5 Fc áhodých vliči a áhodých vorů 5 Spojié áhodé vliči V éo čási s bd zabýva problaio rasorac áhodé vliči a ja js již ěolirá zíili v přdchozí Njdřív vd dvě záladí vě o sbsici v igrálí poč Důaz ěcho vě lz ají v aždé čbici igrálího poč Věa 5 Nchť j áhodá vličia a Y h d h j rz ooóí c všd dircovalá Nchť j hsoa áhodá vličia poo c ' g h h 5 j hsoa áhodé vliči Y h Věa 5 Nchť j spojiý áhodý vor rý á sdržo hso pravděpodobosi Nchť dál h : j rglárí zobrazí Poo á áhodý vor Ø h sdržo hso pravděpodobosi g h h Jac h 5 d Jac h j Jaobiá zobrazí h Přílad 5 Nchť j áhodá vličia a b œ a Y a b Poo podl 5 j b g 53 a a Jsliž bd apřílad N s a zvolí li Y µ µ zísá g al ao hsoa j ja dobř ví hsoo rozdělí N Jsliž í c h z vě 4 rz ooóí a irval a b lz v věšiě praicých případů o irval rozloži a disjí podoži a ichž j již h ooóí a ůž a ě poží vě 4 Nchť Y F j disribčí c áhodé vliči a j jjí hsoa Ozač G disribčí ci áhodé vliči Y Poo jsliž j > : G P Y < P < < F F 54 pro j zjvě G Hldá li vzah zi hsoai á pro > : g 55 pro osaí hodo j g Poračj li v oo případě a zvolí za áhodo vliči N zísá áhodo vliči Y χ s ásldjící hsoo :
> g: 56 Jsliž j a j áhodý vor s sdržo hsoo pravděpodobosi a Y h j áhodá vličia h : ö j borlovsé zobrazí poo ůž saovi disribčí ci G áhodé vliči Y ao : G P Y d d 57 h důaz ohoo vrzí j provd v [] Too vrzí bd zálad pro aši další práci Zoj í případ d c h j cí dvo proěých a j rova soč svých argů Td Y bd opě přdpoláda ž sdržá hsoa pravděpodobosi j rova hso jdolivých áhodých vliči i jso rov i a jjich disribčí c jso rov F i Dál bd přdpoláda ž hsoa áhodé vliči Y j rova g a jjí disribčí c j rova G Poo ůž vží přdchozího vzah : G P Y dd d d d d Jsliž bdo avíc áhodé vliči a závislé plaí podl vě vzah a ůž d zjdodši přdchozí vzah ao: F d F d G 58 odd ůž odvodi vzah pro hso g: d g d 59 Poocí přdchozího vzah s v aaic dij zv ovolc cí rá hraj výzao roli apřílad v orii disribcí a ozačj s g * * Proož případ soč závislých áhodých vliči s vsj v orii pravděpodobosi vli časo vřší ěoli záladích případů soč závislých áhodých vliči Přílad 5: a Nchť d j N s a N s Podl přdchozího vzah 59 j hsoa soč rova: g µ µ µ µ µ µ µ µ µ z dz µ µ d d µ d µ µ
Výsld j d hsoa rozdělí N µ µ Zaá o ž ožia závislých áhodých vliči p orálí rozdělí j zavřá vůči opraci sčíáí áhodých vliči Zárovň si všiě ž sřdí hodoa soč áhodých vliči j sčě rova soč sřdích hodo a dooc rozpl soč ěcho áhodých vliči j rov soč rozplů závislos áhodých vliči b Nchť d dál j R a R dvě závislé áhodé vliči p rovoěré rozdělí a irval < > Bd všřova hso g soč ěcho áhodých vliči K včíslí opě požij vzah 59 g d d vdé hso jso oožé a rové hsoě rovoěrého rozdělí a irval < > Tao hsoa j rova l vě irval < > proo sí bý hodo - a prv ohoo irval ab ohla bý výsldá hsoa g růzá od l Td sí plai Odd vplývá ž jsliž < čí hodoa hso j rova l podl přdchozích rovosí d i hodoa hso g v oo bodě Jsliž zvolí > j aopa čí hodoa v bodě - jisě rova l a igračí obor d j opě hsoa g v oo bodě rova l J o všři ci g a irval < > Zvolí jdřív œ< > d jia g d 5 Zvolí œ < > d jia g d 5 Taovéo rozdělí s říá Sipsoovo rozdělí Pod bcho provdli dooc ovolci ří rovoěrých rozdělí a irval <> zísali bcho rozdělí s hsoo: < < 3 g: 3 < 5 6 9 < 3 < 3 Gra hso ěcho rozdělí jso vd dál
soč dvo rovoěrých rozdělí 8 soč ří rovoěrých rozdělí 6 4 - -5 5 5 5 3 35 4 45 - Nchť N zvol Y Poo podl vzah j hodoa G disribčí c rova: G P Y < P < P < Φ 8 8 g 53 oo j al hsoa rozdělí N Ověř sai ž jsliž N s a Y a poo áhodá vličia Y N a as Provd li apliaci vzah 53 a rovoěré rozdělí R a irval <> dosává ásldjící výsldo hso áhodé vliči Y a : a g : a jia vidí ž hodoa hso s s rosocí a bodově přibližj lové ci V další si áž drhý ožý způsob výpoč disribčích cí a hso liárích obiací závislých áhodých vliči Řší bd přío azova a dvo příladch Přílad 53: Y d i j rovoěré rozdělí a irval < > J zřjé ž hsoa soč j lová j a arézsé soči oži a rých jso lové původí hso i Td hsoa Y j lová a ožiě <> <> Na éo ožiě j ě jjí hodoa podl vě rova Disribčí ci rčí a ž bd pospě podl vzah 59 počía ploch ré jso v v vdé čvrci
5 5 - -5 5 5-5 - Podl obráz j zřjé ž hodoa disribčí c G j v irval - rova l a podobě hodoa v irval j rova J d o vřši hodo v irval < > Rozděl řší a dva ožé případ: a Hodoa œ < > Poo j plocha rá j va příai vžd rojúhlí Jho plocha j v závislosi a hodoě dáa výraz b Hodoa œ > Poo j plocha vá příai složa z pravoúhlého rojúhlí s odvěsai a z lichoběží Jjí plocha j d v závislosi a hodoě rova výraz po úpravě zísá vzah Chc li zísa hodo hso g áhodé vliči Y sačí výš vdé výsld drivova zjisí sjé hodo jao v přdchozí posp Nchť Y Na obráz dál jso vd pří ré ás bdo zajía J zřjé ž hodoa disribčí c G áhodé vliči Y j v irval - - rova l Podobě j v irval rova 5 5 - -5 5 5-5 : - Bd d podl obráz řši cl ři siac podl hraičí pří
a b G G 4 4 4 c G 4 4 Pod bcho chěli zísa hodo hso g áhodé vliči Y sli bcho výš vdé vzah drivova v bodch v ichž drivac isj a zísali bcho ásldjící přdpis: g : 54 gra daé hso j zobraz dál 6 5 4 3 - -5 - -5 5 5 5 3 35 - Všřj další zajíavý případ Y d a jso závislé áhodé vliči přičž avíc bd pro < Podl vzah 57 j saova hodoa disribčí c Y ao : G dd d d F d 55 odd již ůž odvodi hodo hso g áhodé vliči Y : g d 56 To vzah dál vžij při sdi Sdova a Fischr Sdcorova rozdělí
Diic 5 Nchť s> Fci G diovao vzah s s d azývá Gaa cí Diic 5 Nchť p> a q> Fci B diovao vzah B p q p q d azv Ba cí 57 58 Věa 53 Nchť jso s p q ladá rálá čísla Poo plaí 3 s s s p q 4 B p q p q 5 B p q B q p Důaz: Důaz vě bd provádě j vd apř v [3] Věa 54 Nchť jso závislé áhodé vliči p N Poo áhodé vličia χ i 59 i rá s azývá chý vadrá o spích volosi á rozdělí daé hsoo : 5 < Důaz: Clý důaz provd odo aaicé idc Nchť poo podl j hsoa rozdělí χ rovo: o výraz j rov pro Nchť vrzí vě plaí pro přirozé číslo doáž ž plaí i pro hodo Podl vzah pro ovolci hso áhodých vliči j hsoa rozdělí χ rova:
d * d sbsic d B QED Věa 55 Nchť χ a χ jso závislé áhodé vliči Poo áhodá vličia T T χ χ 5 á hso v dao vzah < B v 5 Důaz: Požij vzah podl ich j hodoa hso v pro záporé hodo rova d d v dz z z sbsic z
B QED Diic 53 Nchť jso přirozá čísla Dij áhodo vliči T F 53 d T j áhodá vličia vspjící v věě Poo á ao áhodá vličia hso h : v h 54 d v j hsoa áhodé vliči T Rozdělí F s azývá F rozdělí Fishr Sdcorovo s spi volosi Věa 56 Nchť a jso závislé áhodé vliči p N Poo áhodá vličia i i 55 á hso dao vzah 56 Důaz: Při důaz vžij vzah pro saoví hso podíl dvo závislých áhodých vliči vdých v vzah 56 Njdřív al sí zjisi hso áhodé vliči W U d áhodá vličia ~ W χ K saoví éo hso požij vě 5 s volbo h provd li včíslí éo hso dosává: < g To hso dosadí do vzah pro včíslí hso podíl áhodých vliči Za áhodo vliči zvolí saozřjě rozdělí N a za áhodo vliči výš vdo áhodo vliči U Podl vzah 56 j d výsldá hsoa rova:
QED d z z dz Diic 54 Náhodá vličia vdá v přdchozí věě 56 s azývá Sdovo rozdělí s spi volosi jjí hsoa j saova vzah 56 5 Disréí áhodé vliči Aalogi vě 5 j ásldjící vrzí Věa 57 Nchť j disréí áhodá vličia h j spojiá rálá c a P j pravděpodobosí c Poo áhodá vličia h j dáa pravděpodobosí cí Ph Věa 58 Nchť a jso závislé disréí áhodé vliči diovaé poocí svých pravděpodobosích cí P a P Poo j áhodá vličia Y disréí s pravděpodobosí cí diovao ao: hodo v rých jso přříslš pravděravd bosí p p d jso i P c lové jia Důaz: ω ; Y ω ω; ω ω; ω { } { } { } ě sado lz doáza ž všch áhodé jv v přdchozí sjdocí jso avzáj slčilé Navíc vzhld závislosi áhodých vliči a jso áhodé jv v aždé čl sjdocí závislé Z ěcho dvo vrzí vplývá plaos vě QED Přílad 54: Nchť Ap a Ap jso závislá alraiví rozdělí s sjý parar p Poo áhodá vličia Y j p bioicé rozdělí Bip J zřjé ž pravděpodobosí c áhodé vliči Y j lová j v bodch Spočě d jjí hodo: : P Y P P P p p q : P Y P P P p p p p p p p q
: P Y P P P p p p Nchť Ap a Bip jso závislá rozdělí pospě alraiví s parar p a bioicé s parar a p Poo áhodá vličia Y j p bioicé rozdělí Bip Pravděpodobosí c P áhodé vliči Y j lová j v bodch Opě zjisí jjí hodo: : P Y P P P q p q p q : P Y P q p q p p q p q p q : P Y P p p q p q 3Nchť Bi p a Bi p jso závislá rozdělí bioicá s parar i a p Poo áhodá vličia Y j p bioicé rozdělí Bi p Pravděpodobosí c P áhodé vliči Y j lová j v bodch Opě zjisí jjí hodo: : PY P q q q q i i i i : p q p q p q p q i i i i i i : PY P P p p p 4Nchť Pol a Pol Poo áhodá vličia Y j p Poissoovo rozdělí s parar l l Pravděpodobosí c vdých áhodých vliči jso lové a ožiě přirozých čísl a a l Td pravděpodobosí c áhodé vliči Y bd lová a sjé ožiě Všří jjí hodo: PY P P P λ λ λ λ : : λ λ λ λ i i λ λ λ λ λ λ! PY λ λ i! i! i! i! i! i!! i i i i i λ λ λ λ!