Disere a solionové šíření v oických vláknech Disere oických vláken ò * Reálný signál: u ( ) U( )ex( id ), U( ) U ( ) Kolexní signál: čás obsahující u+ () U( )ex( i) d oue kladné frekvence ò * ò ò Zřejě laí U( )ex( i ) d U( )ex( i ) d u ( ) * a edy u() éu+ () + u () + Re { u+ () } ê Úkoásový signál: signál, jehož sekru je sousředěno do relaivně alé oblasi kole sřední frekvence: U( )» U ( ), U ¹ ro + + i i i Pak u () ( ( ) +» U ) e d e U e d ò + ò + i i i ( ) e U+ e d u () e ò Kolexní signál úkoásového rocesu je ožno osa kolexní obálkou vynásobenou kolexní haronickou funkcí ex( i ) : Re ( )ex i u u ( ) { } u( )
Disere oických vláken Kolexní oický signál na vsuu oického vlákna: E (,) r» u ( ) E() r (vhlede k úkoásovosi anedbáváe ávislos roložení ole vidu na vlnové délce) Modulované vsuní áření se naváže do všech vedených vidů s kolexníi aliudai c E h d e h d Na ačáku vlákna vnikne edy roložení ole u ( ) åce( r^ ) Každý vid se šíří s jinou konsanou šíření b Ve vdálenosi od ačáku vlákna bude edy roložení ole u ( ) åce( r )exé ^ i( b ) i u () Er () e i u ( ) e åce( r^ ) u( ) åce( r )exé ^ i( b ) Disere oických vláken 3 i Onače sekru obálky U ( ) ò u() e d U+ ( ) ekru signálu v ísě je ak řejě i ( ) å å ( ) ib ( ) ib ( ) u c e e d c U e ^ ò ^ ^ E( r,, ) e ( r ) e ( r ) Konsana šíření b rovněž ávisí na frekvenci! Časový růběh oického signálu v ísě je edy ožno nasa aké ve varu E ( r,, ) E( r,, ) e d c e ( r ) U e e d ( ) i ib ( ) i ^ ò ^ å ^ ò V úké sekrální ásu signálu, kde je funkce U nenulová, ůžee aroxiova sekrální ávislos konsany šíření Taylorový rovoje: 3 db d b( ) d d b ( )» b ( ) + ( ) + ( ) d b( ) 3 + ( 3 ) + 6 d
Disere oických vláken 4 Poneche v rovoji nejrve oue rvní člen: a dosaďe do výrau ro ole v ísě : b ( )» b ( ) + b ( )( ) ( ) ( ) (, i i, ) ( ) ( ) c U e éb b ê + ú e E r» d ^ å e r ^ ò i( b ( ) i ) iéb ( ) ê i( ) c ( ) e U( ) e å e r e d ^ ò i( b ( ) i ) åc e ( r ) e u ( b ), ^ ( ( ) ) (,, ) c i ( ) i ( ), e b H r» u b ^ å h r ^ * P (,) Re E H d» å c u ( b ) å P( b ) Celkový řenesený výkon je edy dán souče výkonů řenesených jednolivýi vidy, nichž každý á ůvodní časovou ávislos () ožděnou v čase o gruové (skuinové) oždění Poěr ( ) u b ( ) db d v v g, g, d ædb ö g, g, db ç çè d udává gruovou rychlos šíření ého vedeného vidu Disere nohovidových oických vláken Pro určení disere nohovidových vláken ořebujee ná ávislos konsan šíření vidů na vidové indexu a na frekvenci oického áření Tuo ávislos najdee řibližně v aroxiaci arskové oiky, využií fáového rosoru Předokládeje, že rofil indexu lou je dán obecnou arabolou ého suně, ì é æ r ö n D ç, r a,, n () r a < < ï í çè ê ú ï n, r > a ïî Zřejě n n ( D), n n n n D» n n n n n, n ro Příý výoče ávislosi b res N( ) b( ) k ( ) je obížný, určíe ji roo neřío Nejrve určíe oče vidů qn ( ), jejichž efekivní indexy lou jsou věší než volená hodnoa N 3
Disere nohovidových oických vláken ložky vlnových vekorů všech vidů s ef indexe věší než N řejě slňují odínku r + s n () r N ; ro věší N se oiž oloěr kruhu (, rs) enšuje Obje fáového rosoru všech vidů s ef indexe lou věší než N je ak řejě R R F ( N) k é n () r N rdrdj k é n () r N ê rdr, òê ú kde nr ( ) N (arsky se šíří oue v oblasi r R ) Poněvadž na vid řiadá fáový obje 4, oče vidů s ef indexe věší než N je R F( N ) k é 4 ò ê é qn ( ) n( r) N rdr n ( R ) n D R a N ê ; æ n N ö xa ç è n D Rovnice ro R je řejě ê ( ) její řešení je R a Disere nohovidových oických vláken x k r qn ( ) a n Dx N xdx, kde x a R Pak { é ò ê ú } Inegrál řešíe subsiucí xr Dosaení dosanee xdx d, x ( ) ka qn ( ) n N nd d 4 ò ka é + ( n ( ) N ) xr n x D R 4 ê + ú + é ka æ n N ö æn N ö ( n N ) n D 4 ç n è D ø + çè n D ê ø Po dalších forálních úravách dosanee + æ ö n ç 4 + ç è n D ø ka n N qn ( ) D ç 4
Disere nohovidových oických vláken Nyní do výrau avedee celkový oče vidů M řenášený vlákne; řejě laí M q( n) + ka æn n ö ka ka V M nd n D ( NA) + ç è n 4 4 D + + + ø n n Plaí + N ö ø qn ( ) æn M ç è n n, a edy n + N n + ö æ n ö æ N n qn ( ) M M ç n D è ø çè ø To ale naená, že ke každéu (celéu) q ůžee nají efekivní index lou N q jako funkci inverní k funkci q(n): N f (), q kde qn ( ) fn ( ) q Disere nohovidových oických vláken é Nq n D q M ê ú + Plaí edy ( ) My ale ořebujee b q kn q Poněvadž D je alé číslo, oužijee ro výoče odocniny Taylorovu věu: x» x x + Odud dosanee 8 + + + b q kn é D ( q M )» kn é D( q M ) D ( q M ) ê ê Gruová rychlos šíření: dbq vgq, d Musíe ví v úvahu ávislos k i n na frekvenci, naoak ůžee anedba diseri Polože d d n dn n g» ( kn ) ( n) +, vg d cd c c d c dn n g n + gruový index lou d 5
Disere nohovidových oických vláken Zachováeli jen lineární člen v diseri, dosanee db d + + q dm ( kn ) é D( q M) kn D ( q M) æ ö vg d d ê ú + M çè M d Po rovedení nanačených derivací a forálních úravách dosanee n g é ( ) + + D q M vg c ê + é q Pro vlákno se skokový rofile (I) je,» + D vg v ê g M Pro arabolické vlákno ( ) je disere v řádu Taylorova rovoje nulová; ro výoče disere usíe roo ví v úvahu i kvadraický člen Po delších forálních úravách dosanee é D q» + vg v ê g M ú Vlákno s arabolický rofile á nohe enší royl gruových rychlosí vidů než vlákno se skokový rofile Disere oických vláken 5 Elekrický signál na výsuu kvadraického deekoru (foodioda, foonásobič a) je úěrný okažiéu výkonu časového signálu Veeeli v úvahu orogonální vlasnosi olí vidů, dosanee ro výsuní signál deekoru (roud, res naěí) ì () Re ü s (,, ) (,, ) ï * d í ^ ^ ï ý» c u ( b E r H r å ) ïî ïþ Onačíeli, g,in g,ax v v g,ax g,in nejenší a nejvěší gruové (skuinové) oždění, k něuž dojde ři šíření vlákne délky L, ak ři dosaečně velké délce L řejě dojde k rošíření signálu na ološířku æ ö s»» L g,ax g,in ç v v çè g,in g,ax Too rošíření ůsobuje v eividová (vidová, odální) disere Fyikální odsaa eividové disere edy sočívá v o, že jednolivé vidy řenášejí signál růnou (gruovou) rychlosí 6
Rošíření iulu jako rodíl ei oždění nejoalejšího a nejrychlejšího vidu: s æ ö» L ; ç v g,in v çè g,ax Přenosová šířka ása: v c n n B»» ro I vlákna, D» s LD N LD n cl 4vg 4c B»» ro GI vlákna, N» n() s LD N LD oučin délky a šířky ása: Disere oických vláken 6 g c cl æ ö» +D ro I vlákna, v v ç çè M g g g æ ö» + D ro arabolická (GI) vlákna v v ç M çè g c n n c cl B L»» 4 MH k ro I vlákna, D»», N D n cl 4c B L»» 8 GH k ro GI vlákna N D, Disere jednovidových vláken (Mei)vidová disere je odsraněna, ulaní se disere řádu æ ö Uvažuje ro jednoduchos gaussovský signál, u (, ) U ex ç è Šířka iulu na ačáku: D ( )» ekrální šířka na ačáku: i ò ( ) b ( )» U( ) U e e d U e ekru v ¹ : F(, ) U e e i d b b ( )» b + ( ) + D ( ) +, D v Zěná FT dává (, ) d g ( / v ) i D ( / ) ( / ) g v id v arcan g g ( id ) Ue é ( D / ) é ( D / ) ê + ú ê + ú id ædö 4 + ç u U e e e ç çè 7
i D arcan ( / vg) id( / vg) é + ( / ) é + ( D/ ) ê ê Ue D To je aké gaussovský signál, u(, ) e e æd 4 ö + ç è rošířený ( ) D D () + D/» D D D ( ) 4 D na ( ) Z rakických důvodů avedee onačení, c æ d l d ö D» D D D D l, D D, l l l ç d c dl è Odvoení dává dn dn D g [s/(n k)] l l c dl c dl æ dn N g N l ö ç çè d l Okažiá frekvence : dj D» v d + é ( D/ ) ê + () ( / ) Po šíření na určiou vdálenos vykauje iuls lineární frekvenční odulaci, jejíž naénko ávisí na naénku diserního koeficienu g Diserní koeficieny jednovidových vláken Diserní koeficien sandardního vlákna Dl» D + D aerial aveguide Vlákna s lochou diserní křivkou (DFF) Vlákna s osunuou diserí (DF) 8
Říení disere v oické řenosové rase Malé rošíření iulsu, j vysoká řenosová rychlos, ožaduje co nejenší D l D» D L + D L + D o L L l; l, l, Celkové rošíření iulsu na konci rasy je dáno absoluní hodnoou algebraického souču řísěvků růných úseků Kobinací úseků vláken s růnýi naénky diserních koeficienů je ožno diseri vykoenova: D L + D L + D» l, l, o To je rinci veli výhodný ro syséy s vlnový ulilexování, v nichž se vlákne řenáší více kanálů s růnýi nosnýi vlnovýi délkai současně Koenace disere v oické vlákně auoodulací fáe rinci solionového šíření 3c Kubická nelinearia: ne ( )@ n+ n E, n» / V (io ) n E n () () 3 j() j () @ k n(,) d ò l dj () d vliv nelineariy () vliv (anoální) disere u křeenných vláken l > 3 μ Kubická nelinearia koenuje vliv disere nediserní solionové šíření oického iulu odél vlákna 9
Základy skalární eorie solionu v oické vlákně D, L NL D E D D + P diserní ávislos! () D ( r, ) e é c ( ) (, L ò ê + úe r ) d nelineární olariace () 3 ( r, ) ò (,, ) ( r, ) ( r, ) ( r, ) P e c E E E d d d NL roložení ole vidu é i ( ) ( ) ( b ) * i( b ) E r, u e, + u ( e, ) exy (, ) ê Nelineární olariaci ůžee v říadě okažié lokální odevy asa ve varu 3 ( 3) é i ( ) ( ) ( b ) * i( b ) 3 P (,) r ec u, ue, + u ( e,) e( xy, ) NL ê U lineárního členu usíe ví v úvahu diseri ekru signálu je U(, W ) ò iw u(, ) e d oalu roěnná obálka úké sekru ekru oického áření je ak é ( ) ( ) ( ) ( ) i i b i * i( b ) i E r, ò E r, e d u, e e d u (, ) e e d e x, y ò + ò ê ú é ib * ib êu ( ) e + U ( ) e úe( x, y) Pro lineární člen indukce laí D ( r, )» e n ( ) E(, ) e( x, y) L Z Fourierovy ransforace lyne D ( r, ) D ( r, ) e n ( ) E(, ) e( x, y) L L Vlnová rovnice ro E (, ) ak dává o úravách é ib ib D E( r, )» êu(, ) e + U(, + ) e úd e( x, y ^ ) éæ U ö ib æ U ö ib + ib b U e ib b U e e ( x, y) ê + ç ç ú è ø è ø é ib * ib» e n ( ) êu(, ) e + U (, ) e úe( x, y) P ( ) NL
Pro roložení ole vidu exy (, ) Násobe ji exy (, ) D exy (, ) kn ( xyexy, ) (, ) b exy (, ) ^ e ( x, y) dxdy laí v řiblížení slabého vedení rovnice a inegruje o růřeu vlákna s využií norování Dosanee é ( ib U ib b b ) Ue + ib e + PNL (, ) e( x, y) ) d ê ú Nyní avedee aroxiaci b( )» b + b ( ) + b ( ) b + ( ) + D ( ) v g Z aroxiace lyne b b» b b ( ) + b b ( ), ředchoí rovnice ak íská var é ib U ib bb ( ) bb ( ) Ue i e ê + ú + b + PNL (, ) e( x, y) ) d W i Poněvadž u(, ) U(, W) e d, ò u(, ) ( ) U(, ) «i, ( ) U(, ) «u (, ) d Alikuje ěnou FT na vlnovou rovnici s uvážení ěcho vaeb Získáe é æ u(,) ö ) u u i i e ( x, y) d bb NL bb b + + + ç P ê è ø neboli æ ö ib u + + u(, ) + i e( x, y) d, NL ç v g b èç ø P i kde horní index + načí kladné frekvence ( e b ) 3 () 3 P + ec u e x y u e x y NL (, ) (, ) (, ) (, ) 3 (, ) (, ) (, ) e nn u u e x y
Po dosaení a úravě 3 () 3 4 n, k n, e ( x, y) dxdy 5, n c g a a» ískáe výslednou rovnici æ ö (, i u u ) D ( ) ( ) ç + ig u, u, v + çè g ø ro obálku oického iulsu šířícího se odél vlákna Pokud D < a g >, exisuje solionové řešení Šíření solionu v oické vlákně æ / 4 ( ), sech / v ö g i, D / g u u,, e u ç çè ø D sech Pološířka solionu: FWHM 76 cosh,,8 u(τ)/u,6,4,76,, 6 4 4 6 ie τ /τ
Norované araery solionu: D v g u,, D D / g norovaná aliuda Rovnice íská var y i y i y y, res y y i + + y y nelineární chrodingerova rovnice Plaí u D / g D kna oliony vyšších řádů N (, ) sech ( ) ex æi ö y å h h h l l l, h l ( N l ) + ç çè ø l Pro je y N sec h N násobná aliuda Perioda N solionového šíření je D L Energie N solionu v ulsu je N násobke energie jednosolionu 3