené ldiy na Rusé le, balisié yadl, uz píaé yši na baze. Oben je ale phyb les slžijší než puhá anslae : Všine si napílad aubilu jeduíh p silnii jeh žiš pi sie sleduje a silnie - phybuje se edy p njaé spjié ie dáhy, eá uuje žnu anslai, ale au ja ele zhdn anslai nená, neb jeh naáení pi znáh su jízdy je lasn lální aní phyb. S yužií znalsí geeii ie lze pjezd aua zaáu ppsa ja ai le sislé sy, eá phází sede píslušné sulaní užnie (iy dáhy žiš. Ten ppis ná sie zjen 7

64 uazuje zásadn dležiu spjis anslaníh phybu (žiš s phybe aní, ale jeh aeaié yjádení by byl eli pliané. Pzn. : eb dáhy žiš byh useli sani ješ dáhu sedu sulaní užnie, eá by asi pinesla njaé píže, napílad su nespjisí ( inflexníh bdeh dáhy žiš, a zhdn by neplail záladní a nie p ai li neineiální susa suadni spjené se sede sulaní užnie. ašsí je ale aé žné si naís é suené ae pedsai, že aubil zaáe ná anslaní phyb (daný phybe žiš a pi se suasn naáí - j. uje - le sislé sy, eá phází žiš. Uazuje se, že aý zlad benéh phybu (penéh lesa na anslai (danu phybe žiš a ai (le sy jduí žiš je ždy pedielný - u nejslžijšíh psýh phyb je sazej dáha žiš ena 3-znu iu a s aní sy je ben dlišný aždé ís é dáhy. Obený phyb lesa je slžený z anslae a ae le sy jduí žiš. Pzn. : ahazení aní sy jduí sede sulaní užnie yšlenu su žiši je pi jis eli ýhdná, neb u benéh iaéh phybu se plha sedu sulaní užnie i její pl neusále ní. Maeaiý daz nezáislsi é ae na anslai a z h plynuí jednznansi zladu benéh phybu je peden následujíí apile. aše pní ipulzá a ja phybá nie anslae edy ppisuje puze jednu ás benéh phybu susay hnýh bd (lesa. T znaená, že p ppis duhé ási benéh phybu susay - phybu aníh - bude ješ nun sesai njau analgiu phybu nii ae. el by bý zásadn bížný úl, pže jse již díe, apile Dynaia hnéh bdu ddili z. phybu nii p ai jednh hnéh bdu : db M d Ta nie jis plaí p liblný hný bd susay, ude si edy nejpe, ja áe fáln pesn defina en jeh hybnsi a en síly, eá na nj psbí : d b p en hybnsi -éh bdu susay d M en síly psbíí na -ý bd susay 8

65 9 Phybu nii p ai nyní napíšee p aždý hný bd susay ( njaé ineiální susa suadni a sejn ja pi dzení pní ipulzé y zdlíe psbíí sílu na niní a njší : ( M d db ( M d b d ( M d b d ( M d b d ( M d db ( M d db ( Dsááe a ele ni, eé p šehny seee dhady : j j j d db... d db d db d b d Pslední len na paé san je fáln zapsaný sue en šeh niníh sil naší susa hnýh bd. Ten sue je sejn nulý, a ja byl nulý sue šeh niníh sil, neb e aždéu enu njaé jednlié niní síly exisuje sejn eliý a pan ienaný en její eae (puse se dáza s yužií bázu : j j j O d j

66 Suá nie se edy zjednduší na a : db db db3 db... d d d d Jesliže dále n definujee elý en hybnsi susay hnýh bd a ýsledný en šeh njšíh sil ja : B b b b 3 b 4... b b d d elý en hybnsi M ýsledný en njšíh sil P za pužií záladníh paidel deiai znine z naší sué nie další eli dležiý zah, na pní phled dsi pdbný byejné nii p ai (jednh hnéh bdu - je dbé p zapaaání, ale nepehlédne dlišnsi : db M d. a ipulzá Slní yjádení : asá zna eléh enu hybnsi susay hnýh bd je na ýslednéu enu njšíh sil. Pdle pní y již íe, že jali elié niní síly (jaéli pahy a jaéhli haaeu nidy nedážu zni elu hybns susay - a nyní aé idíe, že y síly nedážu zni ani elý en hybnsi susay (i dyž sazej zní jednlié eny hybnsi hnýh bd. alezený zah duhá a ipulzá - á zásadní dležis zejéna pi zuání aníh phybu susa hnýh bd, piež pípad ae uhéh lesa le pené sy lze leu sanu nie ješ ýazn zjednduši (iz apila Dynaia uhéh lesa. Její néní pužií p ppis ae ja duhé ási benéh phybu susa hnýh bd pa bude speifián následujíí apile pliae ipulzýh. Mžee edy zjedndušen di : Duhá ipulzá a je phybu nií ae. 0

67 Ude si záe, že ja. u ipulzu a i.u jse zísali díy plansi eíh ewna zána (ae a eae a že plaí liblné ineiální zažné susa suadni. Ob ipulzé y jsu edy inaianní (nenné zhlede e Galile ansfai ja jina, ždy byly dzeny pí z ewnýh phybýh ni ne apily K. Rusá, eze 03/006 e. 0/007

68 pliae ipulzýh a zálad šeh ewnýh zán jse ddili da záladní zahy lasié ehaniy - ipulzé y eé ají zásadní dležis p sudiu ehaniéh phybu nejen ybanýh susa hnýh bd, ale lasn ešeéh hnéh sa le nás. V pní ad nyní dníe analýzu benéh phybu les, zapau inulé apile : a Obený phyb susay hnýh bd (lesa Dspli jse již zásadníu pznau, že bený phyb susay hnýh bd (lesa lze yi ze du elain jednduhýh phyb anslae a ae le sy jduí žiš. Tanslai lesa e zlené (ineiální susa suadni pa dnale a bez pblé ppisuje pní ipulzá a. Jesliže si dále udíe, že duhá ipulzá a ppisuje ai le sy jduí páe zlené (ineiální suadné susay, p edy p pžadanu ai le sy pházejíí žiš usíe u ipulsu u napsa a pužía aé zažné susa suadni, jejíž páe leží žiši a je pee naše znáá a (p sanení náhy gaianíh sil již inulé apile pužiá - žišá susaa suadni. nyní d naazíe na jednu zásadní píž : duhá ipulzá a byla dzená a plaí puze ineiálníh susaáh - ale žišu susau nelze ben paža za ineiální, neb žiš ja hný bd se pd lie njšíh sil že phyba p liblné iaé dáze, j. s liblný zyhlení. Musíe p zjisi, ja se zní duhá ipulzá a neineiální žišé susa edy aé ja se zní phyb, eý en zah ppisuje (ae le sy jduí žiš - záislsi na zyhlené phybu žiš (j. na anslai lesa. Sun een ja záisí aní phyb (le sy jduí žiš na anslai lesa. Pedee p nyní ped - ansfai - duhé y ipulzé d žišé suadné susay : ejpe napiše znáý sandadní a. y ipulsé njaé ineiální susa suadni S : db M d Dále usíe dsadi za elý en hybnsi a ýsledný en njšíh sil. Pdle defininíh zah (z inulé apily plaí :

69 3 d d b b... b b b B 3 3 M... M P dsazení pužijee nén pslední ýazy na paýh sanáh, eé bsahují pdie, a dsanee : d d d d nyní peedee en zah d žišé susay suadni S (iz b. : S O Pipee si bený pední zah ezi pdii hnéh bdu bu susaáh, eý jse ddili apile Ineiální a neineiální susay : R Jesliže uážíe, že ee R spjujíí páy bu susa je zde pdi žiš, pa p aždý hný bd žee psá (iz b. : en zah dsadíe d ýše pipaenéh au. y ( áeu :

70 3 ( d d( ( d d Upae ýaz na leé san znásbení djlen : d d d d d d d d d d d d d d d d Ve duhé lenu pedee ynuí a e eí lenu pesunee saláy (hnsi a aé ynee : d d d d d d ( d d d d d d d d d d yní je zejé, že ba y leny usí bý nulé, neb žišé susa ždy plaí (iz ýše lasnsi žiš : 0 a leé san nie edy zbudu jen da leny : ( d d d d d d d d Pauje dále úpaáh pedení deiae pníh lenu leé sany a znásbení djlenu na san paé : d d d d d d d d d d Pní len nale je p nulý (nbžné ey a znilý duhý len se yuší s pní lene paé sany, ja nahlédnee p ynuí a s yužií phybé nie žiš (j.. y ipulsé : d d d d d d Dsááe edy (již bez záe : d d d d

71 Cž je fáln naps sejná nie ja ýhzí zah, puze áanýh suadniíh, j. suadniíh žišé susay : db M d Vidíe, že z ddu speifiýh lasnsí hnéh sedu se a duhé y ipulzé p pehdu d S be neznil - en fyziální zán je edy inaianní pi ansfai d žišé suadné susay - a é susa pa ppisuje ai zhlede se jduí páe susay žiš. Jina een : pže se phyb žiš na ýsledné zahu be nepjeuje, neá edy li ani na phyb, eý en zah ppisuje, neb-li : Vlasní phyb žiš neá li na ai susay hnýh bd le sy jduí žiš. ješ jina een : aní phyb susay hnýh bd le sy jduí žiš (eý ppisuje. ipulzá a je zela nezáislý na lasní phybu žiš (ppsané. ipulzu u j. na anslaní phybu lesa.. Ten pinipiální pznae lze pa eli úinn yuži pi ppisu a sledání phyb susa hnýh bd : Jaýli bený phyb susay hnýh bd (lesa je ždy žné ppsa ja slžený ze du dílíh jednduhýh nezáislýh phyb, a : z anslae - psunéh phybu lesa, eý je uen lasní phybe žiš - ja hnéh bdu hnsi elé susay na eý psbí ýsledná njší síla. Pi phybu se šehny hné bdy susay phybují sejný zpsbe (sejnu yhlsí na (geeiy sejnýh daháh ja žiš. P nalezení h phybu je peba yeši phybu nii žiš j. pní u ipulzu : d d z ae - aníh phybu lesa le sy jduí žiš zpsbené ýsledný ene njšíh sil. Ke sanení h phybu je peba žišé susa eši. u ipulzu : db M d 4

72 sa ae dáha žiš T T T Psuduje dále nli speiálníh apliaí bu ipulzýh, de zísanýh znalsí bené phybu susa hnýh bd dbe yužijee : b Rnáha lesa (lidá Rnáhu lesa byle zžujee s jeh lidý sae (lze ale aé eši i náhu phybujííh se bjeu, napílad ylisy zaáe. Klidý sa lesa še znaená, že nedhází ani e anslaníu, ani aníu phybu lesa, j. usí bý na nule ja hybns, a i en hybnsi : P 0 B 0 asé zny nulýh funí jsu sazej aé nulé : dp db 0 0 d d z ipulzýh pa plyne i nuls suu šeh njšíh sil i suu šeh en h sil : pdíny náhy lesa M M M M 3... M 0 Rnáha lesa yžaduje a nejen nulu ýslednii njšíh sil ale aé nulý ýsledný en njšíh sil (sazej zhlede žiši - ale uaže, že neexisene aníh phybu usí znaena i nulý silý en zhlede liblnéu bdu. Rnáha lesa znaená nejen náhu njšíh sil, ale i náhu jejih en. Uedené zahy jsu zálade saié ehaniy (saiy 5

73 Uzaená (izlaná susaa Taé znaení pužíáe p susau hnýh bd, na eu z lí nepsbí žádná njší síla. Je edy nulá ja ýslednie njšíh sil, a ýsledný njší silý en : 0 M 0 esíslné nžsí apliaí pa yužíá h, že uedené zahy hu bý splnny i e speiální pípadu - dy na susau bude psbi íe njšíh sil (iniáln d, sie nenulýh eé ale budu í dhady nulu ýslednii a aé nulý ýsledný silý en ( jsu lasn pdíny náhy lesa pdle pedhzíh dsae :... 0 M M M M... M Pdle ipulzýh jsu pa aé nulé asé zny elé hybnsi (aé hybnsi žiš, eá se jí ná a eléh enu hybnsi : dp dp db d d d apliae záladníh znalsí deiaíh ná dáá jednduhý ýslede asu nenns h eliin : P p p p3... p ns. zán zahání hybnsi B b b b3... b ns zán zahání enu hybnsi p ns zán seansi (žiš Ty zány as užují ešení plianýh phyb susa hnýh bd, aniž by byl nun deailn sleda hání jednliýh bd. Pzn. : Sa lidé náhy lesa je zej speiální pípade nalezenýh zán zahání, p nulu hdnu paýh san. 6

74 d ialenní susaa sil Vnjší síly psbíí na njaé les hu bý aé pdle peby nahazeny jiný sube sil, eý ale usí í na les sejný phybý úine j. bude yáe sejný aní i anslaní phyb. Z h še pa pdle ipulzýh plyne, že a ná susaa sil usí í sejnu ýslednii a aé sejný ýsledný silý en ja pdní njší síly (zhlede e sejnéu bdu. Speiáln p, pi eli asé pžadau na axiální zjedndušení njšíh sil, žee jali pený sub sil nahadi jedinu silu - jejih ýslednií (eý sue a žee ji uísi liblné ís a jediný silý ene elisi né ýslednéu enu pdníh sil zhlede u pžadanéu bdu. P edy - jesliže za psbiš jediné ýsledné síly zlíe bd náhy lesa - i nuž ají pdní síly ýsledný en ný nule, bude eialenní susau sil i puze a jediná ýslednie. alezení aéh zažnéh bdu je p nunu suásí nádu na sládání nbžnýh sil, eé jse pádli již na sední šle. Speiáln gaianí pli (Ze je bde náhy žiš lesa, pže jse inulé apile ddili, že sue en íhýh sil šeh hnýh bd je zhlede nu nulý : G 0 žiš ja bd náhy gaianíh sil Výslednie gaianíh sil íha lesa - á edy žiši psbiš bez jaéhli pídanéh siléh enu. Pi ddžání sejnýh pinip lze sazej pád aé paný pes - zlad íhy lesa (napílad íhu njaéh nsníu zlžíe na jednlié pné pilíe. V néníh ehniýh apliaíh ale zažný bd šinu není žn zli, je již uen napílad suenu su ae a neusí be bý nážný bd - pa je še ždy nezbyné pipji ýslednii sil aé nenulý silý en. K jeh yení se as pužíá z. djie sil, j. d sejn elié, pan ienané síly, neležíí na sejné píe (iz b.. 7

75 d O Výhda je zejá pipjení djie sil se nezní ýslednie šeh sil - a naí - její silý en je sejný i jaéuli bdu psu (puse se daz : M d en djie sil Ta napílad i jen jedinu na les ( ís psbíí sílu žee nahadi jinu silu sejn eliu, ale psbíí jiné ís B - jde edy lasn psunuí síly d jinéh psbiš, ale usíe pipji djii sil se sejný ene ja la pdní síla zhlede u néu bdu (iz b.. d ne apily K. Rusá, eze 03/006 e. 0/007 8

76 Dynaia penéh lesa Dále se budee pdbnji na uhé susa hnýh bd ja delu penéh lesa. Ten speiální pípad susay hnýh bd lze jednduše haaeiza nennýi zdálensi ezi jednliýi bdy, eé jsu dslede jejih nsanníh pdi. Tžiš uhé susay á edy aé nennu, nsanní plhu : ns. žiš uhéh lesa P phyb penéh lesa sazej plaí šehny nie, dzené pedhzíh apiláh p benu susau hnýh bd : Pi sudiu hání lesa za znýh pdíne lze ýhdn yuží zladu benéh phybu lesa na psuný phyb daný phybe žiš a na aní phyb le sy jduí žiš. Rnž jsu plané z benéh phybu dzené pdíny lidé náhy lesa, dy nedhází ani anslaníu, ani aníu phybu lesa. Sejn a žee yužía zahy dzené p izlanu (uzaenu susau, na eu nepsbí žádné njší síly. sazej pužíáe aé eialenní susay sil, eé ají sejnu ýslednii i sejný ýsledný silý en ja pdní njší síly. Dále si uážee, ja nenný a les užní zaedení né fyziální eliiny - enu seansi lesa - a ja a eliina ýazn zjednduší duhu ipulzu u. ejpe se budee zabýa ineiu enegii lesa s yužií pá znalsí zladu benéh phybu na phyb anslaní a phyb aní. ejjedndušší jis bude ýpe pípad anslae lesa : Kineiá enegie pi psuné phybu lesa, dy se šehny jeh bdy phybují sejnu yhlsí ja žiš, j. plaí : Kineiu enegii lesa p ypíáe, s yužií h zahu, ja sue ineiýh enegií šeh hnýh bd (dále bude ynu adá yhlsi :

77 in W Jesliže pužijee zah p elu hns lesa, dsanee nane : in W ineiá enegie lesa pi anslai Z h zahu je zejé, že ineiá enegie lesa pi anslai je na ineié enegii žiš. Pnud slžijší než u anslae jsu ždy ýpy spjené s aí : Kineiá enegie pi aní phybu lesa le sy pházejíí žiš (a pedpládeje ja díe nejjedndušší pípad pené sy, eá bude sazej p yjádena ja sue ineiýh enegií šeh hnýh bd, s yužií znáéh zahu p bdu yhls uhéh phybu: α R 0 s P ýpe ineié enegie pebujee še jen elis h eu (iz b. : R sin α de R je pl uhéh phybu, j. lá zdálens hnéh bdu d sy ae. Kineiá enegie šeh hnýh bd edy bude (dsadíe a ynee nsany: in R ( R ( W

78 yní je pá as p zaedení né fyziální eliiny : J R en seansi lesa Pzn. : Pšine si, že a salání eliina je uena zlžení hnýh bd zhlede dané se áení, pi jiné se áení (u sejnéh lesa nabýá edy zela dlišné hdny. Vznilá pnud nepehledná siuae, dy jedn les á lasn nenen nh en seansi (p nenen nh žnýh s ae, pa byla eeié ehanie yešena zaedení enzu seansi. S yužií enu seansi pa zah p ineiu enegii ae nabude jednduhéh au, eý je fáln pdbný zi p anslai : W in J ineiá enegie lesa pi ai Cele pa, p bený phyb lesa, lze ineiu enegii yjádi ja sue bu pedhzíh ýaz p enegie jeh anslaníh a aníh phybu : W in J ineiá enegie penéh lesa (pi bené phybu Ja ale zísáe pebné eliiny ( a p dsazení d é nie? Bude nun nají a yeši phybé nie lesa - p jeh phyb anslaní i aní : Z pedhzíh apil íe, že anslae lesa je uena phybe žiš. P yhls anslaníh phybu lesa, nu yhlsi phybu žiš, zísáe yešení phybé nie žiš, eu již znáe z benýh zah p susau hnýh bd : d phybá nie žiš d Pzn. : Pipee, že uedená nie znila z pní ipulzé y pé, dyž jse definali žiš a piadili jse u lasnsi elé susay (lesa hns, hybns a psbíí sílu. Tžiš lesa se pdle é nie phybuje ja hný bd hnsi eléh lesa, na eý psbí ýsledná njší síla. Phybá nie žiš je p pní phybu nií lesa. 3

79 Dále už aé íe, že exisuje aeaiý zah ppisujíí aní phyb lesa : db M d. a ipulzá Pznali jse, že a nie byla sie dzena p ineiální suadné susay, ale že náhdu (z ddu hdn zlenýh lasnsí žiš plaí aé susa žišé - a že edy ždy jednznan ppisa ai le sy jduí žiš. Pebná úhlá yhls se é nii ale pí neysyuje, naší další úle p bude ansfae.y d nýh pnnýh úhlýh eliin : apíšee záladní a.y ipulsé s zepsání jednliýh en hybnsi : d d b M pedee zlad šeh e d slžy nbžné s su ae a d slžy lé é se - spán psu lasn d du slže lýh se ae - še na bázu pedené plpespeiní zbazení je p jednduhs zaeslena puze jediná lie se (duhá by edla l náesn, sejn a i nie bsahuje puze jednu lu slžu : d d ( b b M M ε s R M M b α b α b T0 M 4

80 5 Leu sanu upaíe pdle paidla deiai suu funí : M M b d d b d d Osy slže jsu pípad pené sy ae sabiln saneny (je lasn náš aézsý žišý suadný sysé, p slžy e i jejih asé zny ají sejný s (h s. Z nsi e na paé a leé san nie pa plyne i ns jejih slže, edy plaí : b M d d b M d d Vnuje se dále nbžný slžá : Vypíeje nbžnu slžu enu hybnsi liblnéh hnéh bdu (psaí její elis : R sin ( sin sin b b α α α Pužijee ješ zah p elis bdé yhlsi uhéh phybu : R sin α P její dsazení bude nbžná slža enu hybnsi : R R R b Pže na leé i paé san nie jsu elisi nbžnýh e, lze psá u nii e : R b Ten zah pa dsadíe d nie p asu znu nbžné slžy enu hybnsi : b M d d upaíe její leu sanu s yužií definie enu seansi lesa p ai le dané sy : ε J d d J J ( d d R ( d d R d d b d d Vzniá a jednduhá nie, fáln pdbná (dbé p zapaaání byejné ewn phybé nii :

81 J ε M phybá nie p ai lesa le pené sy Slní yjádení : úhlé zyhlení aníh phybu lesa je pí úné nbžné slže ýslednéh enu njšíh sil (a nepí úné enu seansi lesa. Oddili jse a : duhu phybu nii lesa e speifié f p aní phyb le pené sy jduí žiš lesa (bsý pe ehniýh apliaí ša ddáá é zjedndušené nii ysý supe dležisi. Pzn. : Klá slža (lé slžy enu njšíh sil se snaží puze zni plhu sy ae (yái ji, u eeié pené sy še bezýsledn. Pehd eálnéu lesu Již dán je zná, že eálná lesa se sládají z a (leul, in zeh pibližn 0-0, ž je jis eli dbá pedsaa susay hnýh bd. Jejih bsý pe - ádu gada ísla (0 3 na l - sie paiy znežuje ýpy aeaiýh su (su, dlí ná ša pedsau hy ja azispjiéh psedí. Pa lze defina eliinu ( dv je zlený liblný nepaný eleen bjeu a d je jeh hns : d ρ dv husa hy Slní yjádení : husa hy je (íseln na hnsi jednéh bjeu dané ís zuanéh lesa (ben je salání fune ísa. P les zdlené na eliý (nenený pe bjeýh eleen je lasn liiní pípade susay hnýh bd hnseh : d ρ dv šehny díe pbané aeaié suy peházejí é lii nenenéh pu bjeýh eleen na uié (bjeé inegály, napílad : ρ dv elá hns lesa V 6

82 ρ V dv žiš lesa J V R ρ dv en seansi Ty inegály, eenuáln i další pdbné ýazy p elu hybns a elý en hybnsi, hu bý sazej apliány nejen na pená lesa, ale i na azispjié psedí apalin a plyn (dy še neá sysl napílad eliina enu seansi. Dpln : Seinea a Již pi zaedení enu seansi jse si udili jednznanu záisls é eliiny na zlžení hnýh bd susay (lesa nén na jejih zdálensi d uažané se ae. Je zejé, že s suí zdálensí lesa d sy ae, se en seansi ýazn zyšuje (e zi jsu adáy zdálensi hnýh bd d sy a neezen a napa pi pibližání lesa aní se usí lesa njaé nenulé iniální hdn ( neeálnéh pípadu, dy by šehny hné bdy lesa ležely pesn se ae. Pi zbu h pbléu se p pjeí ýjiens hnéh sedu lesa, pže pi zadané su j. p šehny žné nbžné sy ae - je nejenší pá en seansi se pházejíí žiš. Pedsae si edy njau su ae a jinu su ae s ní nbžnu (iz báze : ' z a x R R y z T α 0 x y 7

83 8 Pdle definie plaí p en seansi zhlede se (iz pní ás é apily : R J de R je lá zdálens hnéh bdu d sy ae. P p en seansi zhlede jiné nbžné se bude plai analgiy: R ( J Klu zdálens R sejnéh hnéh bdu d duhé sy ae yjádíe s yužií suadni na bázu : y x a ( R ( Ten ýaz žee upai unní a sesupení len : x a R a y a x x a y x a ( R ( eb pdle bázu plaí : y x R yní dsadíe d zahu p áaný en seansi, znásbíe a zdlíe leny : x a R a a x R a ( R ( J V pní a eí lenu na paé san lze ynu nsany : x a R a J Dále žee pní lenu seís hnsi šeh hnýh bd d elé hnsi lesa, duhý len je pí pdní en seansi i se jduí žiš a eí len je nulý, neb žišé susa plaí eá nie (plynuí z nuléh pdie žiš : 0 a nie je eialenní e salání nií p jednlié suadnie : 0 x 0 y 0 z Dsááe a jednduhý zah :

84 J J a Seinea a Ten zah ná dbe dazuje iniální hdnu enu seans p su jduí žiš, neb jaáli jiná (nbžná sa á en seansi zšený suin hnsi lesa a adáu zdálensi bu s (ž je lasn en seansi žiš lesa se ae. Seinea a aé ýazn zjedndušuje ýpy en seansi liblný aní sá (pi znalsi eny seansi i sá jduí žiš lesa. Dpln : Kyadla yzié yadl azýáe a jaéli les, eé je né (ideáln bez ení le pené dné sy nepházejíí žiš. Je jasné, že lidé nážné plze je žiš lesa nejnižší žné plze (a je ís jeh sabilní náhy. Jesliže yadl z nážné plhy yhýlíe (d njaé ajní plhy a následn ulníe, bjeí se en njší síly (íhy lesa, eý psbí pi ýhyle a aí yadl zp d nážné plhy. Bhe h phybu se še peniální enegie yadla znilá jeh yhýlení peuje pdle zána zahání ehanié enegie na enegii ineiu, aže se yadl dlní plze nezasaí, ale pauje phybu na duhu sanu, dud se jeh ineiá enegie zase nepení zp na enegii peniální (e duhé ajní plze a p se aí nážné plze,.ad. - a zniá peidiý iaý phyb yadla. Ten phyb je še pinipiáln phybe aní, a edy pi jeh exaní (aniainí ešení usíe yháze z nie p aní phyb lesa le pené sy : J ε M ejpe uíe s a ienai eýh eliin é nii, pi yužijee naših znalsí eéh zápisu úhlýh eliin (z apily Kineaia hnéh bdu. a následujííh bázu (eý je p ší názns pespeiní zbazení je yadl zaeslen pi ýhyle dpaa, dy žiš supá d paé ajní plhy. 9

85 ε M M 0 ϕ ϕ ϕ z sa ae l T G Páe zažné ineiální susay O je uísn na pené aní se (d eé žee plži jednu ze suadnýh s, napílad su z, plhý e žiš T je znaen ja l. Kladný s deu psanéh úhlu je sandadn zlen pi su hdinýh uie (iz b.. Záladní ýhdu pené sy je, že ní leží šehny eé úhlé eliiny ujííh lesa (j. šeh jeh bd e psanéh úhlu ϕ, úhlá yhls a úhlé zyhlení ε. Pi yhlsi žiš pdle bázu (les se pá yhyluje z nážné plhy dpaa a jeh žiš supá zhu je ladná ienae e a ϕ definána pdle sandadní lby - aby splu s ee plu uhéh phybu (zde l a ee yhlsi ily paiý sysé - j. ba ey sují z náesny ná ( pespei na bázu zpaa dlea a sejn a zlíe ladný s (aní sy z. 0

86 Rae lesa se še zpaluje (a nane se paé ajní bd zasaí, úhlá yhls edy lesá p je ienae eu úhlé zyhlení ε pá paná zápné su sy z (d náesny, iz b.. Pznáa : Zpauje si za D.. eé definie úhlýh eliin a pyslee, ja se budu pi další phybu yadla ni jejih elisi i ienae. Ja íe z pedhzí apily, je pá žiš nejjedndušší psbiš íhy lesa, eá je jedinu njší silu. Její en je pa : M l G Uážíe-li pdle bázu, že ba ey l a G leží jedné in (náesn, lé se ae, pa pdle definie eéh suinu aé e siléh enu á pesn s é sy (iz báze. Je edy e siléh enu pí en sé slže nbžné s su ae (a aé sazej sjí z é slže M M jeh elis je (ja elis eéh suinu : M M l G sinϕ l g sinϕ Oienae h eu je ale paná než ienae eu úhlé yhlsi a psanéh úhlu ϕ - á s zápné ási aní sy, j. sy z (suje d náesny, iz báze. P je jeh z-á suadnie zápná a absluní elisi ná elisi eu (suadnie na saníh sáh x a y jsu sazej nulé, edy : ( M z ( M z l g sinϕ Vidíe aé, že ienae nbžné slžy enu síly je naps sejná ja eu úhléh zyhlení ε - ba ey edy ají zápné z-é suadnie (a nulé suadnie x a y. Ty ýsledy jsu dnalé shd s phybu nií (ja jina : J ε M pže pi ždy ladné enu seansi J znaená a nie píu úu e ε a M - j. jejih sejný s a ienai. byh hli phybu nii p ai nén yeši, usíe ji zepsa d suadni :

87 Pže suadnie e již áe zyšlené, je ná jasné, že dsanee jedinu nenulu nii, p z-é suadnie : J ε l g sinϕ Úhlé zyhlení žee sandadn yjádi ja duhu deiai psanéh úhlu : d ϕ J d l g sinϕ Peedení na leu sanu a sasanní duhé deiae ede e sandadníu au difeeniální nie : d ϕ l g sinϕ 0 d J Pud zaedee nu eliinu : l g J a pužijee aeaiéh falisu p znaení deiae, znine nejjedndušší žný a nie : ϕ sinϕ 0 phybá nie fyziéh yadla (bená Její ešení není jednduhé, nebudee h pád, aé z ddu, že zásadní ýzna á zjedndušený a é nie za pedpladu alýh ýhyle yadla (aeaiy nenen alýh, j. : ϕ 0 Pa iž plaí p funi sinus : dsanee : sin ϕ ϕ ϕ ϕ 0 phybá nie fyziéh yadla (p alé ýhyly Ta nie je fáln aeaiy sejná s nií lineáníh haniéh siláu, eu budee epe pbía apile Kiy a lny. y y 0 Pi si uážee, že její bený ešení p ýhylu y hnéh bdu je znáá sinusa : y y( sin( ϕ V zahu je apliuda i - axiální hdna ýhyly, je fázá nsana a je úhlá feene yjádená pí dby iu T neb pí feene i f :

88 π π f T ešení naší phybé nie fyziéh yadla edy usí aé bý fáln sejná sinusa, ale p úhlu ýhylu : ϕ ϕ( sin( ϕ ešení phybé nie yadla (p alé ýhyly yzié yadl edy pi alýh ýhyláh ná z. hanié iy s úhlu feení : l g J úhlá feene fyziéh yadla (p alé ýhyly Dba iu fyziéh yadla je pa : T π π J l g dba iu fyziéh yadla (p alé ýhyly Dba iu je asu peidu phybu danéh iaéh phybu, j. dbu za eu se pauje njaý (liblný phybý sa - u yadla ji lze názn ppsa ja dbu phybu yadla z jedné ajní plhy d duhé a zp. as se aé pužíá eliina dba yu ja dba, za eu se usuení jeden y, j. phyb yadla z jedné ajní plhy d duhé : T T J π l g dba yu fyziéh yadla (p alé ýhyly ezapee, že uádné zahy plaí pesn puze lii p nenen alé ýhyly yadla. Pi nenulýh ýhyláh se y dby dhylují, nap. : pi apliud i.. 0,00 % ,05 % , % Pi paiýh expeieneh (ení se dpuují axiální ýhyly (apliudy d 5. Speiální, ezní pípade fyziéh yadla je z. aeaié yadl, eé í alá ulia hnsi na eli lehé zásu dély l, eeiy žee íi, že je hný bd na nehné uhé lán (iz báze. 3

89 0 ϕ l G Všehny ýše uedené ze zsáají plansi a naí žee lehe ypía en seansi h yadla (iz definii pní ási é apily : J R l P dsazení d zahu p dbu iu dsanee : T J l π π π l g l g l g Dsááe a eli zajíaý ýslede, že iání aeaiéh yadla be nezáisí na hnsi, ale je funí puze dély jeh zásu : T l π g dba iu aeaiéh yadla (p alé ýhyly Další eliinu (paaee zísané zahu je gaianí íhé zyhleni (gaianí nsana, nasýá se a žns jeh sanení ze zené dby iu a z dély zásu yadla. Pže aeaié yadl je spíše absaní eeiý pje a pusy jeh ealizai edu ýazný nepesnse, pužíá se aéu ení gaianí nsany yadl fyzié. Záladní neýhdu fyziéh yadla je še, že d ze p dbu iu pebujee znals enu seansi. T lze ale bejí následujíí zpsbe : 4

90 Jesliže áe dispzii fyzié yadl s ene seansi J (a dalšíi paaey a l a yadl á uiu dbu iu pdle ýše uedenéh zahu : T π J l g Pa jis exisuje njaé (a jediné aeaié yadl s au délu (znae ji l ed, že jeh dba iu je sejná : T π l g ed Z nsi h zah pa plyne : l ed J l eduaná déla fyziéh yadla Sln : Reduaná déla fyziéh yadla je aá déla (yšlenéh aeaiéh yadla, eé á sejnu dbu iu ja dané fyzié yadl. Pi její znalsi byh pa jis hli ze zené dby iu yadla ui gaianí íhé zyhlení dané ís. Reduanu délu jaéhli fyziéh yadla lze jis pinipiáln ypía pdle uedenéh ze z hnsi yadla, z jeh enu seansi a ze zdálensi žiš d sy áení. Taý ýpe by ale byl zaížen znanu hybu, plynuí z pesnsi zení au yadla, pesnsi jeh ýby a z lasnsí pužiéh aeiálu (hgenia, p se sanení eduané dély pádí následujíí expeienální psupe : Pedsae si, že u danéh fyziéh yadla e zdálensi l ed d sy áení (na panu sanu d žiš yíe duhu su áení znine z. eezní yadl (yadl se da sai. Pa je žn dáza, že dba iu le é duhé sy bude pesn sejná ja le sy pní. Pzn. : Puse se sai ddi - uaže, že eduaná déla p iy le duhé sy je sejná ja p pní su, pi pužije Seineu u. Je edy aé zejé, že liblné se ae fyziéh yadla ( sy jduí žiš ždy exisuje duhá eezní sa se sejnu dbu iu. Každé fyzié yadl (j. aždé les á p nenen nh žnýh dji aníh s se sejnýi dbai iu (dba iu jedné djie s se sazej liší d dby iu jiné djie. 5

91 Pá u úahu žee dbe expeienáln yuží : dyž u danéh fyziéh yadla naleznee jaéli d zné sy, eé ají sejné dby iu, pa jejih zdálens je ná eduané déle h yadla. Ty hdny žee pa dsadi d ze p aeaié yadl : T π l g ed z nj lehe ypíáe gaianí íhé zyhlení : g 4 π l T ed Hledání du s se sejnýi dbai i je še aé jis zaížen nhýi nepesnsi, neb usíe psuna sy, nla jejih nbžns a i jejih zdálens (a dby iu. P se paxi psupuje a, že y sy se pede ybí a pesn se saní jejih nenná zdálens. Pi expeienu se pa í puze dby iu le bu s a ní se en seansi yadla (njau psunu ásí na yadle, až se nalezne shda jejih db iu (a a dba se splu se zdálensí s dsadí d uedené nie - iz úlha e fyziální paiu (ne apily K. Rusá, eze 03/006 e. 03/007 pidán Dpln (Seinea a a Dpln (yadla 6

92 Záladní psuláy a Lenzy ansfae D zálad sé speiální eie elaiiy (905 plžil lbe insein puze da jednduhé pinipy (psuláy : Všehny fyziální zány ají e šeh ineiálníh susaáh sejný a (usí bý inaianní Ryhls sla e auu je e šeh ineiálníh susaáh nsanní (bez hledu na yhls zdje a pzaele Je zejé, že lasié fyzie záladní eleagneié zány - Maxwelly nie - pi pehdu z jedné ineiální susay d duhé zní sj a (ždy jen napílad ze saináníh nábj jedné suadné susa se duhé susa sanu pudy. Maeaiy pa aý pehd ezi da ineiálníi susaai ppisují Galiley ansfae. Je p jasné, že pušení pníh inseina pinipu zpsbují pá y ansfaní zahy. z' z S x' O R x y y' Pipee si jejih a. V lasié ehanie jse je ddili za pedpladu, že se jedna ineiální susaa S phybuje i duhé ineiální susa S psuný (anslaní phybe nsanní unášiu yhlsí u (a že páení nulé ase b susay splýají :

93 x y z x u y u z u x z y Galiley ansfae Jednduhu deiaí pdi jse aé nalezli zah ezi yhlsi bu ineiálníh susaáh : u sládání yhlsí ( lasié ehanie Je zejé, že pi plansi é nie je pušen i duhý insein pinip. Kdyby se iž phybal selný papse susa S pdél sy x yhlsí, pa by susa S byla jeh yhls jiná než yhls sla : u Tedy : P splnní psulá speiální eie elaiiy budu use pehd ezi ineiálníi susaai ppisa jiné ansfaní zahy. Pusíe se je nyní ddi píý pužií bu inseinýh psulá p nejjedndušší siuai du ineiálníh susa - dy unášiá yhls je nbžná se splenýi zbýajíí sy jsu nbžné (iz b. : x-ýi sai a z S z' O R x x' y y' P budu í lasié Galiley ansfae a :

94 3 z z y y u x x Galiley ansfae (zjedndušené Ty nie lasn pedsaují aeaiy nejjedndušší zah lineaiy ezi pnnýi eliinai psýh suadni a asu, eý zauuje jednznané piazení ís a as - z. událsí - bu susaáh. Pedpládeje, že ný zah p x-é suadnie aé bude yjada lineání zah ezi nii, ale s jiný efiiene : u x ( x Tansfaní zah je aé fyziální záne, p pdle pníh inseina pinipu usí í báený ansfaní zah (p duhu susau sejný a se sejný efiiene (puze s paný znaéne unášié yhlsi, neb a yhls je z hledisa duhé susay, j. S i S aé paná : u x ( x P znu nsí u suadni saníh du s, lýh na s unášié yhlsi, nebyl nalezen žádný fyziální dd, p bude sále plai : z z y y asé suadnie ša zhdn sejné nebudu. Jesliže iž dsadíe za áané x z pní nie, dsanee : u u x u u x ( u u x ( ( x Vznilá nie užuje yi zjen neiiální pední zah ezi asy bu susaáh : x ( u V následujíí u pužijee duhý insein psulá nenné yhlsi sla. Využijee aé již díe uedený pedplad, že b susay jsu žné na páu de bu as, j. p :

95 0 eh ase nula ís jejih splenýh pá zablesne ýbja a bu susaáh je pa ena yhls sla, eé se pdle duhéh pinipu usí šíi ždy sejnu yhlsí - a sejnu e šeh seh - p aždé susa bude pzána sejná selná ule - j. ulá lnplha eleagneiéh lnní (iz. b.. S S Když edy bude susa S zen njaé ase pl é ulé lnplhy - ž je lasn dáha sla za en as na liblné papsu, yházejíí z páu, napílad i na se x pa usí plai : x Pže susa S je yhls sla sejná, usí p áané suadnie plai analgiy : x D é nie dsadíe z pedhzíh zah : ( x u ( ( u x Upaíe p ýpe x-é suadnie : x ( u u dsanee : 4

96 5 ( ( u u u u x Pnání zísané nie se zahe p pl selné ule susa S ná dá pdínu p elis zlu : ( u u Z ní pa psupn dsááe : / u u u / u u ( u ypíáe neznáý efiien : u u P dnní : u u P dsazení h ýsledu d pedhzíh ni p x a dsanee ansfaní zahy ezi ineiálníi susaai e speiální eii elaiiy : u x u u u x z z y y x Lenzy ansfae

97 Ja jse již uážili, ansfaní zahy p báený ped suadni usí bý fáln úpln sejné, liší se puze znaéne unášié yhlsi : x x u u y y z z Lenzy ansfae inezní ux u Ty ansfaní zahy byly pn bjeeny Kaee ( pnud dlišné au 80. leeh 9. sleí pi zbu lné nie, pa je ddil Hlland (900, dyž zual pdíny inaiane Maxwellýh ni ineiálníh syséeh a inenzin je pužíal Lenz pi zíjení sé elené eie eleagneiýh je phybujííh se leseh (904 a aé Pinae (906. Lenz (Hendi nn ša z h ansfaníh zah neydil žádné zásadní záy, snažil se je ysli ái lasié fyziy. Za jedinu spánu ineiální susau, s jedin spánýi suadniei, pažal sále lidý absluní ps, e eé plaí záladní a Maxwellýh ni. V saníh ineiálníh susaáh, eé se phybují i absluníu psu, jsu pa suadnie nespáné, zeslené zaání íe a zpalání hdin (eé aeaiy plynu z ansfaníh zah. Zásadní ped udlal až lbe insein, dyž zahnul ýluns absluníh psu a asu a pládal šehny ineiální susay za nenné p (nejen eleagneié zány a suadnie h susaáh pažal za bjeiní a spáné. Vzájená suisls psýh a asýh suadni a jejih záisls na phybé sau suadnéh syséu - pa p inseina znaenala zela né pjeí psu a asu, eé sazej linil zásadní zpsbe fyziální baz eléh našeh sa. Díe než se budee bdia úžasný elaiisiý efe, seznáíe se s záladníi pužíanýi pjy eie elaiiy a šinee si nlia píýh dsled Lenzýh ansfaí : Susaa suadni je sazej pedeší aeaiý pje, eý jse pznali nejpe analyié geeii ja (aa nehný sysé naýsanýh píe a íe. Všehny fyziální eliiny pínaje délu, ase, ad. jsu ša eliinai ielnýi, j. usíe nih ždy uaža suislsi s ealizaí jejih zení. 6

98 yziální susaa suadni je edy zej njaá ehaniá susaa iíh yí jis nezanedbaelné hnsi, pže bude asi bsaha nh dalšíh nsuníh p ja zné zpy a píy, eé usí zajisi, aby se ií ye nephýbaly a aby síaly pedepsané úhly. Dále usí suadniá susaa bsaha pesné hdiny p ení asu, ja dále uidíe, ne puze jedny. esíe zapenu na zajišní paníh a žiníh pdíne p píns njaéh ainíh iniele (piáln asi la, eý pádí lasní ení z. pzael. yziáln edy usíe susau suadni hápa ja (dsi hné les, šinu íí nedílný ele s njaý jiný lese, eé hee sleda (pedsae si její ealizai na Zei, e lau, leadle, na blíbené ae. V suadné susa (nepilad S zené psé suadnie x, y, z a as pa ypídají, že na uié ís a uié ase se n sal - je z. událs susa S. Všehny yi suadnie jsu pinipiáln sejn dležié, p se šinu fáln aeaiy spjují d yznéh aspsu (x, y, z,. Uaže ješ jednu lns pi sanení (zení njaé událsi susa S : Ja psé suadnie, a i as usejí bý padu zeny é susa, j. pzael usí deís suadnie na jejíh iíh yíh a aé as na hdináh susay. C je ale za hdiny? Mžee si napílad pedsai, že si pzael pinese s sebu na ís sledané událsi sje hdiny a a na nih dee as, ja lasn šihni bžn ži dláe? V eii elaiiy ale nelze udla! Pdle pslední nie Lenzýh ansfaí iž asý údaj záisí na unášié yhlsi susay. Kdyby edy pzael penášel sé hdiny nenulu yhlsí p susa S, už by nebyly hdiny é susay - paily by d susay jiné. Vlasní hdiny aždé suadné susay (edy i aždéh lesa, eé ají i její lasní as, usí bý p sále lidu i é susa - usí bý sále na sejné ís é susay. V eii elaiiy as sledujee nli událsí znýh íseh zlené susay a pi uujee jejih asy edy pdle pedhzíh úah ís aždé událsi pebujee í pede pipaené lasní hdiny. V aždé susa suadni usí edy exisa ne jedny hdiny, ale elý sub lasníh hdin, hdn zísnýh íseh eáanýh událsí, sejn yhle jduíh a sazej zájen synhnizanýh. 7

99 Pípaa aéh subu se pedpládá da žnýi zpsby : a Všehny hdné hdiny (jduí sejn yhle žee sháždi na jedn ís susay, synhniza je (seídi na sejný údaj a nenen palu je psunu na pebná ísa. T je jis eeiy yniajíí, ale p suenu ealizai byh ui pužili duhý zpsb : b eb hdné hdiny naped zísíe na pebná ísa a p je synhnizujee s njaýi lidýi hdinai susay (asp jedny jis susa usejí bý - s yužií nsanní yhlsi sla ( j. eleagneiéh signálu a zené dély jeh dáhy. Všine si dále, že z Lenzýh ansfaí pí plyne (aby l zle sysl zásadní pdína p unášiu yhls suadné susay: u Každá susaa je ale hné les a napa aždé les že bý suadnu susau, p u nens pažujee za záladní pdínu na yhls lesa e speiální eii elaiiy : yhls sla e auu je ezní yhlsí phybu hnýh les Ze au Lenzýh ansfaí je aé ihned id jejih yniajíí lasns - že p nízé yhlsi (e snání s yhlsí sla peházejí na lasié Galiley ansfae : x xu u u << x u ux u u << P aé nízé yhlsi edy bžné ži a bžnýh ehniýh apliaíh žee dále pužía lasiu ewnu ehaniu, jejíhž píjenéh suladu s našii inuiiníi pedsaai lní s si pa už jis budee eli áži ne apily K. Rusá, eze 03/006 e. 03/007 8

100 aspsé paadxy Lenzy ansfae, né pední zahy ezi suadniei ineiálníh sysé, en asu, pinášejí s sebu aé né aspsé zahy, eé dpují dsaadní lidsé zušensi s ase le nás a syslu a paují pužií pju paadxy. Ty aspsé zahy ša padi a bjein ppisují ps a as za haniei našeh lidséh sa, neají edy ni splenéh s fií, zdání, neb yly, jsu puze pjee díe neznáéh elainíh haaeu psýh a asýh lasnsí aeiálníh bje. Všehny disuané aspsé jey jsu ppisány e zjedndušené uspádání du ineiálníh susa, definané inulé apile - dy b susay nulé ase splýají a unášiá yhls susay S je nbžná se splenýi x-ýi sai (iz b. : z S z' O x x' y y' Knae (záení déle Pedsae si njaé les - napílad y, eé je lidu ineiální susa suadni S. Je nae se bude ýa puze x-ýh suadni, p je na bázu z elé susay znáznna puze a sa a y je na ní naeslena ja nehybná úsea dély L. Suadnie nýh bd x a x jsu jis nsany nezáislé na ase, dy jsu zeny pzaele susa S, a p délu ye zej plaí : L x x x déla ye S lidá (lasní déla yní uíe délu ye e duhé ineiální susa S, eá se ja byle phybuje unášiu yhlsí u. Osa x é susay je pdle pedhzíh bázu geeiy žná s su x, je ša

101 zaeslena piy ddlen, abyh si dbe udili její phyb uedenu yhlsí zhlede se x (iz b.. S x u L ( x, ' x ' ' ( x, ' ' x x S' P sanení dély susa S je p nun zi suadnie nýh bd ye na áané se, j. x a x a p délu ye usí (pdle. psuláu p plai sejný zah : x x x L déla ye S Pže se ale sa x i yi phybuje, y suadnie se s ase neusále ní a p je nuné, aby byly zeny suasn - edy jedn sejné ažiu (ase. P ýpe suadni nýh bd pa s ýhdu yužijee inezní Lenzy ansfae, eé bsahují áaný as (nyní edy sejný : u u x u u x x x dsadíe d pníh zahu, p délu ye susa S : u L u x x u u x u u x x x L Výaz pd dninu je ždy enší než jedna, P je zená déla ye susa S, phybujíí se i yi, ždy enší než lidá (lasni déla : L u L L < nae dély Ve shd s inseine pažujee ýslede ení za exisujíí bjeiní lasns lesa (ye, edy nsaání déla ye je naena 45 je eialenní déla ye je 45.

102 Jesliže si udíe elains lidu a phybu (edy, že aé y - susaa S - se phybuje i susa S a pedsaíe si sebe ja pzaele S, žee nsaa benjší zpsbe, bez néníh znaání susa : Déla phybujííh se lesa je (naíe ji ždy enší než jeh déla lidá - j. zená lidé susa lesa. Dále uažuje zeh lesa na sáh lýh na s phybu. Pedsaíe si p naši y plženu na sáh y a z a apliujee Lenzy ansfae : y z y z y z y z y z y z Vidíe, že na h sáh e zná déle nedhází. Mžee edy ješ dplni pedhzí nsaání : Knae déle nasáá jen e su phybu les. Pznaeneje na zá, že naših úaháh byh hli aé pužía pje událs, definaný apile Záladní psuláy : Mení suadni nýh bd ye na se x by edy syslu byly d suasné událsi na du znýh íseh é sy - aspsýh suadniíh ( x, a ( x, - eé by zej yžadaly pužií du lasníh hdin susay S (a aé du pzael. Taé dsi žpádné ení by asi hl bý za uiýh pdíne nahazen napílad fgafání lesa, eé by jis zládl jeden pzael s jedni hdinai Pzn. : apaá by asi usel bý uísn pesn na lé enální se ye, aby zdálensi e ný bd byly sejné - j. aby byla i sejná dba hdu selnýh paps d bjeiu. Pes fgafání pa pibližn suhlasí s byejný pzání lidsý e, zn. phybujíí se les byh idli záené e su jeh phybu. elasaý ená na ís asi pjeí zlaání z eie elaiiy, ždy lasiá fyzia pináší as ýaznjší psé efey (iz y d dy pnená zdá se býi zalená, apd., pauje ale psí e ení, siuae se znan ylepší 3

103 Dilaae (pdlužení asu Pedsae si nyní, že na njaé bené ís (x, y, z susay S pbhne uiý dj (pes, eý á dbu ání. Jesliže znaíe ja as píslušný zaáu h dje a as jeh ne, pa si žee udi, že jse lasn definali d událsi aspsu, eé se saly na jedn ís - z. suísné událsi susa S (pedpládeje, že y událsi se saly na x-ýh sáh - p saní d suadnie jsu nulé bu susaáh nebudee je nezapisa : ( x, zaáe dje pní událs susa S ( x, ne dje duhá událs susa S asy h událsí jsu edy zeny na jedn ís susay S, j. na jednh nehybnýh hdináh H ís. Tí je zauen, že se jedná suen lasní as susay S. P dbu ání dje, jina een p asý ineal ezi i událsi, žee napsa : lidá dba ání - asý ineal susa S yní se pusíe ui, jaý asý ineal ezi i událsi naí pzael e duhé phybujíí se susa S. Když znaíe asy h událsí a, bude analgiy : dba ání - asý ineal susa S a bázu jsu z bu susa zaesleny p puze ddlené x-é sy. P názns si žee pedsai susau S napílad ja nádaží a susau S ja pjíždjíí la. D suísné událsi na nádaží ( S jsu pa napílad zsíení zelenéh sla na seafu a následné zsíení eenéh sla na sejné seafu (iz b.. Pže se sa x (la phybuje, jsu ísa h událsí S ben zná, j. x a x (napílad zsíení zelenéh sla na seafu se sane na úni páu lau a dyž se zsíí sl eené, je seaf na úni ne lau - susa S edy znily d nesuísné událsi : ( x, pní událs susa S ( x, duhá událs susa S 4

104 ísa událsí S'. událs H ' H ' S ' - la u 0' ' ' (x, x ' 0 (x, x S - nádaží H ís událsí S. událs H ' H ' S ' - la u 0' ( x ', ' x ' 0 ( x, x S - nádaží H ís událsí S Sanení asu aždé událsí še ždy yžaduje nehybné hdiny na ís é událsí. V susa S edy pebujee dje synhnizané hdiny ( H na ís x a H na ís x, zaí susa S saí puze jedny hdiny (H na ís x (iz b.. P asé suadnie pužijee dále Lenzy ansfae, nyní se bude hdi jejih záladní a, eý dsadíe d zahu p áaný asý ineal : ux u ux u u u Výaz pd dninu je ždy enší než jedna, p dbu ání njaéh dje - j. asý ineal ezi da suísnýi událsi, naíe phybujíí se susa S ždy ší než lidé susa S : u > dilaae asu 5

105 Jesliže si p - ja u nae déle - udíe elains lidu a phybu a pedsaíe-li si sebe ja pzaele e lau, pa žee pánn nsaa, že nádaží se phybuje unášiu yhlsí i ná (lau, a dilaai asu lze edy aé ppsa benji, bez néníh znaání susa : Dbu ání njaéh dje pbíhajííh na phybujíí se lese (j. asý ineal ezi da suísnýi událsi na lese naíe ždy ší než lidé susa lesa. V uebniíh se eli as dba ání dje apliuje na hd lasníh hdin susay - pedpládá se, že asý ineal dpídá jednu inuí hdin (j. nap. db iu ehaniéh yadla, i peid eleiýh i pa pdlužení h inealu znaená lasn zpalení hdu hdin. Tedy : Hdiny phybujíí se susa jdu (iají z hledisa lidé susay paleji. Je dilaae asu je dnes žn paža za splehli ený na nha expeieneh, napílad : a Záení phybujííh se a Jesliže a (leulá, in ddááe znjšu enegii (zaháí, náazy jinýh ási, záení zanu y ay say yzaa eleagneié lnní, eé á pesné a sálé feene, dané puze enegeiýi hladinai elenéh balu au. Peidy h lnní pa dnale dpídají definii lasní dby ání (je asý ineal ezi paujííi se hdnai napílad ezi axiálníi hdnai eleié inenziy e lnní. Záíí ay, ja elain lehé ásie, lze snadn ués d phybu (napílad aé puhý zaháí a lidý labaní dee pa usí pdle zahu p dilaai asu pijía lnní, eé bude í zšenu peidu, j. aé ší lnu délu (iz znáý zah λ f / T. Vlná déla bude p e speu psunuá yšší hdná, p blas idielnéh sla je se eené ba a zniá z. udý psu speálníh a. Pazaelné ení byl ynán již e 938. b Dba žia phybujííh se iási Mediáln znáý je pípad ási zanýh ezny µ, eé se dají dbe pipai labaíh ja é lidé ásie s dbu žia,. 0-6 se. Vzniají ale aé psbení siéh záení 6

106 hníh sáh asféy (íe než 0 nad zeí ja supeyhlé ásie (0,9994. a jsu p bez pblé deeány na phu Ze. Bez exisene eie elaiiy by a ale znila elá záhada, neb i dyby se µ -ezny phybaly pí yhlsí sla, za dbu séh žia by hly uazi axiáln dáhu : s 3 0 8, a nely by edy žádnu šani dazi až 0 ile zdálenéu pzeséu deeu. Jejih dba žia je ša pdle ýše uedenéh ýladu jejih lasní asý ineal, pže je zená jejih lidé suadné susa, eá se nyní ale splu s nii phybuje i Zei ysu yhlsí 0,9994. Dba žia ezn pzesé susa se p pdle zahu p dilaai asu ýazn zší (asi ieinásbn na hdnu :,0 6 ( 0, ,5 0 6 se. eá je již íe než dsaená p penání uedené zdálensi phu Ze. Píé ení asu na phybujííh se leseh Ohujíí pesns z. aýh hdin (0-3 se. užnila už e 977 píé ení dilaae asu. Pi se údaj saináníh hdin na Zei pnal s údaje hdin leadle, eé blel zeuli (byl bžné dpaní leadl. Pi jeh yhlsi zdalea nedsahujíí 000 /hd. sail dne i le pdsan aší, aby hl bý splehli nsaán, že hdiny leadle se zpžují edy jdu paleji pi pzesý hdiná nli desíe nanseund (0-9 se.. Vze p dilaai asu je p dnes í zpsbe en s pesnsí ádu desein pena (byl še nun dsepaa asu difeeni pdle bené eie elaiiy Zdá se, že aé píé ení pzuje pedsay zejéna au si-fi sié esání, dy iž snau p náau zjisí, že jeh suasníi zesáli na Zei nhe íe nežli n, pípadn že již ani nežijí. Lasaý ená se še na ís jis dsane d zpa - ždy pee plaí elains lidu a phybu - snau a že bez zpa di, že ne n, ale Ze d jeh aey dléla a pa se áila a a že edy n usí bý saší než pilénuší pzešané a zniá z. paadx dja. ešení h pbléu není zela jednduhé Je zejé, že háy s ase, eé lasié fyzie neají bdby, jsu dale efenjší než zny déle. ješ zdalea není šehn - další ýladu bjeíe pblé nesnaeln dležijší než sp, d bude saešinu : 7

107 3 Relains suasnsi V pní dsai nai déle jse již pznali d suasné událsi, eé nasaly na znýh íseh, j. suasné nesuísné událsi. aspsé suadnie aýh událsí žee susa S zapsa (pedpládáe p událsi na x-ýh sáh, nepíšee edy saní nulé suadnie : ( x, událs. susa S ( x,... událs. susa S suasns h událsí lze p haaeiza nsí jejih as, jina aé nulý asý ineale : 0 yní si plžíe ázu, jaé jsu y událsi e duhé susa S, zda jsu aé suasné? apíšee nejpe ben jejih suadnie : ( x,. událs. susa S ( x,. událs. susa S pzuáe suasns událsí a, že s yužií Lenzýh ansfaí ypíáe jejih asý ineal : ux u ux u u u ( x x u ( x u x Pže puze pní ás iaele ýslednéh zlu je nulá, dsááe ele ben nenulý ýaz : u ( x u x 0 V susa S již edy událsi nejsu suasné, jedna z nih nasane díe než duhá. Keá z nih bude, záleží na íseh událsí a. na lb susay S (su její unášié yhlsi : apílad p x - x > 0 a u > 0 dsanee (iz ze : - < 0 a edy <, neb-li ja pní se sane událs. jis p u < 0 bude pan, neb-li pní bude událs. 8

108 V znýh suadnýh susaáh že edy ja pní nasa eáli z pdn suasnýh událsí. Lze p ben nsaa : Suasns nesuísnýh událsí je elainí, j. exisuje puze jedné suadné susa - jinýh susaáh pa y událsi suasné nejsu. Z ýslednéh zahu še idíe, že exisuje aé žns, aby byl asý ineal ždy nulý - j. aby událsi byly ždy suasné - a u bude jedin za plansi pdíny : x x, neb-li že b událsi se sanu na jedn ís, edy : Puze suasns suísnýh událsí je absluní - j. y událsi jsu suasné aždé suadné susa. Ten nejhší pblé už lasn naznaují pedhzí nie, zasluží si ša bý ueden zela sasan : 4 Obáení aséh sledu událsí Pzueje nane d nesuasné nesuísné událsi susa S. Jejih aspsé suadnie budu p ben : ( x,. událs. susa S ( x,. událs. susa S nesuasns událsí lze p haaeiza nensí jejih as, jina aé nenulý asý ineale : 0 Pedpládeje napílad, že ja pní nasane událs., j. že bude plai : < edy aé 0 > P asý ineal susa S pa z Lenzýh ansfaí dsanee : ux u ux u ( u u ( x x 9

109 Pní ás iaele ýslednéh zlu již není nulá, ale pdle pedpladu je ladné ísl, duhý len pa zej že bý ladný neb zápný. Celý zle edy že bý ja ladný, a i zápný ( záislsi na su unášié yhlsi susay S a na íseh událsí. Pá duhá žns je yse alaujíí. Jesliže byh iž dsali zápný ýslede : < 0 edy aé < Pa znaená, že exisuje suadná susaa, e eé nejpe nasane událs. a epe pa událs. edy že asý sled událsí je é susa paný. asý sled událsí ben není absluní - j. exisuje susaa suadni, e eé se událsi sanu pané padí. T šujíí zjišní je sazej píý dslede pedhzí elainsi suasnsi a ylal zejéna ezi filzfy eliý zuh. Oben je iž žn zliši d aegie událsí : a Událsi bez zájenéh zahu. b Událsi s auzální (píinný zahe - dy pní událs je píinu a duhá událs je její dslede. Pi dpsud ješ nid neppel pinip auzaliy, eý dí, že ždy píina pedhází dsledu. Celý ýj sa, jeh hisie, je lasn neusálý, spjiý sled píin a jejih násled. Pa se še ja zela absudní jeí pedsaa, že by njaé susa nejpe nasal dslede a epe p by se udála jeh píina. Suen by edy hisie hla jí nde pzpáu? Pzueje en pblé. ejpe si plže ázu, zda je žn auzaliu ppsa aeaiy? Kupdiu je dp ladná : uný pedplade h, aby událsi. byla píinnu a událs. byla její dslede, je bezespu, aby z ísa x pní událsi d ísa x událsi duhé dazila njaá infae, se pní ís sal. Tepe p iž že nasa e duhé ís njaá adeání eae na pní událs - napílad dyž Saajeu zaselili edinanda, a epe pé, až se e Vídni dzdli, hl ísa li u yhlási álu. 0

110 Uaže, že nejyhlejší žný pens infae se ealizuje eleagneiýi lnai yhlsí sla. P za pedpladu, že zdálens bu ís je nejaší žná dba pensu infae : x - x ( pedpládeje > 0, bude x x epe p uplynuí é dby že nasa n, bude suise s pní událsí - bude na ni nja eaga - jina een bude její dslede. asý zdíl ezi auzálníi událsi usí bý edy ší než iniální dba pensu infae ezi ísy h událsí : x x > pdína auzaliy Pau sanu žee ješ zenši ynásbení ísle enší než jedna a nens se nezní : > x x u peedee na leu sanu : u ( x x > 0 Dsali jse a iael zlu ze zahu p asý ineal nesuísnýh událsí áané susa a pže jenael je aé ladný, bude en asý inealu aé ždy ší než nula, j. pní bude p událs. : ( u > u ( x x 0 O ýj sa si edy eii elaiiy neusíe dla sasi, asá pslupns auzáln spjenýh událsí se neže nidy bái. Speiální eie elaiiy není zpu s pinipe auzaliy ne apily K. Rusá, eze 03/005 e. 03/ paa nensí na s. 9

111 Relaiisiá enegie V lasié ehanie jse se pdbn seznáili s bený pje (ehaniá enegie - ja shpnsi lesa yna ehaniu pái. Ta shpns byla jednznan spjena se sae lesa bu s jeh plhu ( peniální enegie, neb s jeh phybý sae, uený elisí yhlsi ( ineiá enegie. Velis enegie pa byla sanena ja elis ynané páe lese pi jeh náau d definanéh páeníh sau - a byla aé na pdn ynané pái (njší silu pi zn sau lesa z páeníh na sa nený (nenu plhu, neb yhls. P nzeainí silé ple jse pa ddili jeden z nejzáladnjšíh zán lasié fyziy ( ewnýh zán zahání elé ehanié enegie. Budee jis páe eáa, že sysl a zásadní fyziální eliiny, ja je enegie, se e speiální eii elaiiy nezní. Puse se p nyní ypía ineiu enegii lesa (hnéh bdu hnsi, ja pái (njaé síly, eá je ( dané ineiální suadné susa pebná p uedení lesa z lidu d phybu yhlsí. Ta páe se sazej ná na uié dáze ezi páení bde a ný bde, íe ša, že pípad ineié enegie elis ynané páe nezáisí ani na au dáhy, ani na jejíh ajníh bdeh, ale je dána puze páení a nenýh phybý sae (páení yhls je nulá, nená yhls á elis : in d d 0 d Dsae za sílu z elaiisié phybé nie a užije dále definii yhlsi : in 0 d dp 0 d d 0 dp d d 0 dp Pi pedpládané exiseni ineié enegie nesí a páe záise na au dáhy, p zle dáhu a, aby užnila nejjedndušší ýpe (ale nebude sazej dnalý daz - au dáhu yáí jis píaý phyb hnéh bdu, pi eé plaí : dp

112 Pa á salání suin inegálu jednduhý a a žee aé lehe sani elis písu hybnsi (difeenujee suin. : dp dp d( ( d d d d Dsááe edy p ineiu enegii : in dp ( d d 0 0 K úpa duhéh lenu inegálu pužijee zah p ažiu hns, eý byl dzen pedešlé apile Relaiisiá dynaia : Tu nii uníe a peedee na jednduhý zle : P ynásbení jenaele a peedení na leu sanu dsanee : ( Vznilu nii nyní difeenujee (neb lze udla deiai pdle asu a p ynásbi difeeniále asu, pi pužijee znalsi deiai suinu du funí, slžené fune a deiai nsany (paá sana : d ( Bžnu úpau nie dále dsááe : d d ( ( d 0 ýslede žee dsadi d zahu p ineiu enegii : in 0 ( d d 0 { d d ( } 0 d P ynuí nsanní yhlsi sla pa znine eli jednduhý ýaz : in 0 d

113 V lasié fyzie by aý zah inegál pís hnsi lesa na njaé dáze - byl eli pdiný - a byl by sazej nulý, neb hns lesa je lasié fyzie nsanní eliinu. V eii elaiiy už ale znáe záisls hnsi lesa na yhlsi (ja suí funi é yhlsi - je p zejé, že eze inegálu uují páení lidu hns (pi nulé yhlsi a nenu ažiu hns (pi yhlsi : in d Zapsán zjedndušen : 0 [ ] ( ( 0 0 in ineiá enegie Z pedhzí apily aé íe, že pi yhlsi lesa blížíí se yhlsi sla se jeh ažiá hns nade šehny eze : ( Dsadíe-li u hns d psledníh zahu, bude ná ihned jasné, že sejný zá žee ysli i p pái ynanu pi uyhlání lesa, edy p jeh ineiu enegii : ( in Ob y nenené liiy yjadují zjen neeálnu siuai, žee je p paža za zuné fyziální zddnní ezní yhlsi les (né yhlsi sla e speiální eii elaiiy. Dále pyslíe ýzna paé sany zísané nie p ineiu enegii : Jeliž je zah p ineiu enegii - p aždý z bu len na paé san usí í aé fyziální z a hlan fyziální sysl njaé enegie. Knén duhý len na paé san bsahuje nsany puze lidu hns, je edy jednznan spjený s lidý sae lesa dané ineiální susa a yjaduje p ešeu enegii lesa (hnéh bdu sau : lidá enegie lesa 3

114 Ta enegie je jis ena peniální enegií lesa pípadné njší silé pli a usí bsaha aé ešeu niní enegii eá je syá lese, ja je i jen byejná ehaniá enegie šeh ási lesa (iz edynaie niní enegie plynu - ale elu hdnu lidé enegie pedsauje až a enegie, eá by se ulnila až pi dnalé pen hy na enegii pi z. anihilai hy pdle zána zahání hy a enegie (iz dále. Pzn. : a ásie lese aé še psbí zné síly neehanié pdsay jde zejéna síly, eé les dží phad j. jsu síly yáejíí ázané say ási lesa. Peniální enegie h sil ( absluní hdn se znaují ja azební enegie : xisují edy azební enegie šeh ási e suue eléh lesa (azební enegie ysalié ížy a enegie šeh subási e suue aždé ásie hy - j. azební enegie a leule (heiá enegie, azební enegie elen au (elá inizaní enegie au a azební enegie nulen aé jádu (jadená enegie. ejyšší hdnu se yznauje psledn jenaná jadená azební enegie je zezí, až 8,6 MeV na jeden nulen jáda pes ša e snání s lidu enegií nulenu (93 MeV je zanedbaeln alá (pibližn d d %. Význa pníh lenu paé sany pznáe až p jeh sasanní : ( in in Je edy elý sue ineié enegie a lidé enegie lesa, a pže už lasn jiný duh enegie (než y d enegie - lesa lidu a lesa phybu neexisuje, usí en sue yjada ešeu žnu enegii lesa : in elá enegie lesa Vzah p ineiu enegii pa bude í jednduhý a : in ineiá enegie (yjádená pí elé a lidé enegie Jesliže ješ ypusíe psední ás nie p elu enegii, dsanee pa nejznájší zah eie elaiiy a žná elé dení fyziy : insein zah p elu enegii Ten zah píé úy hy (hnsi a enegie s ní spjené - h du záladníh pje bjeiní ealiy našeh sa - že bý hápán ja yjádení : eialene hy a enegie 4

115 Pzn.: V ané fyzie, de i enegie eleagneiéh ple je spjena s ásiei (fny j. s bjey, eé si byle pedsaujee pd pje ha - je pa hdnjší insein zah inepea ja eialeni hnsi a enegie. Speiální eie elaiiy nás a piádí nejen jinéu hápání psu a asu záladníh paae ýje sa (nejsu již absluní, nezáislé pjy, ale jsu nyní zájen ppjené d ýslednéh aspsu a naí neddlieln spjaé s phybujíí se hu - ale a eie ní i náš phled na ešeu pdsau sa le nás í, že zájen spjuje jeh fy pjeu - hu a enegii. Vdeý phled na s le nás ja na hu a enegii yíjejíí se psu a ase je edy dnes úpln jiný než ped e Ve fyzie již neže plai zán zahání hy a ddlen edle nj zán zahání enegie, ale je nun pužía bený zán zahání hy a enegie. ialene hy a enegie není zhdn puze eeiý zah, ale suasnsi je již nhnásbn expeienáln pzena, zejéna peseh isa. Ja pní byl zde bjeen hnsní úbye jade : Již ze sední šly íe, že pdle suasnéh sandadníh delu je jád au en nuleny djíh duhu - ladnýi pny a neuálníi neuny a že bý fáln znaen : Z X nepilad p uhlí : 6 C ulené ísl udáá elý pe nulen a pné ísl Z je pa pe pn jáde (sejn je aé elen elené balu neuálníh au. Pe neun jáde žee edy yjádi zdíle Z. Jesliže pa pnáe elu (lidu hns jáda j s hnsi jednliýh nulen, j. s (lidu hnsí pn p a s (lidu hnsí neun n (ja sasanýh, lnýh ási, zjisíe z phledu lasié fyziy neuielnu, že sue hnsí šeh nulen danéh jáda je ší než hns jáda, z nih yenéh. Mžee si pedsai, že pi sesaení jáda z jeh saebníh p nulen - nasane úbye hnsi : Z p ( Z n j 0 hnsní úbye jáda 5

116 a zdíl d páeníh subu lnýh sasanýh nulen je ale ýsledné jád au eli sabilní paní úa, eý dží phad bsýi piažliýi silai psbííi ezi nuleny ( jadené síly, z. silná ineae. Páe h sil pi zniu jáda (pi zájené piblížení nulen yáí pa azební enegii jáda - a a enegie dnale spluje insein zah : azební enegie jáda Ples hnsi je edy pdle inseina zahu pesn ypenzán znilu eialenní azební enegií jáda. li je hnsní úbye jáda elni alý asi % hnsi jáda - pdle inseina zahu, bsahujííu adá yhlsi sla, u ale dpídá bsé nžsí enegie - ád egaelenly (MeV - j. iliná íe než azební enegie elen au. jen enší ás é azební enegie (napílad 0 % žee zísa našeu psphu (i záze pí hdnýh jadenýh eaí - nejznájší jsu ezá špná eae a enuleání synéza jade. Úspšné sé densae jejih úin dáají uši nesínu hdnu enegie eá by znila pi 00 % - ní pen hy na eialenní enegii pi z. anihilai hy pázané na ásiíh isa napílad eaí elenu a pzinu, e ší íu pa díybhu zaí pužíané puze auy si-fi píbh. Vye ješ na zá eli užiený zah ezi elu enegií lesa a jeh hybnsí. Pužijee inulé apile dzený zah p ažiu hns : eý dsadíe d inseina zahu : P unní a ydlení nie adáe yhlsi sla dsanee : Další úpau bude, že iaeli zlu piee a deee ýaz P fální pesupení len pa dsanee : 6 (í se iael nezní.

117 7 Pní len je še adá hybnsi, eu jse definali elaiisié dynaie ja : p a duhý len upaíe ynuí a následný yáení : ( p p P ynásbení adáe yhls sla a dsanee : 4 p zah elé enegie a hybnsi Ten zah lze napílad ýhdn puží ané fyzie p sanení enegie fnu, eý á nulu lidu hns (ja pedsaiel eleagneiéh lnní neexisuje lidu, edy á i nulu lidu enegii. Pa bude edy eli jednduše : p elá enegie fnu ne apily K. Rusá, eze 04/005 e. 04/007

118 Vniřní enegie ideálníh plynu pdle ineié eie Kineiá eie plynu, eá pní plině 9.sleí dázala úspěšně spji lasiu fenenlgiu edynaiu s ehaniu, pažuje plyn za susau eléh pču nepanýh hnýh čási leul, eé jsu neusálé phybu (z. neuspřádaný phyb, a pí ehaniýh lasnsí ěh čási (jejih hnsi, yhlsi, hybnsi, ehanié enegie ysěluje edynaié eličiny plynu (la a eplu plynu, jeh niřní enegii, a aé pje epelné enegie. ejjedndušší je apliae ineié eie na ideální plyn, jehž hání jse ppsali inulé áze. Zpauje si jeh záladní lasns že leuly h plynu na sebe zájeně nepůsbí žádnýi silai (případně je žn dda ě nepanýh ažiů zájenýh pužnýh sáže leul. Důslede nulýh sil ezi leulai ideálníh plynu je p aé nulá peniální enegie aždé leuly (nebť a enegie je sanena paí půsbíí síly, ja je zná z ehaniy. Z h dále plyne, že elá ehaniá enegie (aždé leuly je edy řena puze její enegií ineiu, a že niřní enegie plynu ja suče šeh enegií šeh jeh leul je pa dána elu ineiu enegií ěh leul. P axiální žné zjedndušení budee ješě naí předpláda, že leuly plynu jsu paiy hné bdy pa iž ůžee zanedba ační phyb leuly a sazřejě i enegii h phybu. T zanedbání bude zřejě eli dbře yha p jednaé leuly (He, e,, a aé napřílad p plazau běžně se ysyujíí inizané ay, jejihž lasní en seačnsi je jisě zanedbaelně alý. U ěšíh leul, sládajííh se ze du a íe aů pa še bude nun zapčía i ineiu enegii ae leuly, případně i enegii jejíh iů. euspřádaný phyb leul plynu a jejih sále pbíhajíí zájené sážy (a sazřejě i sážy se sěnai nádby ede u, že ažié yhlsi leul jejih sěy i elisi se neusále ění. Jisě si uíe předsai, ja se nějaá ybaná leula p nělia hdnýh sážáh éěř zasaí, neb ja napa djde nhnásbnéu zýšení její yhlsi (i dyž jsu éně paděpdbné siuae, p ůžee předpláda, že jaéli čase ají leuly plynu ůzné yhlsi elé inealu žnýh elisí j. d nuly d nenečna. Z důdu bséh pču čási (řádu gada čísla není še žn sleda phyb aždé čásie a uča její yhls, případně její plhu. Při yhlsi čási učiě záisejí i na elé sau plynu napřílad při zahříání se jisě zyšuje pdíl yhlejšíh čási. Medai aeaié saisiy se pdařil. 85 Maxwelli (Jaes Cle Maxwell sani z. zdělení yhlsí (jednaýh leul ideálníh plynu e sau edynaié náhy : P pče d leul {z eléh pču, eé ají elisi sýh yhlsí zadané inealu (, d plaí : d 4 T 3 e T d ( je hns jedné leuly, je Blzanna nsana a T je absluní epla.

119 Pdíl bu difeeniálů, eý á sysl pču čási jedné inealu yhlsí ( ísě dané yhlsi - lze aé puží eín husa čási na se yhlsí - se pa značuje ja zdělaí fune : f d d 3 Maxwella zdělaí fune 4 e T T f( 0 P elý sub čási (leul plynu je pa žn ypčía sřední yhls leul aieiý půě z yhlsí šeh leul : ja s 3 Za pužií zdělaí fune lze přeés en suče ja ážený aieiý půě na učiý inegál přes elý b yhlsí a elaině lehe ypčía (jde z. Laplaeů inegál : 0 d 0 f d 8 T sřední yhls leul Taé se pčíá sřední adaiá yhls leul ja aieiý půě ze šeh adáů jednliýh yhlsí leul :... 0 f d 3T sřední adaiá yhls

120 Její dnina se pa nazýá efeiní yhls : 3T ef efeiní yhls Je zajíaé, že bě y yhlsi se příliš neliší (asi 0 % d z. nejpaděpdbnější yhlsi, eá učuje plhu axia zdělaí fune (iz b : T P nejpaděpdbnější yhls yziálně nejdůležiější je efeiní, či sřední adaiá yhls, pže se pužíá p ýpče sřední enegie jedné leuly : ef 3T P yáení dsááe jeden ze zásadníh ýsledů ineié eie, iž že sřední enegie leuly ideálníh plynu nezáisí na hnsi plynu, j. na duhu plynu : 3 T sřední enegie jedné leuly elá ineiá enegie šeh čási (leul dhady bude : in 3 T Jesliže yjádříe pče čási pí láéh nžsí a pužijee definie uniezální plyné nsany R, j. : R P dsanee : in 3 T 3 R T Pže ideální plyn neá žádnu peniální enegii, ří nái ypčíaná ineiá enegie ešeu niřní enegii U plynu : 3 U in R T niřní enegie ideálníh plynu 3

121 Pznáa : P eálný plyn by niřní enegie byla še učena běa slžai enegie : U in p Vidíe, že niřní enegie ideálníh plynu je funí du saýh eličin eply a láéh nžsí : U U,T edy při zadané nsanní nžsí plynu je niřní enegie dána puze eplu plynu, ž nás přiádí učení ýznau eply ja fyziální eličiny: Tepla je íu ineié enegie neuspřádanéh phybu čási láy za sau edynaié náhy (u ideálníh plynu je pří úěná elé enegii. Tepla je saá eličina, eá haaeizuje nážný sa elé edynaié susay (ja elu, z. asa, uniř susay jsu pa isay jednliýh čási. Pdína edynaié náhy je sazřejě eli ezujíí, p se e fyzie definuje epla i při z. lální edynaié náze ( dané ísě susay. Pznáa : Přes ša nědy epla neexisuje, např. eleiý ýbj zářie je ypiý silně nenážný sysée: eleny ají eplu 5000 K, iny a leuly puze 350 K, nelze pa sani elu eplu Vaťe se zpě niřní enegii : Pže je niřní enegie jednznačně učena saýi eličinai eplu a láý nžsí je saa aé jednznačně přiřazena danéu sau - a je ji p žn něž paža za sau eličinu (idíe še učiý zdíl, p se nědy saé eličiny zlišují na saé pěnné a saé fune, případně edynaié peniály. Jesliže se ná pdařil uči přesný funční zah p niřní enegii, ůžee nyní ypčía její nenečně alý příůse (zěnu, z. úplný difeeniál, ja aeaiý difeeniál fune du pěnnýh : du du(,t U d U T dt Při dané nžsí plynu pa jedndušeji : du du 3 du(t dt dt R dt Dále ůžee uči elu zěnu niřní enegie - při nějaé edynaié pesu např. při přehdu ze sau (učenéh saýi eličinai p, V, T, d sau (p, V, T, : U du R dt R dt R T 3 3 T T 3 T 4

122 P znásbení idíe, že zěna niřní enegie je jednduše dána zdíle niřníh enegií pčáeční a né sau : U 3 R T 3 R T U U Tedynaiý pes ůžee gafiy znázni ja řiu spjujíí pčáeční a ný sa nějaé susaě suřadni saýh eličin, např. blíbené p-v diagau : p p(v p'(v V Pa ůžee nsaa, že náš ýpče zěny niřní enegie při učié edynaié pesu nezáisí na dáze inegační esě (řie pesu, ale záisí puze na pčáeční a né sau. P da ůzné pesy (eduí d. d.sau, j. p dě ůzné řiy p(v a p (V spjujíí y say, edy bude plai ns inegálů : ( p du ( p du Přeedee na leu sanu a upaíe : ( p du ( p du 0 ( p du ( p du 0 pže se jedná liblné da say a liblné řiy ezi ěi say, dsááe na leé saně nie inegál planý p liblnu uzařenu řiu : 5

123 du 0 Celá zěna niřní enegie je edy nulá při jaéli uzařené inegační esě (řie j. při z. uzařené ( uhé edynaié pesu. Vniřní enegie plynu je a fálně aeaiy pdbná peniální enegii nzeainí silé pli. Vniřní enegie se p řadí ezi z. edynaié peniály a znil ná p ni něli eialenníh pdíne : U je saá eličina exisuje úplný difeeniál du du ns (zěna niřní enegie záisí puze na pčáeční a né sau. du 0 (při uzařené pesu se niřní enegie nezění Ty zahy jsu eeiy eli užiečné a užňují jednznačné a phdlné zlišení saýh a nesaýh eličin edynaie, ja uidíe i další apile. Pšiněe si aé fální pdby s pdínai nzeainsi silýh plí (ne apily K. Rusňá, eze 0/005 6

124 Tepl, páe a. ěa edynaiy Tepl ( epelná enegie yní již íe, že láa (plyn s yšší eplu bsahuje čásie (leuly, eé se phybují s yššíi yhlsi a ůžee psudi, se sane při syu s láu eplě nižší. Je zřejé, že e zájenýh sážáh se budu palejší čásie uyhla a yhlejší čásie budu zpala, zn. že yhlejší čásie budu předáa čás sé ineié enegie čásií palejší. Vnější důslede h ispiéh pesu bude zyšání eply hladnější láy, j. náůs její niřní enegie (a hlazání láy eplejší, ples její niřní enegie. Ten je pa ppisujee sly, že epl přehází z láy eplejší na láu hladnější. yziální eličinu epl ( epelná enegie edy definujee : Tepl je ispiý způsbe (sážai čási láy předáaná čás niřní enegie láy. Pznáa: Pes přensu epla by zřejě pačal a dluh, dud by se eply bu ěles neynaly pa by nasal nážný sa, dy už by se eply dále neěnily sa edynaié náhy. Přehd epla z láe eplejšíh na láy hladnější je edy jední ze záladníh pesů, eé edu edynaiu susau u sau. Vidíe edy jasně, že na zdíl d niřní enegie není epl spjené se sae láy, ale je eličina spjená s nějaý edynaiý pese (hříání neb hlazání. Tepl není saá eličina, je eličina pesní. Pže íe, že niřní enegie je úěná eplě a nžsí láy, jisě nás nepřeapí pinipiálně sejná záisls p enegii epelnu, eá je její čásí : Už ze sřední šly znáe zah p epl Q přebné hřáí láy hnsi z eply T na eplu T (jina řečen - eplní zdíl T : Q T T T Kefiien úěy se nazýá ěná epelná apaia a á ýzna nžsí epla přebnéh hřáí jedné hnsi jedný eplní zdíl [J.g -.K - ]. ení še beně nsana, ja se ždy předpládal pčeníh příladeh, ale pěnná eličina záisejíí na sau láy a i na způsbu hřeu : (T, p,v

125 P je nuné přejí eli alý difeeniální eličiná, j. yjádři nejpe nžsí epla přebné hřáí láy difeeniální eplní zdíl : dq dt epe p ůžee ypčía elé epl přebné hřeu láy z eply T na eplu T, beně řečen při nějaé edynaié pesu ze sau (p, V, T d sau (p, V, T, ja suče ěh difeeniálníh eličin j. inegál : Q dq dt T T T T dt Sazřejě, případě nsanní ěné epelné apaiy usíe dsa půdní sředšlsý zah : Q T T dt T T Pdbně ja e saé nii i při ýpču epla se čas (u plynů pužíá ís hnsi eličina láé nžsí, p eu plaí (iz apila Ideální plyn : M l Pa bude í zah p difeeniální epl a : dq dt M l dt C dt Jde edy pinipiálně sejný zah příé úěy, ale s jiný efiiene C, eý se nyní nazýá lání epelná apaia [J.l -.K - ] Již apile Ideální plyn jse si uědili, že pes zahříání plynu je slžiější než u pené láy či apaliny : při zyšání eply ůže plyn zěša sůj bje (zažns plynu neb la (zpínas plynu neb beně bje i la sučasně. Ja pznáe apile následujíí, při zěšání séh bjeu ná plyn ehaniu pái, na eu se pa ění čás ddáanéh epla a hře plynu není li efeiní ja při udžání nsanníh bjeu, zn. na hře danéh nžsí láy jedný eplní ineal se spřebuje ěší nžsí epla - lání epelná apaia bude edy ěší. Definujee p da ezní způsby hříání plynu : a při nsanní bjeu plynu, j. při izhié ději (zažns plynu pdle zána Byle- Maia, dy plyn nepauje a ešeé ddané epl se spřebuje na jeh hře : dq CV dt izhiý hře P lání epelná apaia při nsanní bjeu á nejenší žnu hdnu sejně ja přebné difeeniální epl a aé elé přebné (ddané epl při izhié hřeu z eply T na eplu T :

126 T dq Q T T T C V dt b při nsanní lau plynu, j. při izbaié ději (zpínas plynu pě pdle zána Byle- Maia, dy se čás ddané epelné enegie ění na pái plynu. Rnie p epl á sejný a, ale s jinu (ěší lání epelnu apaiu : dq C p dt izbaiý hře Je edy ždy : C p C V a lání epelná apaia při nsanní lau á axiální žnu hdnu, sejně ja ddané difeeniální epl i elé ddané epl při izbaié hřeu z T na T : T dq Q T T T C p dt Ja uidíe pzději, p ideální plyn bude plai : C p CV R Meyeů zah Při nějaé bené pesu, dy by dšl enší bjeý zěná než případě b, by edy lání epelná apaia i ddané epl byly jisě ezi uedenýi ezníi hdnai. Vidíe, že elis ddanéh epla při nějaé edynaié pesu záisí na způsbu (duhu h pesu. Různé edynaié pesy při hřeu plynu z eply T na eplu T beně při přehdu ze sau (p, V, T d sau (p, V, T - je žn znázni ja ůzné řiy, např. p(v a p (V spjujíí ba say iz báze. 3

127 Odlišná nžsí ddané epelné enegie při ěh peseh zapíšee aeaiy : ( p dq ( p dq p předu paéh inegálu na leu sanu (ja jse již dělali u niřní enegie, a se še jednal nii, dsanee zásadní ýslede, a že epl přijaé láu při uhé edynaié ději je ždy ůzné d nuly : dq Q 0 P epl dsááe edy zahy analgié ja u niřní enegie, ale s pačnýi ýsledy. Všiněe si ješě dlišnsi difeeniálů ěh eličin : zaí du je suečný difeeniál fune U, případě epla neexisuje fune Q, eu byh hli difeena. Přes ša exisuje nenečně alá eličina přijaéh epla dq, p eu áe exaní ze aeaiy je z. neúplný difeeniál (čas se i dlišně značuje ja Q. P pesní eličinu epl (přijaé láu edynaiu susau a ůžee napsa čyři eialenní zení : Q není saá eličina dq není úplný difeeniál Q dq ns. dq 0 (je pesní eličina (dq je neúplný difeeniál (epl přijaé láu záisí na duhu pesu (epl přijaé při uhé ději je ždy ůzné d nuly Pznáa: Z aeaiéh hledisa ůže bý přijaé epl ladné i zápné bude í značen sě přensu epelné enegie : Q, dq 0 epl přijaé láu, dezdané lí Q, dq 0 epl dezdané láu, přijaé lí 4

128 Páe plynu Důslede lau plynu je zni sil půsbííh na šehny plhy haničujíí bje plynu (sěny nádby, přičež usí plai : p definie lau S Rnie je salání, laá síla je ždy lá na plhu S, na eu půsbí ( plaí p plyny i p apaliny. by ša a síla nala nějau pái, usel by se její půsbišě, j. plha (sěny plynu, ješě phyba p nějaé dáze. a bázu je znázněna paiá ealizae é pdíny ále s phybliý píse : a plhu písu S yíjí la plynu sílu pdle hníh zahu : p S Za sau lidu edynaié náhy je a síla ynáána nějšíi silai. Má-li še začí nějaý edynaiý pes spjený s paí plynu, usí se sazřejě náha pněud nauši, aby se hl pís dá d phybu (sěe pa. Je zřejé, že při se půdní bje V plynu bude zěša, a djde edy plesu lau a aé síly půsbíí na pís. Při ýpču páe edy usíe nejpe ypčía eleenání pái d při nenečně alé dáze při psunu písu dl (iz b., dáha i síla jsu nběžné : d dl Dsadíe za sílu : d p S dl Sučin plhy a eleenáníh psunu je ale bje yšafaný na bázu, eý předsauje příůse (zěnu půdníh bjeu V plynu aeaiy je difeeniál h bjeu : S dl dv 5

129 Vzah p eleenání pái edy bude eli jednduhý : d p dv eleenání páe plynu Ta ansfae dáhy písu na zěnu bjeu plynu je eli efeiní jedna jse yjádřili pái plynu pí jeh saýh eličin a aé se auaiy pzadí, d ná pái : pud bude difeeniál bjeu zápný, znaená zenšení bjeu plynu, edy phyb písu dlea a páe plynu je zápná plyn pdléhá pái, eu nají pačné nější síly z lí. P sanení eleenání páe pa ůžee pača ýpče elé páe plynu při nějaé edynaié pesu ze sau plynu (p, V, T d sau (p, V, T, eá bude dána inegále : d p dv V V p V dv V půběhu h pesu se la plynu beně ění (byl by nsanní puze e zlášní případě děje izbaiéh, ž je na p-v diagau znázněn řiu p(v spjujíí sa a. Ta řia edy haaeizuje daný edynaiý pes a pže náš inegál á gafu elis nu plšnéu bsahu baze pd řiu, idíe jasně záisls ynané páe na duhu pesu (pže p nějau jinu řiu p (V - j. p jiný pes - bude i en bsah jiný. Páe plynu je edy jednznačně pesní eličina a aeaié zahy budu analgié ja u plyne přijaéh epla. ejpe zapíšee záisls páe na inegační esě : ( p d ( p d P předu paéh inegálu na leu sanu nás bude znilý inegál p uzařené řie infa, že páe ynaná plyne při uhé ději je ždy ůzná d nuly : d 0 6

130 Difeeniál d aé sazřejě není úplný difeeniále (neexisuje fune sau a p pái plynu dsááe edy pě znáu čeřii zahů : není saá eličina (je pesní eličina d není úplný difeeniál (d je neúplný difeeniál d ns. d 0 (ynaná páe záisí na duhu pesu (páe ynaná při uhé ději je ždy ůzná d nuly Pznáa: Taé páe ůže bý ladná i zápná ja jse již dříe nsaali :, d 0 páe ynaná plyne, d 0 páe ynaná lí. ěa edynaiy Definie epelné enegie ja přijaé neb dezdané čási enegie niřní ná aé uazuje jasný zah bu ěh eličin : Přije-li (dezdá-li plyn učié nžsí epla, usí se pjei zůse (plese niřní enegie sejnu hdnu. Sejnu jednznačnu záisls še dhalíe e zahu niřní enegie a páe edynaié susay (plynu : Jediný zdje síly, eá psunuje pís e áli a ná a ehaniu pái jsu náazy phybujííh se leul na en pís. Při aždé aé sáže se (půdně nehybný pís dá d phybu (a ná pái a napa yhls leuly plesne (pdle zána zahání hybnsi, plesne edy i její ineiá enegie. Přesně pdle definie ehanié enegie (zde ineié ja shpnsi yna pái se a bude ineiá enegie leul plynu j. niřní enegie přeěňa na ynanu pái sejné elisi. Jesliže bude plyn na zápnu pái, j. suečnu pái nají síly lí a pís se psunuje dlea, bude en phyb pi naléáajíí leulá zyša jejih yhls, j. zyša niřní enegii plynu. Cele edy ůžee nsaa, že epl ddáané plynu zyšuje jeh niřní enegii a páe plyne naná ji sejnu hdnu snižuje : 7

131 du dq d.ěa edynaiy (difeeniální a Oddili jse a záladní zán edynaiy ( difeeniální au, z..ěu edynaiy, eá neznaená ni jinéh než zán zahání enegie edynaié susay (plynu. ezapeňe, že u šeh eličin připušíe ladné i zápné hdny, ž u zěny niřní enegie znaená jen, zda jde její zýšení neb snížení, příůse neb úbye, ale u epla a páe ša znaená sě u, přensu příslušné fy enegie (iz báze z. nene epelnéh sje. Maeaiý difeeniální a. ěy ůžee sazřejě inega p liblný edynaiý pes pbíhajíí ze sau d sau : du dq d dsanee zah elé zěny niřní enegie při pesu a eléh ddanéh epla a elé ynané páe : U Q.ěa edynaiy (inegální a Pinipiálně jde še sejnu záisls, eá nyní neppisuje alé difeeniální eličiny, ale elý edynaiý pes. U bu aů.ěa edynaiy si ůžee uědi, že páe s pačný znaéne, j. (-d je páe nějšíh sil a pa slní fulae ůže zní : Zýšení niřní enegie edynaié susay je řen suče ddanéh epla a páe ynané nějšíi silai (lí edynaié susay. Z aeaiéh hledisa ůže bý na leé saně nie aé ddané epl a dsanee a eialenní a.ěy : Q dq U du d eý lze aé eli hezy yjádři : Tepl ddané plynu (edynaié susaě se spřebuje na zýšení jeh niřní enegie a na nání páe plyne. řeí aiana je ehniy nejdůležiější : 8

132 d Q U dq du pže ná říá, že plyn ůže na pái buď přeěnu z ddanéh epla, neb na ú sé niřní enegie. eb sučněji a beněji : Pái je žn na puze přeěnu z jinýh fe enegie. Tu ěiču se snažili ppří desíy upunýh ynálezů 9.sleí, aby sazřejě nane ezignaly : elze sesji pepeu bile (.duhu, sj ěčně paujíí, eý by nal ehaniu pái a nespřebáal při eialenní nžsí nějaé jiné enegie (ne apily K. Rusňá, eze 0/005 9

133 Tepelné sje a. a edynaiy Vze p pái plynu a.a edynaiy jasn uazují žns nsue z. epelnéh sje, eý by yužíal ddáané epelné enegie e nání ehanié páe. Páe sje je ben hápána ne ja jednázý a, ale ja (libln dluh ajíí spjiý pes, slžený z uiýh, paideln se paujííh (paníh a pnýh dj z. peidiy (yliy paujíí sj. Jesliže aý epelný sj pauje s njau plynu náplní, pa pžadae paujííh se, peidiýh edynaiýh pes ede u, že p uié db peid paání se plyn usí nun dsa d sejnéh sau zn. že ia aéh pesu (nap. p-v diagau usí bý uzaená. Peidiy paujíí epelný sj yužíá pi sé innsi uzaený (uhý edynaiý pes (ylus. Ta pdína ná eli zjednduší apliai.y edynaiy, neb pužijee-li její difeeniální a : d dq du a inegujee-li h pes uzaenu ineganí esu : d dq du Pa pslední ýaz bude nulý (saá eliina a dsááe : Q ynaná páe a ddané epl pi uhé pesu Páe ynaná plyne pi uhé edynaié pesu se a pí ná ddanéu eplu. Zdál se, že en zah eíá nadjnu žns paié nsue epelnéh sje, paujííh na zálad uhéh dje, ádn pdle zána zahání enegie (žádné pepeuu bile, s úžasnu 00% - ní úinnsí peny ddanéh epla na ehaniu pái. O ší byl zlaání pníh paníh sj, jejihž yužií epelné enegie dsahal puze nepané ási é hdny a zásadní zýšení úinnsi nepinášel ani další zdnalání nsue sj. pdinéh sále bánil dnalé pen epelné enegie na ehaniu pái a další ýj uázal, že jde peážy eli pinipiální a že epelný sj s úinnsí 00% je sejn neeálný ja sj, eý by nal pái z nieh j. dpal by zánu zahání enegie (pepeuu bile. Jád pbléu byl, že.a edynaiy zán zahání enegie se uázala bý puze nunu pdínu exisene (ealizae edynaiýh pes, nili ša pdínu psaujíí, neb lze ppsa elé nžsí pes splujííh en zán, eé ša nidy eáln nepbhnu. Typiýi nidy nepbíhajííi pesy jsu neexisujíí zpné dje neanýh pes, eé jse pznali inulé apile. Mezi šei žnýi neanýi dji se pa pažuje za pinipiáln nejýznanjší supina salnýh (pizenýh pes, eé bhe nené elaxaní dby piedu aždu izlanu nenážnu susau d sau edynaié náhy :

134 Pehd epla z lesa eplejšíh na les hladnjší. xpanze plynu d ísa nižšíh lau (d aua. 3 Difúze plynu. 4 Pena ehanié enegie aspiýh les na epl. Všehny y dje jsu zpsbeny i spjeny s epelný phybe ási hy, p byl pes pensu epla pažán za eeiy nejdležijší, zejéna dyž se aé uázal, že pá s pehdu epla ezuje úinns páe epelnéh sje. P fyzié plin 9.sleí usiln hledali iéia, eýi by dplnili.u edynaiy, a upesnili a pdíny ealizae edynaiýh pes a znila.a edynaiy..a edynaiy exisuje nlia aianáh (eé se d sebe ješ hu liši znýh uebniíh d fulae ehnié ýajíí se innsi epelnéh sje až p fulai eli eeiu : ení žn sesji peidiy paujíí sj, eý by nezpsbal ni jinéh, než že by hlazal epelnu láze a nal nennu pái. (Willia Thsn ld Kelin 85, Max Plan ení žn sesji pepeu bile duhéh duhu. (iedih Wilhel Oswald 3 Tepl neže saln peháze ze sudenjšíh lesa na eplejší. (Rudlf Julius anuel Clausius V aždé liblné lí liblnéh páeníh sau eiy hgenníh syséu exisují say, niž se není žn libln piblíži adiabaiu znu saýh paae. (Cnsanin Caahédy, eý aeai eexisujíí epelný sj, eý by dnale peal epelnu enegii na pái, je edy nazán pepeu bile duhéh duhu (pepeu bile pníh duhu je neexisujíí sj, eý neddžuje zán zahání enegie Suisls aéh sje se se pehdu epelné enegie dbe pznáe, jesliže psudujee inns ideálníh zéh epelnéh sje, paujííh na pinipu Cana anéh uhéh dje (ylu, eý je sesaen ze y jednduhýh anýh pes ideálníh plynu (iz báze. p p T 4 T 3 V V V 4 V V 3

135 Ppiše nyní pdbn jednlié e h ylu, pdíny jejih ealizae a zájenu penu enegií (iz aé inulá apila :. Izeiá expanze Pi epl T ns. dhází izeié expanzi plynu ze sau (p,v,t d sau (p,v,t pdle saé nie : p V p V Pdínu ealizae h izeiéh pesu, eá zauí jeh nsanní eplu, je dnalý epelný sy plynu se zdje epla, z. híae : Knsanní epla pa znaená, že se není niní enegie plynu a pdle.y se edy ddané epl pí peuje na pái sejné elisi : d dq du dq P elá páe ynaná plyne a epl ddané plynu pi elé expanzi bude (iz inulá apila : Q p dv ν R T V V dv V ν R T V ln V > 0. diabaiá expanze diabaiá expanze plynu ze sau (p,v,t d sau 3 (p 3,V 3,T pbíhá pdle saé nie : p κ κ V p3 V3 Ten pes usí pbíha pi dnalé epelné izlai, eá zauí nulu ýnu epla s lí : Plyn edy ná pái puze na ú sé niní enegie : 3

136 d dq du du Celá ynaná páe plyne se p pjeí snížení niní enegie plynu, j. plese eply plynu z T na T : T ( T T 0 U ν CV dt ν CV > T 3. Izeiá pese Pi epl T ns. dhází izeié pesi plynu ze sau 3 (p 3,V 3,T d sau 4 (p 4,V 4,T pdle saé nie : p 3 V3 p4 V4 Knsanní eplu plynu usí p zaui dnalý epelný sy s jíae epla, z. hladie : Knsanní epla plynu p znaená, že niní enegie plynu se není a pdle.y se p páe plynu ná ddanéu eplu : d dq du dq Ob y eliiny jsu še nyní pi slaání plynu zápné. Pái edy nají njší síly a je ddáána d plynu a zápné epl znaená, že epelná enegie je plynu debíána a pehází z plynu d lí d hladie. Pi elé pesi ynaná páe a ddané epl budu : 3 4 Q p dv ν R T 3 V V 4 3 dv V ν R T V ln V 4 3 < 0 (Ddané epl je znaen padí ja duhé Can ylu, nž pi duhé epl 4. diabaiá pese diabaiá pese plynu ze sau 4 (p 4,V 4,T d páeníh sau (p,v,t pbíhá pdle saé nie : 4

137 p κ κ 4 V4 p V Plyn je p dnale epeln izlán d lí : Maeaiý zápis p ynanu pái pdle.y je sejný ja pi adiabaié expanzi : d dq du du yní je še páe plynu zápná, pže pi pesi ji nají njší síly páe je ddáána d plynu a za elu pesi se pjeí zýšení niní enegie a zýšení eply z T na pdní hdnu T : T ( T T 0 4 U ν CV dt ν CV < T Vynaná páe pi adiabaié pesi je edy pesn paná než pi expanzi zýšení niní enegie je a pesn sejné, ja byl její snížení a elá zna niní enegie je nulá, ja u aždéh uhéh edynaiéh pesu. Plyn se naáil d páeníh sau, ia dje se uzaela a páe epelnéh sje že dále paa liblný pe paání h ylu. yní pedee elu bilani enegií : a Cele nezajíaý je phled na niní enegii plynu, eá z pdní hdny dpídajíí páení epl : U ν CV T plesla pi adiabaié expanzi na hdnu : U CV T ν pi adiabaié pesi d páeníh sau plynu se niní enegie p áila na pdní hdnu, ja se sluší na sau eliinu. b Celu pái plyne ynanu pi elé uhé Can ylu dsanee ja sue šeh dílíh paí : 5

138 6 ( ( V 3 4 V 4 3 T T C V V ln T R T T C V V ln T R ν ν ν ν Páe pi adiabaiýh djíh (, 4 se yuší, p : V V ln T R V V ln T R ν ν K úpa h zahu pužijee saé nie jednliýh dj Cana ylu : κ κ κ κ V p V p V p V p V p V p V p V p Všehny nie ynásbíe : κ κ κ κ V p V p V p V p V p V p V p V p P yáení šeh la ydlíe nii suine šeh bje (V.V.V 3.V 4, a dsanee a : ( ( 3 4 V V V V κ κ P dsanní expnen žee sani p bje : 3 4 V V V V eý dsadíe d zahu p elu pái : ( 3 4 T T V V ln R V V ln T R V V ln T R ν ν ν Celé epl ddané plynu pi Can ylu se sládá puze ze du len ddanýh epel pi izeiýh djíh, neb pi adiabaiýh peseh epelný ýná nedhází : Q Q Q Pi ýpu uplaníe ns epla a páe pi izeié dji a pa žee puží ýslede pedhzí nie :

139 Q Q ν R T Q V ln V 3 ν R T V ln V 4 3 V ν R ln V ( T T a néní uhé edynaié dji jse si a ili ben planý zah p uhé yly nsi elé ynané páe a eléh pijaéh epla : Q V e ale p spíá nen pblé nednalé peny ddanéh epla na pái? Páe ynaná epelný sje se sie ná eléu pijaéu eplu : Q Q Q le elé epl je slžen ze du ásí (Q, Q a puze pn uedené Q je ladné, nebli je epl suen pijaé sje z epelnéh zdje epl T z híae (de se yáí epelná enegie, nap. spalání palia neb penu z jiné enegie. Duhá ás eléh epla Q je zápná, edy je epl dezdané sje d hladie, p yužií sje penu na pái je še enegie zaená. apíšee-li suen pijaé epl na jednu sanu nie : Q Q idíe názn, ja sj s u ddanu enegií nalžil : penil ji sie na ehaniu pái, ale uiu ás ddanéh epla dezdal bez užiu d hladie (iz báze. T hía Q Tepelný sj T Q hladi Je zejé, že p dnalu penu ddanéh epla na ehaniu pái by epl ydané hladii l bý nulé, j. epelný sj by l puze debía epl z híae a nel by žádné epl ydáa, nepebal by pa splupsbení lesa nižší eply hladie ( é žnsi luí pní fulae.y. 7

140 Uázal se ša, že z pdíny uzaensi paníh ylu ( sazej enegeiý zis yplýá nuns, aby plyn ždy ás ddanéh epla dezdal d lí (iz Clausi inegál další áze pi je nuné splupsbení lesa nižší eply, j. hladie. Dnalé peny epla pái by sazej byl dsažen, dyby epl zaené hladii hl saln pejí d híae, a a by se áil d paníh ylu. T by še yžadal pehd epla z lesa hladnjšíh na eplejší (a nesyslu hí další fulae.y. Tepelný sj edy nebude nidy dnale pea epelnu enegii na ehaniu pái a bude ždy yžada exiseni (iniáln du splupsbííh les híae yšší eply a hladie nižší eply. Teeiá úinns epelnéh sje je pa definána suladu s bžný hápání ja p sje ydáané enegie elé ehanié páe (neuažují se záy a enegie sji ddáané e f epla : η úinns epelnéh sje Q P Can ylus dsadíe zísané ýazy p elu pái a epl suen pijaé d híae : η Q V ν R ln V ν R T ( T T V ln V a dsanee a znáý zah : T T η úinns anéh Cana ylu T Je id, že úinns je ždy enší než 00% a že je dána puze eplai híae a hladie a be nezáisí na duhu plynu, ani na deailní pbhu Cana ylu (na déle jeh jednliýh í. Další zby uazují (iz pznáu za Canu u a Clausi inegál p ané yly píší apile, že aný Can ylus á ze šeh žnýh anýh uhýh pes nejyšší žnu úinns. Pdína ansi je dležiá, neané dje paníh yleh epelnýh sj ždy snižují jejih úinns (saí si pedsai neanu expanzi plynu, nap. pi eli yhlé phybu písu - plyn nesaí expanda a la na pís bude enší než nážné sau a zenší se edy i ynaná páe. 8

141 Pednsi Cana ylu shnuje Cana a : Úinns šeh anýh Canýh yl (paujííh se sejnýi eplai je sejná a záisí puze na h epláh : η Q T T T úinns liblnéh uzaenéh neanéh ylu paujííh s ýiž eplai je ždy enší : η Q T T < T Pzn. : Canu u je žn ješ dplni zhdnení úinnsi liblnéh uzaenéh anéh ylu, eý by paal aé se sejnýi da eplai, ale lišil by se d Cana ylu hl by bý yen napílad binaí liblnéh pu znáýh anýh (izdj, neb pinipu jauli uzaenu iu azisaiéh dje p-v diagau. (Jednduhý pílad dsanee, dyž d izey spjíe ne da adiabaai, ale se da izhai. Záladní dlišns benýh uzaenýh anýh yl d ylu Cana í, že zaí ealizae Cana uhéh dje yžaduje puze jeden hía eply T a jeden hladi eply T, pa p yení liblnéh jinéh dje pebujee další epelné ezeáy edy další hladie a híae, nuné p ealizai neadiabaiýh pes - as speiálníh lasnsí (napílad pžadujee epelné ezeáy s palu se níí eplu, abyh zajisili izhiý azisaiý he a hlazení plynu. Paní epla plynu je edy ben spji pnná eliina. Ty ané bené yly lasn nepaují se da eplai T a T, ale ezi eplu axiální (T a iniální (T. P alifianý dhad pa saí uáži, že jaýli další hía znaená další epl ddané plynu (pi sejné ynané pái, iz aé T-S diaga další apile a edy nižší úinns ylu. Pesný daz je žn pés pí Clausia inegálu p ané yly p píší apile ne apily K. Rusá, eze 0/005 ás. e. 04/007 9

142 Duhá a edynaiy a její aeaié yjádení Pipee si nejpe znalsi z inulé apily Tepelné sje a zni.y edynaiy : Jaýli edynaiý pes usí sie ždy spla zán zahání enegie. u edynaiy - ale en zán se uazuje puze ja nuná pdína exisene (ealizae edynaiéh pesu, není ša pdínu psaujíí - neb lze nají elé nžsí pes splujííh. u, eé nidy eáln nepbhnu (zpné dje neanýh pes. P znila.a edynaiy, eá dpluje.u syslu, že upesuje pdíny ealizae edynaiýh dj. Seznáili jse se již aé s nlia aianai slní fulae é.y d fulae ehnié (ppisujíí shpns epelnéh sje ynáa pái penu z ddanéh epla až p fulai eli eeiu (znilu pzdji : ení žn sesji peidiy paujíí sj, eý by nezpsbal ni jinéh, než že by hlazal epelnu láze a nal nennu pái. (Willia Thsn ld Kelin 85, Max Plan ení žn sesji pepeu bile duhéh duhu. (iedih Wilhel Oswald 3 Tepl neže saln peháze ze sudenjšíh lesa na eplejší. (Rudlf Julius anuel Clausius V aždé liblné lí liblnéh páeníh sau eiy hgenníh syséu exisují say, niž se není žn libln piblíži adiabaiu znu saýh paae. (Cnsanin Caahédy, eý aeai Pi sudiu Cana anéh ylu jse pa deailn pznali, že pblé nednalé peny ddanéh epla na pái spíá, že páe ynaná epelný sje se sie (pdle. y ná eléu pijaéu eplu : Q Q Q ale elé epl je slžen ze du ásí a puze pn uedené Q je ladné, nebli je epl suen pijaé sje z epelnéh zdje epl T z híae (de se yáí epelná enegie, nap. spalání palia neb penu z jiné enegie a duhé epl Q je zápné - je epl dezdané sje d hladie eply T - p yužií sje, edy penu na pái - je še epl zaené.

143 apíšee-li suen pijaé epl na jednu sanu nie : Q Q idíe názn, ja sj s ddanu enegií nalžil : penil ji sie na ehaniu pái, ale uiu ás epla dezdal bez užiu d hladie (iz báze. T hía Q Tepelný sj T Q hladi Je zejé, že p dnalu penu ddanéh epla na ehaniu pái by epl ydané d hladie l bý nulé, j. epelný sj by l puze debía epl z híae a nel by žádné epl ydáa, nepebal by pa splupsbení lesa nižší eply hladie ( é nežnsi luí pní fulae.y. Dnalé peny epla pái by sazej byl aé dsažen, dyby epl zaené hladii hl saln pejí d híae, a a by se áil d paníh ylu. T by še yžadal pehd epla z lesa hladnjšíh na eplejší (a nesyslu hí další fulae.y. Tepelný sj edy nebude nidy dnale pea epelnu enegii na ehaniu pái a bude ždy yžada exiseni (iniáln du splupsbííh les híae yšší eply a hladie nižší eply. Teeiu úinns epelnéh sje jse pa definali ja p sje ydáané enegie elé ehanié páe (neuažují se záy a enegie sji ddáané e f epla : η úinns epelnéh sje Q

144 Pdle Cany y pa plaí : T T η úinns anéh Cana ylu Q T T T η < úinns neanéh ylu Q T yní píe dále a uážee, že z pdíny uzaensi paníh ylu yplýá nuns, aby plyn ždy ás ddanéh epla dezdal d lí pi je nuné splupsbení lesa nižší eply, j. hladie : Pedee následujíí aeaié úpay : pužijee zah p elu pái Can ylu : Q Q a dsadíe jej d pní nie áeu : Q Q Q T T T Vynásbíe jenaeli bu zl : T T ( Q Q Q ( T T Q T Q Q T Q T Pní leny bu san se yuší. Rnii nane dlíe suine bu epl a ba znilé leny dáe na leu sanu : Q T Q T 0 Vznil zajíaý zah se da leny, eé se zahují e da (izeiý pes Can ylu, e eýh je plyne pijíán epl - a ždy se jedná pdíl an pijaéh epla a eply, pi eé byl epl pijíán ( ehnié eehanie se nazýají eduaná epla. Teply jsu sazej ždy ladné, ale duhé epl je zápné, p je dsažen nulé paé sany. Pzn. : K úpa duhéh ýhzíh zahu nensi p neané yly lze puží sejný aeaiý psup a znila by p nens : Q T Q T < 0 3

145 Zísaný zah nyní zbeníe pedsau njaéh anéh paníh ylu, e eé by se plynu pedáal epl e íe izeiýh peseh spjenýh adiabaai (aý yšlený sj by l íe hía a hladi - pa by zej plail (žee puží písen na znaení jednliýh ásí eléh ddanéh epla : Q Q Q 3... T T T 3 Zapsán sunji pí aeaié suy : Q T 0 0 en a ná dbe pže pi záené úaze : V nejbenjší pípad by liblný aný paní ylus nel žádné izeié ási a epl by se plynu ddáal spji pi pnlié epl (iz b.. Q Q Q 3 Q 4 T T T 3 T 4 T dq Pa pužijee pedsau, že uzaenu iu paníh pesu zdlíe na elý pe ( alýh úse, na eýh žee paža eplu plynu za pibližn nsanní a p an ddaná epla na h úseíh bude zej p plai analgiá nie : Q T 0 (P exaní daz h zení se pjší izeié ási fáln ppjí adiabaai d Cana ylu - z elé bené iy a znine / Canýh yl a nie p jejih ddaná epla se seu šehny dhady. Van ddaná epla na alýh úseíh jsu aé eli alá - lii nenen alýh úse jsu pa a epla difeeniáln alé - a sua pejde na inegál (p uzaené ineganí es : 4

146 dq 0 T Clausi inegál p uzaené ané yly Pzn. : I dyž jse naših úaháh yšli z anéh Cana ylu, dspli jse benéu zahu planéu p liblný uzaený aný ylus. Vaný Can ylus se d jinýh anýh uzaenýh yl sie dlišuje sjí yšší úinnsí, ale hdna Clausia inegálu je p n p šehny sejná - ná nule. V pípad neanýh yl zsáá še sále plansi ýhzí nens a znine p aé nenie : dq < 0 T Clausi inegál p neané yly Spjíe-li ba zahy dhady, dsanee benu haaeisiu jaéhli paníh uzaenéh dje, eá se pažuje za aeaiý a.y edynaiy, : dq 0 T aeaié yjádení.y edynaiy Ten zah iž exan zdduje nežns dnalé peny ddanéh epla na pái : a Pže absluní epla plynu je ždy ladná, pa p yení nulé ýsledné hdny inegálu nehu bý šehna epla dq ladná (j. suen pijaá, ale usí ždy exisa aé epla dq zápná - edy plyne bez paníh užiu dezdaná d lí (d hladie. b V pípad zápné hdny Clausia inegálu (edy p neané yly pa zápná epla dq ají yšší pdíl plyn edy bhe ylu dezdá íe epla, ynaná páe se p zenší, a í se zenší i úinns h neanéh paníh ylu (Cana a. Plynu ddané epl se edy nidy neže spenn peni na pái pepeu bile. duhu neexisuje. 5

147 Pí Clausia inegálu aé lehe dážee, že aný Can ylus á ze šeh žnýh anýh uzaenýh yl nejyšší úinns : Pedpládeje edy njaý bený aný uzaený pes pbíhajíí ezi eplai T a T - zn. jehž paní epla se že libln spji ni ezi axiální hdnu T hdnu T. a iniální Celé epl suen pedané plynu (j. ladné hdny žee ypía inegaí p é ási (áseh ylu znaíe ji indexe na eé je dq > 0 : Q dq Celé epl, eé plyn dezdá d lí, pa bude zase ypíán inegále p (zbylé ási ylu znaíe ji indexe na eé je dq < 0 : Q dq P zdlíe Clausi inegál (najíí se nule aé na da inegály p uedenýh áseh ylu a : dq T dq dq 0 T T Tedy p šehny ané uzaené yly plaí : dq T dq T 0 Difeeniální epla inegáleh pa žee nahadi elýi eply pdle následujíí úahy : Pže T je axiální žná epla, pi eé se ylu ddáá plynu epl, usí plai nens : dq Q T T analgiy - pže T je iniální žná epla, pi eé ylu plyn dezdáá epl d lí, bude plai nens (jsu zápné ýazy : dq Q T T P p dsazení h zah dsanee : Q T Q T 0 6

148 nyní si už jen pedsae sejné úpay, jaé jse dlali na zaáu é apily, ale báené padí ýslede bude zah p úinns : η Q Q Q T T Q T Dázali jse edy jednznan, že : Can aný ylus á ze šeh žnýh anýh uzaenýh yl nejyšší žnu úinns. V následujíí apile pa bude uázán, že s pí né saé eliiny enpie je žn fula nu ddaenu pdínu ealizae edynaiéh dje edy. u edynaiy bez h, aniž byh ji useli spja s paní yle epelnýh sj : eané pizené epelné pesy pbíhajíí izlanýh susaáh (pens epla z láe eplejšíh na láy hladnjší, zpínání plynu d ís nižšíh lau,. jsu iž spjeny s neusálý se enpie - a neexisujíí zpné sy h dj by edy usel haaeiza její ples. Rs njaé eliiny lze jednduše aeaiy lze yjádi nensí : ds > 0 p žee nsaa : Pinip su enpie izlané susa je nejbenjší aeaiu fulaí.y edynaiy. Uážíe-li ješ, že pi anýh adiabaiýh peseh se enpie není (píse enpie je nulý, pa liblné pesy izlané susa - ané i neané - jsu haaeizány zahe : ds 0 pinip su enpie izlané susa, aeaiý a.y V izlané susa edy pbíhají puze aé pesy, pi nihž enpie susay zsá neb zsáá neznna. Duhá žns (nsanní enpie se zahuje aný pes, eé ja íe suisejí s nážnýi say edynaié susay. Pipee si ješ znalsi neanýh pizenýh peseh izlané susa že y pesy piádjí susau pá d nážnéh sau. 7

149 Je edy zejé, že enpie izlané susay zsá za suasnéh pibližání nážnéu sau a pi jeh dsažení se už dále není, ž znaená, že dsáhla séh axia. Dsali jse se a dalšíu dležiéu pznau : V edynaié náze je enpie izlané susay axiální. Pinip su enpie je nejjedndušší aeaiý yjádení.y edynaiy, nepsyuje ša bližší yslení, p lasn en zán plaí. Tepe Ludwig Blzann na zálad ineié eie.u bjasnil a uázal, že je lasn saisiý záne - znaená, že plaí jen p suby s eli nha ásiei, na eé lze aplia aeaiu saisiu - na zdíl d.y edynaiy - eá je bený, uniezální záne. a yásié plynu budee píší apile densa, že sa edynaié náhy izlané susay je haaeizán nejen axiální enpií, ale i nejyšší žnu padpdbnsí a že edy enpie je zej suí funí padpdbnsi sau susay. Blzann aé ja pní (877 uil a é fune : S ln w ( ns. zah enpie a padpdbnsi (V zahu je pužia z. edynaiá padpdbns w - pe isa danéh sau susay, je Blzanna nsana. Uážíe-li ješ, že nenážný sa uzaené susay znaená aé ší uspádans ( páde susay, pa pehd susay nážnéu sau je spje se záu é uspádansi ( susa znine nepáde. Cele edy plaí : S neanýh pes je ddnn ýje edynaié susay d én padpdbnýh sa e sa padpdbnjší (d uspádanjšíh sa e sa én uspádaný. Zpný (paný s h pes není pinipiáln nežný, je ša zanedbaeln ál padpdbný ne apily K. Rusá, eze 05/007 8

150 npie Pi phledu na Clausi inegál p ané yly : dq 0 T si díe i pzdji jis udíe, že nulá hdna inegálu njaé eliiny pi uhé edynaié pesu je záladní znae h, že se jedná sau eliinu. Vzpee na niní enegii U, p jejíž píse du plail : du 0 Je edy žn defina nu sau eliinu a zaedl ji pá Clausius u 850 a nazal ji enpie S (z einy udáa s za znae inegálu je edy její píse : dq ds definie enpie T Pz!! ení edy definána elis enpie njaé sau plynu, ale její píse pi nepané, difeeniální ané zn sau ja pdíl an pijaéh epla a eply plynu (eu lze sazej pi é nepané zn sau paža ždy za nsanní. Pdle naših díjšíh pzna saýh eliináh žee dále nsaa, že elá zna enpie plynu pi njaé pesu (ané nezáisí na ie pesu, ale puze na páení a né sau a je dána zdíle enpií h saeh : S ds ( p. ds ( p. S S Dále pa eli alý píse enpie ja saé eliiny usí bý úplný difeeniále (saé fune S. Ja idíe z definie enpie, en úplný difeeniál je lasn yen z difeeniálu neúplnéh ( dq puhý ynásbení fae /T.

151 Jesliže budee hí ypía znu enpie pí z definie, usíe pedeší yjádi difeeniální ddané epl, napílad pí pní edynaié y : dq du d Další pužií é nie je eli snadné u ideálníh plynu, neb pípad anýh zn žee jednduše dsadi znáé zahy : du ν C dt d p dv dsanee: V dq ν CV dt p dv Za la e duhé lenu lze dsadi ze saé nie ideálníh plynu, eá aé plaí pípad anýh pes : dq ν C V dt ν R T dv V Pa nenen alá zna enpie bude : ds dq T T ( ν C V dt ν R T V dv ν CV T dt ν R dv V zna enpie pi njaé ané edynaié pesu ze sau d sau : S S S ds ν C V dt T ν R dv V Duhý inegál lze ihned pés : S CV dt V ν ν R ln T V Pud lání epelná apaia nezáisí na epl, lze ypía i pní inegál : T V S ν ( C ln R ln V zna enpie (pi anýh peseh ideál. plynu T V Zna enpie je edy pí úná nžsí plynu. Výslede se ješ ýazn zjednduší pi pesu izhié, pípadn izeié (jeden ze len bude nulý.

152 Sejn ja saní saé eliiny, je enpie aé hdná ppisu sa edynaiýh susa. V ehnié edynaie se as pužíá ýpu an ddanéh epla, neb z její definie plyne p difeeniální ddané epl : dq T ds Celé epl ddané pi njaé ané edynaié dji ze sau sazej inegále z h ýazu : d sau je pa Q dq T ds ddané epl yjádené pí enpie.. Jesliže say plynu a iu edynaiéh dje zaeslíe T-S diagau - z. epelný diaga, pa je epl gafiy znáznn plhu pd iu danéh pesu (iz b. Tepelný diaga ejjedndušší žný zpsbe úseai nbžnýi s sai je epelné diagau znáznn aný Can uhý ylus, eý se sáá ze du dj izeiýh a du dj adiabaiýh j. izenpiýh. Pže ddaná epla ná uazují plhy pd iai, idíe jasn jejih nuls u izenpiýh dj znáznnýh sislýi úseai a je žn aé dbe znázni elu ynanu pái, eá je na suu bu epel (duhé epl je zápné!! ddanýh pi izeiýh djíh (iz další báze le : (šafy (šafy (žluá (žluá 3

153 Vedlejší, paý báze je pa žn paža za gafiu ilusai zení axiální úinnsi anéh Cana ylu ze šeh žnýh anýh uhýh yl paujííh ezi sejnýi eplai T a T (eé byl aeaiy dázán pznáe ped zaáe dsae enpii : Je id, že psaí i jen ásená zna Cana ylu nahazení adiaba jinýi dji a jejih iy pa už nebudu sislé, ale šié a í se zší elé ddané epl pi sejné ynané pái - zn. sníží se úinns ylu. Pzn. : Oben nižší úinns neanéh ylu pi ylu anéu jse již yslili pí Clausia inegálu, eý ná aé ben bjasnil nežns dnalé peny epla na pái. Dále je žn eliinu enpie yuží a, že d. y edynaiy, napsané p píse niní enegie : du dq d píse niní enegie (ben dsadíe pípad anýh dj dsadi ýše uedený zah p ddané epl (suasn se zahe p ynanu pá: dq T ds d p dv dsanee nii, eá se uebniíh as znauje ja spjená fulae pní a duhé y edynaiy : du T ds p dv Spjená fulae pní a duhé y edynaiy Ten zah lasn yjaduje píse niní enegie - ja difeeniálu fune du pnnýh - enpie a bjeu : U U ( S,V Maeaié yjádení difeeniálu é fune je še ben : du U S V ds U V S dv Pnání bu difeeniál dsanee zajíaá yjádení záladníh saýh eliin - a y zahy dazují ýzna enpie ja saé eliiny a aé dležis niní enegie ja jednh z z. edynaiýh peniál (je jí i enpie, íe iz další apily : 4

154 T U S V p U V S Význa né saé eliiny enpie je ša ješ ší pí enpie lze ben zfula nu ddaenu pdínu, eu ( plansi.y usí spla edynaiý pes, a aeaiy yjádi neans epelnýh pes : Víe, že epeln izlanýh susaáh pbíhají adiabaié dje haaeizané nulu epelnu ýnu : dq 0 Lehe yešíe aný adiabaiý dj, jehž pijaé epl pí uuje píse enpie, eý je zde še nulý : dq ds T 0 Sazej je i nulá elá zna enpie pi ané adiabaié pesu ze sau d sau : S S S ds 0 a edy dsááe : S S Pi ané adiabaié pesu zsáá enpie nsanní, je dj izenpiý : S ns. eaný adiabaiý dj je še pnud slžijší pblé. I pípad je sazej pijaé epl plyne nulé : dq 0 le ná enpii ni neíá píse enpie lze sani puze pí an pijaéh epla. Uíe nejpe znu enpie neanéh dje ben, p liblný pes : Pedsae si, že se z páeníh (liblnéh sau dsanee njaý neaný pese d nenéh sau a z h sau pejdee zp d sau pese aný. 5

155 Kuhý dj, eý ba pesy dhady yáejí, je še el neaný, Clausi inegál je p zápný : dq < T 0 apiše leu sanu ja sue inegál pes b ási uzaenéh ylu : ( ne. dq T (. dq T < 0 Duhý inegál je p ané es - jeh hdna je p na eléu písu enpie, j. zdílu enpií né a páení sau : (. dq T (. ds S S P jeh dsazení a peedení na duhu sanu nie dsááe bený zah p liblný neaný dj ezi da (nážnýi say plynu (ze sau d sau : dq S S S > zna enpie pi neané dji T ( ne. Rzdíl bu san nenie, j. zdíl písu enpie a inegálu z pdílu nean pijaéh epla a eply, je žn paža za jausi íu neansi edynaiéh dje (p aný pes by en zdíl byl še nulý. Uážíe-li nyní speiální pípad neanéh dje epeln izlané susa - j. neaný adiabaiý dj, dy je epelná ýna nulá : dq 0 Pa bude inegál na paé san nulý a p znu enpie dsááe : 6

156 S > 0 eaný adiabaiý dj již edy není izenpiý, ale pbíhá za neusáléh su enpie. P (difeeniáln alu neanu adiabaiu znu lze edy analgiy psá : ds > 0 Jesliže si udíe, že izlanýh susaáh jsu pbíhajíí neané pizené epelné pesy sazej adiabaié, pa jse lasn bjeili aeaié iéiu, eé dbe haaeizuje žný s h pes (s pensu epla z láe eplejšíh na láy hladnjší, s zpínání plynu,. Opané (zpné sy pizenýh pes žné nejsu a jejih neexisene je zej spjena s nežnsí plesu enpie izlané edynaié susa. Rs enpie ( izlané susa je p žn paža za n hledané další iéiu ealizae edynaiéh pesu, eé axiální bensi (už bez zjené suislsi s epelnýi sji dpluje zán zahání enegie (.a. Pinip su enpie ( izlané susa je nejbenjší aeaiu fulaí.y edynaiy. Uážíe-li ješ, že pi anýh adiabaiýh peseh se enpie není (píse enpie je nulý, pa liblné pesy izlané susa jsu haaeizány zahe : ds 0 pinip su enpie izlané susa, aeaiý a.y edynaiy V izlané susa hu edy pbíha puze aé pesy, pi nihž enpie susay zsá neb zsáá neznna. Duhá žns (nsanní enpie se zahuje aný pes, eé ja íe suisejí s nážnýi say edynaié susay. Pipee si aé další znalsi neanýh pizenýh peseh izlané susa že y pesy piádjí susau pá d nážnéh sau. npie izlané susay edy zsá za suasnéh pibližání nážnéu sau a pi jeh dsažení se už dále není, ž znaená, že dsáhla séh axia. Dsali jse se a dalšíu dležiéu pznau : V edynaié náze je enpie izlané susay axiální. Pznáa: Mhl by se zdá, že bená plans h fulaí je znan ezena pdínu izlae susay. Pi fyziálníh analýzáh sa le nás i ehniýh apliaíh ša ale é ždy (aniž si eba i udujee pužíáe izlané (uzaené, saené susay í, že zanedbááe li neýh lníh les (pže nedážee sleda psbení nenenéh pu njšíh bje. pud sudaná edynaiá susaa ješ není izlaná, ždy ji žee zahnu ja pdnžinu d njaé ší susay suen izlané (nap. paní plyná nápl epelnéh sje sazej není uzaená, ale splu s híae, hladie a píjee páe yí zunu izlanu susau. 7

157 npie a padpdbns Pinip su enpie je aeaiý yjádení.y edynaiy, nepsyuje ša bližší yslení, p lasn en zán plaí. Tepe Blzann na zálad ineié eie bjasnil.u edynaiy a uázal, že je lasn saisiý záne - znaená, že plaí jen p suby s eli nha py, na eé lze aplia aeaiu saisiu - na zdíl d.y edynaiy, eá je bený, uniezální záne. Pdle ineié eie je edynaiá susaa (plyn suen sube bséh pu nepanýh ási leul (neuspádan se phybujííh znýi sy i yhlsi. Tazané saé eliiny (epla, la, niní enegie, še neppisují lasnsi (say jednliýh ispiýh ási (j. jejih plhy a yhlsi, ale ppisují sa susay ja elu z. asa susay. Ty - aspié - saé eliiny jsu pa (ndy jednznan spjeny se saisiýi sedníi hdnai dané susay ási (ja jse idli inulýh apiláh, pí sední adaié yhlsi je žn sani niní enegii susay, la i eplu,, še jen e sau edynaié náhy. V jaéli asau susay á še aždá ásie njaý sj sa je žn íi isa (plhu a yhls - a sub isa šeh ási (plhy a yhlsi šeh ási yáí isa susay. Když byh edy hli znázni isa susay, useli byh naesli plhy šeh ási susay (a ješ e aždé ásii pipji její yhls. Pzn. : Pi eeié ppisu sa hnýh ási se naís yhlsi pužíá eliina hybns (í se d ýp zahne i hns ásie sa jedné ásie pa bude uen její plhu a hybnsí edy da ey : ( x, y, z a p ( px, py, pz neb jina een šesi saláníi eliinai suadniei h e. P se zaádí fální šesizný fázý ps s aézsýi sai x, y, z, p x, p y, p z, neb psu je pa sa jedné ásie znáznn aé puze jední bde : ( x, y, z, px, py, pz Misa susay ási je edy e fázé psu znáznn susau aé bd. Rzné asay susay eý dpídají nap. zné enegie susay jsu pa spjeny s zný zlžení (zdlení h bd e fázé psu, eé lze ppsa jejih husu (nenaí z. zdlaí funí f : f d dφ de d je pe bd baz sa ási eleenu fázéh psu (aézsý eleen, ben by hl bý i jiný : dφ dx dy dz dp dp dp x y z Sa edynaié náhy pa ppisuje Blzanna zdlaí fune : f ns e enegieásie T V pípad ideálníh plynu pa lze hdnu lbu eleenu fázéh psu a inegaí pdle psýh suadni djí až e znáé Maxwell zdlaí funi, eu jse pužili apile Vniní enegie a epla pdle ineié eie : 8

158 f d d π T 3 ( 4π e T Každý isa susay j. zlžení ási psu (e syslu pznáy pesn za e fázé psu edy jis náleží njaéu asau susay. Pedsae si nyní, že pzníe néní isa í zpsbe, že zájen zaníe liblné d ásie. Zní se í asa susay j. její enegie, la, ad.? Ui ne! Všehny ásie (leuly danéh plynu jsu pee sejné, aže nezáleží na, eá néní ásie je na dané ís (a á danu yhls, ale je dležié, zda a njaá leula be je. Jeden asa susay edy že bý ealizán íe znýi isay. byh sejn ja Blzann bjeili nen zásadní saisiý zán, usíe pzua i- a asay edynaié susay pi njaé neané pesu, dy dhází su enpie susay. Kli nesínéu pu ási (leul neáe še naps žádnu šani znázni isay i jen napílad jednh gau suené láy (plynu, jedinu žnsí je edy paa se susau alé pu ási a pa se pusi eeié zbenní. Pdíáe se edy í zpsbe, se dje s edynaiu susau (plyne pi jedn z pídníh neanýh pes pi expanzi plynu d aua. ejpe pdbn ppíšee en pes : eh áe z. izlanu susau - penu, uzaenu a epeln izlanu nádbu, eá je zdlená pepážu na d (sejné ási (iz b. : páení sa - ped expanzí nený sa - p expanzi V páení sau je leá ás naplnna plyne lau p, eý je pdle saé nie uen pe ási plynu (nenaí, paá ás je pázdná (nulý la, auu. Pa dsaníe pepážu a plyn bude pudi z leé ási nádby d ási paé - la edy bude leé ási lesa a paé ási bude supa a se ealizuje expanze plynu - nenážný edynaiý pes P uié db se še lay le pa ynají, pudní plynu usane a znine nený sa edynaié náhy. haaeizaný nsanní lae ( pípad sejnýh ásí nádby bude pliní la p/, Ten pes je zauen neaný plyn se nidy sá neáí zp d leé ási nádby! (nelze pedpláda žádný njší zásah je pee izlaná susaa. yní se pusíe ui i- a asay, jesliže by plyn byl en susau aléh pu napílad 4 (y ási (leul znaíe je a, b,, d. 9

159 V páení (asau jsu šehny ásie le, pa není žádná, u dpídá jediný isa :. asa (4 ásie le, 0 pa pe isa : w a, b,, d P eení pepážy hu leuly peháze pa - zniá další asa :. asa (3 ásie le, pa pe isa : w 4 b,, d a a,, d b a, b, d a, b, d Sejný pe leul le i pa pa dpídá nenéu nážnéu sau : 3. asa ( ásie le, pa pe isa : w 6 a, b, d a, b, d a, d b, b, a, d b, d a,, d a, b euspádaný phyb leul ša nelze zasai, že p zninu další sa, dy se plyn lasn ásen pesuá d paé ási : 4. asa ( ásie le, 3 pa pe isa : w 4 a b d b,, d a,, d a, b, d a, b, pinipu se šehny leuly hu peísi d paé ási susay : 5. asa (0 ásie le, 4 pa pe isa : w a, b,, d 0

160 euspádaný phyb še sále pauje a a se paan ealizují ýše uedené say, plyn se edy že peísi aé d leé ási nádby í se še dsáá zp d páeníh sau, jina een saln pbhne zpný pes en, eé jse dili, že je z dd neansi expanze abslun yluený!!! Objeili jse edy anu expanzi plynu!! sejn aný že zej bý i pehd epla z lesa eplejšíh na les hladnjší epl bude peháze i báen, z lesa hladnéh na les eplé - a další pizené, z. neané pesy n, je u a.. ale jen u naší yleulé susay. Uaže : í se lasn ídí hání jednliýh ási susay : Pdle ineié eie je phyb ási neuspádaný, znaená, že elis yhls, její s, dáhu jednliýh ási j. jejih pesuny nádb - nežee nija lini, p je yení njaéh uspádání ási isau zela náhdný pes (je a aždý isa p zniá (nasane se sejnu padpdbnsí a á aé sejnu dbu - je záladní pinip saisié ehaniy : Všehny isay edynaié susay ají sejnu padpdbns. Misay jsu edy sejn padpdbné, ale asay sesáají z znéh pu isa - p (aeaié padpdbnsi jejih ýsyu jsu zné. Mžee je lehe ypía ja p pu pízniýh je isa danéh sau a pu šeh žnýh je šeh isa susay. V naše píladu susay 4 ási je elý pe isa 4. P padpdbns. a 5. asau (dy je šehen plyn jedné ási nádby je : P P5 4 4,7 % Padpdbns nenážnéh. a 4. asau iní : P P ,7 % padpdbns 3. asau, dy je plyn nn zlžen elé nádb (j. nážný sa : 6 P 3 4 5,0 % Pzn. : Pi ýpu aždé padpdbnsi se ždy pauje sejný elý pe ási, p se e fyzie as pužíá eliina edynaiá padpdbns w, ná pí pu isa danéh sau. Mžee nsaa, že naší susa s alý pe ási á nážný sa nejyšší padpdbns ( P 3 a nenážný sau dpídajíí zpnéu náau plynu d leé ási nádby á pa padpdbns 6 x enší ( P 5 j. nejnižší ze šeh žnýh sa. Ta padpdbns je ale sejn dsi ysá (pes 4 %, aže zpný náa yleuléh plynu d páeníh sau je zela eálný. Pdíeje se še dále, ja se bude ni hání edynaié susay, dyž budee pe jejíh ási zša :

161 Pže pi elé pu ási a pu ási leé ási n a paé ási n je pe isa en pu binaí n - é ídy z p (bez zeele uspádání e supin, neb aé n - é ídy z p : n C n! n! ( n!! n! n! (! n! n! n P žee lehe ui py isa a padpdbnsi sa p liblný yšší pe ási. Jesliže zlíe napílad 00, pa pe isa plynu, eý by se naáil zp d leé ási je sále en jedné : 00! C ! 0! le pe isa nážnéh sau bude pdsan yšší : C n ! 50! 50!,0 0 9 ja idíe, je suen yšší, ale neeáan yšší! Zaí pi yásié plynu byla padpdbns náau plynu d leé ási jen 6-á enší než padpdbns yení nážnéh sau, nyní jde nepedsaielný p ádu 0 9 (a je ješ elý pe 00 ási sšn alý pi suený p ási hy ádu gada ísla. Tedy : Plyn se edy pi expanzi nidy neáí zp d leé ási nádby ne p, že by en pes nebyl eeiy žný ale pže je zanedbaeln ál padpdbný. Pzn. : Pneje s padpdbnsí ýhy Spe, dy je pe žnýh binaí puze : ! 6! 43!, Dále uaže, že z benéh binaníh ze pí yplýá, že p nážný sa plynu á pe isa susay edy i padpdbns asau - ždy nejyšší žnu hdnu. Mžee edy ben nsaa : Sa edynaié náhy uzaené susay je edy haaeizán nejen axiální enpií, ale i nejyšší žnu padpdbnsí. npie je zej suí funí padpdbnsi sau susay (Blzann pinip. Rausý fyzi Ludwig Blzann aé pní uil. 877 a é fune : S ln w ( ns. zah enpie a padpdbnsi

162 (V zahu je pužia z. edynaiá padpdbns w - pe isa danéh sau susay, je Blzanna nsana. Uaže ješ, že nenážný sa uzaené susay (nap. dyž je plyn sháždn jen jedné ási psu znaená aé ší uspádans ( páde susay. Pehd susay nážnéu sau je pa spje se záu é uspádansi ( susa znine nepáde. Ten pehd náze je neaný páde izlané susa se sá d sebe nební - useli byh zuši izlai susay a užni njší silá, aby su paí bnily uspádans, edy snížily enpii (napílad pí njaéh písu slaí plyn d jedné ási bjeu susay. Pzn. : Jesliže edy fyzi íá séu legi, že pá jde sniža enpii, neyslí í ni neslušnéh, puze dspl zásadníu zhdnuí, že je nezbyné ulidi paní sl, nihnu, neb adesáe píae. She edy naše pznay saisié (padpdbnsní syslu duhé y edynaiy : S neanýh pes je ddnn ýje edynaié susay d én padpdbnýh sa e sa padpdbnjší (d uspádanjšíh sa e sa én uspádaný. Zpný (paný s h pes není pinipiáln nežný, je ša zanedbaeln ál padpdbný. Pzn. : Z binaníh zahu p isay je aé id, že jejih py jsu ješ dsi ysé uié (elain alé lí nážnéh sau. T je dde uiýh fluuaí (as pnnýh zn saýh eliin (nap. lau lí nážnéh sau susay. Ty zny jsu za nálníh sau neielné a ají ýzna puze susaáh s alý pe ási. (ap. sié psu, neb e aué e pi dlní hanii ulaaua, dy 3 plynu bsahuje jen asi 000 ási - leul ne apily K. Rusá, eze 04/006 e. 04/007 3

163 Kiy hnéh bdu Jsu speiální případe benéh ehaniéh phybu hnéh bdu, při eé se en bd phybuje ezené blasi le z. nážné plhy. Tí ýaze značujee ís sabilní náhy, e eé na hný bd nepůsbí žádná síla, eenuálně je nulá ýslednie půsbííh sil. D nážné plhy ladee pud žn pčáe susay suřadni - p plhý e hnéh bdu je sučasně jeh ýhylu z nážné plhy. Záladní duhe iaéh phybu jsu z. neluené hanié iy, eé zninu, jesliže na hný bd půsbí síla úěná jeh ýhyle (j. lineání záisls, ale pačně ienaná : pužná síla Přílade aé síly je síla pužiny (nsana je pa uhs pužiny. P paié apliae je jisě eli důležiu suečnsí, že a síla je spjena s z. pužnu defaí, eu pzujee u penýh ěles (aé u apalin a plynů při elaině alýh půsbííh siláh (aeaiy ji yjadřuje Hů zán. 0 y y Těles (hný bd zaěšené na byčejné pužině se še ěšinu phybuje puze p příe pházejíí su pužiny. Pa je hdné zžni u příu s něeu ze suřadnýh s a dsanee a nejjedndušší případ jednzěnýh iů. Suřadnie e eé nii p pužnu sílu jsu p sazřejě nenulé puze na é se, napřílad na se y : ( 0,, 0 ( 0,y, 0 Dsanee edy salání nii p y-suřadnie (saní suřadnie dáají nulé nsi : y phybá nie bude nenulá aé puze p u suřadnii, j. zniá jediná salání nie : d y y d

164 P ydělení hnsí a přeedení na leu sanu dsanee : d d y y 0 Pdíl ladnýh nsan e duhé členu se značuje ja adá jiné nsany, jejíž ýzna yplyne z dalšíh exu : úhlá feene Pa se phybá nie zění na znáý a : d y y 0 phybá nie lineáníh haniéh siláu d eb s fální zápise deiaí : & y y 0 Ten zah je hgenní lineání difeeniální nií duhéh řádu s nsanníi efiieny, eu lze řeši ja eálné, a i plexní bu pěnné y. V aždé bu je pa žn bené řešení é nie sesai ja lineání binai du nezáislýh paiuláníh řešení. Jední paiulání řešení eálné bu je : y y( sin( sin Je fune šebeně znáá z analyié geeie, definaná na elé bu eálnýh čísel. Veličina je apliuda iů, ýaz za znae sin, aguen fune sinus, nědy uáděný záe, je fázý úhel, zjedndušeně fáze iů : ϕ Ja zná, pěnné ϕ je a fune peidiá s peidu π. Připeňe, že peidu fune je aý (nejenší ineal pěnné, p eé se půběh fune pauje (iz b.

165 y sin φ 0 φ y sin 0 Je zřejé, že ja fune času usí bý ýhyla y( aé peidiá. Časý ineal T, p eé se půběh ýhyly pauje, se nazýá peidu iů. Za u dbu pběhne jeden i, je edy aé dba iu (iz b.. Přeáenu hdnu je p pče iů za jednu času, j.: f feene iů jednu je [ ] [ s ] [ Hz ] T s Pnání dpídajííh peid fáze a času znine zah : π T Můžee a nají sysl eličiny ja feene yjádřené f - násbe úhlu π : π π T f úhlá feene Ja dále uidíe, e zahu e uhéu phybu by byl žn nazýa u eličinu aé úhlu yhlsí, při ppisu iů še není značení příliš hdné. Duhý eálný paiulání řešení nie iů je fune : y y( s(. s Sředšlsé znalsi psačují e nsaání, že jde sejnu funi - sinusu, puze psunuu na se fáze úhel π/ (iz b.. Vyjadřuje edy sejný duh iání (se sejnu feení, peidu a apliudu, puze fázě a edy i časě psunuý. 3

166 y s 0 P ppis haniýh iů á a sejné pánění ja fune sinus, a fune sinus. Osaně, pí sučýh zů lze duhé paiulání řešení případě přeby přeés na a řešení pníh : y y( s sin( π Obě paiulání řešení jsu ša lineáně nezáislá, p ůžee yjádři bené řešení phybé nie iů ( eálné bu ja jejih lineání binai (C a D jsu liblná eálná čísla: y y( C sin D s bené řešení nie iů Význa é nie dhalíe a, že ís nsan C a D (eé jsu liblné, zlíe jiné (aé liblné nsany a φ pí zahů : D C sinϕ sϕ P dsazení dsanee : y y( sϕ sin sinϕ s s yužií sučýh zů přejde a nie na nejznáější a haniýh iů : y y( sin( ϕ bené řešení nie iů (jiný a Vidíe, že bené řešení předsauje pě znáu sinusu (sejné feene a apliudy, ale se slžiější fází : ϕ ϕ bená fáze iů Ta bená sinusa již nephází pčáe suřadni, nebť pčáeční čase ( 0 již elis fáze není nulá, ale je dána fune usí p plai : 0 ϕ gaf fune edy píná času su ísě : fázu nsanu (pčáeční fází φ. P (záladní nulý bd 4

167 ϕ Vhdnu lbu pčáeční fáze φ lze p benu sinusu uísi (psunu d liblné plhy na se pěnné (iz b. : y sin (φ φ 0 φ φ y sin ( φ 0 φ / Víe již, že fune s se d fune sin liší puze fázý psue, p ůže bý bené řešení napsán něž e au : y y( s( ϕ bené řešení nie iů (další a Všehny ay benéh řešení bsahují ždy dě (inegační nsany a ϕ ( C a D. Jejih sanení ůžee ppsa iy liblné apliudy a liblné plhy na se času, učené pčáeční fází ϕ (a feene je učena hdnai paaeů a. Při řešení néníh případu iů se p elis inegačníh nsan učuje pí z. ajýh pdíne (ja jsu napřílad pčáeční pdíny - zadáe plhu a yhls hnéh bdu pčáeční čase, ěšinu p 0. 5

168 Kplexní zápis iů V ině aézsýh suřadni xy si předsae něný uhý phyb hnéh bdu U na plěu úhlu yhlsí ( ladné syslu. Pčáe susay suřadni nehť je e sředu užnie, plě je pa sučasně elisí půdiče hnéh bdu. y y O φ U u x x P úhel psaný půdiče za čas plaí pdle ineaiy : ϕ ϕ Vidíe, že en ýaz je fálně shdný s benu fází haniýh iů. Dále plaí p půě plěu d sy y, j. p y-u suřadnii bdu U : y sinϕ sin(. ϕ p půě plěu d sy x, j. p x-u suřadnii bdu U je p analgiy: x sϕ s( ϕ Ten uhý phyb s úhlu yhlsí je edy fálně (aeaiy zela jednznačně přiřazen haniéu iaéu phybu sejné úhlé feene. T přiřazení bude ješě dále zinu následně : Bd U ině xy ůžee paža za plexní čísl a napiše pa jeh aeaiý a : û x i y Dsaďe za bě suřadnie ýše uedené půěy a pužije uleů zah aeaiy : û sϕ i sinϕ (sϕ i sinϕ e iϕ e i( ϕ 6

169 Vznilý plexní ýaz s aguene ný fázi iů je sazřejě fálně (aeaiy aé zela jednznačně přiřazen haniéu iaéu phybu sejné fáze. Suečná ýhyla hnéh bdu je p plexní ýazu bsažena ja jeh iaginání, případně eálná čás. Ten plexní a haniýh iů se ěšinu upauje následně : i( ϕ iϕ i i u e e Při se definuje eličina : Â iϕ e e e plexní apliuda iů Kplexní apliuda zde ysupuje ja eli ýznaná eličina, pže bsahuje da ze ří paaeů iů apliudu a fázu nsanu ϕ, eé jsu zásadně důležié ůznýh apliaíh, dy feene je zadanu eličinu (učenu hdnai eličin a. y O φ x Hanié iy lze edy zapsa e au : u e i plexní a iů Výhdu h zápisu iů je elainí jednduhs aeaiýh peaí s plexníi ýazy. apřílad při sládání iů je nesnaelně jedndušší a yhlejší sečení plexníh čísel, než pužií pněud ěžpádnýh gnieiýh sučýh zů p eálné sinusy. a záě uidíe, ja elý en dsae plexní fě iů, eý lasně začal pněud diný pnáání du naps dlišnýh ehaniýh phybů iaéh a uhéh, dsane jasný aeaiý pdlad. 7

170 Zdpíe iž lgiu ázu, ja dalee suisí en ně definaný plexní a iů s phybu nií lineáníh haniéh siláu : P yhlu dpěď sačí puze znals paidel deiaíh - ja eálná, a i iaginání čás plexníh au iů, eé bě předsaují eálné iy (ýhylu hnéh bdu, jsu přee řešení (paiulání difeeniální phybé nie. Kplexní ýaz je ale yřen jejih fální aeaiý suče, neb spíše lineání binaí : u x i y P plexní a iů je aé řešení sejné difeeniální nie, dne řešení benější, plexní bu čísel. T zení ůžee něž zdůdni benu eií difeeniálníh ni : Víe, že aždá lineání hgenní difeeniální nie s nsanníi efiieny á plexní bu paiulání řešení (inegál : y C e α Při C je liblná plexní (inegační nsana a α je řene z. haaeisié nie, eá znine dsazení h řešení d difeeniální nie. Obené řešení difeeniální nie n-éh řádu lze p napsa ja lineání binai n nezáislýh paiuláníh řešení : α. α. α. y C e C e C e Dsaďe edy nyní ýše uedený paiulání inegál d naší difeeniální nie. P yáení expnenielníh ýazů dsanee : α 0 haaeisiá nie Ta haaeisiá nie je adaiá a á p dě řešení : α ± i, xisují edy dě paiulání řešení a bené řešení phybé nie lineáníh haniéh siláu á plexní bu a : y i.. i.. C e C e bené řešení ( plexní bu T bené řešení bsahuje dě liblné inegační nsany (plexní, ja je ypié p difeeniální nii duhéh řádu. Obené řešení usí sazřejě bsaha šehna předhzí speiální řešení aeaiy znaená, že bené řešení ůžee na ně přeés hdnu lbu inegačníh nsan : 8

171 a Jesliže napřílad zlíe : C C e 0 iϕ P jejih dsazení dsanee pří plexní a iů, čeně plexní apliudy : i.. i.. iϕ i i y C e C e e e 0 Â e Sučasně aé idíe, že náš plexní a iů sie není nejbenější řešení phybé nie, ale je řešení piální. Obené řešení je iž zřejě fyziálně nehdné jeh dě plexní - edy čyři eálné - nsany jsu nadbyečné, nebť ppis suečnýh (eálnýh iů yžaduje puze dě eálné nsany (apliudu a fázu nsanu ϕ b Bez pbléů je še aé žn paa i se zápnu expnenielu - se duhu čásí benéh řešení znaená, že ůžee zli : C C 0 e iϕ Té žnsi yužili fyzié při zápisu paděpdbnsní lny (lné fune ané fyzie. Pdíeje se ješě, že hdnu lbu nsan lze přeés bené plexní řešení i na eálné hanié iy - j. na eálnu sinusu : Upae nejpe bený a pí uley aeaié ideniy : i.. i.. y C e C e C (s i sin C (s i sin yněe e ýazu gnieié fune : ( C C s i ( C C sin y Lasaý čenář ele lehe nahlédne, že dyž byh inegační nsany zlili e au : C C i (de je liblné eálné čísl Pa dsanee naše pní eálné paiulání řešení : y sin p lbě inegačníh nsan e au : C C 9

172 Vznine naše duhé eálné paiulání řešení : y s p před na eálnu benu sinusu psačí zli plexní nsany C a C ja : C ( C i D C ( C i D P dsazení d benéh řešení áeču pa iž dsanee : y C sin D s (de C a D jsu liblná eálná čísla Cž je lasně ja íe z údníh sáne é ázy bené řešení phybé nie haniéh siláu eálné bu beně psunuá sinusa : y C sin D s sin( ϕ Cele ůžee nsaa, že žádný aeaiý zp, či pblé, ná nebání, abyh eálné, suečné iy ýhyly hnéh bdu - ppisali plexníi ýazy (funei, eé ač aeaiy slžiější, jsu užiaelsy zhdně příjenější. Jejih ýhdu pa eníe pzději, při sládání iů a lnění. Ryhls a zyhlení iaéh phybu Již údu jse nsaali, že iy jsu puze speiální případe ehaniéh phybu. Lze edy sandadní způsbe pčía záladní ineaié eličiny yhls a zyhlení pdle zahů: d d d d a d d V naše jednzěné případě še budu salání ýazy (y é suřadnie ěh eů. Pužije p ýpče zjedndušený a iů bez fázé nsany, aby byl jasně idě znilé fázé dhyly ypčíanýh eličin : y y( sin P bude yhls hnéh bdu: dy d π y ( sin s sin( d d 0

173 Ryhls je pě haniá fune času sejné feene, ale fázě psunuá pi iů č peidy ( předbíhá iy, s apliudu - j. axiální hdnu yhlsi : Další deiaí pa zísáe zyhlení hnéh bdu: a d d d d ( s sin a sin( π I zyhleni je haniá fune času sejné feene, ale fázě psunuá pi iů půl peidy ( předbíhá iy a s apliudu - j. axiální hdnu zyhlení : a Phlédněe si na bázu znázněné časé záislsi ýhyly, yhlsi a zyhlení a uěde si jejih fázé psuny, eé by še byl žn znázni aé na bázu plexníh apliud (ja je bylé eleehnie, při sudiu pudů a napěí e sřídaýh bdeh. y,, a y sin sin ( π/ a a sin ( π 0 negie iaéh phybu Jednduhý je ýpče ineié enegie pdle znáéh ze z ehaniy, d eéh dsadíe za yhls ýaz z předhzíh dsae: W ( s s ineiá enegie negii peniální lze ypčía, jen pud je ple pužné síly nzeainí. Zřejě u a suečně je, nebť naažení (slačení pužiny je nun yna učiu pái, eu při ulnění pužiny dsanee zpáy. P bený důaz byh ale useli zua pái na liblné dáze psě zlžené silé pli pužné síly (aé ple by yřila i např. jediná pužina lně čná le bdu upenění.

174 V naše jednzěné případě pa áe jedinu žns - pčía pái přebnu psunuí hnéh bdu p příé dáze na se y z pčáečníh ísa y d néh ísa y : d y y d 0 y y y - Dsadíe edy ýazy, yjadřujíí phyb puze na se y : ( 0,, 0 ( 0,y, 0 y d saláníh sučinu yjadřujííh eleenání pái : d x dsanee: y y dx y y y dy z dz y y y dy dy dy ( y dy y dy [ y y ] y y Vynaná páe pli pužné síly zjeně splňuje ( ái žnsí jednzěnéh případu pdíny nzeainsi - nezáisí na dáze, ale puze na pčáeční a né bdu, a při phybu zpě bude í pačné znaén, j. dsanee ji zpáy. P zjedndušení ýazu zlíe pčáeční bd nážné plze, pa edy né bdě y bude í hný bd peniální enegii zhlede bdu 0 (ný bd je liblný, napíšee h y edy bez indexu : W ( W ( y p p y peniální enegie pužné síly (jednz. P néní ýpče dsadíe za ýhylu (psačí pě zjedndušený a bez fázé nsany a upaíe pí zahu p úhlu feeni :

175 W p y ( sin sin Pšiněe si, že peniální i ineiá enegie jsu nezápné fune času, nejsu sie hanié, ale jsu peidié, s pliční peidu, j. běhe jednh iu dsahují daá séh axia (ne ša e sejné čase. ane ypčíáe elu ehaniu enegii haniéh phybu : W W p W sin s Můžee ynu a puží znáéh igneiéh ze: W (sin s ns. Celá ehaniá enegie je edy nsanní, ja se sluší na nzeainí silé ple. Jesliže dsadíe ze zahů p úhlu feeni a p apliudu yhlsi : Pa dsanee jiné yjádření elé enegie : p W W W elá enegie Ten zah ná dbře uazuje, ja se peniální enegie přeléá d enegie ineié a napa, aže ísě axiální ýhyly (apliudy je elá enegie na enegii peniální (a ineiá enegie je edy nulá a ísě axiální yhlsi je pa elá enegie na enegii ineié (a peniální je nulá - jaé je ís? (ne apily K. Rusňá, eze 0/005, dplněn 04/006, e. 04/008 3

176 Tluené iy V paxi éěř ždy bání phybu nějaá bzdií síla, jejíž půd je řeíh siláh ezi eálnýi ělesy. Maeaiý ppis ěh sil býá dsi plianý. Veli čas se ysyuje z. isózní ření, dy je elis řeí síly úěná yhlsi : d B B d 0 y y P je nun přida u sílu pužné síle siláu. V naše jednzěné případě a znine nie : d y dy y B d d Jednduhýi úpaai a pužií sandadníh značení deiaí dsanee : B & y y& y 0 Označe é nii, sejně ja u neluenýh iů : lasní úhlá feene áze lasní u úhlé feene značuje její příslušns neluené sesaě pužina hný bd, bez půsbení bzdiíh řeíh sil. S u lasní feení by edy ial náš hný bd ja neluený lineání haniý silá. Dále zaedee phybé nii nu nsanu b, eá yjadří inenziu účinu bzdiíh sil (je úěná bzdnéu zyhlení : B b nsana úluu dsanee a nečný, nejjedndušší a phybé nie : & y b y& y 0 phybá nie luenýh iů

177 Je lineání hgenní difeeniální nie duhéh řádu s nsanníi efiieny. Připeňe, že aždá aá nie á paiulání řešení (inegál : y C e α. Při C je liblná (inegační nsana a α je řene z. haaeisié nie, eá znine dsazení h řešení d difeeniální nie. Obené řešení difeeniální nie n-éh řádu je pa lineání binaí n nezáislýh paiuláníh řešení : α. α. α. y C e C e C e Tli bené eii. Dsaďe nyní ýše uedený paiulání inegál d naší difeeniální nie a p yáení expnenielníh ýazů dsanee haaeisiu nii : α b α 0 Ta nie je adaiá, ůžee edy hned napsa její sandadní řešení : α, b ± b xisují a dě paiulání řešení a bené řešení bude í a : α. α. y C e C e O néní au h aeaiéh ýazu pa zhdne elis nsan b a : případ aléh luení ( b < Za é pdíny znine pd dninu zápný ýaz a ba řeny haaeisié nie jsu p plexní čísla : α, b ± i. b Ten ýaz ješě zjedndušíe značení : b úhlá feene luenýh iů (Důd h názu pznáe z dalšíh řádů. Pa edy bude : α ±, b i. bené řešení zapíšee : y C e ( b i.. ( bi.. b. i.. i.. C e e ( C e C e

178 Vidíe, že řešení je aé plexní, á a sučinu eálnéh členu a plexníh ýazu záe, eý še již uíe idenifia je plexní yjádření byčejnýh, neluenýh haniýh iů s úhlu feení. P yhdnení suečnýh ýhyle přeedee aději plexní yjádření na byčejnu benu sinusu (sačí hdně zli inegační nsany - iz inulá apila eluené iy, sana 9, pní eálný člen sazřejě pneháe. Vzah p suečnu ýhylu luenýh iů bude í p a : y e b. sin( ϕ luené iy I dyž zísaný zah bsahuje funi sinus, dne se sandadní ae fáze, neůžee h znači ja hanié iy, pže před sine není nsanní apliuda, ale lesajíí expneniela, eá sinusu učiý způsbe defuje. Jesliže by še luení nebyl příliš ysé ž by se pjeil a, že hný bd by ynal ěší pče ýyů na bě sany, než by se jeh axiální ýhyla silně přiblížila nulé nážné plze (iz následujíí báze pa byh aé iy hli inepea ja azihanié (přibližně hanié, eé sie ají sálu úhlu feeni, ale pěnnu apliudu, lesajíí s čase pdle zahu : b. e apliuda luenýh iů y e - b - b y e sin ( φ T 3

179 Pzn. : P gafié znáznění iů byl nun pí ajýh pdíne úlhy néně ypčía nsany a φ bené nii iů (jsu edy dě inegační nsany, ja aždé řešení difeeniální nie duhéh řádu. ejjedndušší je defina pčáeční pdíny phybu : nehť napřílad yhýlíe hný bd (j. naáhnee pužinu d nějaé pčáeční lidé plhy (napřílad jedné a pa h ypusíe s pčáeční nulu yhlsí - elisi ýhyly a yhlsi hnéh bdu pčáeční (nulé čase edy budu : y(0 y ns. (0 ns. 0 [] [ / s ] yní napíšee benu nii p ýhylu : b. y e sin( ϕ její deiaí učíe zah p yhls : dy b. b. ( b e sin ( ϕ e s ( d D ěh ni pa dsadíe sanenu pčáeční ýhylu a pčáeční yhls : b.0 y e sin(.0 ϕ sinϕ b.0 b.0 0 ( b e sin (.0 ϕ e s ( b sin ϕ s ϕ ϕ.0 ϕ Dsanee a dě nie p dě neznáé inegační nsany. P jejih řešení plaí : sinϕ g ϕ b Gnieié fune še neužňují jednduhé expliiní yjádření inegačníh nsan, řeše p jen případ eli aléh luení ( b <<, dy ůžee přibližně psá : g ϕ >> π ϕ Knéní zah p ýhylu pa bude í jednduhý a : b. y e sin ( π eb-li : b. y e s by byl zaučen eli alé luení phybu, byl p znáznění é fune na předhzí bázu puži pě : b 40 :. Z ýše uedenéh zahu p : b < je dbře idě, že úhlá feene luenýh iů je enší než lasní úhlá feene (eu by ěl silá, dyby nebyl luen. Dba iu je edy ěší jina řečen - luené iání je palejší než neluené : T π π π b T 4

180 Běžně pužíané značení peida p T zde není příliš hdné, pže luený phyb lasně - aeaiy přesně za - není peidiý půběh fune se přee ůli lesajíí apliudě nidy nepauje. Pzn. : Tluené iy jsu edy aé pseudpeidiý phybe : nulé bdy za sebu sie následují p dbě né plině dby iu T, sejně aá je i dba ezi děa p sbě následujííi ajníi ýhylai, ale napřílad phyb siláu z nulé plhy d ajní ýhyly á aší než dbu než phyb z é ajní ýhyly zpě d nulé plhy. Bzdií síla edy iy haniéh siláu zpalí a psupně zenšuje jejih apliudu. Velis nsany úluu b á p zásadní li na znilý phyb hnéh bdu. Pže dba iu T je peidu fune sinus, ůžee jednduše ypčía pě du p sbě následujííh axiálníh ýhyle na jednu sanu - edy ýhyle časeh a T : y( b. y ( e sin( ϕ b.t e T b.( T e sin( ( T ϕ Ten (bezzěný pě se značuje ja úlu λ a idíe, že je sejný p liblná dě sejnlehlá axia - p daný luený silá je edy haaeisiu, nsanní eličinu (sejně ja nsana úluu b : y ( b.t λ e úlu y( T Jeh přizený lgaius se nazýá lgaiiý deeen δ luenýh iů : δ ln λ b T π b lgaiiý deeen Se znalsí ěh eličin je pa žn u danéh siláu jednduše sani nsanu úluu, přebnu p yřešení phybé nie (příé expeienální učení é nsany z její definie iž jisě není jednduhu záležisí - usíe í psředy p ěření ja bzdné síly, a yhlsi ělesa i jeh hnsi : Psačí puze silá zia a ze zěřené peidy iů a z pěu sejnlehlýh axi ihned pří ypčíáe nsanu úluu : b δ ln λ T T 5

181 Jeliž apliuda učuje elu ehaniu enegii iů, je zřejé, že u luenýh iů dhází psupnéu plesu é enegie, liiě až na nulu hdnu, dy iy yizí. Úbye elé enegie je způsben paí bzdií síly a a páe se u řeíh sil bez užiu ění na epelnu enegii. Pže isózní řeí síla, úěná yhlsi, neliní ehaniu enegii hnéh bdu (při ýpču peniální enegie se uažuje nenečně palý phyb, dy je a síla nulá, a při ýpču enegie ineié haje li puze yhls, ůžee p sanení enegie luenýh iů yuží zah, dzený inulé apile p lně iajíí hný bd : W W p W D é nie pa puze dsadíe paaey luenýh iů jejih úhlu feeni a apliudu : W b. b. ( e e Vznine a pužielný zah p elu ehaniu enegii luenéh siláu : W b. e enegie luenéh siláu Je dbře idě, že elá enegie luenéh siláu je expneniálně lesajíí funí času, liině se blížíí nulé hdně, sejně ja ýhyla luenýh iů. Při úbye elé enegie luenéh siláu za jednu času ůžee lehe ypčía ja času deiai é fune : d W d d d b. b. ( e e ( b b W Běhe jedné peidy iů edy djde e záě enegie (ladné elisi : W d W d T b W T b W π 4π b W aís é eličiny se ale úbye enegie luenýh iů ěšinu haaeizuje elainí eličinu alia siláu (qualiy fa Q, eá se definuje ja π násbe pdílu sřední hdny elé enegie siláu ( jedné peidě iů a záy é enegie běhe jedné peidy iů : W Q π sř alia siláu W 6

182 P dsazení z předhzí nie dsanee : Q π W W sř π Wsř 4π b W b W W sř Velý paiý ýzna, zejéna elenie, á případ eli aléh luení, dy nsana luení je dale enší než lasní feene siláu : b << eli alé luení V případě běhe jedné peidy se apliuda iů a edy i enegie zenší jen nepaně a p sřední hdna enegie běhe é peidy je přibližně na ažié enegii ( eéli ísě peidy : W sř W sejně a feene nuenýh iů je přibližně na lasní feeni siláu : b P še bude : Q b W W b W W sř b p aliu siláu edy dsááe eli jednduhý zah, eý bsahuje puze záladní efiieny z phybé nie : Q b alia siláu (při eli alé luení Je zřejé, že alia siláu je p eli ysá : Q b >> je aé dbře idě zuný sysl é eličiny : silá s ysu aliu Q - usí í (při dané feeni alu nsanu luení b - jeh apliuda edy bude s čase lesa jen eli palu a p aý silá ydží ia eli dluhu dbu, než se uluí. 7

183 případ silnéh luení ( b > yní je pd dninu ladný ýaz a řeny haaeisié nie jsu edy eálné a ba da jsu zřejě zápné: α, b ± b < 0 bené řešení je p aé eálný ýaze : y α. α. C e C e silné luení Ta fune ja supepzie (suče du zápnýh expneniel je nónně lesajíí a asypiy se blíží nulé hdně (iz b.. Vyhýlíe-li edy silně luený silá, aí se zlna zpě d nážné plhy, aniž by přeinul d pačné ýhyly. Taý phyb se nazýá apeidiý. y b b > Pzn. : P gafié znáznění iů učíe pě inegační nsany, nyní jsu nsany C a C, pí sejnýh ajýh pdíne ja u aléh luení (j. jedná pčáeční ýhyla hnéh bdu a jeh nulá pčáeční yhls, eé dsadíe d bené nie p ýhylu a d z ní ypčíanéh zahu p yhls : α. α. y C e C e dy α. α. C d α e C α e Ta dsanee : α.0.0 y C e α C e C C α C e α α C α e C α C α 8

184 Řešení ěh du ni je : C α α α C α α α Dsááe a néní zah p ýhylu, d eéh pa dsadíe zlenu nsanu úluu a lasní úhlu feeni (jsu bsažené nsanáh C a C, iz ýše : y α α α α. e e α α α α. P ýpče řiy uedené gafu byl puži pě b : 0 : 8. P zajías ůžee ješě zhdni exéní (liiní případ eli silnéh luení, dy by nsana úluu byla nesnaelně ěší než úhlá feene (b >> - a dy by edy plail : α b b α b b b 0 Pa by inegační nsany ěly elis : C α ( b α α 0 ( b C α 0 α α 0 ( b 0 ýhyla hnéh bdu by paiy zůsáala na pčáeční hdně : α α. α. 0. b. y e α e e 0 e α α α α Veli silné bzdií síly by edy nedlily náa hnéh bdu d nulé plhy ( nečné čase. 3 ezní případ luení ( b Za ěh pdíne exisuje jediný řen haaeisié nie : α, b dsanee edy jediné paiulání řešení : y C e b. Duhé nezáislé paiulání řešení pa usel bý nalezen zela jiný aeaiý psupe - uedee zde puze ýslede : y C e b. Lineání binaí ěh ýazů pa pě yříe bené řešení difeeniální nie p případ ezníh luení : y b. b. b. C e C e ( C C e ezní luení 9

185 Výhyla neění znaén, phyb je pě apeidiý, fune ša lesá nule nejyhlejší žný způsbe, jde z. ezní apeidiý phyb (iz b.. Je případ nejdnalejšíh luení iaéh phybu. Pzn. : P gafié znáznění iů učíe pě inegační nsany C a C, pí sejnýh ajýh pdíne ja u aléh luení, j. jedná pčáeční ýhyla hnéh bdu a jeh nulá pčáeční yhls, eé dsadíe d bené nie p ýhylu a d z ní ypčíanéh zahu p yhls : b. y ( C C e dy b. b. b. ( C C ( b e C e ( C b ( C C e d Ta dsanee pě dě nie, p pčáeční ýhylu : b.0 y ( C C 0 e C p pčáeční yhls : b.0 0 C b( C C 0 e C ( bc Řešení ěh du ni je : C b C b C Knéní zah p ýhylu, znázněnu na bázu, je edy : y b. ( b e Z bázu idíe, že zenšení nsany luení z půdní již elaině dsi alé hdny b 0 / 8 na hdnu páě nu lasní úhlé feeni, j. b, suečně ede ýazně yhlejšíu plesu ýhyly. Další zenšení bzdiíh sil by pa již způsbil přei ýhyly na duhu sanu - a edy by dšl e zniu iaéh phybu pdle bdu (ne apily K. Rusňá, eze 0/005, e. 04/006, 0/008 zá řešení phybé nie p šehny ři případy iů, učení inegačníh nsan, né gafy, ýpče elé enegie siláu, zaedení úluu, lg. deeenu a aliy siláu 0

186 uené iy Se zenšání apliudy předhzí případě luenýh iů (při alé luení lesá nule aé elá enegie phybu a za nějaý čas iy yizí. Mají-li se edy luené iy udže, je nuné zaenu enegii dplňa paí nější síly. T je případ buzenéh haniéh siláu. b 0 y y P dsažení nsanní ýsledné apliudy iů je zřejě nuné nepřeušané půběžné půsbení síly, spjiě sledujíí phyb hnéh bdu, půběh síly usí edy bý peidiý. ejjedndušší aá budií síla bude í sinusý půběh s úhlu feení Ω b sinω haniá budií síla Přidáe-li u sílu pužné síle a isózní řeí síle, znine phybá nie : d y dy y B sinω d d P analgiýh úpaáh ja u luenéh siláu : B & y y& y sinω Zaedee-li dále nii aé sejné nsany ja u luenéh siláu : lasní úhlá feene B b nsana úluu Dsanee a nečný a nie : y& b y& y sinω & phybá nie nuenýh iů

187 Kě paé sany je a nie shdná s difeeniální nií luenýh iů - je z. nehgenní difeeniální nie. Připeňe si pě aeaié znalsi : bené řešení aé nie se sládá z benéh řešení příslušné hgenní difeeniální nie a z jednh paiuláníh řešení nehgenní nie. Obené řešení hgenní (bez paé sany difeeniální nie již znáe, je nie luenýh iů (budee uaža jen alé luení, jina by lasně nešl iy. Paiulání řešení nehgenní nie (s pau sanu se čas hledá zus. V případě je ša i fyziální důd (iz níže p řešení e au : y sin( Ω Φ paiulání řešení Obené řešení nuenýh iů při alé luení bude í edy a : y C e b. sin( ϕ sin( Ω Φ bené řešení nu. iů Dě čási řešení jsu lasně důslede du liů na phyb hnéh bdu : pní je splupůsbení řeí a pužné síly - důslede jsu luené iy, yjádřené pní člene řešení. Půběh ěh iů dbře znáe a íe, že p nějaé dbě (z. přehdý sa paiy yizí. Pa zůsane nenulý puze duhý člen (paiulání řešení, eý je způsben duhý lie - budií silu (pže bsahuje její paae Ω. Vidíe, že jde haniý iaý phyb sejné feene ja á budií síla (ne ša sejné apliudy a fáze. Obené řešení usálené sau je edy učen puze paiulání řešení difeeniální nie : y sin( Ω Φ nuené iy usálené sau Veličiny a Φ jsu lasně inegačníi nsanai paiuláníh řešení a usí bý nalezeny a, aby řešení yhěl úplné nehgenní difeeniální nii dsadíe h edy d é nie : Přebujee nejpe jeh deiai : dy d Ω s( Ω ješě duhu deiai : Φ d y Ω sin( Ω Φ d nyní ůžee dsadi d phybé nie : Ω sin( Ω Φ b s( sin( Ω Ω Φ Ω Φ sin Ω

188 3 Rns leé a paé sany nie znaená lasně ns du funí času, eá usí bý splněna p liblnu hdnu pěnné. P naše dě neznáé a Φ přebujee yři dě byčejné - nečasé nie. Dsadíe edy psupně da ůzné néní časy : Ω Φ... p bude 0 Φ Ω a aé Φ Ω Ω π Ω Φ. p bude π Φ Ω a aé Φ π Ω zninu a dě nie p dě neznáé : sin( sin( s( b sin( sin( sin(0 s(0 b sin(0 Φ π π π Ω π Ω Φ Ω Ω Rnie upaíe pí znáýh hdn igneiýh funí : s sin b Φ Ω Φ Ω Jesliže pa pní nii ydělíe nií duhu, yáí se apliuda a dsanee ihned zah p fázu nsanu Φ (iz dále. K nalezení duhé neznáé ješě uníe bě nie na duhu a sečee : ( ( ( s sin b Φ Φ Ω Ω a leé i paé saně ůžee pés ynuí : ( ( s sin ( ( b Φ Φ Ω Ω ale uníe djčlen a na saně paé pužijee zah p suče adáu sinu a sinu : ( ( 4b Ω Ω

189 Rnii nane dníe a a p apliudu nuenýh iů (a p jejih fázý psu pi iů budií síly dsááe zahy : gφ ( Ω 4b Ω bω Ω Pšiněe si následujííh gafeh bu ěh funí : ( Ω Φ Φ ( Ω zejéna záislsi apliudy nuenýh iů na feeni budií síly - z. eznanční řia : ax O 0 Ω 0 Φ Ω π/ π Reznanční řia začíná na nenulé pčáeční hdně, ž je lasně apliuda při nulé feeni Ω jina řečen je axiální ýhyla (hnéh bdu na pužině uhsi při nenečně palé náůsu nější budií síly - až d jejíh axia. Je jasné, že při usí plai p pužinu (p pužnu sílu nie : 4

190 Když si předsaíe, že byh naaženu pužinu s hný bde é axiální ýhyle ulnili (d budií síly, i d síly řeí - pa by se hný bd zřejě zial neluenýi iy, eé by ěly lasní feeni a páě u apliudu (sačí uáži zahání enegie iů. Pčáeční apliuda eznanční řiy se edy aé na apliudě lasníh iů siláu (j. iů našeh hnéh bdu na dané pužině, bez půsbení luií i budií síly : ( 0 Ω pčáeční apliuda apliuda lasníh iů Sejný ýaz byh sazřejě ěli aé dsa příý dsazení nulé budií feene Ω d benéh zahu p apliudu nuenýh iů (zuse sai. Z h zahu je aé ihned idě, že p eli ysé feene budií síly (Ω lesá apliuda liině až nule - j. iy zaniají (p jali ysu budií sílu a při nenulé luení, jde lasně iniu eznanční řiy. áze eznanční řia pa suisí s jee eznane, eý ypiy nasáá u nuenýh iů a eý je haaeizán silný náůse apliudy iů a znie ýaznéh axia při učié hdně feene budií síly je z. eznanční feene Ω ez. Tu eli důležiu eličinu saníe dále sandadní aeaiý psupe p hledání exéu fune : d d Ω 0 Z důdu nsanníh čiaele a nónní fune e jenaeli (dnina psačí še deia puze ýaz pd dninu: 4Ω( Ω 8b Ω 0 Vylučíe-li Ω 0 ( jisě není hledané axiu, dsanee : Ω b 0 Duhé, nenulé řešení je edy : Ω ax Ωez b eznanční feene 5

191 Maxiální hdnu apliudy pa lehe zísáe dsazení é feene d benéh zahu p apliudu : ( Ω ez 4b Ω ez ( ( b 4b ( b Pedee-li aeaié úny e ýazu pd dninu a pužijee-li ješě zah p úhlu feeni luenýh iů : b dsanee nane eli jednduhý ýaz : ax axiu apliudé eznane b Při zuání nuenýh iů se - pdbně ja u iů luenýh - čas pužíá eličina alia siláu Q, eá haaeizuje úbye enegie iů (je definána ja π násbe pdílu sřední hdny elé enegie siláu jedné peidě iů a záy é enegie běhe jedné peidy iů, iz inulá apila Tluené iy : Q W π sř alia siláu W Je eznane á elý ýzna zejéna za pdíne eli aléh luení, dy nsana luení je značně enší než lasní feene siláu (aé jsu ěšinu eleié eznanční LCR bdy : b << eli alé luení V případě je eznanční feene paiy ná lasní feeni siláu : Ω ez b sejně a feene nuenýh iů : b 6

192 Kalia siláu je pa za ěh pdíne eli ysá a lze p ni ddi jednduhý ze (iz pě inulu apilu : Q >> alia siláu (při eli alé luení b p axiální apliudu iů při eznani ůžee p psá (a pedee alu úpau : ax b b b Q Dsadíe-li za lasní úhlu feeni její definiční zah : znine na paé saně ješě pčáeční apliuda (iz ýše její definiční zah a ele a bdžíe eli jednduhý a eli zásadní zah : ax Q axiu apliudé eznane Při eznanční feeni (eá se přibližně ná lasní feeni siláu djde edy při nější buzení e Q násbnéu zesílení apliudy lasníh iů siláu. Za eli aléh luení (edy p ysé Q je eznanční je naí eli sý - j. apliudé axiu je eli úzé - jeh plšířa Ω (šířa řiy axia plině jeh ýšy je nepří úěná hdně aliy Q : Ω Q P edy při psupně suí feeni budií síly (např. psupné zyšání áče u apliuda iů se nejpe jen zlna, ale pa eli náhle - při alé zěně feene ( alé feenční inealu - nasane yhlý náůs apliudy d jejíh axia. Využií apliudé eznane : V eleiýh eznančníh bdeh při ysé aliě silá přesně najde, ybee a zesílí iy sé eznanční feene a z eléh spea feení, eé jsu na něj přiedeny, napřílad z anény ( je supní bd nějaéh přijíače, zěnu jeh eznanční feene pa pbíhá ladění přijíače. 7

193 Je aé nežáduí je : eznane sjníh sučásí (iié áčy hřídele, eznane saeb (iz účine hlasié hudby na hadby Jeiha a pč se asi pužíá znáý pel zuši p phdý úa na sě? Přílad apliae : silační séiý bd LCR s nější budií sřídaý zdje (iz b. : U U sin Ω. eb p dsažení zela idenié ýsledné nie lze předpláda : U U π sin( Ω R U L C Pdle. Kihhfa zána p plaí (Q je nábj na ndenzáu : π di R I U sin( Ω L d Rnii deiujee pdle času : Q C di π d I R U Ω s( Ω L d d C Ješě yužijee definii pudu ja nábje přenesenéh (půřeze diče za jednu času a jeh suislsi s příůse nábje na ndenzáu : I dq d p jednduhýh úpaáh nie dsanee : R U I& I I Ω & sinω. L LC L dq d 8

194 P eleiý pud bdu edy plaí fálně shdná nie ja p ehanié nuené iy. P nsany a dsááe : R b L LC U Ω L Maeaiý zah p eleiý pud usálené sau bude p aé sejný ja p ýhylu ehaniýh iů : I I sin( Ω Φ jeh apliudu ypčíáe ze zahu p apliudu ehaniýh iů : I Ω L ( Ω 4b Ω U ( Ω LC Dsanee a znáý zah - Ohů zán p sřídaý bd : ( R L Ω I ( Ω.C U Ω.L R P fázý psu pa bude plai : Ω.L b gφ Ω.C K KK Ω R Z ěh ni edy yplýají šehny znáé zahy p ipedane a fázé psuy e sřídaýh bdeh, čeně eznanční feene a aliy siláu (ne apily K. Rusňá, eze 0/005, e. 04/006, 0/007, 04/008 9

195 Sládání nběžnýh iů Pinipiálně se nejedná žádný ný pblé, ať jsu iy nběžné, neb ůznběžné (iz další apila, ždy lasně jde byčejné sládání ehaniýh phybů, eé je běžné ehnié paxi a čas užíané e šlníh příladeh (plae plae přes řeu, h sislý a šiý, phyb p spiále,. Uěde si, že pdle. ewna zána je aždý phyb důslede učié půsbíí síly a pdle pinipu supepzie jsu šehny phyby, eé hee sláda, zájeně zela nezáislé. P edy ůžee aždý jednliý (dílčí phyb ypčía zela sasaně, puze z phybé nie s příslušnu silu (eá h způsbuje - a záěe pa šehny dílčí phyby liblné přadí slžíe (sečee. yní si edy předsae učiu delu siuai, dy na jediný hný bd půsbí dě nezáislé pužné síly e sejné sěu (sy y. Předpládeje beně ůzné síly, j. s ůznýi nsanai pužnsi : y y Výslede sasanéh půsbení aždé é síly na hný bd jsu p iy beně zájeně dlišnýh lasnsí : y y sin ( ϕ sin ( ϕ Kde p úhlé feene plaí sandadní ýazy : V jednduhé případě du jednzěnýh phybů jedné se, zísáe ýsledný phyb psý salání suče bu jednliýh ýhyle hnéh bdu - a bude pě jednzěný phyb e sejné se ( y : y y y sin ( ϕ sin ( ϕ Hlaní paaee, eý zhdne néní ýsledu h suču, je feene bu dílčíh iů. Rzlišíe p da zásadní případy :

196 Sládání nběžnýh iů sejné feene V případě edy bude : Výhzí iy jsu p ppsány niei : sin ( y sin ( y ϕ ϕ p ýsledný phyb plaí nie : sin( sin( y y y ϕ ϕ Jde zřejě nejjedndušší žný případ sládání nběžnýh iů. Již při disusi phybé nie haniéh siláu jse dšli záěu, že suče du sinuse sejné feene je pě sinusa nezěněné feene (á ale jinu apliudu a fázu nsanu. Pužijee edy paaně sučé ze : ( ( ( ( sin ( sin s s sin sin sin s. s s sin sin s s sin sin s s sin y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Výpče a pzuje, že ýsledný phyb je suečně pě haniý phybe sejné feene ja ýhzí iy. Jeh apliuda a fázá nsana jsu učeny děa zahy, eé jse pužili při ýpču (iz ýše : ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sin sin sin s s s Dsááe dě nie p dě neznáé (, ϕ, jejih yřešení se ale nebudee ěna. Je zřejé, že pužíání gnieiýh funí s eálnýi ýhylai ede íli pněud ěžpádnu esu. Uaže si dále, ja napa pužií plexníh funí při sládání iů je eli jednduhé a eleganní : ejpe běa jednliý iů přiřadíe plexní ay (plexní fune : i i i ( i i i i ( i e  e e e û e  e e e û ϕ ϕ ϕ ϕ P plexní a ýslednýh iů bude jejih suče : i i i e   ( e  e  û û û

197 Vidíe, že páě sejná feene iů užňuje ynuí expneniely a sečení bu plexníh apliud d ýslednéh plexníh čísla - eé pě - ja aždé plexní čísl - ůže bý zapsán e au plexní apliudy, bsahujíí (nyní salání apliudu ýslednýh iů a jejih fázu nsanu φ : û (  i i iϕ i  e  e e e Vznilý sandadní a plexníh zápisu iů edy paaně a eli jednduše dazuje, že ýsledné iy jsu pě hanié se sejnu feení ja ba půdní iy. Při ýsledná plexní apliuda je suče bu pčáečníh plexníh apliud :    ýsledná plexní apliuda T znaená, že ýslednu apliudu a fázu nsanu elaině jednduše ypčíáe z hdn ěh eličin u pčáečníh ýhzíh iů : iϕ iϕ iϕ e e e ýsledná plexní apliuda Sčíání plexníh čísel sazřejě znaená sandadní sečení jejih eálnýh a iagináníh čásí. V případě plexníh expneniel je žn aé s ýhdu puží jejih gafié znáznění a sečení ja eů, nebť apliuda iů je absluní hdnu plexníh čísla (délu úsečy, eu a fázá nsana je jeh aguene (úhle, eý e síá s su x : y ϕ ϕ x 3

198 pliudu ýslednýh iů je pa žn jednduše dečís z gafu ja délu ýslednéh eu, neb ji lze aé ypčía pí siné ěy : s( ϕ ϕ Ze zahu idíe ýaznu záisls ýsledné apliudy na zdílu fázýh nsan iů, j. na fázé zdílu bu iů : ϕ ϕ fázý zdíl iů Pužií plexníh apliud e spjení s gafiu edu užňuje edy eli yhlé sanení ýslednýh paaeů iů, j. ýsledné (salání apliudy a ýsledné fázé nsany ϕ. Pužií plexníh apliud je aé eli ýhdné p řešení následujííh pbléu : Maxiu a iniu ýsledné apliudy : Zejéna ehniýh apliaíh jsu důležié exéní ýsledné phybé say, j. say s axiální, neb iniální apliudu iů (u ehaniýh nsuí z h plyne axiální, neb iniální naáhání aeiálu, eleiýh bdeh jde zesílení, neb zeslabení ýslednéh signálu, je aé pinip činns nha inefeenčníh a difačníh přísjů, ad.. Páě z gafiéh znáznění plexníh apliud je ihned jasné, že p axiální ýslednu apliudu usí bý ba pčáeční ey suhlasně nběžné, j. usí plai (iz b. : y ϕ x ϕ ϕ ϕ eb jina : ϕ ϕ 0 Dsááe pdínu p fázý zdíl bu iů. Připusíe-li beně jeh liblnu elis, ůžee zbeni : ϕ ϕ 0 ± n π. n 0,,,3 (elé čísl eb nejjedndušší au : 4

199 ϕ ϕ ± nπ pdína axia Slně : ázý zdíl bu iů je en sudéu násbu čísla π, iy jsu edy e fázi. Sejně lehe idíe z gafu pdínu iniální apliudy - pčáeční ey usí bý nesuhlasně nběžné : y ϕ x ϕ ϕ π ± n π. edy nečné au : ϕ ϕ ± ( n π pdína inia Slně : ázý zdíl iů je en lihéu násbu čísla π, iy jsu edy pifázi. Pznáa běa pdíná : Zna plus ínus bu zazíh zdůazňuje, že nezáleží na ladné, či zápné hdně fázéh zdílu. Pud definujee čísl n ja elé, ladné i zápné, ůžee aé en zna ypusi, neb lze puží na leé saně ni absluní hdnu fázéh zdílu.. Sládání nběžnýh iů ůzné feene Výhzí iy ají edy ůzné feene, beně i apliudy a fázé nsany : y y sin ( ϕ sin ( ϕ ýsledný phyb je pě jejih suče : y y y sin ( ϕ sin ( ϕ 5

200 6 a zdíl d předhzíh iů sejné feene en suče nelze yjádři nějau haniu funí, nelze h ani přeés na jinu analyiu funi, dne beně ani nejeí peidičns. Ta lasns je u iů dsi záažná, zjisíe edy dalšíh řádíh pdíny peidičnsi. Pužijee benu aeaiu definii peidy fune ja (nejenšíh inealu nezáisle pěnné, p eé se (ždy pauje hdna fune (a její půběh, iz b. : y T Jesliže edy fune ( y á í nějau peidu T, usí zřejě ždy plai : T y( ( y Dsaďe se naši funi yřenu suče iů ůzné feene : T ( sin ( T ( sin ( sin ( sin ( ϕ ϕ ϕ ϕ Jediná žns zajišění peidičnsi u ěh plianýh půběhů je zřejě ns sinuse sejné feene na bu sanáh nie, j. : T ( sin ( sin ( T ( sin ( sin ( ϕ ϕ ϕ ϕ Dsááe ns funí znáé peidě (π. Rns peidié fune p dě hdny nezáisle pěnné še znaená, že y hdny se liší páě peidu, neb její liblný násbe. Z h edy plynu následujíí pdíny p fáze uedenýh sinuse : π ϕ ϕ π ϕ ϕ n T ( n T ( de n a n jsu liblná elá čísla

201 P úpaě : 0 T 0 T n n π π Členy s feenei přeedee na leu sanu a bě nie ydělíe : T n T n π π Vznine a jednduhá pdína peidičnsi : n n pdína peidičnsi Úhlé feene ýhzíh iů usí bý edy pěu liblnýh elýh čísel. T nsaání ůžee sazřejě ysli i p jejih feene neb peidy, nebť plaí znáé zahy : π f π f f f T T T T Zdál by se, že jse p iy ůzné feene yčepali aeaié žnsi jejih ppisu. Uázala se ša žns exaníh řešení následujííh speiálníh případu : 3 Sládání nběžnýh iů blízé feene Zde jde lasně předhzí pblé suču iů ůzné feene, eý byl pinipu neřešielný : y y y sin ( ϕ sin ( ϕ Pužijee ša přídaný předplad blízýh feení bu iů, eý se eli čas ysyuje ehniýh i eeiýh apliaíh (eli zajíaé a pinipiální jey zniají při zájené půsbení íně zladěnýh siláů (ehaniýh i eleniýh, zpeňe aé na nuené iy a zejéna pa při inefeeni lnění blízýh feení lné gupy, speální analýza :, Vzpeňe ješě na inulý dsae, že siuae při sládání iů ůzné feene je eli plianá a zjednduše dále en pblé předplade sejnýh apliud a sejnýh fázýh nsan, eé pinipu nehu zěni ýslede půsbení ůznýh feení : 7

202 8 0 ϕ ϕ Pa iž dsanee jedndušší zahy : sin sin ( sin sin y není edy pblée pužií lasiýh sučýh zů p gnieié fune ( sinα sinβ : ( s ( sin s sin ( y Jesliže značíe : Pa lze jednduše zapsa ýslede : sin s y iy blízé feene Můžee nsaa, že ýslede sládání du iů blízé feene á slžiý půběh aeaiy nejsu hanié iy - ale pže zjeně plaí : 0 f T π lze en ýslede inepea ja přibližně hanié iy paiy sejné feene ja ýhzí iy, s eli palu pěnnu sinusu apliudu (pže peida T je eliá s apliuda iů blízé feene Tedy ůžee psá : sin y iy blízé feene

203 Kiy lze aé znači ja azihanié. Sinusá apliuda nízé feene ří jausi balu řiu p iy ysé feene (iz b.. Taý ýslede dsanee aé eleehnie při apliudé dulai. y s y sin Z bázu idíe, že peidié zěny apliudy (axia se paují s pliční peidu, j. s feení : f T T f π π π f π f π Dsááe jednduhý zah p feeni peidiýh zěn apliudy, ausie nazýanýh ázy : f f f f f feene ázů Vyizení ázů je edy eli přesný indiáe shdy feení du iů. P lidsé uh i bez hudebníh sluhu dbře pzná shdu feení du ónů a je edy napřílad žn pdle alibanéh zdje (ladičy dnale naladi suny hudebníh násje i sladi dhady elý hes (ne apily K. Rusňá, eze 0/005, e. 05/008 9

204 Vlnní pužnéh psedí Vzni lnní a jeh ppis V inulýh apiláh jse dsi pdbn pbali zné duhy i ja speiální phyb hnéh bdu. Ve s le nás ša šinu neiají jednlié hné bdy (a ani lasn neexisují, ale iaé say pzujee u elýh elýh aspiýh les penýh, apalnýh i plynnýh. a pi ppisu h phybýh sa pa pužíáe pje lnní. Všehna eálná lesa jeí ždy uiu íu pužnsi - as se pužíá eín pužné hné psedí. Pznáa: O pužnsi penýh láe nás pesduje He zán : σ e T je zah píé úy ezi nálý napí (lae a elainí defaí lesa, j. : S l l Pže defae je lasn ýhyla njaéh hnéh bdu lesa (iz báze - leý ný bd lesa z nážné plhy, znaená a nie záladní zah p pužnu sílu (salán, bez znaéna inus : S l l ns. l yziální dele aždéh lesa je susaa hnýh bd a speiáln dele pužnéh hnéh psedí bude susaa pužn ázanýh hnýh bd, e eé ezi aždýi da susedníi bdy psbí pužná azbá síla, eá je úná jejih zdálensi (jaby ezi i bdy byla naažena pyslná pužina.

205 T še znaená, že na aždý hný bd psbí njaá ýslednie pužnýh sil, jde edy susau pužn ázanýh (lineáníh haniýh silá. V nážné, lidé sau je jis sue šeh pužnýh sil na liblný hný bd en nule. Když še yhýlíe en bd z nážné plhy (a n pa lasn zane ia, pušíe náhu sil nejen u yhýlenéh bdu, ale i u bd susedníh y se edy zanu aé phyba a a yláají phyb dalšíh sýh sused... páení ýhyla (iy, zuh se a šíí na šehny sany. až p njaé ase budu ia šehny bdy susay. Pje lnní znauje iání elé susay pužn ázanýh hnýh bd. yziální ppis lnní edy usí bsaha aeaiý zah p iy aždéh bdu susay. Uaže pedeší, že ýhyla néníh hnéh bdu z jeh nážné plhy že í ben psu zela liblný s znaíe ji edy ja e a bude jis záise na plze hnéh bdu a bude se aé ni s ase : u u (, u( x, y,z, bená nie lnní Obené lnní psu edy usí bý ppsán eu funí y pnnýh. Ve speiální, jedndušší pípad že še exisa duzné lnní (na plše : u u ( x, y, aeaiy nejjedndušší a bude jis í lnní bdé ady (iz báze, eu lze dbe ealiza ja sunu, y, zduhý slupe : u u ( x, Ten zápis lze ješ dále zjednduši pípad lineán plaizanéh lnní, dy jsu ýhyly šeh hnýh bd nazáje nbžné. Vey ýhyle edy leží sále jedné in (z. ina