2. Dynamika. d V =. dr. -grad V E =

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. Dynamika. d V =. dr. -grad V E ="

Karel Sedlák
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 88 2. Dynaika Vzťah edzi intenzitou a potenciálo v gavitačno poli. V definícii gavitačného potenciálu V A/ vystupujúca páca A je páca sily f, ktoá pekonáva gavitačnú silu, teda f = E, ak je intenzita poľa. Podľa toho potenciál v ľubovoľno gavitačno poli vyjadu jú vzoce V = = o íf.d = f E.d = le.d J J J o 0 ( 1) Posledný z nich hovoí, že potenciál v gavitačno poli sa ovná aj dáhovéu integálu intenzity gavitačného poľa počítané u pozdĺž čiay, ktoá spája daný bod gavitačného poľa s bodo zvolený za základ, esp. pi absolútno gavitačno potenciáli, pozdĺž čiay, ktoá začína v dano bode gavitačného poľa a ide do nekonečna. Zeje je spávny aj vzťah d V =. d Difeenciál potenciálu, skalánej funkcie polohy, je však aj d1f7 = -d5v Ada; +, dx Ô V By A dy A / 1 T t 7) /\. d - -f -d5v dz = (gád dz teda (gad V). d =. d Petože tento vzťah platí pe každé d, je E = -gad V (2 ) Intenzita v gavitačno poli sa ovná gadientu potenciálu s opačný zna ienko. Tento vzťah á veľkú paktickú dôležitosť, lebo uožňuje odvodiť intenzitu gavitačného poľa, ktoá je vekto, od potenciálu, ktoý je skalá, a piae počítanie veličín, ktoé sú skalái, je o noho jednoduchšie ako počítanie veličín pova h y vektoovej. Plochy, ktoých všetky b o d y vykazujú ten istý potenciál, plochy s ovna ký potenciálo všetkých svojich b odov, nazývaj ú sa ekvipotenciálny i hla dina i. Gadient skalánej funkcie poloh y bodu udáva se a absolútnu hodnotu najväčšieho stúpania tejto funkcie, a je teda na plochu s konštantnou funkčnou hodnotou v žd y kol ý. Peto vzťah ( 2 ) hovoí aj to, že siločiay gavitačné, so seo intenzity všade ovnobežné, petínajú ekvipotenciálne hladiny všade kol o.

2 2.14. Vzťah edzi intenzitou a potenciálo v gavitačno poli 89 Podľa vzoca (2.13.6) tok vektoa intenzity gavitačného poľa znúta na vonkajšiu stanu uzavetej plochy S je j ) E. d S = 4:izxM = 4:7tx j q d ak n značí hustotu h oty vo vnúti plochy a d difeenciál obje u. Podľa Gaussovej vety vektoového počtu plošný integál na ľavej stane tejto ov nice ožno nahadiť obje ový integálo z div E = V. E, počítaný cez vnúto uzavetej plochy, f E. d S = / (div ) á = f (div gad F) á. Spávna je peto aj ovnica / (div gad F) d = J o á alebo, keďže oba integály sa vzťahujú na ten istý obje. div gad F = V. V F A V = 4tt xq Rovnica A V 4t- xo (3) je základnou difeeneiálnou ovnicou gavitačného poľa. Píklad 1. V ypočíta e gavitačnú intenzitu a potenciál vo vnúti a v okolí ovnoodej hotnej gule s polo eo R a h otnosťou M. Zo súenosti v y plýva, že intenzita je všade ovnobežná s píslušný polo eo gule. Podľa vzoca (2.13.6) tok vektoa cez povch yslenej gule, s guľou hotnosti M sústednej a s polo eo > R, je T = 4 u x M. Podľa definície tento tok je však T = J E. d S = J E d $, alebo keďže absolútna hodnota inten zity je vo všetkých bodoch gule s polo eg, o ovnaká, T = 47iE 2. Poovnaní G ) obidvoch výsledkov dostáva e pe > M (4) a) Ho ogénna h otná guľa budí teda vo svo-* jo okolí páve také gavitačné pole ako h otný bod s ovnakou h otnosťou, k toý b) by bol v stede gule. Je to výsledok, k toý Qb 2.21 se už použili v čl V tejto súvislosti dokážee ešte, že dve hoogénne hotné gule s ľubovoľ nýi polo e i účinkujú na seba silai ako dva hotné b od y v ich stedoch. Xech je f.2 sila, ktoou účinkuje guľa Gx na guľu G2 (ob a ). Keďže silové pole gule G x ôžee v našo pípade nahadiť silový poľo hotného bodu M x s ovnakou h otnosťou, silu f 2 ôžee počítať podľa náhadnej

3 sohév (ob b ). Podľa tejto sché y počítaná sila f 2 á však podľa pincípu akcie a eakcie ovnakú absolútnu hodnotu ako sila, ktoou guľa G2 účinkuje na h otný bod M 1, a pi jej počítaní ako už viee ôžee aj guľu G2 nahadiť h otný bodo s ovnakou h otnosťou M 2 v jej stede. Skutočne teda f 2 x M xm 2, ak je vzájo ná vzdialenosť stedov obidvoch gúľ. Vátie sa však k štúdiu gavitačného poľa jedinej hotnej gule. Budee počítať teaz intenzitu vo vnúti gule. Aplikovaní vzoca (2.13.6) na yslenú guľu s polo eo < R dostáva e ovnicu f -4 7x2E 3 7xRd podľa ktoej je pe < R M 1P V okolí hoogénnej h otnej gule je gavitačné pole ovnaké ako v okolí hotného bodu. Peto v okolí aj na povchu našej gule je potenciál (vzhľado na nekonečno) daný vzoco (2.13.8) Potenciál vo vnúti gule nájdee podľa jeho definície ako pácu pi penášaní h otnostnej jednotky z iesta vzťažného na iesto, v ktoo potenciál páve hľa dáe. A k si za vzťažné iesto zvolíe sted gule, bude Vs = J E. d. a teda potenciál vzhľado na nekonečno V = V, + C = j. d + C = fe d + C ô ô lebo vektoy a d sú nesúhlasne ov n o bežné. Potenciál V, kedže intenzitu vo vnúti gule už poznáe, je teda

4 Viťah edzi intenzitou a potenciálo v gavitačno poli 91 Konštantu C nájdee y. podienky, že na povchu gule je potenciál V (R ) = Jf... takže n 7 H ~ -R ~ * ~2R = * W Potenciál vo vnúti gule je teda ( < R) M I 2 3 í\ -B3 - - RI! Závislosť absolútnej hodnoty intenzity a potenciálu od vzdialenosti od stedu gule znázoňuje ob Maje na ysli gavitačné pole h otných telies, ktoé sú vo zvoleno ineciálno súadnicovo systée pe nejaké píčiny v pokoji. Keď sa v to to h otný bod s h otnosťou pesunie z iesta s polohový vektoo na iesto zvolené za základ s poloh ový vektoo 0, gavitačné sily v y k o najú pácu o U n / E. d = I E. d = V (6 ) Schopnosť vykonať pácu sa vo fyzike vyjaduje všeobecne slovo enegia a eia sa páve touto pácou. Ako se sa páve pesvedčili, schopnosť gavi tačného poľa vykonať pácu závisí od poloh y h otného bodu vloženého do poľa, ako aj od jeho polohy, ktoá bola zvolená za základnú. N azýva sa peto polohová alebo aj potenciálna enegia a z paktických píčin, ktoé ozobeiee až v čl. 3.4, pisudzuje sa niekedy celá h otné u bodu, ktoý sa v gavitačno poli nachádza a je učená vzoco ( 6 ). Podľa vzocov (2.13.1) a (2.14.2) sila pôsobiaca na h otný bod s hotnosťou v gavitačno poli je f E = gad V = gad ( V ) = gad U (7) Slovai: Sila pôsobiaca na hotný bod v gavitačno poli sa ovná gadientu jeh o polohovej enegie v toto poli vzatéu s opačný znaienko. Z poj u polohovej enegie h otného bodu v gavitačno poli bezpo stedne v 3plýva. že páca gavitačných síl pi pechode hotného bodu s hotnosťou z iesta s poloh ový vektoo x na iesto s polohový vektoo 2 je 412 = U 1 U.z. Podľa vzoca (2.10.3) táto páca pi voľno pohybe h otného bodu je >412 K * K x. Z poovnania obidvoch vzťahov vyplýva K 2 K l = l \ U 2 alebo + A\ = U 2 + K o const (8 )

2. Dynaika R ovnica (S) vyjaduje zákon o zachovaní súčtu polohovej (p oten ciá ln ej) a p o li t/bovej (k in etick ej) enegie h otného bodu pi jeho voľno pohybe v gavi tačno poli h otných telies ktoé

5 2. Dynaika R ovnica (S) vyjaduje zákon o zachovaní súčtu polohovej (p oten ciá ln ej) a p o li t/bovej (k in etick ej) enegie h otného bodu pi jeho voľno pohybe v gavi tačno poli h otných telies ktoé sú v ineciálno systée v pokoji. Pe nechávae čitateľo dôkaz platnosti toh to zákona aj pe pohyb tuhého telesa v tako to poli. Na to to ieste zdôazníe už len. že zákon o zachovaní (konzevácii) enegie vyjadený ovnicou ( 8 ) je dôsledok toho, že h otný bod sa v gavi tačno poli vyznačuje svojou polohovou enegiou, t. j. veličinou závislou len od jeho polohy. Polia a silové sústavy tých to vlastností sa všeobecne nazývajú konzevatívne Pohyb hotného bodu v silovo poli zesko. Pi pohybe voľného hotného bodu v silovo poli zesko účinkuje na h otný bod gavitačná sila f g, ktoá sa ovná súčinu intenzity gavitačného poľa zeského E a h ot nosti pohybujúceho sa h otného bodu, f 0 E. Podľa N ew tonovho zákona sily udeľuje táto sila pohybujúce u sa h otné u bodu vzhľado na ineciálny systé zýchlenia a = = E. Petože Ze sa otáča okolo svojej vlastnej osi uhlovou ýchlosťou co a oke toho obieha okolo Slnka, zýchlenie vzhľado na Ze, aj keď nepizeáe na odpo vzduchu, je iné. Pe pohyb vzhľado na povch zeský N ew tonov pincíp zotvačnosti neplatí. Piesto Zee nie je ineciálny. Podľa ovnice (1.11.4) zýchlenie na Zei pozoované je a' = a o0 + ( c o X ' ) X w 2co X v' e X ' kde a E je zýchlenie vzhľado na stálice, o 0 zýchlenie stedu Zee, co uhlová ýchlosť otáčania Ze e okolo jej osi, ' p oloh ov ý vekto pohybujúceho sa h otného bodu vzhľado na sted Zee a v' jeho ýchlosť vzhľado na Ze. K eď v poslednej ovnici zýchlenie o 0 zanedbáe, t. j. odhliadnee od skutočnosti, že sted Zee sa nepohybuje stálou ýchlosťou po piake, ale obieha po elipse okolo Slnka, a oke toho aj posledný člen, lebo uhlové zýchlenie e je zanedbateľne alé, dostanee a' = a (co X ' ) X w 2io X v' = E -f- ( w X ' ) X w 2(co X v') (1) Vynásobení poslednej ovnice h otou vychádza a' E -j- a(co x ') X co 2(co X v') = f g + f 0 + f e (2 ) Ak chcee zachovať platnosť N ew tonovho zákona sily, napísaného v tvae a, aj pe poh yb vzhľado na povch zeský, usíe sa postaviť na stanovisko, že na telesá v piestoe Zee oke gavitačnej sily f g účinkuje f =

Podobné dokumenty

) p+ (r^r + t. j. d 2r. TTä" = a m r3. Zrýchlenie a podľa vzorca (1.4.4) môže sa vyjadriť ako súčet radiálneho a priečneho zrýchlenia:

) p+ (r^r + t. j. d 2r. TTä = a m r3. Zrýchlenie a podľa vzorca (1.4.4) môže sa vyjadriť ako súčet radiálneho a priečneho zrýchlenia: 2.22. Planetány pohyb. Podľa N ew tonovho gavitačného záona dva hotné eleenty sa piťahujú silou, toej absolútna hodnota je piao úená súčinu ich h otností a niao úená uhej ocnine ich vzájo nej vzdialenosti.