Nové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou"

Štefan Kašpar
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Nové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou Jiří Málek Abstrakt V první části e uveden vztah (4) pro obecný derivát záviseící na dvou (neobchodovatelných) instrumentech. Tento vztah e pak aplikován na Hestonův model opce se stochastickou volatilitou. Stručně e podáno odvození vzorce pro cenu oce a sou uvedeny simulační studie zkoumaící závislost ceny opce na korelaci podkladu a volatility a srovnání s Black- Scholesovým modelem Klíčová slova Kupní opce, stochastická volatilita, rizikově neutrální dynamika, korelace, Monte-Carlo Úvod Klasická Black-Scholesova ormule e založena na předpokladu normálnosti výnosnosti podkladového instrumentu. To vyplývá mimo iné z předpokladu konstantní volatility. Pokud by toto bylo splněno, pak by implikovaná volatilita byla konstantní pro všechny realizační ceny (při daném času exspirace). Brzy se však ukázalo, že implikovaná volatilita není konstantní a vytváří tzv. volatility smile. Vysvětlení tohoto evu e několik, ale neslibněší se eví stochastický charakter volatility. V tomto příspěvku si nedříve obecně odvodíme vztah (4) a na eho základě pak parciální dierenciální rovnici, kterou splňue každý derivát záviseící na podkladové akcii se stochastickou volatilitou. Specielně se budeme věnovat Hestonovu modelu, který získal nevětší popularitu. Oecný vztah pro derivát záviseící na dvou podkladových intrumentech Předpokládeme, že cena derivátu t, θ, θ, závisí na dvou podkladových instrumentech (obecně nemusí být obchodovatelné) θ, θ, které sou řízeny rovnicemi dq = m q dt + s q dw i =, i i i i i i kde W, W sou korelované Wienerovy procesy, ( W W ) corr, = r mi, si sou konstanty Dynamika ednotlivých derivátů podle vícerozměrné Itoovy ormule e Doc. Jiří Málek, Ph.D., katedra bankovnictví a poišťovnictví, VŠE, nám. W. Churchila 4, Praha 3, malek@vse.cz

2 d = m dt + s dw + s dw m = + m q + m q + s q + s q + + r s s q q t s s = q = q q q q q q q s q s q Pomocí tří iž obchodovatelných derivátů sestavíme bezrizikové portolio P = k + k + k 3 3 ks + ks + k3s 3 3 = 0 () k s + k s + k s = 0 () Přírůstek hodnoty portolia e ( m m m ) dp = k + k + k dt Protože portolio e bezrizikové, musí patit dp = P rdt r e bezriziková úroková míra ć ö km + km + k3m3 3 = rç k + k + k3 3 çč ř ( m ) ( m ) ( m ) k - r + k - r + k - r = (3) Protože ne všechna m- r = l s + l s k v rovnicích (), (), (3) sou nulová, musí být rovnice závislé. Tedy po úpravě ( 4) Poslední výraz, (4), kde l, l se interpretuí ako tržní ceny rizika θ, θ resp., e základní t, θ, θ, pomocí kterého odvodíme parciální vztah, který splňue libovolný derivát typu dierenciální rovnici pro cenu opce v Hestonově modelu. Hestonův model V Hestonově modelu opce závisí na dvou aktorech: podkladové akcii a volatilitě. Rovnice akcie a rozptylu (volatility) sou = µ + ds t S t dt v t S t dw t dν t = κ θ ν t dt + σ ν t dw t

3 kde m, k, s, q sou konstanty. Rovnice opce e podle Itoovy ormule dc = mcdt + s dw + s dw C C mc C = + ms + k q- n + ns t S n S C C + s n + r s ns n S n C s CC = S n S C s C C = s n n Odtud podle předchozí části máme C C C C m - r = l s + l s C C C (5) (6) (7) (8) Vynásobme (8) C a dosaďme výrazy (5), (6), (7). Po úpravách dostáváme parciální dierenciální rovnici pro cenu opce: S é t S nęë úő S C C + s n + r s n = rc n S n C C C C + m- l n + k q- n - l s nů+ ns Jelikož akcie e obchodovatelná, e tržní cena rizika l rovna m- r l = u a tedy m- l n = r Volatilita není obchodovatelná a eí tržní cenu rizika e třeba odhadnout z iž obchodovaných opcí. Hestonův model předpokládá, že λσ ν = λν. Dosazením máme t S n ë ő S C C + s n + r s ns = rc. n S n C C C C + rs + ék ( q- n) - l nů+ ns

4 Hraniční podmínka (,, ) max (,0) C S T T K = S T - K. Řešení parciální dierenciální rovnice Zavedením substituce x log ( S ) = dostáváme C Cć ö C C + çr - n + ék ( q- n) - l nů+ n t x çč ř n ë ő x C C + s n + rs n = rc. 9 n x n Předpokládeme řešení ve tvaru ( T t C S,,T t SP S,,T t Ke ν = ν ) P S, ν,t t 0 Dosazením (0) do (9) dostáváme, že P musí splňovat rovnice + ( r + u ν ) + ( a bν ) + ν P P P P t x ν x P P + ρσν + σ ν = 0 x ν ν u =, u =, a = κθ, b = κ + λ ρσ, b = κ + λ Okraová podmínka e ( ν ) = x log( K ) P x,,t { }. P ako rizikově neutrální pravděpodobnosti Měme rovnice t t ( ) ( ) dx = r + u ν dt + νdw dν = a b ν dt + σ νdw a pomocí unkce g( x, n ) deinume E x, ν,t = g x T, T x t x, t ν = ν = ν. Podle Itoovy ormule

5 = + ( + ν ) + ( ν ) + ν d r u a b t x ν x dw dw + ρσν + σ ν + ν + σ ν x ν ν x ν e martingal, a proto drit musí být nulový: + ( r + u ν ) + ( a bν ) + ν t x ν x Hraniční podmínka: ( ν ) = ( ν ) x,,t g x,. + ρσν + σ ν = 0. x ν ν Tato rovnice e stená ako pro P. Jestliže volíme ( ν ) = x log( K ) g x, { } budou podmíněnými pravděpodobnostmi { } ( log ) log P x, ν,t, K = P x T K x t = x, ν t = ν Řešení neexistue v uzavřené ormě. Volíme proto exp g x,v = iφ x. sou charakteristické unkce. Řešení hledáme ve tvaru ( x, ν,t ) = exp( A ( T t) + B ( T t) v + iφ x) A,B splňui dvě obyčené dierenciální rovnice B ( τ ) + iu φ bb Φ + iρσφ B + σ B = 0 A τ + iτφ + ab = 0

6 vzhledem A, B 0 = 0 0 = 0 Řešením e x, ν,t; Φ = exp A T t; Φ + B T t; Φ v + iφx a g e A ( τ; Φ ) = irφτ + ( b iρσφ + d ) τ log σ g d τ b iρσφ + d e B ( τ; Φ ) = d τ σ g e b iρσφ + d g = b iρσφ d ( ) d = iρσφ b σ iu Φ Φ Pravděpodobnosti d τ P získáme inverzní Fourierovou transormací log iφ K e ( x, ν,t ; Φ) P ( x, ν,t; log ( K )) = + Re dφ π iφ 0. Rizikově neutrální dynamika v Hestonově modelu Podle Girsanovovy věty sou náhodné procesy W % ( t), W ( t ) pravděpodobnostní míře Q : dw% t = dw t - l dt dw% ( t) = dw ( t) - l ( S, u, t) dt dq ě t t t = exp ď í - -,, - -,, dp ň0 ň0 ň o ďî ( l l ( S u t ) ds l dw ( s) l ( S u s) dw( s) Rizikově neutrální dynamika v Hestonově modelu e ds = rs dt + u S dw% t t t t t = * ( * - ) + % ( W% W% ) = r du k q u dt s u dw t t t t corr, % Wienerovy procesy při ü ý ď Ń ď

7 * k = k + ks n q * k q = k + ks n ( t) ( t) Cena opce e rizikově neutrálním světě Q rt C( S, T, K, n) = E ée max S( T) K,0ů ę - ú ë ő.. Závislost ceny opcí v Hestonově modelu na korelaci Výraz () lze použít k ocenění opce pomocí metody Monte-Carlo. Předpokládeme, že sme odhadli následuící vstupní parametry: µ = 0., κ = 0, θ = 0., σ = 0.3, λ = Obr.. Závislost ceny call opce v závislosti na korelaci. Tržní cena volatility byla volena záporná : λ = (v praxi častěší případ) S=000 K=000 T=3days option price corr Obr.. Závislost ceny call opce v závislosti na korelaci. Tržní cena volatility byla volena kladná, λ =, čas do doby maturity opce byl týden K=000 S=000 option price corr

8 . Srovnání Hestonova a Black-Scholesova modelu. Za volatilitu v BS byla volena průměrná volatilita vygenerovaná v Hestonově modelu K Heston Black-Scholes Tab. : Srovnání modelu Hestona a Black-Scholese. (expirace 3 dny, korelace -0,6, záporná tržní cena rizika volatility, λ =, počáteční hodnota akcie 000, úrokov) 3 Závěr Při simulačních experimentech se ukázal vliv prémie riziko volatility a korelace mezi pohyby podkladové akcie a volatility. Pokud se předpokládá záporná volatilní prémie (ak e často v realitě), pak s růstem korelace roste i cena opce. Při srovnání Hestova modelu a BS modelu, pak Hestonův model dává nižší ceny at-the-money a out-o-the-money opcí a vyšší ceny inthe-money opcí. Literatura [] HESTON, S.L.: A closed-orm solution or option with stochastic volatility with applications to bonds and currency options, The Review o Financial Studies 6(), [] MOODLEY, N.: The Heston model A practical approach with Matlab code, 005, Internet Summary There is stated the general relation or a derivate depending on two no tradable instruments. This relation is applied to option with stochastic volatility (Heston model). The closed orm solution is shortly derived. The risk neutral dynamics and Monte-Carlo simulations are used to ind dependency o the µ = 0., κ = 0, θ = 0., σ = 0.3, λ = option price on the correlation between stock price and volatility and to compare Heston and Black-Scholes model.

Podobné dokumenty

Aplikace stochastických procesů při oceňování finančních derivátů. Jiří Málek, katedra bankovnictví a pojišťovnictví, VŠE Praha

Aplikace stochastických procesů při oceňování finančních derivátů Jiří Málek, katedra bankovnictví a pojišťovnictví, VŠE Praha Obsah Základní údaje o opcích Binomický model a konvergence k Black- Scholesově