Algebra. 1. Algebry, homomorfismy, kongruence

Transkript

1 Algebra 1. Algebry, homomorfismy, kongruence Def.: množina,zobrazení «: Ò,kde Ò ¾ 0 1 jen-árníoperace(òjearita). Def.: «¾ ÁoperacearityΩ na,pak («¾ Á)jealgebra. Def.:mn. jeuzavřenánaoperaci «,když 1 Ò ¾ platí «( 1 Ò ) ¾. Def.: («¾ Á)algebra,. jepodalgebra,je-liuzavřenána «¾ Á. Poznámka 1.1: Průnikpodalgeberjepodalgebra. Důkaz: Vezmu 1 Ò ¾ ¾Â. Vím že «( 1 Ò ) ¾ ¾ Â. Def.: Zobr. : je slučitelné s operací «, pokud 1 Ò ¾ µ («( ) ( 1 Ò )) = «( ) ( ( 1 ) ( Ò )). Def.:Algebry a,kterémajístejnýpočetoperacístejnéarity,jsoualgebrystejnéhotypu. Def.: Proalgebrystejnéhotypuje : homomorfismus,pokudjeslučitelnésevšemijejich operacemi. Poznámka 1.2: Složeníhomomorfismůjehomomorfismus.Je-li bijekceahomomorfismus,je 1 takyhomomorfismus. Důkaz: pro1operaci,zeslučitelnosti,zdef.bijekce. Def.:Bijektivníhomomorfismusjeizomorfismus,algebrystejnéhotypujsouizomorfní, -limezinimi aspoň 1 izomorfismus. Poznámka 1.3 : Nechť : je homomorfismus, nechť je podalgebra a podalgebra. Pak ( )jepodalgebra a 1 ( )= ¾ ( ) ¾ jepodalgebra. Důkaz: pro 1 operaci ověřit uzavřenost, z def. homomorfismu, def. podalgebry. Def.:Relacenamnožině jelib.podmnožina.( ) ¾. 1 = ( ) ( ) ¾ -opačná relace, + = ( ) ¾ 0 ¾ : 0 = = ( +1 ) ¾ -tranzitivní obal. Def.: = ( ) ¾ -identita, 1 -symetrická, -reflexivní, + -tranzitivní. Reflexivní, symetrická a tranzitivní relace je ekvivalence. Def.: = [ ] ¾ jefaktorovámnožina,kde[ ] = ¾ ( ) ¾ jsoutřídyekvivalence. Def.:přirozenáprojekcemn. podle je :,t.ž. ( )=[ ]. Poznámka 1.4: (1) Nechť jeekvivalence na. Pak [ ] ¾ tvoří (disjunktní) rozklad množiny A.(2) = ¾Â, tj. mámdisj. rozklad na, pak relace daná předpisem( ) ¾ ¾ Â: ¾ tvoříekvivalencinaa.důkaz:(dcv) Def.: jeslučitelnás«,pokud 1 Ò 1 Ò :( ) ¾ µ «( 1 Ò ) «( 1 Ò ). Def.:kongruence je každá ekvivalence slučitelná se všemi operacemi algebry. Def.: :,ker :( 1 2 ) ¾ker ( 1 )= ( 2 )jejádrozobr.. Poznámka 1.5: : zobr., ekviv. na. (1) ker je ekvivalence na. (2) je prosté ker =. (3) ker =. (4) zobr. :, splňující podmínku Æ = existuje ker Důkaz: (1)ekvivalenceker sedostanezekvivalence =, (2),(3)triviální,(4) µ vezmu( 1 2 ) ¾,potom ( 1 )= ( 2 ),tedy( 1 2 ) ¾ ker. 1 2 µ( ker ) ( 1 )= ( 2 ) µ ([ 1 ] )= ([ 2 ] ),tedygjedobředefinované. Poznámka 1.6: : jehomomorfismusalgeberstejnéhotypu µker jekongruence na. Důkaz: ker jeekvivalencez1.5(1),slučitelnostpřímo,zhomomorfismuf Věta 1.7: kongruence na µpřirozená projekce : jehomomorfismus. Důkaz: operaci «na def. «na -faktoroperaci,sluč.s. Def.: Algebras1binárníoperacíjegrupoid. ¾ : = = ¾ jeneutrálníprvek. Algebra ( )s asociativníjemonoid. Poznámka 1.8: Každý grupoid odsahuje nevýš 1 neutrální prvek. Důkaz: sporem pro 2 neutrální prvky 1

2 Poznámka 1.9: Å( )monoid, ¾ Å. Pokud( = )&( = ),pak = Důkaz: = = ( )=( )= =. Def.: Å( )monoid, Ñ ¾ Å,Pak Ñ 1 ¾ Åjeinverzníprvek,pokud Ñ Ñ 1 = Ñ 1 Ñ=.Prvek je invertibilní, pokud má nějaký inverzní prvek. Poznámka 1.10: Buď Å( )monoid,pak = Ñ ¾ Å Ñ 1 jejehopodmonoid. Každý inverzníprvekjeinvertibilní. Důkaz: uzavřenostna, -prosoučin2prvkůz ex.inv.prvek; inverz k inverzu je pův. prvek. Def.:Algebra ( 1 )jegrupa,pokudje ( )monoida 1 jeoperaceinv.prvku. Poznámka 1.11: Å( )monoid, Å množ. všechjehoinvertibilníchprvků. Omezímeli operaci na Å na prvky z Å a jako 1 vezmeme operaci inv. prvku na Å, pak Å ( Å 1 )jegrupa. Důkaz: Z1.10jemožné omezitna Å, Å jepodmonoid Å( )zdef. je grupa. Def.: À ( 1 )jenormálnípodgrupa,pokudjepodgrupaazároveň ¾ ¾ À: 1 ¾ À. jekomutativní(abelovská),pokudje komutativní. Poznámka 1.12: Každá podgrupa komutativní grupy je normální. Důkaz: z komutativity. Věta 1.13: Nechť ( 1 )jegrupaa relacena.pak jekongruence [ ] jenormální podgrupa a( ) ¾ právěkdyž 1 ¾[ ]. Důkaz: µ : kongruence-ověřituz. na (zrefl.),uz. na 1 :( ) ¾ µ( 1 (= ) 1 ) ¾ ;uz. na :( ) ( ) ¾ µ( ) ¾ ;z toho[ ]jepodgrupa. ( ) ¾, ¾ µ( 1 ( ) 1 ( ))=( 1 ) ¾ (refl.,sluč.)-normální podgrupa. Ověření( ) ¾ 1 ¾[ ] : µ zesluč.,vynásobitzleva 1, vynásobit zleva. :def. :( ) ¾ 1 ¾ À,dokázatže jeekvivalence(přímo),[ ] = À (přímo),slučitelnostsoperacemi- platí refl.relaci, 1 : 1 ¾ À µ 1 ¾ À µ ( 1 ) ¾ À, : 1 ¾ À(= ( 1 ) 1 ); 1 ( 1 1 ) =( ) 1 ( ) ¾ À. Def.: G/H =,kde jekongruenceodp.dle1.13normálnípodgrupě À. 2. Uzávěrové systémy na algebrách Def.: množina, È( ). jeuzávěrovýsystém,pokud(1) ¾,(2) ¾ ¾ Á µ ¾Á ¾. Def.:zobrazení Ð : È( ) : Ð ( )= ¾ senazýváuzávěr. Def.:zobr. «:È( ) È( )jeuzávěrovýoperátor,pokud «( ) ¾ È( ), «(«( ))=«( ), µ «( ) «( ) ¾ È( ). Poznámka 2.1: Systém všech podalgeber algebry A tvoří uzávěrový systém. Důkaz: z 1.1- průnik podalgeber je podalgebra- vyhovuje Věta 2.2: (1)Je-li uzávěrovýsystém,pak Ð jeuzávěrovýoperátor.(2)je-li «:È( ) È( )uzávěrovýoperátor,pakmnožina = ¾ È( ) «( )= tvoříuzávěrovýsystéma «=Ð. Důkaz: (1)dokázataxiomyuz. operátorupro Ð -1. plynezvl. Ð,2. oběinkluze( z 1., z2. ax. uz. systému),3. zteoriemnožin. (2)dokázataxiomy -1. ajepevnýbod «,2. «( ¾Á )= ¾Á - z1.ax.uz.op, z3.ax.uz.op.,dokázatže «( )= ¾ - «( ) ¾ podle2.ax.uz.op., «( )z1.ax. µ «( ) Ð( ). «( ) ¾ «( ) «( )= -z 3.ax. Poznámka 2.3: Systémvšechuzávěrovýchsystémůnamnožině tvoříuzávěrovýsystém na È( ). Důkaz:1.ax.: È( ) ¾È( ) ¾ È( ),2.ax.: ¾Á uz.systém?:1.ax.: È( )jeuz. systém; ¾ ¾Á,2.: ¾ ¾Á ¾ Â µ ¾Â ¾ ¾Á. Poznámka 2.4: Nechť a jsou2uz. systémyna ;,t.ž. a, potom Ð ( ) Ð ( ). Důkaz: Ð ( ) Ð ( )platídle2.2(1), Ð ( ) Ð ( )rozepsatjako průniky množin, z teorie množin jako 2.2(1)-3. Poznámka 2.5: Množina věch reflexivních(symetrických, tranzitivních) relací a množina všechekvivalencínamnožině tvoříuzávěrový systémna. Důkaz: proreflexivní,,kde jerefl.-ok,symetrickáatranzitivnípodobně,ekvivalencez2.3aprůniku předch. 2

3 Poznámka 2.6: Všechnykongruencenaalgebřetvoříuzávěrovýsystémna. Důkaz: prokaždouoperacizvl. množinasluč. relací Ê jeuz. systém,kongruencezprůniku(jeprůnikuz. systém?).1.ax jesluč.sčímkoliv,2.axpřímo Poznámka 2.7: Nechť jerelacena Je-lireflexivní(symetrická),pak + a 1 je taky reflexivní(symetrická). Důkaz: přímo. Poznámka 2.8: Nechť jerelace,pak(( ) ( ) 1 ) + =( 1 ) + jenejmenší ekvivalenceobs. (uzávěr vuz.systémuekvivalencí). Důkaz: ekvivalencez2.7,minimalita zřejmá(musím mít zaručenu refl., sym. i trans.) Def.: Nechť jealgebra,, jeuz. systémvšechpodalgeber. Pak Ð ( )je podalgebra generovanámnožinou. Poznámka 2.9: Nechť : jsou2homomorfismyalgeberstejnéhotypuað ( )=. Pokud (Ü)= (Ü) Ü ¾ (mn.generátorů),pak =. Důkaz: Vezmu = ¾ ( )= ( ),,dokážusluč.slib.operací µ jepodalgebra, Ð ( ) Ð ( ). 3. Izomorfismy Def.: 2ekvivalencena. Pak / -faktor-ekvivalencejerelacedefinovaná: ([ ] [ ] ) ¾ ( ) ¾. Poznámka 3.1: (1)Nechť jsouekvivalencena. Pak jeekvivalencena. (2) Nechť jeekvivalencena,pakex. právě1ekvivalence na,t.ž. a =. Důkaz: (1)dokázatkorektnostdefinice -([ 1 ] =[ 2 ] [ 1 ] =[ 2 ],( 1 1 ) ¾ ) µ(ztranzitivity )( 2 2 ) ¾. důkazekvivalence-přímo. (2) najdupodlepředpisu([ ] [ ] ) ¾ ( ) ¾,, jeekvivalence(zekvivalence ) µex.faktor-ekvivalence. Poznámka 3.2 : Nechť je kongruence na a ekvivalence na,. Pak je kongruencena jekongruencena. Důkaz: µ -z3.1plyneekvivalence, dokázatslučitelnostslib.operací «([ 1 ] [ Ò ] )=[«( 1 Ò )]-zesluč.. dokázatslučitelnost -tosaménaopak. Poznámka 3.3(Věta ohomomorfismu): Nechť : je homomorfismusalgeber stejnéhotypua kongruencena. Pak(1)ex. homomorfismus :,t.ž. =, právěkdyž ker. (2) jenavícizomorfismus,právěkdyž jenaa =ker. Důkaz: (1) µ přímýdůsledek1.5(4), zobr. : ([ ] )= ( )jedobředefinovanépodle1.5(4), slučitelnostpřímozpředpokladů. (2) µ ( 1 2 ) ¾ µ ([ 1 ])= ( 1 )= ( 2 )= ([ 2 ])( prosté) µ[ 1 ]=[ 2 ]. dokázatprostost : ( 1 )= ([ 1 ])= ([ 2 ])= ( 2 ) µ ( 1 2 ) ¾ker = µ [ 1 ] =[ 2 ]. Věta 3.4(1. větaoizomorfismu): Nechť : jehomomorfismusalgeberstejného typu,pak ( )jealgebrastejnéhotypua ker jeizomorfníalgebře ( ). Důkaz: definuji =ker,zpozn. 3.3ex. homomorfismus : ker ( ), jena ( ),protože jena ( ), =ker µ jeizomorfismus. Věta 3.5(2.větaoizomorfismu): Nechť jsoukongruencenaalgebře.pak ( ) ( ) jeizomorfní. Důkaz: z3.3(pro = ) homomorfismus : : ([ ] )=[ ]. je (zdef.)na,z3.4(pro ): ³ ( ) ker.zdef. ker =. 4. Svazy Def.:Relace namn. je(částečné)uspořádání,pokudjereflexivní,tranzitivníaslaběantisymetrická(tj. µ = ). Def.:Prousp. na, je ¾ nejmenší(největší)prvek,jestliže ¾ ( ¾ ). Ñ ¾ jeinfimum(supremum)mn., jdelionejvětšíprvekmnožiny ¾ ¾ (nejmenšíprvekmnožiny ¾ ¾.Značení:inf sup. Def.: Dvojici ( )nazvusvazem, je-li uspořádání a dvojici ex. sup ( )a inf ( ). Def.:Osvazu( )řekneme,žejeúplný,jestližeex.inf ( ),resp.sup ( )pro (implikuje existenci nejv. a nejm. prvku) 3

4 Poznámka 4.1 : Buď svaz, definujme bin. operace na : (průsek) a (spojení): =inf ( ) a = sup ( ). Pak platí: (1) =, =, (2) = =,(3) ( )=( ) (pro stejně),(4) ( )= = ( ). (pro lib. z ). Důkaz: (1),(2)triviální,(3)zdef.supremaatranzitivity ( ),stejně prob,c; protopronejmenšíhorníodhad,tj. platítaky; dálenejm. odhad ( ) µ ( ) ( ),zpětsymetricky.(4) ( )zdef.suprema,opačněplatí-horníodhady ( ). Poznámka 4.2: Buď Ë( )algebras2bin. operacemiproněžplatí4.1. Definujme relaci na Ë: ( = ). Potom (Ë ) tvoří svaz, kde sup ( )=, inf ( )=. Tj. můžeme svaz říkat algebře Ë( ). Důkaz: a): ověřitže je uspořádání(přímo),pak = (zdef.,4.1(1)),potominf = : (z4.1) µ inf,pak µ ( ).(prosupsymetricky). Věta 4.3: Každýuzávěrovýsystém jeúplnýmsvazem( ),kdesup ( )=Ð ( )a inf ( )=Ð ( ). Důkaz: vizvlastnostiuz.systémů Def.:(Ë )nechťjesvaz Ë( ),potom pokrýváb( ),pokud ¾ Ë:, = µ =nebo =. Def.:Nechť ( ) ¾ Ëjenejmenší(největší)prvek Ë,potom nazvemeatom(koatom)svazu Ë,jestliže ( ). Def.:HasseůvdiagramsvazujeorientovanýgrafsvrcholyzË,mezi budehranaz do ( bude podb),pokud. Poznámka 4.4: Je-li Ë( )svaz,potomje Ë( )takysvaz(opačnýsvaz) Důkaz: plyne z(4.1),(4.2) Poznámka 4.5: Nechť Ë( )jesvaz, ¾ Ë.Pokud,potom ( ) ( ) ) Důkaz: zdolníchodhadů: (( ) ), (( ) ) Def.: Ë( )jemodulární,pokud ¾ Ë: µ ( )=( ). Def.: :,kde( ) ( )jsousvazy. Pak jemonotónní,pokud 1 2 ¾ : 1 2 µ ( 1 ) ( 2 )(opačnésenepoužívá). Poznámka 4.6: Homomorfismussvazůjemonotónní. Důkaz: µ(4.2) = µ ( )= ( )= ( ) ( ) µ ( ) ( ). Poznámka 4.7: : jeizomorfismussvazů i 1 jsoumonotónní. Důkaz: µ zřejmé(4.6), sluč.s (podle(4.4)platíipro ).Zmonotonieaodhadů ( ) ( ) ( ), zmonotonie 1 1 ( ( ) ( )),aplikovat,vyjdeop.nerovnost. jebijekce,protoi 1 je homomorfismus. Poznámka 4.8: Nechť jemnožina, ¾, jeuz.systémna,obsaženývmnožině všech ekvivalencí (tj. podmnožina množiny ekvivalencí), systém podmnožin Æ È( ). Nechťplatí:(1)[ ] ¾ Æ ¾,(2) Æ ¾ Æ ¾ : Æ=[ ],(3) ¾ :[ ] [ ] µ. Pak Æ tvoříuzávěrovýsystém,zobrazení ³: Æ : ³( )=[ ] jesvazovýizomorfismus. Důkaz: Æ jeusp.množina; ³jedobředefinované,naz(1),(2);z(3)jeprosté-³( )=³( ) µ = µjebijekce, ³ 1 ([ ] )=.Z(3)je ³ 1 monotónní, : ³( )=[ ] [ ] = ³( )-³jemonotónní. Mámbijekcioběmasměrymezisvazemausp.množinou µmámna Æ i stejnoustrukturuvzhledem k.proto Æ jeuz.systém,zbytekz(4.7). Věta 4.9: Množina všech normálních podgrup grupy tvoří svaz, izomorfní svazu všech kongruencí. Důkaz: podle(4.8)-z(1.13)[ ] ¾ jenorm.podgrupa µ(4.8(1))ok, Æ ¾ Æ: Æ :( ) ¾ Æ 1 ¾ Æjez(1.13)kongruenceaÆ=[ ] Æ µ(4.8(2))ok,[ ] [ ] z(1.13) µ µ(4.8(3))ok. ³( )=[ ] jeizomorfismus. 5. Grupy Poznámka 5.1: Je-lizobr. : À,kde Àjsougrupy,slučitelnésbin. operací,pak jehomomorfismus. Důkaz: pro : ( )= ( )= ( ) ( ). ( ) 1 ex. (zdef. grupy),zleva jímvynásobit.pro 1 : = ( )= ( 1 )= ( ) ( 1 ),opačnésymetricky,chovásejakoinverzk ( ). 4

5 Def.: À, ¾ : ah= ¾ À,Ha= ¾ À,rmod À,lmod À jsourelacedané: ( ) ¾rmod À 1 ¾ À,( ) ¾lmod À 1 ¾ À. Poznámka 5.2: Pro ( 1 1), À a ¾ platí:(1)rmod À ilmod À jsouekvivalence. (2)( ) ¾rmod À ( 1 1 ) ¾lmod À (pronorm.podgrupylmodarmodsplývajíajsounavíc kongruence). (3) rmod À = lmod À,(4)[ ] rmodà = À,[ ] lmodà = À,(5) [ ] rmodà = [ ] lmodà = À. Důkaz: (1)reflexivnízuzavřenosti Àna,symetrickézuz. Àna 1,tranzitivní zuz. Àna,detailviz(1.13)pronorm. podgrupy. (2)přímozdef.,symetrielmod. (3)ex. bijekcez lmod À dormod À : : : ( )= ( 1 )(involuce),protomámbijekci : rmod À lmod À : ([ ] rmodà )=[ 1 ] lmodà. (4)[ rmodà ]= Ü ¾ ¾ À: 1 =Ü =À,lmod À symetricky. (5) def. zobr. :À À : ( )=. zjevněna,prosté: 1 = ( 1 )= ( 2 )= 2,vynásobit 1 zprava. Def.: À ( 1 1).index Àv ječíslo[ :À]= rmod À = lmod À. Věta 5.3(Lagrange): Je-li À ( 1 1),pak =[ :À] À. Důkaz: = ¾ rmod À = È ¾ rmod À (5.2(5))= È ¾ rmod À À = À [ :À]. Poznámka 5.4(důsledek): Velikost podgrupy dělí velikost konečné grupy. Důkaz: plyne z(5.3) Poznámka 5.5 : Je-li ³ : Z : ³ (Ò) = Ò, kde ¾ ( 1 1), pak ³ je grupový homomorfismusz(+ 0)a ( 1 1). Důkaz: Podle(5.1)slučitelnosts stačí. Přímo,zvl. případypro ³(Ñ+Ò),kde Ñ Ò 0 Poznámka 5.6(důsledek): Nechť ( 1 1)jegrupa, Ò Ñ ¾Z. Pak ¾ : (1)( Ò ) 1 = ( 1 ) Ò = Ò,(2)( Ò ) Ñ = ÒÑ. Důkaz: (1)slučitelnost ³s 1,(2)prokladnáčíslazdefinice, záporná z ind. rozšíření. Def.: Pro ( 1 1) ¾ je = nejmenšípodgrupaobs.. jecyklická, pokud ¾ : =. Poznámka 5.7: (1)Prokaždou À Z(+ 0)ex.číslo,t.ž. Z= = À( podgrupa jecyklická).(2) À Z Ò (+ 0)(Ò ¾N) : =0nebo Ò,t.ž. = À. Důkaz: À= 0 triv. příp.,vezmu À = 0. ¾ À 0,vezmunejmenšítakové. À, ¾ Àlib.,vydělím sezbytkem Ý= + ( Ü). ¾ À ( Ü) ¾ À µ Ý ¾ À, Ý µ Ý=0 = À.Pro(2) odlišnosti: =( Ü)mod Ò+Ýmod ÒNechť Ò: Ð:= ÆË ( Ò),zezpětnéhochoduEuklidovaalg. Ð=«+ Ò(«¾Z). Ðmod Ò=(«)mod Ò µ Ð ¾ µ Ð ¾ À,ale jeminimální, Ð ÆË 1 -spor. Věta 5.8: Nechť ( 1 1)jecyklická. (1)Je-li nekonečná, pak ³Z(+ 0). (2) Je-li Ò= konečné, pak ( 1 1) ³Z Ò (+ 0). Důkaz: Nechť =,podle(5.5)je ³:Z :³(Þ)= Þ homomorfismus. ker ³jez(1.13)kongruencevZµjednozn. korespondences nějakounormálnípodgrupou À Z. Z(3.4)Z ker ³ ³. z(5.7) Ò ¾ À= ÒZ(( ) ¾ker ³ ( ) ¾ ÒZ),pro Ò=0ker ³=,dostanu(1), Ò 0:z(5.5)dostanuizomorfismus :Z Z Ò,z (3.4)Z Ò ³Z ÒZ ³ Z ker ³ ³ -dostanu(2). Poznámka 5.9(důsledek): Každá(1) podgrupa a(2) faktorová grupa cyklické grupy je cyklická. Důkaz: (1) z(5.8)a(5.7);(2)pro = : [ ] =. Poznámka 5.10(důsledek): Nechť ( 1 1)jekonečnácyklickágrupaa,pak!À, t.ž. À =. Důkaz: =1µÀ= 0, 1:À= Ò = 0 Ò 2Ò 1)Ò (. Jednoznačnost: Ã = :Ã= Ã ³Z (1 Ü ( Ü)mod Ò). ¾ : = Ò, = ( Ò ) µ ležív. Ãa jsou2stejněvelkékonečnémn.-ex.izomorfismus. Poznámka 5.11: Nechť ( 1 1)jekonečnágrupa,Pak ¾ : =1. Důkaz: =1, kde = (zizomorf.sz ),podle(5.4), =(5.6),(5.4)( ) =1 =1. Poznámka 5.12: (1)Nechť Ò ¾N ¾Z Ò, =ÆË ( Ò),Pak Z Ò = Z Ò. (2) Z Ò =Z Ò ÆË ( Ò)=1. Důkaz: (1) =( Ü)+ÒÝ=( Ü)mod Ò, µ :( )mod Ò= µ ¾. (2) plynez(1)pro =1. µ : Ü Ý: Ü+ÒÝ=1, Ò µ 1,tj. ÆË ( Ò)=1. Def.:Zobrazení ³:N N: ³(Ò)= 0 Ò:ÆË ( Ò)=1 jeeulerovafunkce. 5

6 Poznámka 5.13: ³(Ò)= ¾Z Ò Ü:Ü =1,z(5.12(2))= ¾Z Ò =Z Ò = invertibilníprvkymonoiduz Ò. Důkaz: (5.12(2)),zdef. Věta 5.14(Malá Fermatova) : Ò ÆË ( Ò)=1 platí: ( ³(Ò) )mod Ò=1. Důkaz: ¾ Ò( 1), Òjepodle(1.11)grupa,podle(5.13) Ò =³(Ò),z(5.11)platí. Poznámka 5.15: (1) ³(Ô Ò )=(Ô 1)Ô Ò 1 pro ÔprvočísloaÒ ¾N. (2) ³(Ò Ñ)=³(Ñ) ³(Ò) pro Ò Ñ ¾N ÆË (Ò Ñ)=1. Důkaz: (1) ³(Ô Ò )=(Ô Ò 1) 0 Ô Ò ÆË ( Ô Ò ) 1. (2)naZ Ò Z Ñ definovatnásobení, dostanu součinový monoid. : Z ÑÒ Z Ò Z Ñ : ( )= ( mod Ò mod Ñ)jehomomorfismus(přímoověřitslučitelnosts 1),jeprosté( ( )= (Ð) Ð - mod Ò=Ðmod Ò mod Ñ=Ðmod Ñ,znesoudělnosti Ò Ñ Ð= ).jeina(2stejněvelkékonečné mn.) µjeizomorfismus. ( ) ¾Z Ò Z Ñ jeinvertibilní jsouinvertibilnívz ÒÑ. ³(ÒÑ)=(z 5.13) Z ÒÑ = (Z Ò Z Ñ ) = Z Ò Z Ñ = Z Ò Z Ñ =(5.13)³(Ò) ³(Ñ). Věta 5.16: Je-li Ò=Ô 1 1 Ô 2 2 Ô Ð Ð prvočíselný rozklad čísla Ò, t.j Ô jsouprvočísla, Ô = Ô = 1,pak ³(Ò)=Π Ð =1 (Ô 1)Ô 1. Důkaz: indukcíz(5.15(2)),úpravavýrazupodle (5.15(1)) Věta 5.17: Nechť Ì jetělesosoperacemi+. (Ì 0 )( 1 1)jekomutativnígrupa(z lin. algebry). Nechť jekonečnápodgrupa(ì 0 )( 1 1). Pakje cyklická. Důkaz: bez důkazu. 6. Okruhy Def.:Nechť Ê(+ 0 1)jealgebra,t.ž. Ê(+ 0)tvoříkomutativnígrupu, Ê( 1)jemonoidaplatí ( +)= + a( + )= + ¾ Ê.Pakje Êokruh. Poznámka 6.1: Prokaždé2prvky ¾ Ê(+ 0 1)platí: (1)0 = 0=0,(2)( ) = ( )= ( ), (3) ( )( )=, (4) Ê 1 0 =1 Důkaz: (1), (2),(3)zlin. algebry, jednoduchýmitriky;(4) triviální,mám2prvky; µ obměnou0=1 µ ¾ Ê: =1 = 0 =0. Def.:Nechť Ê(+ 0 1)jeokruhaÁ Ê.Pak Ájepravý(levý)ideál,pokud Á Ê(+ 0)(jei normální,protože Êjekomutativní)a ¾ Á Ö ¾ Ê: Ö ¾ Á(levý Ö ¾ Á)(důsledek:uzavřenost Ána násobení). Ájeideál,pokudjepravýazároveňlevýideál. Def.:Ideáljenetriviální,pokud Á = 0 aá = Ê. Věta 6.2 : Buď Ê(+ 0 1)okruh. Pak zobrazení, které kongruenci na okruhu Ê přiřadí[0] jeizomorfismussvazuvšechkongruencíasvazuvšechideálů(tj. [0] jeideál). Navíc ( ) ¾ +( ) ¾ [0]. Důkaz: z(4.8), předp. (4.8(1)) - jekongruenceina Ê(+ 0),[0] jenorm. podgrupa(z(1.13),(4.9)),ověřit ¾[0] Ö ¾ Ê: Ö ¾[0] Ö ¾[0] -z ( 0) ¾ (Ö Ö) ¾, sluč. s. (4.8(2))z1.13 kongruencena Ê(+ 0),dokázatslučitelnost s 1-1 zreflexivity; :( 1 2 ) ¾, ( 1 2 ) ¾, ( 1 2 ) 1 ¾ Á, 2 ( 1 2 ) ¾ Á µ ( 1 1 ) ( 2 2 )=( 1 2 ) ( 1 2 ) ¾ Á. (4.8(3)) :[0] [0] µ -platíiprosystém kongruencína Ê(+ 0)z(4.9),tenjevětší µplatí. 6