7. Analytická geometrie

Transkript

1 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp Defiice 7.1. Příka v roviě je ožia bodů o souřadicích [, ] daá jedí z ásledujících způsobů: 1) 2) 3) 4) p = {[, ] R R a + b + c =, a, b, c R}, kde alespoň jedo z čísel a, b je růzé od ul. p = {[, ] R R = a 1 + s 1 t, = a 2 + s 2 t, t R}, kde A = [a 1, a 2 ] je bod, který příka prochází a s = (s 1, s 2 ) je její sěrový vektor. p = {[, ] R R = k + q, k, q R} p = {[, ] R R p + q = 1}, kde p, q jsou úsek, které příka vtíá a osách,. V prví případě je příka zadáa poocí své obecé rovice, v druhé poocí paraetrických rovic, ve třetí se jedá o sěricový tvar rovice přík a ve čtvrté o úsekový tvar. Pozáka 7.2. Vlastosti koeficietů obecé rovice. 1) Koeficiet a, b určují souřadice orálového vektoru = (a, b) a tí i souřadice sěrového vektoru s = ( b, a). 2) Pokud a =, je příka rovoběžá s osou. 3) Pokud b =, je příka rovoběžá s osou. 4) Pokud c =, příka prochází počátke souřadé soustav. Pozáka 7.3. Vlastosti sěricového tvaru rovice přík. Teto tvar ezahruje přík rovoběžé s osou, eboť koeficiet u eí ikd rove. Navíc teto způsob zadáí odpovídá zadáí lieárí fukce, jejíž grafe eůže být příka rovoběžá s osou. Koeficiet k se azývá sěrice přík, více o sěricích viz. kapitola Derivace fukce. Koeficiet q je úsek, který příka vtíá a ose. 1 Ú SI VUT v Brě 28

2 7. Aaltická geoetrie Studijí tet Věta 7.4. Vzdáleost bodu od přík v roviě. ěje příku p : a+b+c = a bod A = [a 1, a 2 ], který a í eleží. Pak vzdáleost v bodu A od přík p je dáa vztahe. v = a a 1 + b a 2 + c a2 + b 2 Defiice 7.5. Odchlkou dvou růzoběžých příek rozuíe úhel, který je dá a) jako ostrý úhel, který svírají sěrové vektor těchto příek, b) jako rozdíl příého úhlu (π) a tupého úhlu, který svírají sěrové vektor těchto příek. Věta 7.6. Odchlka dvou příek. Jsou-li s a, s b sěrové vektor příek a, b, poto pro odchlku ϕ těchto dvou příek platí cos ϕ = s a s b s a s b, kde v čitateli je skalárí souči vektorů. Defiice 7.7. Vzájeá poloha příek v roviě. ěje přík p, q daé obecýi rovicei p : a 1 + b 1 + c 1 =, q : a 2 + b 2 + c 2 =. Pak tto přík ohou být a) rovoběžk splývající, jestliže eistuje r R \ {} takové, že platí a 1 = ra 2 b 1 = rb 2 c 1 = rc 2. (jeda rovice je ásobke druhé) b) rovoběžk růzé, jestliže eistuje r R \ {} takové, že platí a 1 = ra 2 b 1 = rb 2 c 1 rc 2. (orálové resp. sěrové vektor jsou lieárě závislé, ale přík eají společý bod) c) růzoběžk kolé, jestliže a 1 a 2 + b 1 b 2 =. (skalárí souči orálových resp. sěrových vektorů je rove ) d) růzoběžk (ekolé), jestliže eplatí ai jeda z předchozích ožostí. Rovia v prostoru je jedozačě určea: B. Rovia v prostoru třei růzýi bod, které eleží a jedé příce, dvěa růzoběžýi příkai, tj, příkai, které ají společý právě jede bod a jejichž sěrové vektor jsou lieárě ezávislé, dvěa růzýi rovoběžýi příkai, bode a příkou, která daý bode eprochází. Ú SI VUT v Brě 29

3 7. Aaltická geoetrie Studijí tet Následující defiice obsahuje i aaltické vjádřeí rovi v prostoru. Defiice 7.8. způsobů: Rovia v prostoru je ožia bodů o souřadicích [,, z] daá jedí z ásledujících 1) σ = {[,, z] R 3 a + b + cz + d =, a, b, c, d R}, kde alespoň jedo z čísel a, b, c je růzé od ul. 2) σ = {[,, z] R 3 = a 1 + s 1 p + r 1 q, = a 2 + s 2 p + r 2 q, z = a 3 + s 3 p + r 3 q, p, q R}, kde A = [a 1, a 2, a 3 ] je bod, který leží v zadaé roviě a s = (s 1, s 2, s 3 ) a r = (r 1, r 2, r 3 ) jsou její sěrové vektor. V prví případě řekee, že rovia je zadaá poocí obecé rovice, ve druhé poocí paraetrických rovic. Pozáka 7.9. Z paraetrických rovic dostaee obecou rovici vloučeí paraetrů, tj. sčítáí vhodých ásobků paraetrických rovic. Z obecé rovice přejdee k paraetrický sado volbou dvou proěých jako paraetrů (apř. = p, z = q) a dopočítáí třetí proěé. Pozáka 7.1. Vlastosti koeficietů obecé rovice rovi. 1) Koeficiet a, b, c určují souřadice orálového vektoru = (a, b, c). Pozor: arozdíl od přík, orálový vektor k roviě eůže jedozačě určit sěrový vektor rovi, eboť rovia á sěrové vektor dva! 2) Pokud a =, je rovia rovoběžá se souřadou osou. 3) Pokud b =, je rovia rovoběžá s osou. 3) Pokud c =, je rovia rovoběžá s osou z. 4) Pokud d =, rovia prochází počátke souřadé soustav. 5) Pokud jsou dva koeficiet z trojice a, b, c rov ule, je daá rovia rovoběžá se souřadou roviou určeou osai s ulovýi koeficiet, ted apříklad je-li a = b =, je daá rovia rovoběžá s roviou. Defiice Odchlkou dvou růzoběžých rovi rozuíe úhel, který je dá a) jako ostrý úhel, který svírají orálové vektor těchto rovi, b) jako rozdíl příého úhlu (π) a tupého úhlu, který svírají orálové vektor těchto rovi. Věta Odchlka dvou rovi. Jsou-li σ, ρ orálové vektor rovi σ, ρ, poto pro odchlku ϕ těchto dvou rovi platí cos ϕ = σ ρ σ ρ, kde v čitateli je skalárí souči vektorů. Pozáka roviě. Vzájeá poloha dvou rovi v prostoru je aalogická vzájeý polohá příek v Ú SI VUT v Brě 3

4 7. Aaltická geoetrie Studijí tet C. Příka v prostoru Defiice způsobů: Příka v prostoru je ožia bodů o souřadicích [,, z] daá jedí z ásledujících 1) 2) p = {[,, z] R 3 = a 1 + s 1 t, = a 2 + s 2 t, z = a 3 + s 3 t, t R}, kde A = [a 1, a 2, a 3 ] je bod, který leží a zadaé příce a s = (s 1, s 2, s 3 ) je její sěrový vektor. p = {[,, z] R 3 a 1 s 1 = a 2 s 2 = z a 3 s 3 }, kde A = [a 1, a 2, a 3 ] je bod, který leží a zadaé příce a s = (s 1, s 2, s 3 ) je její sěrový vektor. V prví případě se jedá o paraetrické rovice přík v prostoru, druhý případ se azývá kaoický tvar rovice přík. Pozáka Příku v prostoru lze zadat i jako průsečici dvou růzoběžých rovi p : a 1 + b 1 + c 1 z + d 1 = a q : a 2 + b 2 + c 2 z + d 2 =, tj, jako řešeí sstéu dvou obecých rovic rovi o třech ezáých: p = {[,, z] R 3 a 1 + b 1 + c 1 z + d 1 =, a 2 + b 2 + c 2 z + d 2 =, }. Teto tvar se ěkd azývá obecá rovice přík v prostoru. Pozáka Z kaoických rovic dostaee paraetrické rovice sado tak, že položíe každý z výrazů rove paraetru a vpočítáe proěou, opačě z každé paraetrické rovice spočítáe paraetr, vziklé výraz se pak usí rovat. Pozáka Odchlka dvou příek v prostoru je defiováa a spočítá se stejě jako odchlka příek v roviě Narozdíl od rovié situace, v prostoru áe ještě jedu ožou vzájeou polohu dvou příek. Defiice Dvě přík v prostoru jsou rovoběžé splývající, jestliže ají lieárě závislé sěrové vektor a ekoečě oho společých bodů, rovoběžé, jestliže ají lieárě závislé sěrové vektor a žádý společý bod, růzoběžé, jestliže ají lieárě ezávislé sěrové vektor a právě jede společý bod. Je-li avíc skalárí souči sěrových vektorů rove ule, jsou přík jii určeé a sebe kolé. ioběžé, jestliže ají lieárě ezávislé sěrové vektor a žádý společý bod. 1. Parabola D. Kuželosečk Defiice Parabolou azýváe ožiu takových bodů [, ] v roviě, které jsou stejě vzdále od pevého bodu (ohiska) a pevé přík d (řídící příka). Ú SI VUT v Brě 31

5 7. Aaltická geoetrie Studijí tet D V d V ohisko parabol řídící příka parabol = [, ] vrchol parabol V = V D = p, p je paraetr parabol 2 d libovolý bod a parabole Defiice 7.2. Je-li parabola zadáa rovicí 2 + A + B + C =,, A, B, C R, A, je-li osa parabol rovoběžá s osou ebo 2 + A + B + C =,, A, B, C R, B, je-li osa parabol rovoběžá s osou, pak tuto rovici azvee obecou rovicí parabol. Defiice Je-li dáa parabola s vrchole V = [, ], pak její vrcholová rovice je dáa: ( ) 2 = ±2p( ), je-li osa parabol rovoběžá s osou ; ( ) 2 = ±2p( ), je-li osa parabol rovoběžá s osou. 2. Kružice r S S = [, ] střed kružice r poloěr kružice libovolý bod a kružici Defiice Kružicí azýváe ožiu takových bodů v roviě o souřadicích [, ], které jsou od pevého bodu (středu) stejě vzdále. Defiice Je-li kružice zadáa rovicí A + B + C =, A, B, C R, pak se tato rovice azývá obecá rovice kružice. 1 Defiice Středová rovice kružice je tvaru ( ) 2 + ( ) 2 = r 2, kde S = [, ] je střed kružice a r je její poloěr. Ú SI VUT v Brě 32

6 7. Aaltická geoetrie Studijí tet Defiice Paraetrické rovice kružice jsou: = + r cos t, = + r si t, kde bod S = [, ] je střed, r je poloěr,, jsou souřadice libovolého bodu a kružici a t R je paraetr. Pozáka Paraetr t v paraetrických rovicích kružice udává úhel, který svírá úsečka S a kladý sěr os, je libovolý bod a kružici. Pro jedozačě daou kružici je ted t 2π. 3. Elipsa A E e S b a B E, ohiska elips S = [, ] střed elips a, b hlaví a vedlejší poloosa elips libovolý bod a elipse e = a 2 b 2 ecetricita elips Defiice Elipsou azýváe ožiu takových bodů v roviě o souřadicích [, ], jejichž součet vzdáleostí od dvou pevých bodů E, (ohisek) je rove kostatě 2a je-li a > b ebo 2b je-li b > a. Defiice Je-li elipsa zadáa rovicí A 2 + B 2 + C + D + E =, A, B, C, D, E R, A >, B >, A B, pak se tato rovice azývá obecá rovice elips. Defiice Středová rovice elips je tvaru ( ) 2 ( )2 a 2 + b 2 = 1, kde S = [, ] je střed elips a a, b jsou délk jejích poloos. Defiice 7.3. Paraetrické rovice elips jsou: = + a cos t, = + b si t, kde bod S = [, ] je střed, a, b jsou délk poloos,, jsou souřadice libovolého bodu a elipse a t R je paraetr. Ú SI VUT v Brě 33

7 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 4. Hperbola E A S B e a b E, ohiska hperbol S = [, ] střed hperbol a, b hlaví a vedlejší poloosa hperbol libovolý bod a hperbole e = a 2 + b 2 ecetricita hperbol Defiice Hperbolou azýváe ožiu takových bodů v roviě o souřadicích [, ], jejichž rozdíl vzdáleostí od dvou pevých bodů E, (ohisek) je v absolutí hodotě rove kostatě 2a. Defiice Je-li hperbola zadáa rovicí A 2 B 2 + C + D + E =, A, B, C, D, E R, A >, B >, je-li hlaví osa rovoběžá s osou, A 2 + B 2 + C + D + E =, A, B, C, D, E R, A >, B >, je-li hlaví osa rovoběžá s osou, pak se tato rovice azývá obecá rovice hperbol. Defiice Středová rovice hperbol je tvaru ( ) 2 ( )2 a 2 b 2 = 1, je-li hlaví osa rovoběžá s osou, ( )2 ( )2 a 2 + b 2 = 1, je-li hlaví osa rovoběžá s osou, kde S = [, ] je střed elips a a, b jsou délk jejích poloos. 1 Ú SI VUT v Brě 34