Učitel v roli žáka součást profesní přípravy učitele Jarmila Novotná, katedra matematiky a didaktiky matematiky PedF UK Formální poznání, porozumění, příprava učitelů, matematické struktury Jedním z hlavních problémů přípravy budoucích učitelů je stanovení rovnovážné polohy mezi jejich teoretickými a praktickými znalostmi a dovednostmi. V [4] jsou specifikovány tyto tři základní komponenty vzdělání budoucího učitele matematiky: 1. Specifické znalosti: 1.1 Znalosti z matematiky (matematické pojmy a postupy, metodologie, vztahy k dalším oblastem atd.) 1.2 Znalosti z psychologie a pedagogiky (obecné aspekty vyučovacího procesu, poznání žáků, organizace vyučování, tvorba kurikula, otázky kontextu atd.) 1.3 Znalosti z didaktiky matematiky (strategie výuky/učení se pro jednotlivá témata, kurikulární a pedagogické materiály atd.) 2. Znalosti, přesvědčení a postoje k matematice 3. Praktické dovednosti Uvedené komponenty jsou pouze rámcové, nedávají odpověď na podstatnou otázku, a to obsah a rozsah požadovaných znalostí budoucího učitele. Studenti učitelství matematiky, kteří přicházejí na fakulty připravující učitele, prošli kurzy matematiky na základních a středních školách. Přinášejí si s sebou nejen různě rozsáhlé a různě hluboké znalosti pojmů a dovedností z matematiky, ale také zkušenost z toho, jak byli sami matematice vyučováni. (Vycházíme samozřejmě z předpokladu, že student, který se rozhodl věnovat vyučování matematice, má k tomuto oboru vybudován pozitivní vztah.) Bohužel ne vždy je tento vztah doprovázen také zkušeností s jiným než instruktivním způsobem výuky, matematika je často chápána jako izolovaný vyučovací předmět související pouze formálně s jinými předměty nebo s problémy ze života. Různé přístupy k vyučování matematice jsou uvedeny např. v [3], [7]. Pohled na matematiku, který si student budoval dlouhodobě během celé školní docházky, přetrvává u studentů ještě dlouho po ukončení střední školy. A pokud se nepodaří nevhodné postoje změnit během profesní přípravy na fakultě, vrací se spolu s učitelem zpět do škol. Situace, kdy je matematika chápána pouze jako soubor pouček a instrukcí, které je třeba se naučit, vede k prohlubující se formálnosti výuky matematiky, nedostatku porozumění podstatě pojmů a k neschopnosti matematiku smysluplně využívat při řešení reálných problémů. Vliv předchozích zkušeností žáka z domova, ze školy a ze společnosti na výsledky testů, získávání poznatků a jejich spojování do schémat je sledován v [9]. Podobně platí, že předchozí zkušenosti učitele mohou výrazně ovlivnit schopnost jeho vcítění do poznávacích procesů žáka, který se setkává s novými, často pro něho překvapivými, pojmy, jejich vlastnostmi a vztahy (např. uspořádání kladných zlomků, kdy při stejném čitateli číslo s větším jmenovatelem je menší, stojí v protikladu k dosavadní zkušenosti žáka s uspořádáním přirozených čísel). V [4] je citována řada studií věnovaných obtížím, se kterými se setkává začínající učitel při svém nástupu do školní praxe. Ve svých výpovědích učitelé, kteří nastoupili do pedagogické praxe, zdůrazňují mimo jiné malou připravenost na neobvyklé otázky žáka a rozlišení mezi důležitými a nedůležitými pojmy. Nestandardní struktury v přípravě budoucích učitelů matematiky
Zanedbává-li učitel při výuce rozvoj žákova myšlení [1] a soustředí se jen na úkol naučit žáka předepsané znalosti a dovednosti, je často výsledkem takové výuky pouze formální poznání. Jak tuto formálnost odhalit? Vše je zdánlivě v pořádku, žák správně definuje pojmy a popisuje jejich vlastnosti, správně počítá. K odhalení formalismu jsou v [1] nabízeny některé možné postupy, z nichž pro naše další úvahy použijeme hlavně objasnění, proč v nestandardní situaci selže některý standardní postup. Přitom dlouhodobá pozorování budoucích učitelů při jejich profesní přípravě i později v praxi ukazují, že není nijak vzácným případ, kdy poznání budoucích učitelů je v mnoha směrech pouze formální. Různé možnosti, jak situaci v přípravě a postojích učitelů zlepšit, jsou studovány v mnoha pracích z didaktiky matematiky, z prací českých autorů uveďme např. [5], [6]. V dalším textu se pokusíme odpovědět na tuto otázku: Má se budoucí učitel matematiky setkat při své přípravě i s nestandardními matematickými strukturami, které při své učitelské práci ve škole přímo nepoužije? Naše pozitivní odpověď je podložena touto úvahou: Má-li učitel získat schopnost porozumět postojům a pocitům žáka, který se setkává s novou matematickou strukturou odporující jeho dřívější zkušenosti, musí sám mít zkušenost z podobné situace. Málokdo z nás si pamatuje jasně své vlastní pocity ze školní docházky, kdy se v podobné situaci ocitl (např. při přechodu od práce v oboru přirozených čísel ke zlomkům nebo číslům záporným). Předchozí úvahy budeme ilustrovat konkrétními ukázkami z přípravy budoucích učitelů matematiky na Pedagogické fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Počítání v soustavách se základem různým od 10 S algoritmy pro písemné sčítání, odčítání, násobení a dělení přirozených čísel se žáci setkávají již na 1. stupni základní školy. Později jsou tyto algoritmy zobecněny také pro počítání s čísly desetinnými. Jejich správnému provádění je ve výuce věnována značná pozornost a můžeme konstatovat, že, i když v dnešní době výkonných kalkulaček a počítačů v menší míře než dříve, většina žáků se naučí tyto algoritmy mechanicky provádět. Žáci se většinou nezamýšlejí nad tím, proč jednotlivé kroky provádějí a proč je provádějí právě v předepsaném pořadí. Jedním z důvodů tohoto stavu je, že někteří učitelé nerozvíjejí přirozenou zvídavost žáků, nenavozují situace, v nichž by bylo třeba odpovídat na otázku Proč?, omezují se pouze na odpověď na otázku Jak?. V předmětu Algebra a teoretická aritmetika [2] v 1. cyklu studia učitelství pro 2. a 3. stupeň zařazujeme do kurzu Číselné obory počítání v soustavách o základu z 10. Algoritmy pro písemné provádění početních operací jsou tvořeny opět stejnou posloupností kroků jako v desítkové soustavě, student je však už neprovádí mechanicky, počítání v těchto soustavách ho nutí zamýšlet se nad podstatou jednotlivých kroků. V takových situacích je účinné vést studenty k tomu, aby se zamýšleli nad obtížemi, se kterými se mohou setkat žáci, kteří se s algoritmy pro počítání v desítkové soustavě teprve seznamují. Kritéria dělitelnosti Jen málokterý absolvent základní školy nezná kritéria dělitelnosti čísly 2, 3, 4, 5, 9, 10. Někteří se je pouze naučili vyslovit a použít, jiní měli možnost kritéria sami odhalit, případně i dokázat jejich platnost. Teprve v nestandardní situaci si studenti sami uvědomí, nakolik je jejich poznání pouze formální a nakolik kritériím opravdu rozumějí. Míru formálnosti porozumění tomu, proč kritéria platí, můžeme testovat opět s využitím počítání soustav o různých základech. Velmi účinné je např. zjišťovat, zda v soustavě o daném základu z platí kritérium dělitelnosti číslem 3 nebo ne, odůvodňovat, proč tomu tak je nebo dokonce odhalovat kritéria jiná [8].
Funkční definice polynomu Již na 2. stupni základní školy se žáci seznamují s lineárními a kvadratickými funkcemi. Polynomy vyšších stupňů jsou důležitou součástí středoškolských kurzů matematiky. Přitom se počítá vždy nad nekonečnými číselnými obory (celá, racionální, reálná, případně komplexní čísla). Studenti přicházející na Pedagogickou fakultu Univerzity Karlovy vědí, že dva polynomy se rovnají, jestliže se rovnají jejich koeficienty u stejných mocnin, že vynásobíme-li dva nenulové polynomy, bude součinem opět nenulový polynom, jak je definován stupeň polynomu apod. V kurzu Polynomická algebra [2] je však zařazena také práce s funkčně definovanými polynomy nad konečnými obory integrity, kde předchozí tvrzení neplatí: existují zde polynomy s různými koeficienty u stejných mocnin, které se sobě rovnají, existují zde nenulové polynomy, jejichž součinem je polynom nulový, nelze zde definovat stupeň polynomu (při použití běžné definice stupně jako přirozeného čísla rovnajícího se nejvyšší mocnině proměnné s nenulovým koeficientem, by nebyl určen jednoznačně). Tato situace je v rozporu s předchozí zkušeností studentů a porozumět jí je pro mnohé z nich obtížné. Přitom ve své budoucí učitelské praxi se s takovou strukturou nesetkají. Opět se před námi vynořuje otázka, zda je třeba seznamovat studenty se strukturou, která výrazně přesahuje rámec kurzu matematiky na základní nebo střední škole, kde budou vyučovat. Jak už je napsáno výše, považujeme právě tento aspekt výuky matematiky pro budoucí učitele tohoto předmětu za důležitý. Závěrem Jsme přesvědčeni a studenti, kteří fakultu dokončili a matematiku na školách učí, to potvrzují, že reflexe vlastní zkušenosti pomáhá učiteli lépe pochopit myšlenkové procesy, které se dějí v hlavě jeho žáků při řešení matematických úloh. Aby vyučování mohlo mít charakter aktivní činnosti žáků [7], musí si učitelé sami být vědomi nebezpečí formalismu skrytého v používání pouze instruktivních metod výuky a mít zkušenost s konstruktivním přístupem k vyučování matematice. A v tom je možno vidět jeden z významů, který má práce v nestandardních matematických strukturách pro budoucí učitele matematiky (ale nejen matematiky). Literatura [1] Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky. 2. vyd. Bratislava, SPN 1990. [2] Novotná, J. - Trch, M.: Algebra a teoretická aritmetika. Sbírka příkladů. 2. část - Polynomická algebra. 3. část Základy algebry. [Skriptum.] Praha 1990, 1993. [3] Littler, G.H. Taylor, V.: Teaching strategies in mathematical education courses for student teachers. In: Proceedings SEMT 95. Ed. M. Hejný, J. Novotná. Prague, Charles University 1995. [4] Nieto, L.J.B.: Learning to teach mathematics: Types of knowledge. In: Becoming a primary teacher, Issues from mathematics education. Ed. J. Giménez, S. Llinares, V. Sánchez. 1996. [5] Tichá, M. - Koman, M.: Handels- und Beförderungssituationen als Thema für Unterrichtseinheiten. In: Beiträge zum Mathematikunterrich. Ed. K.P.Müller. Franzbecker, 1996. [6] Kubínová, M. - Novotná, J.: Students' independent work in mathematics out of school. Mathematics Competitions, Vol. 10, No 2, 1997. [7] Kuřina, F.: Matematika a matematická příprava učitelů prvního stupně. In: K aktuálním otázkám matematické přípravy učitelů 1. stupně na ZŠ (OŠ) na Pedagogických fakultách v ČR a SR. Ed. B. Novák. Olomouc 1997. [8] Novotná, J. a kol.: Sbírka úloh z matematiky nejen pro přípravu k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha, Scientia 1997.
[9] Pasch, M. a kol.: Od vzdělávacího programu k vyučovací hodině: jak pracovat s kurikulem. Praha, Portál 1998. Anglický originál: Teaching as decision making, Longman, Addison Wesley 1995. [10] Stehlíková, N.: Algebraic structure restricted atithmetics. In: Proceedings of the International Conference on the Teaching of Mathematics. University of the Aegean, Samos, Greece, July 3-6, 1998, pp. 281-283. Published by John Wiley & Sons, Inc. Ed. B. Barker.
Teacher in the role of a student a component of teacher training Jarmila Novotná, Department of Mathematics and Mathematical Education Faculty of Education, Charles University, Prague Formality of knowledge, understanding, teacher training, mathematical structures One of the main objectives of teacher training is to determine the balance between theoretical and practical knowledge and skills. In [4], the following three basic components of future teacher education are specified: 1. Specific knowledge: 1.1 Knowledge of mathematics (mathematical concepts and procedures, methodology, relationships with other areas etc.) 1.2 Psychological-pedagogical knowledge (general aspects of the teaching/learning processes, getting to know students, management of the lesson, curriculum creation, knowledge of the context etc.) 1.3 Knowledge of learning/teaching mathematics (learning/teaching strategies for specific topics, curricular and pedagogical materials etc.) 2. Knowledge, beliefs and attitudes towards mathematics 3. Practical skills The above components are only general, they do not answer the basic question about the content and extent of knowledge required from future teachers. Future teachers entering pedagogical faculties were taught mathematics at primary and secondary schools. Their knowledge of mathematical concepts and skills is at different levels and they also have different personal experience of how mathematics was taught. We assume that the student future mathematics teacher has a positive attitude towards this subject. Unfortunately, this attitude is not always accompanied by having had experience with any teaching strategy other than instructive teaching. Mathematics is often taught as an isolated school subject only connected with other subjects or real life problems in a very formal way. Different teaching methods are given, for example, in [3], [7]. The view of mathematics which the student has built up during their school career, survives long after he/she leaves secondary school. If we do not change any misconceptions which the students might have during their teacher training at the faculty, these misconceptions will return with the teacher back to schools. The situation, where mathematics is taught only as a set of precepts and instructions which have to be learnt, leads to ever deeper formalism in the teaching of mathematics, resulting in a lack of understanding of the conceptual structure of the subject and an inability to use mathematics meaningfully when solving real problems. The influence of a student s previous experience from his/her home, school and society on test results, acquiring knowledge and its linking together into schemes, is followed in [9]. Similarly, a teacher s previous experience can significantly influence his/her ability to get an insight into cognitive processes of a student, who meets new, for him/her, often surprising concepts, properties and relations. (For example, order in positive fractions; in the case of fractions with the same numerator, the fraction with bigger denominator is smaller fraction. This is in contradiction with a student s previous experience with natural numbers order). Several studies devoted to researching the obstacles that a trainee teacher faces when beginning his/her teaching practice, are mentioned in [4]. Trainee teachers at the beginning of their school practice emphasise, amongst other things, an unpreparedness for unusual questions from students and for distinguishing between important and unimportant concepts. Non-standard structures in future mathematics teachers training
When a teacher neglects the development of a student s thinking during teaching and concentrates only on teaching prescribed knowledge and skills, the result is often nothing but formal knowledge. How do we discover such lack of understanding which such formal teaching produces? Everything seems to be all right, the student correctly defines concepts and describes their properties, and calculates without mistakes. To determine if such formal knowledge exists, [1] offers some procedures, from which, for our purpose, we will choose the technique of explanation why a standard procedure fails. Long-lasting observations of future teachers during their training and later in their practice show that cases where the future teachers knowledge is formal only, are not rare. Different possibilities of how to improve the situation in teacher training and teachers attitudes are studied in many articles devoted to mathematics education written by Czech authors such as [5] and [6]. In the following text we will try to answer the question, Should a future mathematics teacher meet, during his/her professional training, non-standard mathematical structures which he/she will never use in school practice? We would give a positive answer which is based on the following reflection; if a teacher is to gain the experience to understand the attitudes and feelings of a student facing a new mathematical structure that contradicts his/her previous experience, the teacher must have been placed in a similar situation. Only few of us can remember clearly our own feelings from our days when we went to school, when we were in a similar situation (e.g. passing from natural numbers to fractions or negative numbers). We will now illustrate the previous considerations by concrete examples from the courses for future mathematics teachers training at the Faculty of Education, Charles University, Prague. Calculations in non-decimal bases Students face algorithms for written addition, subtraction, multiplication and division of natural numbers already at the primary level. Later these algorithms are generalised for calculating also with decimal numbers. Great attention is paid to the correct use of the algorithms and we can state that (although nowadays due to powerful calculators and computers to a lesser extent) most people learn to perform these algorithms mechanically. Students do not usually try to understand why the separate steps are performed or why they are performed in the given order. One of the reasons for this is that some teachers do not develop the students natural thirst for knowledge and do not create situations where the question why? is to be answered or even asked, they restrict themselves to the question how? only. In the course Algebra and Theoretical Arithmetic in the 1 st cycle for future secondary mathematics teachers training [2], calculations in non-decimal bases are included. Algorithms for written calculations are the same as in the decimal base, but the student cannot perform them mechanically, calculations in these bases force him/her to try to understand the basis of separate steps of the procedure. In such situations it is very effective and salutary to ask the students to identify where their difficulties were in the unfamiliar bases and therefore could they now predict where they think children might have difficulties in base 10. Criteria for divisibility Only few students leaving basic schools do not know criteria for divisibility by numbers 2, 3, 4, 5, 9 and 10. Some of them only learned to recite and use them, others had the opportunity to discover them for themselves, and possibly to prove them. Only in a non-standard situation students can become conscious of the level of formality of their knowledge. The level of formality in their knowledge can be explored using non-decimal bases again. For example setting the student the task of discovering whether and why the criterion of divisibility by 3 could be valid in a different base, or seeing whether or not they could discover new criteria for divisibility in other bases [8] would indicate their level of formal knowledge.
Functional definition of a polynomial Already at the lower secondary levels student learn how to solve linear and quadratic functions. Higher degree polynomials are an important component of upper secondary mathematics courses. The infinite number sets (rational, real, possibly complex numbers) are always used. Students entering the Faculty of Education, Charles University, should know that two polynomials are equal when the coefficients for the same powers of the variable are the same. Also that the product of two non-zero polynomials is always a non-zero polynomial, and what a polynomial degree is etc. The course Polynomial Algebra [2] contains work with polynomials in finite domains of integrity, in which the previous statements made for infinite number sets are not true. There exist polynomials which have different coefficients for the same powers of the variable which are equal and non-zero polynomials whose product is the zero polynomial. It is not possible to define the polynomial degree by defining it as the highest power of the variable with a non-zero coefficient, since the degree would not be unique. This situation is in contradiction with students previous experience and it is often difficult for them to grasp it. We must point out that the students will not use similar structures in their school practice. Therefore we face again the question whether it is necessary to present students with a structure that goes significantly beyond the scope of primary and secondary mathematics which they will teach. As we have already expressed above, we consider this aspect of mathematics education important for future teachers. Conclusions It is our belief, and also students who have already graduated and are teaching mathematics in schools confirm it, that reflection on one s own experience helps the teacher to better understand cognitive processes of problem solvers. To make mathematics education an active activity for students [7], teachers must have experience of constructive approaches to mathematics teaching in their training and be aware of the danger of the danger of formalism hidden in the use of purely instructive teaching methods. In this, we see the importance of the work with non-standard mathematical structures for future teachers of mathematics. Literature [1] Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky. 2. vyd. Bratislava, SPN 1990. [2] Novotná, J. - Trch, M.: Algebra a teoretická aritmetika. Sbírka příkladů. 2. část - Polynomická algebra. 3. část Základy algebry. [Skriptum.] Praha 1990, 1993. [3] Littler, G.H. Taylor, V.: Teaching strategies in mathematical education courses for student teachers. In: Proceedings SEMT 95. Ed. M. Hejný, J. Novotná. Prague, Charles University 1995. [4] Nieto, L.J.B.: Learning to teach mathematics: Types of knowledge. In: Becoming a primary teacher, Issues from mathematics education. Ed. J. Giménez, S. Llinares, V. Sánchez. 1996. [5] Tichá, M. - Koman, M.: Handels- und Beförderungssituationen als Thema für Unterrichtseinheiten. In: Beiträge zum Mathematikunterrich. Ed. K.P.Müller. Franzbecker, 1996. [6] Kubínová, M. - Novotná, J.: Students' independent work in mathematics out of school. Mathematics Competitions, Vol. 10, No 2, 1997. [7] Kuřina, F.: Matematika a matematická příprava učitelů prvního stupně. In: K aktuálním otázkám matematické přípravy učitelů 1. stupně na ZŠ (OŠ) na Pedagogických fakultách v ČR a SR. Ed. B. Novák. Olomouc 1997. [8] Novotná, J. a kol.: Sbírka úloh z matematiky nejen pro přípravu k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha, Scientia 1997.
[9] Pasch, M. et al.: Teaching as decision making, Longman, Addison Wesley 1995. Czech translation: Od vzdělávacího programu k vyučovací hodině: jak pracovat s kurikulem. Praha, Portál 1998. [10] Stehlíková, N.: Algebraic structure restricted atithmetics. In: Proceedings of the International Conference on the Teaching of Mathematics. University of the Aegean, Samos, Greece, July 3-6, 1998, pp. 281-283. Published by John Wiley & Sons, Inc. Ed. B. Barker.