2.22. Planetány pohyb. Podľa N ew tonovho gavitačného záona dva hotné eleenty sa piťahujú silou, toej absolútna hodnota je piao úená súčinu ich h otností a niao úená uhej ocnine ich vzájo nej vzdialenosti. Vzhľado na tento silový záon, toý sa spavuje pohyb planét, aždý stedový pohyb h otného bodu, pi too sila pôsobiaca na h otný bod je niao úená uhej ocnine jeho vzdialenosti od pevného bodu, nazýva sa planetány pohybo. V to to článu, vychádzajúc z páve podanej definície planetáneho pohybu, odvodí e K leove záony, platiace pe planetány pohyb. Závislosť sily od vzdialenosti h otného bodu od stedu pohybu je teda pi planetáno pohýbe vyjaená vzťaho t. j. d 2 f TTä" a at* ------------ 3 3 ( Zýchlenie a podľa vzoca (.4.4) ôže sa vyjaiť ao súčet adiálneho a piečneho zýchlenia: d 2 d( \ j p + / dco, ^ + Au^Kvxp) V našo pípade, eďže ide o stedový pohyb, veto v je jed n otový veto, ol ý na ovinu planetáneho pohybu. Pi planetáno pohybe je toto zýchlenie 3 2 p teda / d 2 \ w Á I d oj n \,. ~ o j ) 9 + ( ~ ď + 2 (0 d t ) ( v x p ) p 7 ^ alebo \ t dco, ) p+ (^ + \, 2 <0 d ŕ ') ( v x p ) u (2) T áto vetoová difeenciálna ovnica pedstavuje dve difeenciálne ovnice saláne dco
20 2. Dynaiu Difeenciáli ovnicu áhy planetáneho pohybu dostanee v polánych súadniciach eli inovaní času z tých to dvoch posledných ovníc. Z ovnice (3) v yp lýva dco co log 2 - f log co const 2co M~ d cp át ~ 2 (5) de je dvojnásobo absolútnej h odn oty plošnej ýchlosti p - i - ( x v). Za iičelo úpavy ovnice (4) napíšee dí d<p d<p ' dí z čoho. eď použije e výsledo (5), postupne dostávae dŕ (Í99 2 d 2 ^ d 2 j/ \ do? '. dŕ2 ácp2 \ fj ' át 2 2 d2 d cp2 (v) K eď dosadíe aj tento vzťah do ovnice (4), dostanee 2 dj ------L * d a (p* a po vynásobení zlo o d 2 / Jl \ ácp2 \ p / á2 I á(p2 \ O 2 ~~~ 0 a upavení 2 \ 2 / Táto difeenciálna ovnica á tva už viee, je ------š 2 d 2?/ ( \ \ \ \ 2 f ~ 2 jf (6) V a j ej všeobecné iešenie, ao
2 2.22. Planetány p o h yb Všeobecné iešenie ovnice (6 ) je teda 7 ----- 2~ 008 {<p + n ) z čoho 2 "T ~ 2 --- OS ( 9? -f- <J90) A2 ^ cos ( 9? - f <p0) Pe užeľoseču ao geo eticé iesto b od ov v ovine, toé sa vyzna čujú stály podielo e svojich vzdialeností od bodu a piay, z ob. 2.39 pi použití polánych súadníc vyp lýva p + cos (99 - f (p0) alebo --- E OS ( 9? -f- <Po) Pi e < elipsa, je užeľoseča paabola, > hypebola. Z poovnania ovníc (7) a ( 8 ) vyp lýva, že áha pi pohybe planetáno je užeľoseča, pn e < dipsa' paabola, > hypebola. (9) Jej paaete učuje podiel p f 2 2 ( 0 ) V ovnici (7) vystupujúce integačné onštanty O, J. a <p0 v yp lývajú zo začiatočných pod ieno, z polohy bodu 0 a jeho ýchlosti v0 na začiatu počítania času. O onštante už viee, že sa ovná dvojnásobu absolútnej hodnoty v našo pípade onštatnej plošnej ýchlosti. Teda 0 x v 0 i 0v0 sin a0, a v čase t 0 vetoy 0 a v0 zvieali spolu uhol a0. Ostáva ešte učiť onštanty A a (p0.
22 2. Dynaia K eď ýchlosť, v zviea so seo polohového vetoa uhol oc, podľa ob. 2.40 W do? dŕ do? 8 ""- ' ~ dŕ ---- teda Ob. 2.40 Deivovaní ovnice (7), t. j. ovnice d<p (H) tg oc A cos (cp + cpq). podľa cp dostávae Jc oh H ä S č + A s i n {(p + ^ d<p d.7* A cos ( v + V J - f y A cos {cp - f <p0)j A sin (cp + cp0) tg a d cp A sin (cp -f- (fo) ( 2) A cos (cp + n ) q. Pedstav e si, že se čas pi sledovaní jdlanetáneho pohybu začali počítať v oaihu, eď bolo cp 0 a súčasne 0 a a a0. Ostávajúce integačné onštanty A a cp0 ôžu sa poto učiť po ocou ovníc (7) a ( 2 ), a do nich dosadíe tieto začiatočné pod ieny, teda z ovníc n Aw* tg a0 A sin cp0 A c s <j> Dáha pi planetáno poh ybe je elipsa, eď <. Jej hlavná polos á podľa ovnice ( 8 ) a ob. 2.39 dĺžu a, pe toú platí a - e T + T e 7 Výstednosť elipsy je e e lp a a vedľajšia polos b /a 2 e* n l 2
Doba obehu je T 7xab ~Č\2 taže 47T2M c 4...^ 472(e^)3 j _ 472 3 a' Planéty pi svojo obehu oolo Slna sú pod účino N ewtonovej gavi] \ í 77 tačnej sily, f x 3. de M je h otnosť Slna. h otnosť planéty a vzdialenosť planéty od Slna. Z poovnania s ovnicou f -^ -v y p lý v a. že pi pohybe planét oolo Slna y.m. Planéty pohybujú sa teda oolo Slna po áhach daných ovnicou O2 ------------------------~ <3> A ^ 3 T cos(<? + ^ s obežnou dobou, toej uhá ocnina je T2 4tc2 a3 (4) Podlá našich výsledov pe ich poh yb platia K leove záony, toé se dostali ao dôsledo gavitačného N ewtonovho záona.. Podľa ovnice (3) áhy planét sú užeľosečy. 2. Ich plošné ýchlosti sú stále [ovnica (5)]. 3. Duhé ocniny obežných dôb sú úené tetí ocniná hlavných polosí elipticých áh planét [ovnica (4)]. Pi odvodzovaní K leových záonov se pedpoladali, že centálne teleso h oty M (Slno) je v nejao ineciálno systée nehybné. Tento pedpolad v sutočnosti nie je splnený, lebo podľa v ety o ťažisu, s toou sa obozná i e v čl. 3.2, ed na sústavu h otných b od ov nôsobí nijaá vonajšia sila, nie jeden z nich, ale ich spoločné ťažiso je v učito ineciál no systée v pooji. Táto oolnosť spôsobuje, že Kleove záony, najä jeho tetí záon, v slnečnej sústave nlatia pesne. Ale petože hotnosť Slna je noene väčšia ao h otnosť všetých jeho planét spolu, o d chýly sú alé.
24 3. Dyna ia sústavy h otných hodov Úloha. Vypočítae tva áhy a obežnú dobu planéty, o toej viee, že v oaihu, ed ju pozoujee, je vo vzdialenosti 00. 06 od stedu Slna a že sa pohybuje ýchlosťou 2. 0 /deň v see, toý s jej spievodičo vzťahujúci sa na sted Slna zviea uhol 20. Pi počítaní budee pedpoladať, že vo vzdialenosti 0 od stetiu Slna intenzita jeho gavitačného poľa je 0,0 /s2. R i e š e n i e : Poloha a súčasná ýchlosť učuje dvojnásobo absolútnej hodnoty plošnej 2. 09 /3 ýchlosti planéty, 0v0 sin a0 0-2. 05 2/s. 24. 3 6 0 0 2 Vo vzdialenosti 0 intenzita gavitačného poľa Slna je * teda M 022. 0,0 3/s2 020 3s~2. V ovnici () vystupujúca onštanta & je v našo pípade y.m, teda 020 3 s - 2. XM Eliinovaní <p0 zo vzocov vyjaujúcich 0 a a0 dostávae Postupne teda vychodí: podlá vzoca (0) p j - jt JL (9) e A 2 0,62. 0, podlá vzoca,6. 0 -. ÍO"20. 4. 030 0,644 a teda 4. 00. Podľa týchto výsledov hľadaná áha je elipsa s polosai - - b 2 A gog 6,83. 00 68,3. 06 0,585 52,2. 06 ^ ]/l - 4. 00 f2 a obežná doba je T W 32 3. D Y N A M I K A S Ú S T A V Y H M O T N Ý H B O D O V 3.. Ťažiso. B od T na spojnici dvoch h otných bodov, toý túto spojnicu delí v obáteno po ee ich h ôt, nazýva sa ťažiso (h otný sted) týchto bodov. P odlá ob. 3. je A XT : A 2T 2 : x, A XT : A XA 2 2 : ( x + 2) A XT A XA 2 ^ x - - 2