Aplikace matematiky. Zdislav Kovářík Zrychlování konvergence lineárních iteračních procesů v Banachových prostorech
|
|
- Anna Mária Hájková
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Apliace matematiy Zdislav Kováří Zrychlování onvergence lineárních iteračních procesů v Banachových prostorech Apliace matematiy, Vol. 11 (1966), No. 4, Persistent URL: Terms of use: Institute of Mathematics AS CR, 1966 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library
2 SVAZEK 11 (1966) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 4 ZRYCHLOVANÍ KONVERGENCE LINEÁRNÍCH ITERACNICH PROCESU V BANACHOVÝCH PROSTORECH ZDISLAV KOVÁŘÍK (Došlo dne 5. července 1965.) Při řešení rovnice x = Ax + b iteracemi je možno využít znalostí rozladu operátoru A urychlení onvergence posloupnosti postupných aproximací. Zvláštní případy (v onečněrozměrném prostoru) níže popsaných metod jsou uvedeny v [1], str, 570 a v [2], str V této práci je věnována pozornost zobecnění Ljusterniovy metody. Tvrzení mají asi tento tvar: Známe-li něoli co do absolutní hodnoty největších vlastních čísel operátoru A (lhostejno, jaé násobnosti) a je-li počáteční aproximace ještě dosti daleo od řešení rovnice, existuje vzorec, pomocí něhož lze po dostatečně mnoha iteracích zísat aproximaci, bližší přesnému řešení než něoli následujících iterací. X značí Banachův prostor, 0 současně číslo nula, nulový vetor a nulový operátor,. normu v X, I identicý operátor. Ostatní označení, poud nejsou všeobecně známá, budou vysvětlena na příslušném místě. V celém článu A je lineární operátor, pro terý platí A = ]T // ř _. + B, de E\ = í=i = E h E { Ej = 0 pro i +j, AE { = E^A = nfi h \JL % + 1, r(b) < min, /i f (ij = = 1,..., ), přitom r(b) značí spetrální poloměr operátoru B. Předpoládáme, že B, E t a (I A) -1 jsou omezené lineární operátory, p t obecně omplexní čísla. Označme x = (I Á)~ l b, de b e l Budiž dále x Q e X, x n + í = Ax n + b pro s n = 0, 1,... Budiž s přirozené číslo, P(X) = ]T a^1 polynom stupně nejvýše s taový, že I = 0 (i) rfrd-r- (*«!...*) 1 - PÍ Věta 1. Pro m = 0, 1,... položme x m = x m + ot 0 (x m x m ) a s( x m + s+i ~ x m + s). Nechť E h x) + 0 aspoň pro jedno i 0, 1 g i 0 =. Pa ^ aždému přirozenému číslu p existuje taové m 0 (p) = O(p), že pro všechna m m (p) platí = 0 ( 2 ) \\x m - x\ = \x m+p - x\. 266
3 Důaz. Z předpoladů plyne, že E { B = BE t = 0. Pro m = 1 platí A m = tfe t + B m i=l P(A) A m = uj( pą^e, + B' + ") = p7 P(p,) E t + ß'" P(B). j = 0 i = 1 i = 1 Označme e, = x m x, e, = x, x. Je pa m = 4% = (Í> m E ř + ZT)e 0, Sm = e m + I«y(e, + J e m+/ ) = A% + axa m+^+i - A m + J ) e 0 = J'=0 j = 0 = (A»'-(/-^)p(^)A'«) eo = = [ í * "(- - (1-0.) -fy.)),' + 5m (! - (I - B) P(B))-] e 0 = i = l = B m (I-(l-B)P(B))e 0 vzhledem (1). Označme x x = F;x, de E 0 = I ]T E ;. Z x = E^.x plyne j=0 ' 7=1 7=0 (3) ^ NsNi^H. de X = le y. 1 = 0 Odhadněme normy chyb: to jest I+Ji = E H m+p Uvolil + l B m+ % i =Í l" + ' i.8o - i=l (4) K- 1 At,. 0 m + " E ío e 0 íí e ra + p, ( 5 ) IIM = M-II-vI-^IWIUMI- Protože r(b) < \p lo \, je lim, E m / ju, 0 m = 0. Vezmeme-li m 0 (p) ^ 1 ta velé, aby pro všechna m ^ m 0 (p) platilo e_1 < llfaoj oj"'" ^ lo. I-(I--B)p(B) ' bude podle (4), (5) vyhověno vztahu (2). Přitom můžeme zvolit m 0 (p) = O(p). QED. Poznáma 1. Jestliže S(X) = ( - ii t )... ( - /x fc ), pa P(A) = (5(1) - S(A)) : : ((1 - A) 5(1)) + Q(X) S(X), de g je vhodný (třeba nulový) polynom. Ke onstruci P stačí tedy znát algebraicou rovnici, jíž vyhovují všechna jx h a není nutno ji řešit. 267
4 Poznáma 2. V početní praxi se nejčastěji setáváme s případy = 1, p í reálné, nebo = 2, p { = \x 2, resp. /i x = p 2. Polynomy P minimálního stupně pa mají oeficienty a 0 = 1/(1 p t ) nebo a 0 = p/(1 + p + q),oc 1 1/(1 + D + g), de p = p { + // 2, q = /*IJ" 2 - Obvyle ju ř < 1. Poznáma 3. Z důazu vidíme, že proces popsaný ve větě 1 dá přesné řešení po onečně mnoha rocích, je-li operátor B nilpotentní (to jest existuje r ta, že B r = 0), napřílad je-li AX onečněrozměrný a p L jsou všechna nenulová vlastní čísla operátoru A. Poznáma 4. Případný vyšší polynomu P nám dává možnost zmenšit normu operátoru I (I B) P(B), vystupujícího ve výrazu pro E m. Pro = 0, s g: 1 nese tato metoda jméno M. K. GAVURINA, pro = s + l = 1 nebo 2 jméno L. A. LJUSTERNÍKA (viz např. [2]). Je-li fi 1 blízé číslu 1, je vhodný vzorec x m = x m + (1 fi])' 1 (x m+r x m ) apod., odpovídající iteraci s operátorem A r. V následující větě uážeme, že e zrychlení onvergence stačí dostatečně dobrá přibližná znalost polynomu P. Věta 2. Nechť posloupnost {P m } polynomů stupně nejvýše s má tyto vlastnosti: Existuje oolí U x spetra operátoru B a oolí U 2 onečné množiny {/i 1?..., ji } ta, ze posloupnost {P m } je stejnoměrně omezená na U t a (6) \(P m (l) - P(X)\ = o((min ( H/max ( /i i f) stejnoměrně na U 2. s Označme P m (X) = a im /V a x m = x m + ^om( x m+i - x m ) cc sm (x m+s+l - j=í x m + s ). Nechť E io x) + 0 aspoň pro jedno i 0, 1 ^ i 0 ^. Pa e aždému p existuje m 0 (p) ta, že pro všechna m ^ m 0 (p) ( 7 ) \\ x m ~ x \\ ú \\x m+p - x\\. Důaz. Pro e w = x m x a pro m ^ 1 platí L = (I.-7(1 - (1 - di) PM) E. + B m (I - B) P m (B)) s 0. i = l platí Označme K í = min ř // (, K 2 libovolné číslo z intervalu (r(b), K x ), K 3 = max ( /i,, * 4 = l*i\ H-EiH. ^5 = sup, / - (/ - B) P m (B),», = sup { F, (A) - P(X)\ : :XeU 2 }. Pa ^m(k 3 K í ) m = 0(1), K 5 < + oo. Existuje m t ta, že pro všechna m ^ m. platí B m < K m (plyne to z (6) a z [3], ap. VII) a tedy (8) e m ^ (K 4 K m // m + K 5 K m 2 ) \\e 0 \\, (9) e m+p ^ K-^r^lE^oll 268
5 Stačí zvolit m 0 (p) ^ m í9 m 0 ( p ) ^ 1? ta? a b y p r o všechna m ^ m 0 (p) platilo (KM K 3lK x ) m + K^K^K.f) \\s 0 \\ = K-IF^ol Kl > a pa vzhledem (8), (9) bude platit (7), neboť limita levé strany poslední nerovnosti je nula. QED, Poznáma 5. Známe-li posloupnosti {fi ím },..., {fi m } (p. im 4= 1) onvergující poradě p, u...,ju, pa posloupnost S m (X) = ( - p. lm )... (A - fi m ) onverguje loálně stejnoměrně S z poznámy 1 a požadovanou posloupnost P m (X) můžeme volit např. tato: P m (X) = (S m (l) - S m (X))l((\ - X) S m (i)) + Q(X) S m (X). Poznáma 6.. Předpolad E io - x) 4= 0 aspoň pro jedno i 0, 1 ^ i 0 ú fc" se ověřuje nesnadno. Je-li splněn, pa zrychlení onvergence nastává z té příčiny, že fi m = o(k m ) (v označení důazu věty 2). Není-li splněn, tj. E t x) = 0 pro všechna i, pa ze vzorců s m = B m s 0, e m = B m (l (I B) P m (B)) s 0 = (I - (I - B) P m (B)) s m9 r(b) < K! a onečně / - (/ - B) P m (B)\\ = 0(1) vidíme, že chyba s m není asymptoticy horší než e m (má totiž stejný řád o(k m )). V praxi vlivem různých chyb (zaorouhlovacích nebo vznilých náhradou funce polynomem atd.) se obvyle aspoň jeden ze zmíněných průmětů počáteční chyby stane nenulovým a pa jeho podíl na celové chybě roste s rostoucím m. Poznáma 7. Nechť X = E n. Uvědomme si, že x w+1 x m = A m (x l x 0 ). V literatuře ([1], [2]) je uvedeno, ja lze tohoto fatu využít přibližnému určení převládajícího vlastního čísla, resp. páru omplexně sdružených vlastních čísel. Řád aproximace, je aspoň taový, jaý vyžaduje předpolad (6) věty 2. Volíme-li /4 J m ( x m+i ~~ x m+i) 0) l( x m+i ~~ X m) (j) (j značí pořadí složy vetoru z E% dostáváme (zde s = O, = 1) x (j) = (x^jl 2 - (x^ J 2 ) ^ + Xm% 2-2x^1 x), tj. Aitenův O^2-proces. Zde je malá licence: aždé složce vetoru x m přiřazujeme jinou posloupnost polynomů P m \X) = 1/(1 /L ( /2)- Závěr. Operátory připouštějící částečný rozlad dříve popsaný, se v apliacích často vysytují. Názorně řečeno, jde o existenci ruhu o středu v počátu, v jehož vnějšu leží jen izolované body spetra daného operátoru. Speciálně tam patří všechny ompatní operátory, operátory tvaru oci + K, de K je ompatní a a je dostatečně malá (podle [3], ap. VII), a ještě napřílad onečné lineární ombinace navzájem omutujících omezených projetorů (poud ovšem 1 nepatří do spetra uvažovaného operátoru a zmíněné body mají index 1). Příladem neompatního operátoru posledního typu je v prostoru L 2 ( oo, -f oo) integrální operátor A s jádrem z x 1 cos a(x t) }, ^ K(x, t) = ( a > 0). n(x t) Důaz. Označme T operátor Fourierovy transformace, B operátor násobení funcí ix(~ a,o)( x ) ~ fr<o,«>(*) Výpočtem se přesvědčíme, že T~ l BT= A, tj. A a B mají stejná spetra, a spetrum operátoru B je {0; i; -/}. Přitom projetor E(-i) 269
6 operátoru B promítá L 2 ( oo, + co) na prostor izomorfní s L 2 (0, a), a ten má neonečnou dimenzi, taže ani B ani A neni ompatní. QED. ЬНегаШга [1] I). К. РаМё}еV, V. N. Гаа'а'ё^еуоуа: ^тепскё те!оду Ппеагт а1 еьгу; 8 Х, РгаКа 1964 (ргемаа 1 2 гшгту). [2] И. С. Березин, Н. П. Жидков: Методы вычислений, т. II; ФИЗМАТГИЗ, Москва [3] Н. Данфорд, Дж. Шварц: Линейные операторы (общая теория); ИИЛ, Москва 1962 (перевод с английского). Резюме УСКОРЕНИЕ СХОДИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ИТЕРАТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРОСТРАНСТВАХ БАНАХА ЗДИСЛАВ КОВАРЖИК (2^I5^АV КоуАй!к) В настоящей работе дается обобщение метода Л. А. Люстерника для ускорения сходимости итеративных процессов типа х п+1 == Ах п + Ь, где х, Ъ элементы пространства Банаха, А ограниченный линейный оператор, спектр которого не содержит 1. Если известна оркужность с центром в началае, вне которой лежат лишь известные нам изолированные точки спектра А, то определенная в работе линейная комбинация нескольких х п дает асимптотически лучшую оценку точного решения уравнения х = Ах + Ь, чем обычные аппроксимации. 8иттагу СС^УЕКСЕЖГЕ АССЕЕЕКАТКЖ ОР ШЧГЕАК 1ТЕКАТ1УЕ Ш ВА^СН ЗРАСЕ8 РЯОСЕ85Е5 2^I8^АV КОУА&1К А ^епегапгайоп ог Еи51егшк'5 те1ьос! Гог ассе1егапп 1Ье сопуег^епсе ог 1Ье кегайуе аррггштанопз х п + 1 = Ах п + Ь 1о Иге 5о1ийоп х ог х = Ах + Ь 15 1Уеп. Неге х, х, Ь аге е1етеп!5 ог а Вапасп зрасе, А 13 а Ъоипёеё Нпеаг орега1ог Ггот 1Г115 зрасе 1п1о 11 е1г иснша! (I А)' 1 1$Ъоипа1ес1.1Гайш1е5е1оГ15о1а1её йотшап! е1 епуа1ие$ о Г А 18 кпо\уп, Шеп Го г апу пхеё р апо! 8иГпс1еп11у 1аг е я 1Неге сап Ье сош!гис!её а Ппеаг сотыпайоп х п ог х,..., х п+5+1 у^ыск 15, т епега1, пеагег Хо х 1Нап х л+,. Аа'геза ашога: 2аЧ<>1ау КоVаНк, Ка^еа'га тагетаглку РЕ ШЛ$, Шт. РеЬгиагоуёЬс У11:а2 1уа 9, Ко51'се, 270
Funkcionální rovnice
Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 23. Klasifikace regulárních párů matic In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 162--168. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401352 Terms
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
VíceSymetrické funkce. In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Symetrické funkce Kapitola III. Symetrické funkce n proměnných In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 24 33. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404069 Terms
VíceAplikace matematiky. Josef Čermák Algoritmy. 27. PSQRT. Řešení soustavy rovnic se symetrickou pozitivně definitní
Aplikace matematiky Josef Čermák Algoritmy. 27. PSQRT. Řešení soustavy rovnic se symetrickou pozitivně definitní (2m + 1) diagonální maticí Aplikace matematiky, Vol. 17 (1972), No. 4, 321--324 Persistent
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
VícePolynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
VíceKongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 16. Hodnost a nulita matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 106--115. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401345 Terms of use:
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Langr O čtyřúhelníku, jemuž lze vepsati i opsati kružnici Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 28 (1899), No. 3, 244--250 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122234
VíceÚvod do neeukleidovské geometrie
Úvod do neeukleidovské geometrie Obsah In: Václav Hlavatý (author): Úvod do neeukleidovské geometrie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1926. pp. 209 [212]. Persistent URL:
VíceNerovnosti v trojúhelníku
Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav
VícePolynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře Výsledky cvičení a návody k jejich řešení In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 94 [102]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403718
VíceKongruence. 5. kapitola. Soustavy kongruencí o jedné neznámé s několika moduly
Kongruence 5. kapitola. Soustavy kongruencí o jedné neznámé s několika moduly In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 55 66. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403657
VíceBooleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
VíceO nerovnostech a nerovnicích
O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Ferdinand Pietsch Výpočet cívky pro demonstraci magnetoindukce s optimálním využitím mědi v daném prostoru Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933),
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
VíceKongruence. 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence
Kongruence 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 43 54. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403656
VíceAritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 1. Doplnění naznačených výkonů In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 5 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/4329
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
VíceAplikace matematiky. Terms of use: Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/102630
Aplikace matematiky František Šubart Odvození nejvýhodnějších dělících tlaků k-stupňové komprese, při ssacích teplotách lišících se v jednotlivých stupních Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375
VíceO rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Ladislav Klír Příspěvek ke geometrii trojúhelníku Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 44 (1915), No. 1, 89--93 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122380
Více4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody:
4 Přednáša: Kvazi-Newtonovsé metody: Metody s proměnnou metriou, modifiace Newtonovy metody Efetivní pro menší úlohy s hustou Hessovou maticí Newtonova metoda (opaování): f aproximujeme loálně vadraticou
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
VíceMatematicko-fyzikálny časopis
Matematicko-fyzikálny časopis Václav Havel Poznámka o jednoznačnosti direktních rozkladů prvků v modulárních svazech konečné délky Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 5 (1955), No. 2, 90--93 Persistent
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 10. Ortogonální matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 59--72. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401338 Terms of use: Akademie
VíceKonvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
VíceFaktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla 5. kapitola. Několik otázek z matematické statistiky In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 964. pp. 50 59. Persistent URL:
VíceZlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 9. Plochy rourové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 95 98. Persistent
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi Rejstřík In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp.
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Matyáš Lerch K didaktice veličin komplexních. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 5, 265--269 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108855
VícePANM 16. List of participants. http://project.dml.cz. Terms of use:
PANM 16 List of participants In: Jan Chleboun and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325
VíceÚvod do filosofie matematiky
Úvod do filosofie matematiky Axiom nekonečna In: Otakar Zich (author): Úvod do filosofie matematiky. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947. pp. 114 117. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403163
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 12. Základní pojmy o grupoidech In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 94--100.
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Bílek Pythagorova věta ve třetí třídě středních škol Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 4, D265--D268 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123381
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 26. Deformace a věty izomorfismu grup In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 192--197.
VíceKomplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 3. kapitola. Geometrické znázornění množin komplexních čísel In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 35 43. Persistent URL:
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Kounovský O projektivnosti involutorní Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 3-4, 433--439 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109245
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Hübner Stanovení pláště rotačního kužele obsaženého mezi dvěma sečnými rovinami Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 33 (1904), No. 3, 321--331
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 2. Lineární rovnice o dvou neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 10 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402867
VíceNerovnosti a odhady. In: Alois Kufner (author): Nerovnosti a odhady. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Nerovnosti a odhady Úvod In: Alois Kufner (author): Nerovnosti a odhady. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1976. pp. 3 10. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403880 Terms of use: Alois Kufner, 1975 Institute
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp
Neurčité rovnice 3. Neurčité rovnice 1. stupně o 3 neznámých In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 15 20. Persistent URL: http:dml.czdmlcz402868
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 10. Plochy šroubové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 99 106.
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 4. Speciální rozklady In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 35--40. Persistent
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [IV.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 1, 25--31 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124004
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 2. Rozklady v množině In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 22--27. Persistent
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Josef B. Slavík; B. Klimeš Hluk jako methodická pomůcka při zjišťování příčin chvění v technické praxi Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 2 (957), No.
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VícePřímky a křivky. Úvod. Úvodní úlohy. Terms of use:
Přímky a křivky Úvod. Úvodní úlohy In: N. B. Vasiljev (author); V. L. Gutenmacher (author); Leo Boček (translator); Alena Šarounová (illustrator): Přímky a křivky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp.
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jan Novák Aritmetika v primě a sekundě Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D254--D257 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120798
VíceJubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987
Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987 Zdeněk Horský Písemnosti z pozůstalosti prof. dr. A. Seydlera In: Libor Pátý (editor): Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Počítání se zlomky In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
VíceKomplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 2. kapitola. Kvadratická rovnice a odmocnina z komplexního čísla In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 20 34. Persistent URL:
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Gabriel Blažek O differenciálních rovnicích ploch obalujících Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 2 (1873), No. 3, 167--172 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109126
VíceÚlohy o maximech a minimech funkcí
Úlohy o maximech a minimech funkcí 1. kapitola. Základní pojmy a nejjednodušší úlohy In: Jaromír Hroník (author): Úlohy o maximech a minimech funkcí. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 5 15. Persistent
VíceAplikace matematiky. Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation
Aplikace matematiky Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation Aplikace matematiky, Vol. 25 (1980), No. 6, 457--460 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/103885 Terms
VíceMatematicko-fyzikálny časopis
Matematicko-fyzikálny časopis Zdeněk Jiskra Jednoduché integrační zařízení pro rentgenové komůrky Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 8 (1958), No. 4, 236--240 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/126695
VíceO mnohoúhelnících a mnohostěnech
O mnohoúhelnících a mnohostěnech I. Úhly a mnohoúhelníky v rovině In: Bohuslav Hostinský (author): O mnohoúhelnících a mnohostěnech. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947.
VíceFaktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla 2. kapitola. Kombinační číslo In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1985. pp. 26 36. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404114
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Zdeněk Češpíro Výbojový vakuoměr bez magnetického pole Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 3 (1958), No. 3, 299--302 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137111
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 11. Násobení v množinách In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 89--93. Persistent
VíceMatematicko-fyzikálny časopis
Matematicko-fyzikálny časopis Václav Veselý; Václav Petržílka Ladička s nulovým teplotním koeficientem frekvence Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 3 (1953), No. 1-2, 49--52 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/126834
VíceActa Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica Cyril Dočkal Automatické elektromagnetické váhy Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Simandl Poznámka ke kombinacím daného součtu z čísel přirozené řady číselné Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 46 (1917), No. 2-3, 155--159
VíceMalý výlet do moderní matematiky
Malý výlet do moderní matematiky Úvod [též symboly] In: Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Malý výlet do moderní matematiky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1972. pp. 3 6. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403755
VíceActa Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica
Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica-Physica-Chemica Richard Pastorek ph-metrické stanovení disociačních konstant komplexů v kyselé oblasti systému Cr 3+ ---
VíceGoniometrické funkce
Goniometrické funkce 3. kapitola. Grafy goniometrických funkcí In: Stanislav Šmakal (author); Bruno Budinský (author): Goniometrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 90 108. Persistent URL:
VíceJan Sobotka (1862 1931)
Jan Sobotka (1862 1931) Martina Kašparová Vysokoškolská studia Jana Sobotky In: Martina Kašparová (author); Zbyněk Nádeník (author): Jan Sobotka (1862 1931). (Czech). Praha: Matfyzpress, 2010. pp. 231--234.
VíceKombinatorika. In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp. 3 [6].
Kombinatorika Předmluva In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1980. pp. 3 [6]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403963 Terms of use: Antonín Vrba, 1080 Institute of
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Úlohy Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 1, 140--144 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121666 Terms of use: Union of Czech Mathematicians
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Emil Calda; Oldřich Odvárko Speciální třídy na SVVŠ v Praze pro žáky nadané v matematice a fyzice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 13 (1968), No. 5,
VíceJaká je logická výstavba matematiky?
Jaká je logická výstavba matematiky? 2. Výrokové vzorce In: Miroslav Katětov (author): Jaká je logická výstavba matematiky?. (Czech). Praha: Jednota československých mathematiků a fysiků, 1946. pp. 15
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Láska Grafické řešení rovnic Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 40 (1911), No. 5, 553--561 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122273 Terms
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vavřinec Jelínek O některých úlohách z arithmografie. [II.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 24 (1895), No. 2, 132--136 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120880
Více3. Mocninné a Taylorovy řady
3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Václav Petržílka Demonstrační pokus měření rychlosti zvuku v plynech Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 61 (1932), No. 6, 254--258 Persistent URL:
VíceAritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 3. Soustavy číselné In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 12 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403031
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Vladimír Knichal Čísla Gaussova. [I.] Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933), No. 4-5, R73--R76 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123910 Terms
VíceO náhodě a pravděpodobnosti
O náhodě a pravděpodobnosti 13. kapitola. Metoda maximální věrohodnosti neb o tom, jak odhadnout počet volně žijících divokých zvířat In: Adam Płocki (author); Eva Macháčková (translator); Vlastimil Macháček
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Milan Pišl Logaritmická spirála Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 5 (1960), No. 4, 416--423 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137020 Terms of use:
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Antonín Bohun Elektronová emise, luminiscence a zbarvení iontových krystalů Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 6 (1961), No. 3, 150--153 Persistent URL:
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor
VíceFaktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla 3. kapitola. Kombinace In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 27 35. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403518
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vladimír Kořínek Poznámky k postgraduálnímu studiu matematiky učitelů škol 2. cyklu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 12 (1967), No. 6, 363--366 Persistent
VíceMetoda konjugovaných gradientů
0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá
VíceJednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života
Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života Organizace JČMF In: Jiří Dolejší (editor); Jiří Rákosník (editor): Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života. (Czech).
VíceNástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918
Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích
VíceHistorický vývoj geometrických transformací
Historický vývoj geometrických transformací Věcný rejstřík In: Dana Trkovská (author): Historický vývoj geometrických transformací. (Czech). Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 2015. pp. 171 174.
Více