grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa

Transkript

1

2 grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky

3 definice: G, je grupa kde G je množina, * je binární operace na G * je asociativní a b c = a b c existuje neutrální prvek n a n = n a = a každý prvek a má inverzní prvek b a b = b a = n» pro všechna a, b, c G příklady: aditivní G, +, 0, a, multiplikativní G,, 1, a 1

4 definice: G, je komutativní / Abelovská grupa G, je grupa * je komutativní a b = b a» pro všechna a, b G příklady: komutativní grupy Z, +, R, +, R 0, nekomutativní grupy (grupa regulárních matic nxn, operace násobení matic) (grupa permutací n-prvkové množiny, operace skládání permutací)

5 definice: Izomorfismus grup G, + a G, je bijekce f: G G, pro kterou platí: f 0 G = 0 G f a + b = f a f b pro každé a, b G tvrzení: Dvě grupy jsou izomorfní existuje mezi nimi izomorfismus

6 definice: Nechť G, je grupa Podmnožina H G je podgrupa grupy G H, je grupa a * je zúžením grupové operace na množinu H zapisujeme H G Řád grupy G je velikost množiny G zapisujeme G Podgrupa H grupy G je generovaná prvkem a G H = a i ; i N zapisujeme a = a i ; i N Grupa G je cyklická c G G = c

7 definice: Nechť G, je grupa Řád prvku a G je nejmenší k N takové, že a k = 1 zapisujeme ord a takové k existuje ord a = k takové k neexistuje ord a =

8 věta (Lagrange): Je-li H podgrupa konečné grupy G, pak H dělí G

9 tvrzení: pro a G platí ord a = a uvažujme posloupnost 1, a, a 2, a 3, a nejmenší k N; a k = a i pro nějaké i < k a k = a i a k i = 1 k nejmenší i = 0 k = ord a a = 1, a, a 2,, a k 1 zřejmé

10 důsledek: Je-li grupa G konečná pak pro každé a G platí: i) a k = 1 ord a / k (tj. dělí k) ii) a G = 1 i) k = l ord a + r, kde 0 r < ord a a k = a ord a l a r = 1 a r = a r r < ord a a r = 1 r = 0 k = l ord a, tj. ord a / k ii)

11 důsledek (Malá Fermatova věta): Nechť a N a p N je prvočíslo, které nedělí a potom a p 1 p 1 grupa Z p 0, plyne z předchozího důsledku a G = 1 G = Z p 0 = Z p 1

12 definice: F, +, je těleso F, +, 0, a je abelovská grupa F 0,, 1, a 1 je abelovská grupa označujeme F* + a je distributivní a b + c = a b + a c» pro všechna a, b, c G F p, +, je konečné těleso F p = 0,, p 1 operace + a jsou operace modulo p p je prvočíslo pro neprvočíselná p neplatí

13 definice: Nechť F je těleso, k N a a F, potom součin k a = a + a + + a k krát Charakteristika tělesa F je nejmenší k, pro které platí k 1 = 0 zapisujeme char F takové k existuje char F = k takové k neexistuje char F =

14 pozorování: Charakteristika konečného tělesa F je prvočíslo. konečné těleso F p, +, kde F p = 0,1,, p 1 a p je prvočíslo p 1 = p krát p 0 a p 1 = ap krát pro každé x N, kde 0 < x < p platí x 1 = x krát p x 0 p 0 pro a 1

15 definice: Izomorfismus těles F, +, a F,, je bijekce h: F F, pro kterou platí: existuje izomorfismus grup F, + a F, indukuje izomorfismus grup F 0 F, a F 0 F, tvrzení: Dvě tělesa jsou izomorfní existuje mezi nimi izomorfismus

16 definice: Nechť F, +, je těleso Podmnožina F F je podtělesem tělesa F F, +, je těleso a +, jsou zúžením operací na množinu F

17 tvrzení: Nechť F je konečné těleso charakteristiky p. Potom: i) F obsahuje podtěleso izomorfní s F p ii) F = p m pro nějaké přirozené m 1 i) zvolme F = F, +, je těleso k 1; k N» uzavřené na obě operace» lze najít inverzní prvky vzhledem k oběma operacím lze najít izomorfismus s tělesem F p ii) těleso F je vektorový prostor nad tělesem F F, + je abelovská grupa definujeme a x F kde a F a x F jako součin v tělese F F je vektorový prostor dimenze m nad p-prvkovým tělesem F» každý prvek F lze napsat jako LK m prvků báze

18 tvrzení: Počet prvků libovolného konečného tělesa je mocnina prvočísla. plyne z předchozího

19 definice: Nechť f x je polynom stupně k nad tělesem F p Definujme strukturu jako množinu všech polynomů v proměnné α nad F p stupně menšího než k označení F p α /f Definujme operace sčítání a násobení polynomů jako obvyklé sčítání a násobení polynomů modulo f α výsledkem operace je zbytek po dělení polynomem f α

20 pozorování: F p α /f je komutativní okruh

21 definice: Polynom f x stupně k > 0 nad tělesem F je ireducibilní, pokud neexistují takové dva polynomy g 1 x a g 2 x stupně menšího než k takové, že f x = g 1 x g 2 x tj. neexistují polynomy menšího stupně dělící polynom f x příklad: pro F = F 2 ireducibilní polynomy stupně 3 stupeň 1: f x = x a f x = x + 1 stupeň 2: f x = x 2 + x + 1 stupeň 3: f x = x 3 + x + 1 a f x = x 3 + x polynomy které nejsou ireducibilní stupeň 2: f x = x = x + 1 2

22 věta: Nechť f x je ireducibilní polynom nad tělesem F p potom okruh F p α /f je těleso víme: F p α /f je komutativní okruh stačí: existence inverzního prvku k nenulovému prvku g α F p α /f uvažujme množinu g α h α ; h α F p α /f» součiny navzájem různé, je jich stejně jako polynomů stupně < f» tj. existuje h α takové, že g α h α f 1 předpoklad: existují h 1 α, h 2 α tak, že g α h 1 α f α g α h 2 α» potom g α h 1 α h 2 α f α 0» polynom na levé straně nenulový, stupeň 2 deg f α 1» tj. platí rovnost g α h 1 α h 2 α = f α» f x je ireducibilní spor

23 tvrzení: Pro každé prvočíslo p a pro k 1 existuje polynom nad F p stupně k, který je ireducibilní nad F p věta: Pro každé prvočíslo p a pro k 1 existuje těleso s právě p k prvky

24 příklad: pro F = F 2 ireducibilní polynom f x = x 3 + x + 1 množina polynomů v proměnné α stupně nejvýše 2 F p α /f = 0,1, α, α + 1, α 2, α 2 + 1, α 2 + α, α 2 + α + 1 sčítání modulo f α = α 3 + α + 1 α α + 1 = α 2 + α násobení modulo f α = α 3 + α + 1» pracujeme s rovností α 3 = α + 1 = α + 1 α α 2 + α = α 3 + α 2 = α α 2 = α 2 + α + 1

25 příklad: pro F = F 2 ireducibilní polynom f x = x 3 + x + 1 F p α /f = 0,1, α, α + 1, α 2, α 2 + 1, α 2 + α, α 2 + α + 1 násobení v tělese: pro k = 1 je α k = α pro k = 2 je α k = α 2 pro k = 3 je α k = α + 1 pro k = 4 je α k = α 2 + α pro k = 5 je α k = α 2 + α + 1 pro k = 6 je α k = α pro k = 7 je α k = 1 prvky s touto vlastností se nazývají primitivní prvky

26