Časopis pro pěstování matematiky

Transkript

1 Časopis pro pěstování matematiky Zdeněk Vančura Pláště kongruence koulí Časopis pro pěstování matematiky, Vol 80 (1955), No 3, Persistent URL: Terms of use: Institute of Mathematics AS CR, 1955 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use Each copy of any part of this document must contain these Terms of use This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 Časopis pro pěstování matematiky, roč 80 (1955) PLÁŠTĚ KONGRUENCE KOULÍ ZDENĚK VANČURA, Praha (Došlo dne 13 října 1954) DT Tato práce jedná o pláštích kongruence koulí Vedle odvození rovnic těchto plástů uvádí a dokazuje tuto jejich vlastnost: Je-li plást kongruence koulí plocha, jest tečná rovina této plochy v ohnisku F příslušná ohnisková rovina / Uvažujme kongruenci L-koulí I Úvahy přípravné P = P(u\ u"), (1) kde p označuje -L-kouli o hexasférických souřadnicích Px(u), Pt(u),, p B (u) Buď u a = u a (t) (a = I, II) libovolná kanálová plocha v kongruenci (1) Potom množina společných plošných elementů pevné L-koule t = t 0 a L-koxůí r, pro něž v(t 0 ) r = 0, kde v = v a p a = -=-- p a, je CA-korelace kanálové plochy ďia^ díi/'""^ -= = cli na zkoumané -kouli t = t 0 Tuto C%-korelaci budeme nazýv 1 v 11 váti elementární plochou dané kanálové plochy v kongruenci (1) a značiti v nebo v a Roviny elementárních ploqji na pevné kouli p kongruence (1) tvoří svazek (projektivní se svazkem elementárních ploch), jehož osa má s koulí p dva reálné různé body společné právě tehdy, když dp dp A 2 > 0, (A 2 = a II a nn -af n > '*u = jjf ^ = PÍ Ps) t 1 ] Předpokládejme i 2 >0a uvažujme kongruenci (1) jen v takové oblasti, kde p 5 PQ 4= 0 Jelikož používáme homogenních souřadnic, můžeme položiti p 5 =- 1 Tedy v uvažované oblasti (definiční) bude kongruence (1) obsahovati pouze reálné koule 1 ) x ) Všude dále uvažujeme kongruenci (1) jen v té oblasti, ve které jsou splněny uvedené předpoklady Mluvíme potom stručně o kongruenci koulí (1) (Pouze ve větě II nepožadujeme nutně p 5 =-= 1) 31?

3 Definice 1 Všechny elementární plochy podél koule p (dané kongruence kouli) mají společné pravé dva reálné plošné elementy Body (roviny), které jsou součástí zmíněných plošných elementů, budeme označovati jako ohniska F h (ohniskové roviny f h ) (h = 1,2) koule p (dané kongruence koulí) [2] 2 ) Platí věty; I Budp koule kongruence koulí (1) Potom všechny kanálové plochy v kongruenci (l), proložené koulí p, mají v ohnisku F h koule p společnou tečnou rovinu f h [2] 3 ) Důkaz Kanálová plocha (proložená koulí p kongruence (1)) jest obálkou jednoparametrického množství koulí p =- p(t) Kružnice, tvořená body Chkorelace (uvažované kanálové plochy) na kouli p je identická s hlavní křivkou uvažované kanálové plochy (na kouli p) Roviny CA-korelace jsou tečné roviny uvažované kanálové plochy v bodech zmíněné hlavní křivky Tedy všechny kanálová plochy v kongruenci (1), proložené koulí p, mají v bodě F h společnou tečnou rovinu f h II Bud p koule kongruence koulí (1) Potom rovina libovolné elementární plochy v c v kongruenci (1) má v pravoúhlých kartézských souřadnicích x v x z, x z (ve kterých má kongruence koulí rovnice (1)) rovnici kde Pv «1 Pbi»«X x +, v 2 x г + Pз, V 3 x ъ + 2" 1 Pi, v 4, *i Pъ, Pь, V ь 0 v v cљ (2) [2]*) Důkaz Jelikož p je koule (kongruence (1)), jest p 5 =t= 0 Buďtež (L-koule) r body C%-korelace plochy v = v*p a na kouli p Potom platí: r r = 0, r 6 = 0, r p = 0, r v = 0 Položme r 5 = 1 (což zřejmě můžeme učiniti) Rozepsáním třetí a čtvrté rovnice (z předešlého řádku) dostáváme: r xpx + r %p% + r *p* + z-hw* + PÚ = 0, r x v x + r 2 v 2 + r 2 v z + 2'^r^ + v á ) = 0 Vynásobme prvou rovnici výrazem v 5, druhou výrazem p 5 a rovnice takto vzniklé sečtěme Jelikož pro pravoúhlé kartézské souřadnice x v x 2, x z bodu * ( r i> r»> r 3> r 4> r t» *\$) platí, vzhledem k předpokladu r 6 =l, x { = r, (ť = 1,2, 3), dostáváme výše zmíněným sečtením pro rovinu elementární plochy v = v a p a rovnici: 318 Px, Ч x x + Pг, v% Ж* + Pз, v 3 Pъ, «6 Pь, v ъ Pь, v ъ *з + 2" Pi, v t 0 Pb, V ь *) Rozlišeni ohnisek (na první a druhá) viz poznámka 1 za důkazem věty 1 s ) 4 ) Jelikož důkazy těchto dvou vět nejsou v práci [2] otištěny, uvádíme je zde

4 Definice 2«Geometrické místo ohnisek F h (h = 1,2) koulí kongruence (l)se nazývá h4ý plást kongruence (1) [2] II Pláště kongruence koulí Budtež x, y, z pravoúhlé kartézské souřadnice, x x, x z, x B, x á příslušné homogenní kartézské souřadnice Uvažujme h-tý plášť kongruence koulí p = p(u) (rovnice vztažené k soustavě souřadnicové x, y, z) v takové oblasti, v níž body kde -4 = (d u, ~~d u, 0, 2d u ), B = (d 2Z, -d 13, d u, 0), (3) d u = 2 dpt existují a jsou od sebe různé Buď dále ^? M du 1 ' du 1 dpj_ (4) du 11 ' 8u 11 k(x) = x\ + x\ + x\ p^x\ 2p x x x Xt Zpupni 22>3 C 3 o; 4 (5) Potom platí: Věta 1 h4ý plášť (h = 1, 2) kongruence koulí p = p(u) má v homogenních kartézských souřadnicích x t (i = 1, 2, 3, 4) rovnice x i == %3 fthdlz > # pfri čemž pro Á h, fi h platí *hdu + fthdm, x 2 = Andu ~~~ f^h^xz > 2A ft đ 12 > k(á h A + fx h B) = 0, ^ : X x + /i 2 : h (7) Důkaz Ohniska i^ (A = 1, 2) koule p (dané kongruence) jsou průsecné Ibody osy svazku rovin všech elementárních ploch (podél koule p) s koulí p Tuto osu stanovíme jako průsečnici rovin elementárních ploch v c = (1, 0) a "v = (0, 1) Potom vzhledem k větě II odstavce I jest osa svazku určena těmito rovnicemi: du 1 1 l du 1 * ' a^ 2^l æ + 2^ж 4-2^0; 4--^ ж -0 (6) ðîí 1 (8) Potom, vzhledem k předpokladům uvedeným před větou 1 a vzhledem k rovnicím (8), má osa svazku s rovinou # 3 = 0 právě jeden společný bod A a s nevlastní rovinou # 4 = 0 právě jeden společný bod B (viz (3)), při čemž A + B Můžeme tedy ohniska F h (h = 1, 2) vyjádřiti ve tvaru F h^k h A + [* h B 9 (9) při čemž pro X h, fx h platí (7), je-li k(x) = 0 rovnice koule p (v souřadnicích x x, x 2, # 3, # 4 ) Jak snadno plyne z definice hexasférických souřadnic koule p [1], 319

5 jest ^X) as O, kde k(x) je definováno v (5), rovnice koule p Rozepíšeme-li symbolickou rovnici (9) (používajíce (3)), dostaneme na základě poznámky 1*) rovnice (6) Poznámka 1 Ohnisko, přiřazené (nezávisle na u l, u 11 ) jednomu kořenu rovnice (7), označujeme jako první ohnisko F x ; ohnisko, přiřazené zbývajícímu kořenu rovnice (7), označujeme jako druhé ohnisko F 2 Vzhledem k předpokladům jest /i x : A x =t= fi 2 : X 2 Poznámka 2 Rovnici (7) můžeme rozepsati takto: k(a) XI + k(b) & + k(ab) V* = 0, (10) kde k(a) resp k(b) dostaneme z k(x), položíme-li X = A resp X = J5 Je-li A = (a x> a 2, a B, a á ), B = (b X9 b 2, 6 3, 6 4 ), jest k(ab) = 2(a x b x + a 2 b 2 + a z b z - p 4 a p x (a x b A + a é b x ) - p 2 (ajb é + a á b 2 ) - p z (a z b é + aj) z )) Dále platí: Vita 2 Je-li h-tý plást (h 1,2) kongruence kouli plocha, jest tečná rovina této plochy v ohnisku F h příslušná ohnisková rovina f h Důkaz Buď h-tý plášť kongruence koulí (1) plocha (v jisté oblasti) Buď F h libovolný regulární bod této plochy; buď to h-té ohnisko koule p(u) kongruence (1) Potom S = (p %9 p 2, p z ) je střed koule p(u) Umístěme nyní pravoúhlou kartézskou soustavu souřadnicovou (v E z ) tak, že její počátek splyneš ohniskem F h a osa z s přímkou F h S Potom A = F h, a tedy (jelikož d X2 (u) je spojitá funkce u 1, u u )d x2 (u) 4= 0 nejen na kouli p(u), nýbrž i v jistém jejím okolí Tedy v bodě F h a v jistém jeho okolí má h-tý plášť kongruence koulí (1) rovnice (6), při čemž d^^^ + O (11) Mimo to, jelikož ohnisko F h jest vždy vlastní bod, jest v rovnicích (6) W,*O + 0 (12) Vzhledem k (11) a (12) můžeme tedy rovnice A-tého pláště kongruence (1) (v bodě F h &v jistém jeho okolí) vyjádřiti v nehomogenních kartézských souřadnicích x, y, z takto: 12 \d n + h dj> V 2 \d 12^\dj> (13) ' 2 Å h Máme nyní dokázati, že tečná rovina plochy (13) v bodě F h = (0, 0, 0) je příslušná, ohnisková rovina fh, t j rovina jdoucí bodem F h kolmo k přímce F h S 320 *) Následuje i&a důkazem-

6 Zřejmě platí: Tečná rovina plochy (13) v bodě F h je příslušná ohnisková rovina f h právě tehdy, když přímka F h S je kolmá na tečny obou parametrických křivek plochy (13) v bodě F h Dokážeme tedy, že přímka #7$ je kolmá na tečny obou parametrických křivek plochy (13) v bodě F h Provedeme důkaz této věty pro h = 1 (pro h = 2 se provede, jak uvi*> díme, úplně stejně) K vůli stručnosti napíšeme rovnice plochy (13) takto: Je-li potom vektor o souřadnicích x == -i fe, _\ _%_\ \ (d, p d \ y 2J \á 12 "*" l dj ' ~ 2 \d 12 + X dj ' (14) Z ~~2l' 1 ju U = (u v u z, u z ) resp V = (v v v 2, v z ) dx dy dz Ul ~'~J 9 U2 ~~č> Uz ~w resp vektor o souřadnicích dx dy dz Vl ~fr~> V2 ~du^' v *~ ess a W = (w v w %, w z ) vektor, jehož umístění jest dvojice bodů S, F hi máme dokázat, že (v F h ) jest: UW=0; (15) V W=0 (16) Provedeme nejdříve důkaz (15), Vzhledem k výše popsanému umístění pravoúhlé kartézské soustavy souřadnicové jest v F h : w x = w 2 = 0, w z =# 0 (17) Tedy dokázat (15) znamená dokázat, že v bodě F h = (0, 0, 0) (h = 1) jest Podle definice W jest w «-» = <> (18) ->---*~ífe + X i! - 2! ") - BS ( á '< + T á» " H '-*- &+ $fe + *)-ŠŠ (* + $*-+-**) «=» - T = I (f " 2ř) - 2^ (f «- 2árf) 321

7 V bodě F h - (0, 0, 0) jest tedy vzhledem k (17): Vzhledem ke (14) jest kde vzhledem k (10) a (12) pro j platí <-M +jd i3-2d lipl = 0; (19) d lt + d ls + 2<ř 12 p 2 = 0 (20) «8=-^ aw 1 = -o^( 2 eu J XJ (21) k(b) (l)* + t(ab) + k(a) = 0 (22) Parciální derivací rovnice (22) podle ti 1 dostáváme: luyek(b) p e U\ u ek(ab) e M ek(a) _ \1) eu * (jk) xe^u) + i w + k(aji >du^tf + eu 1 ~ 0 ' \2k(B) j + k(ab)^ \jj = - \jj - ^ - \j], z čehož, za předpokladu dostáváme 2k(B) j + k(ab) * 0, ( 23) IňX dk ( B ) _ /_M ^(^ g ) W) j)_lu\ ЦŁ) \XI \x) du \x) l *UI 1 \XI du 1 du 1 du 1 2k(B) ij + k(áb) Vzhledem k poznámce 2 za důkazem věty 1 jest: k(a) == d % + dt - 4p d? - ép^d^u + épaa* > u é 4 2 k(b) =*dl + d% + d* n, k(ab) = 2d^i H + 2d %^d u 40^^, + fy^i^i* 4 -P^ Dosadíme-li ze (24) do (21), dostáváme: _ i i rte \" *(B) / A ek(ab) sk[ay\ (24) V uvažovaném ohnisku J* == (0, 0, 0) platí (vzhledem ke (14)): l&n, (* d \ _ -1 /á 14,fid li \_ 1 _ 7 te + 7 ^"J ~ ' ~2~ fc + 7'íJ ~ ' 2 A ~ u '

8 z eehož plyne: Vzhledem k (11), (19), (20) dostáváme: P = 0, d 24 0, (26) u = 0, d 2>x = 0, p t =0 " (27) V ohnisku F h = (0, 0, 0) jest, vzhledem k (17), (26) a vzhledem k vyjádření w z >p 3 4= 0, a tedy, vzhledem k (26), (27), (11) a k vyjádření k(ab) s splněn předpoklad (23) Jest tedy u z v ohnisku F h = (0, 0, 0) dáno rovnicí (25) Derivujeťne-li parciálně k(a) podle u 1, dostaneme: 4d л Љ + ЫjЉL-Щ г Џ± Єd, ы 8 Єu 1 iг Єu 1 Pi Єu 1 Єfr Єu 1 4j»Ai -g^r - ^Pi^it Єd гi Єd, + **i A4 8z + 4PA* x* ~- du + 4PJ» ^ 1 du 1 ' " V ohnisku JF\ = (0, 0, 0) jest vzhledem k (26) a (27) dk(a) du 1 a tedy vzhledem k (25), (26) a (28) ^O 4đl2 1 2p 3 df 2 ^ Єu 1 W o + г P i ð<^12 Єu 1 Єu 1 )- V ohnisku F h = (0, 0, 0) platí dále Vzhledem k (26), (27), (22) a (11): t j (vzhledem k (11)) k(a)= - 4 ^ 2 = 0, 2> 4 = 0 Vzhledem k (4) a (26) jest v F h = (0, 0, 0): + (28) (29) (30) Jelikož (podle (4) a vzhledem k (11)) jest vzhledem k (31): ep x ep t ep x ep t eu 1 eu 11 eu 11 eu 1 0, ep % ep t ep 2 ep eu 1 eu 11 eu 11 * = 0 eu> ЄJҺ Єu 1 Єu 1 Єpi Єu 11 І_? Єu 11 ^i = 0 Єu 1 U * = -T«Í U ФO Єfr Єu a 0 (31) (32) 323

9 Z (29), (30) a (32) tedy plyne, že v ohnisku F h = (0, 0, 0) (h = 1) platí a tedy také (15) % = 0, (33) Píšeme-li v právě provedeném důkaze (33) všude u 11 místo u l (vyjma v (31) a (32)) a v B místo u B, dostáváme a tedy také (16) *> 3 = 0, (34) Tím jsme provedli důkaz věty 2 pro h = 1 Jak ihned patrno, jest tento důkaz zároveň důkazem věty 2 pro h = 2 Poznámka 3 Jako příklad kongruence koulí, jejíž oba pláště jsou plochy, uvádíme kongruenci P = p \x, y, j, - x* tř> 1, j), x > 0, y > o, kde x, y, z jsou pravoúhlé kartézské souřadnice (viz [2]) LITERATURA 1 ] V Hlavatý: Zur Lie'sehen Kugelgeometrie: I Kanalfláehen Věstník Král ées společnosti nauk, Praha 1941 K Lieově kulové geometrii: II Kongruence (Elementární vlastnosti) Rozpravy II třídy České akademie, roé LI, 6 33 [2] Z Vančura: Les eongruenees de Lie-sphěres (JL^sphěres) Spisy přírod, fakulty Karlovy university, ě 194, str 20 28, Praha 1950 Резюме ФОКАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЭНЦИИ СФЕР ЗДЕНЕК ВАНЧУРА (Мепёк Vапси^а), Прага {Поступило в редакцию 13/Х 1954 г) &и а др Под элементарной поверхностью у = ь й р а = -~- каналовой поверхности и а = и а (1) в конгруэнции сфер р = р(и*, и 11 ) вдоль фиксированной ^феры I = * 0 мы понимаем множество поверхностных элементов, общих фиксированной Ь~сфере I =? 0 и 2/-еферам г, для которых имеет место

10 (( ) = о Рассмотрим конгруэнцию сфер р = р(и) в такой области, у 0 щ г где А 2 > 0 (А 2 = а 11 а пи а 1П, а и = р 4 р л ) [1] и дадим такое определение: Определение 1 Все элементарные поверхности вдоль сферы р конгруэнции сфер р =- р(и) имеют в точности два общих (действительных) поверхностных элемента Точки (плоскости), из которых состоят эти поверхностные элементы, мы назовем фокусами (фокальными плоскостями) сферы р конгруэнции сфер р = р(и) и обозначим символами 1Р к (/ & ), где к = 1, 2 [2] Определение 2 Геометрическое место фокусов Р к (к = 1, 2) сфер конгруэнции р = р(и) называется к~той фокальной поверхностью конгруэнции сфер р = р(и) [2] В работе, во-первых, выводятся уравнения фокальных поверхностей конгруэнции сфер р = р(и) (см теорему 1), во-вторых, рассматривается и доказывается важное геометрическое свойство фокальных поверхностей конгруэнции сфер р = р(и) (см теорему 2) Рассмотрим &-тую фокальную поверхность (&= 1, 2) конгруэнции сфер р = р(и) в области, в которой существуют две несовпадающие точки где Пусть далее л = (<* м, - «г 14, о, 2а 12 ), в = (а 2В, - й 1Ь, а 12, о), дри др^ ди 1 ' ди 1 дуг др, ди 11 ' ди 11 в(х) = х\ + х\ + х\ р 4 х 2/)^^ 2раяг ь а: 4 2р г х ъ х^ Тогда имеет место Теорема 1 к-тая фокальная поверхность (к = 1,2) конгруэнции сфер р =-= р(2г) выражается в однородных декартовых координатах х { (г = 1,2, 3, 4) уравнениями х % == л к а 2 ± ~г > к а 2 й 1 х 2 = (ЯдЛде "г /^л%з)» # 3 = 1л к а г2, # 4 = 2Л А <х 12, причем для Х к, /и к имеет место а(х к А + /^Я) = 0, ^ : Д х + ^2 : А 2 Теорема 2, Если к-тая фокальная поверхность (к = 1,2) конгруэнции сфер не вырождается в кривую линию (является действительно поверхностью), то фокальная плоскость ( к касается этой поверхности в фокусе!? к 325

11 Résumé LES SURFACES FOCALES DES CONGRUENCES DE SPHÈRES ZDENËK VANCURA, Praha (Venu le 13 octobre 1954) La surface élémentaire v = v"p a = -ry --- d'une surface enveloppe de sphères u a = u a (t) de la congruence de sphères p = p(u x, u 11 ) le long de la sphère t = t 0 est par définition l'ensemble des couples focaux, communs à la Zrsphère t = t 0 et aux L-sphères r, oîi v(t Q ), r = 0 On définit (en supposant A % > 0, A % = a ll a an a\ lv a it = pi pi) [1]: Définition 1 Toutes les surfaces élémentaires le long de la sphère p d'une con* gruence de sphères p = p(u) ont en commun deux couples focaux Les éléments des couples focaux sont le point et le plan On désigne ce point (ce plan) par F h (f k ) (k = 1,2) et on Vappelle le foyer (le plan focal) de la sphère p de là congruence p = p(u) [2] Définition 2 Le lieu géométrique des foyers F k (k = 1,2) des sphères de la con* gruence p = p(u) s'appelle la k iime surface focale de la congruence de sphères p = p(u) [2] Ce travail traite des surfaces focales de la congruence de sphères p = p(u)* D'une part on y déduit les équations des surfaces focales de la congruence de sphères p -= p(u) (vois théorème 1); d'autre part on y démontre un théorème, concernant une propriété géométrique des surfaces focales de la congruence de sphères p =- p(u) (vois théorème 2) Supposons maintenant la k ïbm * surface focale (k = 1,-2) de la congruence p ss p(u) dans un tel domaine, où A = (d u, d u, 0,2d 12 )> B = (d 2Z> d xz> dpi dp дu l ' дu 1 d Ui 0) sont deux points distincts, où d u = 2 Soit дu 11 ' õu n s(x) = x{ + x\ + xl p&l 2p x x x x é 2p 9 x v xi 2p z x z x 4l On obtient ensuite les théorèmes suivants: Théorème 1 La k ihmb surface focale (k = 1,2) de h congruence de sphèrea p = p(u) a, en coordonnées homogènes cartésiennes x t (i = 1, 2, 3, 4)» les équations suivantes: 326 x z =--3 fi k d lt9 # 4 = 2A ifc d! 1 2 y

12 oit X k, fi k satisfont à Véqwdion s(x k A + fi k B) = 0, /i x : X x 4= fz 2 : X % Théorème 2 Si la & ième surface focale (k = 1, 2) de la congruence de sphères p = p(u) est une surface, elle touche le plan focal f k au foyer F k 327