737 Přímkoá smršť Předpokldy: 070306 Pedgogiká pozámk: Hodi zikl jko reke prí průhod čeií Třeoi se třído 42011 Ukázlo se, že žái mjí prolémy s přiřzeím spráého ektor k růzým drhům roi (prmetriké yjádřeí, oeá roie) přípdeh, kdy mjí sestot roie íe ež jedé přímky, eo když site eodpoídá stdrdím postp požitém při odozoáí těhto roi elá site krásě ilstrje způso, jkým žái zásilňjí mtemtik I když jsem se elo lytiko geometrii sžil ysětlot, že pro prmetriké yjádřeí potřejeme směroý ektor tepre kokrétí siti záleží, jko ho získáme, mozí žái zdory mé sze yili tomtiký postp, máme d ody, děláme z ih ektor te dosdíme do prmetrikého yjádřeí Podoě si ytoří tpo tomtik oeo roii Myslím, že ejde o žádý sdo odstritelý edosttek, e 42012 jsem se sžil tomto efekt zráit, přesto dě třetiy třídy měly zčátk prolémy ěkolik žáků jsme mseli stereotyp průěh hodiy (eo i po í) oprd lámt Prolém je zel priipiálí Místo logikého postp, který je možé požít růzě podle kokrétíh sití který yhází z toho, že ejdříe si rozmyslím, jký ektor potřeji jít pk se ho tepre sžím získt (postp, který yždje zmyšleí iterpreti site), se žáíh ytoří podmíěy reflex, spoštěý sloem prmetriká (oeá), který pro dojii zdýh odů tomtiky ez jkéhokoli přizpůsoeí siti yplie roii Uedeý prolém se yskytje msoě Ve 42011 se týkl elké ětšiy třídy, při ičeí jsem zjistil, že jiýh třídáh se projeje i jedičkářů Oáám se, že eí řešeím podoé příkldy zdát ihed při odozoáí roi, protože tkoý postp yoláá žáíh spíše poit prosté ezmoi z ezldtelého hos Při eškeré komiki se stdety je tře pmtot, že se čí orieti řešeí příkld ( e sestoáí roi) hlě překoát psedopridl, proto je tře eřešit prolém z ě, je jim s ím pomáht o jsme se ztím čili z lytiké geometrie? Přímk P můžeme yjádřit děm způsoy (pomoí jedoho ze do hrkteristikýh ektorů) ; : p Prmetriky pomoí směroého ektor ( ) x + t, 1 1 2 + 2; 1 2 y t t R Pokd omezíme hodoty prmetr, můžeme yjádřit i části přímky (příkld úsečk) ; : Oeě pomoí ormáloého ektor ( ) x + y + 0 od leží příme, když yhoje její roii (jed zd prmetriké eo oeé) Průsečík do přímek yhoje oěm roiím (jed zd prmetrikým, oeým eo jejih komii) 1
Vzájemo poloh do přímek zjistíme z počt průsečíků eo ze zájemé polohy jejih hrkteristikýh ektorů Ni dlšího jsme se ztím ečili, šeho osttí je triiálí důsledek předhozího emá smysl si to pmtot Pedgogiká pozámk: Pokd má ěkdo poit, že se toho čil podsttě íe, jde o zmeí toho, že ezproáá iforme tk, jk má Př 1: Jso dáy ody [ 1;3], [ 3;5] prmetriké yjádřeí osy úsečky Njdi prmetriké yjádřeí přímky Njdi Vyjádřeí přímky směroý ektor je ektor ( 4;2) ( 2; 1) yházíme z od [ 1;3], prmetriké yjádřeí přímky : x 1+ 2t y 3 t, S Os úsečky přímk kolmá úsečk, proházejíí jejím středem Prmetriké yjádřeí: 4;2 směroý ektor kolmý úsečk : ( ) osy ( 1;2 ), střed úsečky : S [ 1;4 ], prmetriké yjádřeí osy úsečky : x 1+ t y 4 + 2 t, Př 2: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 3;0] které leží ýšk Njdi oeo roii přímky, Přímk, které leží ýšk : přímk kolmá str proházejíí odem Normáloý ektor ýšky ektor, kolmý ýšk ektor rooěžý se stro, ( 6; 5) roie 6x 5y + 0 Dosdíme od [ 1;3] : 6 1 5 3+ 0 9 Roie přímky, které leží ýšk : 6x 5y + 9 0 2
Př 3: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 3;0] Njdi oeo roii přímky Ndi oeo roii přímky, která prohází odem je s přímko rooěžá Přímk : 2; 3 ( ) ( 3;2) roie 3x + 2y + 0 Dosdíme od [ 1;3] : 3 1+ 2 3 + 0 9 Roie přímky : 3x + 2y 9 0 Rooěžk s přímko odem : stejý ormáloý ektor ( 3;2) 3x + 2y + 0 Dosdíme od [ 3;5] : ( ) 3 3 + 2 5 + 0 1 roie Roie přímky rooěžé s proházejíí odem : 3x + 2y 1 0 Př 4: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 2;0] Njdi prmetriká yjádřeí přímky přímky, které leží ýšk Urči sořdie pty ýšky Přímk : ( 4;2) ( ) požijeme od [ 1;3] : 2;1, x 1 2t y 3 + t; je kolmá : ( 1;2 ) Přímk, které leží x 2 + s požijeme od [ 2;0] : y 2 s; s R Pt ýšky je průsečíkem oo přímek řešíme sost roi 1 2t 2 + s 3 + t 2s t 2s 3 Dosdíme do prí roie: ( s ) 1 2 2 3 2 + s 1 4s + 6 2 + s 5 5s s 1 Doszeím do roie přímky, které leží rčíme sořdie od 0 x 2 + s 2 + 1 3 y 2s 2 1 2 Pt ýšky má sořdie 0 [ 3;2], 3
Př 5: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 3;1] str jejih průsečík (střed kržie opsé) o o Njdi oeé roie os do Os stry: prohází středem stry je str kolmá Os stry : ( 4;2) os ( 2;1), roie 2x + y + 0 Dosdíme od S [ 1;4 ] : ( ) Os stry : 2x + y 6 0 2 1 + 4 + 0 6 Os stry : ( 6; 4) ( 3; 2) roie 3x 2y + 0 Dosdíme od [ 0;3] os S : 3 0 2 3 + 0 6 Os stry : 3x 2y + 6 0 2x + y 6 0 / 2 Hledáme průsečík řešíme sost roi: 3x 2y + 6 0 4x + 2y 12 0 (sečteme roie) 3x 2y + 6 0 x 6 0 x 6 y-oo sořdii spočteme doszeím do roie jedé z os: ( ) Střed kržie opsé trojúhelík leží odě S [ 6; 6] Př 6: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 0; 4] 2 6 + y 6 0 y 6 Njdi oeo roii přímky prmetriké yjádřeí přímky, které leží ýšk Njdi průsečík oo přímek (pt ýšky ) Přímk : ( 3; 9) ( 3;1) roie 3x + y + 0 Dosdíme od [ 0; 4] : 3 0 ( 4) 0 Přímk : 3x + y + 4 0 + + 4 Přímk, které leží : je kolmá přímk její směroý ektor je rooěžý s ormáloým ektorem přímky 3;1 1;3, ( ), prohází odem [ ] přímk, které leží : Hledáme průsečík řešíme sost roi: x 1+ 3t y 3 + t, 3x + y + 4 0 x 1+ 3t y 3+ t Z drhé třetí roie dosdíme do prí: ( t) ( t) 3+ 9t + 3 + t + 4 0 10t 10 t 1 3 1+ 3 + 3 + + 4 0 4
Dopočteme sořdie průsečík: Pt ýšky se hází odě [ ] ( ) ( ) x 1+ 3t 1+ 3 1 2 y 3+ t 3 + 1 2 0 2;2 Př 7: Je dá trojúhelík, [ 3;1], [ 6;4], [ 2; 4] Njdi oeé roie přímek, kterýh leží ýšky Urči jejih průsečík (ortoetrm trojúhelík) Oěř, že tímto odem prohází i přímk, které leží ýšk Přímk, které leží ýšk Přímk je kolmá str : ( 9;3) ( 3;1) roie 3x + y + 0 Dosdíme od [ 2; 4] : ( ) ( ) 3 2 + 4 + 0 2 Přímk, které leží ýšk : 3x + y 2 0 Přímk, které leží ýšk Přímk je kolmá str : ( 5; 5) ( 1;1) roie x + y + 0 Dosdíme od [ 6;4] : ( ) 6 + 4 + 0 2 Přímk, které leží ýšk : x + y + 2 0 3x + y 2 0 Hledáme průsečík řešíme sost roi: roie odečteme x + y + 2 0 4x 4 0 x 1 y-oo sořdii spočteme doszeím do roie jedé z ýšek: 1+ y + 2 0 y 1 Ortoetrm trojúhelík leží odě O[ 1; 1] Přímk, které leží ýšk Přímk je kolmá str : ( 4; 8) ( 1; 2) roie x 2y + 0 Dosdíme od [ 3;1] : 1 3 2 1+ 0 1, Přímk, které leží ýšk : x 2y 1 0 x 2y 1 1 2 1 1 0 přímk prohází odem O Dosdíme od [ 1; 1] O : ( ) ( ) Př 8: Je dá trojúhelík, [ 1;3], [ 3;5], [ 3;1] příčky SS Oěř, že je rooěžá se stro Oeá roie přímky roie: x + 2y + 0 Dosdíme od [ 0;3] Njdi oeo roii středí S S : S S [ 0;3] [ 2; 2] ( 2;1) ( 1;2 ) S : 0 + 2 3 + 0 6 Roie středí příčky SS : x + 2y 6 0 5
Směroý ektor přímky ( 2;1) je ásoek ektor ( 4;2) rooěžá se stro středí příčk je Shrtí: Při sestoáí roie přímky msíme regot kokrétí siti e opkot stále stejý postp 6