MASARYKOVA UNIVERZITA. Ústav fyziky kondenzovaných látek FYZIKA POLOVODIČŮ BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR. Radomír Lenhard

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav fyziky kondenzovaných látek FYZIKA POLOVODIČŮ BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR Radomír Lenhard Brno 203

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav fyziky kondenzovaných látek FYZIKA POLOVODIČŮ BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR Radomír Lenhard Brno 203

Skripta verze.0 2. května 203 Sazba do TEXu Mgr. Vlastimil Severa, ÚMS, PřF MU & Mgr. Jiří Liška, ÚTFA, PřF MU Vznik těchto skript byl podpořen z prostředků ESF v rámci projektu Inovace výuky aplikované fyziky na PřF MU pod OP Vzdělání pro konkurenceschopnost, reg.č. CZ..07/2.2.00/5.08.

Obsah BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR, DEFINICE ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ 5. PRINCIP ČINNOSTI TRANZISTORU......................... 6 2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 2. ZÁKLADNÍ ROVNICE.................................. 2.2 PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ................................ 2 2.3 PROUDY TEKOUCÍ TRANZISTOREM........................ 3 2.4 PROUDOVÝ ZESILOVACÍ ČINITEL.......................... 2 3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 26 3. GRADIENT KONCENTRACE PŘÍMĚSÍ V BÁZI A EMITORU........... 26 3.2 VLIV SILNÉ INJEKCE NOSIČŮ............................. 3 3.2. MODULACE VODIVOSTI BÁZE (WEBSTER EFFECT).......... 35 3.2.2 ODPOR AKTIVNÍ BÁZE A ZHUŠŤOVÁNÍ PROUDU (CURRENT CROW- DING)........................................ 35 3.2.3 ROZŠIŘOVÁNÍ NEUTRÁLNÍ BÁZE (KIRK EFFECT)............ 39 3.3 ZUŽOVÁNÍ NEUTRÁLNÍ BÁZE (EARLY EFFECT)................. 42 3.4 VLIV VYSOKÉ KONCENTRACE PŘÍMĚSÍ...................... 44 3.4. POHYBLIVOST NOSIČŮ NÁBOJE....................... 44 3.4.2 ZÚŽENÍ ŠÍŘKY ZAKÁZANÉHO PÁSU.................... 47 3.4.3 AUGEROVA REKOMBINACE.......................... 50 3.5 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU TRANZISTORU............... 53 4 MEZNÍ HODNOTY NAPĚTÍ 55 4. MAXIMÁLNÍ HODNOTY NAPĚTÍ........................... 55 4.. LAVINOVÝ PRŮRAZ (AVALANCHE BREAKDOWN)............ 55 4..2 PRŮNIK (PUNCH-THROUGH)......................... 57 4.2 MINIMÁLNÍ HODNOTY NAPĚTÍ........................... 58 5 VYSOKOFREKVENČNÍ VLASTNOSTI A ŠUM TRANZISTORU 62 5. KMITOČTOVÁ ZÁVISLOST PROUDOVÉHO ZESILOVACÍHO ČINITELE.... 62 5.2 KMITOČTOVÁ ZÁVISLOST ZISKU.......................... 63 5.3 ZÁVISLOST MEZNÍHO KMITOČTU NA FYZIKÁLNÍCH PARAMETRECH TRANZISTORU...................................... 64 5.3. ZPOŽDĚNÍ τ E................................... 65 5.3.2 ZPOŽDĚNÍ τ B................................... 66 5.3.3 ZPOŽDĚNÍ τ D................................... 67 5.3.4 ZPOŽDĚNÍ τ C................................... 67 5.4 ŠUM TRANZISTORU................................... 68 5.4. TEPELNÝ ŠUM (Johnson noise)......................... 69 5.4.2 VÝSTŘELOVÝ ŠUM (Shot noise)........................ 69 5.4.3 ROZDĚLOVACÍ ŠUM.............................. 69 5.4.4 BLIKAVÝ ŠUM (/f-noise, flicker-noise).................... 70

6 PARAZITNÍ PRVKY TRANZISTORU A JEJICH MĚŘENÍ 72 6. ODPOR EMITORU.................................... 72 6.2 ODPOR BÁZE....................................... 75 6.3 ODPOR KOLEKTORU.................................. 75 6.4 KONTAKTNÍ ODPOR.................................. 76 6.5 KAPACITA EMITOR BÁZE............................... 77 6.6 KAPACITA BÁZE KOLEKTOR A KOLEKTOR SUBSTRÁT............ 79 6.7 TCAD SIMULACE..................................... 80

BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR, DEFINICE ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ Tranzistor je polovodičový prvek určený na zesilování nebo generování elektrických signálů, jedná se tedy o aktivní součástku. Podle činnosti rozdělujeme tranzistory: s injekcí, které využívají majoritní i minoritní nosiče (bipolární), řízené polem, které využívají pouze majoritní nosiče náboje (unipolární). Podle typu dotací existuje bipolární tranzistor npn nebo pnp. Dále se budeme zabývat pouze typem npn. Činnost tranzistoru pnp je analogická, pouze s opačnými polaritami napětí a zaměněným typem nosičů náboje. Bipolární křemíkový tranzistor npn a jeho jednorozměrný model je schematicky znázorněn na obr... Báze a emitor tohoto tranzistoru jsou vytvořeny difúzí do epitaxní vrstvy typu n přes masku z oxidu křemičitého. Obr.. Řez strukturou a jednorozměrný model bipolárního tranzistoru npn.

BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR, DEFINICE ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ 6. PRINCIP ČINNOSTI TRANZISTORU Na obr..2a je zakreslena pásová struktura emitoru, báze a kolektoru v rovnováze a všechny elektrody jsou na stejném potenciálu. Na obr..2b je pásová struktura tranzistoru pro nejdůležitější způsob zapojení, přechod B-E v propustném, B-C v závěrném směru. a) b) Obr..2 Pásová struktura npn tranzistoru, a) všechny elektrody jsou na stejném potenciálu, b) pro nejdůležitější způsob zapojení. V tomto zapojení injekuje emitor do báze typu p velké množství elektronů. Pokud jsou oba přechody dostatečně blízko sebe, dosáhne většina injekovaných elektronů přechodu B-C a je velkým elektrickým polem tohoto závěrně polarizovaného přechodu odčerpána do kolektoru. Pro činnost tranzistoru je tedy charakteristické, že přechodem B-C, polarizovaným v závěrném směru, protéká velký proud v důsledku toho, že v jeho těsné blízkosti existuje přechod B-E polarizovaný v propustném směru. Všechny elektrony injekované emitorem do báze nedosáhnou kolektorového přechodu. Část jich rekombinuje s děrami v bázi. Kromě toho injektuje báze typu p malé množství děr do emitoru. Konečně dochází i k rekombinaci elektronů a děr v oblasti prostorového náboje B-E přechodu. Všechny tyto děje vedou k toku děr bázovým kontaktem do báze (obr..3). Obr..3 Proudy v npn tranzistoru.

BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR, DEFINICE ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ 7 Celkový proud emitorem I E je tedy tvořen tokem elektronů do kolektoru I C a tokem děr do bázového kontaktu I B I E = I B + I C (.) Pro tranzistor jsou důležité dvě charakteristické veličiny tzv. proudový zesilovací činitel v zapojení se společnou bází α (též h FB ) α = I C I E (.2) Obr..4 Tranzistor v zapojení se společnou bází. a proudový zesilovací činitel v zapojení se společným emitorem β (též h FE ) β = I C I B (.3) Obr..5 Tranzistor v zapojení se společným emitorem. Ze vztahů (.), (.2) a (.3) vyplývá vzájemná souvislost α a β β = α α α = β β + (.4) Proudový zesilovací činitel α se měří při zapojení tranzistoru v konfiguraci se společnou bází (obr..4). Výstupní charakteristiky získáme vynesením závislosti kolektorového proudu na napětí báze-kolektor, kde emitorový proud je parametrem. Příklad získané charakteristiky je na obr..6a. Při emitorovém proudu 0 ma je proud kolektoru blízký 0 ma (U CB 20 V), což naznačuje, že α je blízké (ale vždy < ).

BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR, DEFINICE ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ 8 Proudový zesilovací činitel β se měří při zapojení tranzistoru v konfiguraci se společným emitorem (obr..5). Výstupní charakteristika typického tranzistoru, získáná vynesením závislosti kolektorového proudu na napětí kolektor-emitor, kde bázový proud je parametrem, je na obr..6b. Při bázovém proudu 40 µa je proud kolektoru přibližně 4 ma (U CE 5 V), z toho vyplývá hodnota β 00. a) b) Obr..6 Výstupní charakteristiky křemíkového tranzistoru, a) v zapojení se společnou bází, b) se společným emitorem. Další parametry, které můžeme získat z charakteristik na obr..6, jsou U CB0 a U CE0. Jsou to průrazná napětí mezi kolektorem a bází s nepřipojným kontaktem emitoru (U CB0 ) a kolektorem a emitorem s nepřipojným kontaktem báze (U CE0 ). Pro praktické aplikace je důležitý proudový zisk při malých signálech h fe definovaný vztahem h fe = di C di B (.5) S využitím vztahů (.3) a (.5) můžeme odvodit výraz pro souvislost h fe a β h fe = β I (.6) C β dβ di C Tudíž u tranzistorů, u kterých β nezávisí na I C, platí h fe = β.

BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR, DEFINICE ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ 9 Průběh proudového zesilovacího činitele h fe a β v celém rozsahu I C je znázorněn na obr..7. Obr..7 Proudový zesilovací činitel β a h fe v zapojení se společným emitorem v závislosti na proudu kolektoru (U CB = 0 V). Nyní sledujme činnost tranzistoru v jednoduchém obvodu, znázorněném na obr..8. Pro určité vstupní napětí U BE teče tranzistorem stejnosměrný proud I B a I C. Jestliže malý střídavý signál je nyní superponován na vstupní napětí, bázový proud se bude měnit s časem tak, jak je to naznačeno na obr..8a. Tato změna následně způsobí i změnu I C (obr..8b). Střídavý proud na kolektoru je však h fe krát větší než změny vstupního proudu. Tudíž tranzistor zesiluje vstupní signál. V této funkci se tranzistory uplatňují především u lineárních integrovaných obvodů. U logických integrovaných obvodů je významná činnost tranzistoru jako spínacího prvku, při které se malým proudem báze ovládá (zapíná nebo vypíná) velký proud kolektoru. Pro další výklad je vhodné vysvětlit způsob značení proudů a napětí, které na tranzistoru měříme. Vžilo se označení třemi indexy, z nichž první dva označují elektrody, mezi nimiž se proud nebo napětí měří. Třetí index určuje stav třetí elektrody vzhledem k druhé. Tak bude I CB0 proud přechodu B-C při rozpojeném přechodu E-B, I CES proud mezi C-E v případě, že báze je spojena s emitorem nakrátko.

BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR, DEFINICE ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ 0 Obr..8 Schématické znázornění činnosti tranzistoru jako zesilovače. Literatura [] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y. 97 [2] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 976 [3] J. Mikušek: Polovodiče a polovodičové součástky ve Fyzika, technologie a konstrukce polovodičových součástek, Aktuality č. 27, Rožnov p. R. 989

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 2. ZÁKLADNÍ ROVNICE Podobně jako u pn přechodu, základní rovnice, které popisují transport nosičů náboje v nerovnovážném stavu, jsou rovnice kontinuity pro elektrony a díry. Vztahy (2.) a (2.2) vyjadřují bilanci mezi generací (např. tepelná, absorpcí světla), rekombinací a tokem nosičů náboje z elementárního objemu dx, dy, dz. Koncentrace elektronů n v elementárním objemu s časem roste, pokud je více elektronů generováno než rekombinuje a pokud tok přitékajících elektronů přes rozhraní objemu je větší než tok odtékající n t = G n R n + q J n (2.) p t = G p R p + q J p (2.2) kde J n a J p jsou proudové hustoty elektronů a děr, G n, G p jsou generační rychlosti elektronů a děr, R n, R p jsou rychlosti rekombinace a výraz J je divergence proudové hustoty. Řešení těchto rovnic při vhodných okrajových podmínkách dává koncentraci elektronů a děr jako funkci souřadnic a času. V polovodičích se při transportu elektronů a děr uplatňují dva základní mechanismy. Rozdíl koncentrace vede k přesunu částic z místa s vyšší koncentrací do místa s nižší koncentrací a elektrické pole působí na náboj. Proudové hustoty J n a J p jsou tedy součtem difúzní a driftové složky J n = q D n n + q n µ n E (2.3) J p = q D p p + q p µ p E (2.4) Difúzní koeficienty D n, D p souvisí s pohyblivostí µ n, µ p přes Einsteinův vztah D n = µ n k T q D p = µ p k T q (2.5)

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 2 Pro stanovení intenzity elektrického pole E se použije Poissonova rovnice E = ϱ ε 0 ε r (2.6) kde ε 0 je permitivita vakua, ε r je relativni permitivita a nábojová hustota ϱ je daná koncentrací elektronů a děr ϱ = q ( p n + N + D N ) A (2.7) 2.2 PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ Řešením uvedených základních rovnic můžeme získat úplné třírozměrné řešení zesilovacího činitele bipolárního tranzistoru. Ovšem taková přesná analýza není v mnoha případech nutná, protože elektrické charakteristiky běžně používaných bipolarních tranzistorů mohou být dostatečně přesně popsány pomocí jednorozměrného řešení. K dalšímu významnému zjednodušení úlohy vedou následující předpoklady.. Platí podmínka termodynamické rovnováhy 2. Nosiče nevznikají externí generací n t = p t = 0 (2.8) G n = G p = 0 (2.9) 3. Všechny oblasti jsou homogenně dotované (obr. 2.b), tzn., že není nutné uvažovat zabudované elektrické pole. 4. Vodivost objemových částí polovodiče je dostatečně vysoká, abychom mohli předpokládat, že veškeré přiložené napětí je rozloženo v oblasti prostorového náboje (OPN). Tento předpoklad společně s třetí podmínkou znamená, že nosiče náboje se v objemu polovodiče pohybují výhradně difúzí, a tedy driftový člen v rovnicích (2.3) a (2.4) je možné zanedbat a není nutné řešit Poissonovu rovnici v objemu polovodiče. 5. Platí podmínka nízké úrovně injekce. Tzn., že počet elektronů injekovaných z emitoru do báze je menší než koncentrace akceptorových příměsí v bázi. Tento předpoklad platí při nízkých proudech I C, změny při vyšších proudech I C budou rozebrány později.

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 3 2.3 PROUDY TEKOUCÍ TRANZISTOREM (a) (b) (c) (d) Obr. 2. (a) Jednorozměrný model bipolárního tranzistoru npn, (b) Koncentrační profil příměsí pro případ strmého přechodu pn, (c) Změna proudu elektronů v důsledku rekombinace, (d) Schematické znázornění rozložení minoritních nosičů v emitoru a bázi.

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 4 Význam jednotlivých složek proudu protékajících tranzistorem objasňuje obr. 2.c. Proud elektronů, který vstupuje do tranzistoru emitorovým kontaktem se postupně směrem ke kolektoru zmenšuje rekombinací s dírami přitékajícími z báze. První složka poklesu elektronového proudu je způsobena rekombinací s dírami injekovanými z báze do emitoru, druhá je důsledkem rekombinace v OPN přechodu B-E a třetí vzniká rekombinací elektronů a děr v bázi. Součet těchto tří komponent určuje proud protékající kontaktem báze I B. Elektronový proud se od hranice OPN přechodu B-C již dále nezmenšuje. To je způsobeno tím, že v závěrně polarizované OPN je rekombinace zanedbatelná a podobně v neutrální oblasti kolektoru je proud elektronů tokem majoritních nosičů, které nejsou rekombinací podstatně ovlivněny. V následující části vyjádříme velikost jednotlivých složek proudu kvantitativně. Pro difúzní tok minoritních nosičů s využitím uvedených aproximací platí J n = q D n dn p dx J p = q D p dp n dx (2.0) (2.) Je tedy nutné nejdříve určit koncentraci minoritních nositelů v oblastech injekujícího přechodu pn. Nejprve analyzujme oblast báze tranzistoru. Podle rovnice (2.), (2.8) a (2.0) bude průběh koncentrace minoritních nositelů dán řešením rovnice kontinuity pro ustálený stav Rekombinační rychlost R n je v (2.2) reprezentovaná výrazem D nb dn 2 p dx 2 (n p n p0 ) τ nb = 0 (2.2) R nb = (n p n p0 ) τ nb (2.3) kde τ nb je doba života minoritních nosičů v bázi a n p0 je rovnovážná koncentrace minoritních nosičů v bázi. Výraz (n p n p0 ) tedy představuje koncentraci nadbytečných minoritních nosičů. Úpravou (2.2) a dosazením vztahu pro difúzní délku elektronů v bázi L 2 nb = D nb τ nb dostaneme dn 2 p dx 2 (n p n p0 ) L 2 = 0 (2.4) nb Je to diferenciální rovnice druhého řádu, jejíž řešení budeme hledat ve tvaru ( ) ( x n p n p0 = A exp + B exp x ) L nb L nb (2.5)

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 5 Pro určení koeficientů A a B použijeme okrajové podmínky, které jsou zřejmé z obr. 2.d ( ) q UBE x = 0 n p (0) = n p0 exp k T (2.6) x = W B ( n p (W B ) = n p0 exp q U ) CB 0, (2.7) k T kde n p0 = n 2 i /N AB je rovnovážná koncentrace minoritních nosičů v bázi. První podmínka stanovuje, že koncentrace minoritních nosičů na hranici OPN přechodu E-B je zvýšená nad rovnovážnou hodnotu faktorem exp (q U BE /k T ), jak bylo odvozeno pro přechod pn v propustném směru. Druhá okrajová podmínka vyjadřuje poznatek, že na hranici oblasti prostorového náboje B-C jsou elektrony odsávány silným elektrickým polem, protože tento pn přechod je polarizován závěrně. Dosazením první okrajové podmínky (2.6) do (2.5) dostaneme ( q UBE n p0 [exp k T ) ] = A + B (2.8) Obdobně pomocí druhé okrajové podmínky (2.7) obdržíme rovnici ( ) ( WB n p0 = A exp + B exp W ) B L nb L nb Koeficienty A a B nyní určíme řešením soustavy rovnic (2.8) a (2.9) ( q UBE n p0 + n p0 [exp k T A = 2 sinh ( ) q UBE n p0 + n p0 [exp k T B = 2 sinh ) ( WB ( WB L nb ] ( exp W ) B L ) nb L nb ] ) ( ) WB exp L nb (2.9) (2.20) Dosazením vztahů pro koeficienty A a B do (2.5) a zjednodušením výrazu získáme řešení rovnice kontinuity (2.2), které udává rozložení koncentrace elektronů v bázi sinh n p (x) = n p0 x L nb sinh W B L nb + [n p (0) n p0 ] sinh W B x L nb sinh W x 0, W B (2.2) B L nb

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 6 Pro praktické hodnoty U BE k T/q můžeme (2.2) zjednodušit n p (x) = n p (0) sinh W B x L nb sinh W (2.22) B L nb Rozložení elektronů v bázi podle (2.22) je znázorněno na obr. 2.d plnou čárou. Proudová hustota elektronů v bázi je pak určena vztahem (2.0), kde koncentrační gradient dn p /dx získáme derivací (2.22) ( ) q UBE n p0 exp dn p dx = k T L nb cosh W B x L nb sinh W B L nb (2.23) Proudová hustota elektronů injekovaných do báze je tedy úměrná koncentračnímu gradientu dn p /dx v x = 0 dn p dx ( ) q UBE n p0 exp k T = x=0 L nb tanh W B L nb (2.24) Dosazením výsledku (2.24) do vztahu (2.0), náhradou n p0 = n 2 i /N AB a vynásobením plochou přechodu E-B (A j ) dostaneme proud elektronů injekovaných do báze v rovině x = 0, I dif, B (obr. 2.c) I dif, B = q D nb n 2 i N AB L nb exp ( q UBE k T ) tanh W B L nb A j (2.25) kde D nb je difuzivita elektronů v bázi a N AB je koncentrace akceptorů v bázi. Bipolární vertikální tranzistory mají šířku báze W B co nejmenší (typicky < µm), aby se omezila rekombinace minoritních nosičů v neutrální bázi a rovněž snížil čas průletu minoritních nosičů přes tuto oblast. Pokud uvážíme, že L nb 0 µm (pro N AB 0 8 cm 3 ), pak platí W B L nb a rovnice (2.22) se dále zjednoduší ( n p (x) = n p (0) x ) W B (2.26) Exponenciální rozložení nosičů v bázi podle rovnice (2.22) lze pro případ úzkých bází, kdy můžeme zanedbat rekombinaci v této oblasti, nahradit přímkovou závislostí (2.26). Na obr. 2.d naznačeno čárkovaně. Zjednodušený vztah pro I dif, B za předpokladu W B L nb pak odvodíme obdobným

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 7 postupem jako obecný výraz (2.25) I dif, B = q D nb n 2 i N AB W B exp ( q UBE k T ) A j (2.27) U parazitních bipolárních tranzistorů může být splněna podmínka W B L nb. Postup odvození I dif, B je totožný jako v případě úzké báze (W B L nb ). Výsledné vztahy pro n p (x) a I dif, B jsou uvedeny v tab. 2.. Tab. 2. Báze. W B /L nb n p (x) I dif, B bez omezení n p (0) sinh W B x L nb sinh W B L nb ( W B L nb n p (0) x ) W B n 2 ( i q UBE q D nb exp N AB L nb k T ) n 2 ( i q UBE q D nb exp N AB W B k T tanh W B L nb A j ) A j W B L nb ( n p (0) exp x ) L nb n 2 ( i q UBE q D nb exp N AB L nb k T ) A j Další komponenta emitorového proudu I E je difúzní proud děr injekovaných do emitoru (složka proudu v obr. 2.c). Průběh koncentrace minoritních nositelů bude opět dán řešením rovnice kontinuity pro ustálený stav D pe d 2 p n dx 2 (p n p n0 ) τ pe = 0 (2.28) kde τ pe je doba života a p n0 je rovnovážná koncentrace minoritních nosičů v emitoru. Úpravou (2.28) a dosazením vztahu pro difúzní délku děr v emitoru L 2 pe = D pe τ pe dostaneme d 2 p n dx 2 (p n p n0 ) L 2 = 0 (2.29) pe Řešení budeme opět hledat ve tvaru ( ) ( x p n p n0 = A exp + B exp x ) L pe L pe (2.30)

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 8 Pro určení koeficientů A a B použijeme okrajové podmínky, viz obr. 2.d ( ) q UBE x = W EB p n ( W EB ) = p n0 exp k T (2.3) x = (W E + W EB ) p n ( W E W EB ) = p n0 (2.32) kde p n0 = n 2 i /N DE je rovnovážná koncentrace minoritních nosičů v emitoru. I v případě emitoru je koncentrace minoritních ( ) nosičů na hranici OPN přechodu E-B zvýšená nad rovnovážnou q UBE hodnotu faktorem exp. Druhá okrajová podmínka vychází z předpokladu kovového neusměrňujícího kontaktu na povrchu emitoru s velmi vysokou povrchovou rekombinační rychlostí, k T takže je zde dosaženo termodynamické rovnováhy. Koeficienty A a B určíme řešením soustavy rovnic získané dosazením okrajových podmínek do (2.30) ( ) ] ( ) q UBE WE + W EB p n0 [exp exp k T L pe A = ( ) WE 2 sinh p n0 [exp B = ( ) q UBE k T L pe ] ( exp ) ( WE 2 sinh L pe (W ) E + W EB ) L pe (2.33) Dosazením vztahů pro koeficienty A a B do (2.30) a zjednodušením výrazu získáme řešení rovnice kontinuity, které udává rozložení koncentrace děr v emitoru p n (x) = p n0 + [p n ( W EB ) p n0 ] x W EB, (W EB + W E ) sinh W E + W EB + x L pe sinh W E L pe (2.34) Pro praktické hodnoty U BE k T/q můžeme (2.34) zjednodušit p n (x) = p n ( W EB ) sinh W E + W EB + x L pe sinh W (2.35) E L pe Rozložení děr v emitoru podle (2.35) je znázorněno na obr. 2.d plnou čárou. Proudová hustota děr injekovaných do emitoru je úměrná koncentračnímu gradientu dp n /dx

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 9 v x = W EB. Vztah pro proud I dif, E pak dostaneme obdobným postupem jako v případě bázové oblasti I dif, E = q D pe n 2 i N DE L pe exp ( q UBE kde D pe je difuzivita děr a N DE je koncentrace donorů v emitoru. k T ) tanh W E L pe A j (2.36) Bipolární vertikální tranzistory mají porovnatelnou hloubku emitoru W E (typicky < µm) s difúzní délkou děr v této oblasti (L pe µm pro N DE 0 20 cm 3 ). Následné zjednodušení rovnice (2.36) proto můžeme provést pouze pro mělké nebo málo legované emitory, kdy platí W E L pe p n (x) = p n ( W EB ) WE + W EB + x W E (2.37) Exponenciální rozložení nosičů v emitoru podle rovnice (2.35) lze pro případ mělkého emitoru, kdy můžeme zanedbat rekombinaci v této oblasti, nahradit přímkovou závislostí (2.37). Na obr. 2.d naznačeno čárkovaně. Zjednodušený vztah pro I dif, E za předpokladu W E L pe má pak tvar I dif, E = q D pe n 2 i N DE W E exp ( q UBE k T ) A j (2.38) U výkonových nebo parazitních bipolárních tranzistorů může být splněna podmínka W E L pe. Postup odvození I dif, E je obdobný jako v případě mělkého emitoru (W E L pe ). Výsledné vztahy pro p n (x) a I dif, E jsou uvedeny v tab. 2.2. Tab. 2.2 Emitor. W E /L pe p n (x) I dif, E bez omezení p n ( W EB ) sinh W E + W EB + x L pe sinh W E L pe n 2 ( ) i q UBE q D pe exp N DE L pe k T tanh W E L pe A j W E L pe p n ( W EB ) W E + W EB + x W E q D pe n 2 i N DE W E exp ( q UBE k T ) A j W E L pe ( ) WEB + x p n ( W EB ) exp L pe n 2 ( i q UBE q D pe exp N DE L pe k T ) A j

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 20 Konečně pro proud děr, které rekombinují s elektrony v oblasti prostorového náboje přechodu B-E (složka proudu 2 v obr. 2.c), platí vztah odvozený pro přechod pn I rec = 2 q n ( ) i q UBE W EB exp A j (2.39) τ 0 m k T W EB je šířka OPN a τ 0 je efektivní doba života elektronů a děr v OPN přechodu B-E. Energii rekombinačního centra v pásové struktuře charakterizuje koeficient m [, 2]. Rekombinační rychlost je nejvyšší, pokud je centrum ve středu pásové struktury, kdy platí m = 2. Emitorová účinnost je poměr difúzního proudu elektronů vstupujícího do báze a celkového proudu emitoru γ = I dif, B I E = I dif, B I dif, B + I dif, E + I rec (2.40) Je zřejmé, že vysokou účinnost má emitor, u kterého je injekce z báze do emitoru a rekombinace v OPN B-E malá (složky proudu a 2 na obr. 2.c). Podle definice emitorové účinnosti je proud minoritních nosičů injekovaných do báze určen součinem γ I E. Pouze část tohoto proudu však dosáhne kolektoru. Rekombinační ztráty v neutrální bázi tranzistoru charakterizuje transportní faktor, definovaný jako poměr proudu dosahující kolektorový přechod k proudu injekovanému do báze. Transportní faktor, jehož hodnota je vždy menší než, tedy vyjadřuje ztráty emitorového proudu odpovídající třetí složce proudu báze (obr. 2.c) rekombinaci elektronů a děr v neutrální bázi. Z definice α T, při konstantní koncentraci příměsí v bázi, vyplývá S využitím (2.22) dostaneme dn p dx x=wb α T = dn p (2.4) dx x=0 α T = cosh W B L nb (2.42) kde L nb je difúzní délka elektronů v bázi. Pro bipolární tranzistor s W B L nb a konstantní koncentrací příměsí v bázi je užitečnou aproximací ( ) α 2 WB T = (2.43) 2 L nb

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 2 Obr. 2.2 Závislost bázového transportního faktoru α T na poměru W B /L nb. 2.4 PROUDOVÝ ZESILOVACÍ ČINITEL Jak bylo uvedeno v kap., k důležitým charakteristikám bipolárního tranzistoru patří proudový zesilovací činitel v zapojení se společnou bází α a proudový zesilovací činitel v zapojení se společným emitorem β. S využitím definice pro α T platí pro α I C = I dif, B α T (2.44) α = I C I E = Proudový zesilovací činitel β budeme analyzovat podrobněji I dif, B α T I dif, B + I dif, E + I rec = γ α T (2.45) takže β = I C I B = I C I E I C = I dif, B α T I dif, B + I dif, E + I rec I dif, B α T (2.46) β = α T + I dif, E I rec + (2.47) α T I dif, B α T I dif, B α T

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 22 Vztah (2.47) můžeme s využitím (2.27), (2.38), (2.39) a (2.43), tedy za předpokladu (W B L nb ) a (W E L pe ) dále upravit β = ( ) W EB 2 WB + N AB W B D pe + N AB W B (( τ 0 α T 2 L nb D nb N DE W E D }{{}}{{} nb 2 n i exp ) ) q UBE poměr injekovaných proudů m k T }{{} nebo při označení rekombinace v neutrální bázi β = α T 2 ( WB L nb ) 2 + G B D pe G E D nb + rekombinace v OPN B-E (2.48) G B R (( 2D nb n i exp ) ) q UBE (2.49) m k T G B = N AB W B G E = N DE W E R = W EB τ 0 (2.50) V rovnici (2.49) je proudový zesilovací činitel vyjádřen pomocí bázového faktoru G B (Gummelovo číslo v bázi), který můžeme chápat jako počet majoritních nosičů náboje na jednotku plochy v bázi a emitorovém faktoru G E (Gummelovo číslo v emitoru). Při splnění podmínky úplné ionizace příměsí se počet majoritních nosičů rovná počtu příměsí. Rekombinační rychlost R se mění s efektivní dobou života v oblasti prostorového náboje emitorového přechodu. Z hlediska praktických aplikací je třeba, aby proudový zisk měl nejen velkou hodnotu, ale také, aby se málo měnil s proudem kolektoru. Na obr. 2.3 jsou znázorněny závislosti β na hustotě kolektorového proudu vypočítaného pomocí výrazu (2.49). Výpočet byl proveden pro různé hodnoty rekombinační rychlosti R, za předpokladu α T =, m = 2, G E /D pe = 3 0 5 s/cm 4 a G B /D nb = 0 3 s/cm 4. Pokud R = 0, proudový zesilovací činitel se s I C nemění. Ovšem čím vyšší je hodnota R, tím výraznější pokles β se projeví při malých proudech kolektoru. Na obr. 2.4 je experimentální závislost I C a I B na napětí přechodu B-E v propustném směru. Kolektorový proud sleduje vypočítanou hodnotu injekovaného proudu podle (2.27) v rozsahu devíti dekád I C až do oblasti vysoké injekce. Proud báze se od závislosti (2.38) odchyluje jak při nízkých tak i při vysokých proudech. Pro U BE < 0.3 V se projevuje rekombinace v OPN přechodu B-E a pro U BE > 0.8 V vysoká injekce v bázi a parazitní sériové odpory přívodů k emitoru, bázi a kolektoru. Na obr. 2.4 jsou tedy patrné tři oblasti.

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 23 Obr. 2.3 Vypočítané hodnoty proudového zesilovacího činitele v zapojení se společným emitorem v závislosti na hustotě kolektorového proudu pro různé hodnoty rekombinační rychlosti v OPN přechodu B-E. Obr. 2.4 Závislost I C a I B na napětí přechodu B-E v propustném směru ( UCB = 0 V, A E = 33 µm 2).

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 24 Analyzujme nejdříve oblast ideální charakteristiky v intervalu U BE (0.3 V, 0.8 V), kde platí I rec I dif, E. Za předpokladu W B L nb α T = můžeme s využitím (2.49) pro β odvodit zjednodušený vztah β = I dif, B I dif, E = N DE W E D pe G E D nb = (2.5) N AB W B G B D pe D nb Ze zjednodušeného vztahu (2.5) jsou dobře patrné některé zásady návrhu tranzistoru. Proudový zesilovací činitel silně závisí na poměru G E /G B. Pro vysoký zisk by mělo být Gummelovo číslo v emitoru co nejvyšší a v bázi naopak co nejnižší. To by ovšem vedlo k vysoké hodnotě sériového odporu v bázi, což by se nepříznivě projevilo na dynamických parametrech a šumu tranzistoru. Z těchto důvodů se pro β volí kompromisní hodnota v rozsahu 00-300. Další oblast je patrná při malém kolektorovém proudu (U BE < 0.3V), kdy se výrazně projevuje rekombinace v OPN E-B přechodu a platí I rec > I dif, E. Za předpokladu zanedbatelné rekombinace v neutrální bázi můžeme β vyjádřit ve tvaru β = I rec I dif, B = 2 n (( i G B R exp m ) ) q UBE k T (2.52) Rekombinační rychlost R ovlivňuje rozhraní mezi ideální a rekombinační oblastí a koeficient m směrnici bázového proudu, která souvisí s typem rekombinačního centra. Např. kovy Ni, Cu, Cr, Fe, Au po kontaminaci přechodu pn tvoří různé hladiny v pásovém modelu křemíku a koeficient m bude nabývat podle energie centra různé hodnoty v intervalu [, 2]. Třetí oblast vysokou injekci v bázi klasický model (2.48) neobsahuje. Porovnejme nyní změřenou závislost proudového zesilovacího činitele na proudu kolektoru s charakteristikou vypočítanou podle modelu (2.48). Průběh proudového zesilovacího činitele v celém rozsahu I C je znázorněn na obr. 2.5, který byl získán z obr. 2.4 s využitím β = I C /I B. Na experimentální závislosti jsou opět patrné tři oblasti rekombinační (malé proudy I C ), ideální a vysoká injekce. Při malých proudech I C se v obou případech projevuje pokles β, ovšem sklon charakteristik není totožný. To je způsobeno různou hodnotou koeficientu m. Při výpočtu jsme předpokládali, že se všechna generačně rekombinační centra nachází ve středu pásové struktury (m = 2). Pro reálnou charakteristiku zjevně platí m < 2. Ve střední oblasti I C jsou průběhy charakteristik přibližně totožné s tím, že vypočítané hodnoty jsou několikanásobně vyšší. Při dalším zvyšování I C se projeví podmínky vysoké injekce, což způsobí opět pokles β. Tento efekt předložený model (2.48) zatím neobsahuje. Proto v další části rozšíříme klasický model tak, aby bylo dosaženo lepšího souhlasu s reálnou charakteristikou.

2 KLASICKÝ MODEL TRANZISTORU 25 Obr. 2.5 Porovnání proudového zesilovacího činitele β vypočítaného podle modelu (2.48) a změřeného průběhu, obr. 2.4. Literatura [] S.M. Sze: Physics of Semiconductor Devices, John Wiley, 985 [2] P. Ashburn: Design and Realization of Bipolar Transistors, John Wiley, 988 [3] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y. 97 [4] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 976

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 3. GRADIENT KONCENTRACE PŘÍMĚSÍ V BÁZI A EMITORU V klasickém modelu tranzistoru jsme předpokládali, že koncentrace akceptorů v bázi npn tranzistoru je konstantní. V tranzistoru vyrobeném difúzí, resp. iontovou implantací, se však vytvoří v bázi koncentrační profil, jak je patrné z příkladu na obr. 3.. Obr. 3. Koncentrační profil příměsí tranzistoru npn a pásový model.

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 27 S gradientem příměsí v bázi následně souvisí i gradient majoritních nosičů v bázi. Protože v podmínkách termodynamické rovnováhy v bázi neteče žádný proud, musí existovat elektrické pole, které je orientováno proti difúznímu pohybu majoritních nosičů. Toto elektrické pole je patrné z pásového diagramu. Jestliže jsou nyní do báze injekovány minoritní nosiče náboje, budou tímto polem ovlivněny. V případě npn tranzistoru, v důsledku gradientu příměsí, se díry v bázi snaží difundovat ke kolektoru. Tudíž musí být v bázi přítomno elektrické pole, které se snaží vrátit díry zpět k přechodu B-E. Stejné pole naopak bude zrychlovat difúzní pohyb injekovaných minoritních elektronů. Injekované nosiče se tedy v bázi nebudou pohybovat pouze difúzí, ale i driftem. V důsledku toho se zkrátí průlet nosičů přes neutrální bázi a vzroste rovněž transportní faktor α T. Pro studium efektu zabudovaného pole v bázi na β musíme nejdříve určit E a vztah pro I dif, B. V případě homogenní báze platí a pro bázi s gradientem příměsí ( ) Ei E F p p = n i exp = N AB (3.) k T ( ) Ei (x) E F p p (x) = n i exp = N AB (x) (3.2) k T Derivací (3.2) dostaneme dn AB (x) dx = ( ) k T n Ei (x) E F i exp de i (x) k T dx (3.3) Zabudované elektrické pole E je E = q de i (x) dx (3.4) Porovnáním (3.3) a (3.4) dostaneme E = k T q N AB (x) dn AB (x) dx (3.5) To je obecný vztah pro elektrické pole v závislosti na libovolném rozložení příměsí v polovodiči. Proud elektronů v bázi bude tvořit difúzní a driftová složka J n (x) = q D nb dn p (x) dx + q µ n n p (x) E (3.6)

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 28 Dosazením (3.5) do (3.6) a s využitím µ n = q k T D nb J n (x) = q D nb [ dnp (x) dx + n p (x) N AB (x) dn ] AB (x) dx (3.7) Vynásobení rovnice (3.7) N AB (x) a integrace obou stran dává q D nb W B 0 J n (x) N AB (x) dx = W B 0 d (n p (x) N AB (x)) dx dx (3.8) Řešení (3.8) s okrajovou podmínkou n p (W B ) = 0 a J n (0) = J dif, B je koncentrace elektronů v místě x = 0 n p (0) = J dif, B q D nb N AB (0) W B 0 N AB (x) dx (3.9) Z modelu Fermiho kvazihladiny pro koncentraci elektronů platí n p (0) = n p0 ( ) q UBE exp = k T n 2 i N AB (0) exp ( ) q UBE k T (3.0) Porovnáním (3.9), (3.0) a pro I dif, B = J dif, B A j dostaneme ( q q D nb n 2 i exp UBE k T I dif, B = W B 0 N AB (x) dx ) A j (3.) Pokud porovnáme (3.) se vztahem (2.27) pro I dif, B v klasickém modelu, vidíme, že N AB W B bylo nahrazeno Gummelovým číslem ve tvaru G B = W B 0 N AB (x) dx (3.2) V emitoru bude vznikat v důsledku koncentračního profilu příměsí obdobné elektrické pole jako v bázi, ale s opačnou polaritou. V případě mělkého emitoru (W E < 0.5 µm) legovaného arzenem bude obdélníková aproximace koncentračního profilu dostatečně přesná a tudíž bude i vliv elektrického pole zanedbatelný a můžeme využít zjednodušený tvar G E = N DE W E. Pro hluboký emitor (W E > µm) legovaný fosforem již musíme doplnit vliv elektrického pole v emitoru, a to ob-

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 29 dobným způsobem jako pro bázi G B = W EB +W E W EB N DE (x) dx (3.3) Pro I dif, E pak platí ( q q D pe n 2 i exp UBE k T I dif, E = W EB +W E W EB N DE (x) dx ) A j (3.4) Všimněme si nyní vlivu gradientu příměsí v bázi na α T. Pro homogenně legovanou bázi jsme odvodili závislost (2.43) ( ) α 2 WB T = 2 L nb U báze s gradientem příměsí očekáváme, že bude α T pro stejné W B a L nb vyšší, protože pohyb injekovaných nosičů je urychlován zabudovaným polem. Pro přibližný odhad tohoto efektu vyjdeme z (3.7). V prvním přiblížení druhý výraz v závorce může být přepsán jako n p (0) N AB (0) NAB (0) dn p W B dx (3.5) Přibližně tedy pro J dif, B platí J dif, B = 2 q D nb dn p dx (3.6) což ukazuje efektivní zdvojnásobení difúzní konstanty. Výraz (2.43) se nyní změní na ( ) α 2 WB T = (3.7) 4 L nb Se zmenšováním šířky báze při G B = konst., roste α T nosičů přes neutrální bázi. a následně α i β a snižuje se čas průletu Nyní můžeme rozšířit základní model (2.49) o vliv elektrického pole v důsledku koncentračního

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 30 profilu příměsí v bázi a emitoru β = α T 4 ( WB L nb ) 2 + D pe G B D nb G E + Za G B, G E a α T dosadíme vztahy (3.2), (3.3) a (3.7). G B R (( 2 D nb n i exp ) ) q UBE (3.8) m k T V předcházejících úvahách jsme předpokládali, že koncentrační profil příměsí v emitoru je v blízkosti přechodu B-E velmi strmý, a proto jsme sledovali pouze vliv záporného gradientu koncentrace v bázi. V reálné struktuře je strmost emitorového koncentračního profilu omezená, což způsobí i existenci kladného gradientu koncentrace příměsí viz obr. 3.3. Elektrické pole, které vznikne v oblasti kladného gradientu, zpomaluje injekované minoritní nosiče, zatímco pole v oblasti záporného gradientu minoritní nosiče urychluje. To je důvod pro vytvoření co nejstrmějšího koncentračního profilu emitoru v oblasti přechodu B-E. Obr. 3.2 Vliv strmosti emitorového koncentračního profilu na vznik kladného gradientu koncentrace příměsí v bázi u reálné struktury npn.

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 3 3.2 VLIV SILNÉ INJEKCE NOSIČŮ Při injekci nadbytečných nosičů do oblasti polovodiče mohou nastat dva případy. Pokud je n = p N A, jedná se o nízkou úroveň injekce. Tzn., že koncentrace nerovnovážných nosičů je zanedbatelná ve srovnání s koncentrací příměsí. Druhý významný případ nastane tehdy, jestliže koncentrace nerovnovážných nosičů je porovnatelná nebo větší než N A. V tomto případě se jedná o vysokou úroveň injekce. V npn tranzistoru v případě nízké úrovně injekce, kdy koncentrace injekovaných elektronů n p N AB, není porušena podmínka nábojové neutrality a injekované nosiče se pohybují difúzí a driftem způsobeným zabudovaným elektrickým polem. Velikost difúzního proudu je určena gradientem koncentrace injekovaných elektronů v bázi. Obr. 3.3 Koncentrace elektronů a děr v polovodiči p typu v podmínkách termodynamické rovnováhy, nízké a vysoké injekce. V podmínkách silné injekce je koncentrace injekovaných elektronů n p > N AB. V tomto případě vnější zdroj musí dodat do báze díry tak, aby byl kompenzován záporný náboj nadbytečných elektronů a tím byla splněna podmínka nábojové neutrality. Nadbytečné díry mají stejný koncentrační profil jako elektrony a proti jejich pohybu vzniká v bázi další elektrické pole, které je stejně orientováno jako pole v důsledku záporného gradientu příměsí v bázi, takže zrychluje pohyb injekovaných elektronů. Výraz pro intenzitu elektrického pole můžeme odvodit obdobně jako (3.5) E = k T q p p (x) dp p (x) dx (3.9)

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 32 Dosazením (3.9) do (3.6) a s využitím µ n = q k T D nb J n (x) = q D nb [ dnp (x) dx + n p (x) p p (x) dp ] p (x) dx (3.20) Z podmínky vysoké injekce vyplývá p p (x) n p (x), takže (3.20) můžeme zjednodušit J n (x) = 2 q D nb dn p (x) dx (3.2) Pro x = 0, J n (0) = J dif, B a na hranici OPN B-C je koncentrace minoritních nosičů n p (W B ) 0 J dif, B = 2 q D nb n p (0) W B (3.22) Jak jsme již zmínili, v podmínkách vysoké úrovně injekce začne s rostoucím napětím U BE koncentrace děr v bázi p p (x) narůstat stejnou rychlostí jako koncentrace injekovaných elektronů n p (x), aby byla zachována elektrická neutralita. V bodě x = 0 pak pro součin koncentrací nosičů platí ( ) q p p (0) n p (0) = n 2 UBE i exp k T (3.23) Vzhledem k tomu, že koncentrace děr a elektronů se téměř rovnají, bude pro závislost koncentrace elektronů na U BE platit n p (0) = n i exp ( ) q UBE 2 k T (3.24) což je odlišná závislost od nízké injekce (3.0). Porovnáním (3.0) a (3.24) můžeme určit J dif, B v závislosti na U BE J dif, B = 2 q D NB n i W B exp ( ) q UBE 2 k T (3.25) Při koncentraci injekovaných elektronů, která je vyšší než koncentrace akceptorových příměsí v bázi, kdy se projevuje efekt silné injekce, se změní směrnice kolektorového proudu v Gummelově závislosti. V emitoru se situace nemění ani v podmínkach vysoké injekce, protože stále platí N DE (x) p n (x). Pro výpočet proudového zesilovacího činitele můžeme opět využít výraz (3.4) pro J dif, E. Předpokládejme, že nedochází k rekombinaci v neutrální bázi α T =, potom pro proudový zesilovací činitel v podmínkách vysoké injekce nosičů platí β hi = J dif, B J dif, E (3.26)

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 33 Dosazením (3.4) a (3.25) do (3.26) β hi = W EB +W E 2 D nb W EB n i W B D pe N DE (x) dx ( exp q U ) BE 2 k T (3.27) Pro přehlednost můžeme vyjádřit (3.28) v závislosti na J C β hi = 4 q D2 nb G E W 2 B D pe J C J C (3.28) Zvýšení koncentrace majoritních nosičů v bázi v důsledku silné injekce elektronů, tedy vede ke zvýšení Gummelova čísla v bázi. Tento efekt má tudíž vliv i na emitorovou účinnost a následně na β, což je možné doplnit do vztahu (3.8) s využitím (3.28), tedy doplněním /β hi. Úplný vztah pro proudový zesilovací činitel pak bude β = α T 4 ( WB L nb ) 2 + D pe G B D nb G E + W 2 B D pe J C 4 q D 2 nb G E G B R + (( 2 D nb n i exp ) ) q UBE (3.29) m k T Takto upravený výraz již zahrnuje jak pokles β v oblasti malých proudů v důsledku rekombinace v OPN přechodu EB, tak i pokles β v oblasti vysokých proudů v důsledku silné injekce elektronů do báze (obr. 3.4) a (obr. 3.5). Podmínka silné injekce elektronů do báze n p > N AB je splněna při J C > J Chi, kdy β hi β G. Porovnáním druhého (β G ) a třetího (β hi ) členu (3.29) dostaneme J Chi = 4 q D nb G B W 2 B (3.30) Na obr. 3.4 je znázorněna situace, kdy se mění N AB (0) při zachování konstantní šířky báze. S rostoucí koncentrací akceptorových příměsí v bodě x = 0 se tedy zvyšuje i Gummelovo číslo v bázi a proudový zesilovací činitel se ve střední oblasti J C snižuje. V souladu s (3.30) je vyšší hodnota koncentace příměsí v bázi příčinou rozšíření proudově nezávislé střední oblasti směrem k vyšším hodnotám J C. Naopak omezení této oblasti při nízkých hustotách kolektorového proudu je způsobeno vyšší hodnotou G B a tedy relativně vyšším poměrem rekombinačního a kolektorového proudu. Na obr. 3.5 je podobná situace, kdy se opět mění N AB (0) ovšem při zachování konstantní hodnoty Gummelova čísla v bázi. S rostoucí koncentrací akceptorových příměsí v bodě x = 0 se tedy zmenšuje šířka báze. Při G B = konst se proudový zesilovací činitel ve střední oblasti J C mění málo, pouze v důsledku rekombinace v různě široké neutrální bázi. Je opět patrné rozšíření proudově nezávislé střední oblasti směrem k vyšším hodnotam J C v případě vyšší hodnoty koncentrace N AB (0). Při nízkých hustotách kolektorového proudu se tato charakteristika nemění, protože je stejná hodnota G B.

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 34 Obr. 3.4 Pokles β při vyšších proudových hustotách J C v důsledku vysoké injekce elektronů do báze pro různou koncentraci akceptorových příměsí při W B = 0.8 µm. Obr. 3.5 Pokles β při vyšších proudových hustotách J C v důsledku vysoké injekce elektronů do báze pro různou koncentraci akceptorových příměsí při G B /D nb = 5.8 0 2 s/cm 4.

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 35 3.2. MODULACE VODIVOSTI BÁZE (WEBSTER EFFECT) Pro homogenně dotovanou bázi je vrstvový odpor báze R B definován jako poměr měrného odporu báze ϱ B a šířky báze W B. V případě gradientu příměsí v bázi bude mít vrstva o tloušt ce dx vrstvovou vodivost d (/R B ), pro kterou můžeme podle definice psát ( ) d = dx R B ϱ B (x) kde ϱ B (x) je závislost měrného odporu na hloubce báze (3.3) ϱ B (x) = q µ pb N AB (x) (3.32) a v obecném tvaru, kdy je doplněn i efekt silné injekce ϱ B (x) = q µ pb p p (x) (3.33) Potom R B = q µ nb W B 0 p p (x) dx (3.34) kde ( p p (x) = N AB (x) + p p (0) x ) W B (3.35) Po dosazení (3.35) a (3.24) do (3.34) a integraci dostaneme výraz pro efektivní vrstvový odpor R B = q µ pb G B + q W B 2 J C R B 4 k T (3.36) Ze vztahu (3.36) je patrné, že díry dodané vnějším zdrojem do báze proto, aby byl kompenzován záporný náboj nadbytečných elektronů, přispívají ke snížení odporu aktivní báze. Snížení odporu aktivní báze se samozřejmě projevuje při stejné proudové hustotě kolektoru jako v případě β, viz obr. 3.6. 3.2.2 ODPOR AKTIVNÍ BÁZE A ZHUŠŤOVÁNÍ PROUDU (CURRENT CROWDING) V důsledku rekombinace minoritních nosičů injekovaných do emitoru, rekombinace v OPN přechodu B-E a rekombinace v neutrální oblasti báze vzniká bázový proud. Tento proud protéká příčně přes bázovou oblast a v důsledku odporu báze vzniká podél báze úbytek napětí, viz obr. 3.7.

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 36 Obr. 3.6 Porovnání vlivu vysoké injekce elektronů do báze na závislosti R B a β při vyšších proudových hustotách J C. U tranzistoru na obr. 3.7 je úbytek napětí největší ve středu emitoru a směrem k hraně emitoru klesá. Tento úbytek napětí částečně kompenzuje přiložené vnější napětí B-E v propustném směru tak, že vnitřní napětí U BE je největší u hrany emitoru a směrem ke středu emitoru se postupně zmenšuje. V důsledku toho bude největší hustota injekovaného proudu u hrany emitoru a směrem ke středu bude postupně klesat. Tento efekt se nazývá current crowding a může být rovněž interpretován jako efektivní zmenšení plochy emitoru. Potřebujeme tedy stanovit a optimalizovat odpor aktivní báze, přes který teče proud báze. Průměrná hodnota úbytku napětí podél aktivní báze je V B = Y E 2 Y E /2 0 V B (y) dy (3.37) pokud úbytek napětí mimo oblast aktivní báze (y > Y E /2) můžeme zanedbat. Pak může být zadefinován odpor šíření v bázi r B V B I B (3.38) Výpočet V B je závislý na konkrétní geometrii tranzistoru. V následující části je tento postup naznačen pro proužkové uspořádání bázových kontaktů (obr. 3.7). Úbytek napětí na elementu dy

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 37 Obr. 3.7 Struktura pro výpočet bázového odporu s proužkovým uspořádáním bázových kontaktů. je kde Z E je délka emitoru a R B vrstvový odpor aktivní báze. dv B = R B dy Z E I B (y) (3.39) Pro bázový proud v bodě y použijeme zjednodušený tvar bez vlivu zhušt ování proudu I B (y) = 2 I B y Y E 2 (3.40) Zde I B je celkový bázový proud. Dosazením (3.40) do (3.39) a integrací pak dostaneme V B (y) = R B I B Z E Y E y 2 2 + K (3.4) kde integrační konstanta K = 0, nebot předpokládáme, že pro y = 0 platí I B (y) = 0. Podobně dosazením (3.4) do (3.37) a integrací získáme průměrnou hodnotu úbytku napětí na vzdálenosti Y E /2 V B = 2 Odpor šíření báze pak dostaneme podle definice (3.38) Y E Z E R B I B (3.42) r B = 2 Y E Z E R B (3.43) Z provedené analýzy závislosti proudové hustoty emitoru podél báze [3] vyplývá, že pokles proudu

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 38 závisí na R B a hustotě emitorového proudu středně silně. Dominantní vliv však má geometrie tranzistoru, tzn. počet bázových kontaktů a geometrie emitoru. V uvedené práci byla odvozena přibližná aproximace J E (y) J E (Y E /2) [ ( ) YE + 2 y RB 2 q J ] 2 (3.44) E (Y E /2) β k T pro y 0, Y E /2. J E (Y E /2) je proudová hustota na hraně emitoru. Ze vztahu (3.44) je patrné, že pro omezení tohoto jevu musí být člen pod odmocninou co nejmenší. Tzn., že musí být co nejmenší R B, bázový proud J E (Y E /2) /β a rovněž šířka emitoru. Z tohoto důvodu mívají výkonové bipolární tranzistory speciální topologii zvětšující poměr obvodu a plochy emitoru. Obr. 3.8 Zhušt ování proudu na hraně emitoru při vyšších proudových hustotách J E, R B = 4.5 kω/sq, β = 350. Závislosti na obr. 3.8 byly získány při proudových hustotách v emitoru, kdy se neprojevuje modulace vodivosti báze. Vzájemné působení crowding efektu a modulace vodivosti báze je v reálné struktuře složitější, proto se omezíme jen na kvalitativní výklad. Jestliže se zvyšuje I E tak, že se tranzistor dostává do oblasti vysoké injekce, uplatní se několik jevů. Nejdříve se s rostoucím I B začne zmenšovat efektivní plocha emitoru (crowding efekt). Dále se začně snižovat γ v důsledku modulace vodivosti báze, což vede k dalšímu zvyšování I B a následně snižování efektivní plochy emitoru. Tento proces dosáhne rovnováhy působením dalšího limitujícího

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 39 faktoru. Tímto faktorem je pokles R B v důsledku modulace vodivosti báze. Zhušt ování proudu tedy způsobuje rychlejší pokles β v oblasti vysokých proudů, než bylo odvozeno pouze s uvážením modulace vodivosti báze (3.29). 3.2.3 ROZŠIŘOVÁNÍ NEUTRÁLNÍ BÁZE (KIRK EFFECT) Dalším jevem, který souvisí s vysokou injekcí u epitaxních tranzistorů, je rozšiřování neutrální báze do oblasti nízkolegovaného kolektoru (epitaxní vrstvy). Obr. 3.9 Definice parametrů pro bázi a kolektor. K tomuto efektu dochází tehdy, pokud koncentrace injekovaných elektronů v místě x = W C je porovnatelná nebo větší než koncentrace příměsí v epitaxní vrstvě. Kritická proudová hustota kolektoru, nad kterou dochází ke Kirkovu jevu, je dána vztahem [5] ( J CT = q v s N DC + 2 ε ) r ε 0 U CB q WC 2 (3.45) kde N DC je koncentrace příměsí v epitaxní vrstvě, U CB je přiložené napětí na přechod B-C v závěrném směru a v s je saturovaná rychlost elektronů ( v s 0 7 cm/s při 300 K v Si ). Nerovnovážné elektrony, které jsou odsáty do epitaxní vrstvy při J C > J CT, jsou neutralizovány nerovnovážnými dírami tak, aby byla zachována nábojová neutralita v kolektoru. Takto vytvořená kvazineutrální oblast vede k rozšíření báze. Protože je v kolektoru zanedbatelný proud děr, vytvoří se v epitaxní vrstvě elektrické pole, které zabraňuje pohybu nerovnovážných děr (driftový proud děr kompenzuje difúzní proud). Toto pole způsobí, že polovina elektronového proudu je tvořena difúzí a polovina driftem. Jestliže tedy dojde k rozšíření báze do epitaxní vrstvy, nastává v této oblasti současně i Webstrův efekt. Pokud je přechod B-C pouze slabě závěrně polarizován, efektivní šířka báze se bude zvyšovat s rostoucím proudem do epitaxní vrstvy až dosáhne maximální hodnotu W B + W C. Pak již jakékoliv zvýšení kolektorového proudu způsobí pouze zvýšení sklonu gradientu elektronů v efektivní bázi. Rozšíření báze, indukované proudem kolektoru, závisí na koncentraci N DC a proudové hustotě kolektoru J C podle vztahu [5] platí pro J C > q v s N DC. ( ) ] JCT q v s N /2 DC W CIB = W C [ J C q v s N DC (3.46)

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 40 Na obr. 3.0a je koncentrační profil npn tranzistoru a na obr. 3.0b závislost intenzity elektrického pole pro různou proudovou hustotu v kolektoru. Na obr. 3.0c a 3.0d je distribuce děr a elektronů v epitaxním tranzistoru pro různou hustotu kolektorového proudu. Hustota proudu 9.92 0 A/cm 2 je pod hranicí J CT. Distribuce děr odpovídá koncentračnímu profilu akceptorů v bázi a z distribuce elektronů je patrné, že koncentrace injekovaných elektronů je zanedbatelná ve srovnání s koncentrací donorů v kolektoru. Při intenzitě 6.95 0 2 A/cm 2 se zvyšuje současně koncentrace elektronů i děr v části epitaxní vrstvy. V této části epitaxní vrstvy se takto objevuje Webstrův efekt. Při dalším zvyšování J C je koncentrace injekovaných elektronů v bázi již větší než N AB a nábojová neutralita v bázi je zachovaná prostřednictvím zvýšení koncentrace děr. Takto vzniká Webstrův efekt i v původní bázi. Na obr. 3.0e je závislost zpoždění jako funkce J C. Pro malé proudy je zpoždění dáno hlavně nabíjením a vybíjením kapacit závěrně polarizovaných pn přechodů. V oblasti J C > J CT, τ prudce roste v důsledku rozšiřování báze a zvětšování akumulovaného náboje v bázi. Pro vysoké proudy je koncentrace děr přibližně úměrná J C, šířka báze se již nemění, proto je i zpoždění konstantní. Pro kolektorový proud (obr. 3.0c, J C > 2.77 0 3 A/cm 2 ), při použití zjednodušené aproximace koncentračního profilu majoritních děr ve tvaru ( p p (x) = n p (0) W B + W CIB ) (3.47) budou platit vztahy odvozené pro podmínky silné injekce i v případě rozšíření báze indukované proudem kolektoru, pouze je nutné upravit šířku báze. Celkové množství děr na jednotku plochy bude W B 0 p p (x) dx = n p (0) WB + W CIB 2 (3.48) Proud J dif, B s využitím (3.28) J dif, B = 2 q D ( ) nb n i q UBE exp W B + W CIB 2 k T a obdobně pro J C > q v s N DC je možné upravit šířku báze ve vztahu (3.29) β = α T [ 4 ( ) WB + W 2 CIB + D pe G B L nb + (W B + W CIB ) 2 D pe J C D nb G E 4 q DnB 2 G + E G B R + (( 2 D nb n i exp ) ) q UBE m k T (3.49) (3.50)

3 ROZŠÍŘENÍ KLASICKÉHO MODELU 4 Obr. 3.0 Výsledky simulace tranzistoru v podmínkách vysoké injekce, kdy se uplatní Kirkův jev [5]: a) Koncentrační profil příměsí npn tranzistoru, b) Závislost intenzity elektrického pole na vzdálenosti a kolektorovém proudu, c) Průběh koncentrace děr na vzdálenosti a kolektorovém proudu, d) Průběh koncentrace elektronů na vzdálenosti a kolektorovém proudu, e) Zpoždění v závislosti na proudu kolektoru.