Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie

Transkript

1 Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie Hana Vymazalová Ukázky z egyptských matematických textů In: Jindřich Bečvář (author); Martina Bečvářová (author); Hana Vymazalová (author): Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie. (Czech). Praha: Prometheus, 00. pp Persistent URL: Terms of use: Bečvář, Jindřich Bečvářová, Martina Vymazalová, Hana Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 9 UKÁZKY Z EGYPTSKÝCH MATEMATICKÝCH TEXTŮ Na následujících stránkách jsou uvedeny vybrané úlohy, jez reprezentují jednotlivé typy problémů zmiňované v předchozím textu. Z mnoha příkladu, které známe, byly zvoleny ty, které daný typ úloh co nejlépe ilustrují a zároveň umožňují seznámit se s jejich formou, podobou zápisu a zvláštními výrazovými prostředky matematické mluvy. Úlohy jednotlivých papyrů jsou očíslovány. Toto číslování zpravidla odpovídá úzu zavedenému při prvním publikování textu. Písmeno před číslem příkladu určuje text, z něhož příklad pochází, např. K označuje čtvrtou úlohu Káhúnského matematického papyru. Zvláštností Moskevského papyru je číslování sloupců (římské číslice), do kterých je písmo tohoto textu uspořádáno. U úloh z Káhúnského papyru jsou uváděny i kódy označující jednotlivé fragmenty, jak byly popsány Griffithem [Gr]. V Rhindově papyru jsou číslovány úlohy popořadě, výjimkou je samotný úvod papyru, tedy tabulka : n, jejíž výpočty zůstaly bez číslování. Při překládání úloh jsem byla vedena snahou o co nejpřesnější dodržení formy textu. Proto byla specifická matematická terminologie, jež nám známé početní operace opisuje zvláštními formulacemi (např. počítej s x, až najdeš y odpovídá y : x)j ponechána ve své podobě, ačkoli v zahraničních překladech bývá většinou nahrazována moderními termíny. Symbolické zápisy nebyly v egyptských textech používány. Přeložené příklady odrážejí původní uspořádání textu a výpočtů do řádků či sloupců. Příliš dlouhé řádky byly rozděleny a očíslovány (např. řádek ' navazuje na konec řádku ). Chyby v textu jsou označeny sic, správné hodnoty jsou uvedeny v poznámkách pod čarou. Některé chyby písaře, jako například nevypsání tečky označující zlomek, kdy napsal 5 místo /5, byly opravovány automaticky a v překladu nejsou vyznačeny. Pro usnadnění chápání překladu jsou užívány různé druhy závorek: hranaté pro text poničený a při překladu doplněný, kulaté pro text napomáhající srozumitelnosti, lomené pro text omylem vynechaný a pří překladu doplněný. Různé druhy písma odrážejí původní charakter textu. Podtržené písmo značí text psaný červeným inkoustem, většinou se jedná o nadpisy a důležité hodnoty. Italikou jsou psána slova, pro něž nebyl použit český ekvivalent. Jedná se zejména o jednotky, jejichž povaha i přibližná hodnota je popsána v příslušné poznámce pod čarou. Podrobnější informace o jednotkách jsou nastr. 7 (viz též [Vyml], str. 9-). Italika je užita i pro čísla, jež byla v egyptštině zapisována určitými znaky - např. / měla svůj hieroglyfický i hieratický znak, ale / hekatu se psala jiným znakem, a proto je v překladu psána italikou. Jak bylo řečeno, jedná se o stručný výběr příkladů. K vydání se připravuje úplný překlad všech známých matematických textů ze starého Egypta; bude obsahovat jazykový rozbor a podrobný komentář k jednotlivým úlohám.

3 50 RHINDÚV PAPYRUS Tabulka /n w \ 8 ì. liì A Ч i ü -L 8 * 7 \ 8 Vyděl :9 -*& & } 7 řešeni: \i.l \- & i l l в \«rk \ 8 Vyděl : 6 8 řešení: 7 i i 6Ì u в з в J_ q * JL 5 ' \ 6 ' \ 8 celkem \ 6 -i- zbytek \8 \JL R6 Počítání 9 chlebů pro 0 mužů. Postup: Počítej s.5 0 " krát \ * x 0 0 i -L 0 \8 celkem 9 chlebů, je to ono.

4 5 R7 Metoda doplňování ó J_ 8 56 ł celkem J_ 6 ì i ł ł ł R8 JL celkem R Řekne se ti: co doplní з do? u u x * 0 l celkem, zbytek je. Metoda zkoušky: doplní se з Ю J_ 5 _i_ 5 k. Počítej s 5, až najdeš. 5 \ -V J_ ю U jme ł J- 5 0 celkem Tedy ^ se k tomu přičtou. se přičtou

5 5 R Množství, jehož j k němu přidaná dá 9. \ 7 8 \ł \ 6 ì ч \\ \ ì 8 W \ J \ 9l ľ Množství ' postup Щï ' 7 -ü < celkem 9 RЗO Když ti písař řekne: výsledek ~*,c je ~ z čeho? Ať slyší: Počítej s ^, až najdeš 0. \ 0 ü 5 \ ó -- 5 \8 6 -L-L " 0 0 celkem -L 0 0 S ~ se počítá -krát, než se najde ~>. celkem to množství, o něž se jedná, je ^. \ - & Q 6 8 \ To U WĎ celkem 0. Správně má být 0; písař zde omylem napsal nad číslo 0 tečku, čímž z něho udělal -~ 0'

6 5 RЗl Množství, jehož ~ k němu přidané dají. -i 7 \ i i -L ^ 8 \ n s i c J 6 8 \8 8 H U celkem, zbytek \ -L \ 97 è i \ X J L. \ à ^ \ ~i_ \ 9 \ _i- \ ì ì ъ\!і li -7* ЗІ i ö celkem. 8 6 celkem 99 s,c * Správně má být 9 i -^. Správně má být 97.

7 5 R8 Vstoupil jsem -krát do (míry) hekat* se svou jsem byl úplný. \i Vyděl :* \ U celkem ó i 7 7 X X i X 6 66 Ц i 7 JL 8 i X S se počítá [-krát] až se nalezne j celkem ' з' ' 5' Metoda zkoušky: i X X X 6 66 i X X X 66 ^ celkem ì з \è 0 h 06 \fí \ J_ \ 9 ìi ІX x ^ ì X ^ 6 66 \ 66 5 I 0X X xux 6( 66 celkem vypočte se ^-krát 7, než se najde.. " " Metoda zkoušky: \i \ U Юi X X X x u x з 66 0 л u u i -- -i- -L зз 66 ІX x ^ celkem. Vypočítat pro obilí '" '" IX 6 x 8 X X X X 66 ra ì XX 0,u гo i X 66 celkem ì 5'" 6 6 Ҙ Dutá míra užívaná zejména pro měření obilí. Odpovídá přibližně,8 litru, dělila se na 0 ro. Lze pro ni užít českého termínu měřice".

8 55 R0 00 chlebůpro 5 mužů, j ze horních pro muže dole. Jaký je rozdíl? Postup: rozdíl je 5 V V 7- \- V 6ì V celkem 60. ť \ 60 -krát, výsledek je 8 ' \ ' počítej 0 5 ' celkem 60 celkem 00. R Metoda počítání čtverhranné obilnice, jejíž délka je 0, šířka 0 a výška 0. Co je to, co do ní vejde v obilí? Počítej s 0 0-krát, vyjde 00. Počítej se 00 0-krát, vyjde 000. Připočti z 000, je to 500, vyjde 500. To je její objem v char. 5 Vypočti ^ z 500, vyjde 75. To je to, co do ní vejde v jednotkách 00~-hekat Q : 75 00~~hekat obilí. metoda řešení tohoto: ' 75 5' ì 0 ì ì 0 z îõ 5 \0 500 z i z 'i z toho je 0 ì 0 50 ì Jednotka char ( pytel") je dvacetinásobkem jednotky hekat, odpovídá tedy přibližně 96, litru. 6 Jedná se o stovky čtyřnásobného hekatu.

9 56 R50 Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o (průměru) 9 chet 7 Jaký je obsah její plochy? Odečti z toho, je to, zbytek je 8. Počítej s 8 8-krát, vyjde 6. Toto je její obsah v ploše: 6 secat* [ 9 postup: z toho odečíst od toho, zbytek obsah její plochy 6 secat-johet R5 Metoda výpočtu lichoběžníkového pole. Rekne-li se ti: lichoběžníkové pole jež má 0 chet na výšku, jeho (dolní) základna je 6 a chet má (horní) základna. Jaký je (obsah) jeho plochy? Sečti (dolní) a (horní) základnu, vyjde 0. Vypočti z 0, je to 5, pro udání jeho obdélníka. Počítej s 0 5-krát, vyjde 0, to je (obsah) jeho plochy. Postup: ' 000 \ ' \ 500 ' \ 8000 celkem 0000 chet 0 chet 6 chet 5 převeď na plochu: 0 s,c - to je obsah jeho plochy Délková jednotka odpovídající 00 loktů, čili 5,5 m. Plošná míra odpovídající čtverci o straně chet, tedy čtverečních loktů. Správně má být 0; tato hodnota je v jednotkách c/ia-ía, jež odpovídají 0 secat.

10 57 R56 Metoda počítání pyramidy o straně 60 a výšce 50. Udej mi její sklon. Vypočti z 60, vyjde 80. Počítej s 50, až najdeš 80, vyjde ~ - ^ lokte. 0 loket je 7 dlaní, počítej se 7: ' ' ' 50 öч i 5 ü její sklon 5 ^- dlaně. Rбl i z Ł 9.i JLJL * 9 J c 8 5 ð z je to 9 z je to 6 8 -è -è Po ítání z lichého zlomku Řekne-li se ti: Co jsou z? Počítej s tím -krát z z toho, je to a 6-krát, toto jsou z toho. z z toho, je to Hle, ať se počítá podobně 6 z z toho, je to 6 pro každý lichý zlomek, z z toho, je to který se vyskytne. z toho, je to -LГ.J [i] - \ z toho, je to ^ \ - [z toho], je to ± j ~ - z toho ~ JJ - [z toho, je to] ~ M I z t o h o зз ì H " Z t0h ^ I Z t0h 0 Loket,.základní egyptská jednotka délky, odpovídal 5,5 cm. Sestával ze 7 dlaní, dlaft měla prsty.

11 58 R6 Metoda výpočtu pytle s mnohými drahými kovy. ftekne-lise ti: pytel, v němž je zlato, stříbro a cín. Tento pytel může být získán za 8 šatej. Co je to, co přísluší každému kovu, když za deben zlata se dá šatej, (pro) stříbro to je 6 šatej a (pro) deben cínu to je šatej. Sečti to, co se dá za šatej 8tc všech kovů, vyjde. Počítej s těmi, až najdeš 8 šatej. To je za co je možné získat tento pytel. Vyjde. To dáš za každý kov. Postup: Počítej se -krát, vyjde: zlato je 8 to je to, co mu přísluší. 6 stříbro cín celkem 8 R7 Další: 000 chlebů (o pesu) 5 nahradit pesu 0 a 0. Jaké je příslušné nahrazení? Převeď těch 000 chlebů (o pesu) 5, vyjde 00 měřic hornoegyptského ječmene. ílekni: toto je mouka. Vypočítej z 00 měřic, tedy 00. Počítej se 00 měřicemi 0-krát, vyjde 000. To je podíl pesu 0. Počítej s tím 00 měřic 0-krát, vyjde 000. To je podíl pesu 0. Postup: 000 chlebů (o pesu) 5 převést na mouku nahradit 000 (chleby o pesu) 0 з' nahradit 000 (chleby o pesu) 0 00 měřic 00 měřic 00 měřic Jednotka hodnoty; lze ji chápat jako cenu. Základní váhová jednotka odpovídající v době Střední říše,6 g, od Nové říše 9 g. Správně má být deben.

12 59 R79 Majetek: domy 7 kočky 9 myši 0 pšenice 0 s,c Celkem hekat celkem 9607 Správně má být 0.

13 60 MOSKEVSKÝ PAPYRUS M IV [Metoda] výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy. [ftekne-li se ti:] trojúhelník, jehož výška je 0 a základna. Udej mi (obsah) jeho plochy. Vypočti \ ze, je to, pro udání jeho obdélníka. Počítej s 0 -krát, vyjde 0. To je (obsah) jeho plochy. V [0] \ [0] M6 VIII Metoda výpočtu pravoúhelníka flekne-li se ti: pravoúhelník o (obsahu) plochy (), kde \ \ z délky přísluší šířce. Počítej s, až najdeš, vyjde. Počítej s těmito, což je (obsah) plochy, -krát, vyjde 6. Vypočti odmocninu (z toho), vyjde pro délku, \, je to, pro šířku. Postup: \ I I \ 6

14 6 M8 X Metoda výpočtu 00 chlebů (pesu) 0. Řekne-li se ti: 00 chlebů (pesu) 0 převést na pivo, jež má pesu ; ~ sladu pro datle. Vypočti podíl těch 00 chlebů pesu 0, vyjde 5. Počítej s sladu pro datle, až najdeš, vyjde XI Vypočti z 5, vyjde. Počítej s -krát, vyjde 0. Toto (tedy) řekni: Hle, to je příslušné pivo. Nalezl jsi správně. M0 XVIII Metoda výpočtu koše. Řekne-li se ti: koš (o ) v iep-er ku ~ na adž. lb Nuž, udej mi jeho plochu. Vypočti z 9, neboť koš, to je [ ], vyjde. XIX Vypočti zbytek, je to 8. Vypočti z 8, v yj de les- v yp eti zbytek z těch 8 za těmi i vyjde 7. XX Počítej se 7 -krát, vyjde. Hle, toto je jeho plocha. Nalezl jsi správně. Výrazy tep-er a adž popisují rozměry zadaného objektu. O přesném významu těchto specifických termínů se - stejně jako o povaze onoho zadaného košíku - vedou horlivé diskuse. Jediným vodítkem je samotná úloha, neboť tyto termíny nejsou doloženy v jiných textech.

15 6 M XXVII Metoda výpočtu komolé pyramidy. Rekne-li se ti: komolá pyramida o výšce 6, dolní základně a horní základně. Vypočti tyto v mocnině, vyjde 6. Zdvojnásob, vyjde 8. Vypočti tyto v mocnině, vyjde. XXVIII Sečti těch 6 s těmi 8 a těmi, vyjde 8. Vypočti z 6, vyjde. Počítej s8 -krát, vyjde 56. Hle, je to 56. Nalezl jsi správně. XXIX přijde 8 56 přijde 6, 8. celkem 8. M9 XXXVI Metoda výpočtu množství. To, co se vypočte -krát se tak, aby to přišlo k 0, je množství, o kterém se hovoří. Vypočti velikost těch 0 nad těmi, vyjde 6. Počítej s, až najdeš, vyjde. Vypočti z těch 6, vyjde. Hle, je to, oč se jedná. Nalezl jsi správně.

16 6 M XL Metoda výpočtu 0 hekat hornoegyptského ječmene. Řekne-li se ti: 0 hekat hornoegyptského ječmene převést na 00 chlebů, není-li známo jejich pesu, zbytek na 0 (džbánů) piva (pesu) ; ~ sladu pro datle. Hle, \ sladu pro datle. Hle, je to, vypočti podíl těch 0 džbánů piva (pesu), vyjde 5. Vypočti zbytek těch 0 za těmi 5 hekat hornoegyptského ječmene, XLI vyjde 5. Počítej s těmi sladu pro datle, až najdeš. Hle, sladu pro datle a (pesu) je. Vyjde. Vypočti z 5, vyjde Ž. M XLII Metoda počítání prací výrobce sandálů. Řekne-li se ti: práce výrobce sandálů: když řeže, je to 0 za den; když dokončuje, je to 5 za den. Když řeže i dokončuje, kolik udělá za den? Sečti dobu těch 0 s těmi 5, vyjde celkem. Počítej s tím, až najdeš 0, vyjde -krát. Hle, -krát je to pro jeden den. Nalezl jsi správně.

17 6 KÁHÚNSKÉ PAPYRY K - IV.З 0 \ i x io l O 0 Z 6 i -i- i LL 6 * & \8 i i i celkem f& 0 i-i- U Q I i JL ^ 6 o * T 7 JL_ ' 6 7 -i- ' 6 i i 6 A K - LV. [ ] i, zbytek [5]. Kdo to říká? Vypočti [velikost ] za f> y yj de * Počíte J s í> až najdeš, vyjde -krát. Počítej s 5 -krát, vyjde 0. 0 to říká.

18 65 BERLÍNSKÝ PAPYRUS Bl Jiný [výpočet množství.] Řekne-li se ti: [00 je (zadané) množství a \ \ z] prvního množství je pro druhé. Nuže, udej mi [první a druhé množství.] Vypočti pravoúhelník z prvního a vypočti z jedné. [Vypočti] - z prvního množství pro druhé, vyjde. Vypočítej to [pro druhé množství.] Tedy první množství je a druhé. Přidej celé první ke druhému, sečti je, vyjde \ \ iě' StC Vypočti odmocninu z toho, vyjde \. Vypočti odmocninu ze 00, vyjde [0]. Počítej s, až najdeš 0, vyjde 8-krát. [To je první množství.] Vypočti z 8, vyjde [6, to je druhé množství.] 5 Správně má být ^

19 66 PAPYRUS ANASTASI I. Al Hle, jsi zručný písař, který stojí v čele armády. Má být zbudována rampa o 70 loktech, 55 loktů na šířku, sestávající ze 0 dutých prostorů vyplněných rákosem a trámky; na výšku má mít 60 loktů v nejvyšším bodě, ve střední části 0 loktů, se sklonem 5 loktů, jeho základna (?) má 5 loktů. Dotaz na její potřebu cihel je předložen veliteli armády. Všichni písaři dohromady nejsou (dostatečně) znalí. Důvěřují ti zcela, řkouce: Ty jsi zručný písař, můj příteli, rozhodni pro nás rychle. Hle, tvé jméno je známé. Ať je na tomto místě nalezen jeden, který (tak) vyzdvihne (i) ostatních 0. Nedopusť, aby se o tobě říkalo, že je něco, co neznáš. Zodpověz pro nás její potřebu cihel. Pohleď, její rozměry jsou před tebou. Každý z jejích dutých prostorů má mít 0 loktů a na šířku 7 loktů.