Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky"

Marie Horáčková
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vavřine Jelínek Zobenění věty Pythagorovy pro každý trojúhelník Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 28 (1899), No. 1, Persistent URL: Terms of use: Union of Czeh Mathematiians and Physiists, 1899 Institute of Mathematis of the Aademy of Sienes of the Czeh Republi provides aess to digitized douments stritly for personal use. Eah opy of any part of this doument must ontain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for eletroni delivery and stamped with digital signature within the projet DML-CZ: The Czeh Digital Mathematis Library

2 vědně a lze je u něho obdržeti a sie první za 10 zl., druhý za 12 zl. 79 troj Zobenění věty Pythagorovy pro každý úhelník. Napsa! Vavřine Jelínek, professor v Novém, Město u Vídně. L Strany trojúhelníka ABC (obr. 1.) jmenujme, jak obyčejně, a, b, a jim protilehlé úhly a, /3, y. Odečteme-li od úhlu y směrem ku A úhel «, směrem ku B úhel /i, a prodloužíme-li nová ramena až k průsečíkům D l a D 2 se stranou, najdeme: V trojúhelníku D^Dg jsou úhly ó\ ležíí proti CD 2 = d. Á, a d 2 proti CD X = d x zevnějšími úhly sousedníh trojúhelníků; tedy ď, = a -f p = 180 y, ó 2 = a + p = 180 y, pročež ď i = ď 2 = a tedy také příčky (1) d x = d 2 = d. Každý z obou trojúhelníků, omezenýh nerozdělenou stranou, přilehlým úsekem rozdělené strany a příslušnou příčkou d, jest pro rovnost úhlů podoben danému trojúhelníku; jsou tedy oba i sobě podobny. (2) ABCDÂABC, AACD 2ÂABC, A BCD-Â 4-CD a. ď

3 80 Nazveme-li úseky BD, = { a AD 2 =, najdeme z prvýh dvou párů těhto podobnýh trojúhelníků úměry (3) :a = a: 1, :b = b:. Jest tedy každá nerozdělená strana trojúhelníka střední měřikou úměrnou mezi elou rozdělenou stranou a jejím úsekem, přilehlým k nerozdělené straně. Z třetí dvojie podobnýh trojúhelníků pak plyne (4) l :d l = d 2 : a poněvadž dle (1) jest d x = d 2, tvoří každá příčka d střední měřikou úměrnou obou úseků rozdělené strany. Proměníme li úměry (3) v rovnie: a 2 = x, b 2 =, najdeme součtem (5) a 2^-b 2 = ( 1 fy a součinem ab = ^ 1 ; tedy vzhledem ku (4) (6) ab = d, kterýžto vztah také přímo vyhází z prvníh neb druhýh dvou podobnýh trojúhelníků uvedenýh v (2). Učiníme-li DJ) 2 = e, jest dle obr. 1. (7) = e. Z rovnie této obdržíme, násobíme-li ji hodnotami x, neb : x = \ + x + A e, = \-\- 1 -\~ e, = x f + e a vůči úměrám (3) a (4) a 2 = \ + d 2 f Y e, (8) b 2 = \+d 2 + e y =a 2 + b 2 + e. V prvníh dvou rovniíh poznáváme hned na první pohled větu Carnotovu; jesti e dvojím průmětem strany d na x i na.

4 Smysl třetí rovnie (8) seznáme takto: Vyměnivše v součinu e přímku dle (6), obdržíme (9) * = a* + b* + ab.-ía z trojúhelníka D-CD 2, kde najdeme s = r takže ona rovnie zní (a + P) = r (180 y) = 2{y 90 ), -=- = 2 sin -jr- = 2 os y, d 2 (10) = a 2 + b 2 2a& os y. Jest tedy i třetí rovnie v (8) větou Carnotovou. Hodnota posledního členu jejího jest v našem případě pro y>90 ovšem kladná. Správnost rovni (1) až (6) není nijak podmíněna velikostí úhlu y. Rovnie tyto platí tedy pro každý trojúhelník. V rovniíh (7) až (9j jest však pro hodnotu přímky e = 2d os y rozeznávati různé případy: a) Je-li 7>90, jako v našem obrazi, jest e kladné; úseky x a souvisejí přímkou e. Pro tento případ platí horní rovnie. b) Je-li 7 = 90, jest = 0; úseky 1 a souvisejí jen svými koni, příčky d ± a d 2 splývají v jedinou a to ve výšku na přeponu. Rovnie (7) až (9) znějí pak: = 1 +, = a 2 + b 2. ) Je-li ^<90, jest e záporné; úseky x a částečně se kryjí a horní rovnie se mění na = г + Ъ = a 2 + b 2, = a 2 + Ъ 2 ob ч~. d 81

5 82 Odvození Pythagorovy věty podmíněno je tím, lze-li jedinou příčkou odečísti dva úhly trojúhelníka od úhlu třetího. Neomezujeme-li toto odčítání počtem odčítaíh příček, nýbrž odečteme-li vůbe, shledáme, že Pythagorova veta ve všeh svýh výroíh platí pro každý trojúhelník. I zdánlivé různíí se věty a 2 + b 2 = \ a 2 -\-b 2 = ( ] -f. 2 ) jsou totožné, vyslovíme-li je takto: Součet čtverů nad dvéma stranami trojúhelníka se rovná obdélníku ze strany třetí a součtu obou jejíh úseků." II. Ježto v předešlém uvedeno bylo několik posud neobvyklýh úseček 1,, oř,, ukážeme ještě, jak lze jih použiti při řešení trojúhelníka. V V sin y = sin í = os fг = -^- = Y4(. e- li/4 lc, e -_-_! LV 2 ~ 2d ~ 2» x 9â Ç> V kde v znamená výšku na. Pak os y = os (-*- + 90») = - sin -J- = - -_t_ e 2% 2V x sin a : sin /3 : sin y = a : b : = )' 1 : V : Ve, tang -±±4- : tang JL=. = \fi f ^) : ^ _ ^); plohy trojúhelníků # _= ABC, ^ r BCD X, p 2 _= A CD.,, p 3 D L CD 2 jsou v relai P-Pi 'P* : Ps = : i: j 2 :. Přiklad 1. Dány:, L,. Najdeme

6 83 a = ^v b = V^ d --= V^ e = ( 1 -\~ ), jp = V7(7^V) (5 Víji (T^V^Í, kde 2s = V^ + Vč"i + V^7 Sestrojení. Odečteme od -= AB protivnými směry 1 = BD 1 a = AD 2. Tu rozeznávati dlužno tyto případy: a) Oba kone D l a D 2 úseků ^ a vpadají do AB =. (Obr. 2. a 3.) Sestrojíme nad AB = jakožto průměrem polokružnii, pak D-JCJ JL AB a D 2 C 2 X AB a shledáme, že BC X = a, AO, = 6. Obr. 2. 6) Jeden neb oba kone D^^ a D 2 úseků padají na prodlouženou AB =. (Obr. 4. a 5.) Sestrojíme polokružnie nad každou Obr. delší přímkou, x, jakožto průměrem (nejkratší z nih jest již obsažena v každé delší) a pokračujeme jako v případě prvém. Příklad 2. Dány: 1?, HF Vypočteme: 6*

7 84 = 1 -\ r ±_e, a = V^ ( x -\- ±_é), b = Y ( x -f ± e), d = ^&> P = -4 ( i + ± e ) 1± i e 2. Sestrojení. Je-li e = D 2 D a kladné, přičteme ku e (obr. 2.), je-li záporné e = DJ) 2, odečteme od e (obr. 3.) protivnými směry úsek x = D X B a úsek = D 2 A. Pokaždé obdržíme = AB a pokračujeme jako v příkladě 1. Podmínka: x > ( I. Příklad 3. Dány: a, v d. Vypočteme: _ d2 _ «2 _ ad h _ a d 2,, o, e., i i p = I ) ^s (s a) (s j (s d), kde 2s = a -f- i + d. Sestrojení. Sestrojíme trojúhelník o stranáh a _ BC, x = BD X a d = CD X (obr. 1.). Jeho úhel ležíí proti a se rovná úhlu y hledaného trojúhelníka; přeneseme jej tedy do C ku straně a. Příklad 4. Dány: a,, d. Najdeme:. h a -/ a \ 2 ^ ~ ' * - á * 2 ' C ~\ d I * 2 ' P=(^J 1 S ( S -V( S -&^V' kde b = -rr a 2s = 6 -j- -{- ř. Sestrojení. Sestrojivše 6 dle úměry á: a = : b neb x dle x : ř = ř:, pokračujeme podobně jako v příkl. 3. Příklad 5. Dány: x,, a. Najdeme: i i p ~\) V*( s «)(* 0(*~4

8 85 vypočitáme-li napřed d a klademe-li pak 2s zzz a -f- 1 -f- d. Sestrojení. Sestrojme pravoúhlý trojúhelník BC^ (obr. 6.) o odvěsně BD X = 1 a přeponě BC 1 = a, opíšeme polokružnii, jejíž střed o leží v (prodloužené) odvěsně v a obvod prohází body B a C r Kružnie tato protne prodlouženou odvěsnu ještě v A. Jest AB =. Nanesme pak úsek zz AD 2 na AB a pokračujme jako v příkl. 1. b. Příklad 6. Dány: a, b, d> Vypočteme: àb C ~T' Cl ad X' = Ь<2 *=<-vy'(--ж--ш-7b znamená-li a 6 ' a Sestrojení. Potřebí jen, které dle úměry d: a = b : snadno sestrojíme. pak Příklad 7. Dány: a, b, ± e. Najdeme z rovnie (8) ^4[ ± e + V e ( a 2 + & 2 ) ]'

9 86 d: 2a 2 ±в+y«* + 4(a 1, - : -ò*) 2Z> 2 ± e + Ve (a г + ô 2 ) ' 2a& -4- e -j-v^2+4(a 2 - r -6 2 ) ' Vypočítavše stranu, použijeme pro plohu vzore Heronova p z=z ^s (s a)(s b) (s ). Sestrojení. Jedná se jen o stranu, kterou sestrojíme dle =V(«S + 62 )+(-J-) 2 ±i- V obr. 7. jest Am = a, mn = b, &m J_ mn, tedy Aw = \a 2 + b 2 ; pak no J_ An, no =, tedy Ao=ya 2 +& 2 + (-2) 2 Obr Opíšeme-li ještě kolem o kružnii o poloměru --j-, dostaneme obě strany : delší AB, kratší ' = AB\ Příklad 8. Dány:, d, e. Strany a a b obdržíme řešením rovni (6) a (8):

10 87 a = -L [Ve ( -+- 2d ť) ±Ve ( 2d ~e)]= &; p = -*-Y(2ď- -e)(2ti--^: Sestrojení stran aaíi provedeme dle vzore tedy V obr. 8. jest AB = -1, BE =-*, CE = DE = d; AC: т т+* ^> = т Obг. 8. Sestrojíme-lj polokružnie o průměreh AC a AB a protneme-li je kolmiemi BM _L AC a DN J_ AB, bude tětiva a tětiva AM=V-Ш--i-+ đ ) AN = 1i(т-Ť-'Y pročež MS jest delší, MR kratší stranou z obou a a b. Podmínky: 2d>e, >{2d-\-e\ Kdyby byla přímka e záporná, změnil by se ovšem obvod, nikoliv však ploha p trojúhelníka.

Podobné dokumenty

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Ladislav Klír Příspěvek ke geometrii trojúhelníku Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 44 (1915), No. 1, 89--93 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122380