Přemysl Bejda.
|
|
- Blažena Černá
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2010
2 Obsah Obchodovatelnost Cena rizika
3 Obsah Obchodovatelnost Cena rizika
4 Obsah Obchodovatelnost Cena rizika
5 Itôovo lemma Lemma (Itôovo) Necht X t je stochastický proces ve tvaru dx t = σ t dw t + µ t dt a f je deterministická dvakrát diferencovatelná funkce. Potom Y t = f (X t ) je také stochastický proces a platí: dy t = (σ t f (X t )) dw t + (µ t f (X t ) σ2 t f (X t )) dt První krok Neobchodovatelný
6 Martingaly Lemma Necht X je stochastický proces ve tvaru dx t = σ t dw t + µ t dt, který splňuje podmínku E [( T 0 σ2 sds) 2 ] <. W t je Brownův pohyb. Pak platí: X t je martingal X je bez driftu (µ t 0). Věta (O reprezentaci martingalů) Necht M t je martingal vzhledem k míře Q, jehož volatilita σ t je s.j. nenulová. Pokud N t je libovolný martingal vzhledem k míře Q, pak existuje F t -previsible proces φ t tak, že s.j. platí T 0 φ2 t σt 2 dt < a N t lze psát jako: N t = N 0 + t 0 φ sdm s. Proces φ t je navíc určen jednoznačně. 1 První krok Kroky 2 a 3
7 Cameron - Martin - Girsanov Věta (Cameron - Martin - Girsanov) Necht W t je Brownův pohyb vzhledem k míře P a γ t je F t -adaptovaný proces, který splňuje podmínku E P exp { 1 2 T 0 γ2 t dt} <. Pak existuje míra Q taková, že platí: 1 Q je ekvivalentní s P 2 dq dp = exp { T 0 γ tdw t 1 2 T 0 γ2 t dt} 3 Wt = W t + t 0 γ sds je Brownův pohyb vzhledem k míře Q. Tedy W t je Brownův pohyb vzhledem k míře Q s driftem γ t v čase t. První krok Shodné hodnoty
8 Samofinancující a replikační strategie Samofinancující strategie je taková, kdy nemusíme doplňovat portfolio žádnými penězi navíc, ale také není možné z něj jakékoli peníze odčerpat. Tj. změna hodnoty portfolia závisí pouze na změnách cen jednotlivých komponent našeho portfolia. Výpočty Věta (Samofinancující strategie a ekvivalentní tvrzení) Máme-li nějaké portfolio s cenou akcie S t a množstvím jednotek této akcie φ t. Dále máme-li dluhopis B t v počtu ψ t. Dvojici (φ t, ψ t ) označme za strategii. Naše portfolio má hodnotu V t = φ t S t + ψ t B t. Diskontovanou hodnotu E t = φ t Z t + ψ t, kde Z t = Bt 1 S t. Pak z definice je strategie samofinancující pokud dv t = φ t ds t + ψ t db t, což je ekvivalentní s de t = φ t dz t. Replikační strategie je samofinancující a navíc hodnota portfolia přesně zajišt uje nějakou budoucí platbu. 3 kroky
9 Identifikace normality Věta (Identifikace normality) Náhodná veličina X je normálně rozdělená vzhledem k míře P, právě tehdy když pro každé θ E P (exp(θx )) = exp(θµ θ2 σ 2 ). Tato věta je speciální případ věty o charakteristické funkci normálního rozdělení. Forward Shodné hodnoty
10 Radonova Nikodýmova věta Věta (Procesy do času T ) Předpokládejme, že P a Q jsou ekvivalentní míry (vzájemně absolutně spojité). Můžeme definovat kladnou reálnou náhodnou veličinu dp dq splňující 1 E Q (X T ) = E P ( dp dq X T ), pro každou X T platbu, jež bude známa v čase T. 2 E Q (X T F s ) = ζs 1 E P (ζ T X T F s ), pokud s t T, kde ζ t = E P ( dp dq F t). Tato věta také ukazuje vlastnosti Radonovi Nikodýmovi derivace, ale bylo by třeba dokázat ekvivalenci. Shodné hodnoty
11 Definice V čase T, dojde k platbě X. t [0, T ] je čas. Úroková míra pro dolar je r, pro libru u. Směnný kurz v čase t je C t. Blackův-Scholesův model pro měny Dluhopis na dolar B t = e rt. Dluhopis na libru D t = e ut. Kurz libry vůči dolaru C t = C 0 exp(σw t + µt), kde W t je Brownův pohyb vzhledem k P a r, u, σ, µ jsou konstanty.
12 Investor s dolary B t je obchodovatelné. S t = C t D t cena dluhopisu na jednu libru vyjádřená v dolarech. Je obchodovatelná pro našeho investora. C t samo není obchodovatelné, protože ze samotných peněz nemáme zisk. V rizikově neutrálním světě budu mít vždy pouze výnos, který se řídí úrokovou mírou r, aby mělo S t význam jako martingal, je třeba diskontovat. Tři kroky k replikační strategii Strategie 1 Najdi míru Q, Z t = Bt 1 C t D t je martingal. 2 Vytvoř proces E t = E Q (B 1 T X F t). 3 Najdi previsible proces φ t, tak že de t = φ t dz t.
13 První krok 1 Máme tedy Z t = C 0 exp(σw t + (µ + u r)t). (1) Dále postupujeme jako předchozí přednášku: Definuj Y t = σw t + (µ + u r)t, pak stochastická diferenciální rovnice je dy t = σdw t + (µ + u r)dt. Jelikož Z t = exp(y t ) dostanu z Itôova lemmatu dz t = σz t dw t + (µ + u r σ2 )Z t dt. (2) Itôovo lemma Podle tvrzení o martingalech, aby Z t bylo martingal, nesmí mít drift. Martingaly Nyní označíme konstantní proces γ t = γ = (µ + u r σ2 )/σ.
14 První krok Podle C-M-G můžeme nalézt míru Q, při které W t = W t + γt je Brownův pohyb vzhledem k míře Q. C-M-G Po substituci W t = W t γt do (2) dostaneme dz t = σz t d W t. Takže podle věty o martingalech nemá (vzhledem ke Q) Z t drift a tedy je martingal vzhledem ke Q. Nyní dosadíme do (1) W t = W t ((µ + u r σ2 )/σ) t tím dostaneme Z t = C 0 exp(σ W t 1 2 σ2 t) a tedy C t = C 0 exp(σ W t + (r u 1 2 σ2 )t). Forward Shodné hodnoty
15 Druhý a třetí krok 2 Proces E t = E Q (B 1 T X F t) jak to vypadá s platbou X, pokud jsem v čase t. Je to martingal. 3 Podle věty o reprezentaci martingalů existuje F previsible proces φ t, takový že E t = E 0 + t 0 φ sdz s. Martingaly Strategie Budeme držet φ t jednotek dluhopisu v librách. ψ t = E t φ t Z t jednotek dolarového dluhopisu. Forward
16 Několik výpočtů Chceme, aby strategie byla replikační tj. aby V T = X, kde V t je hodnota našeho portfolia. Také chceme, aby byla strategie (φ t, ψ t ) samofinancující. Strategie Díky větě o reprezentaci martingalů máme (viz předchozí slide) de t = φ t dz t, což je ekvivalentní podmínka pro samofinancující strategii. Hodnota našeho portfolia v čase t za strategie (φ t, ψ t ) a po jednoduchém výpočtu je V t = φ t S t + ψ t B t = B t E t, nebot ψ t = E t φ t Bt 1 S t. Z toho V T = B T E T, ale E T = BT 1 X takže naše portfolio je replikační, nebot má v čase T hodnotu X.
17 Oceňovací vzorec pro cizí měny Z předchozích výpočtů vyplývá následující vztah. Oceňovací vzorec pro cizí měny Portfolio s reprodukční strategií na dosažení platby X v čase T, má v čase t hodnotu V t = B t E Q (B 1 T X F t) (3) kde Q je míra vzhledem ke které je Z t martingalem. Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy počítat hodnotu nějaké platby X v budoucnu na trhu s cizí měnou. Nebot naše portfolio mělo takovou hodnotu, abychom byli schopni tuto platbu v budoucnu uskutečnit. L Shodné hodnoty
18 Forward Za jakou cenu k bychom měli souhlasit s nákupem jedné libry v čase T? V čase T budeme muset zaplatit rozdíl mezi cenou na burze a dohodnutou cenou, tedy X = C T k. Z našeho vzorce na předchozím slidu plyne, že hodnota tohoto forwardu v čase t je V t = B t E Q (Bt 1 X F t ), což je e r(t t) E Q (C T k F t ). Protože počítáme v rizikově neutrálním světě je V 0 = 0, což dává k = E Q (C T ). Odtud a z Vzorec C t k = E Q (C 0 exp(σ W T + (r u 1 2 σ2 )T )) = e (r u)t C 0 kde jsme využili vlastnosti Brownova pohybu W T N(0, T ) a Identifikace normality.
19 Forward Vzorec z předchozího slidu použijeme, ale místo z 0 vyjdeme z t dostaneme E Q (C T F t ) = e (r u)(t t) C t. Pak můžeme počítat V t = e r(t t) E Q (C T k F t ) = e r(t t) (E Q (C T F t ) e (r u)t C 0 ) = = e ut (e ut C t e rt C 0 ). Z předchozího víme, že V t = B t E t a Z t = Bt 1 C t D t = e rt C t e ut takže diskontovaná hodnota portfolia je E t = Bt 1 V t = e ut Z t e ut C 0. Z toho dostaneme de t = e ut dz t takže pro strategii φ t (vzhledem ke vzorci Kroky 2 a 3 ) dostaneme e ut. Pro ψ t pak ψ t = E t φ t Z t = e ut C 0.
20 Call opce Hledáme cenu opce: můžeme nakoupit jednu libru za k dolarů v čase T. Platba v dolarech v čase T je X = (C T k) +. Opět využijeme vztahu V t = B t E Q (BT 1X F t). Protože C T má logaritmicko-normální rozdělení využijeme vztahu: Vztah pro logaritmicko normální rozdělení Jestliže Z N(0, 1) a F, σ, k jsou konstanty, pak E ((F exp( σz 1 2 σ2 ) k) + ) = FΦ log F k σ2 σ kφ log F k 1 2 σ2 σ.
21 Call opce Pomocí předchozího vztahu a obdobných metod, které jsme využili pro forward se dospěje k následujícímu vztahu. F = E Q (C T ) je cena forwardu. V 0 = e rt FΦ log F k σ2 T σ T kφ log F k 1 2 σ2 T σ. T Pro strategie vycházejí obdobné vzorce.
22 Investice v librách Musíme pouze celou situaci zrcadlově převrátit. Definice a značení C 1 t představuje cenu jednoho dolaru v librách. U t je cena našeho portfolia v čase t. D t jako dřív hodnota dluhopisu v librách. B t hodnota dolarového dluhopisu. Y t = Dt 1 Ct 1 B t = C0 1 exp( σw t (µ + u r)t) diskontovaná cena dolarového dluhopisu v librách.
23 Investice v librách Nyní stačí získat proces W L t = W t + σ 1 t(µ + u r 1 2 σ2 ), tak aby proces Y t byl martingalem, ale nyní k míře Q L. Toto potřebujeme k tomu, abychom mohli sledovat tři kroky co vedou k replikační strategii, jen používáme převrácené značení. Z tohoto dostaneme: Oceňovací vzorec pro cizí měny (vzhledem k librám) Portfolio s reprodukční strategií na dosažení platby v librách X v čase T, má v čase t hodnotu U t = D t E Q L(D 1 T X F t) kde Q L je míra vzhledem ke které je Y t martingalem. Jen pro kontrolu. $ Shodné hodnoty
24 Přijme Angličan jinou cenu, než Američan? Otázku formalizujeme do tvaru: C t U t = V t? Protože z předchozích úvah víme, že W t = W t + σ 1 t(µ + u r σ2 ), pak W t L = W t σt. Nyní můžeme opět použít C-M-G s γ = σ. Dostaneme dql dq = exp(σ W T 1 2 σ2 T ). Dále zaved me ζ t = E Q ( dql dq F t) = exp(σ W t 1 2 σ2 t). Identifikace normality
25 Přijme Angličan jinou cenu, než Američan? Dříve jsme spočetli První krok, z toho máme C 0 ζ t = Z t = Bt 1 C t D t. Z věty R-N plyne EQ L(X F t ) = ζt 1 E Q (ζ T X F t ). Ze vzorce L dostáváme C t U t = C t D t E Q L(DT 1C 1 C t D t ζt 1 E Q (ζ T DT 1C 1 T X F t). X je dolarová pltaba, proto Angličan raději v T zaplatí C 1 T T X F t) = X, nebot cena je v dolarech. Po dosazení a ze vzorce $ dostaneme C t U t = B t E Q (B 1 T X F t) = V t. Což jsme chtěli ukázat.
26 Spojité výnosy Představme si, že jsme vlastníky nějakého aktiva, které přináší stálý a jistý výnos, či ztrátu. Pro jednoduchost budeme mluvit o akciích. Akciový model se spojitými výplatami Necht se cena akcie vyvíjí podle Blackova-Scholesova modelu, S t = S 0 exp(σw t + µ t ) a B t = exp(rt) je dluhopis s konstantní úrokovou mírou. Pak necht platba dividendy v časovém intervalu dt počínajícím v čase t má hodnotu δs t dt. Problém spočívá v neobchodovatelnosti procesu S t, nebot pokud koupíme za S 0 a pak prodáváme v čase T, již nemáme pouze počáteční množství. Máme navíc to, co jsme získaly na dividendách (což dohromady stojí víc než S T ).
27 Spojité výnosy Tj. pokud se budeme řídit pouze S t oceníme nezbytně nějaký derivát nižší hodnotou, než jaká by měla být, aby nedošlo k arbitráži (pokud δ > 0). Potřebujeme proces, který má souvislost s S t, ale je obchodovatelný. Představme si, že nakoupíme za každou utrženou dividendu, které se ovšem vyplácí spojitě, ihned akcii, z které dividendy dostáváme. Což je to samé jako spojité úročení, takže se cena mého portfolia musí ještě násobit exp(δt). Obchodovatelný proces bude vypadat takto S t = S 0 exp(σw t + (µ + δ)t).
28 Výsledky u spojitých výnosů S tímto procesem již můžeme pracovat a hledat replikační strategii. Postupujeme obdobně jako v předchozím případě. Pro forward vychází jeho hodnota F = e (r δ)t S 0. δ(t t) Přičemž replikační strategie říká: držte φ t = e jednotek akcie a ψ t = Fe rt jednotek dluhopisu.
29 Periodicky placené výnosy Model pro akcie s periodickými dividendami Necht v časech T 1, T 2,... jsou vypláceny dividendy definované jako nějaké δ (0, 1) násobené cenou akcie v momentu vyplácení. Tržní cena akcie je modelována vztahem S t = S 0 (1 δ) n[t] exp(σw t + µt) kde n[t] = max{i T i t} je počet vyplacených dividend do času t. Je zde také obvyklá cena dluhopisu v čase t na jednotku měny B t = exp(rt). W t je Brownův pohyb, µ, σ jsou konstanty.
30 Periodicky placené výnosy Nyní čelíme dvěma problémům: 1 Opět S t není obchodovatelné, protože nepočítáme s tím, že dostaneme dividendy. 2 Mimo časy T 1, T 2,... se sice proces S t řídí stochastickou diferenciální rovnicí ds t = S t (σdw t + (µ σ2 )dt), nicméně v těchto časech má skoky. Stačí ovšem postupovat jako v předchozím případě. Dividendy, které dostaneme, ihned investujeme do nákupu akcie. Tím pádem to dopadne, jako kdybychom žádné dividendy nevypláceli. Tedy máme obchodovatelný proces beze skoků S t = (1 δ) n[t] S t = S 0 exp(σw t + µt). S tímto procesem již pracujeme standardně. Dostaneme např. cenu forwardu jako F = S 0 (1 δ) n[t ] e rt.
31 Obchodovatelnost Cena rizika Martingaly jsou obchodovatelné Bohužel jsem v knize Financial Calculus nenašel vhodnou definici obchodovatelnosti, z které by bylo možno vycházet. Budeme postupovat pouze intuitivně. Obchodovatelné aktivum bude pro nás takové, které nevytváří arbitrážní příležitosti. Mějme obchodovatelný martinagal Z t = B 1 t míře Q. Jiný F t adaptovaný proces E t = B 1 t S t vzhledem k V t vzhledem k míře Q, který je taktéž Q martingalem. B t představuje obchodovatelný dluhopis. Je pak proces E t také obchodovatelný? Stačí spočítat replikační strategii, díky které dospějeme k E T pomocí S t a B t.
32 Obchodovatelnost Cena rizika Martingaly jsou obchodovatelné Jenže tohle umíme z předchozích výpočtů máme tedy samofinancující strategii, která používá obchodovatelné portfolio a kopíruje hodnotu E t. Nemůže zde tedy být arbitráž, nebot se hodnota E t neodchyluje od hodnoty portfolia, které tvoří obchodovatelné (bez možnosti arbitráže) komponenty a toto portfolio je samofinancující se. Co kdyby E Q (BT 1V T F s ) Bs 1 V s a současně by V t bylo obchodovatelné? Definujme jiný proces U t = B t E Q (BT 1V T F t ). Pak ovšem jev U s V s je pravděpodobný. Tj. máme dva obchodovatelné procesy, shodné v čase T, ale různé v čase s. Tato různost n8m nabízí možnost arbitráže.
33 Obchodovatelnost Cena rizika Martingaly jsou obchodovatelné Na základě předchozích hrubých úvah napíšeme následující větu (která ovšem platí). Věta (Obchodovatelná aktiva) Necht je dán nějaký dluhopis se spojitým úročením B t a obchodovatelné aktivum S t. Proces V t je obchodovatelný, právě když Bt 1 V t je martingal vzhledem k míře Q. Kde Q je míra, při které je diskontované aktivum Bt 1 S t martingalem.
34 Odvození ceny rizika Obchodovatelnost Cena rizika Řekněme, že model se vyvíjí podle stochastické diferenciální rovnice ds t = S t (σdw t + µdt). Budeme takové procesy mít dva, ale budou se vyvíjet podle stejného Brownova pohybu ds i t = S i t(σ i dw t + µ i dt), kde i {1, 2}. Aby tato aktiva byla obchodovatelná musí jejich diskontované hodnoty být martingaly vzhledem ke stejné míře Q. Budeme používat nejjednodušší Blackův-Scholesův model, jako v minulé přednášce, B t = exp(rt). Z toho máme W t = W t + ( µi r σ i ) t. Chceme, aby toto byl Brownův pohyb při stejné míře.
35 Odvození ceny rizika Obchodovatelnost Cena rizika To je ovšem možné pouze tehdy, pokud µ 1 r σ = µ 2 r 1 σ. 2 σ bude nyní míra rizikovosti, r bezriziková úroková míra, pak γ = µ r σ představuje zisk navíc na jednu jednotku rizika. Anglicky se tomuto číslu říká market price of risk. V obecnějším případě kdy se model řídí stochastickou diferenciální rovnicí ds t = S t (σ t dw t + µ t dt) lze ukázat, že hodnoty jsou shodné a také udávají tržní cenu rizika. µt r σ t
36 Neobchodovatelná aktiva Obchodovatelnost Cena rizika Někdy se stane, že chceme zjistit Stochastickou diferenciální rovnici, či tržní cenu rizika pro neobchodovatelné aktivum. Tuto situaci jsme již řešili pro kurz cizí měny. Mějme tedy neobchodovatelné X t, které se řídí stochastickou diferenciální rovnicí dx t = σ t dw t + µ t dt. Dále předpokládejme, že toto aktivum je spojené s obchodovatelným aktivem Y t pomocí funkce f, tedy Y t = f (X t ). Z Itôova lemmatu Itôovo lemma dostaneme dy t = σ t f (X t )dw t + (µ t f (X t ) σ2 t f (X t )) dt.
37 Neobchodovatelná aktiva Obchodovatelnost Cena rizika Pokud r je konstantní, můžeme napsat tržní cenu rizika Y t (postupujeme jako dříve, zbavíme se driftu u dy t, pomocí W t, aby diskontované Y t bylo martingal, riziko je právě ten drift) γ t = µ tf (X t ) σ2 t f (X t ) rf (X t ). σ t f (X t ) Protože tímto postupem jsme v podstatě přecházeli od míry P k míře Q, můžeme napsat také stochastickou diferenciální rovnici pro proces X t při míře Q dx t = σ t d W t + rf (X t) 1 2 σ2 t f (X t ) dt. f (X t )
38 Bibliography Obchodovatelnost Cena rizika M. Baxter, A. Rennie. Financial Calculus: An introduction to derivative pricing. Cambridge university press, J. C. Hull. Options Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 2002.
39 Závěr Obchodovatelnost Cena rizika Čas na dotazy
40 Závěr Obchodovatelnost Cena rizika Děkuji za pozornost
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy 4. 10. 2010 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna
VíceMartin Chudoba. Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK. dluhopisů pomocí. Black-Scholesova modelu. M.Chudoba.
Martin Chudoba s Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK 18.10.2010 Uvažujeme bezkupónový dluhopis vyplácející jednotku v čase T Za předpokladu konstantní úrokové míry r pro
VíceFinancial calculus Chapter 6 Bigger models
Financial calculus Chapter 6 Bigger models Tomáš Hanzák Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK Praha Seminář Stochastické modelování v ekonomii a financích 1.11. 2010 Tomáš Hanzák Financial
VíceRadek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010
Sochasické modelování v ekonomii a financích 18. října 21 Program 1 2 3 4 Úroková míra R, T ) Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis s mauriou T a nominální hodnoou 1 $, jeho cenu v čase budeme nadále
VíceRovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
VíceStochastické diferenciální rovnice
KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto
VíceOptimální řízení pro geometrický Brownův pohyb
1/39 Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb Lenka Slámová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Stochastické modelování v ekonomii a
VíceOceňování akcií a. Brno 2012
Oceňování akcií a dluhopisů Brno 2012 Osnova 1 Oceňování akcií 2 Akcie Představují podíl na majetku akciové společnosti. Držení je spojeno s řadou práv- právo účasti na hlasování na valné hromadě, právo
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceOd Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům. Silvie Kafková. 1.prosince 2014, FIMA
Od Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům Silvie Kafková 1.prosince 2014, FIMA Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné procházky 4 Jednoduchý model ceny akcie Motivace Obsah 1 Motivace 2 3 Aplikace náhodné
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Dluhopisy
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Dluhopisy Bakalářská práce Brno 008 Silvie Kafková PODĚKOVÁNÍ Chtěla bych poděkovat RNDr. Martinovi Kolářovi Ph.D. za vedení bakalářské práce, cenné rady a
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceNové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou
Nové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou Jiří Málek Abstrakt V první části e uveden vztah (4) pro obecný derivát záviseící na dvou (neobchodovatelných) instrumentech. Tento vztah
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceTomáš Cipra: Matematika cenných papírů. Professional Publishing, Praha 2013 (288 stran, ISBN: ) ÚVOD.. 7
Tomáš Cipra: Matematika cenných papírů. Professional Publishing, Praha 2013 (288 stran, ISBN: 978-80-7431-079-9) OBSAH ÚVOD.. 7 1. DLUHOPISY.. 9 1.1. Dluhopisy v praxi... 9 1.1.1. Princip dluhopisů 9 1.1.2.
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceMetodický list - Finanční deriváty
Metodický list - Finanční deriváty Základní odborná literatura vydaná VŠFS: [0] Záškodný,P., Pavlát,V., Budík,J.: Finanční deriváty a jejich oceňování.všfs,praha 2007 Tato literatura platí v plném rozsahu,
Více3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceEkonomické scénáře pro oceňování závazků z životního pojištění. Seminář z aktuárských věd Martin Jusko
Ekonomické scénáře pro oceňování závazků z životního pojištění Seminář z aktuárských věd 20. 12. 2013 Martin Jusko Otázky? co jsou ekonomické scénáře? proč a jak se používají při oceňování toků z životního
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VícePříloha k prezentaci BRODIS hodnotový OPFKI QIIS
Příloha k prezentaci BRODIS hodnotový OPFKI QIIS V následující prezentaci se seznámíme s investičními principy, kterým věříme a na základě kterých jsme si nechali vytvořit BRODIS hodnotový OPFKI. Tyto
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VícePŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
VíceLWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VícePojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceValue at Risk. Karolína Maňáková
Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceSLD-derivace. Petr Štěpánek. S využitím materiálu Krysztofa R. Apta
SLD-derivace Petr Štěpánek S využitím materiálu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 5 1 Při systematickém studiu SLD-derivací je užitečné využít rezultanty a přiřadit je k SLD-derivačním krokům
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceŘešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11
Řešení rekurentních rovnic 2 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Tomáš Petr. Výpočetní aspekty hodnocení finančních instrumentů
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Tomáš Petr Výpočetní aspekty hodnocení finančních instrumentů Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. PAVLA HOLUBÁŘOVÁ MATEMATICKÉ METODY JIŠTĚNÍ OPČNÍCH PORTFOLIÍ (MATHEMATICAL METHODS OF HEDGING OPTION PORTFOLIOS) doc. RNDr. MARTIN KOLÁŘ,
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceBCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód
VíceZměna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VíceLogické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
VíceFINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Dluhopisy a dluhopisové portfolio I. Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je popsat dluhopisy jako investiční instrumenty,
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceZměna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
VíceMnožinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceDerivace goniometrických. Jakub Michálek,
Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceŘešení 5. série kategorie Student
Řešení 5 série kategorie Student Řešení S-I-5-1 Aby byl daný trojúhelník (ozn trojúhelník A) pravoúhlý, musí podle rozšířené Pythagorovy věty (pravidelné 9-úhelníky jsou podobné obrazce) platit, že obsah
VíceVybrané poznámky k řízení rizik v bankách
Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.11.2008 Obsah přednášky Oceňování nestandartních instrumentů finančních trhů Aplikace analytických vzorců Simulační techniky
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceČasová hodnota peněz (2015-01-18)
Časová hodnota peněz (2015-01-18) Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
Více