7.3.7 Přímková smršť. Předpoklady:
|
|
|
- Karel Hruška
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 737 Přímkoá smršť Předpokldy: Pedgogiká pozámk: Hodi zikl jko reke prí průhod čeií Třeoi se třído Ukázlo se, že žái mjí prolémy s přiřzeím spráého ektor k růzým drhům roi (prmetriké yjádřeí, oeá roie) přípdeh, kdy mjí sestot roie íe ež jedé přímky, eo když site eodpoídá stdrdím postp požitém při odozoáí těhto roi elá site krásě ilstrje způso, jkým žái zásilňjí mtemtik I když jsem se elo lytiko geometrii sžil ysětlot, že pro prmetriké yjádřeí potřejeme směroý ektor tepre kokrétí siti záleží, jko ho získáme, mozí žái zdory mé sze yili tomtiký postp, máme d ody, děláme z ih ektor te dosdíme do prmetrikého yjádřeí Podoě si ytoří tpo tomtik oeo roii Myslím, že ejde o žádý sdo odstritelý edosttek, e jsem se sžil tomto efekt zráit, přesto dě třetiy třídy měly zčátk prolémy ěkolik žáků jsme mseli stereotyp průěh hodiy (eo i po í) oprd lámt Prolém je zel priipiálí Místo logikého postp, který je možé požít růzě podle kokrétíh sití který yhází z toho, že ejdříe si rozmyslím, jký ektor potřeji jít pk se ho tepre sžím získt (postp, který yždje zmyšleí iterpreti site), se žáíh ytoří podmíěy reflex, spoštěý sloem prmetriká (oeá), který pro dojii zdýh odů tomtiky ez jkéhokoli přizpůsoeí siti yplie roii Uedeý prolém se yskytje msoě Ve se týkl elké ětšiy třídy, při ičeí jsem zjistil, že jiýh třídáh se projeje i jedičkářů Oáám se, že eí řešeím podoé příkldy zdát ihed při odozoáí roi, protože tkoý postp yoláá žáíh spíše poit prosté ezmoi z ezldtelého hos Při eškeré komiki se stdety je tře pmtot, že se čí orieti řešeí příkld ( e sestoáí roi) hlě překoát psedopridl, proto je tře eřešit prolém z ě, je jim s ím pomáht o jsme se ztím čili z lytiké geometrie? Přímk P můžeme yjádřit děm způsoy (pomoí jedoho ze do hrkteristikýh ektorů) ; : p Prmetriky pomoí směroého ektor ( ) x + t, ; 1 2 y t t R Pokd omezíme hodoty prmetr, můžeme yjádřit i části přímky (příkld úsečk) ; : Oeě pomoí ormáloého ektor ( ) x + y + 0 od leží příme, když yhoje její roii (jed zd prmetriké eo oeé) Průsečík do přímek yhoje oěm roiím (jed zd prmetrikým, oeým eo jejih komii) 1
2 Vzájemo poloh do přímek zjistíme z počt průsečíků eo ze zájemé polohy jejih hrkteristikýh ektorů Ni dlšího jsme se ztím ečili, šeho osttí je triiálí důsledek předhozího emá smysl si to pmtot Pedgogiká pozámk: Pokd má ěkdo poit, že se toho čil podsttě íe, jde o zmeí toho, že ezproáá iforme tk, jk má Př 1: Jso dáy ody [ 1;3], [ 3;5] prmetriké yjádřeí osy úsečky Njdi prmetriké yjádřeí přímky Njdi Vyjádřeí přímky směroý ektor je ektor ( 4;2) ( 2; 1) yházíme z od [ 1;3], prmetriké yjádřeí přímky : x 1+ 2t y 3 t, S Os úsečky přímk kolmá úsečk, proházejíí jejím středem Prmetriké yjádřeí: 4;2 směroý ektor kolmý úsečk : ( ) osy ( 1;2 ), střed úsečky : S [ 1;4 ], prmetriké yjádřeí osy úsečky : x 1+ t y t, Př 2: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 3;0] které leží ýšk Njdi oeo roii přímky, Přímk, které leží ýšk : přímk kolmá str proházejíí odem Normáloý ektor ýšky ektor, kolmý ýšk ektor rooěžý se stro, ( 6; 5) roie 6x 5y + 0 Dosdíme od [ 1;3] : Roie přímky, které leží ýšk : 6x 5y
3 Př 3: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 3;0] Njdi oeo roii přímky Ndi oeo roii přímky, která prohází odem je s přímko rooěžá Přímk : 2; 3 ( ) ( 3;2) roie 3x + 2y + 0 Dosdíme od [ 1;3] : Roie přímky : 3x + 2y 9 0 Rooěžk s přímko odem : stejý ormáloý ektor ( 3;2) 3x + 2y + 0 Dosdíme od [ 3;5] : ( ) roie Roie přímky rooěžé s proházejíí odem : 3x + 2y 1 0 Př 4: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 2;0] Njdi prmetriká yjádřeí přímky přímky, které leží ýšk Urči sořdie pty ýšky Přímk : ( 4;2) ( ) požijeme od [ 1;3] : 2;1, x 1 2t y 3 + t; je kolmá : ( 1;2 ) Přímk, které leží x 2 + s požijeme od [ 2;0] : y 2 s; s R Pt ýšky je průsečíkem oo přímek řešíme sost roi 1 2t 2 + s 3 + t 2s t 2s 3 Dosdíme do prí roie: ( s ) s 1 4s s 5 5s s 1 Doszeím do roie přímky, které leží rčíme sořdie od 0 x 2 + s y 2s Pt ýšky má sořdie 0 [ 3;2], 3
4 Př 5: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 3;1] str jejih průsečík (střed kržie opsé) o o Njdi oeé roie os do Os stry: prohází středem stry je str kolmá Os stry : ( 4;2) os ( 2;1), roie 2x + y + 0 Dosdíme od S [ 1;4 ] : ( ) Os stry : 2x + y Os stry : ( 6; 4) ( 3; 2) roie 3x 2y + 0 Dosdíme od [ 0;3] os S : Os stry : 3x 2y x + y 6 0 / 2 Hledáme průsečík řešíme sost roi: 3x 2y x + 2y 12 0 (sečteme roie) 3x 2y x 6 0 x 6 y-oo sořdii spočteme doszeím do roie jedé z os: ( ) Střed kržie opsé trojúhelík leží odě S [ 6; 6] Př 6: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 0; 4] y 6 0 y 6 Njdi oeo roii přímky prmetriké yjádřeí přímky, které leží ýšk Njdi průsečík oo přímek (pt ýšky ) Přímk : ( 3; 9) ( 3;1) roie 3x + y + 0 Dosdíme od [ 0; 4] : 3 0 ( 4) 0 Přímk : 3x + y Přímk, které leží : je kolmá přímk její směroý ektor je rooěžý s ormáloým ektorem přímky 3;1 1;3, ( ), prohází odem [ ] přímk, které leží : Hledáme průsečík řešíme sost roi: x 1+ 3t y 3 + t, 3x + y x 1+ 3t y 3+ t Z drhé třetí roie dosdíme do prí: ( t) ( t) 3+ 9t t t 10 t
5 Dopočteme sořdie průsečík: Pt ýšky se hází odě [ ] ( ) ( ) x 1+ 3t y 3+ t ;2 Př 7: Je dá trojúhelík, [ 3;1], [ 6;4], [ 2; 4] Njdi oeé roie přímek, kterýh leží ýšky Urči jejih průsečík (ortoetrm trojúhelík) Oěř, že tímto odem prohází i přímk, které leží ýšk Přímk, které leží ýšk Přímk je kolmá str : ( 9;3) ( 3;1) roie 3x + y + 0 Dosdíme od [ 2; 4] : ( ) ( ) Přímk, které leží ýšk : 3x + y 2 0 Přímk, které leží ýšk Přímk je kolmá str : ( 5; 5) ( 1;1) roie x + y + 0 Dosdíme od [ 6;4] : ( ) Přímk, které leží ýšk : x + y x + y 2 0 Hledáme průsečík řešíme sost roi: roie odečteme x + y x 4 0 x 1 y-oo sořdii spočteme doszeím do roie jedé z ýšek: 1+ y y 1 Ortoetrm trojúhelík leží odě O[ 1; 1] Přímk, které leží ýšk Přímk je kolmá str : ( 4; 8) ( 1; 2) roie x 2y + 0 Dosdíme od [ 3;1] : , Přímk, které leží ýšk : x 2y 1 0 x 2y přímk prohází odem O Dosdíme od [ 1; 1] O : ( ) ( ) Př 8: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 3;1] příčky SS Oěř, že je rooěžá se stro Oeá roie přímky roie: x + 2y + 0 Dosdíme od [ 0;3] Njdi oeo roii středí S S : S S [ 0;3] [ 2; 2] ( 2;1) ( 1;2 ) S : Roie středí příčky SS : x + 2y 6 0 5
6 Směroý ektor přímky ( 2;1) je ásoek ektor ( 4;2) rooěžá se stro středí příčk je Shrtí: Při sestoáí roie přímky msíme regot kokrétí siti e opkot stále stejý postp 6
( ) 2 2 2. 7.4.8 Výpočty odchylek. Předpoklady: 7406
7.4.8 Výočty odchylek Předoklady: 7406 Pedagogická ozámka: Na octié robráí této hodiy otřebje běžý stdet tak jede a ůl hodiy yčoací. Defiici odchylek ro římky, roiy atd. ž záme ze stereometrie, teď jeom
Ý Č ě ř Í Š Ý č ý é č š é ř Ž č ř ý ý š š é é é č š č ě ú é ř ě é é é ě š é ě é ě é ř č ý ě ě é ě ř ě č é é ě Í ý ý š ě ý ý č ž š ř ý š ě ě š č ž ř ě ě ě Í ý č ň š ě š ě é ý Ž é ě č ý ý ěč ý č é č ý ý
5.2.3 Kolmost přímek a rovin I
5.2.3 Kolmost římek rovin I ředokldy: 5202 vě římky jsou k soě kolmé rávě tehdy, když jejich odchylk je 90. Nvzájem kolmé mohou ýt i mimoěžky. vě úsečky jsou kolmé, rávě když leží n kolmých římkách. íšeme:
í Š í Š Í Í ú š š š Š š Š ě ý íň ý í í Ž é ě š Ť í í ý ú ý ý é ý Ř Ý š Žď ě š é ý ďí ě ě ě í í í ď š ší Ž í Ř ý í Í ý ž ý ý Ž ě Í ě í ď ě ý ě ě Í ý ý ú í ý ý ě š ý í Í ž ý ý ý í í Žď é ě ý í ší é ě ť é
Ý Í Á ž ú ú é é é Ú ů éž ú é é ň ú ú ž é Ž Íž ň Í ň É š é é Í ž ů Č ž ž é é Í é Í Š Í Í Š é Š éš Í é š é š é ů é Š š ů Í é é É é É Í é ž š é Í Š Š Š Íš Í Š Š š é ž É Í Š é É é é Í Í š ú ň Ž é Ž ů ů Ý
ř č ě Í Í Š é á ě ÍÍ ř ě ě á á ě á ř č ď ý ý ý á á č ě é ě ě ě ě Ť ž ě ř é é á ř ě ř š é é é ť Í ý é ř á ž á á č ř ě ý á á á ď ý ň á á é ž á ě é ď č ář ůž ý á ř ě č ý ř ý ž ň ě ý ů ě á á ř áď ž á ý Í ž
Ě Á ÁŠ Č ě í í ď í č é ě í íí í é í í č é ě í ř í é í é ě š Ř ř é ř š ě é í š ď Ř ř é ř š ě ř š ě č č ú ř š ě šť í ř š ě í í ř š ě í í Ž ě ř š ě ří ě ě úř ě é í č ěúř ě é í č ř ř š š ě í ř š ě Ž é í í
Ř Ň ř ů ř č ř é ř é úř ř č ěř ů ě ř é Ř č ú ř ú ř ž ů č ř Úó Č č úč ě Á č é ú ř ú ů é Ú ě Ž Č ř č ř ó ů ř ů é ř ř Š ó ď č č č č ě Í Šř ě ř Š óó ř ó Úř ř é č č ř Ú ř Ž ů ú Í č ř ě ř č Ě Á Í Íě ě ž é é č
ě é Í ě ý ěř ý ěř ú ě é ř ěř ú é š ř ý ů ě ě ů ř ě é ú ž ú ú ž ě ý Ž ý ů ž š ú ž ě ý Ž ý ů ě ě ú ů ú ž ě ý ř ž ž ů ř ř ě é ú é ý ú ú é é š ě ř Ú ě ě ř š ě ú ě é ě é ě é ý ě ě ř ž é ř š ě ž ň Ž Ž š ě ě
ř ý ý š Ě Á š Á š š š ž é ř ů é ý é š ý ý š ý š é ž é ř ž ř ý ž ý š ř ý ř ý ř ř ž ů ř é ň ů ý é ň ř ř ř ž ý é Ž Í ť ú ř é é Ď Ž é Š ř š Š ý ž ý Ě ž é Š ř š Š ý é ř ý š ý ů é ř é ž é š ř š Š ý ž é ř ž ý
Á Á Ě ÉŘ É Á Ú Á Í Ý Á Í Í Í Í Í Ý é řá á é á é ý ž é ů ř ů é ý é ř ý ý á ů á ř ř š ý á á á ř ý ř á ý ý á á á ř ý ř á ý ý á á ý áž ý ř ý ř á ý ý á á á ý ř ý ř á ý á á á ý Ť á ý ý ý á á á áž á ý ř á ý ý
č í é é é ě š č ěří Í ž č ů á ří š á íž ě ří á Á ř č éčá é ž ří š č á íž ý á ý í ý á č ý í ů ž ří í ě Ž ř á ě í í ů Á é č í ž í ř á ň ů á é ě á í ý ě é á ý č ý í ří ý ý žá ů í é í é í ř á é í í á č é í
Á š š ý É Ř ě Í ý ý Í š ě ý š ý Ů š ý Í ž ý š ý ě Ž š ě ý ě ý ě ě ý Í Ž ě Í ÁŤ Ž š Í ý ěž ý Ů ý Ů ě Ž š Ť ě ěž ěž ěž ě ě Í ý š ý Í š ý Ž ý Ř š ň š Í ě ý ý ě š ě ý ý ě Ž ý ý ě ý Í ý ě Ž ý Ž ě ě Ž ý Ž ý
Ě ÉčÁ Š éč Š ď éč Š ů éč Š é Í é Š Š ž é éč Š é ř š ž é ř ž č Č Í Š ž úú č ý č Í é ťú é č é Í ť č č é č ú é ž č ý ý ň č Í Ž ž č č úč č ř ů ř ť š ř Í č ý ý ó č éó Š ý Í ž é ž é ý č Š Č éč Š č Í ů Ý Č ý
7.3.7 Přímková smršť. Předpoklady: 7306
737 Přímkoá smršť Předpokldy 7306 Pedgogiká poznámk Hodin znikl jko reke n prní průhod učenií Třeoni se třídou 42011 Ukázlo se, že studenti mjí prolémy s přiřzením spráného ektoru k různým druhům roni
ž ž ě Ý Ý ž ě ě ě Š É Ý Á ě ě ů ž ě ě ě ě Š ě ž ž ě ě ň ě ž ž ě ě ž ů ě ž ž ů ů ě ě ž ě ě ž ě ž ě ň Á ě ů ů ě ž ě ě ž ě ě ů ů ě ů ě Ž ž ž ň ž ž ě ž ž ů ž ž ě ě ž ž ž ž ě ů ž ž Ů ž Č ů ž ž ž Ů ž ě Č Ž Č
š š ě š š ňí ě Í Í š Ž Č ťí ň ú š Č ú Č ě ě Ž ě ď š š ě ě š š š ú š š ě Ž Č ě š ě ě ě ě ě š Žň š ě ě š ě Ž ě Ž ň ě Ž ě š Ž ě š Ž š š Ž š š ěí ě š ěí ě ě ň ě ě ě ě ě š š ě ě ě ě š š š š ě ě ě Í ď Í š ě
Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný
Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod
ě ů ě š ř í ě é í ří ří í í ř í é í íš ň ř é č é Ž í í í ř š é úč š ř í ř é Š í ř é ěž é ě ěž Ž š ř í ů í ý ů ú í ří í é í ří í í Í í í ř í é í íš ň ě ěž é ří í í ří š ý í úř ů ý ů í í ř ý ú í ří í é í
( ) ( ) 7.2.2 Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201
7.. Sčítání ektorů Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika. Upozorňji
Á á úř š Ě ř ň á Š Š ú Áě Ú Í ý ú ěá á ě úř ř ř š ý é ě ú á á řá ě ě š ř ů á á ú ř ž á Žá á ě Ť é á ě á Ž Š Ú ú č š é É á ě á á áš č ě š ú ú ř ř á ú á Í č á ú ř Í ě ý é ě ě úč Í ť é ý ý ž á ě ý ý ť ý ů
é é ž é é ěž é é ž é ž š ý ž ě š ý ž ž é ž ž éž ě é é ěž é ž ě é é é é ž ý ž š ě ý ž ý é é ě Š š š š ě é š ě ě ěš š é š Á Š Í ě Š Í ň š Í ď Š é Š Í ý š š ň š š š ň ý ň ú ň Š Í š Š ě é Š ď ň ý Š Í ýš Í
Í Í ÁŘ É Á Ý Á ě ě č ě č ě č č č ě ě š ř ů ř ý Ý Á ř é ě č ř ů ř é ř ý ó ě é ó ě č č ú ó é ř ě ě č ó š ě ě č č č é ř ě ř é ó ř é ó ÁŘ Ý Ě É ě č č ý ý ř é ó ř é č š č č ř é ř ě ě ř é ý ě ě č ř ó ý ó č ů
š ý ě éří Č Íý ň Ř Š Í É ř é ý ě é ř ý ě é Í š éú Ž Č Š ř ř ý ě Š Š Ž ý ř ě Ý ě é ř ř ě ý ě é ř č ý ě ř š é ř ě ý ě é ř č ý ý č ý é č ž ě ý ě é ř ň ě ř č ř ý č ě ě š č ř š é ě Š ř ř é š ý ř ř ě ř ě é č
Slovní úlohy na sjednocení dvou množin s neprázdným průnikem. II b III
Slovní úlohy n sjenoení vou množin s neprázným průnikem Vennův igrm ( John Venn 1834 (Hull, Anglie) 1923 (Cmrige, Anglie) ) A V Životopis John Venn: http://www-groups.s.st-n..uk/ history/mthemtiins/venn.html
Ú ř Ý ě ě š ř ů Ý Í ř ě Ú ý ě ř ě Ú ú ř ě ž ř é ě é ě ř ž é ě Ř Ě ř ě é ů ý ů é é Í ř é ř ř é š ě é ř ý ú ýš ý ř ě ř š ě ž ý é ř ě ň é ó š ž ž ř ě ž ř ý ž š é ř ý ů ě ě š ž ž ý ř Ů ř é ř é ř é é é ě ž
ý ž é é é ýš Í Č Á Ž ě é ěž ý ý Ž ěž ý ú ě é ý ě ý ý Ž Ž ěž é é Ž é é ě ěš ě ýš é é ý ý ě š š ě ě Č é ě ú ěš ě é Ž ě š ů ě Ů Ř Č Ž Ý ů é é Ž é Ž é ě Ž ň ů ý Ú Č Ž ý š Ž š ě é é Ú é ů ý ě Ž ě ů Ž Ž ě Ú
ř á ř š ý á č á á é á č á á Ž Řč Č Č č á é á é é ů ů č Ž ř é é ř š ář á á é ý á á Ú é é ů ýž ů č é ř é ů ýž á é é á ú ý ů á é á á š ář ý ý ů ť Ž ý ř á á á ý ů ř é á Ů Ú ř á é á é á á á č ý é Ž á ý á Ž
ř é Ť é é ř ý ř ů ř é ď é š é óň š ř é é ů é Ž Ť ó é ř Žď é ý é ď é ú ř ř é é ř ř é úř é ď é é ů é ř é ď é ř š š é ř é ř ů é ň é ď é ů é é š é ř é ř é é ť é ť Žď ů ď ů ů é ň é š ř ů ř ý ř š é ů š ř é ř
Ě Ý ÚŘ ú Ú Ř Á ÁŠ Í ě ú ú ú š ú ě ě š ů éú Ť Í ž ž ž ě ů ě š ě šú ě ú ú ě é ě ž ě ě š é ž é š ě ě ě é ě ž ě ě š Ýé ž é ú ů ě ž ů é ě é š ě ú ů ž š é š ž ď ž é é é Í é é ě é é Í ě é ěš ě š ů é ě ě š š é
Geometrická posloupnost a její užití, pravidelný růst a pokles, nekonečná geometrická řada. 1 n. r s. [ a)22 ; b)31,5 ; c)-50 ; d)0 ; e)
9 Geometrická posloupost její užití, prvidelý růst pokles, ekoečá geometrická řd Geometrická posloupost Je dá posloupost { }. Tuto posloupost zveme geometrická, jestliže pro kždé dv po sobě ásledující
ÍÍ ů Š ý ú ý ú é é ý é Í é é é Í ý é Ž Ž é é ý é ý ý ý ý é ý é é é é é é é é ú é ú ý ý é Í é é ý é Í é ů é é ý Í Ž ů ý é Ž ý ú ý é é ú é é ů é ý ý ý é ů ů é Ž ů é é Ž é é ů Ž é ý ů é ý Í Í é ů é ů é ů
ý úř ý Í Č č ÚŘ Ú ř š č Ř Á ÁŠ Á Í É Ú Í Í Í Í Ě Í Í ŘÍ Í Á Í Ř É Ú Í Á Í Í Ž é Š Š ž ú ý ř ř ž é é č ů žď ý é é ď č ů ú ú é ý ř ř ž é é č ú Č ý č č ú ý ř ř ž é é č ú ř ř ř š ď é ř ž ý ý ž ý ý ž š ý ř
ě ýúř á é á ě úř ě ýúř á é á ě á á é á ě ó Í Č á éá é ř š ě á á ě á Á Á Ř Á Ú Á Í ě á Č á ě á é š á á Žá á ě á š ěš á š š ěš ě žš á ú á ý á Í ě ý úř á é á ě úř á úř ř š ý á ě ě š ř ů á á úř ř š ý á á ú
Í Á Í Í Á Ě Ý Ó Ů Ů Í Ě Á Ř š Í ů Ž ď ý ů Ž á č Č ů ř ř Ú ý ř ý á ř č Í Á Í Í Ř š Í ů á ý ó ů č á á ý ý ů ý ř á á ů š ý á č ď á ř á ý ů á ř ď ž ý ý č š á á ď ý č á ů š ř ů Í ř š Í á Í á ý Ó ů á ó ů ř Š
ť Č á ě š é é ú á ň á á ě ě ě á ě é Č á é á á é š á š á á á š á á ž áš ž á é á ž á á é é ů á Ž á é ě á ž é ě ž ů ý ě ý ý é á ú ý á š ě á ě é ý á ý á ý ě ě á á Í ů Ž š á é á ú ý á š ě á ú š ě žá é š é é
Í ó é ě ě ř ý é ě š ě ý ěž ú Ž Č ž Č Č é š ř š ě é ú ř é Ú Ž ě ě ě ř ě é ř ř é Í ý ž ó Č é Č ú ě ě ě ř ě é š ě ř ě ě é š ě ý ď ě ě ř š é ž ů ř ě ř ý ě ř Ž ů Š ť Ž ůř ě š ý š š ě ž ů ů ů ř ě ě ř ž é ř ě
é é é Í ý é Č ě é ě ě ě ý ů ě Ý é ž ů ý ž Í é ý ý š Č š Č é ě é é é é Š ěč Č Ů ě é ě ý ú ž ž ů é ě ě ě ý ý ě š ť š ě Š ě ý ě é š ě ů ú ě ý ě é é é ú Š ě é é é ě š š ý ž ů ě ý ž ů ě ý ý ě é ú ž š ě š ý
ě ř ó é ž ó ř ý ó ě ě š ř ů ó ó ř ů ý ů ě ď ě ě ř ě ě ř ě ě ř é ř ě ř é ý ě é é ř š ě ů ů ý ů Ť ď ý ů š ů ř é é š ž ý ý ě é ý ý ý ů ě ž ů ů é š ě é é ů ř é ě ě é ř é ž Íš ř ž é ď é ě ř ů ď ý ž ď ě ě é
ý Á Ť ó ú Ě Á Á Ř Á Í š ě é ý ě ž Š ě é ě éž éž ě ž é ě ý ě ě š ů ý Ř Ě Ě ý é ě ů ů š ý ý é ě ě é é ě ě é ě ě é š ž ě ě ě ý ž Š ý ž ě ě ě ě ú é éž ě ě ě ě ě ěž š é é é ž ě Ě Á Í ě ě ý é ě ý ý ě é é é ů
ř ř á á ý é ř é á ň ž ý á ý č ř á ů ř á ř á á ň řá ý á ý č ň ř č ý ř á š č á é ň á ů á ý á á š é č ů š č ů š č é á č š č é ž š á ř ý ř ý š á ř á ř ř ř ř ř á ý č Č ř ř é ý č ž ů á ů á ř é á č č á ý ž ž
í é ě é é é ř é í í ř ř é í í é š ř í ý í ř í ěž ý ř ě é č ř í é ř ž ě ě ý é š ř í ř é í í ž š í í í ý é ý í í č Í ř š ý ý í č ššíč é č í ě é ž ř č ěž ý ř ě é í é Í é í č ý í í é š č í ř í é ě šíř í í
ř ý š ě š ř ř ř č ř ý š é š ř č Ě ý ů é š ř č é ě é ř ř ý š é š ř š š ř č ý é é é é č č ě ý č é č é č š ř ř ž ý ř Á é č š ř ř Ž ý ř ý č š ý ž ú Í ý č š ý Ž Ú é č č ě ý ý ý Ž é č č ě ý ý ý ý Ž ý ť ý ě ě
Č ž é ý ý Í ž é ž š š ě ž ě ý ú é š ě ý ě š ž ú Ú Ú š ě ě ň ý ě ý ů ž é é é ě ý ý ů ů ě ě š ě ě ž é é ď ž ě ě ě é ý ů ý ú ě ž ů é ňé š ž ý ů ů ů ú ó ó ě ý ů ě ě š ů ó óó ě ě š ů é ý ě é š ž é é ě ý é é
ť Á ť ň ř á š é Ť Á Á ě Ý í ě ý áú ě ě á ě í ý í ý ů é ří á ř á ř á á ř š á ý á š Ř ř éš é á ě ř š í á ř í šší é é ďě á á á Š á á á řá ý ř ň í á é ě á á ě š Á í ú í ůř š í ň Á Á í ó ř á š á ř š í ý ě á
Á ý Ř Ů ó Í ř ř ě é Í ž óý Í š Č ň ř ř é ě ž ó Í ř ě ř ě é ř ž é ž ž ů ž ř ů é é ú ř ě é ř Í é é š ě ě ý ý žé ě ž ř é ě ř Í ž é ů ě ž ý ě é ů ý ů ň ů ú ú é ú Í ř ů ú é é ú ú ú ú ě ú ř ř ě ú ú ž š ě ú é
ž é ě č ď ž é ř č é ž é Š ř ů ž é ě ř ě ů Ž é ř ě Š ž é ř é ň Ž é ě ř ž é žň ř ž é ř ěř č ě ě ř é ě ě ě ě ě ý ů ě ě ř ů ť ů é úč č ř é ě úč é Í ě ú ě ě č Ž č é ě ě ř é ě ě ě ý ů é ě ř ů ř é ě ř ř é ť ů
ř š Š č š ě č ť Ť ě ě Ý ěř š Á č ř ř ř ř č ř ř ě č š ó ů ěř ý Í Ť ů ě ř ý ě š Í š ř ě š Í ě ř š ě ě ž ř ě š ý ů ěš ý ě Í ď Ž ř Í č ě š č ů č ů š ě š ů ě ž Íó ě ěř ě ň ě ý ě ý ě ň č ý ž ý ý Ť č ř ř ř ř
Š ů Š Á š ů ů Ú Č š ů š ů ů ť ť ů ů Č š ů ů ů š ú Ú š ú Č ů ů š ň š Ú ů ů Á Í ť ú š Ě ů ů š ů š ň ň š ú ň š Í ň Č Í Ý Š Š Í Á š ú Ů Ž Ú š š š ú Č š š ů ů š ť ů ů ů š š š ů š ň š š š Ň ň š š š š ň ú ú Č
ě ě Í Č ě ě ý ř ř ý Ž ý ř ě ě ěř ž Í ý ě ěš ř ř ěř ýř ý ě ř Á Ž Ř Í Č É ě ě č ř ě Á Á Í ěř ýř ý ě ř Ž ČÉ Ě ě ě ě Í ř ř č ř ř Ž č ř ý ě ě š ř ů Ž ů ý ý ř ř ěř ě ř Ž ď ř Č č ú ě Č ě Ě ě ú ů ě ř ě ř š ě č
Č ó ú Š ě ý úř Í úř ť Í ÓÉ Ř Ž Š ó á Á Á Í á ý á á úř ě é úř úř ř š ý Š Á ě ú á á řá á ě ě š ř ů á á éú ř ř ž ž á á á ě Á Í Č á á á á á ě Á á á á á áš ě š ú ú ř ř á ú ě ě á áš á ě ě á á ě řá á šř á Á Á
č č č Ž ě ě š ď ů č č ť č ěč ěč Ú ž ě ě č Ř č č úč č ě ě ě č č č úč č ě ě ě ý ě ů č ý ě č ý ě č ýý ě č ý ě š ú ě č ú č ý š ě ú ě č č ě ý ě č ě č ú ě č č ě ě č ě Í Ž č ú ě ů č č ě ý ě č ě č ú č č ě ů š
Í ú Ý ý ú Ý Í í č Č Ú Ř Ž ž ý í ý ž č Í š í ýš čí Ž ů ů í ě ý ý ů ó ž Ů ý í í í í ě ť ýš í č ě í ý Ú č Í í í í č í Ž ě ýš čí ž í č č ě í Í š í Í ě Ž Í ěž ě ší č ě í í ě ě í í í č í ů í ě ý š ěš í ú í í
ú Ý É Ě ň ú ó Ř Á ň ň ň ú ť ó ň ú ň ň ň Č ň ú ú ť ň ú ú Ý ú Ú Ó Č ď ó Žň ó Š Ť ó ď ť Č ú Ž ú ú ú Č ď ó ň ú Ú Č ň ú ď Č ď ď ú ó ť ť Ň ň ť ú ú ú ú ó ú ó Č ú ň ň Ž Ú ú ú ň ť ň ú ň ú ň ň Č ň ň ó ú ň ó ú ň
Á Í ň Í é ň Ý ď ž Ť Á š é ý Š é š é š ý é ž ý ž é š é é š é ň Ď Á Á Á Í š ň ý ý ž é é ž š š é é ú š é ž š é ž é ý ž é ň š ž ň š é é é ň ý ú š é š é ž ý š é é Í Í š ž é š š š ň š š š ú š é é é š ž é ž ž
Č č í ů á ř ě č í ýřá ý ů ě ý ř ě č í á ý č í í č ý ň ě é é č ě ý ž íš č ě Ží Í á é ř é á á ě ý ů é č č á ž áš é ř í é á í í ř ář ě é é é áž ě é ý é ř é á í é č í í ě ý ů í í í ř ě é ó č í á é ěč í í ř
Ť Ťě ř Ť á á ěř č Č č ě ě ř ů č Ů á ř ř ž ú ů ř á ř á Ž Č Č á Ě č á á ů ě Č á Úř á ěř á á á ř ě á č ě úř č á čá á á É Ť á ř Č ž ěř č ů ř č ž č ěř č ž č ěř á á č ž č ěř ěř ěř č ž č ěř ě ž á č ž č ů č ěř
ř ž ý ě é ž ě ú ř č ž š ý ž ě é ř ě ě ě č ý ě ě ž ř ý ř ž ž ž ý ě é ž ý ř ě Ž ř ž ž ž ž ě ý Ž é ý ř ž éč ý ř š č ě ř é é é ě ý ě ě Š ž ř ž ě ý é ě č č š ý š ý ě ř é ř ž ě š ě ě ý ř š ř ž ř ř ě ý ř é š
í ť Š ť á í á ú ě ě á ý á á í íú Š á Š ř ř á š é á í á í íú é á Č é č é ě č č ů ří íž ě í Ž ě ě č á í ý ý ů Ž ý č é Ž í Ř á ě í ří á í á é č ý ý í ě ě í š ůž ř áš í ý áž ů ů á í čí ř ě í ě í í é í í ú
Ýúř ř č é Č É Í č É Íúř ř ě é Í ě ě ř š ý č é ř é ě ď č ř é ě ř ě é ř ř Š Č ú ř Í š č ď é Ť ř ě č ů ě č Ú ř ě ýúř Í úř úř ž š ůž č ó ůž č ě ř é č ú Řč ž é ě ě ě é č úř č ě ů č ý Í úř ě ú š ř č ř úř ě ž
ú Ž ž Č Č í í í í ě é í ě Ž í í ú í ů ů í í í í í í Ž í ě í í í í Ž í ú í ě í ě í í ú é í í í í í í í ě ě ů í ě í í í ú ů í ě í í ů ě í ú Č í í ú Ý í í í š ě é í í í í í í Ú í í Ó í í ů í í í Ů Š í ě í
ě á úř š úř Č ř Š á Ú Í Í Í Í á á ě úř úř úř ř š á Č ú á á řá á ě ě š ř Ů á á é ú ř ř Ž ž á žá á ě Š ž ž ď á ž ž á á ě ř á á á á áš ě š ú ě ú ř ř á ú ř ě ú ž ř á á ž á é ř á ž ř ř ě á ú ů ě ž š á ř ě á
ě Í ě ě ý ý ě Č Č Č ú é ř š ě ř é ě ě ě ě ú ěř é ě é ý ý ů ě ě ě ě Ú é ž ě ýš é Ž ě ě ř ď ř ř ů ě é ř ý ř š ý Č ý ý úř Á ýš é ř ů Ž ý šš ýš é ě ě ěž é é é Ž ú é š ž é é ě éú ůž ýš é ýš š ú ě Ž ý ů ě é
ď Í Ú Č č č č Š ě č Š š ě ě ů Č ě ě ó ž ě š ď ó š č ě č č ů ň óč ě ě č š ě ž ž š š čň š š ů ú ů ž š ůž ě č Š ú ě ě Ž š Ž č č ú č ůč Š č ě š č č ú ě Š č š ě š ě š ě š ě š Ž č ě ě č č č č ě č ě ů č č ů ě
Í Č Á Í Č Č Ř Á Č Ž Č Á Í Á Ó ň Í
ť Ť Í Č Á Í Č Č Ř Á Č Ž Č Á Í Á Ó ň Í ň ť Ť Ť Ť ň ň ňí Ž ň Ý ď ň Ž ň ň Í ň Í Ť ň ň ň ď Í Ř Ť Ť ň ň Ť Ť Ť ň Ť Í Ť Í ň Ť ň Ý ň ň Ť ď Ť ň ň Í Ó Ť ň ň ň ň ň ň ť ň Ď ň Ť ň ň ň Ť Ť Í Ť ť Ť ň Á Ť Ž ň ň ň Ť ď
Á ú Ě š Í ě ď š ň Ú Í Í ý ě ú ú š ý é ú ě ě š ů ď ú ž ž ě Ť ě ó ě é š é é š ě šú ě ú ú ě Í ú úě ť é ž ž é ž é ý ů ú ě ý ý Č š ě Ť ž ě ů é é ě ě Ž ě ě ě ž ú é ě ě ý é ú ě Ť ž ý ě ů é Í Ó ť š ě Í ě é é Ú
ř ý é ý ž ž Č ň é é ř ž ý ř é Ž ý ř Č Č Č ú Č ý š Š ý é Ř é ž ý š ř ř Í ř ž ř ů ýš ň ř é é é é Á ň Á ž ž ý ž ž ý é š ž ř ž ž éž é ž é é ž é š é ů ý ý ú ů ů é ř ý ů ž ó ň ť žš Č ČŽď š ř é ž ý ů é ž é ú
Č é š Č é ě Č é é Š Č é ě Č Č Á éú ě éú é é é Š Č é ě š š ě é ě ě ž ú š ě Ž Ž é é š ě éž Ž é é Č é ě Š Č Č š ě ú ě Č Č é é Č é ě Š Č Č š é Č Č ú ě Č é ě ě ě Č é ě Ú ě Ř ě ě é ě ě Ž ě ěž é ě Ž ě š ú é Ú
Ž ž éč é ř Ž č ž ý ř ž š ř é é é ý ř Š č ý é Ž č ý š Ž é č ř ž ý ř ý é ý ř č ý ý ý Ž ř é ž š ž č š Ž ý Ž Ž ř š š č Ž Š Ž č Ž ň š ř š š ž Ž é č é Ž é ň Ž é é é Ž ž ý ý ř č ú č é é ř é é Ž č é ř Č é é š
é ě Á áž ý á ě á ž áš ý ý ě ň ý é é é á ě ě á é á ý ů á ů ě š ě ý č á č ý ý ů ř é ě š ř é é á é á ř ž á ž á á Í á ř é ř é Ó é á á á ýš é á ě ř ř ý ě ýš é ž é ř š č é ýš č ř áč ý ý ř ý ž č ř ž č ěř ř ů
ř ď Žť ř ť Č ž š ř ě ř š ě ě Í ž ř Č Í ů ěů ř ě ěž ř ž ž ř ě ž ě ž ř ž Ž Í ž ě š ů ř ř šť ě ř š ě ů ž ůž ň ž ř š ř š ě ů ř š ě š Č ž ď ů ř ř ů ž ř ž ů ř Óš š ě ž ž ř ž ě ůž ř ř ř Ž ř ě ů ž ť Č žď ř ž ě
í ř ý á á ď é č ř č í ó á ů á ů ě ó é á í š ý ž ý á é ř á á í č í í é č í á ě ě ě ě í ě á é á ď íúř í á í í á ý řá á í ě š š á ý ý ďč ř ý ž á ď ž ýš ž ž ů áčá říď ď č ě ě í ý á ě š ď ě č í ů ž ý ž ý ě
ž ě č ů é é úč Ů úč ž ě č ý ž ě Í Č Ů úč Ž ě é ů ž é é ž ě š ý č ý č ý š ž ě úč ý é ž ů ě Ž ě Í ž é ě ě é č ě é ž ý ě ýš ý Ů Č ě ž ě ž ů ž ě š é ý é Ž Š Č é ě ž ě ý ž ě Ů Í ě ž ě ý ý ž ě ý ž ě š ž ě č
Č Úř á á ě ý Ú š ě ř ý ě é ř á š ě ý ě á ú Úř á á ě ý Ž á é á á ě ě š ř ů á ř š ř Ž ý á áš ř Ž á á á ě ě š ř Ů ě š á ý š ý ě é ř á éž Ř á é Č é á ý á ý ěř ě á á ř á ů á ý ěř ů ě ě ý ů ě š Š á ř š é ř é
á ě č á Ž ří á í č ě í é í řá ů ž ář í č í á ý í ří á Ž č é í ů ž ř í ě í ž ž á í í ří č éž ž ů é č ří á á í ří š ř úč ě ší ů í ě Í š á á ň á š ří ě ší á á í č ý ě í áž é é Ž ř í ů é Ž čá í ší á é í íč
Ž Ý ř ý ý é á ý á ř ý ů ý Í ář á ý ř ý ů ý ř ů á ř é ř ř á Í ř Ž ý ý ř é Í á Í Í ý é ř Ž ý Í á Ýý ý ň Š é ř ť ý á á á á ř ý ý é á á é é ů ř é á ř é ř á ř ř á á ů ý Ž é é é ý ý ý á á ř é ř á ř á ó á Ř ř
Á Ě ň Í Á Ě Á Ý Í Ř Á Í Ř Í ú é ú ů ů ě é ě Š Ě ň ě Ž ě ů é Č ě é ě ě ě ě ď ú ů ů ě ů ě ůč é Í ž š ě š ě ů ě ů ů ú ů ú Ž ě ě é ě ů ě é Í é ů š ů é ů š ů ěž ů ú Ž Í ě ú ěš Ž é é š ě š ě é ď š ě ž ž ěž ů
Ú ě ý Ú š ě é ě Ú Á ý ě é š ě ú ě ý ž é Č é ě ě š ů š ň ž ý š ž ě ě š ů ě š ý š ý ě é éž Ř é Č é ý ý ě ů ž ů ě ě ý ů ú šť ý ú Ú ý š ě ý ě é ů ý ů ý ě ý ó ě š ž Ú úó ý Ú ý ě é Ú ě ý ý Č Ř ý é š ů é ú Ů
á Í Ž á á á ý č Í é ů š ě ž říš ě č í í Í č í á í í č í Ží í ů ů ě ř ě á á é í í ě á é ů ě ň ž é é áš ě í á í ř š í á í á á ý ý š ř ů á ž ž á ž é ě ř š ě š ý é é á í á Ž š ů ří í ř é ě š ž ý í Š Ř áš ř
Ú Ý ÚŘ É č ř Ř Á Ř Ž ý ř č š ř Ž ěš ř ž č ř ř Í Úř č ř ě ě Š ř ů č ě ě š ř Ů Ž ř Ž ř ě ý Ú š řž ř ě č š ř ž č ě ň ů ří ý Ú š ř Ž ý ř ěť č Ž č ř ž č š ř ř š č Ú Š ř Ž č ř ě č ů ž ě ě ě ř š ý ř ě ř ý ř č
ť žň ť é Ů ý Ř é é ě ú ý ů ý ů é ě š ů é ě ě ý ž ú ú ú ě š é ě š ů é ě é ú é ě ě ě ě š ů ú ú é é ú ě ě š ů ě ů ý ů ě ěž ý ý ů ý ž ěž ů ý é ú éž ý ž ý ů ý ě ě ú ě ý ý ý ý ů ů ú ý š ý é ďé ú ů ů ů ý ů ů
ů É Č Ň Ó Ž ě ž ž š ě Ž ž Ó Í ž Í ů ů Č š ú ě Í ů ž ě š ě š Í Í ň Í ů ů š ú ě ž ě š ě š Í š ú ů ž ů ě ú Í ů ů š ě š ě ňů š ú ě ú ě š š ě ť ž ď ě ž ě ž Í ů ě Í š ú ě š ě ě ě ě ú ž ž ů ůž ě Ú ů ů š ě Í
Ě Á Á Í ř Č Č ú ř é é Č ý ě ý Š ě ř ů š ď é ř ř ě ř ě é ě ů š ě ř ý Š ř ř š ř ě Ě Á Í ů Ř ú ó ú ó ý é ř ý Ť é é ě ř é é ě ů ě ř Ťů š ř ý ý ů ě Ě Ě Á Í ě ě ř ř ř ě é ň ě ě ř ě ě ě ě ř ě ě ř š ě é ě é é
ř č č é é ř č úč ý ř č ý ž ý ř Č úč é řč ř ý ý óž ř č Č č ý ž ý ř ř č č ř ř č ž ř ř ř ř ž ř ř ř č ř ř č č é ř č č é é č ý č ř é ý é Ů é ř é é Č ř ř ý č ř é ý Č ý ř ů é é é ž Ž ů č č Č é ř ř Š ó ř č ň č
Á Š Í Ú Ú ř ě úř ó úř é ě ěš úř úř č é š ě úř ě ě č úř é š ě é š ě é š ě ě úř Ú Í Š ě Ř Á ÁŠ Í Ú Í Í ý č ě úř úř ř š ý č ú ř ě ě š ř ů ú ř ž Ž ě Í ě é š ě é ř ě é ě Š é ř ě é é š ě ý é š ě š é é š ě ž
ÚŘ Č Ý Č Ú Ú ť Ů Ú Č Š Ý Ý Ř É Ť Č Č Ú Ú Ú é š ž Ú é Ť é Č Ú é Ů Ú é š Ú Ť Ť é Í š é š š Ť ť Í éí š Ú Ť Ú Ú Ů Ť é ť Ú ť Ú Š ť Č Ú é Ú é ž š é Ť Ú Ú ť é Ž é é Ť é Ť Ť Ú Ú é é Í é Í Ť Ú ť Í Í Ť é Ť Í Ú Ť
í ří í í ří í č í ř í čí ší ří í í í ř é ú í ý ř ř é ú í ř ť í é í š í ý é é í ř ý ů č š ří ú ý ší čí ř é é ý ý ý ý ř Í č í ý é í čí é ú Č í ý ší í í é ú Í ř ší ů é ý ň í Í ý ů š í ů č ý š ý ý ý ší ť í
Á ú Ú ú Í Ů ť Í Ů Í Ú Ů Ě Č Ů Č Í Ů Ů Ě Ď Ú Ě ť Ě Ď Ě ť ť Ý Ý Ý ť ř ú Í Ů Ů Ů ť Ů Í ď Í ť ň Í ú ť Ů ť ú Í Í Ď ť Š Ů ň Ý ň Ů Ů Ů ť ť ť Ů Ď Ů Ů Ů Ů ň Ů Ď Ů ř ř ř ň ú Í Ů Ů Í Ů ř Ů Í Ý ď Ů Ů Ů ď ř Ů Ů Ů ň
ú ú ů ů ů ž Í ú ó óž ó ž ó ů ž ú ó ž ů ů ůž ž ó ž ó ó ž ů ó Ž ú ů ó ó ž žó ó ů ó ó ó ž ž ó ž ž ž ó ž ů ó ó ú ů ů Ú ó ó ž ó óž ó ó ž ó ů ž ú ž ž ž ů ů ůč ž ž ž ť ž ň ůč ó ň Ú Ú ůč ó ť ž ů ů Ú ů ž ú úž ž
Ž é ě ť č č é š ť é ě č č ť č é č É é ý č Ž č úč é Ú Ž Ž č Ž ý ť ť ů ě é ú č ě ť ť č é ť č č é č č Ž ě ě č é š Ž š ě ě ě é Ž ě ě é ě č ýš č ě č é ě é ě ýš ů ě é Ý č é é é ý é č ě é ě ě č é ý ů é ě ě č
í ž í Í í á íž á é ě í í ý ů íř ě č á á íž ří ž í á Íž ď Í í Ť č š ěš á ě ší ž á ť á í ž á á ě ěš á í ý é ěš ú ě ší ě é ř řá ě á é á ě á é ů Íé á ě ě š Í ý á š ě ž ě ě řá č š é é á Í í á í š ř í ž í í
FINANČNÍ MATEMATIKA. Jarmila Radová KBP VŠE Praha
FINANČNÍ MATEMATIA Jarmila Radová BP VŠE Praha Osova Jedoduché úročeí Diskotováí krátkodobé ceé papíry Metody vedeí a výpočtu úroku z běžého účtu Skoto Složeé úrokováí Budoucí hodota auity spořeí Současá
č é ř ř ý é úč é ž é ž č č ú ý é é ý ý ú š ý é š é é ž č č ú Š ř š é Ú é é ž ú ř é Ň ž ý ř č ž ů ýš é ř ž ř ý č é ř č ý ř ř ý é ž é š ř ů é č é č ř é é é ý ž ž ř é ý ř ř š ž é é ř ý ž é ř é ř ý ř ř č úř
ě č č ě ť Í Ř Á ř č Úř ě é č úř ř š č Í ř ě ě Š ř ť ě ě č š č ě ě š é ň ů ř ř Ž ž č š č š řé ě ř š ě š č š é ú ú ř ř ě ú č é é ě ů č š č ú ů Ú ř š ě ř é ě š ě ů ř Ú č ť ř ó é ť č é ř ř čů é Ž ř ř š ě Ž
Ú č á í í í ý á ý á ý ň í á é ě á ý á č ř í á í č á á á ř ý ř ý á ř ř ě é ý ů ě ř ý í ž á í é ý ř ž é á á Š í í ž é Ž ě í í ářů ý í ý á č ý í á á é í ý á é ě é í í í ěá č ú ý čá í é á ž é é ě é á í ž ú
ý Á Á Á Š É Ř č ř ý é ě ř ř é Ú ý é ď ě é ř č ě ž ř ěř ý ý č č š ř ě ř é žš ž é ž ř ě ý ě č ý ě č é š ž ž é ř ůž č č ě ř ě ý ů ě ý ž é ý ž č ů ě ř ž č ů ř š ž š ů ěř ý ů é ň Ž ž č ů ř é ůž ě č ý č č é
ú Š ú é é é ú ě ú ž é ě Ý Č ú ů ě ú ú ž ž ě é ů š ě ž ě é š ě é é ď ě ž ů é ě ú ů ů ů ž ě ů ů ěž é é š ň ě é ž é é ž žá éš é ň ě š Ú ž é é ě ď ú é é ůž é ž ú é Ž é ě é š ž ž ž ú š ů Í ě é ě ě ě ů é Ň Č
Š ď é ě ěř é š ř ř Ž é ř é ě ď ěř é ď Ú ě ý ú ř ř Á ř ě é ř ě ř ě úř ř ý é ě ř Ž ř š é ř é ě Í Í ý ř ě ú ě š ěř š ěř ěř š Ž ř š ě š ě Ú ř Ú é ě š ě Ú ě é ě Ú ř ř ě é ř é ě š ě é ě ě š ý é úř ý ř ř ť é
Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz
Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 0 8 3 4 U k á z k a k n i h