.9. Vyjádření neznámé ze vzorce I Předpokady: 75, 85 Pedagogická poznámka: Ačkoiv v normání učebnici zabírá vyjadřování ze vzorce jenom tři stránky, věnova jsem ji ceou podkapitou, z někoika důvodů: Autor je sám spíše fyzikářem a jeho zkušenosti ukazují, že pouze schopnost bezprobémové úpravy výrazů dává studentům možnost zabývat se při fyzice fyzikou a ne neustáým rozšifrováváním záhadných přesunů písmenek ve vzorcích. Zákadní postup při vyjadřování (shodná úprava obou stran) je zákadním kamenem řešení rovnic, které v učebnici matematiky náseduje a tvoří její veedůežitou část. Při vyjadřování vemi záeží na pořadí jednotivých matematických operací a správném chápání toho, které části výrazů v rovnicích tvoří číso, se kterým je možné něco děat. Je sice pravda, že to všechno by studenti měi znát ze zákadní škoy, ae faktem je, že mnozí studenti to prostě neznají a je epší to vzít na vědomí, než se vymouvat, že je to mě naučit někdo jiný. Pro vyjadřování ze vzorce stačí jediné pravido s oběma stranami děáme to samé. Při případných chybách se v naprosté většině případů dá snadno ukázat jeho porušení. Studenti se tak učí, že je možné se dostat daeko s dodržováním pravide a ve chvíích nejistoty je třeba být v jejich upatňování co nejdůsednější. Je nutné trvat (ve shodě s fyzikářem) na tom, že: studenti se nebudou učit úpravy vzorců ani konečné výsedky s výjimkou zákadních vztahů (a věřte, že to studenti často děají, mají pak na paměťové zapamatování nezvádnutené množství údajů) studenti nebudou používat pomocné postupy aa trojúheníčky na součinové vzorce (bohuže jsou jimi často vybaveni ze ZŠ, všechny tyto postupy jenom upevňují představy matematiky jako nepochopiteného předmětu, studenti je bez obav používají i mimo obast jejich patnosti) studenti budou vždy vycházet ze zákadního pravida uvedeného v čánku níže v červeném rámečku. Jak je ještě jednou uvedeno dáe, při vyjadřování ze vzorců je zcea zásadní, zda mají studenti aespoň zákadní znaosti o prioritách operací a úpravách rovnic. Pokud studenti tyto znaosti nemají (a to je bohuže u studentů, kteří přicházejí ze zákadních ško stáe častější), je nutné postup ještě více zpomait, rychejším nechat počítat příkady se sbírky a átku uvedenou ve dvou hodinách rozděit do tří. Určitě to není ztráta času, vypatí se Vám to při probírání rovnic a studentům při fyzice. Pedagogická poznámka: Pro mě je nedínou součástí hodin o vyjádření neznámé ze vzorce sbírka příkadů. Vždy něco spočítáme spoečně, pak nechám studenty počítat samostatně a seduji zda ti, kteří měi předtím probémy, neopakují stejné chyby. Vzorec pro dráhu rovnoměrného pohybu s v t. Jak najít vzorec pro rychost?
Chceme vzorec v..., na pravé straně rovnice nám u v vadí, že je vynásobené t. Toho se zbavíme, když pravou stranu vyděíme t. Vzorec je rovnice (rovnost dvou číse), kdybychom jedno (pravou stranu) vyděii t a druhé (evou stranu) ne, rovnost by se moha ztratit. abychom ji zachovai musíme i s evou uděat to samé vyděit t. s v t / : t s v t t t s v t Výsedný vzorec je ogický, čím ujedeme deší vzdáenost, za kratší čas, tím jsme jei větší rychostí. Možnost kontroy je jedním z největších výhod obecného odvozování vzorců. Vzorec pro t? s v t / : v s v t v v s t Čím větší vzdáenost máme ujet, tím deší dobu to bude trvat. Čím rycheji pojedeme, v tím kratší doba bude potřeba. Při vyjadřování neznámé ze vzorce, vycházíme z toho, že vzorce mají tvar matematické rovnice abychom zachovai rovnost obou stran rovnice, každou úpravu, kterou provedeme s jednou stranou rovnice, musíme provést i s druhou stranou. Ještě než se pustíme do příkadů, musíme si zopakovat priority operací, které při výpočtech používáme. Pořadí operací (napříkad ve výrazu: a + 4 ): umocňování - a násobení, děení - a sčítání, odčítání - a + 4 Pořadí mohou změnit závorky. Když se budeme snažit vypočítat proměnnou ze vztahu, budeme od ní postupně odděovat jednotivé operace v opačném pořadí (sčítání násobení umocňování) nejdříve odebíráme operace, které jsou k naší proměnné nejdá, nejméně k přiéhají (je to úpně stejné, jako když baíme dárky. Nejbíže dárku je krabice, pak je papír a nejdáe provázek. Pokud chceme dárek rozbait, musíme nejdříve rozvázat provázek, pak rozbait papír a nakonec otevřít krabici). Pedagogická poznámka: Opakování priority matematických operací není úpně zbytečné. Jednak v jeho rámci zmiňujeme návod na obecný postup při úpravě operací, jednak se opravdu občas najde někdo, kdo priority neumí. Daeko větší je pak počet těch, kteří si priority operací sice pamatují, ae při samostatných výpočtech postupují zcea bez ohedu na ně (a ty je potřeba při výpočtech hídat). Jinak jde o krásnou ukázku toho, že kasicky naučené pravido ještě neznamená schopnost pode něj ve skutečnosti postupovat.
Př. : Ze vzorce pro veikost magnetické indukce B µ vyjádři počet závitů cívky N. B µ / B µ / : µ I B N µ I Pedagogická poznámka: U studentů, kteří nemají moc ponětí o matematických operací se objevuje násedující chyba: B µ / B µ. Studenti násobí čísem jak zomek na pravé straně tak konstantu µ, je nutné jim ukázat, že ceá pravá strana µ je jedno číso, které jsme vynásobii čísem. Př. : Najdi chybu v násedujícím postupu: B µ / B µ / : µ B / : I µ B B I BI N µ µ µ I V uvedeném řešení jsou dvě chyby :. taktická chyba ( nepoužití ideáního postupu, nemusí vést k chybě, ae kompikuje řešení): na druhém řádku jsme měi rovnou děit B µ / : µ I. faktická chyba ( porušení matematických pravide, nutně vedoucí ke špatnému výsedku) B Chyba vznika při druhém děení / : I, kde jsme špatně napsai havní zomkovou µ B µ B B čáru vznikého zomku. Správný postup: N I µ I µ I Faktickou chybu jsme mohi snadno odhait. Proměnné µ a I jsou v počátečním vzorci ve stejné roi (v součinu s proměnnou N) ve výsedném vzorci by obě proměnné měi opět hrát stejnou roi. Tento požadavek spňuje správný výsedek (obě proměnné děi součin B ), ae špatný výsedek tento požadavek nespňuje (I součin B násobí a µ součin B děí).
Př. : τ d Ze vzorce pro zvětšení mikroskopu vyjádři ohniskovou vzdáenost τ f f objektivu f. Úvaha: Vyrábíme vztah f musíme dostat f nahoru musíme vynásobit rovnici čísem f. Pak se budeme muset ještě zbavit čísa τ vynásobíme si vztah výrazem f fτ, tím odstraníme všechny zomky a pak snadno vyjádříme ibovonou veičinu. τ d / f fτ τ f f f f τ dτ / : f τ f dτ f τ Př. 4: Sbírka příkad. Př. 5: Ze vzorce pro objem kužee V π r v vyjádři výšku v a pooměr podstavy r. V v / V v / : V v V v / V v / : π v V r π v / r V πv Pedagogická poznámka: Někteří studenti postupují na jeden zátah a získají výsedek V V v. Pokud tvrdí, že jde o stejně dobrý výsedek jako v, chci po nich, aby zkusii svůj a můj výraz naťukat do kakuačky. Někoikrát jsem se setka s tím, že studenti při vyjadřování pooměru vzorec nejdříve odmocnii (někdy dokázai i takto dojít ke správnému výsedku). V takovém případě se vracíme k prioritám a operací a k tomu, co je nejvýhodnější odkízet nejdříve. Př. 6: Sbírka příkad. 4
v v Př. 7: Ze vzorce zrychení rovnoměrně zrycheného pohybu a vyjádři počáteční t rychost v. v v a t / t at v v / + v at v v at jiná možnost: v v a t / t at v v v / at v v / ( ) v v at Pedagogická poznámka: Většina studentů postupuju způsobem uvedeným vpravo, hodně at v v / z nich pak uděá chybu při násobení mínus jedničkou: ( ) v at v. Př. 8: Ze vzorce pro objemovou roztažnost kapain V V ( β t) objem V. ( β ) ( β ) V V + t / : + t V V + β t + vyjádři počáteční Pedagogická poznámka: Předchozí příkad je samozřejmě vemi jednoduchý. Právě na něm + β t jako jedno se však často ukáže, že studenti mají probém vnímat výraz ( ) číso, kterým je možné rovnici vyděit a místo, aby rovnici vyděii, tak děení sožitě obcházejí. Shrnutí: Při vyjadřování neznámé ze vzorce musíme s oběma stranami provádět stejné úpravy. 5