Časpis pr pěstvání mathematiky a fysiky Karel Petr O výpčtu elliptických integrálů 1. a 2. druhu pmcí středu arithmetick-gemetrickéh Časpis pr pěstvání mathematiky a fysiky, Vl. 43 (1914), N. 3-4, 332--350 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109235 Terms f use: Unin f Czech Mathematicians and Physicists, 1914 Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://prject.dml.cz
332 O výpčtu elliptických integrálů 1. a 2. druhu pmcí středu arithmetick-gemetrickéh. Napsal K. Petr. Algrithmus pčetní středu arithmetick-gemetrickéh byl zaveden d mathematiky hlavně Gaussem, který jej také pužil ku numerickému vyčíslvání elliptických integrálů prvéh a druhéh druhu. (Viz zejména jeh pjednání Determinati attractinis quam in punctum qudvis psitinis datae exercet planeta si eius massa per ttam rbitám ratine tempris qu singulae partes describuntur unifrmiter esset dispertita", z r. 1818, viz Werke, sv. 3.? str. 353.) Gauss uvedl zmíněný algrithmus v suvislst s výpčtem elliptických integrálů na základě zvláštní transfrmace elliptických integrálů (p něm Gaussva transfrmace zvané). Že též prstřednictvím transfrmace Landenvy lze integrály elliptické 1. druhu vypčítati pmcí arithmetickgemetrickéh' středu, jest znám; že pmcí téže Landenvy transfrmace lze při integrálech 2. druhu dcíliti výsledky jedndušší (užívající středu arithmetick-gemetrickéh), než jsu Gaussvy, zdá se býti méně znám. Vůbec pak nenacházím v mathematické literatuře pukaz, že při užití transfrmace Landenvy, pstupujíce běma mžnými různými směry, uvádíme elliptické integrály prvníh druhu v závislst na arithmetickgemetrický střed dvjím různým způsbem. A právě tat dvjí mžnst nám dvluje jednak pr výpčet elliptických integrálů ve středu arithmetick-gemetrickém dáti úplně pstačující a jednduchu pmůcku, jednak výsledky jí dcílené nám dvlují na základě arithmetick-gemetrickéh středu vypčítati pmcí K 7T K jednduché frmule čísl q = e důležité při inversi elliptických integrálů (a tím zase při výpčtu elliptických integrálů všech tří druhů).*)* *) Zmínéná frmule pr výpčet q známa byla již Gaussvi. Uvedena jest zárveň s jinými frmulemi týkajícími se středu arithm.-gem. v >Gesammelte Werke, Bd. 3., str 388, řádek 2. V jaké suvislsti k té frmuli Gauss dspěl, není z th, c na citvaném místé jest pdán, pisateli těcht řádků jasn pravděpdbně na základě therie arithm.-gem.
333 Zárveň jsem pdal na základě výrazů bdržených dvzení Legendrvy relace mezi E } E\ K, K r a předeslal jsem k vůli čtenářům Časpisu stručný výklad arithmetick-gemetrickém středu a transfrmaci Landenvě, pkud pr przumění dalším vývdům t byl užitečn. I. Vezmeme v úvahu dvě řady čísel kladných 6 r, c r \ r = 0, 1, 2, 3,... suvisících navzájem relacemi b r \ (fir-l + C r-l)> r = \lbr-lcr-l ] (1) r=l, 2, 3,... Pak jest br > c r pr r ^ 1 a budeme i & 0 předpkládati, že b 0 > c 0. Jest patrn, že. dána-li jsu čísla b 0, těmit dvěma jsu všechna statní b ri c r na základě rvnic (1) úplně stanvena. Dále jest patrn, že řada čísel jest řadu čísel klesajících, řada pak b Q, b u b 2,... (2) CQ> C*> V2> ( 3 ) řadu čísel stupajících a mají tudíž bě dvě řady limitu. Nad t jest * -*=* (VĚZ; - va'=i g- 1 ~ *._' = (V6r-1 + V^-l) ( 4 ) 0 r.-l Č r i = (6 r _i Cr-i) 6r _l + Cr-l -\-2\Jb r -icr-l tedy 6r C r < 7 (&r 1 <V-i). (6) středu dalek Gaussem prpracvané ve spjení s therií elliptických funkci. Pzruhdn však jest, že zůstal nen výraz pr q pkud jest mi všem znám nepvšimnut. Zvláště nezmiňuje se něm ani Encyklp. der math. Wissensch., ačkliv frmule ta dává jednduchý a pr numerický výpčet jistě nejphdlnější prstředek k inversi elliptických integrálů ve II B 3, 66. tam prjednávané a ačkliv se tamtéž v 34. arithm.-gem. středu a jeh některých vztazích ku ellipt. funkcím vykládá. V nvější dbě byly Gaussvy záznamy arithm.-gem. středu a t i ty, jež dříve nebyly uveřejněny, předmětem vyšetřvání L. Schlesingra v Gttingen Nachr. z rku 1912, str. 513 a násl.
334 Jelikž pak rzdíl stejnlehlých členů bu řad (2) a (3) dle (5) knverguje k nulle, mají bě ty řady tuž limitu, jež sluje se zřetelem ku tvaru základních rvnic (1) střed arithmgemetrichý z čísel b 01 c 0. Označíme jej M(b 0 ), t. j. klademe lim b r = Hni c r = M(b 0 ). (6) Abychm blíže seznali rychlst, s jaku čísla b r, c r knvergují ke splečné limitě, vezměme v úvahu ještě rvnici (4), kteru na základě (1) napíšeme ve tvaru aneb _ (br-! C-O* O r C r 777 00r+l K C r _ (b r _i C r _i)' 2 ^ (br-i Cr-i)* Cr+i 8c?+2 8c}+ Je-li tedy r již takvé, aby c r +1 byl blízké ku M (b 0 ), jest dtud patrn, že relativní velikst rzdílu b r c r (vzhledem ku číslu M(b 0 ) jest přibližně rvna smině ze čtverce relativní veliksti rzdílu předcházejícíh b r -i c r _ x. Jest tudíž rychlst knvergence nebyčejně veliká. Pr následující jest účeln zavésti zárveň čísla a r rvnicí a r 2 + es? = «; a r ^ O (7) pr tat platí na základě (1) další vztahy (ir -f- b r = 6r i, 4a r b r = a r _i, b r <*r = c r _i, (8) ze kterýchž zejména jednak plyne a r = Um (br i b r ) = O, jednak (na základě druhéh vztahu) lze rychlsti, s jaku a r knverguje k nulle. učiniti bdbnu pznámku jak svrchu knvergenci čísel b r, c r ku M(b 0 ). ' II. Landenvu transfrmaci budu užívati na integrály tvaru f* dcf ^ [ 0 g\ sin* <p d<p J\Jbl a\ sin* q>' J V&J *! sin* cp 0 0 U
Zavedeme-li míst prměnné <p prměnnu cp t rvnicí 335. L sin 2<p /<A. kde a u b x suvisí s a 0, b 0 vztahem (1) a kteružt rvnici můžeme též psáti ve tvaru tg(!pi <P) = dstaneme snadným pčtem jrtg<p*) f 0 a tedy \Jbl a 2 0 sir^<p 2 \]b\ a\ sin 2 <p (11) p *<P _ i p f ft2) J V^20 a 2 0 sin* <f při čemž C^ závisí rvnicí 2 J\/b\ a\ sin* <p ' ty(*i -PO)=T L^*I (12 f ) na 3> 0 a stanví se jednznačně známým způsbem. Opakujeme-li tut transfrmaci p sbě r-kráte, bdržíme p r-tém krku J Vb 2 0 a 2 sin' <p 2- J \Jb 2 a 2 srn' <p při čemž tg (W k 0*^) = C 1t:1 tg O**-!, h = 1, 2,... r Ok l a čísla a r, b r, c r suvisí splu rvnicemi dstavce předcházejícíh. Jelikž však lim a r = O, lim b r = M (b 0 ) ) vidíme máme-li r=-:c r = c zejména na zřeteli rychlst, s jaku čísla tat ku vyznačeným limitám knvergují, že rvnici pslední můžeme psáti ve tvaru fi d<p <\> r. e r 7 Vbî ;«n-ф *ЩЪ C) 2' *) Užitím rvnic (8) a (10) a knečně frmule t (»!-»)= '**t-tg 9
336 kde lim s r = O a tedy v limitě, klademe-li Um r=c " =O y / U VftJ ;*m-q).m(*»«b) Pr integrály kmpletní, při nichž #,, = --"-, jest ^ =.*, tf> 2 = 2ÍT,..., W r = 2'- 1.* a tedy ~3>z=^-, jest 7 dę _ n ( U ) V&; a* 0**1*9 2M(b 0 ) Tím dvzeny v (13) a (14) známé a pr numerické výpčty čast pužívané výrazy integrálů elliptických prvníh druhu. III. Abych prvedl transfrmaci druhéh integrálu z (9), stačí vypčísti sin 2 <p z rvnice (10); dstanu &i + a \ s irí 2 tyi cs tyi V&i a \ sin 2 p,. sin 2 cp = - - OJ, ' 601 dsadíme-li tent výraz, máme pužívajíce (11) jakž i vztahu a\ = 4tf 1 & 1 ihned r^ qg gm 2 y d<p _ f 01 a x fa + a t sin 2 <p) dy J V&ž «*"* 2 V ~ J V*í l a\ sin sгn л ф Ф, cøs qp đф, kde mezi & 0 a á^j jest pět vztah (12'). Vztah nalezený lze psáti též ve tvaru r 00 alsin 2 <pdty _ a i T 01 dy J \Jb* a\ sin* ~" *' * J \b\ a\ 9 sin2 cp (15) a? sin 2 <p dw.. + J 1, V&i a\sin 2 <p a, sm 0 X
337 Obecněji jest v značení dst. I -<ž> r _i., ~& 2 r ar i sin 2 ep dep, C r dep / V^r-l «r-i SÍn 2 (f J \Jbr tt? SÍf< sгn 2 ф aneb se zřetelem ku (12"). C r a r sin 2 q) dep. _ + / tl a r s^n r J \Zb 2 r a? sin2 g) r = 1, 2, 3,.<ř»r-l «- a J_ / *«I ', ' - - 5 a r Or I 'i,. J VW-i arli sin 2 g> J V 6 a l sin 2 ep, C r ar sin 2 w dep. ^ + / i/-. «=_=" ~ a ' * w 0 r J VW «r sm 2 g) S6ítáme-li tudíž rvnice právě dvzené pr r = 1, 2, 3,... X, dstaneme /- 0 a\ sin 2 <jp dqp d = / w \,T- P«i»i + 2 2 "A +... + *aibi\ \K a l sm 1 ep [a x sin & x + a 2 sin # 2 +... + a\ sin ČPj] + n, kde zbytek r\ n / m x ^k a\ sin sin 2 ф dц> Ą sin 2 ф s rstucím A velmi rychle knverguje k nulle a kde tudíž řady v závrkách hranatých uvedené mhu rzšířeny býti v řady neknečné. Uvážíme-li ještě, že a k = &*_i 6*, a zavedeme-li pr krátkst značení P{b 0 ) = 21 h (b 0 - b x ) + 2 2 b 2 (6, - b 2 ) (17) + 2 3 6 3 (6 2-6 3 ) +...,
S38 máme i* 0 a\ sin*gp dq> _ p ^ ^ r á<p J \Jbl a 2 0sin*<p ' J \/b* 0 a* 0 sin* <p (18) 09 JS a k sin Qj k ; *=i pr integrál pak druhéh druhu v nrmálním tvaru a značení Legendrevě *) 00 -j- Z a k sin O^ *=i * Zvláště pak pr úplný integrál (# 0 =-^- ; G>i = ^, 2 = 2ít ;...] máme = 7l{hl-P(b 0,C 0 )) 2M(b {) ) Výrazu b* 0 P(b 0f c 0 ) můžeme na základě rvnic (1), ze kterých plyne bk(bk-i h) = ^ (b k -2 c*-*) 8, * -^ 2 dáti tvar > &! - P(» w c) = i [(» + c) 2-2 & - Cíy -2 2 (b 2 -c 2 ) 2...] pr praktické pčítání zvláště vhdný. Gauss ku vyjádření' ellipt. integrálu pmcí arithmetickgemetrickéh středu užívá 1. c. (v Determinati attractinis") substituce tvaru (m n) sin T sin T' 2 = 2m sin T (m -f- w) sin T *) Legendre užívá pr integrály elliptické 1. a 2. druhu tyt základní tvary a značení ' í, / 9 - = F(k, 0>), fl-k* S inz<p d v = E(k, 0). / V* k stn 2 <p ~ I J su tedy dle tht značení
339 kde T jest půvdní, V nvá integrační prměnná. Pr integrály prvéh druhu a pr integrály úplné druhéh druhu dstává výsledky pdstatně stejné; pr integrály druhéh druhu neúplné dstává výraz pněkud slžitější, nebf míst řady 2a k sin <l> k má řadu a x cs T sin V -f a 2 cs T sin T" + a 3 cs T" sin T" +...*) IV. Výsledky v předcházejících dstavcích dvzené dávají sice řady vždy knvergentní, hdí se však hlavně v tm případě, a 2 kdy mdul -=- - elliptických integrálů není blízký 1. Avšak i pr tent případ lze dvditi prakticky účelné frmule a užiti algrithmu středu arithm-gemetrickéh a t, budeme-li transfrmvati dané integrály substitucí inversní k té, jíž jsme svrchu pužili. Budeme tedy transfrmvati integrál (zvlíme si nyní, abychm se vyhnuli zmatkům, pněkud jiné značení) substitucí /v dcp \jl'l a'l sin 2 <p t m V 0 sin2ip l - m tg(p -a' 0 + b' 0 cs2cp l > aneb v pněkud jiné úpravě (p dstranění zlmků) sin (2<JP, g))=tp sin cp. Dstaneme pak na základě (12) vztah r** dep =zf Vl d(p - J V6'J-a'Jm»9 ~ j Vftf - a\ sm~> ' n n - - ' (21) *) Mezi frmulemi však získanými d Gausse na základě středu arithm.-gem. jest však na str. 392. (Weike, Bd. 3., sir. 302) uvedena pr neúplný elliptický integrál druhéh druhu rvnice, která ve frmě a také asi v pdstatě jest blízka rvnici (19). Frmule (19) dvzená pmcí Landenvy transfrmace nachází se v Cayley, Elliptic fnctins, str. 331. 22*
340 kdež dle (8) jest a ~ - ' 0 + 6',, ~ = 4a' 0 6' 0 (22) sin(2, W 0 ) = ^sin 0. O 0 Abychm dsáhli suvislsti s arithmetick-gemetrickým středem, stačí klásti ^ = 26',, _ = 2a'-. Tut substitucí se (21) a (22) změní v rvnice r /_1 J V6 r ; 'J -i«a 9 ~" J V&'i a _ «*. - <p ' a dstáváme becně kde r y (23) i',=i(a' 0 + &' ), a' 1= Va'6' ' (24) d<p _ f J Wl <*'!»»»* «P "~ J V&" «'í **»" 9 ' (25) sin (2 JP", @r-i) Ž - sin ÍV-; 0 r 1 (25') &' ř = _ (<*? +»' ), «'r = Va'r-i 6'^ Čísla ft' r, a' r knvergují ku arithmetick-gemetrickému středu.m(& ř 0, a r 0); přejdeme-li tudíž v (25) ku limitě pr lim r = c, máme značíce ZimSPV = ^ r* rfy _ 1 r*d<p J^V* a'lsin*y M(b' 0} a' 0 )J cs cp Jgct(^-fj a v značení Legendrevě ~ M(b\, a' 0 )..,. lgct(jl_l) iffe ř,w_.ii.-jj. (26) &'. V*'.' 7 Jf(6'., a' 0 )
341 V. Při výpčtu integrálů úplných můžeme se však vyhnuti pužívání funkcí gnimetrických, vlíme-li W 0 = 2 r - 1.n\ rste-li W 0 d O spjitě d 2 r - x n, klísá pravá strana rvnice (25') při r = 1 mezi ^ a -jf- a knčí hdntu nullvu. 0 0 0 Přísluší-li tudíž výrazu 23 3r 1. ^Q, jenž se spjitě s JPJ, mění, pčáteční hdnta nullvá, jest i knečná hdnta jeh rvna nulle; t. j. při V 0 = 2 r - 1 n jest v t =2 r -*7i. Obdbně jest 2> 2 = 2 r ~ 3 *,..., _^r = - -. (Hdnty *P r+ *F r + 2,... jestliže r jest již dsti veliké, aby -^- byl mál d 1 rzdílné, liší se pak mál d ----. j Můžeme tudíž psáti Ur aneb též &' \&V j~6 f, \&V 2J _. W_- _.\ _L_ 7r/_. _\ &' V>V 2/ *&'- ^\6' r ' 2E Jest však, jak znám, *) F^k,^ = lg^ + n,,v-_l-*«, kde 17 knverguje k nulle, když k knverguje k* k nulle. k jedné a tedy *) Vztah tent můžeme dvditi následvně. Transfrmujeme-li integrál F(k,.-j substitucí dstaneme snadn tgq>. 1g ' = ~, k' 2 I_l k 2, («) F{k ' *=f },! = *?-, =/vi-s*.--- ^Ť) " F(fe ' **
342 Tedy. *&-r)=tfc ('» + *). <*> f kde c' 3 ~z VI a'} a kde lim rj r = 0. r=_-a> Máme však (dle (24)) tedy lg c' r = \ lg(.v 2 a'*) = \lg{(&'_, av-.) 2 = lg (67-i a'í-0 lg 4. V ^ ^(.-jjzz/^.-o + F (*,_*'). Při tm jsu _ a " spjaty rvnicí (a). Zvlíme si á v prvním kvadrantu a tak, aby _* _z _"'; pak jest fg- J _ - a >(*,*) _" «F(_, _0 = -/vr-z-^i-r- = 2 /v Vcs 2 <p -f k' 2 sin 2 <*> ' I 1 Rzvineme-li (cs 2 <P + k' 2 srn 2 </) 2 1 (i + tg* <F) cs g: k'2 2 dle binmické věty, bdržíme řadu stejnměrně knvergentní v intervalu integračním; integrací pak dstaneme řadu, která knverguje aspň s takvu rychlstí jak řada gemetrická s kvcientem k', jak téměř na prvý phled jest zjevn a jak čtenář snadn zevrubně dkáže. Členvé té řady d druhéh pčínaje knvergují tedy vesměs k nulle pr lim k'~0. Můžeme tudíž psáti Avšak A І k Ą)-^j-~т + y\ 4 \ lim. rf ~. 0. k'= --* ^ ( dq> [n 4\ 4 dф Tak jest v celku т ñ 0 -ý== -=~- lg -i + v +,. - ar-p +,. cž jest rvnice v textu uvedená. Jiné dvzení tét rvnice viz Jacbi, Werke, sv. I., str. 522 a násk a Cayley, Elliptic fnctins, r. 1876, str. 46.
343 t j. lg c' r 2 lg c'»_i lg Ш r, lg c'r-i = 2 lg cv_ 2 lg 4Ь ř r _i, Z těcht rvnic vyplývá lg c\ = 2 ř^ c' íflr 46 f r lg c\ = lg Ab\ 2 lg 46V_i.. 2'- 1 % 4b f, + 2- % c f 0. P dsazení pak d (27) a snadné úpravě bdržíme '( ' ~^) =^ N 4 "i % (6 ' ~ a '!) + T ^ ''' + 22 % &', +... + 2T % b 'r + -jr % 6 'r + Vr\ aneb též, upravíme-li závrku tak, abychm mmi přejíti k limitě pr lim r =z c, -,/a' 0 -ř\ V, [\ 4, &' 1. 6', '-^l nr ]> < 28 > čímž dána frmule vhdná pr výpčet úplnéh integrálu pr ten případ, že k jest blízk 1 a při níž jest pužit tlik čísel vyskytujících se při výpčtu středu arithm - gemetrickéh z a' 0, b\. VI. Abychm dvdili bdbnu frmuli pr integrály elliptické druhéh druhu, stačí (jak jsme t učinili při integrálech prvníh druhu) dsaditi d frmule (15) <_, = a f 0, 6. = 6 f 0, a 0 = 2a\, b 0 = 2b\, 0 X = «P 0, * = V x. 6',
344 Dstaneme ihned / " a'l sin 9 <p d<p,,. C d<p \jb'l a'l sin* cp ~ a O 0 a becně + a' 0 sm J \Jb'l a'lsin*<p V i 2 f gl a> ' w ' n * * ^ J V&'? «'I **'«" 9 r q ' r - 1 a'*-. 1 sin*<pdg> 0, 6, r^"- 1 > J V6'Ž-i a'í_i sin 8 c/> ~" a r _ 1 0 0 ^ J V&'ř-i 'J-1 sí'«a <p i f a* i r r fl " sin* <p dep + av-i Stn ^ r-i + 2 / rrz=z_- J V 6 r a'? sin 2 <p aneb též vzhledem ku (25) r^^ďusin^dcp _ m /_ V _ 1 r d 9 J VW-i a'u sin* cp r 1 ' J Wl a'\ sin* <p V, t nr í a? r sin 2 9> dep J \b'? a'} s^n* cp Sčítáním rvnic takt vzniklých při r = 1, 2,... A., násbených dříve faktrem 2 r ~\ bdržíme í ß^*-%-- = - K*' + *a' lvl + 2V.V, + J Щl *ì sm* q> - J JV^-«' 2 «'n 2 9 + [а' 0 «т <У 0 + 2а' г «г'м $",+...+ г^а'л-.. вт $*_.], 2jl r A g' sin 8 y czy J V*'J «'l «'«2 9
345 Pr pslední integrál máme Um fx a'\sin*<pd<p _= M ( h, fzjf! ď) = A=» J \Jb'l a'l sw 8 cs <p J 9 0 0 M(b' 0, a' 0 ) sin V-\- M(b' 0, a' 0 ) lg ct (-^ f w\. K téže limitě knverguje též (při lim A, viz dst. IV. (26)) -<i** + <*if^_%, r Označíme-li _ 2X T f a'lsin*<pd<p U Wl - <*'l sin* <p 0 + «**-**&_%,] 0 můžeme rvnici (29) psáti následvně r^a'tsin\d<p _ J \Jb'* 0 a'\ sin* <p L T x i -r 0 + [a f 0 srn ^0 + 2a\ sin *F- +... + 2A -Vi_i sin fj-i 2*a' x sin # ] + r' A. Závrce hranaté lze dáti (i se zřetelem k jejímu znaménku) tvar a' 0 V 0 + 2(a\b\ - a' 0 V 0 ) + 2*(a' 2 6' 2 - a\h\) +... + 2^6'. - a W/A-I). Výraz tent může prdlužen býti d neknečna, dstaneme řadu neknečnu velmi rychle knvergentní, kteru můžeme psáti na základě relací WtVt a f,_x6 f ř-i) = 2 l [(2b',+i b\) Ví - (2b\ Vt-_) 6' w ] = 2*+* 6',(6', +1 Ví) + 2 Í (6',_ 1 - Vi)*
346 ve tvaru Vl 2(V 0 b\) b\ 2«(ft' 1 -b\)b\ 2*(b\ b\)b\... cž jest dle značeni dst. III. V\ P{V 01 a' 0 ). Píšeme-li i druhu hranatu závrku ve frmě řady neknečné, máme se zřetelem k tmu, že Um rj i = 0 dц>»^n fo i. / " n J Wl a stn 9 J \ b ' a ' 5г^2 9> 0 [a\ sin W 0 + 2 (a\ sin W t á\ sin W 0 ) (31) + 2*(a\ sin W 2 - a\ sin W 1 )+...], kterážt rvnice převádí výpčet integrálu druhéh druhu na integrál prvníh druhu. Pr integrály v nrmálním tvaru Legendrvě z ní následuje: + [a\ sin W 0 + 2(u\sin W, a\ sin & 0 ) +...]. Abychm dvdili si výraz užitečný pr integrály úplné druhéh druhu, klademe pět (jak v dst. V.) W 0 = 2"-^, tedy JPi = 2*-»ar,... Wr-i = *, W r = -J-. Pak závrka hranatá se redukuje na 2 r a\ + e r, kde e r s rstucím r knverguje k nulle. Prvedeme-li dsazení uváživše, že máme dělíce ještě číslem 2 r aneb knečně, necháme* li r vzrůstati nade všecky meze, Vjsffi, ^^Wr^+^P^a^F^, -f).(32)
347 VIL Z rvnic pr úplné integrály druhéh druhu dvzených vyplývá nejprve důležitá relace, zvaná Legendreva. Označme pr stručnst F[JC, -Í-) = *,.F(V, -f) = *, E (k, -f.) = Ei. ^,-f)-=jp, a kladme k = - 2. a tedy A' = -J-. Pak jest dle (20) ^0 E _ ^0 6j -P(^> c 0 ) ^ a dle (32) (zavedeme li b\ = b' 0) a\ = c 0 ) Jest tedy F,_ Míh» c 0 ), P(ž> ), & i: 1 T% -" к ^ к EK +E'K = -±- M(b Q ) K + KK, 0 pužijeme-li pak ještě rvnice (14) EK' + EK KK' = ^-, cž jest hledaná relace mezi úplnými integrály. vin. Další pužití dvzených frmulí, mající význam praktický, jest výpčet čísla 7lK' q. e K důležitéh při inversi elliptických integrálů a při výpčtu elliptických integrálů všech tří druhů příslušných mdulu k.
348 Užíváme-li značení předcházejícíh dstavce a frmulí (14) a (28), máme b\ ' A -2M(& 0, e 0 ) f r' = " 1 l\ 4 _. í» 0 1. 6. 1. 6, "I M(b 0, e.) L^T-^Í ~~2- % li^ t"" ' " -J 5 Z- -.?! & f C ze kterých ihned vyplývá p dsazení i *» 6» i, /M 2 /6,\-» * ig ftf -s- 17J -(ftt) ' sučin, který rychle knverguje a pr numerický výpčet čísla q jest vhdnější než bvyklé methdy výpčtu, zejména než výpčet řadu (33) q = l6 + 32"* 4 + l024* 6 + 2048 * 8 + Jelikž pstačí (vzhledem ku mžné lineární transfrmaci thetafunkcí U, ]) meziti se při výpčtu čísla q na případ Jfc^r= f pstačí, jak z vývdů numerických dst. následujícíh \2 vyplývá, při výpčtu čísla q frmulí (33) pnechati si 4 prvé faktry a klásti b 3 = ž> 4 = b 5... chceme-li q vypčítati přesně na 9 cifer. Při tm můžeme plžiti b 0 = 1 a tedy b 0 = 1 = &'; &, = - ± _, c, = V^;... IX. V předcházejícím byly vylženy dvě methdy pr výpčet elliptických integrálů pmcí středu arithm-gemetrickéh. První ř a vede rychleji k cíli, když *=-^- jest blízk 0; druhá, když 0
349 k' = \/l *' 2 jest blízk nulle. Obě pskytnu řady přibližně stejně knvergentní, když k = k 4, t. j. když k = -j- \J2. Můžeme tudíž pkládati tent případ k = \ \/2 jakžt krajní a první methdy pužívati, když k jest v intervalu (0, \ \J2). druhé pak, když k' jest v tm intervalu. Pak jest případ k = V =\ \J% pr pčítání elliptických integrálů na základě vylžených methd nejnepříznivější a vyšetřením rychlsti knvergence v tmt případě získáme si i rientaci tm, klik článků nejvýše jest vyčísliti v statních případech, jednak při pčítání středu arithmgemetrickéh, jednak při sčítání příslušných řad, vyskytujících se ve vyjádřeních elliptických integrálů (chceme-li dsíci jisté přesnsti). Pdávám z té příčiny v následujícím výsledky výpčtu arithm-gemetrickéh středu z čísel \/2, 1. Dstáváme při pčítání 14-timístném b 0 = \J2 = 1-4142135623731, b x = 1*2071067811865, Cl = 1-1892071150027; 6 2 = M981569480946, c 2 = 1-1981235214931; b 3 = 1-1981402347939, c 3 = 1-1981402346773; M(b 0} c 0 ) = 1-1981402347356... b A a c 4 liší se, jak z výrazů pr b 3) c 3 patrn, až na 21. desetinném místě. b 3 a c 3 pak méně než 2. 10" 1-10 M(b 0 ), takže při 8ciferném pčítání můžeme již klásti s přesnstí dstatečnu b 3 = c 3 = M(b 0 ). Pr výpčet 8-ciferný pstačí tudíž, ať pčítáme kterýkliv elliptický integrál pmcí frmulí svrchu uvedených, pčítati tlik dva gemetrické středy a lze klásti s dstatečnu přesnstí b 3 = c 3 = b 4 = c 4 =... M(b 09 c 0 ). Tak ku př. pr délku kvadrantu elliptickéh, je-li její nu- 1 merická výstřednst menší než --p a její plsy A, B t dstáy2
350 váme s přesnstí jistě 8-ciferní tent výsledek dle (20) n_ (A + By 2(A t B t y 8 ' A 3 kde -,==4-5., «,=V3B, A,=Aut _ t B, = \/A^:, A,= A > + B > ; bdbnu pak frmuli (bsahující přirzené lgarithmy) i v případě, že k >. -J=L, bdržíme z (3.2). Studie řadách Lamévých vytvřených cyklidanii Dupinvými. L. Seifert, prfessr reálky v Praze-I. Tvří-li tři řady plch systém třikráte rthgnální, jest každá plcha jedné z těcht řad prťata plchami statních dvu řad v bu systémech čar křivsti (therěm Dupinův). Dle Darbuxa zveme pak řadu Lamévu takvu řadu plch, jež může býti sučástí systému třikráte rthgnálníh. S hlediska gemetrickéh nejvíce zajímavsti pskytují řady vytvřené cyklidami Dupinvými důsledkem té klnsti, že čáry křivsti bu systémů jíšu kruhvé. Therie těcht řad, dík slavným pracím Darbuxvým, Haagvým a Demulinvým (Cmptes Jlendus 147, Í48) jest již téměř uknčena, ale výsledky její, lískané pčtem infinitesimálním, jsu takvé, že takřka nabádají k tmu, aby se dvdily též způsbem čistě gemetrickým. O t pkusil jsem se v tét práci užívaje centrální prjekce prstru čtyrrzměrnéh na byčejný prstr trjrzměrný. Tak úplně bez pčtu lze/dvditi všechny známé věty a vnitřní suvislst jejich stává se zde ještě patrnější, než jest pčtem vůbec mžn. : - Zejména však zajímavým se zdá dvzení systému třikrát rthgenálníh slženéh vesměs z cyklid Dupinvých a způsb, jakým se zde dspěje k transfrmaci Ribacurvě.