Matematická analýza 1
|
|
|
- Kristýna Horáková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematická analýza 1 ZS Miroslav Zelený
2 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom
3 Návod k použití kurzu Co je přednáška,
4 Návod k použití kurzu Co je přednáška, cvičení,
5 Návod k použití kurzu Co je přednáška, cvičení, konzultace,
6 Návod k použití kurzu Co je přednáška, cvičení, konzultace, proseminář.
7 Návod k použití kurzu Co je přednáška, cvičení, konzultace, proseminář. Podmínky udělení zápočtu,
8 Návod k použití kurzu Co je přednáška, cvičení, konzultace, proseminář. Podmínky udělení zápočtu, složení zkoušky.
9 Návod k použití kurzu Co je přednáška, cvičení, konzultace, proseminář. Podmínky udělení zápočtu, složení zkoušky. Webová stránka předmětu: zeleny/mff/ma 1/index MA 1.php
10 1. Logika, množiny a základní číselné obory
11 1.1 Logika Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé).
12 1.1 Logika Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A.
13 1.1 Logika Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. A A 0 1
14 1.1 Logika Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. A A
15 Konjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A i B.
16 Konjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A i B. A B A B 0 0 0
17 Konjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A i B. A B A B
18 Konjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A i B. A B A B
19 Konjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A i B. A B A B
20 Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A nebo B.
21 Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A nebo B. A B A B 0 0 0
22 Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A nebo B. A B A B
23 Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A nebo B. A B A B
24 Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A nebo B. A B A B
25 Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B.
26 Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr.
27 Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Výrok A je postačující podmínkou pro platnost B a B je nutnou podmínkou pro platnost A.
28 Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Výrok A je postačující podmínkou pro platnost B a B je nutnou podmínkou pro platnost A. A B A B 0 0 1
29 Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Výrok A je postačující podmínkou pro platnost B a B je nutnou podmínkou pro platnost A. A B A B
30 Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Výrok A je postačující podmínkou pro platnost B a B je nutnou podmínkou pro platnost A. A B A B
31 Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Výrok A je postačující podmínkou pro platnost B a B je nutnou podmínkou pro platnost A. A B A B
32 Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Výrok A je postačující podmínkou pro platnost B a B je nutnou podmínkou pro platnost A. A B A B
33 Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B.
34 Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. A B A B 0 0 1
35 Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. A B A B
36 Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. A B A B
37 Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. A B A B
38 Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. A B A B (Platnost výroku) A je nutnou a postačující podmínkou (platnosti výroku) B.
39 Výrokovou formou budeme nazývat výraz A(x 1, x 2,... x m ), z něhož vznikne výrok dosazením prvků x 1 M 1, x 2 M 2,..., x m M m z daných množin M 1,..., M m.
40 Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok zapisujeme ve tvaru: Pro všechna x M platí A(x). x M : A(x).
41 Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok zapisujeme ve tvaru: Pro všechna x M platí A(x). x M : A(x). Symbol nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem.
42 Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok zapisujeme ve tvaru: Existuje x M, pro které platí A(x). x M : A(x).
43 Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok zapisujeme ve tvaru: Existuje x M, pro které platí A(x). x M : A(x). Symbol nazýváme existenčním (malým) kvantifikátorem.
44 1.2 Metody důkazů
45 1.2 Metody důkazů přímý důkaz
46 1.2 Metody důkazů přímý důkaz nepřímý důkaz
47 1.2 Metody důkazů přímý důkaz nepřímý důkaz důkaz sporem
48 1.2 Metody důkazů přímý důkaz nepřímý důkaz důkaz sporem důkaz rozborem případů
49 1.2 Metody důkazů přímý důkaz nepřímý důkaz důkaz sporem důkaz rozborem případů důkaz matematickou indukcí
50 1.2 Metody důkazů přímý důkaz nepřímý důkaz důkaz sporem důkaz rozborem případů důkaz matematickou indukcí důkaz úplnou matematickou indukcí
51 1.3 Množiny G. Cantor: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů, které nazýváme prvky, do jediného celku.
52 Georg Cantor ( )
53 Množinu definujeme výčtem prvků nebo pomocí vlastnosti, kterou musejí splňovat její prvky, tj. píšeme {x M; V (x)}, kde M je množina a V (x), x M, je výroková forma.
54 Řekneme, že množina A je částí množiny B (nebo A je podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny A je rovněž prvkem množiny B. Tomuto vztahu říkáme inkluze a značíme A B.
55 Řekneme, že množina A je částí množiny B (nebo A je podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny A je rovněž prvkem množiny B. Tomuto vztahu říkáme inkluze a značíme A B. Množiny A a B jsou si rovny (A = B), jestliže mají stejné prvky.
56 Řekneme, že množina A je částí množiny B (nebo A je podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny A je rovněž prvkem množiny B. Tomuto vztahu říkáme inkluze a značíme A B. Množiny A a B jsou si rovny (A = B), jestliže mají stejné prvky. Prázdnou množinou nazveme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Označíme ji symbolem.
57 Sjednocením množin A a B nazveme množinu vytvořenou všemi prvky, které patří alespoň do jedné z množin A či B.
58 Sjednocením množin A a B nazveme množinu vytvořenou všemi prvky, které patří alespoň do jedné z množin A či B. Sjednocení množin A a B značíme symbolem A B.
59 Sjednocením množin A a B nazveme množinu vytvořenou všemi prvky, které patří alespoň do jedné z množin A či B. Sjednocení množin A a B značíme symbolem A B. Je-li A systém množin, pak jeho sjednocení A definujeme jako množinu všech prvků a, pro které existuje A A takové, že a A.
60 Průnikem množin A a B nazveme množinu všech prvků, které náležejí současně do A i do B. Průnik množin A a B značíme symbolem A B.
61 Průnikem množin A a B nazveme množinu všech prvků, které náležejí současně do A i do B. Průnik množin A a B značíme symbolem A B. Mají-li množiny A a B prázdný průnik, řekneme o nich, že jsou disjunktní.
62 Průnikem množin A a B nazveme množinu všech prvků, které náležejí současně do A i do B. Průnik množin A a B značíme symbolem A B. Mají-li množiny A a B prázdný průnik, řekneme o nich, že jsou disjunktní. Je-li A neprázdný systém množin, pak jeho průnik A definujeme jako množinu všech prvků a, které pro každé A A splňují a A.
63 Rozdílem množin A a B nazveme množinu prvků, které patří do množiny A a nepatří do množiny B. Rozdíl množin A a B značíme A \ B. Kartézským součinem množin A 1,..., A n nazveme množinu všech uspořádaných n-tic A 1 A 2 A n = {[a 1, a 2,..., a n ]; a 1 A 1,..., a n A n }.
64 Věta 1.1 (de Morganova pravidla) Necht X je množina a A je neprázdný systém množin. Pak platí X \ A = {X \ A; A A} a dále X \ A = {X \ A; A A}.
65 Augustus de Morgan ( )
66 Kurt Gödel ( )
67 1.4 Relace uspořádání a zobrazení Necht A a B jsou množiny. Binární relací R mezi prvky množin A a B rozumíme libovolnou podmnožinu R kartézského součinu A B.
68 1.4 Relace uspořádání a zobrazení Necht A a B jsou množiny. Binární relací R mezi prvky množin A a B rozumíme libovolnou podmnožinu R kartézského součinu A B. Pokud [a, b] R, pak říkáme, že prvek a je v relaci R s prvkem b. Píšeme a R b. Pokud A = B, říkáme, že R je binární relace na A.
69 Necht X je množina a R je relace na X. Řekneme, že R je reflexivní, jestliže pro každé x X platí [x, x] R,
70 Necht X je množina a R je relace na X. Řekneme, že R je reflexivní, jestliže pro každé x X platí [x, x] R, symetrická, jestliže pro každé x, y X splňující [x, y] R platí [y, x] R,
71 Necht X je množina a R je relace na X. Řekneme, že R je reflexivní, jestliže pro každé x X platí [x, x] R, symetrická, jestliže pro každé x, y X splňující [x, y] R platí [y, x] R, tranzitivní, jestliže pro každé x, y, z X splňující [x, y] R a [y, z] R platí [x, z] R,
72 Necht X je množina a R je relace na X. Řekneme, že R je reflexivní, jestliže pro každé x X platí [x, x] R, symetrická, jestliže pro každé x, y X splňující [x, y] R platí [y, x] R, tranzitivní, jestliže pro každé x, y, z X splňující [x, y] R a [y, z] R platí [x, z] R, antisymetrická, jestliže pro každé x, y X splňující [x, y] R platí [y, x] / R,
73 Necht X je množina a R je relace na X. Řekneme, že R je reflexivní, jestliže pro každé x X platí [x, x] R, symetrická, jestliže pro každé x, y X splňující [x, y] R platí [y, x] R, tranzitivní, jestliže pro každé x, y, z X splňující [x, y] R a [y, z] R platí [x, z] R, antisymetrická, jestliže pro každé x, y X splňující [x, y] R platí [y, x] / R, slabě antisymetrická, jestliže pro každé x, y X splňující [x, y] R a [y, x] R platí x = y.
74 Necht A je množina a R je relace na A. Řekneme, že R je uspořádání (někdy také částečné uspořádání či neostré uspořádání), jestliže je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní,
75 Necht A je množina a R je relace na A. Řekneme, že R je uspořádání (někdy také částečné uspořádání či neostré uspořádání), jestliže je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní, ostré uspořádání, jestliže je antisymetrická a tranzitivní,
76 Necht A je množina a R je relace na A. Řekneme, že R je uspořádání (někdy také částečné uspořádání či neostré uspořádání), jestliže je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní, ostré uspořádání, jestliže je antisymetrická a tranzitivní, lineární uspořádání, jestliže jde o uspořádání takové, že pro každé x, y A platí [x, y] R nebo [y, x] R.
77 Necht je relace uspořádání na množině X a A X. Řekneme, že prvek x X je horní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí a x,
78 Necht je relace uspořádání na množině X a A X. Řekneme, že prvek x X je horní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí a x, dolní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí x a.
79 Necht je relace uspořádání na množině X a A X. Řekneme, že prvek x X je horní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí a x, dolní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí x a. Množina A je shora omezená, jestliže existuje prvek x X, který je horní závorou množiny A,
80 Necht je relace uspořádání na množině X a A X. Řekneme, že prvek x X je horní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí a x, dolní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí x a. Množina A je shora omezená, jestliže existuje prvek x X, který je horní závorou množiny A, zdola omezená, jestliže existuje prvek x X, který je dolní závorou množiny A,
81 Necht je relace uspořádání na množině X a A X. Řekneme, že prvek x X je horní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí a x, dolní závorou množiny A, jestliže pro každé a A platí x a. Množina A je shora omezená, jestliže existuje prvek x X, který je horní závorou množiny A, zdola omezená, jestliže existuje prvek x X, který je dolní závorou množiny A, omezená, jestliže je omezená shora i zdola.
82 Necht je relace uspořádání na množině X a M X. Řekneme, že prvek G X je supremem množiny M, jestliže platí: (a) G je horní závorou množiny M,
83 Necht je relace uspořádání na množině X a M X. Řekneme, že prvek G X je supremem množiny M, jestliže platí: (a) G je horní závorou množiny M, (b) je-li prvek G X horní závorou množiny M, potom G G.
84 Necht je relace uspořádání na množině X a M X. Řekneme, že prvek G X je supremem množiny M, jestliže platí: (a) G je horní závorou množiny M, (b) je-li prvek G X horní závorou množiny M, potom G G. Řekneme, že prvek g X je infimem množiny M, jestliže platí (a) g je dolní závorou množiny M,
85 Necht je relace uspořádání na množině X a M X. Řekneme, že prvek G X je supremem množiny M, jestliže platí: (a) G je horní závorou množiny M, (b) je-li prvek G X horní závorou množiny M, potom G G. Řekneme, že prvek g X je infimem množiny M, jestliže platí (a) g je dolní závorou množiny M, (b) je-li prvek g X dolní závorou množiny M, potom g g.
86 Věta 1.2 Necht je relace uspořádání na množině X, M X je neprázdná množina a necht existuje infimum a supremum množiny M. Potom platí inf M sup M.
87 Necht A a B jsou množiny. Binární relaci F A B nazýváme zobrazením (někdy také funkcí) z množiny A do množiny B, jestliže platí x A y 1, y 2 B : ( ([x, y 1 ] F [x, y 2 ] F) y 1 = y 2 ).
88 Necht A a B jsou množiny. Binární relaci F A B nazýváme zobrazením (někdy také funkcí) z množiny A do množiny B, jestliže platí x A y 1, y 2 B : ( ([x, y 1 ] F [x, y 2 ] F) y 1 = y 2 ). Definičním oborem zobrazení F nazýváme množinu D(F) = {x A; y B : [x, y] F}.
89 Necht A a B jsou množiny. Binární relaci F A B nazýváme zobrazením (někdy také funkcí) z množiny A do množiny B, jestliže platí x A y 1, y 2 B : ( ([x, y 1 ] F [x, y 2 ] F) y 1 = y 2 ). Definičním oborem zobrazení F nazýváme množinu D(F) = {x A; y B : [x, y] F}. Oborem hodnot zobrazení F nazýváme množinu R(F) = {y B; x A: [x, y] F}.
90 Poznámka Necht F je zobrazení z množiny A do množiny B. Pro každé x D(F) existuje právě jedno y takové, že [x, y] F. Takové y značíme F(x). Grafem zobrazení F rozumíme množinu {[x, y] A B; x D(F) y = F(x)}.
91 Označení Necht A a B jsou množiny. Pak symbol F : A B znamená, že F je zobrazení z množiny A do množiny B a D(F) = A.
92 Necht f : A B je zobrazení a necht M a P jsou množiny. Obrazem množiny M při zobrazení f rozumíme množinu {y B; x M : f (x) = y}, kterou značíme f (M). Vzorem množiny P při zobrazení f rozumíme množinu {x A; f (x) P}, kterou značíme f 1 (P).
93 Řekneme, že zobrazení f : A B je prosté (injektivní), jestliže platí x, y A: (f (x) = f (y) x = y), na (surjektivní), jestliže platí y B x A: f (x) = y, bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení), jestliže je prosté a na.
94 Necht f : A B je zobrazení a C A. Pak zobrazení g : C B definované předpisem x f (x), x C, nazýváme restrikcí nebo zúžením zobrazení f na množinu C. Zobrazení g značíme f C.
95 Necht f a g jsou zobrazení. Pak zobrazení g f je definováno předpisem (g f )(x) = g ( f (x) ) pro všechna x D(f ) taková, že f (x) D(g). Zobrazení g f nazýváme složeným zobrazením (složením zobrazení) f a g, přičemž g nazýváme vnějším zobrazením a f nazýváme vnitřním zobrazením.
96 Necht A a B jsou množiny a R A B je binární relace. Pak relaci R 1 B A definovanou předpisem R 1 = {[y, x] B A; [x, y] R} nazýváme inverzní relací k relaci R.
97 Necht A a B jsou množiny a f : A B je prosté zobrazení. Pak inverzní zobrazení k f je definováno jako inverzní relace k f. Inverzní zobrazení k f značíme f 1.
98 Necht A je neprázdná množina. (a) Konečnou posloupností prvků A rozumíme každé zobrazení množiny {1,..., n}, kde n N, do množiny A. Pokud k a k, k {1,..., n}, je takové zobrazení, pak tuto posloupnost značíme {a k } n k=1. Prvek a k nazýváme k-tým členem této posloupnosti. (b) Nekonečnou posloupností prvků A rozumíme každé zobrazení n a n, n N, množiny přirozených čísel N do množiny A. Takovou posloupnost obvykle značíme {a n } n=1, případně jen {a n}. Prvek a n nazýváme n-tým členem této posloupnosti.
99 1.5 Konečné a spočetné množiny Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A B, jestliže existuje bijekce A na B.
100 1.5 Konečné a spočetné množiny Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A B, jestliže existuje bijekce A na B. Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B a píšeme A B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B.
101 1.5 Konečné a spočetné množiny Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A B, jestliže existuje bijekce A na B. Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B a píšeme A B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. Symbol A B značí situaci, kdy A B a neplatí A B.
102 Řekneme, že množina X je konečná, pokud je bud prázdná, nebo existuje n N takové, že X má stejnou mohutnost jako množina {1,..., n}.
103 Řekneme, že množina X je konečná, pokud je bud prázdná, nebo existuje n N takové, že X má stejnou mohutnost jako množina {1,..., n}. Řekneme, že množina X je nekonečná, pokud není konečná.
104 Řekneme, že množina X je konečná, pokud je bud prázdná, nebo existuje n N takové, že X má stejnou mohutnost jako množina {1,..., n}. Řekneme, že množina X je nekonečná, pokud není konečná. Řekneme, že množina X je spočetná, jestliže je konečná nebo má stejnou mohutnost jako N.
105 Řekneme, že množina X je konečná, pokud je bud prázdná, nebo existuje n N takové, že X má stejnou mohutnost jako množina {1,..., n}. Řekneme, že množina X je nekonečná, pokud není konečná. Řekneme, že množina X je spočetná, jestliže je konečná nebo má stejnou mohutnost jako N. Nekonečná množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná.
106 Řekneme, že množina X je konečná, pokud je bud prázdná, nebo existuje n N takové, že X má stejnou mohutnost jako množina {1,..., n}. Řekneme, že množina X je nekonečná, pokud není konečná. Řekneme, že množina X je spočetná, jestliže je konečná nebo má stejnou mohutnost jako N. Nekonečná množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná. Poznámka Pro počet prvků konečné množiny X používáme často značení X. Dvě konečné množiny X, Y mají stejnou mohutnost právě tehdy, když X = Y.
107 Věta 1.3 (Cantor Bernstein) Necht A, B jsou množiny takové, že A B a zároveň B A. Pak A a B mají stejnou mohutnost.
108 Věta 1.4 (Cantor) Necht X je množina. Pak X P(X), kde P(X) je množina všech podmnožin množiny X.
109 Věta 1.5 (vlastnosti spočetných množin) (a) Podmnožina spočetné množiny je spočetná.
110 Věta 1.5 (vlastnosti spočetných množin) (a) Podmnožina spočetné množiny je spočetná. (b) Necht zobrazení f : A N je prosté. Potom je množina A spočetná.
111 Věta 1.5 (vlastnosti spočetných množin) (a) Podmnožina spočetné množiny je spočetná. (b) Necht zobrazení f : A N je prosté. Potom je množina A spočetná. (c) Sjednocení spočetně mnoha spočetných množin je spočetné.
112 Věta 1.5 (vlastnosti spočetných množin) (a) Podmnožina spočetné množiny je spočetná. (b) Necht zobrazení f : A N je prosté. Potom je množina A spočetná. (c) Sjednocení spočetně mnoha spočetných množin je spočetné. (d) Obraz spočetné množiny je spočetná množina.
113 Věta 1.5 (vlastnosti spočetných množin) (a) Podmnožina spočetné množiny je spočetná. (b) Necht zobrazení f : A N je prosté. Potom je množina A spočetná. (c) Sjednocení spočetně mnoha spočetných množin je spočetné. (d) Obraz spočetné množiny je spočetná množina. (e) Každá nekonečná množina obsahuje nekonečnou spočetnou podmnožinu.
114 1.6 Reálná čísla Množinu reálných čísel R lze popsat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností.
115 1.6 Reálná čísla Množinu reálných čísel R lze popsat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností. I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení III. Vlastnost suprema: Každá neprázdná shora omezená podmnožina R má supremum.
116 I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání),
117 I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání), x, y R : x + y = y + x (komutativita sčítání),
118 I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání), x, y R : x + y = y + x (komutativita sčítání), w R x R : w + x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek),
119 I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání), x, y R : x + y = y + x (komutativita sčítání), w R x R : w + x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek), x R z R : x + z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho x),
120 x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení),
121 x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x, y R : x y = y x (komutativita násobení),
122 x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x, y R : x y = y x (komutativita násobení), v R \ {0} x R : v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek),
123 x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x, y R : x y = y x (komutativita násobení), v R \ {0} x R : v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek), x R \ {0} y R : x y = 1 (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x 1 nebo 1 x ),
124 x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x, y R : x y = y x (komutativita násobení), v R \ {0} x R : v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek), x R \ {0} y R : x y = 1 (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x 1 nebo 1 x ), x, y, z R : (x + y) z = x z + y z (distributivita).
125 II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x, y, z R : (x y y z) x z (tranzitivita),
126 II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x, y, z R : (x y y z) x z (tranzitivita), x, y R : (x y y x) x = y (slabá antisymetrie),
127 II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x, y, z R : (x y y z) x z (tranzitivita), x, y R : (x y y x) x = y (slabá antisymetrie), x, y R : x y y x,
128 II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x, y, z R : (x y y z) x z (tranzitivita), x, y R : (x y y x) x = y (slabá antisymetrie), x, y R : x y y x, x, y, z R : x y x + z y + z,
129 II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x, y, z R : (x y y z) x z (tranzitivita), x, y R : (x y y x) x = y (slabá antisymetrie), x, y R : x y y x, x, y, z R : x y x + z y + z, x, y R : (0 x 0 y) 0 x y.
130 Věta 1.6 Necht M R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M.
131 Necht M R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M, jestliže a M a a je horní závorou množiny M.
132 Necht M R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M, jestliže a M a a je horní závorou množiny M. Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M.
133 Necht M R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M, jestliže a M a a je horní závorou množiny M. Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M. Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a min M.
134 Věta 1.7 Pro každé r R existuje právě jedno číslo k Z takové, že k r < k + 1.
135 Věta 1.7 Pro každé r R existuje právě jedno číslo k Z takové, že k r < k + 1. Věta 1.8 Ke každému x R existuje n N splňující x < n.
136 Věta 1.9 Necht a, b R, a < b. Pak existuje q Q takové, že a < q < b.
137 1.6 Komplexní čísla Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a, b R, přičemž pro komplexní čísla x = (a, b), y = (c, d) definujeme operace sčítání a násobení takto x + y = (a + c, b + d), x y = (ac bd, ad + bc).
138 Necht x = (a, b) C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x.
139 Necht x = (a, b) C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme a 2 + b 2.
140 Necht x = (a, b) C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme a 2 + b 2. Dále definujeme 0 = (0, 0), 1 = (1, 0) (sic!) a i = (0, 1).
141 Necht x = (a, b) C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme a 2 + b 2. Dále definujeme 0 = (0, 0), 1 = (1, 0) (sic!) a i = (0, 1). Komplexně sdruženým číslem k x rozumíme číslo x = (a, b); symbol x značí číslo ( a, b) a symbol 1/x značí pro x 0 (jednoznačně určené) číslo splňující x 1 x = 1.
Aplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Množiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Množiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný
Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
a = a 0.a 1 a 2 a 3...
Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,
Teorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 26.9.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Svazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37
Svazy Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Svazy p.1/37 Abstrakt Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37 Abstrakt V této kapitole
1. Množiny, zobrazení, relace
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách
1. Základy matematiky
1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika Logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vede k určitým závěrům. Logika patří k základům matematiky.
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
1. Základy matematiky
1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky Verze 2. prosince 2017 V této části stručně uvedeme základy matematiky. Matematika se zabývá abstraktními pojmy, které vznikly zobecněním
1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.
Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice
Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:
RELACE, OPERACE. Relace
RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé
M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Matematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.
1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Základy logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
Doporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)
Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz
METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
Výroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
Úlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
Marie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
Logika, výroky, množiny
Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.
Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
Aritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací
KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
1. Základy logiky a teorie množin
1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
I. Úvodní pojmy. Obsah
I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.
2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE LUBOŠ PICK Popis předmětu Jde o první část čtyřsemestrálního základního kursu matematické analýzy.
1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,