1. Přirozená topologie v R n

Transkript

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu topologicých prostorů Dvojí defiice á uoží v další výladu a při řešeí úloh zvolit přístup vždy vhodý pro daou situaci Tato oboustraost se á osvědčí již v této apitole Tet á zčásti charater opaováí láty z iulého ročíu proto je ísty poěud stručější V celé apitole (i v další tetu) budee uvažovat ožiu R s přirozeou struturou vetorového prostoru ad pole R Norovaé prostoryvšechy vetorové prostory s iiž budee pracovat v toto odstavci budee uvažovat ad pole reálých čísel Vetorový prostor X se azývá orovaý je-li a ě defiováa ora což jest zobrazeí : X R splňující ásledující tři podíy: Pro aždé X je jestliže Pro aždé X a c R je c = c 3 Pro aždé X platí + + Defiici a záladí vlastosti orovaého prostoru záe z algebry V toto odstavci si všiee ja lze poocí ory a vetorové prostoru defiovat topologii Nechť X > Polože B ( ) = { y X y < } B ( ) = { y X y } () Možia B ( ) (resp B ( )) se azývá otevřeá (resp uzavřeá) oule (vzhlede orě ) se střede a poloěre V případě že edojde edorozuěí budee používat jedodušších sybolů B ( ) a B ( ) Možia A X se azývá ohraičeá je-li ožia A R (obraz ožiy A při zobrazeí ) ohraičeá Evivaletě: ožia A je ohraičeá eistuje-li otevřeá oule B ( ) X terá je její adožiou Lea Systé všech otevřeých oulí orovaého prostoru X tvoří bázi topologie a X D ů a z Pro aždé X platí B ( ) Proto systé všech otevřeých oulí v X tvoří porytí X Měje dvě oule B ( ) B ( ) X a bod y ležící v jejich průiu Polože { } l = i y y () l a zvole bod B ( y) Máe

2 MATEMATICKÁ ANALÝZA III = y+ y y + y < l+ y y + y = = y+ y y + y < l+ y y + y = l což zaeá že B ( y) B ( ) B ( ) a doazuje lea Topologie a X geerovaá systée všech otevřeých oulí se azývá iduovaá orou Norovaé prostory uvažujee vždy s topologií iduovaou jejich orou Všiěe si že systé všech otevřeých oulí se střede v bodě X tvoří loálí bázi této topologie v bodě Každá otevřeá i uzavřeá oule je souvislá ožia Pro aždé X a > platí B ( ) = cl B ( ) Nora je spojité zobrazeí Každý orovaý prostor je Hausdorffův topologicý prostor Buď X libovolý eulový vetor f : R X lieárí zobrazeí defiovaé předpise f()= t t (3) Toto zobrazeí je spojité ba co víc přirozeá topologie v R je eješí topologie vzhlede íž je spojité (tzv iiciálí topologie) Uvaže yí dvě ory ( a ) a vetorové prostoru X a zoueje za jaých oolostí bude topologie iduovaá orou silější ež topologie iduovaá orou V ásledující větě tyto topologie ozačujee syboly τ a τ Věta Nechť a jsou dvě ory a vetorové prostoru X Následující čtyři výroy jsou evivaletí: τ je silější ež τ Eistuje číslo > taové že B ( ) B ( ) 3 Eistuje číslo > taové že B ( ) B ( ) 4 Eistuje číslo M > taové že M D ů a z Předpoládeje že platí tvrzeí Pa ožia B ( ) je otevřeá v topologii τ což zaeá tvrzeí Nechť platí tvrzeí a echť = + = a > Pa pro vetor platí < a > což je spor Platí tedy tvrzeí 3 Nyí předpoládeje platost výrou 3 a polože M = Kdyby eistoval vetor X taový že > M pa by pro vetor = platilo = eboli B ( ) a = > M = eboli B ( ) To je spor terý doazuje výro 4 Koečě předpoládeje platost tvrzeí 5 Nechť U X je ožia otevřeá v τ U bod Nechť > je taové číslo že B ( ) M U Pa B ( ) B ( ) což doazuje že ožia U je otevřeá v topologii τ Tí je důaz hotov Dvě ory a vetorové prostoru se azývají evivaletí ají-li shodé iduovaé topologie Z předchozí věty yí sado plye Věta Nory a a vetorové prostoru X jsou evivaletí právě dyž eistují čísla M> taová že M (4)

3 PŘIROZENÁ TOPOLOGIE V R 3 Důslede Jsou-li ory a a vetorové prostoru X evivaletí pa aždá ožia ohraičeá vzhlede jedé z ich je ohraičeá i vzhlede druhé Platí i opačé tvrzeí Zforulujte je a doažte! R jao orovaý prostor Uvaže zobrazeí : R R = + + K+ = ( ) + ( ) + K+ ( ) a K = { } () Lea Každé ze zobrazeí je ora a R D ů a z Přeecháváe čteáři Sado lze zjistit že pro oru platí B ( ) = ( + ) ( + ) K ( + ) () Otevřeé oule v této orě jsou tedy rychle Zjistěte ja vypadají otevřeé a uzavřeé oule v orě Pro = všechy tři uvedeé ory splývají a iduují přirozeou topologii a R Lea 3 Pro zobrazeí platí D ů a z Přeecháváe čteáři Z předchozího leatu a Věty yí plye (3) Věta 3 Nory jsou evivaletí Topologie a R iduovaá orai se azývá přirozeá (euleidovsá) topologie Uvedeé defiice ůžee ještě dále zobecit dyž pro libovolé p položíe p = + + K + (4) p p p p Tato defiovaé zobrazeí p je ora; trojúhelíová erovost vyplývá z Miowsého erovosti p p p p p p p p p + y + K+ + y + K+ + y + K + y (5) terá platí pro aždé p Všechy ory p iduují tutéž topologii (jsou evivaletí); tato sutečost sado vyplývá Věty Leatu 3 a Jeseovy erovosti q q q p p p + K+ + K + (6) terá platí pro aždé pq < p q Pozaeeje ještě že ozačeí pro třetí oru z () je přirozeé jeliož platí p li K a K (7) p p + + p = { } 3 R jao souči topologicých prostorů Uvaže a ožiě R euleidovsou topologii (jao obvyle) a a ožiě R = R R K R topologii součiu topologicých prostorů Víe že bazí této topologie je systé všech otevřeých vádrů v R tj oži

4 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA III I I K I (3) de I I K I R jsou otevřeé itervaly Věta 4 Topologie součiu a R je shodá s přirozeou topologií D ů a z Podle () eistuje báze přirozeé topologie a R jejíž aždý prve je otevřeý vádr Naopa jestliže I = ( + ) K ( + ) pa pro l = i{ K } platí ( l + l) K ( l + l) I To zaeá že aždý otevřeý vádr je otevřeá ožia v přirozeé topologii Tí je důaz uoče Každý otevřeý vádr je souvislá ožia 4 Kopatí ožiy v R Z odstavce víe že R je Hausdorffův topologicý prostor a že otevřeé oule jsou souvislé ožiy Podíveje se yí podrobě ja vypadají opatí ožiy v R Nejprve uvedee poocé topologicé tvrzeí Věta 5 Buďte X a Y topologicé prostory Pa topologicý prostor X Y je opatí právě dyž je opatí aždý z prostorů X a Y D ů a z Předpoládeje že prostory X a Y jsou opatí a zvole otevřeé porytí S prostoru X Y Pro aždé X ozače S systé těch oži W S pro teré pr ( W) (pr je projece X Y X) S je otevřeé porytí ožiy {} Y terá je určitě opatí (proč?) á tedy oečé podporytí T S Ozače yí U průi oži pr ( W ) de W T U je otevřeá podožia X (průi oečě oha otevřeých oži; pr je otevřeé zobrazeí) Systé { U X} je otevřeé porytí ožiy X á tedy oečé podporytí Ozače A oečou ožiu prvů X taovou že systé { U A} je otevřeé porytí ožiy X Koečě polože T = { T A} Necháe yí a čteáři aby uázal že T S a že T je oečé otevřeé porytí ožiy X Y Opačý sěr důazu je o pozáí jedodušší a proto jej přeecháe čteáři Důslede Nechť I I K I R jsou opatí itervaly Pa uzavřeý vádr I I K I R je opatí ožia D ů a z Iducí poocí předchozí věty Důslede Nechť B ( ) R je uzavřeá oule vzhlede libovolé z ore p p Pa B ( ) je opatí ožia D ů a z Plye z toho že aždá uzavřeá oule v R je podožiou ějaého vádru Věta 6 Možia A R je opatí právě dyž je uzavřeá a ohraičeá Důaz Je podobý důazu aalogicého tvrzeí pro = Pouste se o ěj sai! 5 Spojitost záladích zobrazeínechť sp :R R jsou zobrazeí defiovaá předpise s ( ) = + p ( ) = Uážee že tato zobrazeí jsou spojitá Nechť R y = s( ) = + > Pro B ( ) áe s ( ) y = + + = < (5)

5 PŘIROZENÁ TOPOLOGIE V R 5 což zaeá že pro aždé B ( ) platí s ( ) ( y y + ) a doazuje spojitost zobrazeí s v bodě Nechť R y = p( ) = > Polože M = a δ = i { ( M + ) } δ Pro B ( ) áe < M+ <δ <δ M < M+ a p( ) y = = ( ) + ( ) + < ( M+ ) δ + δ( M+ ) ( M + ) + M ( M+ ) ( M+ ) ( + ) = To doazuje spojitost zobrazeí p v bodě Ze spojitosti zobrazeí s a p a z věty o spojitosti opozice spojitých zobrazeí plyou záá tvrzeí o spojitosti součtu a součiu dvou spojitých fucí Zobrazeí s je saozřejě lieárí Doažte že aždé lieárí zobrazeí l : R R je spojité