Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø vidìl, jakým zpùsobem je titul zpracován a mohl se také podle tohoto, jako jednoho z parametrù, rozhodnout, zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá, že není dovoleno tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále šíøit, veøejnì èi neveøejnì napø. umis ováním na datová média, na jiné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BEN technická literatura redakce@ben.cz

Kapitola 2 Z klady teorie fuzzy mno in a jazykov prom nn Tato kapitola je stru n m vodem do teorie fuzzy mno in a modelov n s mantiky p irozen ho jazyka pomoc fuzzy mno in. ten e, kter se zaj m o podrobn j informace, odkazujeme na odbornou literaturu. 2.1 Fuzzy mno iny a fuzzy relace V tomto l nku zavedeme pojem fuzzy mno iny, souvisej c pojmy a z kladn operace s nimi. Nejprve v akzavedeme n sleduj c symboly, kter budeme d le asto pou vat. V teorii fuzzy mno in hraj v znamnou lohu uspo dan mno iny, pop. svazy. Proto budeme asto pou vat b n symboly pro svazov operace. Konkr tn to znamen, e v raz a_b ozna uje supremum prvk a a b ). P ipome me, e v line rn uspo dan mno in (nap. sel) je supremum dvou prvk rovno jejich maximu. Podobn a^b ozna uje inmum prvk a a b a v line rn uspo dan mno in je inmum dvou prvk rovno jejich minimu. Ob operace zn m m zp sobem roz i ujeme tak na mno iny (inekone n ). 2.1.1 Pojem fuzzy mno iny st edn m pojmem ve fuzzy logice je pojem fuzzy mno iny. Jak ji n zev vypov d, jde o jist zobecn n klasick ho pojmu mno iny. Jeho motivace vych z z n sleduj c my lenky. P edstavme si, e n kdo po n s chce, abychom specikovali mno inu v ek v ech velk ch lid. Nejprve m eme ci, e ka d vysok lov k m v ku mezi 160 cm a 240 cm. Odrazov m m stkem bude mno ina U = [160 240] (cm). Av ak d le ji naraz me na nep ekonateln pot e. Zjist me toti, e nejsme ) Pochopiteln za p edpokladu, e tato operace m pro tyto prvky smysl. Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura 17

schopni specikovat velk lidi p esn. Jestli e se nap. rozhodneme, e velk lov k m v ku minim ln 175 cm, lze ihned polo it ot zku: A co v ka 174.6 cm? Pouh m okem nejsme schopni v ky 175 cm a 174.6 cm od sebe odli it. Av ak na z klad na eho rozhodnut by lov k maj c prvn v ku byl velk, zat mco druh ne dosp v me tak k rozporu. Podotkn me, e takov to rozpor by m l fat ln d sledky. Nap. hranic pro odveden brance do arm dy byla v dy v ka 150 cm. Av ak p i snaze o absolutn p esnost bychom nap. lov ka vysok ho 150.05 cm odvedli, zat mco lov ka maj c ho 149.95 cm ne, p esto e pouh m okem a ani b n m m en m bychom ob v ky od sebe nerozli ili. Proto v b n praxi nelze ch pat slo (v na em p pad danou hranici) pln p esn a asto je lep pou t v gn slova jako mal, velmi velk, apod. V teorii fuzzy mno in mus me vyj t z mno iny v ech mysliteln ch v ek U = [40 240] (cm), kterou nazveme univerzum. Ka d mysliteln v ce, tj. v ce z v e uva ovan ho univerza p i ad me slo z intervalu [0 1], kter bude vyjad ovat stupe pravdivosti tvrzen, e dan v ka ozna uje velk ho lov ka. Stupe pravdivosti 0 znamen naprostou nepravdu (naprost nesouhlas), zat mco stupe 1 znamen naprostou pravdu (bezv hradn souhlas). sla mezi t mito dv ma hodnotami vyjad uj ste n souhlas, kter je t m v t, m je v t stupe pravdivosti. Denovan stupe pravdivosti je tedy stupe p slu nosti (viz d le) dan v ky do fuzzy mno iny v ech v ek velk ch lid. Podle na eho p kladu m eme ci, e nap. 165 cm je vysok lov k je pravda ve stupni 0.3, zat mco 190 cm je vysok lov k je pravda ve stupni 1, tj. absolutn pravda, nebo tak pravda na 100%. asto je toti u ite n vyjad ovat stupn pravdivosti (p slu nosti) v %. P klad 2.1. Fuzzy mno inu v ek mal ch lid m eme charakterizovat pomoc n sleduj c funkce, kter libovoln v ce (v cm) p i ad stupe pravdivosti podle tohoto p edpisu: A mal (x) = 8 >< >: 1 0 1 ; 1 2 1 2 ; 185;x 10 jestli e x 165 jestli e x>185 2 10 g jestli e 165 <x<175 2 g jestli e 175 x 185: ; x;165 Podobnou vahu lze prov st i s jin mi slovy p irozen ho jazyka, nap. v ka, v k, nebo libovoln slovo, jeho obsahem jsou n jak zm en hodnoty. To je obzvl t zaj mav pro fuzzy regulaci y). P i denici fuzzy mno iny tedy postupujeme takto: Nejprve denujeme mno- inu U naz vanou univerzum diskurzu nebo stru n univerzum. To m e b t y) Pojem fuzzy mno iny je pochopiteln obecn j, av ak pro pot eby fuzzy regulace se zpravidla omezujeme jen na fuzzy mno iny denovan na univerzu tvo en m sly. 18 Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura

mno ina prvk libovoln ho druhu. Nap. mno ina rostlin, lid, nebo velmi asto jist mno ina sel. Tento p pad je v znamn zejm na pro fuzzy regulaci, kde se pracuje s pojmy odchylka, zm na odchylky nebo ak n z sah, a to jsou jist sla p edstavuj c v sledky m en. Fuzzy mno ina je z matematick ho pohledu funkce A : U ;! [0 1]: (2.1) e eno slovy: fuzzy mno ina je tvo ena prvky x vyb ran mi z mno iny U, x 2 U, z nich ka d m p i azeno slo a 2 [0 1] naz van stupe p slu nosti prvku x do fuzzy mno iny A. Z rove je A(x) stupe pravdivosti toho, e x pat do A. Stupn pravdivosti a stupn p slu nosti do fuzzy mno iny jsou tedy ztoto n ny. Funkce (2.1) se n kdy naz v funkce p slu nosti. To znamen, e fuzzy mno ina je ztoto n na se svou funkc p slu nosti. Stupe p slu nosti prvku x 2 U do fuzzy mno iny A se zapisuje jako funk n hodnota A(x). V odborn literatu e se n kdy pro funkci p slu nosti pou v speci ln symbol. Pak se stupe p slu nosti prvku x do fuzzy mno iny A zapisuje jako A (x). To je v ak jednak nep esn a matouc a nav c velmi nepraktick, nebo nap. u slo it ji denovan ch fuzzy mno in se zapisuje nep ehledn v raz do indexu, nap. (A[B)\(B[ D). Proto v t to knize nebudeme symbol pou vat. Fuzzy mno ina je zobecn n m klasick mno iny tak v n sleduj c m smyslu. V teorii mno in se denuje tzv. charakteristick funkce A : U ;!f0 1g mno- iny A vzhledem k U takto: ( 1 jestli e x 2 A A (x) = 0 jestli e x 62 A: To znamen, e A (x) = 1, jestli e prvek x pat do mno iny A a A (x) =0, pokud do n nepat. Je ihned vid t, e funkce p slu nosti fuzzy mno iny je zobecn n m charakteristick funkce. Ztoto n n fuzzy mno iny se svou funkc p slu nosti je p irozen a nen v rozporu s ch p n m klasick ch mno in, kter jsou tak asto ztoto ov ny se sv mi charakteristick mi funkcemi. V imn te si, e p i denici fuzzy mno iny vych z me z univerza, co je klasick mno ina. Tedy fuzzy mno iny roz i uj a nikoliv pop raj pojem mno iny. Fakt, e A je fuzzy mno ina v univerzu U denovan v (2.1) asto zapisujeme symbolem A U. Explicitn se fuzzy mno iny zapisuj takto: A = a 1 x1 ::: a n xn (2.2) kde x 1 ::: x n 2 U jsou prvky, kter m jsou p i azeny stupn p slu nosti a 1 :::, a n 2 (0 1], tj. prvky se stupn m p slu nosti 0 nejsou zahrnuty. P klad 2.2. Uva ujme univerzum U = f0 1 ::: 10g. Pak A = 0:4 1 0:7 2 0:5 4 1 6 1 7 0:1 9 (2.3) Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura 19

je fuzzy mno ina v U do n slo 1 pat se stupn m p slu nosti 0.4, slo 2 se stupn m p slu nosti 0.7, atd. sla z U, kter nejsou v (2.3) uvedena, maj stupe p slu nosti roven 0, tj. do A nepat. Nen -li univerzum kone n mno ina a prvky fuzzy mno iny nelze zapsat v tem (2.2), zapisujeme fuzzy mno inu takto: A = a i xi i 2 I (2.4) kde i je n jak indexov mno ina, pop. lze podrobn ji specikovat vlastnosti x i a a i. Jsou-li nap. prvky x re ln sla a stupn p slu nosti jsou d ny n jakou funkc, lze zapsat fuzzy mno inu takto: n A = f(x) x x 2 R kde R je mno ina v ech re ln ch sel. V odborn, zejm na star literatu e se m eme setkat tak s t mto z pisem: A = Z o f(x) x: x2r Symbol integr lu je zde pou it ve v znamu sjednocen a nikoliv vesv m p vodn m v znamu. Smysl tohoto z pisu je v tom, e se na fuzzy mno inu lze tak d vat jako na sjednocen tzv. fuzzy jednoprvkov ch mno in (viz d le). V knize [31] jesymbol integr lu nahrazen symbolem velk ho sjednocen, tj. A = [ x2rf(x) x: Nejp esn j je v ak z pis (2.2) resp. (2.4), a proto se ho budeme v dal m v kladu dr et. D le itou roli v teorii fuzzy mno in maj n sleduj c t i klasick mno iny: (a) Nosi Supp(A) =fx j A(x) > 0g tj. nosi fuzzy mno iny A je mno ina v ech prvk univerza, jejich stupe p slu nosti do A je nenulov. Tato mno ina je velmi d le it, proto e obsahuje v echny prvky, kter jsou pro n s zaj mav (prvky se stupn m p slu nosti 0 nejsou zaj mav, nebo mohou b t zcela libovoln ). P klad 2.3. Nosi fuzzy mno iny A ve (2.3) je Supp(A) =f1 2 4 6 7 9g: 20 Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura

(b) a- ez z) Aa = fx j A(x) ag (2.5) tj. a- ez je mno ina prvk maj c ch stupe p slu nosti v t nebo roven zadan mu stupni a. Tuto mno inu z sk me z fuzzy mno iny A od ez n m v ech prvk se stupn m p slu nosti men m ne a. P klad 2.4. Nech A je fuzzy mno ina z p kladu (2.2). Pak A 0:5 = f2 4 6 7g A 0:7 = f2 6 7g: Pro a- ezy fuzzy mno iny plat tento jednoduch, av ak d le it vztah: Jestli e a b, paka b A a. Vztah mezi fuzzy mno inou a jej mi ezy je velmi zk. Lze dok zat n sleduj c rovnost: A(x) = _ x2a a a: (2.6) Rovnost (2.6) se naz v v ta o reprezentaci fuzzy mno iny a znamen, e stupe p slu nosti prvku x do fuzzy mno iny A je roven supremu v ech index a ez, do nich pat. Podle t to v ty tedy lze fuzzy mno inu ch pat jako posloupnost jej ch a- ez vizobr.2.1. (c) J dro Ker(A) =fx j A(x) =1g tj. j dro je mno ina t ch prvk, kter ur it pat do fuzzy mno iny A. P edstavuj typick prvky (prototypy) pro danou fuzzy mno inu, nap. typicky velk, mal, dobr apod. Ve v e uveden m p klad by typicky velc lid byli lid, ekn me, v t ne 185 cm. P klad 2.5. J dro fuzzy mno iny A (2.2) je Ker(A) =f6 7g: Je z ejm, e j dro fuzzy mno iny je jej 1- ez. z) V literatu e se n kdy pou v term n - ez. Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura 21

Supp(A) A a1 A a2 Ker(A) x x x Obr zek 2.1: Grack zn zorn n v ty o reprezentaci. Fuzzy mno inu A lze zn zornit jako posloupnost jej ch a- ez. Na obr zku prvek x pat do nosi e a ez A a1 a A a2, kde a 1 <a 2. ekneme, e fuzzy mno ina je norm ln, jestli e Ker(A) 6=. Fuzzy mno ina, kter nen norm ln, se naz v subnorm ln. Je z ejm, e stupn p slu nosti v ech jej ch prvk jsou men ne 1. Poznamenejme, e odhad stup p slu nosti je subjektivn. Z experiment ln ch v sledk v ak plyne, e r zn lid odhaduj stupn obdobn m zp sobem, co znamen, e lid rozum stejn m pojm m podobn. To pochopiteln nen nijak p ekvapiv v sledek, proto e jinak by byl p irozen jazyk nepou iteln a nemohl by slou it jako prost edek pro p enos informace. Je to v ak demonstrace toho, e pojem fuzzy mno iny byl zaveden smyslupln. V na ich vah ch budeme tak pot ebovat pr zdnou fuzzy mno inu, kter je denov na jako fuzzy mno ina, kter neobsahuje dn prvky = 0 x x 2 U tj. je ch p na stejn jako pr zdn mno ina v klasick teorii mno in, a proto je pro ni pou it stejn symbol. D le itou roli hraje fuzzy jednoprvkov mno ina (singleton) a x (2.7) co je fuzzy analogie klasick jednoprvkov mno iny. N kdy se tak k fuzzy jednotka. V raz (2.7) znamen, e pouze prvek x 2 U pat do fuzzy jednoprvkov mno iny, a to se stupn m p slu nosti a > 0. Pokud a = 1, dost v me klasickou jednoprvkovou mno inu. Abychom zjednodu ili vyjad ov n, budeme pou vat pojem obecn fuzzy jednotka pro fuzzy mno inu (2.7),vn m e b t a<1afuzzy jednotka, jestli e a =1. Pojem fuzzy jednotky je velmi d le it zejm na ve fuzzy regulaci, proto e takto lze ch pat v sledek konkr tn ho m en. 22 Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura

P klad 2.6. Nech teplota zm en v peci je 950 C. Pak ji m eme ch pat jako fuzzy jednotku 1 950 C : Posledn pojem, kter v tomto odstavci zavedeme, je konvexn fuzzy mno- ina. Je to d le it pojem, kter m smysl, jestli e univerzum je n jak podmno ina mno iny re ln ch sel. Speci ln se s konvexn mi mno inami setk me p i denici fuzzy sla. Fuzzy mno ina A U R je konvexn, jestli e pro libovoln prvky x y 2 U alibovoln 0 1plat A(x +(1; )y) A(x) ^ A(y): Lze uk zat, e fuzzy mno ina je konvexn, pr v kdy ka d jej a- ez je souvisl interval. Srovn n konvexn a nekonvexn fuzzy mno iny je zn zorn no na obr. 2.2. a konvexn a nekonvexn Obr zek 2.2: Konvexn a nekonvexn fuzzy mno ina. Jestli e U je je mno ina, pak mno inu v ech fuzzy mno in v univerzu U ozna me F(U) =fa j A Ug: (2.8) ist z matematick ho hlediska jef(u) mno ina v ech funkc U ;! [0 1], tj. F(U)=[0 1] U = ff j f : U ;! [0 1]g: Z v rem je t denujme vzd lenost dvou fuzzy mno in. Nech A B U jsou fuzzy mno iny, U je kone n univerzum a p>0 je n jak slo (zpravidla p irozen ). Pak p-vzd lenost fuzzy mno in A a B je slo d p (A B) = X x2u ja(x) ; B(x)j p! 1 p : (2.9) Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura 23

Zpravidla klademe p =1nebop = 2. Vy sla mohou sotva m t n jak smysl. Tato denice pro praxi sta. Pokud chceme uva ovat nekone n univerzum U, pak mus me nahradit sumu integr lem. P itom v ak mus funkce p slu nosti fuzzy mno in A a B b t integrovateln. 2.1.2 Operace s fuzzy mno inami S fuzzy mno inami lze, podobn jako s klasick mi mno inami, denovat z kladn operace sjednocen, pr niku a dopl ku. Krom nich v ak lze denovat je t adu dal ch operac, kter v klasick teorii mno in bu nemaj smysl nebo d vaj v sledek, kter je ekvivalentn s n kterou ze z kladn ch operac. To zna n roz i uje mo nosti teorie fuzzy mno in. Sjednocen Sjednocen dvou fuzzy mno in A a B je fuzzy mno ina C, kter m funkci p slu nosti C = A [ B pr v kdy C(x) =A(x) _ B(x): (2.10) e eno slovy: prvek x 2 U pat do sjednocen fuzzy mno in A B U se stupn m p slu nosti, kter je roven v t mu z obou stup A(x) ab(x). P klad 2.7. Nech univerzum je stejn jako v p kladu 2.2 a nech Pak A = 0:4 1 0:7 2 0:5 4 1 6 1 7 0:1 9 (2.11) B = 0:2 1 0:7 2 0:9 3 0:6 4 1 6 0:8 7 0:3 9 : (2.12) A [ B = 0:4 1 0:7 2 0:9 3 0:6 4 1 6 1 7 0:3 9 kde nap. stupe p slu nosti 0.4 ve fuzzy jednotce 0:4 1 se dostane pomoc vztahu 0:4 _ 0:2=0:4: Operace suprema (maxima), kter byla pou ita v denici sjednocen, p irozen m zp sobem odpov d logick disjunkci. Operaci sjednocen pou ijeme tehdy, jestli e chceme nap. charakterizovat v echny lidi, kte jsou mlad nebo ve st edn m v ku. Denujeme fuzzy mno inu mlad ch lid a fuzzy mno inu lid ve st edn m v ku a ob sjednot me. 24 Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura

Nyn je jist z ejm, pro lze fuzzy mno inu ch pat jako sjednocen fuzzy jednotek. Fuzzy mno inu A z p kladu 2.7 (2.11) lze toti zapsat takto: A = 0:4 1g[f0:7 2g[f0:5 4g[f1 6g[f1 7g[f0:1 9 : Tento princip je asto vyu v n p i v po tech, p i nich se st v, e dostaneme v ce fuzzy jednotek, jejich nosi je tvo en stejn m prvkem. V sledkem je fuzzy jednotka, jej stupe p slu nosti je maxim ln. P klad 2.8. P edpokl dejme, e v sledkem v po t je fuzzy mno ina C = 0:4 1 0:7 1 0:9 1 0:3 2 0:4 2 0:6 2 1 3 0:5 4 1 4 0:1 5 : (2.13) Na z klad uveden ho principu je (2.13) rovna fuzzy mno in C = 0:9 1 0:6 2 1 3 1 4 0:1 5 : (2.14) Pr nik Pr nik dvou fuzzy mno in A a B je fuzzy mno ina C, kter m funkci p slu nosti C = A \ B pr v kdy C(x) =A(x) ^ B(x): (2.15) e eno slovy: prvek x 2 U pat do pr niku fuzzy mno in A B U se stupn m p slu nosti, kter je roven men mu z obou stup A(x) ab(x). P klad 2.9. Pro fuzzy mno iny (2.11) a (2.12) z p kladu 2.7 dostaneme A \ B = 0:2 1 0:7 2 0:5 4 1 6 0:8 7 0:1 9 kde nap. stupe p slu nosti 0.2 ve fuzzy jednotce 0:2 1 dostaneme pomoc vztahu 0:4 ^ 0:2=0:2: Operace inma (minima) v t to denici p irozen m zp sobem odpov d spojce a (logick konjunkce). Operaci pr niku m eme pou t, jestli e chceme charakterizovat nap. fuzzy mno inu v ech lid, kte jsou chyt a mlad. Mus me denovat fuzzy mno inu mlad ch lid a fuzzy mno inu chytr ch lid a sestroj me jejich pr nik. Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura 25

Ve fuzzy logice se zpravidla uva uj dv z kladn konjunkce a dv disjunkce, a to konjunkce a disjunkce interpretovan pomoc operac minima a maxima a Lukasiewiczova konjunkce a Lukasiewiczova disjunkce, kter interpretovan pomoc speci ln ch operac a b =0_ (a + b ; 1) ( Lukasiewiczova konjunkce) (2.16) a b =1^ (a + b) ( Lukasiewiczova disjunkce) (2.17) kde a b 2 [0 1]. Jm na t chto operac jsou podle slavn ho polsk ho logika J. Lukasiewicze, kter napsal z kladn pr ce z v cehodnotov logiky ve t ic t ch letech tohoto stolet. Lukasiewiczovy operace hraj v ad logick ch vah dokonce v znamn j roli, ne oby ejn operace minima a maxima. V teorii fuzzy mno in tedy m eme denovat operace Lukasiewiczova pr niku a Lukasiewiczova sjednocen dvou fuzzy mno in A a B C = A \ B pr v kdy C(x) =A(x) B(x) =0_ (A(x)+B(x) ; 1) (2.18) C = A +[ B pr v kdy C(x) =A(x) B(x) =1^ (A(x)+B(x)): (2.19) P klad 2.10. Pro fuzzy mno iny (2.11) a (2.12) z p kladu 2.7 dostaneme A \ B = 0:4 2 0:1 4 1 6 0:8 7 kde nap. stupe p slu nosti 0.4 ve fuzzy jednotce 0:4 2 dostaneme pomoc vztahu Podobn 0:7 0:7=0_ (0:7+0:7 ; 1)=0:4: A +[ B = 0:6 1 1 2 0:9 3 1 4 1 6 1 7 0:4 9 kde nap. stupe p slu nosti 1 ve fuzzy jednotce 1 2 dostaneme pomoc vztahu 0:7 0:7=1^ (0:7+0:7) = 1: Lukasiewicz v pr nik je p sn j ne oby ejn pr nik. M eme ho pou t tehdy, jestli e jsou ob fuzzy mno iny A a B v ur it m smyslu ve vz jemn negativn m vztahu nebo si jejich vztahem nejsme jisti. Nap. velmi velk a velmi tenk stromy b t velk strom do jist m ry pop r to, aby strom byl tak tenk. 26 Nov k: Z klady fuzzy modelov n BEN technick literatura