14. Soustava lineárních rovnic s parametrem

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "14. Soustava lineárních rovnic s parametrem"

Vratislav Slavík
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 @66 4. Sousava lineárních rovnic s aramerem Hned úvodem uozorňuji, že je velký rozdíl mezi sousavou rovnic řešenou aramerizováním, roože má nekonečně mnoho řešení zadaná sousava rovnic obsahuje jen číselné koeficieny a sousavou rovnic, kerá obsahuje aramer a my musíme jako součás řešení uvés rozklad oboru arameru do čásí, v nichž má sousava rovnic jediné řešení, žádné řešení a nekonečně mnoho řešení zadaná sousava rovnic obsahuje na mísě někerých koeficienů ísmena ve funkci aramerů Příklad: Řeše sousavu rovnic ro dvě neznáme x, y R a aramer a R Řešení:. zůsob - rozbor ax + y = 0 x + y = z. rovnice vyočeme y = x a výsledek jako subsiuci dosadíme do. rovnice ax + ( - x) = 0 (a-)x = - rozklad a = jedna konkréní hodnoa a koeficien u x je různý od nuly, rovnici lze děli rozbor okračuje kandidái na řešení konkréní hodnou musíme dosadi do ůvodní sousavy a uo řeši od začáku.x + y = 0 x + y = souče neznámých nemůže bý zároveň roven jedné a nule Ø zkouška není co od abulkou odověď - Sousava ax + y = 0 souhrn x + y = s aramerem a zkouška x = /(-a) dosadíme do subsiuce y = x = a/(-a) [/(-a), a/(a-)] ro a = nemá žádné řešení ro a má jediné řešení [/(-a), a/(a-)]

2 L = a./(-a) + a/(a-) = a/(-a) + a/(a-) = a/(-a) - a/(-a) = 0 = P L = /(-a) + a/(a-) = -/(a-) + a/(a-) = = P okračování

3 @69 Bohužel ro = 0 má sousava var x = x - y = 0 kerá má jediné řešení [; ] znovu rosuduje

4 @7a zě Aniž budee sousavu řeši, jen využijee ředchozí říad, určee řešení sousavy (A) x + y = (B) x + y = (C) x - 3y = x - y = x - y = 4 x - y = 9 výah: sousava x + y = x - y = ro - má jediné řešení [ -+; -] Porovnáním zjisíme, že sousavu (A) dosaneme ro = a edy řešením je [; 0], (B) = => [3; -], (C) = -3 => [3; 4] Úkol: Řeše sousavu lineárních rovnic s aramerem a R ax + y + z = x + ay + z = a x + y + az = a variana A: ro a = - nemá sousava žádné řešení variana B: ro a = má sousava nekonečně mnoho řešení variana C: ro a R\{-,} má sousava jediné řešení

5 @67 zě Řeše sousavu rovnic ro dvě neznáme x, y R a aramer a R Řešení: ax + y = 0 x + y =.zůsob rozbor - oužií deerminanů D a a, Dx 0, Dy a 0 a ) Je-li deerminan sousavy různý od nuly má sousava jediné řešení, edy ro D = a- 0, j a, je řešením [-/(a-); a/(a-)] (zkoušku jsme již rovedli) ) Je-li deerminan sousavy roven nule a asoň jeden další deerminan je různý od nuly (v našem říadě vždy laí Dx 0), ak sousava nemá žádné řešení. ro D = a- = 0, j. a =, nemá sousava rovnic řešení Souhrn zasán řehledně: Sousava ax + y = 0 x + y = s aramerem a ro a = nemá žádné řešení ro a má jediné řešení [/(-a); a/(a-)] Úkol: Řeše sousavu rovnic s aramerem R x + y + z = x + y + z = 0 x + y + z = výsledek

6 @70 Bohužel ro = má sousava var x + y = x - y = kerá má jediné řešení [; 0] znovu rosuduje

7 @68 zě Řeše sousavu rovnic s aramerem R x + y + z = x + y + z = 0 x + y + z = Řešení: rozbor oužijeme deerminany D, Dx 0 Dy 0, Dz 0 ) Deerminan sousavy je roven nule D = = 0, rávě když =. V om říadě je zároveň Dx = 0 Dy = - 0 Dz = 0 Dokonce dva další deerminany jsou různé od nuly => sousava rovnic nemá řešení ) Je-li, je deerminan sousavy různý od nuly D 0 a sousava má jediné řešení [/(-); (-)/(-); ] Zkoušku řenechávám čenáři. Úkol: Řeše sousavu rovnic s aramerem R x + y = x - y = ro = - má sousava nekonečně mnoho řešení ro = 0 nemá sousava žádné řešení ro = má sousava nekonečně mnoho řešení

8 @7 zě Srávně Řeše sousavu rovnic s aramerem R x + y = x - y = Řešení: Z druhé rovnice vyočeme x a dosadíme do rvní rovnice x = + y + y + y = (+)y = - (+)y = (-)(+) ro = - nelze děli výrazem (+) a musíme se vrái k ůvodní sesavě s dosazením = - x - y = x - y = Tao sesava má nekonečně mnoho řešení a musíme aramerizova. Použijeme deerminany D Dx Dy ( ( ( )( )( ( ) ) D = - (+) = 0 = - řiom Dx = - (+(-) 3 ) = 0 Dy = (-) = 0 3 ) ) Tedy sousava má nekonečně mnoho řešení a musíme se vrái k ůvodní sesavě. x - y = y vezmeme jako aramer, edy x = +y a kandidáem řešení je usořádaná dvojice [+y; y], kde y R ro - můžeme rovnici vyděli a dosaneme (+)y = (-)(+) y = - a zěně dosazeno x = + a kandidáem řešení je usořádaná dvojice [ -+; -] ro - je deerminan sousavy D 0 a roo kandidáem řešení je usořádaná dvojice [ -+; -]

9 Zkouška je řenechána čenáři. souhrn ro = - ro - má sousava nekonečně mnoho řešení [+y; y], kde y R má sousava jediné řešení [ -+; -] Úkol: Aniž budee sousavu řeši, jen využijee ředchozí říad, určee řešení sousavy (A) x + y = (B) x + y = (C) x - 3y = x - y = x - y = 4 x - y = 9 okračování

10 @7 zě Srávně laí všechny ři variany: Řeše sousavu lineárních rovnic s aramerem a R ax + y + z = x + ay + z = a x + y + az = a Řešení: rozbor rvní rovnici oíšeme, od druhé rovnice odečěme rvní, od řeí odečeme rvní, dosaneme: ax + y + z = (*) -(a-)x + (a-)y = (a-) -(a-)x + (a-)z = (a -) Druhá a řeí rovnice by šla vyděli výrazem (a-), ale jen, když eno výraz nebude roven 0 I) říad a = děli nelze; jde o jednu hodnou arameru a, ak se vracíme k ůvodní sesavě x + y + z = x + y + z = x + y + z = Tao sesava má nekonečně mnoho řešení ve varu [x; y; -x-y], x,y R zkoušku rovedeme zaměi II) ro a můžeme výrazem (a-). a 3. rovnici sousavy (*) vyděli (vykrái) ax + y + z = -x + y = -x + z = a+ (a) z. rovnice dosáváme (b) z 3. rovnice dosáváme y = + x z = +a+x získané výrazy (a), (b) dosadíme do rvní rovnice a uravíme ax + + x + + a + x = (**) (a+)x = -(a+) Rovnici (**) lze vyděli výrazem (a+) jen ehdy, když je nenulový; musíme rozbor znovu rozděli IIa) říad a = - děli nelze; jde o jednu hodnou arameru a, ak se vracíme k ůvodní sesavě

11 -x + y + z = x - y + z = - x + y - z = 4 Když všechny ři rovnice sečeme dosaneme 0.x + 0.y + 0.z = 3 kerou nelze slni žádnou rojicí reálných čísel x, y, z. Tedy sousava nemá žádné řešení. IIb) ro a - můžeme rovnici (**) vyděli výrazem (a+) a dosáváme dosadíme do (a) do (b) x = -(a+)/(a+) y = /(a+) z = (a+) /(a+) což znamená, že ůvodní sousava rovnic má v omo říadě jediné řešení Zkouška je řenechána čenáři. Shrnuí: [-(a+)/(a+); /(a+); (a+) /(a+)] Sousava lineárních rovnic s aramerem a R ax + y + z = x + ay + z = a x + y + az = a ro a = - ro a = nemá sousava žádné řešení má sousava nekonečně mnoho řešení [x; y; -x-y], x,y R ro a R\{-; } má sousava jediné řešení [-(a+)/(a+); /(a+); (a+) /(a+)] KONEC LEKCE

Podobné dokumenty

Přibližná linearizace modelu kyvadla

Přibližná linearizace modelu kyvadla Přibližná linearizace model kyvadla 4..08 9:47 - verze 4.0 08 Obsah Oakování kalkl - Taylorův rozvoj fnkce... Nelineární savový model a jeho řibližná linearizace... 4 Nelineární model vs-výs a jeho řibližná