LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze

Transkript

1 LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze Sluneční plachetnice Elektrostatický most Magnetické bludiště Dopplerův jev Doppler effect Planckova konstanta Pohyb elektronu Drifty částic Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 DOPPLERŮV JEV MOTIVACE Motivace Ke čtení Dopplerův jev se týká změny frekvence periodického děje při vzájemném pohybu zdroje a pozorovatele. Pokud se zdroj a pozorovatel přibližují, pozorovaná frekvence se zvyšuje, pokud se vzdalují, pozorovaná frekvence se snižuje. Může jít například o zvukové, elektromagnetické nebo jakékoli jiné vlnění či periodický děj. V této úloze budeme uvažovat nerelativistický Dopplerův jev, který odvodil Christian Andreas Doppler ( ) v roce Doppler působil po určitou dobu i na předchůdkyni dnešního Českého vysokého učení technického. Jeho jméno je umístěno pod okny Národního muzea v Praze a je po něm pojmenováno pražské Gymnázium Christiana Dopplera. Návod Otázky Příklady Další čtení Christian Andreas Doppler Příklad první: Představte si, že jednosměrnou ulicí jezdí v pravidelných intervalech autobusy. Pokud pojedete na kole v protisměru (proti pohybu autobusů) a autobusy vás nezajedou, budete je potkávat častěji, než když pojedete ve směru pohybu autobusů. Pozorovaná změna frekvence je způsobena Dopplerovým jevem. Příklad druhý: Déšť sice není přesně periodickým dějem, ale Dopplerův jev na něj také lze aplikovat. Poběžíte-li proti šikmo padajícímu dešti, bude frekvence dopadajících kapek vyšší a promoknete více, než když budete běžet po dešti. Příklad třetí: Automobil vydává při jízdě celou škálu zvuků. Když kolem vás bude projíždět, bude vnímaná frekvence při přibližování vyšší než při jeho vzdalování. Tuto charakteristickou změnu zvuku každý zná. Zkuste si ji připomenout na připravených zvukových souborech: Tady to v php krásně zvučí (vrrrrrrrr). V pdf samozřejmě nic. Příklad čtvrtý: Světlo vysílané hvězdami lze rozložit na spektrum. Ve spektru jsou obsažené spektrální čáry, které se posouvají k vyšším frekvencím, pokud se hvězda přibližuje, a k nižším, pokud se vzdaluje. Pokud hvězda rotuje, dojde k rozšíření spektrální čáry, přibližující se okraj posouvá frekvenci k modrému konci, vzdalující se okraj k červenému konci spektra. Vztahy po Dopplerův jev naleznete podrobně odvozené v návodu k úloze. Výsledkem je snadno zapamatovatelná formule pro frekvenci: f = f0(1±v/c), resp. ω = ω0(1±v/c), (1) kde f je pozorovaná frekvence, f0 frekvence zdroje, v vzájemná rychlost pohybu zdroje a pozorovatele a c rychlost šíření periodického signálu (vlnění). Vztahy v tomto jednoduchém tvaru platí za podmínky v << c. Znaménko plus platí pro přibližování pozorovatele a zdroje, minus pro vzdalování. Druhý vztah je uveden pro úhlové frekvence. Po roznásobení můžeme oba vztahy upravit pro relativní změnu frekvence

3 Δf /f = (f f )/f = ±v/c, resp. Δω/ω = (ω ω )/ω = ±v/c. (2) Dopplerův jev se využívá k měření rychlosti pohybujících se těles (vzpomeňte si na policejní radar), v medicíně k diagnostice pohybujících se orgánů v těle (například srdce), v astronomii k mapování povrchu planet, určování pohybu těles nebo zobrazení nitra Slunce. O některých aplikacích se můžete dočíst v sekci Další čtení. Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

4 DOPPLERŮV JEV NÁVOD Nyní byste již měli mít veškeré potřebné znalosti k pochopení návodu k úloze. Přečtěte si proto podrobně návod a postup měření. Motivace Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení

5 DOPPLERŮV JEV KE ČTENÍ Vlnění: frekvence, perioda, vlnový vektor a vlnová délka Motivace Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení Vlnová funkce Při teoretickém popisu musíme uchopit celou škálu všech možných vlnění. Od vody na rybníce, přes zvukové vlny až po elektromagnetický signál. Při vlnění se pravidelně mění hodnoty různých fyzikálních veličin: teploty, tlaku, rychlosti, hustoty, elektrického pole, magnetického pole atd. Aby byl zápis přehledný, využíváme pro všechny veličiny jeden jediný zástupný symbol, který označujeme řeckým písmenem psí: ψ(t, x). Takto zavedené veličině říkáme vlnová funkce a můžeme si za ní dosadit cokoli, co se vlní, tedy hustotu, teplotu, magnetické pole atd. Položíme-li t = konst, získáme časový snímek vlnění, například fotografii rozbouřeného moře. Položíme-li naopak x = konst, získáme průběh vlnění v jednom jediném místě, tedy kmitání (veličina závisí jen na čase). Při matematickém popisu vlnění je výhodné využívat komplexní funkce, význam skutečně měřitelných veličin mají jejich reálné části. Komplexní funkci můžeme rozložit jako každé komplexní číslo na amplitudu a fázi, tedy zapsat pomocí dvou reálných funkcí: ψ(t, x) = A(t, x) exp [iφ(t, x)] (1) Amplituda A vypovídá o rozkmitu vlnění (může se místo od místa měnit) a fáze φ popisuje v jaké fázi vlny ten či onen bod právě je (zda v maximu, minimu, nulové poloze atd.). Plochy se stejnou fází nazýváme vlnoplochy, jsou dány rovnicí φ(t, x) = konst (2) Vlnoplochy se přesouvají fázovou rychlostí, která nijak nesouvisí s přenosem hmoty a informace, a proto může být její hodnota libovolná (i vyšší než rychlost světla). Obrázek podélného (longitudinálního) vlnění body kmitají ve směru šíření vlny. Vlnovou funkcí může být hustota částic. Vlnoplochy hustotních vln se zjevně šíří doprava, jejich fázová rychlost je nenulová. Samotná látka se ale nepřesouvá, každý bod kmitá kolem fixní prostorové polohy. Obrázek příčného (transverzálního vlnění) body kmitají kolmo na směr šíření vlny. Fázová rychlost je opět nenulová, rychlost přenosu hmoty nulová. Úhlová frekvence, frekvence, perioda Úhlovou frekvencí nazýváme časovou změnu fáze: ω φ/ t. (3) Úhlová frekvence vlnění se může měnit jak s časem, tak místo od místa. Pokud je vlnění dostatečně pravidelné (například popsané jedinou sinovou či kosinovou funkcí), úhlová frekvence se nemění. Pak můžeme zavést periodu vlnění jakožto časový interval T, po kterém se fáze vlnění v daném místě opakuje. Za tuto dobu se fáze změní právě o 360, tedy o 2π a pro úhlovou frekvenci platí jednoduchý vztah ω 2π /T. (4) Úhlovou frekvenci měříme v jednotkách rad s 1. Často je třeba měřit počet opakování děje za určitou časovou jednotku, zpravidla za sekundu. Tato veličina se nazývá frekvence, měříme ji v hertzích (Hz = s 1) a je definována vztahem f 1/T. (5)

6 Například frekvence 50 Hz znamená, že děj se opakuje padesátkrát za sekundu. Mezi oběma frekvencemi platí jednoduchý vztah ω 2π f. (6) Vlnový vektor, vlnová délka Vlnovým vektorem nazýváme změnu fáze s prostorovými souřadnicemi x, y, z. Jde tedy o tři veličiny, které tvoří vektor: k φ/ x, k φ/ y, k φ/ z, neboli zkráceně k grad φ. (7) x y z Vlnový vektor se může měnit jak s časem, tak místo od místa. Pokud je vlnění dostatečně pravidelné (například popsané jedinou sinovou či kosinovou funkcí), vlnový vektor se nemění. Pak můžeme zavést periodu vlnění jakožto prostorový interval λ, na kterém se fáze vlnění v daném čase opakuje. Na této vzdálenosti se fáze změní právě o 360, tedy o 2π. Pokud zvolíme jednu z os ve směru šíření vlnění, bude mít vlnový vektor jedinou nenulovou složku v této ose. Ta bude současně velikostí vlnového vektoru a bude pro ni platit jednoduchý vztah k = 2π/λ. (8) Zvuk a ultrazvuk Základní vztahy Když promluvíme, přenášejí se vibrace našich hlasivek na okolní atomy a molekuly a ty se rozkmitají, jeden předává svou energii dalšímu a zvuková vlna se začne šířit od místa svého vzniku. Atomy a molekuly atmosféry kmitají ve směru šíření vlny, jde tedy o podélné vlnění. Rychlost šíření vlny je dána závislostí tlaku na hustotě a lze ji vyjádřit vztahem c = ( p/ ρ) 1/2 ~ (γ p/ρ) 1/2, (1) kde γ je polytropní koeficient, p tlak a ρ hustota vzduchu. Za normálních podmínek je rychlost šíření zvuku v atmosféře přibližně 340 m/s. Lidské ucho je schopné detekovat zvuky zhruba v rozsahu 20 Hz až 20 khz, nicméně drtivá většina populace zvuky v blízkosti obou hranic neslyší. Pod touto hranicí hovoříme o infrazvuku, nad touto hranicí o ultrazvuku. Intenzitou zvukových vln I nazýváme množství energie prošlé kolmo jednotkovou plochou za jednotku času, jednotkou intenzity je W/m 2. Intenzita různých podnětů slyšitelných lidským uchem se mění o mnoho řádů, proto je vhodné zavést logaritmickou míru intenzity, tzv. hladinu intenzity neboli hladinu hluku. Je dána vztahem L = 10 log I /I ; I = W/m 2. (2) I 0 0 Hladina hluku se měří v decibelech. Z vlastností logaritmů plyne řada dalších vztahů, z nichž nejvýznamnější porovnává hladinu hluku v decibelech pro dvě různé intenzity zvukové vlny: L L = 10 log I /I. (3) Zvuková vlna působí na předměty akustickým tlakem. Intenzita je úměrná druhé mocnině akustického tlaku. Pro akustický tlak lze zavést opět hladinu akustického tlaku, v decibelech má vztah tvar: L = 10 log (p/p ) = 20 log (p/p ); p = Pa. (4) p Ultrazvuk Ultrazvukem nazýváme zvukové vlny s frekvencí nad 20 khz. Ultrazvuk lze vytvořit mechanicky (například v tzv. Galtonově píšťale) nebo elektromagneticky. Látka vystavená účinkům ultrazvuku je podrobena rychlým mechanickým kmitům, které ji mohou zahřát nebo mohou změnit její biologickou či chemickou strukturu. Ultrazvuk se využívá k měření hloubky mořského dna (ultrazvuk prochází vodou snáze než radiové vlny), k čištění povrchu předmětů (například šperků), v konzervárenství, ke zjišťování vad materiálu, k určení vzdálenosti předmětů a k celé řadě dalších aplikací. Důležitým nástrojem je sonar (zkratka z anglického SOund Navigation And Ranging). Je to zařízení podobné jako radar, jen místo rádiových vln využívá ultrazvuk. Využívá se k lokalizaci předmětů, a to i pod vodou. Sonar vynalezl francouzský fyzik Paul Langevin ( ) v roce Významné aplikace má ultrazvuk v medicíně. Ultrazvukové vlny procházející tělem se odrážejí od jednotlivých orgánů nebo rozhraní různých tkání. Z odražených vln lze zrekonstruovat obraz těchto orgánů a tkání. V medicíně se ultrazvuk využívá také ke stimulaci biologického objektu, například ke zrychlení dělení buněk. Nízké intenzity se využívají terapeuticky v ortopedii, vysoké intenzity ultrazvuku se mohou cíleně použít k destrukci buněk, tkání a předmětů (rozbíjení ledvinových kamenů).

7 Lidské srdce. Nalevo jsou znázorněny ideální pohyby lidského srdce, dobře patrné je otevírání a zavírání chlopně. Napravo je záznam skutečného pořízený za pomoci ultrazvuku. Dopplerův jev změní při odrazu na pohybujícím se orgánu frekvenci vlnění, z této změny je možné rekonstruovat pohyb pod povrchem těla. Použitý ultrazvuk měl frekvenci 3,5 MHz. Zvuk v jiných prostředích Šíření zvuku v jiném než plynném prostředí může být značně komplikované. V pevných látkách je zvuková vlna směsicí podélných i příčných modů. Za pomoci zvukových vln procházejících zemským nitrem (tzv. seizmických vln) lze mapovat podpovrchovou strukturu Země, zejména detekovat různá rozhraní, na kterých dochází k odrazu vln. Obdobná technika se využívá i k mapování podpovrchových vrstev Slunce, ve kterém přirozeným způsobem vznikají zvukové vlny. Celé Slunce se chová jako obří zvučící zvon. Nejtypičtější oscilace mají periodu 5 minut. Ze sond se sleduje za pomoci Dopplerova jevu právě toto dýchání povrchu a z jeho analýzy pak vnitřní struktura Slunce. V ionizovaném prostředí (v plazmatu) je šíření zvuku ještě komplikovanější. Ionty a elektrony reagují na magnetická pole a zvuková vlna má nejen podélné a příčné mody, ale šíří se jinak ve směru pole a jinak kolmo na magnetické pole. Dochází k tzv. anizotropnímu šíření zvuku. Od místa, kde zvuk vzniknul, se zvuková vlna šíří dokonce ve třech vlnoplochách. Další specifika má šíření zvuku v krystalech i dalších komplikovaných prostředích. Samotná zvuková vlna ke svému šíření vždy potřebuje materiální prostředí. Ve vakuu se zvuk nešíří. Na obrázku jsou různé typy seizmických vln. Rayleighova a Loveho vlna se šíří po povrchu Země, P a S vlny nitrem Země. Jedinou čistě podélnou vlnou je P vlna. Tato vlna jako jediná prochází zemským jádrem.

8 Zkuste si rozmyslet, která seizmická vlna poškodila tyto koleje. Jde o vlnu Rayleighovu, Loveho, P nebo S? Jde o vlnu podélnou nebo příčnou? Taylorův rozvoj Taylorův rozvoj je velmi užitečný matematický postup, při kterém nahradíme funkci nekonečnou mocninnou řadou. V praxi se vždy omezíme na polynom do určitého stupně. Pokud se omezíme na polynom prvního stupně, hovoříme o lineární aproximaci, danou funkci nahrazujeme ve zvoleném bodě tečnou. Pokud se omezíme na polynom druhého stupně, nahrazujeme danou funkci ve zvoleném bodě parabolou. Vyšší stupeň polynomu znamená lepší přiblížení zvolené funkce. Metodu polynomiálního rozvoje zformuloval anglický matematik sir Brook Taylor ( ). Obecný vztah pro Taylorův rozvoj je f(x) = a + a (x c) + a (x c) 2 + a (x c) 3 + ; a = f (k)(c)/k! (1) Bod, ve kterém provádíme rozvoj je označen c, koeficienty rozvoje a k jsou dány podílem k-té derivace zvolené funkce v bodě c a faktoriálu k. Základní podmínkou, aby rozvoj konvergoval ke zvolené funkci na určitém intervalu je, aby tato funkce měla na celém intervalu všechny své derivace. k Rozvoje některých elementárních funkcí V mnoha případech se omezujeme na rozvoj v počátku, tj. v okolí bodu c = 0. Uveďme užitečné rozvoje některých známých funkcí: exp(x) = 1 + x + x 2/2! + x 3/3!+ x 4/4! + ; (2) sin(x) = x x 3/3!+ x 5/5! x 7/7! + ; (3) cos(x) = 1 x 2/2! + x 4/4! x 6/6! + ; (4) sinh(x) = x + x 3/3!+ x 5/5! + x 7/7! + ; (5) cosh(x) = 1 + x 2/2! + x 4/4! + x 6/6! + ; (6) ln(1+x) = x x 2/2 + x 3/3 x 4/4 + ; (7) 1/(1 x) = 1 + x + x 2+ x 3+ x 4+ x 5+. (8)

9 Některé rozvoje si lze snadno zapamatovat. Exponenciála má všechny mocniny x dělené příslušným faktoriálem. Siny mají jen liché mocniny, kosiny jen sudé mocniny. Trigonometrické rozvoje střídají znaménka (tím je dosaženo periodičnosti), hyperbolické rozvoje nestřídají znaménka. U logaritmické funkce platí rozvoj jen na definičním oboru této funkce. Poslední rozvoj je geometrická řada s kvocientem x. Rozvoj konverguje jen pro x < 1. Vyzkoušejte si V následujícím apletu si můžete vyzkoušet polynomiální náhradu nejrůznějších funkcí. V horním řádku jsou předpřipravené některé zajímavé příklady. Aplet je součástí celého balíku matematických apletů, které vytvořili David Eck a Thomas Downey. Aplety jsou volně šiřitelné pod licencí Creative Commons. V prvním příkladu najdete Taylorův polynom druhého stupně pro funkci cos x. Kosinus je vykreslen fialově, polynom (v tomto případě parabola) modře. Prvním jezdcem můžete změnit stupeň polynomu. Druhý jezdec posouvá bod, ve kterém je proveden rozvoj. Poslední jezdec pohybuje černým bodem se souřadnicí x po polynomu. Můžete sledovat, jak se hodnota vypočtená z rozvoje liší od skutečné hodnoty. Rozdíl je zapsán v levém horním rohu apletu (hodnota Error). V druhém příkladu si můžete pohrát s funkcí sinus a ve třetím s exponenciální funkcí. Ve čtvrtém příkladu je ukázka rozvoje funkce 1/(1 x), která nesplňuje podmínky rozvoje (nemá všechny derivace na celé reálné ose) a Taylorův rozvoj konverguje jen v té části funkce, kde se nachází bod c. Zkuste pohnout bodem c, zvýšit přesnost rozvoje atd. Pro c = 0 jde o geometrickou řadu (8), která konverguje jen pro x < 1. Ověřte! V poli f (x) můžete zapsat vlastní funkci, jejíž rozvoj chcete prozkoumat. Lineární aproximace Lineární aproximace funkcí je jedním z nejčastěji používaných matematických obratů. Funkci v daném bodě nahradíme její tečnou, což je v těsném okolí bodu dotyku zpravidla dostačující přiblížení. S lineární funkcí se pracuje snáze než s funkcí původní. Lineární aproximaci lze chápat jako Taylorův rozvoj do prvního řádu: f(x) f(a) + f (a) (x a). (1) Uvedená aproximace platí jen v malém okolí bodu a. Pokud aproximujme v okolí počátku (a = 0), je aproximace planá pro x << 1. Uveďme nyní užitečné lineární aproximace některých důležitých funkcí: exp(x) 1 + x; (2) sin(x) x; (3) cos(x) 1; (4) sinh(x) x; (5) cosh(x) 1; (6) ln(1+x) x; (7) (1±x) p 1 ±px. (8) Všechny vztahy platí pro x << 1. Poslední vztah je pro kladné celočíselné p začátkem binomického rozvoje. Platí ale i pro neceločíselná p, lze ho využít například k aproximaci odmocnin nebo výrazů typu 1/(1±x).

10 Příklady Uveďme bez hlubších komentářů několik příkladů, které využívají lineární aproximaci. Nezapomeňte, že argument trigonometrických funkcí musíte vyjádřit v radiánech. Nejprve odhadněme za pomoci lineární aproximace odmocninu z 24: 24 = (25 1) = 5 (1 1/25) = 5(1 0.04) 1/2 5(1 ½ 0.04) = 4.9. Správný výsledek je Pokud obě čísla od sebe odečteme, budou se lišit o přibližně o jednu tisícinu. Při výpočtu jsme využili rozvoj (8), neboť argument je dostatečně malý oproti 1. Nyní zkusme vypočítat sinus malého argumentu, tj. ověřit, zda pro malá x platí, že sin x x, tedy funkci sinus lze nahradit přímo jejím argumentem. Zvolme například úhel 4 : sin 4 4 = 4 2π/360 rad = 8π/360 = Správný výsledek je Oba výsledky se od sebe liší o pouhých 6 stotisícin. Tento příklad souvisí s matematickým kyvadlem. Na malou kuličku zavěšenou na nehmotném závěsu působí síla úměrná sinu úhlu výchylky závěsu z rovnovážné polohy. Pokud tento sinus můžeme nahradit argumentem, hovoříme o matematickém kyvadlu. Zpravidla se udává, že kuličku na nehmotném závěsu můžeme považovat za matematické kyvadlo až do výchylky 5. Prohlédněte si, jak se sinusovka liší od argumentu v následujícím apletu (druhý předpřipravený příklad). Na závěr si ukážeme, jak lze v některých případech jednoduše převést jmenovatele na čitatele: 1/(1+0.01) = (1+0.01) ; 1/(1 0.01) = (1 0.01) Zjistěte, jak se tyto aproximace liší od skutečných hodnot! Pro malé hodnoty x platí jednoduché převody: 1/(1 x) 1+x, případně 1/(1+x) 1 x. Čitatel tedy můžeme převést na jmenovatele tak, že zaměníme znaménko. To je důležité pro Dopplerův jev, při kterém pozorovaná frekvence při pohybu zdroje vychází dělená faktorem (1±v/c) a při pohybu pozorovatele naopak násobená faktorem (1±v/c). Pro malou hodnotu v/c je výsledek v podstatě totožný, neboť jmenovatele můžeme převést na čitatele (v je rychlost zdroje nebo pozorovatele, c je rychlost šíření signálu). Nezáleží proto na tom, zda se pohybuje zdroj nebo pozorovatel. Vyzkoušejte si V následujícím apletu si můžete vyzkoušet lineární aproximaci nejrůznějších funkcí. V horním řádku jsou předpřipravené některé zajímavé příklady. Aplet je součástí celého balíku matematických apletů, které vytvořili David Eck a Thomas Downey. Aplety jsou volně šiřitelné pod licencí Creative Commons. V prvním předpřipraveném příkladu je znázorněna parabola. Fialový bod je místem konstrukce tečny. Černý bod leží na tečně a je aproximací modrého bodu, který je na původní křivce. Prvním jezdcem volíte polohu na tečně resp. křivce. Druhým jezdcem ovlivníte místo na křivce, ze kterého je tečna vedena. V dalším předpřipraveném příkladu si můžete pohrát s aproximací sinusovky argumentem v okolí počátku. Poslední předpřipravený příklad aproximuje sinusovku tečnou v okolí maxima. V poli f (x) můžete zapsat vlastní funkci, jejíž aproximaci chcete prozkoumat.

11 DOPPLERŮV JEV OTÁZKY Vyplňte prosím následující jednoduchý test, který ověří, zda jste porozuměli Dopplerovu jevu. V jedné otázce může být i několik správných odpovědí nebo nemusí být správná žádná. Po vyplnění stiskněte tlačítko Odeslat. Motivace Ke čtení Návod 1. Pro Dopplerův jev platí f = f0(1±v/c) Δf = ±v/c Δf /f0 = ±v/c 2. Kterých dějů se Dopplerův jev týká? Otázky Příklady Další čtení všech periodických dějů světla zvuku 3. Pohybující se zdroj má určitou frekvenci. Bart Simpson na obrázku bude vnímat frekvenci vyšší nižší stejnou 4. Bart Simpson na předchozím obrázku bude vnímat kratší vlnovou délku delší vlnovou délku 5. Mezi frekvencí a periodou platí vztah f = 1/T f = 2/T f = 2π/T 6. Mezi frekvencí a úhlovou frekvencí platí vztah f = 1/ω f = ω/3π f = 2πω 7. Pro obrázek platí Tady je v php pohyblivý obrázek, to pdf neumí :-(. ALe musí to být v pdf, tak co se dá dělat Zdroj se pohybuje rychleji než vlnění

12 Zdroj se pohybuje pomaleji než vlnění Zdroj se pohybuje stejně rychle jako vlnění 8. Pro obrázek platí Zdroj se pohybuje rychleji než vlnění Zdroj se pohybuje pomaleji než vlnění Zdroj se pohybuje stejně rychle jako vlnění 9. Rázová vlna může vzniknout pohybuje-li se zdroj rychleji než vlnění pohybuje-li se zdroj pomaleji než vlnění pohybuje-li se zdroj stejně rychle jako vlnění 10. Dopplerův jev využívají policisté při měření rychlosti automobilů lékaři při zobrazování vnitřních částí lidského těla astronomové pro zobrazení nitra Slunce astronomové při zjišťování rychlosti hvězd a galaxií Odeslat Obnovit

13 DOPPLERŮV JEV PŘÍKLADY Motivace Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení V této části budete řešit složitější úlohy, než byly v sekci otázky. Příklady jsou řazeny zhruba podle rostoucí obtížnosti. Pokuste se každý příklad řešit nejprve obecně a teprve do nalezeného vztahu dosaďte konkrétní číselné hodnoty. Pokud se ve jmenovateli objeví výrazy typu (1±x), kde x << 1, převeďte je za pomoci lineární aproximace do čitatele. Výsledný výraz tím můžete výrazně zjednodušit. Příklad 1 Po silnici jede automobil s rychlostí 72 km/h. Automobil projede kolem stojícího chodce se zapnutou sirénou, jejíž frekvence je Hz. Jaké frekvence uslyší chodec před a po průjezdu automobilu? Rychlost zvuku uvažujte 340 m/s Hz; 3778 Hz 4500 Hz, 3500 Hz 5000 Hz, 3000 Hz Příklad 2 Pozorovateli, který slyší klakson automobilu, se zdá, že při přibližování je tón o sekundu vyšší než při vzdalování (f /f = 9:8). Určete rychlost automobilu. Rychlost zvuku uvažujte 340 ms m/s 40 m/s 20 m/s 1 2 Příklad 3 Nalezněte obecný vztah pro rozšíření spektrální čáry způsobené rotací hvězdy. Předpokládejte, že znáte poloměr hvězdy R a její úhlovou rychlost ω. Určete šířku čáry Δλ, jejíž původní vlnová délka byla λ. 0 Δλ = Rωλ 0/c Δλ = 2Rωλ 0/c Δλ = 2Rωc/λ Příklad 4 Jakou rychlostí by musel jet automobil, aby mohl řidič tvrdit policistovi, že místo červené barvy viděl na semaforu zelenou? Předpokládejte, že zelená barva má vlnovou délku 530 nm a červená 630 nm. 320 km/h přibližně desetinou rychlosti světla přibližně šestinou rychlosti světla Příklad 5 Zdroj zvuku se pohybuje na vozíku rychlostí 25 cm/s směrem ke stěně. Pozorovatel slyší rázy na frekvenci 3 Hz. Jaká byla frekvence zdroje zvuku? 1020 Hz 2040 Hz 3060 Hz Příklad 6 Mezi dvěma zdroji o frekvenci 435 Hz se pohybuje pozorovatel rychlostí 34 cm/s. Určete frekvenci rázu 0.8 Hz 1.0 Hz 1.2 Hz 0 Odeslat Obnovit

14 Obdobná rázová vlna může vzniknout i za nabitou částicí, jež se pohybuje rychlostí vyšší než světlo v daném prostředí (to je možné, částice se nesmí pohybovat rychleji než světlo ve vakuu, v prostředí je rychlost světla nižší než ve vakuu). Za částicí vznikne charakteristický kužel elektromagnetických vln, kterému říkáme Čerenkovovo záření. Čerenkovovo záření Radar a jeho použití Helioseismologie

15 DOPPLERŮV JEV DALŠÍ ČTENÍ Rázová vlna Motivace Pohybuje-li se zdroj vlnění rychleji než vlnění samotné, nemůže se vlnění šířit do libovolného směru. Je pro něho například nemožné dostat se před pohybující se zdroj: Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení Tento úkaz nazýváme rázovou vlnou, pro zvuk se mu říká zvuková bariéra. Zvuk se šíří v charakteristickém kuželu za pohybujícím se zdrojem. Rázová vlna vzniká například při nadzvukovém pohybu letadla. Pozorovatel stojící na zemi uvidí letící letadlo, ale zpočátku neslyší žádný zvuk. Ten se objeví až naráz, tedy v okamžiku, kdy kužel zvuku tažený za letadlem projde místem, kde stojí pozorovatel. Z geometrie problému je snadné určit vrcholový úhel kuželu rázové vlny sin α/2 = CB/CA = ct/ut = c/u, kde c je rychlost šíření zvuku a u je rychlost pohybu zdroje. Vrcholový úhel tedy závisí jen na poměru rychlosti šíření signálu a rychlosti zdroje: sin α/2 = c/u (1) V následujícím klipu je nafilmován průlet letadla F 14 Tomcat zvukovou bariérou. Patrné je vytvoření kuželové rázové vlny viditelné díky kondenzaci vodních par na rázové vlně. Na snímku prolétá letadlo zvukovou bariérou dvakrát. Pohybuje-li se těleso podzvukovou rychlostí, může se zvuk z tělesa šířit do všech směrů. Pohybuje-li se těleso nadzvukovou rychlostí, může se zvuk šířit jen do kuželovité oblasti vytvořené za letícím tělesem. Povrch této kuželovité oblasti se nazývá zvuková bariéra. U. S. Navy, John Gay, 1999

16 Obdobná rázová vlna může vzniknout i za nabitou částicí, jež se pohybuje rychlostí vyšší než světlo v daném prostředí (to je možné, částice se nesmí pohybovat rychleji než světlo ve vakuu, v prostředí je rychlost světla nižší než ve vakuu). Za částicí vznikne charakteristický kužel elektromagnetických vln, kterému říkáme Čerenkovovo záření. Čerenkovovo záření Částice se nemohou nikdy pohybovat rychlostí vyšší, než je rychlost světla ve vakuu, tj. přibližně km/s. V materiálním prostředí se ale světlo šíří nižší rychlostí. Například v diamantu, který má index lomu 2.5, se světlo šíří rychlostí pouze km/s (proto nám připadá tak krásný), ve vodě s indexem lomu 1.33 se světlo šíří rychlostí km/s. V takovém prostředí se může nabitá částice pohybovat rychleji než světlo v tomto prostředí. Je možné, aby se mion (těžší obdoba elektronu), pohyboval ve vodě rychlostí například km/s, což je méně než rychlost světla ve vakuu, ale více než rychlost světla ve vodě. Při takovém pohybu dojde k zajímavému jevu. Obdobně jako za sebou táhne letadlo letící nadzvukovou rychlostí kužel zvukových vln, objeví se za nabitou částicí kužel elektromagnetických vln. Elektromagnetické vlny generované částicí se pohybují v daném prostředí pomaleji než částice, a proto se nikdy nedostanou před ní. Toto záření se nazývá Čerenkovovo záření. Bylo pojmenováno po ruském fyzikovi Pavlu Čerenkovovi ( ), který ho jako první popsal. Teoretické vysvětlení jevu podali v roce 1937 sovětští vědci Ilja Frank ( ) a Igor Tamm ( ). Celá trojice získala Nobelovu cenu za fyziku pro rok Pavel Čerenkov Ilfa Frank Igor Tamm Čerenkovovo záření se dnes využívá v celé řadě aplikací, především v detektorech nabitých částic. V kosmických detektorech se jako médium zpravidla používají různé gely nebo aerogely. V pozemských detektorech jde nejčastěji o obyčejnou vodu. Nabitá částice, která do média vnikla za sebou vytvoří charakteristický kužel elektromagnetického záření. Na hranici oblasti bývají fotonásobiče, které toto záření detekují. Ze směru kužele lze určit, odkud částice přilétla a z vrcholového úhlu kužele je možné dopočítat rychlost a energii částice (pokud víme, o jakou částici jde a známe její klidovou hmotnost). Uveďme dva příklady takových zařízení. V roce 2011 byl namontován při předposledním letu raketoplánu na rameno Mezinárodní vesmírné stanice detektor AMS-02. Jde o obří zařízení pro detekci kosmického záření o hmotnosti kg, které bylo navrženo a vyrobeno v Evropském středisku jaderného výzkumu CERN. Jde vlastně o zmenšeninu detektorů využívaných na největším urychlovači světa LHC. Součástí přístroje je také Čerenkovův detektor pro detekci nabitých částic, které k nám přicházejí z hlubin vesmíru.

17 Detektor AMS-02 na rameni Mezinárodní vesmírné stanice Jiným zařízením je největší neutrinový detektor světa Super Kamiokande. Tato neutrinová observatoř byla otevřena v Japonsku v roce Leží metrů pod zemí, pod horou Ikena Jama, ve starém zinkovém dole v blízkosti městečka Kamioka. Samotný detektor tvoří obří nádoba o průměru 40 metrů, v níž je litrů vody. Po stěnách nádoby je fotonásobičů. Částice kosmického záření se sráží s atomy a molekulami v horní atmosféře. Přitom vznikají elektronová a mionová neutrina, která projdou horninou do detektoru. V něm interagují s neutrony a protony obsaženými ve vodě. Přitom vzniknou elektrony a miony s nadsvětelnou rychlostí, které za sebou táhnou kužel Čerenkovova záření. V průměru je zachyceno jedno atmosférické neutrino (vzniklé z kosmického záření v atmosféře) za hodinu a půl. Detektor je schopen rozlišit elektronové a mionové neutrino. K největším úspchům tohoto detektoru patří objev nenulové hmotnosti neutrin z roku Detektor Super Kamiokande při pravidelné údržbě. Technici na člunu kontrolují fotonásobiče na stěně nádoby.

18 Záznam z fotonásobičů na periferii nádoby. Patrný je průsečík kuželu Čerenkovova záření s povrchem nádoby. Radar a jeho použití Radar je zařízení, které se dnes využívá v mnoha oborech lidské činnosti. Může posloužit k lokalizaci objektů, k určení jejich rychlosti, vzdálenosti a některých vlastností, ke sledování meteorologických dějů, k řízení letového provozu a nebo k mapování vzdálených planet. Radar je zkratka z anglického RAdio Detecting And Ranging. Radar využívá elektromagnetických vln v mikrovlnném a radiovém oboru, tj. od cca 30 MHz až po desítky GHz. Radar v podstatě využívá tři fyzikální jevy: 1. Odraz elektromagnetických vln. Pokud se od objektu odrazí elektromagnetické vlny ve směru radaru, lze z doby uplynulé mezi vyslaným a přijatým signálem zjistit vzdálenost objektu. Odraz není samozřejmostí, záleží na povrchu objektu a na úhlu odrazu, pro krátké vlny (v porovnání s rozměry objektu) platí, že úhel dopadu je roven úhlu odrazu. To znamená, že signál musí dopadnout na kolmou plošku, jinak odražený signál radar mine. Také je možné použít vlnovou délku větší než rozměry objektu, tím ale výrazně zhoršíme rozlišovací schopnost radaru. 2. Změna frekvence způsobená pohybem objektu. Tento jev využívá tzv. Dopplerův radar. Ze změny frekvence je možné přesně změřit radiální rychlost objektu (ve směru radaru). Objekt, který se přibližuje, způsobí zvýšení frekvence odraženého signálu, objekt, který se vzdaluje, snížení. 3. Změna polarizace způsobená objektem. Moderní radary jsou schopné vysílat dva paprsky navzájem kolmých polarizací a z odraženého signálu zjistit změnu polarizace. Meteorologický radar může touto technologií zjistit, zda mrak obsahuje kapky nebo kroupy a odhadnout jejich velikost, tvar a směr pohybu.

19 Helikoptéra Ka 31 s rotujícím radarovým panelem o ploše 6 m 2, který umožní sledovat naráz až 40 cílů a přitom varovat flotilu letadel. Zásuvná kola zabrání interferenci s radarem. Tato helikoptéra patří k současné výzbroji ruského a indického námořnictva. Existuje řada druhů radarů a můžeme je dělit z mnoha hledisek. Radary mohou rotovat a skenovat určitou část krajiny nebo oblohy (například letecký radar) nebo mohou být statické a sloužit k zaměření konkrétního cíle v daném směru (například policejní radar). Skenování oblohy lze také provést za pomoci pole složeného z více sfázovaných radarů, z nichž každý zabírá část oblohy. Radary mohou pracovat v pulzním režimu a přijímat odražený paprsek v pauzách mezi vysíláním nebo pracovat v kontinuálním režimu a využít k přijímání odraženého signálu další detektor. Radary mohou být aktivní, tj. vysílat signál nebo jen pasivní a přijímat signály z jiných zdrojů. Aktivní radary dále můžeme dělit na primární, které vysílají signál a v čase mimo vysílání přijímají odrazy, nebo sekundární, které potřebují ke své činnosti odpovídač na sledovaném objektu (například letadle). Sekundární radar lokalizuje nejen objekt a jeho rychlost, ale vyžádá si doplňující informace, které odpovídač zašle (například identifikační kód letadla). Tak je možné například odlišit vlastní cíle od nepřátelských. Radary mohou mít stálou frekvenci nebo být frekvenčně modulované (porovnávání více frekvencí umožní detekovat vzniklé rázy a přesně určit změnu frekvence). Mohli bychom pokračovat v dělení radarů podle účelu, podle způsobu zpracování obrazu (od triviálního skenování se zobrazením pouhé intenzity signálu až po sofistikované mapování povrchu planet) či dalších parametrů. Záznam z meteorologických radarů ČHMÚ. Levá barevná stupnice odpovídá hladině intenzity odraženého signálu a současně intenzitě srážek (modrá barva odpovídá slabým srážkám, červená prudkému dešti). Aktuální data můžete získat ze serveru ČHMÚ. Radarová technika má své prvopočátky již v období formulace zákonů elektřiny a magnetizmu Clerkem Jamesem Clerkem v 19. století. Nicméně první použití rádiových vln pro detekci objektů za snížené viditelnosti provedl německý inženýr Christian Hülsmeyer v roce Tento rok můžeme považovat za zrod radarové techniky. K jejímu nejbouřlivějšímu rozvoji došlo za druhé světové vlky, při které vojáci potřebovali detekovat nepřátelská letadla a odlišit je od letadel vlastních. Shrňme nyní základní milníky ve vývoji radaru:

20 1865 Skotský fyzik James Clerk Maxwell publikuje svou teorii elektromagnetického pole. Poukazuje na jednotnou podstatu elektrických a magnetických dějů a na to, že se elektrická a magnetická pole mohou šířit prostorem jako vlny s rychlostí rovnou rychlosti šíření světla Německý fyzik Heinrich Rudolf Hertz objevil elektromagnetické vlny a demonstroval tak správnost Maxwellovy teorie Italský vynálezce Guglielmo Marconi uskutečnil první spojení na dálku za pomoci elektromagnetických vln. Marconi je považován za otce a průkopníka radiotelekomunikace Německý inženýr Christian Hülsmeyer provedl první skutečný test radaru. Monitoroval lodní provoz za špatné viditelnosti. Přístroj nazval telemobiloskop a patentoval ho v Německu, Francii a Velké Británii Americký elektroinženýři Albert Taylor a Leo Young z Námořní výzkumné laboratoře poprvé detekovali dřevěnou loď Americký elektroinženýr Lawrence Hyland z Námořní výzkumné laboratoře poprvé detekoval letadlo Radarem byla vybavena první loď. Jako přijímač sloužila parabolická mísa a jako vysílač trychtýřovitá anténa Inženýři John Randall a Henry Boot z Birminghamské univerzity zkonstruovali malý účinný radar s magnetronem, kterým byly osazeny vojenské letouny B 17. Radar využívali k vyhledávání německých ponorek v noci a za mlhy Začíná bouřlivý vývoj radarové techniky ve Spojených státech, Japonsku, Německu, Francii a Rusku. Tento vývoj souvisí s probíhající druhou světovou válkou. Další vývoj radaru se odehrál na konci 20. století při výzkumných misích ve sluneční soustavě. Za pomoci tzv. zobrazovacích radarů byly podrobně mapovány povrchy planet. Tato technika nejvýrazněji uspěla u planety Venuše, která má natolik hustou atmosféru, že přímé pozorování povrchu není vůbec možné. Americká sonda Magellan v 90. letech poskytla první obrázky povrchu Venuše v detailním rozlišení. Samozřejmě byly ve falešných barvách, neboť lidské oko není na rádiové vlny citlivé. Barva byla kódována buď podle výšky terénu, nebo podle skutečné barvy povrchu zjištěné z přistávacích pouzder sovětských sond Veněra 13 a 14. Radarový snímek Venuše. Venuše Tento snímek byl pořízen zobrazovacím radarem sondy Magellan v 90. letech 20. století. Barvy byly zvoleny podle skutečné barvy povrchu planety. Jasná oblast táhnoucí se napříč

21 planetou je nejrozsáhlejší vyvýšenina na Venuši, která je známá pod latinským názvem Aphrodite Terra (Afroditina země). Rozlohou odpovídá Africe. Helioseismologie Slunce se chová jako obrovská rezonanční dutina, která podobně jako zvon zvučí v mnoha tónech. Turbulence ve vzestupných proudech plazmatu pod povrchem tento přírodní zvon neustále rozezvučují. Jako byste na skutečný zvon namířili zevnitř mnoho trysek chrlících na vnitřní povrch zvonu tisíce zrnek písku a on se rozezněl v jemných tóninách daných jeho vlastními frekvencemi. Slunce lze připodobnit k obřímu hudebnímu nástroji. Jsou zde ale dva podstatné rozdíly: 1) hudební nástroje hrají jen občas, Slunce neustále. 2) hudební nástroje mají několik desítek kláves nebo strun či tónů, zatímco Slunce má přes deset milionů vlastních frekvencí, které se skládají do sluneční hudby. Zvuk Slunce můžeme pozorovat jako jemné chvění jeho povrchu. Pečlivou analýzou těchto oscilací lze zjistit, jaké je Slunce hluboko pod povrchem, nebo dokonce objevit skvrny na jeho odvrácené straně. Stejná technika se začala používat i u hvězd. Zvukové vlny byly detekovány ze Země u 25 hvězd. Naprostou revoluci znamená vesmírná observatoř Kepler, která pořídila zvukové nahrávky 500 hvězd podobných našemu Slunci. Zrodila se astroseismologie určování vlastností nitra hvězd za pomoci zvukových vln. Šíření vln ve Slunci Zvukové vlny na Slunci Helioseismologie je vědní obor, který studuje sluneční nitro na základě pozorování akustických vln na povrchu Slunce. Samotný název vznikl složením tří řeckých slov: helios (Slunce, světlo), seismos (třesení), logos (pochopení, rozprava). Za počátek helioseismologie lze považovat již rok 1960, kdy američtí astronomové Robert Leighton, Robert Noyes a George Simon objevili (při sledování Dopplerova posunu absorpčních čar) pětiminutové oscilace slunečního povrchu. Pozorovali je v 18 metrů vysoké sluneční věži na observatoři Mt. Wilson v jižní Kalifornii a poté je systematicky zkoumali několik následujících let. Nicméně k plnohodnotnému vědnímu oboru vedla ještě dlouhá cesta. V roce 1970 vysvětlili původ pětiminutových oscilací Roger Ulrich, John Leibacher a Robert Stein. Ukázali, že Slunce může fungovat jako rezonanční akustická dutina a rozezvučit se podobně jako zvon. V roce 1980 byly za pomoci helioseismologie objeveny podpovrchové torzní oscilace Slunce, v roce 1997 plazmové řeky a od roku 2001 je rutinně zobrazována za pomoci zvukových vln odvrácená strana Slunce. Helioseismologie se stala účinným nástrojem pro výzkum naší nejbližší hvězdy. Nalevo: Počítačové zobrazení vln na Slunci. Napravo: Dopplerogram (záznam rychlosti z Dopplerova jevu) pořízený přístrojem MDI na observatoři SOHO. Tmavá barva zobrazuje rychlost plazmatu směrem

22 k pozorovateli, světlá směrem od pozorovatele. Na dopplerogramu je odečtena rotace Slunce. Dobře patrná je tzv. supergranulace. Zdroj: ESO/NASA/ESA. Podpovrchové útvary, stejně tak jako skvrny na odvrácené straně Slunce, ovlivní šíření zvukového pole. K nejzajímavějším úlohám patří rekonstrukce obrazu těchto útvarů ze zvukové nahrávky. Jde o složitou matematickou úlohu, které se říká helioseismická holografie. Obraz odvrácené strany zrekonstruovaný ze zvukového pole sledovaného na přivrácené straně je sice neostrý, ale základní útvary jsou v něm dobře postřehnutelné. První kvalitnější hologramy odvrácené strany se podařilo získat kolem roku Hologram odvrácené strany Slunce pořízený přístrojem MDI na sondě SOHO dne 12. dubna Patrná je výrazná skvrna AR Souřadnicová síť představuje heliografickou šířku a délku. Zdroj: SOHO/MDI/NASA/ESA. Úspěchy helioseismologie Jaké jsou největší úspěchy helioseismologie? Za pomoci helioseismologie se daří určovat složení, teplotu a pohyby uvnitř Slunce. Rychlost zvukových vln závisí na poměru vodíku a hélia. Slunce vykazuje celou řadu neradiálních oscilací. V roce 1990 se překvapivě ukázalo, že frekvence některých zvukových módů se mění s časem. Pozorovací sady jsou zatím příliš krátkodobé na to, aby se prokázalo, zda tato změna souvisí s jedenáctiletým cyklem sluneční činnosti či nikoli. Helioseismologie potvrdila, že vnější konvektivní vrstva rotuje diferenciální rotací, zatímco rotace vnitřní zářivé vrstvy se mění s heliografickou šířkou jen velmi málo. Z heliosesismologie jsme se dozvěděli, že tisíce kilometrů pod povrchem Slunce probíhají torzní oscilace a střídají se zde pásy rychlejší a pomalejší rotace. Přesně se podařilo změřit polohu a tloušťku tachovrstvy hranice mezi zářivou a konvektivní vrstvou. Na základě mapování podpovrchových vrstev byly v roce 1997 objeveny rozsáhlé toky plazmatu, jejichž pohyb vyloučil některé modely slunečního tekutinového dynama. Dnes je zjevné, že hlavním zdrojem magnetických polí jsou pohyby plazmatu v blízkosti hranice zářivé a konvektivní vrstvy (tzv. tachovrstva neboli tachoklina). Helioseismologie se po roce 2000 stala jedním z nejvýznamnějších pomocníků slunečních fyziků.

23 Podpovrchové proudění na Slunci. Toky jsou kombinací toroidálních (ve směru rotace Slunce, pravá část řezu) a meridiálních (od rovníku k pólu, levá část řezu). Barva odpovídá rotační periodě. Modrá barva v blízkosti rovníku odpovídá periodě rotace 24,5 dne. Směrem k pólům je perioda rotace pomalejší. Červená u pólu odpovídá rotační periodě 34 dni. Závislosti rotační periody na heliografické šířce říkáme diferenciální rotace. Olivově zeleně je znázorněna tachoklina (rozhraní mezi zářivou a konvektivní vrstvou). Zářivá vrstva s periodou rotace 28 dní je znázorněna žlutě. Zářivá vrstva rotuje jako pevné těleso, nejeví známky diferenciální rotace. V levé části řezu jsou znázorněny meridiální toky plazmatu mezi rovníkem a póly, které jsou součástí tzv. torzních oscilací Slunce. Zdroj NASA/GSFC.