Střední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im

Transkript

1 Střední průmyslvá škla strjní a elektrtechnická Resslva 5, Ústí nad Labem Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice A Re + m 2 2 j 1 + m - m A A ϕ ϕ A A* Re ng. Jarmír Tyrbach Leden 1999 (2/06)

2 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Úvd Ve druhém plletí druhéh rčníku brů Elektrtechnika a Autmatizační technika je v předmětu Základy elektrtechniky bsáhlá a důležitá kapitla Řešení bvdů střídavéh prudu symblick-kmplexní metdu. Důležitá v tm, že řešení bvdů tut metdu je pměrně jednduché a tudíž efektivní. Navíc se tat metda běžně pužívá (včetně kreslení fázrvých diagramů) v navazujících předmětech (např. Elektrnika, Elektrenergetika, Elektrtechnická měření, Elektrické strje a přístrje, Autmatizace apd.). Pr další úspěšné studium je prt zvládnutí tét látky dsti pdstatné. Bhužel kapitla, která by ppisvala pdrbněji např. pstup při kreslení fázrvých diagramů neb řešení článků v běžně dstupných učebnicích není. Tat látka může být t slžitější, pkud studenti nevěnují v hdinách matematiky kmplexním číslům dstatek pzrnsti. Obvykle si myslí, že tat látka je pr studium a praxi zcela nepužitelná a zbytečná. Dalším prblémem je t, že v snvách matematiky pr SPŠ není předepsán, dle méh názru zcela nesmyslně, expnenciální tvar kmplexníh čísla. Pravdu ale je, že ve splupráci s některými vyučujícími matematiky se čas d času pdaří tent prblém vyřešit. První část tht textu je věnvána prblematice kmplexních čísel (fázrům) a peracím s nimi. Ve druhé části jsu řešeny knkrétní bvdy včetně pstupu při kreslení fázrvých diagramů (FD). Stručné zpakvání Aby nedšl k záměně s kamžitu hdntu střídavéh prudu, neznačujeme v elektrtechnice imaginární jedntku písmenem i. Zásadně ji značujeme písmenem j. Definice imaginární jedntky: j 1 (kladná sa imaginárních čísel). Násbit imaginární jedntku j znamená tčit fázrem 90 prti směru chdu hdinvých ručiček: j 1 j (kladná sa imaginárních čísel) j 2 j. j (záprná sa reálných čísel) j 3 j 2. j -1. j - j (záprná sa imaginárních čísel) j 4 j 2. j (kladná sa reálných čísel) Je zvykem zakreslvat prud uzavřenu a napětí tevřenu šipku. Fázr je rientvaná úsečka, která nahrazuje sinusvý průběh střídavé veličiny. Fázry vynášíme přím v efektivních hdntách. Smysl táčení fázrů je prti směru chdu hdinvých ručiček. Fázrvé diagramy jsu grafickým řešením Kirchhffvých záknů (KZ). Je lepší fázry sčítat než dečítat. Průběhy napětí a prudů ideálních prvků: Na dpru R je napětí a prud ve fázi (fázvý psuv mezi nimi je nulvý). Na indukčnsti L předbíhá napětí 90 před prudem (prud se tent úhel zpžďuje). Na kapacitě C předbíhá prud 90 před napětím (napětí se tent úhel zpžďuje)

3 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Zápis fázru Z 4 - j3 5 (cs 36,7 - jsin 36,7 ) 5. e - j 36,7 5-36,7 [Ω] mpedance Z je pstupně zapsána ve tvaru: slžkvém (Kartézském), gnimetrickém a expnenciálním. Pslední zápis je zjedndušený expnenciální tvar (verzrvý). Fázry (kmplexní čísla) se v tištěném textu píší VELKÝM TSKACÍM TČNÝM písmeny, značující příslušnu veličinu. V běžném textu (na tabuli, v sešitě apd.) se z praktických důvdů píší např. Â, A, r A. První způsb (se stříšku) je nejvhdnější, prtže u dalších způsbů zápisu je nebezpečí např. záměny se zlmkvu čaru apd. + m - m A A ϕ ϕ A A* Re Fázr v Gaussvě rvině Re - sa reálných čísel m - sa imaginárních čísel A - fázr veličiny A A - abslutní hdnta veličiny (mdul) ϕ - fázvý psuv (argument) A*- fázr kmplexně sdružený k fázru A Čísl kmplexně sdružené má stejné znaménk u části reálné, pačné u imaginární (slžkvý tvar) neb má pačné znaménk u úhlu (expnenciální tvar). Jak pznat kvadrant? Kvadrant pznáme pdle znamének u slžek KČ (slžkvý tvar) neb pdle znaménka úhlu a jeh veliksti (expnenciální tvar). Příklady určení kvadrantu. kv m. kv. (- 270 ) - Re (- 180 ) Označení kvadrantů + ϕ ϕ 0 Re 4 - j3 V. kv j2. kv kv kv j3. kv kv kv kv. 4 + j3. kv V. kv. 8-36,7 V. kv kv. Čísla kmplexně sdružená k číslům zn. : j2. kv. 4 - j3 V. kv ,7. kv kv.. kv. - m (+270 ) V. kv. rčení kvadrantu Označení Slžkvý tvar Expnenciální tvar kvadrantu Reálná slžka (Re) maginární slžka (m) (rzsah úhlů ve stupních) až + 90 (- 270 až - 360) až (- 180 až - 270) až (+ 180 až + 270) V až - 90 (+ 270 až + 360) - 3 -

4 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Převd tvarů KČ Převd ze slžkvéh na expnenciální tvar KČ: pmcí Pythagrvy věty určíme abslutní hdntu KČ. Pužitím gnimetrické funkce sin, cs neb tg zjistíme úhel ϕ. Jedndušší je určení úhlu v. a V. kvadrantu. A 6 + j3 (. kv.) Α ,71 3 tg 3 ο ϕ ϕ 26,57 ϕ 6 0, 5 neb sin 6,71 0, 447 neb cs 6 ϕ 26, 56 ϕ 0, 894 ϕ 26,59. 6,71 Drbné rzdíly ve výsledcích jsu dány zakruhlváním. 3 A 6,71 26,57 6 Expnenciální tvar: A 6,71. e j 26,57 6,71 26,57 B 8 - j5 (V. kv.) Β ,43 5 tg 5 ο ϕ ϕ 32 ϕ 8 9, , 625 neb sin 0, 53 9,43 neb cs 8-5 B ϕ 32 ϕ 0, 848 ϕ32. 9,43 Prtže fázr B leží ve V. kvadrantu (reálná slžka je kladná a imaginární záprná), je úhel ϕ záprný tzn. ϕ 32 Expnenciální tvar: B 9,43. e j 32 9,43-32 ο Ve. a. kv. je určení úhlu slžitější, prtže pmcí gnimetrických funkcí neurčíme přím úhel ϕ, ale musíme uvažvat ještě úhel dplňkvý (v našem případě α neb β). C j3 (. kv) rčení mdulu (abslutní hdnty) je stejné: C - Re - 5 β C ,83 Z fázrvéh diagramu (FD) je vidět, že ϕ lze určit více m způsby (hdnty α a β jsu uvažvány kladné): ϕ 90 + α 3 ϕ β α ϕ (- β) ϕ ϕ α Méně kmplikvanější jsu první dva případy. tg α 5 1,67 α 59 ϕ tg β 3 5 0,6 β 31 ϕ

5 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Expnenciální tvar: C 5,83. e j 149 5, Tent fázr lze také zcela ttžně ppsat rvnicí: rčení úhlu ϕ ve. kv. je bdbné. C 5,83. e j 211 5, (viz třetí a čtvrtá mžnst určení ϕ) Převd z expnenciálníh na slžkvý tvar KČ: pužíváme gnimetrický tvar KČ, který je vlastně jiným vyjádřením slžkvéh tvaru KČ. Reálnu slžku získáme vynásbením abslutní hdnty funkcí cs ϕ. maginární určíme bdbně pmcí funkce sin ϕ.. kv.: A 6,71 26,57 6,71 (cs 26,57 + jsin 26,57 ) 6 + j3 V. kv.:. kv.:. kv.: A 6,71-333,43 6,71 (cs 333,43 - jsin 333,43 ) 6 + j3 B 9, ,43 (cs 32 - jsin 32 ) 8 - j5 B 9, ,43 (cs jsin 328 ) 8 - j5 C 5, ,83 (cs jsin 149 ) -5 + j3 C 5, ,83 (cs jsin 211 ) -5 + j3 D (cs jsin 210 ) - 6,93 - j4 D (cs jsin 150 ) - 6,93 - j4 Z ukázek převdů je vidět způsb pužití znaménka minus u imaginárních slžek gnimetrických tvarů (je-li záprný úhel, je záprný i člen jsin ϕ). Úhly jsu brány v abslutních hdntách. Pužití tvarů KČ pr matematické perace 1) slžkvý je vhdný pr sučet (rzdíl) KČ - zvlášť sečteme (dečteme) reálné a zvlášť imaginární části KČ. 2) expnenciální je vhdný pr sučin (pdíl) ppř. mcniny KČ - abslutní hdnty KČ vynásbíme (vydělíme) a úhly sečteme (dečteme). Pr násbení a dělení KČ je slžkvý tvar méně vhdný. Tent výpčet je pracnější a je zde i větší rizik chyb. Při dělení je např. nutn: usměrnit zlmek pmcí kmplexně sdruženéh čísla násbit dvjčlen dvjčlenem pčítat s imaginární jedntku j [např. (- j5). (- j6) - 30]. Pužitá KČ: Příklady perací s KČ A 6,71 26, j3 C 5, j3 B 9, j5 D ,93 - j4-5 -

6 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Je-li minus před závrku, je třeba brát v úvahu změnu znaménka! A + B 6 + j j j2 C + A j j3 1 + j6 D - B - 6,93 - j4 - (8 - j5) - 14,93 + j1-14,93 + j C - A j3 - (6 + j3) j0-11 (výsledná hdnta leží na se -Re) A. C 6,71 26,57. 5, ,12 175,57 A. B 6,71 26,57. 9, ,28-5,43 B. D 9, , A C B C 6,71 26,57 5, , , A 6,71 26,57 1,15-122,43 B 9,43-32 D 1, B 9, ,71 58,57 0, Nevýhda dělení KČ pmcí slžkvéh tvaru je vidět v následujícím příkladě: A B 6 + j3 6 + j3 8 + j j5 + j3 8 + j3 j j5 8 - j5 8 + j j30 + j j54 0,37 + j 0, 607 0,71 58, Střídavé bvdy řešené pmcí KČ Dělič napětí rčete hdntu pr dělič napětí: V, Z j3 [Ω], Z j2 [Ω], Zz 7 - j3 [Ω] 1 Z 1 Z 2 Z1 Z Z Ze zadání je vidět, že impedanci Z 1 můžeme nahradit dprem hdntě 8 Ω a kapacitní reaktancí 3 Ω, v Z 2 je dpr 4 Ω a induktivní reaktance 2 Ω, zatěžvací impedance Z Z představuje dpr 7 Ω a kapacitní reaktanci 3 Ω. Z 2Z Z2 ZZ Z + Z 2 Z 7 4,47 26,56,61-23,2 4+ j2+ 7 j3 34 3, j 34 3, ,2 3,1 8,56 3,06 + j0,46 [ Ω] Z Z 2Z + Z 1 3,06 + j0, j3 11,06 - j2,54 11,35-12,9 [Ω] - 6 -

7 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Z 11,35-12,9 [ A] 2 Z2Z 1 3,1 8,56 881, 12,9 27,31 21, ,31 21,46 2 Z 7,61-23,2 Z 8,81 12,9 3,59 44,66 2,55 + j2,52 [ V] [ A] rčení prvků neznámé impedance X L1 S 1 Z 1 rčete druh a hdnty prvků, které jsu bsaženy v impedanci Z 1. f 50 Hz, S ,34 VA, R 2 30 Ω, 4-35 A, X L1 15 Ω, X L2 30 Ω, X C2 30 Ω., Z 2 Výpčet R 2 X L2 X C2 Z 2 R 2 + jx L2 - jx C j30 - j j [Ω]. (Z 2 se navenek jeví jak R 2 ). Z [V] Prtže Z 1 a Z 2 jsu zapjeny paralelně, platí: 1. * S , ,75-16,34 [A] 3,75 16,34 [A] Z ,75 16, , j25 [Ω] Z výsledku je vidět, že Z 1 bsahuje dpr 20 Ω a kapacitní reaktanci 25 Ω. O charakteru prvků v Z 1 svědčí i hdnta S 1 (záprné znaménk u úhlu kapacitní charakter). R 1 20 [Ω] X C1 25 [Ω] 1 1 C 1 1, [F] 127,4 [µf] ω X C C 1 127,4 [µf] Při výpčtech není vždy nutné pužít všechny zadané hdnty. V tmt případě nebyl třeba uvažvat X L

8 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Γ článek L R rčete 1,, S 1, P 1, Q 1, ϕ 1 a jeh charakter, jsu-li dány hdnty: 60 V, 4 A, cs ϕ 2 0,7 (ind.), R 4 Ω, X L 20 Ω, X C 160 Ω. Nakreslete FD. 1 cs ϕ 1 C C Zadané veličiny převedeme na kmplexní tvar. Je výhdné plžit napětí na knci d reálné sy: 60 + j [V] Fázvý psuv ϕ 2 má induktivní charakter se za tent úhel zpžďuje prud leží ve V. kvadrantu, ve kterém je imaginární slžka záprná: (cs ϕ 2 - jsin ϕ 2 ) 4 (0,7 - j0,714) 2,8 - j2, ,57 [A] Z R + jx L 4 + j20 20,4 78,7 [Ω] X C 0 - j160 - j [Ω] Rvnice pr řešení článku: cs ϕ 2 (L) 1) Z 2) 1 + 3) C 1 X C Y 1 4) + C Výpčet Z 20,4 78,7 4-45,57 81,6 33,13 68,33 + j 44,6 [V] ,33 + j 44,6 128,33 + j 44,6 135,86 19,16 [V] C 1 X C 135,86 19, ,86 [V] 0,85 109,16-0,28 + j0,8 [A] + C 2,8 - j2,86-0,28 + j 0,8 2,52 - j2,06 3,25-39,26 [A] 3,25 [A] S 1 1 * 135,86 19,16 3,25 39,26 441,55 58,42 231,2 + j376,2 [VA] Z výpčtu S 1 vyplývají všechny pžadvané výkny, prtže také platí: S 1 P 1 ± jq 1 : S 1 441,55 [VA] P 1 231,2 [W] Q 1 376,2 [var] Prtže znaménk u jq 1 je kladné, jalvý výkn má induktivní charakter (pr kapacitní je záprné). Jiná mžnst určení P 1 a Q 1 bude ppsána v dalším textu. Fázvý psuv ϕ 1 a jeh charakter lze určit přím z expnenciálníh tvaru zdánlivéh výknu: S 1 441,55 58,42 [VA]. (Význam znamének u úhlu je ttžný, jak u jq). ϕ 1 58,42 (ind.) - 8 -

9 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Úhel ϕ 1 můžeme určit také z příslušné impedance Z 1 : Z ,86 19,16 3,25-39,26 41,8 58,42 [Ω] impedance Z je význam znamének stejný, jak u kmplexně vyjádřenéh zdánlivéh výknu S. ϕ 1 58,42 (ind.) Další způsb určení úhlu vychází z expnenciálníh tvaru 1 a ,86 19,16 [V] 3,25-39,26 [A] 1 ϕ Úhel mezi reálnu su a 1 : ϕ 19,16 Úhel mezi reálnu su a : ϕ -39,26 Z FD je vidět, že: ϕ 1 ϕ + ϕ 19, ,26 (úhly ϕ ϕ 1 jsu brány v abslutních hdntách). V tmt případě určíme charakter pdle znamének a veliksti úhlů u fázrů napětí a prudu. Z hdnt ϕ a ϕ je vidět, že napětí předbíhá před prudem charakter je induktivní. ϕ 1 58,42 (ind.) Pkud by fázry ležely ve stejném kvadrantu, je třeba abslutní hdnty úhlů dečíst: ϕ 1 ϕ ϕ. ϕ 1 ϕ ϕ 1 Který z uvedených způsbů určení ϕ zvlíme, závisí na zadání úlhy, tzn. na tm, c máme spčítat. Pkud vládáme puze jeden způsb výpčtu, čast si jenm přiděláme práci, prtže mnhdy máme již fázvý psuv skrytý v dílčích výpčtech. Jestliže jsme určili ϕ 1 pmcí Z 1 neb ϕ a ϕ (druhý a třetí způsb), můžeme P 1 a Q 1 také spčítat: P 1 1 cs ϕ 1 135,86 3,25 0, ,2 [W] Q 1 1 sin ϕ 1 135,86 3,25 0, ,2 [var] Pstup při knstrukci FD: Výstupní napětí zakreslíme d reálné sy. Prtže účiník na knci má induktivní charakter, prud se bude za napětím zpžďvat úhel ϕ

10 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice R X L Úbytek napětí je způsben průchdem prudu dprem R a induktivní reaktancí X L. Úbytek napětí na dpru R je ve fázi s prudem, který jej způsbil R. Úbytek napětí na X L předbíhá 90 prud X L. Fázrvý sučet těcht dvu úbytků je celkvý úbytek napětí (1. rvnice). C 1 X L Fázrvým sučtem + získáme napětí zdrje 1 (2. rvnice). Kndenzátr C je připjen na napětí 1 prud C předbíhá 90 napětí 1 C 1 (3. rvnice). R 1 Fázrvým sučtem + C získáme prud debíraný ze zdrje (4. rvnice). Úhel ϕ 2 je mezi a, úhel ϕ 1 je mezi 1 a. 1 R X L C Z výpčtu i z FD je vidět zdánlivý paradx. Prud (na začátku) je menší než prud (na knci). Není tmu tak ale vždy, prtže tent jev je způsben kapacitním prudem C, na jehž hdntě závisí také velikst prudu. Prtže jsem narazil na prblém veliksti prudu, udělám malu dbčku. Mhu nastat různé případy. Prtže se mi nechce kreslit kmpletně celý FD, bude v následujících FD zakreslen puze napětí, 1 a příslušné prudy libvlnéh článku. 1 Na susedních FD je vidět, že velikst je dána hdntu a fázvým psunem prudu C, který má vliv i na charakter ϕ 1. Na levém FD je induktivní, na pravém kapacitní. Pdbný vliv mají samzřejmě také prudy L a R. C 1 C

11 1 cs ϕ 1 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice 1 R 1 L R 2 C 1 C C 2 Τ článek prud leží ve V. kvadrantu, ve kterém je imaginární slžka záprná: [V] Fázvý psuv ϕ 2 má induktivní charakter se za tent úhel zpžďuje (cs ϕ 2 - jsin ϕ 2 ) 3 (0,8 - j0,6) 2,4 - j1,8 3-36,87 [A] Z 1 R 1 + jx L 10 + j20 22,36 63,43 [Ω] Z 2 R 2 - jx C j30 36,06-56,31 [Ω] X C2 - j [Ω] Rvnice pr řešení článku: cs ϕ 2 (L) rčete 1,, S 1, P 1, Q 1, ϕ 1 a jeh charakter, je-li dán: 500 V, 3 A, cs ϕ 2 0,8 (ind.), R 1 10 Ω, R 2 20 Ω, X L 20 Ω, X C1 30 Ω, X C2 200 Ω. Nakreslete FD. 1) Z 2 2) + 3) C X C2 4) + C 5) 1 Z 1 6) Výpčet Z 2 36,06-56, ,87 108,2-93,2-6 - j 108 [V] j j ,7-12,33 [V] C X C2 505,7-12, ,53 77,67 0,54 + j2,47 [A] + C 2,4 - j1,8 + 0,54 + j2,47 2,94 + j0, ,84 [A] 3 [A] 1 Z 1 22,36 63, ,84 67,1 76,3 15,9 + j 65,2 [V] j ,9 + j 65,2 509,9 - j 42,8 511,7-4,8 [V] 1 511,7 [V] S 1 1 * 511,7-4,8 3-12, ,1-17, j 465,2 [VA] S ,1 [VA] P [W] Q 1 465,2 [var] (kap.) Prtže znaménk u jq 1 je záprné, jalvý výkn Q 1 má kapacitní charakter ϕ 1 17,64 (kap.)

12 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Pstup při knstrukci FD: Výstupní napětí zakreslíme d reálné sy. Prtže účiník na knci má induktivní charakter, prud se bude za napětím zpžďvat úhel ϕ 2. Úbytek napětí je způsben průchdem prudu dprem R 2 a kapacitní reaktancí X C1. Úbytek napětí na dpru R 2 je ve fázi s prudem, který jej způsbil R 2. Úbytek napětí na X C1 se zpžďuje 90 za prudem X C1 X C1 R 2 X C1 Fázrvý sučet těcht dvu úbytků je úbytek napětí na Z 2 tzn. (1. rvnice). Fázrvým sučtem + získáme napětí na příčné větvi (2. rvnice). R 2 X C1 Kndenzátr C 2 je připjen na napětí prud C předbíhá 90 napětí C (3. rvnice). C R 2 X C1-12 -

13 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Fázrvým sučtem + C získáme prud (4. rvnice). C R 2 X C1 Úbytek napětí 1 je způsben průchdem prudu dprem R 1 a induktivní reaktancí X L. Úbytek napětí na dpru R 1 je ve fázi s prudem, který jej způsbil R 1. Úbytek napětí na X L předbíhá 90 prud X L. X L C R 2 X C1 R 1 X L Fázrvý sučet těcht dvu úbytků je úbytek napětí na Z 1 tzn. 1 (5. rvnice). Fázrvým sučtem + 1 získáme napětí zdrje 1 (6. rvnice). Mezi a je úhel ϕ 2 (ind.), mezi 1 a je úhel ϕ 1 (kap.). C 1 R 2 X L 1 1 R 1 X C1 Prtže FD se bvykle kreslí symblicky (bez měřítka), nemusí délky fázrů a jejich fázvé psuny přesně dpvídat vypčítaným hdntám. Snahu při kreslení FD by měla být jejich přehlednst

14 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice Γ - článek R C 1 cs ϕ 1 L cs ϕ 2 (C) L Pstup při knstrukci FD ϕ 2 D reálné sy vyneseme napětí. Pd úhlem ϕ 2 vyneseme prud. Prtže na knci je kapacitní charakter, prud tent úhel předbíhá napětí. Pr větší přehlednst FD není dále ϕ 2 zakreslván. ndukčnst L je připjena na napětí. Prud L se prt za tímt napětím zpžďuje 90. L L Pdle. KZ platí: + L. Přičtením fázru L k získáme prud na začátku. L L R. X C. Prud způsbuje úbytek napětí. Je výhdné zakreslvat úbytky na jedntlivých prvcích tzn. zvlášť na R a zvlášť na C. Na R je napětí ve fázi rvnběžně s je úbytek R.. Na C se napětí X C. zpžďuje za 90. X C

15 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice L R. X C. Výsledný úbytek napětí je dán fázrvým sučtem úbytku na R a na C. Pdle. KZ platí: 1 +. Mezi 1 a je úhel ϕ 1. Charakter je kapacitní, prtže předbíhá 1. 1 Π - článek Z R L 1 cs ϕ 1 C 1 C1 C 2 C2 cs ϕ 2 (L) Rvnice pr řešení článku: 1) C2 X 2 C2 2) + C2 3) Z 4) 1 + 5) C1 X 1 C1 6) + C1 Pstup při knstrukci FD: Pstup kreslení dpvídá pstupu při výpčtu. 1. rvnice: C2 2. rvnice: + C2 C2 C2-15 -

16 Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice 3. rvnice: Z 4. rvnice: 1 + R X L 1 R. X L. R. X L. C2 C2 5. rvnice: C rvnice: + C1 C1 1 1 R. X L. R. X L. C1 C2 C2-16 -