MODELOVÁNÍ POČTU ŠKOD A VÝŠE ŠKOD V NEŽIVOTNÍM POJIŠTĚNÍ SE ZAMĚŘENÍM NA EXTRÉMNÍ UDÁLOSTI

Transkript

1 Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Finance MODELOVÁNÍ POČTU ŠKOD A VÝŠE ŠKOD V NEŽIVOTNÍM POJIŠTĚNÍ SE ZAMĚŘENÍM NA EXTRÉMNÍ UDÁLOSTI Modelling claim number and claim amount of extremal events in non-life insurance Diplomová práce Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr ČERVINEK Autor: Mgr. Martina KRAUSOVÁ Brno, 2013

2

3 Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Katedra financí Akademický rok 2012/2013 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE Pro: Obor: Název tématu: KRAUSOVÁ Martina Finance MODELOVÁNÍ POČTU ŠKOD A VÝŠE ŠKOD V NEŽIVOTNÍM POJIŠTĚNÍ SE ZAMĚŘENÍM NA EXTRÉMNÍ UDÁLOSTI Modelling claim number and claim amount of extremal events in non-life insurance Z á s a d y p r o v y p r a c o v á n í : Cíl práce: Analyzovat modely pro odhad počtu škod a výše škod extrémních událostí v neživotním pojištění. Postup práce a použité metody: Charakterizovat neživotní pojištění a extrémní události. Představit a analyzovat různé modely počtu škod a vhodnost využití na modelování počtu škod extrémních událostí. Představit a analyzovat různé modely výše škod a vhodnost využití na modelování výše škod extrémních událostí. Analyzovat využití modelů v neživotním pojištění. Aplikovat poznatky na zvolenou extrémní událost. Shrnout doporučení a závěry. Použité metody: deskripce, analýza, komparace, dedukce, matematicko-sttistické metody.

4 Rozsah grafických prací: dle pokynů vedoucího práce Rozsah práce bez příloh: stran Seznam odborné literatury: BOROWIAK, Dale S. Financial and actuarial statistics :an introduction. New York: Marcel Dekker, xi, 330 s. ISBN PROMISLOW, S. David. Fundamentals of actuarial mathematics. Chichester: John Wiley & Sons, xix, 372 s. ISBN BOOTH, P. Modern actuarial theory and practice. 2nd ed. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, xxxiii, 79. ISBN CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika :teorie a praxe. Vyd. 1. Praha: Ekopress, s. ISBN Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr Červinek Datum zadání diplomové práce: Termín odevzdání diplomové práce a vložení do IS je uveden v platném harmonogramu akademického roku. vedoucí katedry děkan V Brně dne

5 Jméno a příjmení autora: Název diplomové p ráce: Mgr. Martina Krausová Modelování počtu škod a výše škod v neživotním pojištění se zaměřením na extrémní události Název práce v angli čtině: Modelling claim number and claim amount of extremal events in non-life insurance Katedra: Vedoucí diplomové práce: financí Rok obhajoby: 2014 Mgr. Petr Červinek Anotace Předmětem diplomové práce Modelování počtu škod a výše škod v neživotním pojištění se zaměřením na extrémní události je analýza modelů počtu škod a výše škod v neživotním pojištění a vhodnost jejich použití pro extrémní události. Nejprve je charakterizováno neživotní pojištění a extrémní události s uvedením příkladů. Následně jsou představeny a analyzovány jednotlivé matematické modely využívané pro odhad počtu škod a výše škod v neživotním pojištění. V poslední části jsou tyto poznatky aplikovány na konkrétní data z oblasti majetkového pojištění občanů. Annotation The goal of the submitted thesis: Modelling claim number and claim amount of extremal events in non-life insurance is to analyse models for claim number and claim amount in general insurance and their pertinence for using in extremal events modelling. There are characterized general insurance and extremal events with some examples in the first part. Then there are introduced and analysed different mathematical models used for estimation claim number and claim amount in non-life insurance. In the final part is this knowledge applied to concrete data sample of citizen s property insurance. Klíčová slova neživotní pojištění, počet škod, výše škod, extrémní události, matematické modelování Keywords general insurance, claim number, claim amount, extremal events, mathematical modelling

6 Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Modelování počtu škod a výše škod v neživotním pojištění se zaměřením na extrémní události vypracovala samostatně pod vedením Mgr. Petra Červinka a uvedla v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU. V Brně dne 20. prosince 2013 v l a s t n o r u č n í p o d p i s a u t o r a

7 Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala Mgr. Petru Červinkovi za připomínky a odborné rady, kterými přispěl k vypracování této diplomové práce. Dále děkuji panu Ing. Mgr. Jakubu Mertlovi z pojišťovny Direct za rady a především za poskytnutí vzorku dat odpovídajícího realitě, na kterém mohly být poznatky této práce demonstrovány. Cením si také pomoci a rad Mgr. Silvie Kafkové a doc. RNDr. Martina Koláře, Ph.D. V neposlední řadě bych chtěla na tomto místě poděkovat svým rodičům a přátelům za neutuchající podporu, která mi umožnila napsat tuto práci.

8 Obsah Úvod Vybrané instituty neživotního pojištění Neživotní pojištění a pojistné Charakteristika neživotního pojištění Základní pojmy a stanovení pojistného Teorie rizika Pojem rizika a jeho členění Tarifní skupiny a ukazatele v neživotním pojištění Škody v neživotním pojištění Extrémní události Povodně a záplavy Povodně na Moravě v roce Povodně v Čechách v roce Důsledky povodní v ČR Požáry Požáry v České republice Požáry v tunelech Nehody při zpracování ropy Vítr a hurikány Hurikán Katrina v roce Orkán Kyrill v roce Vichřice Emma v roce Hurikán Sandy v roce Zemětřesení, sesuvy půdy a tsunami Lidské faktory Terorismus Atomová rizika Ekologické a jiné škody způsobené lidskou činností Souhrnný přehled extrémních událostí Postoj pojišťoven k extrémním událostem Pojišťovací pooly Zajištění pojišťovny Speciální modelování Matematické modelování v neživotním pojištění Modely počtu škod...48

9 3.1.1 Bernoulliho a binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Pólyovo a geometrické rozdělení Modely výše škod Log-normální rozdělení Gama a exponenciální rozdělení Beta rozdělení Paretovo rozdělení Weibullovo, Gumbelovo a Johnsonovo rozdělení Složené pojistné modely, modely v čase a pravděpodobnost ruinování Složené pravděpodobnostní rozdělení Čas v pojistných modelech Pravděpodobnost ruinování v pojišťovnictví Modelování pro případ extrémních událostí Benktanderovo rozdělení Gumbelovo rozdělení Modelování škod občansko-majetkového pojištění Představení konkrétních dat Modelování počtu škod zaznamenaných pojišťovnou Počty škod z katastrofických událostí Počty velkých škod, které nejsou klasifikovány jako katastrofické Počty celkových škod Modelování výše pojistného plnění pojišťovny Katastrofické škody Velké škody Závěr Seznam literatury Seznam tabulek Seznam grafů Seznam příloh... 84

10

11 Úvod Pojištění je důležitou součástí každodenního života. Snaha chránit se před nepříznivými událostmi, které mohou potkat kohokoli, je přirozenou vlastností každého rozumně uvažujícího člověka. Mimoto je pojištění důležitou ekonomickou kategorií, protože pojišťovny patří mezi finanční instituce operující s velkým objemem finančních prostředků. Pojistný trh, na kterém se střetává nabídka a poptávka po pojištění a zajištění, je nedílnou součástí trhu finančního, i když se oproti jiným segmentům vyznačuje určitými specifiky, jakými je například převis nabídky nad poptávkou. Neživotní pojištění je v České republice stále většinovou složkou ve vztahu k pojištění životnímu podle objemu předepsaného pojistného, ačkoli ve většině vyspělých zemí je tomu naopak. V posledních letech roste podíl životního pojištění i v naší republice a blíží se 50 procentům, nicméně neživotní pojištění zůstává stále velmi žádaným produktem a navzdory současnému trendu je stále nadpoloviční složkou. Pro pojišťovny je důležité znát předpokládaný počet škod a jejich výši pro stanovení přiměřeného pojistného. Takové pojistné by mělo pokrýt nejen náklady na výplatu pojistného plnění ze vzniklých škod, ale také určitý zisk, jelikož pojišťovna je podnikatelským subjektem, jehož cílem je (kromě jiného) právě dosažení zisku. V této práci řešená problematika je pro pojišťovny důležitá také z hlediska jejich solventnosti. Je důležité mít alespoň rámcový přehled o výši prostředků, kterých bude třeba ke krytí pojistného plnění v budoucnosti, a tato výše (jelikož se jedná o odhad) musí být podložena relevantními daty a postupy výpočtu. Každý pojistitel má k dispozici soubory dat, s nimiž lze pracovat při předvídání důležitých pojistných ukazatelů. Při dostatečném množství dat lze potom poměrně dobře modelovat počet běžných škod i jejich výši. Pro průměrné škody lze vystačit se základními matematickými metodami využívajícími poznatky pravděpodobnosti a statistiky a dalších ekonomických či matematických teorií, které lze souhrnně pojmenovat jako teorii rizika. Veškeré obdržené údaje jsou ale pouhými odhady založenými na historických datech, a je tedy třeba být připraven na možné odchylky od vykalkulovaných hodnot. V běžném životě bohužel dochází také k extrémním událostem, které mají zpravidla jednu z následujících dvou příčin. Běžnější jsou živelní události, které lze s jistou pravděpodobností předvídat. Ne vždy jsou ale takové prognózy spolehlivé co do síly a rozsahu. Mezi takovéto události můžeme zařadit povodně, ať už způsobené dešťovými přeháňkami či táním sněhu, silný vítr (hurikány, tornáda apod.), zemětřesení a další. Druhou kategorií jsou události způsobené lidskou činností, kam lze zařadit například terorismus, nebezpečí spojená s atomovou energií, různé ekologické katastrofy a podobně. Extrémní události se klasickým modelům většinou vymykají, což není chybou samotného modelu, ale spíše chybou jeho interpretace případně nedostatečného datového souboru pro jeho vytváření. Jelikož dostatečně velká pojistná událost způsobená extrémní událostí by mohla destabilizovat pojišťovnu nebo dokonce způsobit její úpadek, musí pojišťovny k takovýmto událostem zaujmout nějaký postoj v rámci řízení rizik. Mohou se zajistit, vyloučit plnění či zahrnout 11

12 extrémní události do svých výpočtů. Kromě obsažení extrémních událostí ve výlukách je ale vždy potřeba nějakým způsobem odhadnout možnosti vzniku extrémní události a pravděpodobnost výše škody, k čemuž je ovšem potřeba pokročilejší matematický aparát a hlavně velké množství relevantních dat. Hlavním cílem této diplomové práce je analyzovat jednotlivé modely pro odhad počtu škod a výše škod extrémních událostí v neživotním pojištění. V úvodní části bude charakterizováno neživotní pojištění a jeho základní pojmy a vztahy využívané dále v práci. Mezi stěžejní otázky patří způsob stanovení pojistného vycházející obecně ze stejného principu ekvivalence, který je využíván v životním pojištění, nicméně odlišující se konkrétními vstupními daty a způsobem výpočtu. Důležitou problematikou rozebranou v této části bude také teorie rizika zároveň s vymezením pojmu rizika a jeho dělením podle různých kritérií. Hlavní metodou v této části bude deskripce. Následovat bude vymezení pojmu extrémních událostí včetně jejich klasifikace podle příčin a přehledu největších škod způsobených těmito událostmi. Bude zde uvedeno několik typů jednotlivých škod podle druhu přírodní události případně způsobených lidskou činností včetně několika konkrétních příkladů. O něco podrobněji budou rozebrány přírodní katastrofy, které se vyskytují nebo mohou vyskytovat ve větší míře na území České republiky (především povodně a záplavy, vichřice či požáry). Pro práci je také důležitý postoj pojišťoven k těmto událostem, který může vést k nepojistitelnosti takovýchto rizik nebo k vytváření speciálních modelů využívaných pro výpočty celkových škod způsobených událostmi klasifikovanými jako extrémní. Velmi stručně bude také zmíněn pojem zajištění, který hraje důležitou roli především v oblasti extrémních škod, které by pojišťovna nemusela být schopna pokrýt ze svých vlastních zdrojů, a mohla by se tedy dostat do závažných ekonomických problémů. Deskripce bude v této části doplněna komparací jednotlivých extrémních událostí. Další úsek bude věnován výčtu a rozebrání jednotlivých modelů počtu škod a výše škod využívaných v neživotním pojištění a bude v něm hojně využito analýzy, komparace a především matematicko-statistických metod z teorie pravděpodobnosti a statistiky. Uvedena bude také jejich vhodnost či nevhodnost pro použití při modelování škod extrémních událostí s ohledem na jejich charakteristiky. Po analýze využití těchto modelů v neživotním pojištění budou teoretické poznatky aplikované na soubor dat z oblasti občansko-majetkového pojištění. V závěru práce budou uvedena doporučení a shrnutí celé problematiky. V práci budou využity metody: deskripce, analýza, komparace, dedukce a matematickostatistické metody. Pro modelování bude využit statistický software STATISTICA

13 1 Vybrané instituty neživotního pojištění Pojištění je součástí každodenního života především z důvodu snahy lidí zabezpečit se před možným snížením jejich životní úrovně v důsledku nepříznivých událostí. Samozřejmě se nelze pojistit pro případ každého nebezpečí, které nás ohrožuje, ale alespoň část lze pokrýt využitím pojišťovacích služeb. Pojištění má ve světě plném nejistot a nahodilostí místo jako nástroj finanční eliminace negativních důsledků nahodilosti. Možnost vzniku škody, která by byla sama o sobě pro klienta neúnosná, jej motivuje k uzavření pojištění a placení pojistného. Pokud dojde k realizaci pojistného rizika, tj. vznikne pojistná událost a nárok na pojistné plnění, je taková škoda vždy kompenzována pouze formou finanční náhrady a jiné krytí nepřipadá v úvahu. 1 V tomto pojetí tedy představuje pojem riziko nejistotu doby a charakteru události, která může ovlivnit životní standard pojištěné osoby. Pokud je potom tato událost klasifikována jako rozhodná podle pojistné smlouvy, dochází k poskytnutí plnění konkrétní sjednanou částkou, nahrazením ztráty nebo odškodněním. 2 V novém občanském zákoníku 3 (dále jen NOZ) by ale měla být praxe jiná. Jelikož zanikne zákon o pojistné smlouvě, který dosud upravoval převážnou většinu vztahů mezi subjekty na pojistném trhu, budou se nyní tyto vztahy řídit NOZ. Pojistné smlouvy budou patřit mezi tzv. odvážné smlouvy, u kterých závisí prospěch (nebo neprospěch) alespoň jedné ze smluvních stran na nejisté události. 4 Nově se náhrada škody bude provádět primárně uvedením do předešlého stavu a teprve, pokud to není možné nebo na žádost poškozeného je možné hradit tuto škodu v penězích. 5 Tato úprava je přesně opačná, než jak tomu bylo dosud. Další ustanovení NOZ uvádí, že nelze-li výši náhrady škody přesně určit, určí ji podle spravedlivého uvážení jednotlivých okolností případu soud 6, což bude mít značné dopady především na české soudy. Pojistitel vypočítá výši pojistného plnění, a pokud nebude poškozený s touto náhradou souhlasit, bude se muset věc řešit před soudem. 1.1 Neživotní pojištění a pojistné Neživotní pojištění se na rozdíl od životního uzavírá většinou na kratší pojistnou dobu (většinou na jeden rok). Například u cestovního pojištění může být tato doba pouze několik málo dní, na druhou stranu bývají smlouvy často automaticky obnovovány (tzv. prolongace smluv), k čemuž u životního pojištění nedochází. Většinou se jedná o škodové pojištění, jehož cílem není zhodnocování vložených finančních prostředků, ale pokrytí vzniklé škody definované v pojistné smlouvě, aby zůstala pokud možno zachována životní úroveň pojištěného. Případné plnění je omezeno pojistným zájmem, kterým se podle zákona o pojistné smlouvě rozumí oprávněná potřeba ochrany před následky nahodilé skutečnosti vyvolané pojistným nebezpečím. 7 Pojistné plnění tedy nikdy nepřesáhne vzniklou škodu a navíc je často sníženo o spoluúčast sjednanou v pojistné smlouvě. 1 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz BOOTH, Modern Actuarial Theory and Practice, 2004, str To jest v zákoně č. 89/2012 Sb., občanský zákoník v platném znění. 4 Viz 2756 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník v platném znění. 5 Viz 2951 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník v platném znění. 6 Viz 2955 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník v platném znění. 7 Viz 3 písm. n) zákona č. 37/2004 Sb., o pojistné smlouvě v platném znění. 13

14 Pojistný zájem je v NOZ definován jako oprávněná potřeba před následky pojistné události. Pojistník má pojistný zájem na vlastním životě a zdraví. Má se za to, že pojistník má pojistný zájem i na životě a zdraví jiné osoby, osvědčí-li zájem podmíněný vztahem k této osobě, ať již vyplývá z příbuzenství nebo je podmíněn prospěchem či výhodou z pokračování jejího života. Pojistník má pojistný zájem na vlastním majetku. Má se za to, že pojistník má pojistný zájem i na majetku jiné osoby, osvědčí-li, že by mu bez jeho existence a uchování hrozila přímá majetková ztráta % Graf 1: Podíl životního a neživotního pojištění 80% 60% 40% NŽP ČR ŽP ČR 20% 0% Vlastní konstrukce na základě údajů z Pojistný trh České republiky (Pojistné rozpravy č. 27), 2011, str. 25. Jak je vidět na přechozím grafu, tvoří neživotní pojištění dle předepsaného pojistného v České republice stále většinovou složkou ve vztahu k pojištění životnímu. V posledních letech lze vysledovat trend, kdy se podíl těchto dvou typů pojištění přibližuje, ale stále zůstává neživotní pojištění nadpoloviční složkou Charakteristika neživotního pojištění Neživotní pojištění lze definovat negativním vymezením jako veškeré pojištění, které nespadá do životního, kam patří pojištění pro případ smrti, pojištění pro případ dožití, jejich kombinace a další podle přílohy zákona o pojišťovnictví 9. V neživotním pojištění je jak okamžik vzniku pojistné události, tak i výše pojistného plnění náhodnou veličinou. Hlavními odvětvími neživotního pojištění jsou: 10 úrazové pojištění a pojištění nemoci, pojištění škod na dopravních prostředcích (včetně drážních vozidel, leteckých dopravních prostředcích a plavidlech), pojištění přepravovaných věcí včetně zavazadel a jiného majetku, pojištění škod na majetku, pojištění odpovědnosti za škodu, pojištění úvěru, záruky (kauce), různých finančních ztrát, pojištění právní ochrany, pojištění pomoci osobám v nouzi během cestování nebo pobytu mimo místa svého bydliště. 8 Viz zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník v platném znění. 9 Viz zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví v platném znění. 10 Viz Příloha č. 1 Odvětví a skupiny pojištění Část B zákona č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví v platném znění. 14

15 Přestože se zdravotní a úrazové pojištění týká osob, řadí se kvůli své administrativní podobnosti mezi produkty neživotního pojištění. 11 Klasifikace rizik definovaná v legislativě Evropské unie uvádí pro neživotní pojištění tyto skupiny rizik: úraz, nemoc, pozemní vozidla, železniční vozový park, letecké dopravní prostředky, plavidla, dopravované zboží, požár a přírodní živly, jiné škody na majetku, odpovědnost za škody z provozu motorových vozidel, odpovědnost za škody z provozu leteckých dopravních prostředků, odpovědnost za škody z provozu plavidel, obecná odpovědnost za škody, úvěr, záruka, různé finanční ztráty, právní ochrana. 12 Mezi nejfrekventovanější majetková pojištění občanů patří pojištění domácnosti a nemovitosti. Také se do této kategorie dá zařadit havarijní pojištění vozidel. Nezanedbatelnou kategorií je potom pojištění průmyslových a podnikatelských rizik, kam spadá celá škála pojistných produktů od živelního přes šomážní až po pojištění odcizení a vandalismu. Do obou těchto kategorií lze také počítat pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou třetí osobě u občanů je časté pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou v běžném občanském životě, pojištění za škodu způsobenou provozem vozidla (tzv. povinné ručení), případně odpovědnost plynoucí z různých vztahů (vůči zaměstnavateli, z výkonu povolání, vlastníka nemovitosti, vlastníka či opatrovatele zvířete, ). U podnikatelů je pojištění odpovědnosti mnohem rozsáhlejší kategorií a patří sem velké množství povinných smluvních pojištění jako je již zmíněné povinné ručení nebo nejrůznější pojištění odpovědnosti za škody vzniklé při výkonu povolání (advokáti, notáři, lékaři, architekti, auditoři, ). 13 Principem pojištění je, že pojištěnci přenášejí rizika s pro ně neúnosnými škodními důsledky na pojistitele, který je schopen při dostatečně velkém a homogenním pojistném kmenu toto riziko diverzifikovat. 14 Využívá se zde principu solidarity pojištěných, při kterém dochází k rozvržení škody, kterou utrpěla jen část klientů, mezi všechny vystavené stejnému riziku Základní pojmy a stanovení pojistného Pro pojišťovny je životně důležité stanovit správně výši pojistného, jako úplaty za pojistnou ochranu, které musí pokrýt nároky na pojistná plnění a mělo by zároveň pojišťovně generovat zisk. Většinou vychází z principu ekvivalence, kdy se příjmy rovnají výdajům respektive předpokládané výplatě pojistných plnění, k čemuž je třeba odhadnout pravděpodobnost vzniku škody a její výši za daných okolností. Při výpočtech se využívají statistické metody založené na historických datech. Tyto hodnoty je třeba úročit nebo diskontovat ke stejnému datu, aby platila rovnost. Často se pro jednodušší výpočty předpokládá, že pojistné události resp. jejich počet je rozložen během roku rovnoměrně. Pro dlouhodobou efektivnost komerčních pojišťoven je důležité dosáhnout ekonomické vyrovnanosti pojištění (ekvivalence), kterou lze vyjádřit jako dlouhodobou vyrovnanost nákladů na skutečná pojistná plnění s předepsaným (případně netto) pojistným. Pokud jsou náhrady pojistných nároků vyšší než přijaté pojistné, dostává se pojistitel do ztráty, která může ohrozit její solventnost. V opačném případě, je-li pojistné vyšší než vyplacená pojistná plnění, stává se 11 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz MANDL, MAZUROVÁ: Matematické základy neživotního pojištění, 1999, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz ČÁMSKÝ, Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění, 2004, str Viz ČÁMSKÝ, Pojistná matematika II, 2004, str

16 takové pojištění pro klienty neadekvátní a nebudou o ně mít zájem, což povede v dlouhém období k nižším ziskům z vybraného pojistného a pojistitel se opět může dostat až do ztráty. Ani jedna varianta neekvivalence tedy není pro pojistitele výhodná. 16 V neživotním pojištění se zpravidla používá tzv. přirozené pojistné, které je vykalkulováno tak, že pokryje pojištěné riziko na jedno pojistné období dopředu. Na konci tohoto období (většinou se jedná o jeden rok) je přijaté pojistné spotřebováno, protože odpovídá pravděpodobnosti vzniku pojistné události. 17 Pojistné by se tedy mělo rovnat průměrné výši nároků na plnění, resp. střední hodnotě veličiny, která představuje realizaci rizika v tomto případě výši nároků na pojistná plnění. 18 Z takto stanoveného nettopojistného se připočtením bezpečnostní (výkyvové) přirážky, která by měla krýt výkyvy škodního průběhu způsobené například používáním matematických metod a odhadů aplikovaných na reálná data, získá tzv. rizikové pojistné. Pokud připočteme ještě navíc správní náklady (získávací, organizační, inkasní, stornovací, likvidační apod.) a kalkulovaný zisk, získáme bruttopojistné. 19 Pojistné je cenou za poskytované služby a jako na každém trhu dochází ke střetu nabídky a poptávky, který se vyrovnává v určitém bodě. Je zřejmé, že pojistné se skládá z několika segmentů, které pojistitel nemůže ovlivnit, a aby stanovil přijatelné pojistné za pojištění, po kterém bude dostatečná poptávka, může stanovit pouze část kalkulovaného zisku všechny ostatní hodnoty jsou pevně stanovené na základě vnitřních modelů pojišťovny. Pojistné tedy musí být dostatečné k pokrytí nákladů a vytvoření zisku pojišťovny a mělo by být také schopné reagovat na ekonomické faktory (změny úrokové míry, inflaci, ) či na konkurenční tlaky. Ačkoli bývá většinou pojistné období u neživotního pojištění področní či roční, můžeme se setkat také s předplaceným či jednorázovým pojistným. U obou typů pojistitel zpravidla přiznává pojistníkovi úrok ve výši technické úrokové míry. Při prvním typu se vrací nespotřebované pojistné, dojde-li k předčasnému zániku smlouvy, u druhého typu nicméně k takovému vracení nedochází. 20 Základem pro výpočet pojistného je pojistná částka, která je nejvyšší možnou hodnotou pojistného plnění a většinou závisí na rozhodnutí klienta. Měla by být stanovena tak, aby pokud možno odpovídala hodnotě ( ) pojištěné věci. Pokud je totiž pojistná částka nižší než pojistná hodnota ( ), dochází k tzv. podpojištění a pojistitel je oprávněn krátit případné pojistné plnění v poměru a většinou tohoto svého práva využívá. 21 Při stanovení pojistného se zohledňuje mnoho dalších faktorů, jako jsou inflační očekávání, různé ekonomické prognózy apod. Pojistitel má také horní hranici pojistného plnění, která je určena buď pojistnou částkou, nebo limitem pojistného plnění. 22 Tato hranice stanovuje maximální možné pojistné plnění. Podle NOZ je tato úprava v podstatě shodná. Při škodovém pojištění bude poskytováno plnění, tak aby došlo k vyrovnání úbytku majetku (do výše sjednané hranice pojistného plnění určené pojistnou 16 Viz ŘEZÁČ, Řízení rizik v pojišťovnictví, 2011, str Viz CIPRA, Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou, 2005, str Viz MANDL, MAZUROVÁ: Matematické základy neživotního pojištění, 1999, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str. 326, Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz 28 zákona č. 37/2004 Sb., o pojistné smlouvě v platném znění. 16

17 částkou nebo limitem pojistného plnění). 23 U obnosového pojištění se bude samozřejmě dále vyplácet pojistné plnění sjednané ve smlouvě. Důležitým pojmem neživotního pojištění je intenzita pojistné ochrany, která nesmí přesáhnout hodnotu jedné, jelikož by se v takovém případě jednalo o obohacení (pojistný podvod). Intenzita je definována jako poměr pojistného plnění ke škodě:, kde. 24 Pojistnou hodnotou se rozumí reálné ocenění pojišťované věci v době uzavření pojištění a nová nebo časová cena v době pojistné události. Tato hodnota se dá relativně snadno určit v pojištění majetku, ale méně snadno se zjišťuje například v úrazovém pojištění. Novou cenou se myslí částka odpovídající přiměřeným nákladům na znovupořízení věci (bez amortizace) stejného druhu a jakosti. Časová cena naopak zohledňuje opotřebení či jiné znehodnocení v době pojistné události. S pojistnou hodnotou úzce souvisí také nejvyšší možná škoda ( ) 25, která se většinou rovná pojistné hodnotě ( ). V některých případech může být i nižší nebo vyšší. Příkladem druhé možnosti ( ) je kalkulace zachraňovacích nákladů, preventivních opatření k odvrácení bezprostředního nebezpečí pojistné události apod. do celkové škody. 26 U některých pojistných produktů je třeba zohlednit časové zpoždění v pojistném plnění, tzv. long-tail class of business, které se vyskytuje například u krytí rizik souvisejících se zdravím nebo odpovědností za škodu, kde je možná zdlouhavá likvidace pojistných událostí. 27 V práci nebude vůbec kalkulováno s pojištěním odpovědnosti za škodu, protože se jedná o specifickou kategorii neživotního pojištění, která sice není zdaleka nevýznamná, nicméně u ní většinou nedochází k extrémním událostem. Naopak může docházet k takovýmto událostem především u produktů, kde jsou kryta živelní rizika. 1.2 Teorie rizika Důležitým pojmem v neživotním pojištění je teorie rizika (risk theory), která představuje pojistnou matematiku založenou na souboru matematických a ekonomických teorií. Využívá především některé pokročilejší metody z teorie pravděpodobnosti, matematické statistiky, teorie her, užitku, řízení, rozhodování apod. Riziko, které je třeba v neživotním pojištění co nejpřesněji odhadnout, spočívá v nejistotě, zda vůbec pojistná událost nastane a jaká bude výše vyplaceného pojistného plnění, které závisí na způsobené škodě. 28 V pojištění se ve velké míře využívají matematické teorie, právě proto že se zabývají jevy náhodného charakteru. Důsledkem těchto jevů (nazývaných pojistná rizika) může dojít ke vzniku škody neboli pojistné události 29 a podle ujednání v pojistné smlouvě dochází následně k výplatě pojistného plnění. 23 Viz zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník v platném znění. 24 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Nejvyšší možná škoda se značí PML z anglického Probable Maximum Loss. 26 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str. 41, Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz ČÁMSKÝ, Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění, 2004, str Pojistná událost nemusí být nutně negativní, neboť v životním pojištění se za pojistnou událost považuje například dožití se určitého věku. 17

18 1.2.1 Pojem rizika a jeho členění Riziko je v ekonomii nejčastěji spojováno s pojmem nejistoty v budoucnosti. Většina subjektů by ráda věděla, jakým způsobem se budou vyvíjet různé hodnoty na finančních trzích, zda některé události nastanou či nenastanou, ale v praxi nelze budoucnost předpovědět se stoprocentní jistotou stále je zde tedy určité riziko (nejistota), že se trh bude vyvíjet jinak, než se předpokládá. Z etymologického hlediska má riziko původ ve staré řečtině, kde slovo riza označovalo kořen (tj. nějakou překážku na cestě poutníka), podobně se později objevilo v latině ve významu útes, o který se mohou rozbít lodě. Do dalších jazyků bylo převzato jako pojem označující nebezpečí, jemuž čelí obchodníci při dopravě na moři, a postupně se přetransformovalo k abstraktnímu pojmu riziko představujícímu nebezpečí ve všech aspektech lidského života (v politice, práci, obchodě, životě, ). Ačkoli se jedná o velice často používaný pojem, není v ekonomii jednotně definovaný. Zpravidla označuje nahodilou možnost vzniku nějaké události, která má za následek ztrátu či škodu, nebo v širším pojetí odchylku od očekávaného vývoje. 30 V pojišťovnictví je potom v zákoně o pojistné smlouvě definováno pojistné riziko, které značí míru pravděpodobnosti vzniku pojistné události vyvolané pojistným nebezpečím, které je možnou příčinou vzniku pojistné události. 31 Riziko, které původně označovalo jak příznivou tak nepříznivou událost v životě člověka, je v současné době v pojišťovnictví chápáno jako potenciální možnost vzniku pojistné události. V praxi bývá jako riziko označována každá uzavřená pojistná smlouva nebo její složka. Pojišťovna tedy tzv. přebírá (kryje) rizika, která může ještě dále postoupit zajišťovnám. Pojišťovny do svého portfolia přebírají pouze čistá rizika, která jsou prokazatelně náhodného charakteru, nikoli uměle vytvářená rizika spekulativní, se kterými se lze setkat například v hazardních hrách, spekulacích s cennými papíry apod. Důležitou činností pojišťovny pro udržení pouze čistých rizik ve svém portfoliu je politika zábrany pojistných podvodů. Čistá rizika mohou být absolutní (např. živelní události) nebo relativní (např. úmrtí, u kterého je jisté, že nastane, jen není zřejmé kdy). 32 Každý se může k (čistým) rizikům postavit různými způsoby: 33 Přijme, neboli zachová riziko, jelikož náklady na ostatní formy mohou být vyšší, než pokud se riziko naplní a pro jednotlivce je výhodnější ignorovat toto riziko a posléze se vypořádat s případnými následky. Může nastat také případ, kdy se jedná o riziko nepojistitelné a není ani jiná možnost, jak se před rizikem chránit. Eliminuje toto riziko využitím vhodných prostředků pro zničení všech jeho možných příčin. V tomto případě je nicméně důležité odstranit opravdu všechny příčiny a vzít v potaz možné vedlejší účinky a možnost vzniku nových rizik. Vyvaruje se rizika změnou svého chování. 30 Viz MAREK, Petr. Riziko přístupy k jeho vymezení [online] VŠB-TU Ostrava. 2010, [cit ]. Dostupný na WWW: < dokumenty/marek.petr.pdf>. 31 Viz 3 zákona č. 37/2004 Sb., o pojistné smlouvě v platném znění. 32 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz BOOTH, Modern Actuarial Theory and Practice, 2004, str

19 Přenese riziko na jiný subjekt, což je podstatou pojištění a zajištění. Z jiného hlediska je možné dělit riziko na objektivní a subjektivní, kde první jmenované záleží na faktorech, jakými jsou např. věk, pohlaví, zdravotní stav, profese či charakteristiky pojištěného předmětu. Druhý typ rizika vyjadřuje snahu pojištěného chránit si své zdraví, majetek apod. (tzv. pojistný zájem) a často je jeho součástí také morální riziko, které následně způsobuje, že pojištěný nepreferuje zábrannou činnost před vznikem škody, protože je tzv. krytý a nijak významně ho vzniklá škoda neovlivní, protože ji (především v pojištění majetku a odpovědnosti) vykompenzuje přijaté pojistné plnění. 34 Poměrně podrobná klasifikace rizik vychází také z dělení podle pojistných produktů 35 : osobní riziko riziko smrti nebo dožití, riziko tělesného poškození, sociální nedostatečnost, ; živelní riziko riziko škod způsobených živelní událostí jako je požár, povodeň, blesk, krupobití, vichřice, ; vodovodní riziko riziko škod způsobených poruchou vodoinstalace, kanalizace, topení; dopravní riziko riziko z provozu dopravních prostředků (kaskopojištění) či riziko vznikající při přepravě zboží (kargopojištění); riziko odcizení a vandalismu pojistné plnění z těchto rizik je zpravidla omezeno splněním jistých bezpečnostních opatření; šomážní riziko riziko přerušení provozu nebo výroby; strojní riziko riziko havárie nebo poruchy strojního zařízení; zemědělské riziko riziko ztráty v rostlinné či živočišné výrobě; odpovědnostní riziko zahrnuje široké spektrum škod, které způsobí pojištěný nesoucí za své jednání odpovědnost třetí osobě; rizika sociálně-politická jedná se o rizika, která většinou spadají do výluk: válečné konflikty, embarga, stávky, ; rizika obchodně-finanční zahrnují dodavatelsko-odběratelské vztahy, ekonomické podmínky apod. spadají sem například úvěrové či devizové riziko; moderní rizika do této kategorie spadají rizika jako například atomové, ekologické, Z hlediska pojistitele se rizika převzatá v rámci pojistného kmene transformují na tzv. pojistnětechnické riziko pojistitele, které spočívá v potenciálním nebezpečí, že ve skutečnosti nedojde k vyrovnání mezi přijatým pojistným a vyplaceným pojistným plněním. Toto riziko se měří výší variability mezi očekávaným stavem, z něhož vychází výpočet pojistného, a skutečným stavem, který se projeví ve vypláceném pojistném plnění. 36 Podstata pojišťovací činnosti je přitom založena na tom, že s růstem velikosti pojistného kmene (tj. s růstem aktuálního počtu uzavřených pojistných smluv) se pojistně-technické riziko zmenšuje. 37 Pokud teorii rizika v rámci pojišťovnictví shrneme do stručné definice, jedná se o výpočet náhodné odchylky od očekáváné hodnoty. Používá se hlavně v neživotním pojištění, protože se bere v úvahu velikost škody resp. výše pojistného plnění jako náhodná veličina. Pojistné plnění, 34 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str. 16, Tento skutečný stav má ovšem náhodný charakter, tj. jedná se o náhodnou veličinu. 37 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str

20 které se někdy nazývá také pojistný nárok, závisí na vzniklé škodě a může se pohybovat od zlomkové hodnoty pojistné částky až do její plné výše vyjádřené ve smlouvě. U životních smluv je většinou náhodnou proměnnou pouze okamžik úmrtí, sjednaná částka (pojistné plnění) i pojistné jsou pevně sjednané ve smlouvě. 38 Zisk pojišťovny 39 z určitého druhu pojištění je náhodná veličina, která závisí na příjmu pojišťovny a výši vyplaceného pojistného plnění. Příjem pojišťovny lze určit z podepsaných pojistných smluv, ve kterých je stanovena jak výše pojistného tak jeho splatnost. Výše vyplaceného pojistného plnění ale nelze určit přesně, protože se jedná o náhodnou veličinu, která závisí na mnoha dalších faktorech. Pokud vyjádříme zisk ( ) jako rozdíl příjmu ( ) a vyplacených pojistných plnění ( ), je možné vyčíslit střední hodnotu a rozptyl. Střední hodnota náhodné veličiny X bude standardně značena jako ( ) a rozptyl jako ( ) nebo ( ). ( ) ( ) Bude-li pojišťovna vycházet z principu ekvivalence, musí se její příjmy rovnat výdajům. Příjem tedy bude stanoven tak, aby byla střední hodnota zisku nulová, tj. ( ). Potom bude platit, že ( ), což je matematické vyjádření rovnice ekvivalence. 40 Kromě teorie rizika se v neživotním pojištění hojně využívá i teorie užitku, jejíž podrobnosti není pro účel této práce nutno rozebírat Tarifní skupiny a ukazatele v neživotním pojištění Pro stanovení pojistného v neživotním pojištění se vychází především ze statistických údajů. Do výpočtů se zahrnují také prognózy vývoje, jak jednotlivých pojistných, tak ekonomických ukazatelů. Pro takový výpočet je vhodné rozdělit si údaje do tarifních skupin, kterými jsou homogenní skupiny smluv s přibližně stejným rizikem 41. Počet tarifních skupin závisí na tom, jak podrobně jsou tříděna rizika. Kritériem pro zařazení do určité tarifní skupiny mohou být objektivní rizika jako například geografická poloha, podnikatelské zaměření činnosti, druh budovy a její odolnost (požární, vodovodní apod.), typ vozidla a způsob jeho užívání, síla motoru či věk pojištěného. Jelikož se následně stanovuje pojistná sazba pro celou skupinu, není vhodné zahrnovat do tarifování například předchozí škodní průběh klienta, který je subjektivním rizikem. 42 Některé rizikové složky, které ovlivňují pravděpodobnost vzniku škody (např. hustota dopravy), se nedají měřit, ale lze je v určitých případech nahradit jinými faktory (například bydliště pojištěného či použití vozidla pro pracovní účely), které lze využít pro výpočet. 43 Bohužel například u bydliště se většinou nezohledňuje místo přechodného pobytu a ukazatel může mít úplně jinou hodnotu, než jaká je realita. Zobecnění je ale v modelech nezbytné a je třeba s případnými nesrovnalostmi počítat. 38 Viz ČÁMSKÝ, Pojistná matematika II, 2004, str. 4, Zisk může v těchto případech nabývat i záporných hodnot a představuje spíše hospodářský výsledek z konkrétního druhu pojištění. 40 Viz ČÁMSKÝ, Pojistná matematika II, 2004, str Toto rozdělení souvisí s individualizací rizik, které je tím výraznější, čím je dělení přesnější a detailnější. 42 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz BOOTH, Modern Actuarial Theory and Practice, 2004, str

21 Pro stanovení co nejpřesnějšího pojistného je žádoucí, aby bylo tarifování velmi podrobné. Na druhou stranu se tím ale zvyšují správní náklady a náklady na zpracování takovýchto dat, zároveň musí být tarifní skupiny dostatečně rozsáhlé, aby nedocházelo k přílišnému kolísání škodního průběhu. Proto je třeba nalézt kompromis mezi podrobností a efektivností, což leckdy není jednoduché. Pro zjištění kolísání škodního průběhu se využívá míra kolísání, která je definovaná jako poměr směrodatné odchylky celkové škody a celkového nettopojistného, které je kalkulováno tak, aby se rovnalo očekáváné celkové škodě. Jedná se tedy o průměrnou odchylku skutečné škody od nettopojistného v rámci tarifní skupiny. Je-li tedy riziko pojistitele vyjádřit jako. Míra kolísání se používá také ke stanovení bezpečnostní přirážky, která navýší nettopojistné na tzv. rizikové pojistné. 44 Statistická data následně umožňují stanovit pro jednotlivé tarifní skupiny mnoho údajů globálního charakteru jako je počet pojistných smluv, počet pojistných událostí, celkovou pojistnou částku, celkové pojistné (podle jednotlivých typů), celkové pojistné plnění, maximální škody apod. Při stanovování těchto údajů je třeba dávat pozor na časové rozlišování jednotlivých ukazatelů. Pokud je smlouva sjednána na více let, nebo v průběhu roku, je třeba rozpočítat pojistné a veškeré související parametry poměrně na část připadající do konkrétního období tzv. zasloužené a nezasloužené pojistné. 45 V neživotním pojištění se používá velké množství ukazatelů, mezi které patří: 46, lze Průměrná pojistná částka: Průměrné pojistné plnění (škodní potřeba): Průměrná škoda: celkove pojistne celkova pojistna c a stka v dane m roce poc et dane m roce ( ) dane m roce ( ) celkove pojistne dane m roce poc et dane m roce ( ) Škodní frekvence vyjadřuje, kolik pojistných událostí připadá za rok na jednu pojistnou smlouvu resp. střední počet škod v jedné pojistné smlouvě za jeden rok (obvykle se udává v %): Pojistná sazba stanovuje, kolik korun přijatého pojistného připadá na 1 korunu pojistné částky (obvykle se udává v ): Škodní sazba (škodní procento) udává podíl pojistného plnění na jednu korunu pojistné částky (obvykle se udává v ): celkove pojistne dane m roce celkova pojistna c a stka v dane m roce Škodní kvóta (škodní průběh nebo také škodní poměr) se obvykle udává v procentech: celkove pojistne dane m roce celkove pojistne v dane m roce sazba pojistna sazba 44 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz ČÁMSKÝ, Pojistná matematika II, 2004, str. 19, Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str. 308,

22 Škodní stupeň vyjadřuje střední výši škody na jednotkovou pojistnou částku za jeden rok a obvykle se udává v %: Mezi těmito ukazateli platí velké množství vztahů, které ovšem není nutné pro tuto práci dále rozebírat Škody v neživotním pojištění Pokud by se graficky znázornil vývoj škod v neživotním pojištění v průběhu let či lépe desetiletí, byl by zde patrný rostoucí trend. Tato skutečnost může být způsobena stále rostoucí hustotou zalidnění, která způsobuje, že škody vyskytující se i na malém území postihují mnohem větší počet osob, než v minulosti. Dalším faktorem ovlivňujícím náhradu vzniklých škod jsou také moderní a stále dokonalejší materiály a technologie, které jsou pochopitelně dražší než dřívější obyčejné. Tyto faktory mají samozřejmě obrovský vliv na škody způsobené nějakou extrémnější událostí, které budou uvedeny v následující kapitole. Rostoucí hodnota vyplaceného pojistného plnění nemusí tedy znamenat, že se vyskytují škody častěji. Jedná se o kombinaci mnoha dalších faktorů. Nelze nicméně opomenout fakt, že v průběhu let došlo, a stále dochází, k mnoha klimatickým změnám, které mohou vést jak k anomáliím počasí, tak mohou mít za důsledek, že se některé přírodní katastrofy dnes opakují častěji. Konkrétní příčiny nicméně stále nejsou jasně určené a mnoho vědců se touto otázkou zabývá a zaujímá mnoho protichůdných názorů. Nelze také s jistotou říct, že bude tento trend pokračovat. Z dlouhodobějšího hlediska se může jednat pouze o nepatrný výkyv od průměrných hodnot, nicméně pro potvrzení či vyvrácení této hypotézy nezbývá než počkat, jak se vše vyvine. 22

23 2 Extrémní události Pro práci je potřebné vymezit pojem extrémní události z obecného hlediska. Extrém lze chápat jako výstřednost, výstřelek nebo krajnost, z matematického pohledu se jedná o minimum či maximum. V této práci bude za extrémní považována událost s malou pravděpodobností výskytu, která je ale velmi závažná a významně ovlivní hospodaření pojišťovny v důsledku velkých škod a tím následně vysokého pojistného plnění. Závažnost může být vyjádřena počtem postižených osob, značnými škodami na majetku či zdraví nebo ztrátami na životech. Extrémní události lze také chápat jako škody katastrofické neboli vztahující se ke katastrofě převzato z francouzského catastrophuque. Řídčeji se vyskytuje také pojem katastrofální neboli mající povahu katastrofy (z latinského catastrophalis) či končící katastrofou, nicméně oba pojmy jsou v současnosti považovány za synonyma, ačkoli se lehce liší ve významu. 47 Z obecného pohledu se používá dělení na přírodní události, o kterých se často mluví jako o přírodních katastrofách, a na události způsobené lidskými faktory (některé lze nazývat technickými katastrofami), kam lze zařadit například terorismus, atomová rizika, nepokoje, havárie, výbuchy, dopravní neštěstí, ale také škody ovlivňující životní prostředí apod. Přírodní katastrofy obvykle zahrnují velký počet škod, který postihne mnoho pojištěných a má za následek plnění z mnoha různých pojistných smluv od různých pojistitelů. U škod způsobených lidskými faktory většinou nedochází k tak velkému rozsahu co do území, ale neznamená to nutně, že jsou škody finančně méně významné. Problémem u sledování škod způsobených lidskou činností je jejich podhodnocení z důvodu častého vyjmutí škod plněných z pojištění odpovědnosti z celkových statistik. 48 Pro všechny pojišťovny je důležité sledovat mimo jiného také aktuální trendy v zabezpečení proti jednotlivým rizikům. Prevence a snižování rizika je v zájmu pojistitelů, kteří podporou a doporučeními mohou u svých klientů snížit pravděpodobnost vzniku pojistných událostí a tím také náklady na pojistná plnění. Krytí některých rizik je dokonce podmíněno určitými typy zabezpečení a při nedodržení jejich parametrů může dojít ke krácení či odmítnutí pojistného plnění podle ujednání ve smlouvě. Z hlediska pojišťovnictví se podle studií švýcarské zajišťovny Swiss Re z roku 2005 pod pojmem katastrofa rozumí událost spojená se škodou minimálně 78 mil. USD nebo pojištěnou škodou 38 mil. USD (v leteckém a dopravním pojištění jsou tyto limity nižší). Dalším kritériem je příčina úmrtí nebo zmizení minimálně 20 lidí či ztráta domova pro 2000 lidí. 49 Především přírodní katastrofy se vyskytují po celé zemi, nicméně teprve v zemích, kde je dostatečně rozvinuté pojišťovnictví, se mohou stát pojistnými událostmi. Jedná se tedy především o státy s vyspělou ekonomikou, kde jsou pojištěním chráněné velké ekonomické hodnoty. 50 Vzhledem k tomu, že se v České republice tak velké škody naštěstí nevyskytují, nebude brán tento limit v následujícím textu jako směrodatné kritérium. V posledním desetiletí došlo k poměrně mnoha událostem, které lze charakterizovat jako extrémní. S ohledem na zaměření práce budou na tomto místě stručně zmíněny některé z těchto 47 Viz ŠLOSAR, Jazyčník, 2004, str Viz KOVÁRNOVÁ, Katastrofy roku 1999 (Pojistný obzor č. 11), 2000, str Viz DUCHÁČKOVÁ, Katastrofy a světové pojišťovnictví v roce 2006 (Pojistný obzor č. 3), 2007, str Viz KOVÁRNOVÁ, Katastrofy roku 1999 (Pojistný obzor č. 11), 2000, str

24 událostí, ať už vstoupily do všeobecného povědomí, nebo jsou méně známé. Některé vlastnosti (jako nahodilost a nízké procento výskytu), které jsou typické pro přírodní extrémy, dnes ustupují do pozadí, a ačkoli se například povodně již nevyskytují tak zřídka, lze je vzhledem k charakteru a výši škod, které způsobují, řadit mezi události extrémní spíše než mezi klasická (běžná) rizika. Mimo povodní, které se v posledních letech v České republice začínají objevovat téměř pravidelně, lze mezi další pohromy zařadit například extrémní sucha, inverze, tornáda, polomy, rozsáhlé požáry, technické havárie, pandemie, epizootie, nebezpečné odpady, úniky a transport nebezpečných látek i některé demografické procesy. 51 Počítáno od povodně na Moravě z roku 1997, jsme zažili za posledních čtrnáct let více roků s nadprůměrným výskytem přírodních živlů, než těch, které odpovídají tomu, co z dlouhodobějšího hlediska považujeme za standardní. 52 Co do koncentrace katastrof je na pomyslném prvním místě karibská oblast, která je vystavena hurikánům, zemětřesením, sopečné činnosti, povodním i suchu. Pojišťovny v této oblasti musí nahrazovat ztráty z majetkového pojištění jinými produkty a výnosy z investic. 53 Nejrizikovějším městem je potom pro pojišťovny Tokio, protože je zde velká pravděpodobnost přírodní katastrofy a současně by se jednalo o velmi nákladné škody. Na dalších místech pomyslného žebříčku rizikových měst je San Francisko a Los Angeles, do první desítky patří také Londýn a Paříž. 54 Ačkoli jsou přírodní katastrofy stále těžko předvídatelné, vědecký pokrok umožňuje vývoj čím dál přesnějších rizikových map a také technologických postupů pro zábranu či zmírnění důsledků takovýchto událostí. Důležité je nebrat přírodní katastrofy na lehkou váhu a především je nezačít podceňovat v případě, že se delší dobu neobjeví. V současnosti je bohužel trend takový, že se přírodní katastrofy začínají opakovat téměř pravidelně a poměrně často. Nepředvídatelnost přírodních katastrof je z lidského hlediska velmi bolestivým problémem, z hlediska pojišťovnictví se ale jedná o klíčový faktor pro samotnou možnost pojištění. V případě, že by bylo možné přesně určit, kde, kdy a v jaké míře se tyto jevy vyskytnou, pojišťovny by rizikové subjekty nepojišťovaly a ostatní, kteří by nebyli ohroženi, by si pojištění nesjednávali, čímž by se zhroutil celý systém, který v současné době funguje. Nadále by se tedy do portfolia přijímala pouze nebezpečí, která by nesouvisela s přírodními katastrofami. 2.1 Povodně a záplavy Říká se, že nejničivější ze všech živlů je voda. V ČR jsme se mohli v posledních letech poměrně často setkat s povodněmi a záplavami způsobenými buď jarním táním, nebo vytrvalými dešťovými přeháňkami. Český občan je zmatený pravidelně se opakujícími povodněmi a tím, že stoletá voda je schopná protéct některými místy v republice i dvakrát za sezonu. 55 Společně s požáry a vichřicemi patří právě povodně mezi hlavní živelní rizika ohrožující majetek v ČR. Nejčastější příčinou povodní jsou na našem území přívalové deště. Ačkoli jsou pojmy povodeň a záplava často zaměňovány, liší se svým významem. Velmi jednoduše a přehledně je rozdíl uveden na stránkách pojišťovny Triglav: Povodeň je zaplavení 51 Viz KALOUDA, KRAJÍČEK, Problematika živelních pohrom (Pojistný obzor č. 8), 2007, str Viz NEUWIRTH, Pojištění živelních událostí: Jaký bude další vývoj (Pojistný obzor č. 4), 2010, str Viz Aktuality ze zahraničí : Nejnebezpečnější místo na světě (Pojistný obzor č. 8), 2001, str Viz Aktuality ze zahraničí : Tokio nejrizikovější město (Pojistný obzor č. 6), 2003, str Viz HRDÝ, Podcenění rizika terorizmu není na místě (Pojistný obzor č. 3), 2011, str

25 území vodou, která se vylila ze břehů vodních toků nebo vodních nádrží (přehrad a rybníků), nebo která tyto břehy a hráze protrhla. Záplava je vytvoření souvislé vodní plochy, která po určitou dobu stojí nebo proudí a může být způsobena i z jiných zdrojů než vodních toků, např. dešťovými srážkami, táním sněhu, z vodovodních zařízení a nádrží apod. 56 Z této definice plyne, že záplava je nadřazeným pojmem povodně. V některých pojistných podmínkách je to zřejmé z vyjmenování rizik, kde často bývá uvedeno záplava vzniklá jinak než v souvislosti s povodní. Povodně a záplavy lze dělit na následující typy 57 : Říční povodeň vzniká vylitím vody z koryta řeky z důvodu většího průtoku vody než za normálních okolností a dochází k zaplavení přilehlých území. Blesková povodeň označuje vylití vody z říčních toků, kdy koryto není schopné pojmout množství vody z velmi intenzivních srážek. Při dešťové (pluviální) povodni nedochází k vylití vody z koryta, ale vodní masa z intenzivních srážek se akumuluje a zaplavuje území dříve, než se stihne dostat do říčních koryt. Povodeň způsobená vzedmutím mořské hladiny v České republice nehrozí, ale je vhodné zmínit na tomto místě i tento typ, který může mít dvě příčiny silný vítr (tidal flood) nebo zemětřesení (tsunami 58 ). Pro vyhodnocení pravděpodobnosti výskytu povodní na území ČR se využívají povodňové mapy, jejichž systém (přesněji systém rizikových zón záplav) vytvořila Česká asociace pojišťoven společně s Intermap Technologies a zajišťovnou Swiss Re pro účely posuzování rizika povodní členských pojišťoven. Rizikové zóny jsou na těchto mapách přesnější než umístění říčních toků na podkladových mapách a oddělují prostory se stejnou každoroční pravděpodobností zaplavení. Podle nebezpečí výskytu povodní jsou definovány 4 povodňové zóny: 59 zóna 1 zanedbatelné nebezpečí výskytu záplav, zóna 2 nízké nebezpečí výskytu záplav (tzv. území maximálního rozlivu), zóna 3 střední nebezpečí výskytu záplav (území tzv. padesátileté 60 vody), zóna 4 vysoké nebezpečí výskytu záplav (území tzv. dvacetileté vody). Místa, kde se vyskytuje méně než dvacetiletá voda (tj. tarifní zóna 4), jsou v podstatě nepojistitelná, pokud se neprovedou určitá protipovodňová opatření, která by dalšímu vzniku povodní zabránila. Pojišťovny v těchto případech postupují individuálně při uzavírání každé nové smlouvy, případně při obnovování. S pokračujícím rozvojem informační technologie dochází ke stále přesnější identifikaci a kvantifikaci rizik způsobujících mimořádné škody. 56 Převzato z Triglav.cz Archív aktualit Povodeň nebo záplava? [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 57 Viz BÁNOVSKÝ, Povodně povodňové zóny (Pojistné rozpravy č. 27), 2011, str Tsunami bude kvůli souvislostem se zemětřesením zahrnuta do části Zemětřesení, sesuvy půdy a tsunami. 59 Převzato z ČAP.cz Povodňové mapy [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < Item.aspx?item=Povod%C5%88ov%C3%A9+mapy>. 60 Pojem padesátiletá voda (povodeň) je taková povodeň, jejíž kulminační průtok je v dlouhodobém průměru dosažen nebo překročen 1 krát za 50 let. Jedná se o statistickou (nikoli predikční) charakteristiku. Převzato z Český hydrometeorologický ústav, Vysvětlení pojmu stoletá povodeň [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 25

26 Pro snížení tohoto rizika se zavádí komplexní systém ochrany před povodněmi: mimo jiného revitalizace koryt vodních toků, vyhodnocení významu vodních nádrží, zlepšení pružnosti finančních prostředků (národních i z evropských fondů) na obnovu území postižených mimořádnou událostí, zlepšení přípravy občanů na mimořádné a krizové situace, zakomponování změn klimatu do dat sloužících k identifikaci rizik, zpřesnění postupu vyhodnocování povodňových škod (příčiny, průběh, důsledky), zabezpečení sdílení údajů z jednotlivých rezortů pro jejich následnou analýzu. 61 Evropská komise navrhla jednotný postup pro řízení povodňových rizik. Mezi opatření, které navrhuje, patří plány pro řízení rizik v povodích řek a pobřežních zónách (podrobná identifikace rizik a snížení jejich negativních dopadů), povodňové mapy, mezinárodní spolupráce pro řeky protékající více státy (např. Rýn, Odra, Dunaj, Labe), zlepšení předávání informací, zvýšení povědomí o povodňových rizicích apod. Evropská unie také zřídila fond solidarity, ze kterého mohou země postižené katastrofou 62 čerpat finanční prostředky na obnovu a návrat postižených oblastí do normálního života. 63 Záznamy o velkých povodních, které zasáhly území České republiky, jsou dochované již z dvanáctého století, především pokud se týkají hlavního města Prahy. Vltava se zde rozvodnila v letech 1118, 1164, 1342, 1367, Jedna z nejničivějších povodní byla zapříčiněna hustými dešti a krupobitím trvajícími od května do července v roce 1890, čímž došlo k rozvodnění jihočeských řek, zatopení Českých Budějovic, Strakonic i Sušic a povodňová vlna pokračovala tokem Vltavy k Praze. Dvacet vojáků utonulo, ale větším ztrátám na životech bylo zabráněno varovným systémem, kdy každou hodinu hlásala poplašná střelba z děl, že voda stále stoupá. Již poněkolikáté byl poničen Karlův most a samozřejmě došlo k mnoha dalším obrovským majetkovým škodám. Povodeň, která počátkem září roku 1890 prošla Prahou, byla označována za stoletou. Kam tehdy až voda sahala, nám dnes ukazují kovové pamětní štítky na některých domech. Ti, co je osazovali, jistě netušili, že o více jak sto let později, v roce 2002, si jejich následovníci na podobnou činnost budou muset vzít ještě delší žebřík než oni. 64 Fotografie k vybraným škodám zmíněným v textu této kapitoly jsou uvedeny v obrazové příloze Povodně na Moravě v roce 1997 Při povodních, které zasáhly Moravu v roce 1997, dosáhly škody přes 62 miliard 65 Kč, ale pojištěno bylo jen 15 % (tj. necelých 10 mld.). 66 Po těchto povodních se ukázalo, že jsou tuzemské pojišťovny kvalitně zajištěny a jsou schopné dostát svým závazkům i při takto rozsáhlých škodách. Jedinou pojišťovnou, které bylo nutno odebrat licenci, byla pojišťovna MORAVA, a.s., která ale měla problémy již před povodněmi. Jelikož mnoho pojistných událostí spadajících pod tuto pojišťovnu zůstalo nevyřízeno, bylo ze státního rozpočtu vyčleněno 61 Viz KALOUDA, KRAJÍČEK, Problematika živelních pohrom (Pojistný obzor č. 8), 2007, str Za specifických podmínek a pravidel, která byla stanovena při zakládání tohoto fondu. 63 Viz ČÍŽEK, Ochrana proti povodním: Evropská komise navrhuje jednotný postup EU (Pojistný obzor č. 4), 2005, str Viz HRUBEŠ, Velké pojistné události : Ničivá povodeň v roce 1890 v Praze (Pojistný obzor č. 9), 2004, str Dále bude používáno zkrácené označení pro miliardy mld. 66 Viz JANATA, Problematika živelního pojištění v České republice (Pojistný obzor č. 3), 2007, str

27 65 mil. Kč na odškodnění klientů. Každá z 1477 žádostí o finanční pomoc se řešila individuálně formou rozhodnutí ve správním řízení. 67 Povodně v tomto roce zasáhly 34 okresů na Moravě a ve východních Čechách a mimo škod na majetku došlo k 60 obětem na životech. 68 Stát se zaměřil nejen na rychlou likvidaci škod, ale také na prevenci a zdokonalení krizového řízení, což se postupně začalo promítat do legislativních předpisů. Stát se tedy začal zaměřovat spíše na prevenci a případnou pomoc při záchraně životů a majetku v průběhu katastrofy, zatímco pojišťovny začaly usilovat o lepší ocenění jednotlivých rizik a tím i lepší možnosti při poskytování náhrad za pojištěné škody. Začalo se pracovat na stanovování záplavových území, pořizování dokumentace k vyhodnocení rizik a zlepšení spolupráce mezi soukromými a státními subjekty. 69 Z celkových nahlášených pojistných událostí jich bylo přes 96 % vyřízeno rok po povodních. Neukončené likvidace se týkaly především velkých podniků a bytových družstev, kde trvaly déle rekonstrukce a opravy včetně jejich vyčíslení. 70 Pro představu je zde uveden graf představující počet pojistných událostí podle jednotlivých segmentů pojištění. Konkrétně se jedná o nemovitosti a domácnosti občanů, podnikatelské pojištění a ostatní. Graf 2: Počet pojistných událostí při povodních v roce 1997 dle jednotlivých segmentů budovy občanů domácnost občanů pojištění průmyslu ostatní Vlastní konstrukce na základě údajů z Pojišťovny a povodně v letech (Pojistný obzor č. 11), 2000, str. 5. Pojistné plnění v pojištění domácností a nemovitostí občanů v tomto roce přesáhlo hodnotu předepsaného pojistného, ale přesto se pojišťovny rozhodly usilovat o lepší ocenění rizika a větší podíl pojistníků na preventivních opatřeních na rozdíl od restriktivních opatření, která by vedla k oblastem, které by nebylo možno pojistit Povodně v Čechách v roce 2002 Povodně zasáhly východní Čechy také o rok později (1998), kdy došlo k 10 obětem na životech, a celkové škody představovaly 1,8 mld. Kč. Severní a východní Čechy byly zasaženy také v roce 67 Viz TROJANOVÁ, Zeptali jsme se ředitele Úřadu státního dozoru v pojišťovnictví a penzijním připojištění Ministerstva financí Ing. Václava Křivohlávka, CSc. V jakém stádiu je řešení problematiky povodní z let ? (Pojistný obzor č. 10), 2000, str Viz Základní fakta o povodních v České republice v posledních letech (Pojistný obzor č. 9), 2002, str Viz Tisková zpráva ČAP. Povodně úloha státu, pojišťoven a zajišťoven (Pojistný obzor č. 11), 2000, str Viz Pojišťovny a povodně v letech (Pojistný obzor č. 11), 2000, str

28 2000. Pojistná plnění činila v tomto roce necelé 2 mld. Kč. 71 Největší přírodní katastrofou v roce 2002 vyskytující se na našem území byly srpnové povodně ve střední a východní Evropě. Oproti události v roce 1997 bylo při tzv. stoleté vodě na Labi a na Vltavě v roce 2002 pojištěno více než 50 % škod (přibližně 37 mld.), které dosáhly celkové výše 73 mld. Kč. Přibližně 97% podíl na pojistném plnění pokryly zajišťovny a pojišťovny tudíž tuto událost dobře přestály. 72 Důvodem tak markantního rozdílu v pojištění škod je, že v roce 2002 byla zasažena průmyslová centra a velká města na rozdíl od dříve zatopené oblasti především moravských vesnic. Co do výše pojistných plnění připadá 20 % na pojištění majetku občanů, zbytek připadá na pojištění podnikatelů a průmyslu. Záplavy začaly na jihu Čech (České Budějovice, Písek ad.) a dále byla zaplavena města a vesnice v západních, středních a severních Čechách. O necelý týden později došlo k zatopení části hlavního města Prahy. 73 Rok 2002 nebyl povodňovým pouze pro Českou republiku, ale došlo ke katastrofickým povodním v povodí Dunaje a Labe napříč Evropou. V roce 2003 byla s likvidací pojistných událostí spokojeno přes 80 % klientů a v polovině následujícího roku již bylo vyplaceno přes 90 % pojistných nároků, což ukazuje na poměrně efektivní řešení pojistných událostí. Při likvidaci škodních událostí byly vytvořeny krizové štáby, které měly vliv na poměrně rychlé řešení, a většina událostí byla vyřízena do dvou let od vzniku škod Důsledky povodní v ČR Oba zmíněné roky byly pro pojišťovny zásadní, jelikož došlo k úpravě strategie pojišťování a především po roce 2002 došlo také k růstu nákladů na zajištění, s čímž se musely pojišťovny vypořádat. Pojistitelé zvýšili sazby pojistného a spoluúčasti, pro riziko povodně snížili limity plnění a zaměřili se také více na modelování scénářů zasažení určitých území a zkvalitnění risk managementu apod. Zároveň tyto události přispěly k vývoji Geografického informačního systému (GIS), který iniciovala Česká asociace pojišťoven ve spolupráci se Swiss Re a který slouží například k oceňování individuálních rizik či analýzám škod pomocí geo-koordinátorů, čímž je ve světovém měřítku unikátní. 74 Povodně v roce 1997 i 2002 ukázaly, že české pojišťovny jsou díky kvalitnímu zajištění stabilní a solventní. Přesto byly pojišťovny nuceny přehodnotit pojistitelnost majetku (občanů i podnikatelů) v jednotlivých oblastech podle nových povodňových map. Pro prevenci povodní je důležitá spolupráce s Českým hydrometeorologickým úřadem a se správci povodí, kteří předpovídají jejich vznik a průběh. Důležitá je také spolupráce se státem a bezpečnostními složkami. Ačkoli Česká republika v majetkovém pojištění resp. v pojištěnosti zaostává za evropským průměrem, v pojištění pro případ povodně je tomu jinak. Například oproti Německu či Rakousku je u nás krytí proti povodni dvojnásobné. V jiných zemích je totiž toto riziko poměrně drahé a 71 Viz Základní fakta o povodních v České republice v posledních letech (Pojistný obzor č. 9), 2002, str Viz JANATA, Problematika živelního pojištění v České republice (Pojistný obzor č. 3), 2007, str Viz Základní fakta o povodních v České republice v posledních letech (Pojistný obzor č. 9), 2002, str Viz MESRŠMÍD, 10 let od povodně na Moravě (Pojistný obzor č. 8), 2007, str

29 pro některé oblasti a objekty nedostupné, a je tedy sjednáváno u menšiny smluv. Pro Českou republiku je specifické, že tu převažuje jedno riziko a tím je právě povodeň Požáry Požáry byly vždy rizikem, proti kterému bylo třeba hledat pojistnou ochranu, a i dnes patří do nabídky pojištění majetku všech pojišťoven. Velké množství požárů vznikalo dříve především v topné sezoně, jelikož se topilo pevnými palivy a nebyl kladen takový důraz na bezpečnostní opatření. Dnes mezi hlavní příčiny požárů patří úmyslné zapálení (žhářství), nedbalost, blesky, samovznícení, výbuchy, hra dětí s ohněm, dopravní nehody či technické nebo stavební závady (komínů, topidel). Zákonná definice požárů je následující: Pro účely vyhlášky MV o požární prevenci se rozumí požárem každé nežádoucí hoření, při kterém došlo k usmrcení či zranění osob nebo zvířat, ke škodám na materiálních hodnotách nebo životním prostředí a nežádoucí hoření, při kterém byly osoby, zvířata, materiální hodnoty nebo životní prostředí bezprostředně ohroženy Požáry v České republice Požáry jsou druhou nejčastější příčinou škod v živelním pojištění v naší republice. V současné době se ve velké míře používají nehořlavé materiály a využívají se konstrukční prvky zabraňující šíření ohně budovy tak lze rozdělit na požární úseky, kterými se oheň jen velmi pomalu šíří dál, a uzávěry mezi jednotlivými úseky (požární zdi) jsou schopné odolávat ohni, aby se požár nestal do příjezdu hasičů nezvladatelným. Nyní jsou požárem nejohroženější průmyslové budovy využívané především k chemickému průmyslu a k dalšímu zpracování hořlavých chemikálií. 77 V chemickém průmyslu se pracuje s velkým množstvím hořlavých a výbušných látek. Vzhledem ke snaze maximálně využít prostory firem jsou stroje na zpracování těchto látek často lokalizovány velmi blízko u sebe, a tedy hrozí nebezpečí řetězového vznícení či výbuchu. Mimo již zmíněných požárních zdí se k minimalizaci škod způsobených požárem využívají také automatické požární hlásiče a detektory, vodní sprinklery, automatická hasicí zařízení s inertními medii (např. oxid uhličitý) apod. 78 Samozřejmě je neméně důležité také dodržování veškerých bezpečnostní nařízení a standardů včetně pravidelné kontroly a údržby všech zařízení a látek používaných ve výrobě. Ze série článků Velké pojistné události a Velké škody v časopise Pojistný obzor v letech 2004 až 2006 vyplývá, že již od roku 1541 bylo na našem území velké množství požárů a jednalo se o nejčastější příčinu zde zmíněných škod (nadpoloviční většina). Ostatní příčiny (především konstrukční vady, dopravní události a exploze) již zaujímají pouze desetinu událostí. Černým dnem pro Prahu byl 2. červen 1541, kdy v domě Bašta vznikl požár, který se nepodařilo uhasit. Služebnictvo v domě chtělo zabránit případným zlodějům ve využití zmatků a preventivně zamklo vrata a hasilo požár vlastními silami. Bohužel velké zásoby sena a slámy 75 Viz NEUWIRTH, Pojištění živelních událostí: Jaký bude další vývoj (Pojistný obzor č. 4), 2010, str Viz 1 písm. m) vyhlášky MV č. 246/2001 Sb., o požární prevenci v platném znění. 77 Viz JANATA, Problematika živelního pojištění v České republice (Pojistný obzor č. 3), 2007, str Viz JANATA, Rizika v chemickém průmyslu a jejich omezování (Pojistný obzor č. 8), 2001, str

30 počet požárů brzy vzplály a oheň se stal nezvladatelným. Jenom na Malé Straně shořelo 155 stavení (zůstalo zachováno pouze 78) a oheň se dostal až na Pražský hrad a městečko Hradčany. 79 Dalším z požárů, o kterém jistě každý slyšel, je například požár Národního divadla, které úplně vyhořelo 12. srpna 1881 pravděpodobně kvůli neopatrnosti dvou klempířů. Již v roce 1872 darovala První česká vzájemná pojišťovna (předchůdce České pojišťovny) několik tisíc zlatých na stavbu divadla a o několik let později jej přijala pod svou pojistnou ochranu. Po požáru bylo vyplaceno pojistné plnění téměř 300 tisíc zlatých, což byla největší vyplacená náhrada poskytnutá touto pojišťovnou v 19. století. Ačkoli se tím pojišťovna dostala do velké ztráty, udělala si tímto vyplaceným plněním výbornou reklamu. 80 Největším požárem na našem území v průběhu 20. století byl požár ve Veletržním paláci v srpnu Škody tehdy dosáhly výše 224 mil. Kčs, což by v dnešních cenách byly téměř 2 mld. korun. Ke vzniku požáru došlo pravděpodobně od nevypnutého vařiče, anebo samovznícením fermeže. Požár se velmi rychle rozšířil především v důsledku nevhodných stavebních úprav, které byly provedeny v této budově po roce 1948, kdy se ve velkých prostorách zhotovily převážně dřevotřískové a překližkové příčky, které jsou vysoce hořlavé. 81 Ještě další tři požáry přesáhly škodu 1 mld. korun. Jedním z nich byl roku 1974 požár způsobený výbuchem par v Chemopetrolu, který si mimo obrovských škod na majetku vyžádal 17 lidských obětí. O šest let později byly v Praze úmyslně zapáleny provozy ČKD Naftové motory. Poslední požár takto velkých rozměrů vznikl v roce 2002 ve Spolchemii ve výrobně syntetických pryskyřic. Co se týče průměrných statistik, tak pro představu se v České republice za rok likviduje 23,5 tisíce požárů, při kterých zemře 119 lidí a dojde ke škodám kolem 2,2 mld. korun více než 60 % z této částky připadá na 270 požárů ročně se škodou vyšší než jeden milion korun. 82 Počet požárů v jednotlivých letech od roku 1998 je vidět na následujícím grafu. 83 Podrobná tabulka počtu a výše škod způsobených požáry je uvedena v příloze této práce. Graf 3: Počet požárů v ČR od roku Vlastní konstrukce na základě údajů z MV generální ředitelství HZS ČR, Statistická ročenka 2012 Česká republika, 2013, str Viz HRUBEŠ, Velké škody : Největší požár v historii Prahy (Pojistný obzor č. 7), 2006, str Viz HRUBEŠ, Velké pojistné události : Požár národního divadla (Pojistný obzor č. 1), 2004, str Viz HRUBEŠ, Velké pojistné události : Požár Veletržního paláce (Pojistný obzor č. 5), 2004, str Viz JANATA, Velké požáry v České republice (Pojistný obzor č. 4), 2008, str Viz MV generální ředitelství HZS ČR, Statistická ročenka 2012 Česká republika, 2013, str

31 Kč Pokud zaneseme do grafu také vypočtenou výši průměrné škody připadající na jeden požár je v průběhu let znatelných několik výkyvů způsobených katastrofickými škodami Graf 4: Průměrné škody na jeden požár v ČR od roku Vlastní konstrukce na základě údajů z MV generální ředitelství HZS ČR, Statistická ročenka 2012 Česká republika, 2013, str. 25. V roce 2002 došlo k významnému požáru, který způsobil největší škodu v historii České republiky přesahující 2 mld. korun. Nedodržením technologické kázně při výrobě (příliš rychlá reakce rozpouštědel) došlo k výbuchu a následnému požáru ve výrobně pryskyřic Spolku pro chemickou a hutní výrobu (Spolchemie) v Ústí nad Labem, jak již bylo zmíněno dříve. Tento požár hrozil ještě větší škodou, než jakou nakonec způsobil, jelikož se jednalo o podnik chemického průmyslu a navíc byl umístěn uprostřed města. Naštěstí se požár podařilo udržet pod kontrolou a nerozšířil se na okolní budovy. Nedošlo ani k úniku nebezpečných plynů, ze kterého měli tamní obyvatelé strach. 84 Druhým největším požárem po roce 2000 byl potom požár levého křídla Průmyslového paláce na pražském Výstavišti v roce 2008, kde byla hasiči škoda odhadnuta na více než miliardu korun. Příčinou požáru v tomto případě byla nedbalost neznámého viníka, který nechal hořet elektrický vařič poblíž hořlavých materiálů. 85 Požáry zpravidla postihují jednotlivé budovy nebo komplexy budov, a pokud se nevyskytnou v hustě zalidněné nebo průmyslové oblasti, nejsou pro pojišťovny příliš velkou zátěží. Ve světovém měřítku jsou ale velkým problémem lesní požáry například v USA, Kanadě či Austrálii, kde jsou požáry cyklickým přírodním jevem (někdy jsou ovšem také založeny žháři). Tyto požáry se často vyskytují v obdobích extrémního sucha. V našich podmínkách k takovýmto požárům nedochází, jelikož se v naší republice nevyskytují dostatečně velké a proschlé pláně, jako je tomu v některých větších státech. Dalšími významnými požáry jsou ty způsobené lidskou činností například v dopravě nebo v průmyslových komplexech, ve kterých se zachází s velkým množstvím hořlavých či výbušných látek. Nezanedbatelným problémem vzhledem k velikosti škod jsou také požáry v tunelech. 84 Viz idnes.cz Hygienici: Požár chemičky vzduch neotrávil [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < _domaci_klu>. 85 Viz Požáry.cz 2008: v Praze došlo k jednomu z největších požárů poslední doby, hořel Průmyslový palác [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 31

32 2.2.2 Požáry v tunelech V roce 1996 došlo k velké škodě v Eurotunelu a o tři roky později došlo k závažnému požáru v tunelu pod horou Mont Blanc mezi Francií a Itálií a zanedlouho také v rakouském tunelu v horách Tauern. Požár rakouské lanovky, který připravil o život velké množství lyžařů v tunelu v Kaprunu, jistě také nelze v této souvislosti opomenout. Pod Mont Blancem došlo ke vznícení převážených hořlavých látek (margarínu a mouky) odhozenou hořící cigaretou a požár zde řádil několik dní. Pod kontrolu se oheň podařilo dostat až po 50hodinovém úsilí hasičů. Vyžádal si 39 lidských životů a četné škody na majetku. V tauerském tunelu byl požár způsoben dopravní nehodou, při které opět došlo ke vznícení převážených hořlavých látek, a živel se nepodařilo uhasit následujících 16 hodin, což stálo mimo velkých majetkových škod a škody z přerušení provozu tunelu (která byla vyčíslena na přibližně 20 mil. eur) také 12 lidských životů. Důvodem velkých škod, byla mimo jiného zastaralá konstrukce tunelů především v oblasti odvětrávacích šachet a únikových cest. Nároky na škodu se uplatňovaly z povinného ručení řidičů, kteří způsobili nehodu, jednalo se také o spoluzavinění provozovatelů tunelů a v případu Mont Blanc výrobce automobilu, který měl nedostatečně zabezpečený větrací systém, v němž došlo ke vznícení od hořící cigarety. Pojistná částka, na kterou bylo sjednáno pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla řidiče kamionu, který způsobil nehodu v rakouských Alpách 86, se ukázala nedostatečná pro pokrytí veškerých nároků. Důsledkem těchto nehod je mimo jiného zpřísnění předpisů pro provozování a konstrukci tunelů. 87 Na rekonstrukci Tauernského tunelu zahrnující moderní větrací systém, zesvětlující obložení, samostatné přívody čerstvého vzduchu, záložní komunikační kabely a podobně bylo vynaloženo přes 320 miliónů korun. 88 Náklady na rekonstrukci tunelu pod horou Mont Blanc, která trvala tři roky, se vyšplhaly asi na 11,2 mld. korun a zahrnovaly mimo jiné výstavbu únikových východů a vylepšení poplašného, evakuačního a signalizačního systému. Co do počtu lidských obětí následkem požáru je mnohem závažnější tragédie, ke které došlo 11. listopadu 2000 v jednom z tunelů rakouské pozemní lanovky v Kaprunu. Do lanovky směřující nahoru na ledovec v 9 hodin ráno nastoupilo 161 pasažérů (lyžařů), a ačkoli si po pár minutách cestující všimli kouře, kvůli absenci požárních hlásičů a jakéhokoli spojení s obsluhou vjel vlak do tunelu, kde se již začaly objevovat i plameny. Teprve po několika minutách, kdy bezpečnostní systém zastavil vlak 600 metrů po vjezdu do tunelu, byly otevřeny dveře a cestující mohli opustit vlak. Pouze 12 lyžařů se vydalo (pod vedením náhodou přítomného dobrovolného hasiče) tunelem dolů, kudy se dostali do bezpečí. Ačkoli na místo dorazilo velké množství hasičů včetně vrtulníků a pohotovosti, nebylo možné oheň, který v té době zasáhl již celý vlak, uhasit a půl hodiny po vzniku požáru musely být veškeré záchranné práce kvůli hrozícímu nebezpečí pro zasahující hasiče zastaveny. Všichni ostatní cestující z vlaku včetně několika osob v nákupním středisku v horní stanici, kam pronikl nebezpečný dým, a strojvedoucího a jednoho cestujícího ve vlaku směřujícím dolů do údolí se udusilo. Závada na topení a nedostatek nouzových 86 Řidič nedobrzdil vozidlo a po nárazu do stojících vozidel došlo k výbuchu benzinu. 87 Viz SVOBODOVÁ, Zrádné tunely: I běžné nehody mohou znamenat katastrofu (Pojistný obzor č. 4), 2004, str Viz idnes.cz Tunel je po tragickém požáru opět v provozu [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < /zahranicni.aspx?c=990825_ _zahranicni_itu>. 32

33 prostředků ve vlaku zapříčinily smrt celkem 155 osob. 89 Soudní proces, který po tomto neštěstí následoval, trval 10 let. Odškodnění vyplacené pozůstalým po obětech dosáhlo výše přibližně 348 miliónů korun a podílela se na něm vedle rakouské vlády a jiných organizací především pojišťovna Generali Nehody při zpracování ropy Jak již bylo zmíněno, většina požárů vzniká v souvislosti s lidskou činností a jen opravdu mizivé procento je způsobeno přírodními živly. Vzhledem k vysoké hořlavosti surovin v průmyslu zpracování ropy je zde vysoké riziko požáru a škody se také znásobují velkými ztrátami v důsledku přerušení provozu. Právě v tomto průmyslu dochází k největším škodám způsobených požárem a výbuchem. Největší škoda byla způsobena nehodou na ropné plošině Piper Alpha v červenci 1988, kde došlo k materiální škodě (včetně škody z přerušení provozu) vyčíslené na 3631 mil. amerických dolarů. Požárům na rafinériích a v petrochemickém průmyslu nejčastěji předchází exploze uvolněného oblaku par. Výbuchy, které způsobily největší škody v této oblasti, byly velmi silné (ekvivalent až 235t TNT, rozbití skel domů v okruhu až 10 km). Nejčastější příčinou těchto havárií je vada či mechanické poškození technických zařízení. V jednom případě došlo k rozsáhlé škodě (689 mil. dolarů) chybou v manuálu, která zapříčinila výbuch. Největší škody bývají způsobeny přímo při těžbě a následné přepravě ropy, jelikož kromě požárů, může dojít také k uvolnění převáženého materiálu a je zde možnost poškození životního prostředí, kde se škody kvůli dlouhodobým dopadům nedají přesně vyčíslit, ale rozhodně nejsou zanedbatelné (spíše naopak) Vítr a hurikány Toto nebezpečí sice není v ČR tolik obvyklé, nicméně, jak se potvrdilo v posledních letech, nejedná se o zanedbatelnou příčinu. Na počátku roku 2007 postihl orkán Kyrill řadu západoevropských a středoevropských zemí včetně České republiky. V podstatě přesně o rok později se přes naše území přehnala vichřice Emma. Ačkoli pro povodně existuje v České republice poměrně dobrá síť rizikových zón, která je pojišťovnami hojně využívána, mapy intenzity větrů existující již několik let jsou příliš obecné a tudíž se moc nepoužívají. 92 V příloze je uvedena Beaufortova stupnice síly větru, která slouží k určení a pojmenování jednotlivých stupňů a k odhadu rychlosti větru bez použití měřících přístrojů. Silné vichřice na našem území vznikají kvůli velkému rozdílu mezi tlakem na severu a na jihu Evropy. Čím je rozdíl tlaku vzduchu větší, tím rychleji proudí. Častější výskyt těchto jevů je spojen s častějšími extrémy v počasí. Pro ochranu před větrnými smrštěmi je důležité včasné varování, které se ukazuje být čím dál přesnější díky použití moderních pozorovacích systémů a 89 Viz Požáry.cz 2000: Při požáru rakouské lanovky zemřelo 155 lidí, byla mezi nimi i Češka [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 90 Viz deník.cz Tragédie na Kaprunu míří k soudu pro lidská práva [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 91 Viz JANATA, Největší majetkové škody v průmyslu zpracování ropy (Pojistný obzor č. 4), 2011, str Viz NEUWIRTH, Pojištění živelních událostí: Jaký bude další vývoj (Pojistný obzor č. 4), 2010, str

34 modelů předpovědi počasí. Dalším důležitým ochranným prostředkem je správná reakce (připravenost a opatření) na výstrahy a varování ze strany obyvatel a využití odolnějších konstrukcí staveb, rozvodů apod. 93 Do kategorie extrémních událostí způsobených větrem jsou zařazeny i hurikány, které jsou jen jiným označením pro tropické cyklóny, jež jsou spolu se zemětřesením nejničivějšími přírodními katastrofami. Cyklóny vznikají nad oceány v tropických oblastech, kde se bouřka s velkým množstvím vlhkého vzduchu vypařovaného z teplého oceánu 94 roztočí zemskou rotací. Rozlišují se 4 stádia tropické cyklóny: tropická porucha, tropická deprese, tropická bouře a vrcholné stadium, po němž se cyklon na pevnině začíná rozpadat, protože nemá dostatek vlhkého vzduchu z oceánu. Mezi regionální označení tropických cyklón patří baguio (oblast Filipín), cordonazo (západní pobřeží Střední Ameriky a Mexika), cyklón (severní oblast Indického oceánu), hurikán (severní část Atlantského oceánu), tajfun (Jihočínské moře, Filipíny, Tichý oceán) či willy-willy (jižní polokoule v oblasti Austrálie). 95 Hurikány způsobují velmi rozsáhlé škody, kterým lze jen velmi obtížně zabránit. Kromě poškození vzniklých přímo působením hurikánu může dojít také k dalším, které jsou v příčinné souvislosti. Například ve Spojených státech amerických mají na Floridě velké problémy s krajtami, které se (mimo jiného) dostaly po hurikánu Andrew v roce 1992, kdy došlo k rozbití velkého skleníku se stovkami těchto hadů, do volné přírody. V těchto oblastech nemají přirozeného nepřítele a jejich počet velmi rychle stoupá. 96 Sezóna hurikánů začíná v červnu a končí v listopadu, a pokud hurikán dosáhne pobřeží, způsobuje škody větrem, deštěm i vlnobitím. V posledních letech se zvyšuje frekvence výskytu tohoto přírodního jevu, prodlužuje se jejich sezóna a hurikány jsou silnější a ničivější. 97 Hurikány se podle Saffir-Simpsonovi stupnice dělí do pěti stupňů podle rychlosti větru a škod, které napáchají, kde stupeň 1 značí minimální škody a stupeň 5 škody katastrofální. Podrobnosti jsou uvedeny na obrázku v příloze, který se týká hurikánu Katrina Hurikán Katrina v roce 2005 V roce 1999 zasáhly Francii bouře Lothar a Martin a způsobily škody, které významně zasáhly francouzské pojišťovnictví. Mezi nejznámější hurikán v novodobé historii patří bezesporu hurikán Katrina, který zasáhl v létě 2005 Spojené státy americké. Nejhorší osud zde postihl město New Orleans, které bylo prakticky srovnáno se zemí. New Orleans leží pod úrovní mořské hladiny a je chráněno systémem protipovodňových hrází, bariér a kanálů. V důsledku regulací toku Mississippi ale došlo ke zničení přírodních překážek a 93 Viz ČECHOVÁ, Emma a Kyrill? Nic výjimečného (Pojistný obzor č. 3), 2008, str Teplota vody musí být alespoň 27 C. 95 Viz Meteocentrum.cz Encyklopedie meteorologie a klimatologie Tropické cyklóny [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 96 Viz Novinky.cz VIDEO: Mohutná krajta velká jako mikrobus narušila rodinný piknik [online] [cit ]. Dostupný na WWW: < 97 Viz ŠKORPIL, Hurikány metla i činitel rozvoje světového pojišťovnictví a zajištění (Pojistný obzor č. 2), 2006, str

35 nyní je toto město jazzu velmi náchylné k povodním. Hurikán Katrina protrhl hráz jezera Pontchartrain a voda zaplavila 80 procent této aglomerace. 98 Jak se hurikán Katrina vyvíjel a kudy přesně se přesouval, je znázorněno na obrázku v příloze. Hurikán Katrina je popisován jako nejničivější přírodní katastrofa v dějinách Spojených států. Došlo zde k 1833 ztrátám na životech (z toho přes 1500 v Louisianě). Škody na majetku byly vyčísleny na 81 mld. dolarů pojištěných byla přibližně polovina. V průběhu bouře bylo evakuováno přes 1,2 milionů lidí Orkán Kyrill v roce 2007 V lednu roku 2007 se zformoval typ bouře, který sice nedosahoval extrémní rychlosti, ale postihl rozsáhlá území Evropy. Orkán byl pojmenován Kyrill a poté co způsobil rozsáhlé škody na západ od našich hranic, zasáhl sice v menší míře ale přeci i střední a východní Evropu včetně České republiky. Škody dosahující ve středoevropských a východoevropských zemích dosáhly částky přes 130 milionů eur, zatímco v západní Evropě se vyšplhaly ke 4 miliardám euro. Do té doby nebylo s tímto rizikem v praxi zajišťoven pro Českou republiku vůbec kalkulováno. 100 V Česku byla zasažena především západní polovina republiky a bylo zaznamenáno přes pojistných událostí Vichřice Emma v roce 2008 Téměř přesně rok potom, co území České republiky zasáhl orkán Kyrill, přehnala se zemí další větrná smršť vichřice Emma, tentokrát spíše přes východní Čechy. Na našem území bylo nahlášeno téměř pojistných událostí. V tomto případě bylo v celkovém součtu vyplaceno více prostředků na pokrytí škod na majetku občanů, zatímco v předchozím roce byly na vyšší částku vyčísleny škody na majetku podnikatelů Hurikán Sandy v roce 2012 Hurikán Sandy způsobil v říjnu 2012 ve Spojených státech amerických škody v celkové výši kolem 50 mld. amerických dolarů, z nichž byla zhruba poloviny pojištěna. Rychlost větru byla kolem 150 km/h, což není nijak závratný údaj, extrémní ale byla velikost. Jednalo se o velice rozsáhlou bouři s průměrem 1800 km (což je pro představu jeden a půl plochy státu Texas). Mimo ztrát způsobených samotným větrem, došlo také k zaplavení newyorského metra a některých částí poblíž Manhattanu, které způsobila přílivová vlna. Mimo škod na americkém pobřeží se Sandy projevil také v karibské oblasti, kde zemřelo přibližně 210 lidí a dokonce i v Kanadě byly škody způsobené tímto hurikánem vyčísleny na 100 mil. dolarů Viz idnes.cz SPECIÁL: Hurikán Katrina ve faktech a obrazech [online] [cit ]. Dostupný na WWW: < _ prilohy_bih>. 99 Viz The Weather Channel Katrina s statistics tell story of its wrath [online] [cit ]. Dostupný na WWW: < 100 Viz ČÍŽEK, Konference Benfield: Důsledky výskytu orkánu Kyrill (Pojistný obzor č. 8), 2007, str Viz KELLER, Orkán v boji s vichřicí (Pojistný obzor č. 3), 2008, str Viz Munich RE Press release, Natural catastrophe statistics for 2012 dominated by weather extremes in the USA [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < press_releases/ 2013/2013_01_03_press_release.aspx>. 35

36 2.4 Zemětřesení, sesuvy půdy a tsunami Zemětřesení je chvění způsobené náhlým posuvem horniny v zemské kůře. Energie uvolněná při tomto zlomu se šíří ve vlnách, které mohou způsobit škody ohromných rozměrů rozevírání trhlin zemského povrchu, deformování reliéfu krajiny, zřícení budov, odklonění toku řek, sesuvy půdy, přílivové vlny a v nejhorším případě vymrštění předmětů do vzduchu nebo přeměna země ve zvlněnou masu připomínající tekoucí písek. K zemětřesení dochází, pokud na horniny zemské kůry působí enormní síly, jejichž vlivem dochází k jejímu lámání. Tyto síly jsou většinou důsledkem pohybu litosférických desek, sopečné činnosti, sesuvů půdy nebo podzemních poklesů. Pokud je síla způsobená některým z těchto jevů větší než pevnost horniny, dojde k jejímu prasknutí podél nové nebo již existující linie zeslabení. Ohromná energie uvolněná při tomto zlomu se pak šíří od epicentra v kruhových vlnách. Právě tyto vlny způsobují zemětřesení a mohou být příčinou rozsáhlých škod. 103 Zemětřesení a sesuvy půdy sice nezpůsobují největší škody na majetku, ve srovnání s jinými příčinami škod, ale mají velké množství lidských obětí. Na konci roku 1999 došlo k jednomu z nejhorších sesuvů půdy způsobených prudkými dešti ve Venezuele, který si vyžádal kolem lidských obětí, přičemž celkové škody se odhadují na více než 10 mld. USD. Pojištěné škody činily ale pouze 400 mil. USD, což je způsobeno málo rozvinutým pojistným trhem v této oblasti. Dokonce ani počet obětí zde není konkrétně znám, jelikož přívaly bahna smetly chudinské čtvrti, kde nebyl přesně znám počet obyvatel a nepodařilo se vyprostit všechny oběti. Druhým nejhorším neštěstím ve stejném roce s ohledem na počet obětí bylo zemětřesení v Turecku, kde zahynulo lidí a škody dosáhly výše 20 mld. USD (z toho pojištěné škody činily 2 mld. USD). 104 Rok 2010 byl bohužel také úrodný na škody způsobené zemětřesením. Nejvíce úmrtí (přes ) má na svědomí zemětřesení na Haiti z ledna 2010, což je více než dvě třetiny všech případů z tohoto roku. Srovnatelné co do počtu mrtvých lidí bylo pouze zemětřesení v Číně v roce Také únorové zemětřesení v roce 2010, které zasáhlo Chile, bylo jedno z největších v historii. Ekonomické škody v tomto případě dosáhly 30 mld. amerických dolarů z toho jich zhruba 8 mld. bylo pojištěných. Dubnové zemětřesení v Číně, které bylo co do síly srovnatelné s tím na Haiti, způsobilo ekonomické škody 15 mld. dolarů, ale pouze 1 milion dolarů patří mezi škody pojištěné. Ztráty na životech dosáhly pouze setinové hodnoty ve srovnání se ztrátami na Haiti. 105 Nejsilnější zemětřesení od roku 1900 postihlo Chile v roce 1960 a dosáhlo 9,5 stupně Richterovy stupnice. Další dvě nejsilnější zemětřesení byla v letech 1964 a 1957 na Aljašce se sílou 9,2 a 9,1 stupně Richterovy škály. Další dvě místa s devítistupňovým zemětřesením zaujímá Rusko (1952) a Indonésie (2004) Viz USAR.CZ Příčiny katastrof [online] 2006 [cit ]. Dostupné na WWW: < webmagazine/ articles.asp?ida=92&idk=283>. 104 Viz KOVÁRNOVÁ, Katastrofy roku 1999 (Pojistný obzor č. 11), 2000, str Viz JANATA, Zemětřesení na Haiti či erupce islandské sopky. I takový byl rok 2010 (Pojistný obzor č. 2), 2011, str Viz Novinky.cz Zemětřesení v Japonsku bylo šesté nejsilnější v novodobé historii [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 36

37 ČR neleží v tektonické zóně, takže toto nebezpečí je z hlediska pojišťovnictví téměř zanedbatelné. Nejsilnější zemětřesení naměřené na území České republiky dosáhlo 4,7 Richterovy stupnice, což zdaleka nedosahuje ničivých zemětřesení v jiných částech světa. 107 Sesuvy půdy už ale tak neobvyklé být nemusí, jelikož k nim může docházet i z jiných příčin, například v důsledku povodní, kdy dojde k podmáčení apod. Ačkoli na našem území tato rizika nejsou častá, v jiných zemích se jedná o poměrně běžné události, které způsobují nemalé škody jak na majetku, tak na zdraví a životech. Tsunami je přírodní jev projevující se obrovskými vlnami způsobenými seizmickou činností v podmořských částech zemské kůry. Výraz je převzat z japonštiny, neboť výskyt tsunami je charakteristický právě pro oblast Tichého oceánu kolem Japonska. Někdy nemusí být vlny způsobeny přímo zemětřesením, ale jeho následky, jako jsou sesuvy půdy do moře. 108 V březnu 2011 zažilo Japonsko nejsilnější zemětřesení ve své historii, které bylo ještě umocněno následnou vlnou tsunami, která místy dosahovala výšky až dvaceti metrů. Ve světovém měřítku se jednalo o šesté nejsilnější zemětřesení v historii. O život přišlo přes obyvatel a mnoho dalších přišlo o domov. Škody byly odhadovány na 30 mld. amerických dolarů, ovšem skutečné škody není v současné době možné vyčíslit, jelikož újma způsobená na životním prostředí se může projevit až za několik let. Ekologická škoda je způsobená především následnou havárií v elektrárně Fukušima. 109 Japonsku bude od pojišťoven vyplaceno pouze malé procento celkových škod, jelikož propojištěnost proti zemětřesení zde není moc vysoká a navíc jsou škody způsobené jaderným nebezpečím většinou ve výlukách. 2.5 Lidské faktory Mezi události způsobené lidskými faktory, které lze považovat za extrémní události, lze zařadit terorismus, válečné události, bouře a nepokoje, atomová rizika a další události spojené s lidskou činností. Podobně jako u přírodních katastrof existují subjekty, které hledají pojistnou ochranu před těmito poměrně řídkými jevy, které ale mohou mít následky s velkým dopadem na poškozené. Škody zařazené do této kategorie se velmi obtížně modelují, jelikož jsou v podstatě nepředvídatelné. Přírodní katastrofy lze modelovat na základě určitých meteorologických a geografických předpokladů a zákonitostí, což u událostí jakými jsou terorismus, jaderné havárie, a podobně nelze provést Terorismus Se stálým technologickým pokrokem a probíhající globalizací může škoda způsobená jedním člověkem nebo skupinou osob narůst do dříve nepředstavitelných rozměrů. Pro terorismus existuje několik definic, z nichž na stránkách Ministerstva vnitra České republiky jsou uvedeny následující 110 : Terorismus je plánované, promyšlené a politicky motivované násilí, zaměřené proti nezúčastněným osobám, sloužící k dosažení vytčených cílů. 107 Viz JANATA, Problematika živelního pojištění v České republice (Pojistný obzor č. 3), 2007, str Viz Aktuality ze zahraničí : Atlantické tsunami (Pojistný obzor č. 8), 2001, str Viz Zemětřesení v Japonsku ovlivní globální zajistný trh, říká člen představenstva VIG Re (Pojistný obzor č. 2), 2011, str Viz Ministerstvo vnitra České republiky. Definice pojmu terorismus [online] [cit ]. Dostupný na WWW: < 37

38 Terorismus je propočítané použití násilí nebo hrozby násilím, obvykle zaměřené proti nezúčastněným osobám, s cílem vyvolat strach, jehož prostřednictvím jsou dosahovány politické, náboženské nebo ideologické cíle. Terorismus zahrnuje i kriminální zločiny, jež jsou ve své podstatě symbolické a jsou cestou k dosažení jiných cílů, než na které je kriminální čin zaměřen. Teroristický skutek je v dokumentu EU (Společný postoj Rady EU pro užití zvláštních opatření pro boj s terorismem) zveřejněném po útocích z 11. září chápán jako souhrn vyjmenovaných činů, které mohou vážně ohrozit chod konkrétního státu nebo mezinárodní organizace. Mimo jiného se jedná o činy spáchané s úmyslem zastrašit obyvatelstvo; přimět vládu ke konání či nekonání konkrétních kroků; destabilizovat či zničit základní politické, ústavní, hospodářské nebo sociální struktury země (útokem na lidské životy, psychickou integritu osob, únosy apod.) vedením či účasti v teroristické skupině. Jedním z nejvíce mediálně probíraných teroristických útoků jsou útoky z 11. září 2001 na Světové obchodní centrum v New Yorku (dále jen WTC). Tyto události měly významný vliv na pojišťovnictví po celém světě v důsledku mezinárodního charakteru zajištění. Většina pojistitelů terorismus krátce po útocích vyloučila ze všech majetkových smluv, a v důsledku toho se státní úřady a nadnárodní instituce podílely na tvorbě nové legislativy a zakládání teroristických poolů. 111 Tyto útoky také ukázaly, jak je potřebné mít dobře definovanou pojistnou událost ve smlouvách. Nájemce obou budov WTC realitní magnát Larry Silverstein se soudil s pojišťovnami o to, zda došlo k jedné nebo ke dvěma pojistným událostem. Ve 22 případech uspěl se svým tvrzení, že se jedná o dvě pojistné události a má tak nárok na téměř dvojnásobné plnění, než kdyby se jednalo pouze o jednu pojistnou událost. 112 Pojistné plnění bylo podle britského makléřského kabinetu rozděleno mezi jednotlivá pojistná odvětví následovně: Graf 5: Rozdělení škod z 11. září 2001 podle jednotlivých pojistných odvětví 3% 10% pojištění odpovědnosti 9% 35% majetkové pojištění pojištění přerušení provozu 10% životní a úrazové pojištění pojištění škod zaměstnanců 12% letecké pojištění 21% ostatní Vlastní konstrukce na základě údajů z TACL, Útoky na USA představovaly novou dimenzi rizika (Pojistný obzor č. 10), Viz ČÍŽEK, Jak dál v krytí rizik terorismu? (Pojistný obzor č. 12), 2002, str Viz ŠKORPIL, Nový obrat při likvidaci škod WTC (Pojistný obzor č. 11), 2003, str

39 Tyto útoky (11. září 2001) byly nejdražší pojistnou událostí v historii. Ačkoli důsledkem bylo zpřísnění zajistných sazeb od zajistitelů a tím i nutnost změny pojistných smluv, došlo také ke zvýšení zájmu o pojištění. Veřejnost si začala uvědomovat nezbytnost kvalitního pojištění, čímž došlo k nárůstu předepsaného pojistného především v majetkovém pojištění. Ačkoli český trh nebyl přímo ovlivněn, změna zajistných sazeb zasáhla i tuzemské pojišťovny, které byly nuceny stejně jako ostatní začít reálněji oceňovat rizika. 113 Terorismus lze vzhledem k velkým škodám na majetku a na životech, které způsobují, považovat za katastrofické riziko. Prevence těchto rizik je vzhledem k jejich charakteru úzce spjatá s polickými opatřeními, neboť škody mohou mít dopad na celkovou národní bezpečnost. Na druhou stranu je právě tato charakteristika problematická, neboť je možné že důležité informace o plánovaních útocích podléhají utajení, a tím nelze dostatečně přesně identifikovat veškerá rizika, která je třeba krýt. Útoky z 11. září 2001 odhalily určité pochybnosti o tom, zda komerční pojišťovny a zajišťovny mohou pokrýt rizika terorismu v budoucnosti, jelikož škody jsou v těchto případech velmi vysoké a hrozí zde nedostatek kapitálu na jejich náhradu. V některých zemích došlo ke kompenzaci škod z vládních zdrojů, zatímco v jiných nebyla žádná pomoc od vlády poskytnuta. Standardně mají na podpoře krytí těchto rizik zájem vlády, kde je pravděpodobnost teroristických útoků vyšší než jinde, protože zde hrozí větší dopady na celkovou ekonomickou situaci. Intervence vlády lze přitom dělit na přímé (zvyšující dostupnost pojištění teroristických rizik převzetím některých rizik přímo vládou jako pojistitelem, zajistitelem nebo věřitelem poslední instance) a nepřímé (revitalizující soukromé pojištění fiskálními, účetními a regulačními opatřeními; podpora alternativních způsobů krytí rizika jako jsou katastrofické dluhopisy). 114 Poslední instancí nepojištěných a nepojistitelných rizik bývá stát, a zatímco účast státu na likvidaci některých přírodních škod může být demotivující pro případné sjednávání pojištění, u teroristických škod lze tyto zásahy odůvodnit, jelikož stát tím potvrzuje svou pozici garanta bezpečnosti. V České republice se riziko terorismu zpravidla nachází v obecných výlukách z pojištění Atomová rizika Jako atomová rizika lze chápat rizika související s provozem jaderných elektráren či laboratoří, která používají radioaktivní materiály, ale také rizika spojená s převážením takového materiálu či jeho ukládáním (aby bylo šetrné k životnímu prostředí i zdraví obyvatel). Podle Vídeňské úmluvy o občanskoprávní odpovědnosti za jaderné škody, kterou je ČR vázána, lze atomová rizika ztotožnit s pojmem jaderné škody, která znamená především: ztrátu života, jakékoli osobní zranění nebo jakoukoliv ztrátu či poškození majetku, které vzniklo nebo je důsledkem radioaktivních vlastností nebo kombinace radioaktivních vlastností s toxickými, výbušnými nebo jinými nebezpečnými vlastnostmi jaderného paliva nebo radioaktivních produktů či odpadu v jaderném materiálu nebo z jaderného materiálu vycházejícího nebo pocházejícího z jaderného zařízení nebo zasílaného do něho. 113 Viz TACL, Útoky na USA představovaly novou dimenzi rizika (Pojistný obzor č. 10), 2003, str Viz MAJTÁNOVÁ, MARKO, Teroristické riziká a opatrenie štátu při ich krytí (1. část) (Pojistný obzor č. 8), 2007, str

40 poruchy havárie Pro omezení rizika nehody atomové elektrárny a úniku radioaktivních látek do biosféry je nutné zajistit, aby byl proces získávání energie štěpením regulován a řízen. Mimo kvalitního a bezpečného zařízení jsou v rámci jaderné bezpečnosti požadována také opatření na maximální omezení důsledků poruchy či havárie atomové elektrárny. Ačkoli je toto odvětví z hlediska bezpečnosti hodně regulováno, nehoda atomové elektrárny je možná. Mezinárodní agentura pro atomovou energii zavedla pro hodnocení událostí v jaderných zařízeních a radiologických provozech stupnici The International Nuclear Event Scale (INES) uvedenou v následující tabulce. 115 Tabulka 1: Stupnice INES STUPEŇ NÁZEV FORMA PŘÍKLAD Událost bez nejběžnější provozní poruchy, běžně 0 významu pro zvládnutelné bezpečnost 1 Odchylka od normálního provozu 2 Porucha 3 Vážná porucha 4 5 Havárie s účinky v jaderném zařízení Havárie s účinky na okolí 6 Závažná havárie 7 Velká havárie poruchy nepředstavující riziko, ale odhalující nedostatky bezpečnostních opatření technické poruchy, které neovlivní bezpečnost elektrárny přímo, ale mohou vést k přehodnocení bezpečnostních opatření ozáření obsluhy elektrárny nad normu, menší únik radioaktivity do okolí - zlomky limitu částečné poškození aktivní zóny, ozáření obsluhy elektrárny, ozáření okolních obyvatel na hranici limitu vážnější poškození aktivní zóny, únik 100 až 1000 Tbg biologicky významných radioizotopů, nutnost částečné evakuace okolí velký únik radioaktivních látek mimo objekt, nutnost využít havarijních plánů k ochraně okolí značný únik radioaktivních látek na velkém území, okamžité zdravotní následky, dlouhodobé ohrožení životního prostředí JE Jaslovské Bohunice, ČSSR JE Three Mile Island, USA Windscale Pile, Velká Br Chalk River, Kanada Goiania, Brazílie Kyštym, Rusko JE Černobyl, Ukrajina JE Fukušima, Japonsko Vlastní konstrukce podle Jaderná bezpečnost Riziko nehody elektrárny [online]. Dostupné na < a aktuálně.cz Největší jaderné havárie v dějinách [online]. Dostupné na < Ačkoli došlo od roku 1956 k více než dvaceti haváriím (tedy událostem označeným podle INES stupni 4 7), za nejznámější (a zároveň nejvážnější) jaderné katastrofy lze považovat především havárii v jaderné elektrárně v Černobylu v roce 1986, která byla způsobena přehřátím a následnou explozí reaktoru při provádění testu a je stále označena jako nevážnější jaderná katastrofa v dějinách. Druhou nejvážnější jadernou havárií byla poměrně nedávná událost 115 Převzato z Jaderná bezpečnost Riziko nehody atomové elektrárny [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 40

41 v japonské Fukušimě, kde v důsledku zemětřesení a vlny tsunami došlo k poškození chladicího systému, což mělo za následek zvýšení teploty a následný výbuch vodíku. 116 Ačkoli je kladen velký důraz na zabezpečení jaderných elektráren, z následujícího přehledu je patrné, že i Česká republika (resp. jaderná elektrárna Temelín) zaznamenala několik událostí, které spadají do prvních dvou kategorií stupnice INES. Graf 6: Poruchy v elektrárně Temelín podle INES INES 0 INES Vlastní konstrukce podle Jaderná bezpečnost Bezpečnost jaderné elektrárny Temelín [online]. Dostupné na < U jaderných (atomových) rizik je pojištění pro pojistitele velice rizikové z důvodu extrémní výše případných pojistných plnění. Z tohoto důvodu jsou v pojistných podmínkách mnoha pojišťoven atomová rizika ve výlukách. Přesto má provozovatel jaderného zařízení možnost se pojistit. V České republice je za tímto účelem od roku 1995 zřízen Český jaderný pojišťovací pool (ČJPP), který se v současné době podílí na pojištění a zajištění více než 386 jaderných elektráren po celém světě (včetně Dukovan a Temelína). ČJPP nabízí jak pojištění odpovědnosti (provozovatele jaderného zařízení, dodavatelů zařízení a služeb pro jaderný průmysl, provozovatelů zdrojů ionizujícího záření, ), tak pojištění majetku (včetně pojištění zásilek jaderného materiálu a technických rizik, mezi která patří pojištění elektronických zařízení, strojů, strojních zařízení a stavebně-montážních děl) Ekologické a jiné škody způsobené lidskou činností Mezi další události spojené s lidskou činností lze zařadit například ekologickou havárii v Maďarsku, ke které došlo v říjnu Po vytrvalých deštích došlo k protržení hráze odkalovací laguny hliníkárenské společnosti MAL. Únik toxického bahna způsobil kontaminaci obrovské plochy a některých vodních toků, čímž byla ohrožena také řeka Dunaj. Škody způsobené touto událostí nelze jednoduše vyjádřit, neboť uvedení životního prostředí do původního stavu bude jako v případě jiných ekologických havárií trvat několik let, pokud vůbec bude možné. Přímé náklady na odstranění škod jsou odhadovány na 1,7 mld. Kč a částka bude 116 Převzato z aktuálně.cz Největší jaderné havárie v dějinách [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 117 Převzato z Český jaderný pojišťovací pool [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 41

42 hrazena také maďarskou vládou, jelikož společnost MAL neměla (ani nemusela mít) sjednané pojištění odpovědnosti za škody na životním prostředí. 118 Ačkoli se nejedná o zcela typické riziko, patří dnes mezi globální problémy také pirátství, které je aktivní především v oblasti Adenského zálivu, kde působí somálští piráti. Dříve probíhali pirátské akce tak, že byla loď přepadena a vyrabována, nyní je pro piráty výhodnější loď zajmout a požadovat výkupné. Práci jim usnadňuje fakt, že podle mezinárodní úmluvy OSN nesmí být obchodní lodě ozbrojené, jinak by ztratily právo svobodného tranzitu. Obchodní lodě využívají pojištění pro ochranu před možnými ztrátami, ke kterým by mohlo během přepravy dojít. Když se ale navýšil počet událostí, které mají na svědomí novodobí piráti v inkriminované oblasti, pojišťovny prohlásily tento rizikový region za válečnou zónu, čímž rapidně narostlo pojistné (až 300krát). Tím se samozřejmě navýšily také náklady obchodníků, kteří nyní platí celou desetinu hodnoty nákladu na pojištění (dříve platili pouze 0,05% sazbu) Souhrnný přehled extrémních událostí S ohledem na celkové ekonomické škody jsou nejhoršími živelními událostmi zemětřesení (v možném spojení s tsunami), která jsou následována vichřicemi. Povodně, záplavy a ostatní příčiny, kterými mohou být například požáry, extrémní sucha apod., již zaujímají méně než 15% podíl na celkových škodách. Pokud se zaměříme na pojištěné škody, jsou na pomyslném prvním místě vichřice s více než 50% podílem. Necelou třetinu všech pojištěných škod potom zaujímají zemětřesení. 120 Pro lepší představivost následují tři grafy znázorňující postupně pojištěné škody, celkové škody a lidské oběti v členění podle přírodních katastrof jako jsou zemětřesení, vichřice, povodně a ostatní. Data pro znázornění jsou převzata ze serveru mnichovské zajišťovny Munich RE, resp. z její databáze přírodních katastrof NatCatSERVICE. Data pocházejí pouze z největších škod způsobených přírodními katastrofami v uvedeném členění od roku 1980 do roku Zajišťovna uvedla vždy deset nejvýznamnějších katastrof podle celkových škod, pojištěných škod a podle počtu lidských obětí. Celkem tedy do tohoto souboru vstupuje 23 přírodních událostí (jelikož některé se vyskytují ve více než jednom členění). Podrobně seřazené události podle uvedených kritérií jsou uvedeny v příloze. Hlavním důvodem, proč se zemětřesení a vichřice v těchto žebříčkách střídají je především fakt, že zemětřesení často postihují oblasti s nízkou pojištěností například Čínu, kde je vyplacené pojistné plnění vzhledem k celkovým škodám téměř zanedbatelné. Z uvedeného tedy vyplývá, že nejničivější škody, které byly pojišťovnami hrazeny, způsobily větrné smrště. Zemětřesení jsou podle pojistného plnění až na druhém místě, ačkoli způsobila v součtu větší celkové škody a mají na svědomí také více obětí na životech, než vichřice. 118 Viz PLÁŠEK, Tragédie v Maďarsku: Ekologická katastrofa optikou pojištění (Pojistný obzor č. 4), 2010, str Viz LLOYD S COMMUNICATIONS, Africké pirátství je globální hrozbou (Pojistný obzor č. 2), 2012, str Převzato z Munich RE NATCATSERVICE [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 42

43 Graf 7: Podíl škod a obětí podle jednotlivých katastrofických příčin Pojištěné škody povodně vichřice zemětřesení ostatní 7% 7% Celkové škody povodně vichřice zemětřesení ostatní 4% 8% Lidské oběti povodně vichřice zemětřesení ostatní 11% 1% 31% 55% 57% 31% 63% 25% Vlastní konstrukce podle dat z Munich RE NatCatSERVICE [online]. Dostupné na < Ačkoli v těchto shrnutích nejsou zahrnuty extrémní události způsobené lidskou činností, stojí na tomto místě za zmínku alespoň teroristický útok z 11. září 2001 ve Spojených státech amerických, který se svým rozsahem jistě řadí mezi nejzávažnější katastrofy, jelikož v tomto případě bylo téměř 3000 obětí na životech a ekonomické i pojištěné škody zdaleka nejsou zanedbatelné. 2.7 Postoj pojišťoven k extrémním událostem Mnoho rizik (nejen způsobených lidskou činností) je kvůli své nepředvídatelnosti a závažnosti zahrnuto ve výlukách z pojištění jedná se především o válečné konflikty, terorismus, atomová rizika apod. Jelikož se ale jedná o veřejně sledované události, často se na krytí těchto rizik v jednotlivých státech podílí vláda, ať už přímo vyplácením náhrad za škody nebo podporou pojištění v těchto oblastech. 121 Pojišťovny mohou k takovýmto událostem zaujmout různý postoj. Mohou vytvářet speciální modely pro málo pravděpodobné, nicméně významné události, nebo mohou využít institutu zajištění. Mimo toho je pro některá rizika vhodné vytvořit pojišťovací pool. Poměrně mnoho těchto rizik je také zahrnuto ve výlukách a pojišťují se buď speciálními dodatky, nebo vůbec Pojišťovací pooly Pokud je pro pojistitele riziko nepojistitelné, může odmítnout pojištění, ale ztráta klienta je pro něj zároveň ztráta příjmů, a proto se většinou snaží nalézt jiné řešení. Je možné využít soupojištění nebo zajištění. Další možností je vytvoření pojišťovacího poolu, který lze definovat jako skupinu poskytující pojištění (a zajištění) zakládanou za účelem společného krytí určitého druhu pojistného rizika formou společného pojištění (a zajištění). Pooly se vytvářejí z několika důvodů, jako jsou například vznik nových rizik, nedostatečné statistické údaje pro výpočty pojistného, nedostatečná kapacita pojistitele, velká rizika, požadavky legislativy nebo veřejný zájem. Existuje celá řada pojišťovacích poolů: Viz BOOTH, Modern Actuarial Theory and Practice, 2004, str Viz MESRŠMÍD, Pojišťovací pooly a jejich úloha v pojištění (Pojistný obzor č. 7), 2002, str

44 Jaderné pooly se zabývají jak pojištěním odpovědnosti provozovatele, tak i pojištění majetku. Letecké pooly zahrnují úrazové pojištění, pojištění odpovědnosti a letecké kasko pojištění. Pooly k pojištění rizik terorismu se ukázaly jako velmi potřebné především po útocích Je zcela jasné, čím se zabývají pooly k pojištění škod způsobených přírodními katastrofami. Existují samozřejmě i jiné typy poolů v jednotlivých zemích. V České republice v současné době existují 2 pooly: Český jaderný pool a Pool pro pojištění záruky pro případ úpadku cestovní kanceláře Zajištění pojišťovny Dalším institutem, pomocí kterého se mohou pojišťovny bránit proti nepříznivým důsledkům extrémních událostí, je zajištění, kterým dochází ke snižování pojistného rizika. V předchozích kapitolách rozvedená teorie rizika je velmi důležitá pro dodržení předepsané míry solventnosti, kterou musí pojišťovny z nařízení orgánu dohledu (ČNB) dodržovat, a také pro určení části rizika, která bude za úplatu (zajistné) sjednanou ve smlouvě postoupena zajistitelům. Za solventnost v pojišťovnictví je považován stav, kdy pojišťovna disponuje dostatkem vlastních zdrojů, které může kdykoliv a za jakýchkoliv okolností použít k úhradě svých smluvních závazků vůči pojištěným a ostatním oprávněným osobám. 123 Pojistitel usiluje o to mít co možná nejhomogennější kmen bez rizik, která by nějak významně ovlivňovala jeho hospodaření. Jakmile totiž jeho pojistný kmen obsahuje vyčnívající pojistné smlouvy s vysokými rizikovými expozicemi, znamená to anomálie v předpokladech zákona velkých čísel, a tím nezaručenost předem kalkulovaných pojistných výsledků. Konečným důsledkem je pak nestabilita hospodářských výsledků pojistitele. 124 Zajištěním dochází k postoupení (cedování) části rizika zajistiteli. Pro extrémní události je významné především neproporční zajištění, kdy zajistitel za úplatu přebírá po vzniku škody část pojistného plnění přesahující stanovený vlastní vrub pojistitele. Přebírá-li tedy zajistitel do svého krytí škody přesahující prioritu až do výše vrstvy, je jeho podíl na škodě ve výši následující: 125 {( ) } Celkově potom zajistitel vyplatí, kde je počet škod. Pro správné ocenění tohoto typu zajištění je nutné v první řadě určit vhodné rozdělení počtu škod a vhodné rozdělení výše škod Viz PAULASOVÁ, Vykazování solventnosti pojišťoven [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 124 Viz CIPRA, Zajištění a přenos rizik v pojišťovnictví, 2004, str Viz DRÁPAL, Oceňování rizikového XL zajištění (Pojistné rozpravy č. 27), 2011, str Viz DRÁPAL, Oceňování rizikového XL zajištění (Pojistné rozpravy č. 27), 2011, str

45 2.7.3 Speciální modelování Pokud se kdokoli rozhodne modelovat málo pravděpodobné události, musí mít velké množství relevantních dat, ale v mnohých případech je také třeba, aby byl schopný učinit expertní odhad. Všechny modely a odhady bývají také velmi citlivé na vstupní předpoklady. Dnes existují na trhu tři hlavní společnosti (Risk Management Solution (RMS), Applied Insurance Research (AIR) a EQECAT) zabývající se vývojem katastrofických modelů. Velké světové zajišťovny a zajistní makléři, jako je například Aon Benfield, také vytváří interní katastrofické modely. Takovéto modely je třeba pravidelně aktualizovat podle měnící se geografické situace, budování protipovodňových zábran a dalších důležitých faktorů. Kvalitní modely jsou velmi závislé na kvalitě vstupních a co nejdetailnějších údajů. Zejména proto vytváří tyto modely především zajišťovny a jiné nadnárodní společnosti. Čím je větší událost způsobující škodu, tím přesnější jsou výstupy modelu tato skutečnost je dána tím, že při větších katastrofách je zasaženo více jednotlivých subjektů, a je tedy mnoho přesnějších a diverzifikovaných dat. Pokud je zasaženo pouze nerozsáhlé portfolio, může událost způsobit pouze jednu drahou škodu například jedním zaplaveným průmyslovým podnikem, což sice nezmenšuje její dopady, ale pro modelování je nevhodná, jelikož neposkytuje dostatek kvalitních dat Viz STEJSKAL, Vývoj a trendy v oblasti katastrofického modelování (Pojistný obzor č. 1), 2011, str

46 46

47 3 Matematické modelování v neživotním pojištění Hlavní důvody užívání teorie rizika spočívají především v nedostatečném počtu reálných dat, která může model nahradit, v možnosti popsání i rozsáhlého pojistného kmene pomocí matematických vztahů s málo proměnnými a také v provádění různých statistických testů vlastností souborů pojistných smluv. 128 Modely se využívají především k odhadu počtu škod v určitém pojistném kmeni a k odhadu výše těchto škod. Při jejich určení mohou pojišťovny odhadnout výši budoucích pojistných plnění a tedy jejich nákladů. Pro úplnost je vhodné definovat pojem škoda, kterým je míněna újma (zdravotní, majetková, ), kterou lze peněžně vyčíslit. Pravděpodobnost vzniku této škody (tj. riziko) potom přímo ovlivňuje výši pojistného. Odhad počtu a výše škod je tedy významnou součástí činnosti pojišťoven, které jej využívají ke stanovení pojistného, jakožto úplaty za převzetí takového rizika. Celkovou hodnotu škod tedy ovlivňují dva faktory, a to frekvence, s jakou se objevují nároky na pojistná plnění, a výše těchto jednotlivých škod, která musí být uhrazena. Ačkoli celková výše škod závisí na obou těchto veličinách, mohou se za různých podmínek chovat jednotlivé komponenty protichůdně. Například v pojištění vozidel bývají nehody v letních měsících závažnější v důsledku rychlejší jízdy, naproti tomu v zimním období jezdí řidiči kvůli zhoršením klimatickým podmínkám pomaleji, a ačkoli nejsou nehody tak závažné, bývá jich následkem počasí více. 129 Z hlediska teorie pravděpodobnosti lze v podstatě každou pojistnou smlouvu považovat za náhodný pokus, protože po dobu platnosti smlouvy může, ale také nemusí (za předem stanovených podmínek) dojít k pojistné události, která představuje realizaci náhodného pokusu neboli náhodný jev. Ačkoli je tedy výskyt pojistných událostí založen na náhodě, při dostatečně velkém pojistném kmeni lze vypozorovat jisté zákonitosti vyplývající právě z teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. 130 Pro modelování počtu škod a výše škod se využívají různá pravděpodobnostní rozdělení, která závisí na jednom nebo více neznámých parametrech, které je třeba odhadnout například matematicko-statistickou metodou maximální věrohodnosti. Po výběru rozdělení je příhodné ověřit jeho vhodnost nějakým testem dobré shody. Uvedená metoda a test jsou teoreticky nastíněny v přílohách k této práci. Náhodné veličiny závisí na nějakém prvku, který nelze deterministicky určit. Je zde tedy nutno počítat s určitou pravděpodobností a náhodou. Náhodné proměnné lze dělit na diskrétní a spojité, přičemž diskrétními se rozumí takové, které nabývají pouze celočíselných hodnot. 131 V této práci se sice může zdát, že počet škod a jejich výše jsou určeny celočíselnými hodnotami, a tudíž by se mělo jednat o diskrétní veličiny, ale nemusí tomu tak být. Důvodem je, že data musí být před samotným modelováním a analýzou upravena a po těchto úpravách se již nemusí jednat o celá čísla. 128 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PROMISLOW, Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2006, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str Viz BOROWIAK, Financial and actuarial statistics : an introduction, 2005, str

48 Pro charakteristiku rozdělení lze mimo nejužívanější střední hodnoty, rozptylu a hustoty použít i jiné popisné statistky, jako je například medián. Medián vyjadřuje střed rozdělení podobný střední hodnotě a v některých případech konzistentních dat se tyto dvě charakteristiky rovnají. Nicméně v případě odlehlých hodnot se mohou velmi lišit. Zatímco střední hodnota je průměrem sledovaných hodnot, medián (0,5-kvantil) rozděluje soubor dat na dvě poloviny obsahující stejný počet dat. Platí tedy, že medián je takové číslo, pro které platí ( ) a ( ). V případě spojitého rozdělení se dá definice mediánu vyjádřit pomocí hustoty následovně: ( ). Podobně fungují kvartily. Dolní kvartil (0,25-kvantil) s mediánem a horním kvartilem (0,75-kvantil) rozdělují data na čtyři stejně rozsáhlé úseky, kvartily vlastně půlí datové soubory rozdělené mediánem. Další popisnou charakteristikou rozdělení je modus vyjadřující nejfrekventovanější hodnotu v souboru dat. 3.1 Modely počtu škod Při modelování počtu škod budeme předpokládat, že počet pojistných událostí (někdy také pojistných nároků či počet škod) během jednoho roku na jednu pojistnou smlouvu je náhodná veličina, která má konkrétní pravděpodobnostní rozdělení. Je zřejmé, že se jedná o diskrétní náhodnou veličinu nabývající pouze nezáporných celočíselných hodnot. Přesto se někdy používají také spojitá rozdělení. Nejužívanější pravděpodobnostní rozdělení používaná pro tyto modely jsou: alternativní (Bernoulliho), binomické, Poissonovo, negativní binomické (Pólyovo) a smíšené Poissonovo. S určením typu rozdělení, které bude použito pro konkrétní případ, lze využít vztah mezi odhadnutými charakteristikami (střední hodnotou a rozptylem): 132 ( ) ( ) binomické rozdělení, ( ) ( ) Poissonovo rozdělení, ( ) ( ) Pólyovo (geometrické) rozdělení. Počet škod během jednoho roku se dá vyjádřit také jako součet pojistných nároků v jednotlivých -tých smlouvách. Pro pojistný kmen s pojistnými smlouvami tedy platí. Místo jednotlivých pravděpodobnostních rozdělení lze též využít aproximaci vycházející z Centrální limitní věty. Máme-li nezávislé, stejně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou a rozptylem, potom výběrový průměr má při dostatečném počtu pokusů normální rozdělení. Pro snadnější výpočty, lze potom standardizovat náhodnou veličinu a využít tabulkové hodnoty distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení ( ). Platí tedy: 133 ( ) pro ( ) pro dostatec ne velke 132 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str

49 Aproximace je pro symetrická rozdělení dobrá již pro 10 pokusů, ale pro asymetrická rozdělení je přesnější pro větší počet náhodných pokusů (u některých typů je třeba ) Bernoulliho a binomické rozdělení Alternativní (Bernoulliho) rozdělení je nejjednodušším typem, jelikož jsou při něm možné pouze dva výsledky, a to buď pojistná událost s pravděpodobností nastane anebo s pravděpodobností nenastane. Počet škod potom může nabývat pouze dvou hodnot a to 1 pokud k události dojde a 0 pokud ne. Základní charakteristiky jsou tedy následující: 134 ( ) ( ) ( ) pro str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) ( ) Jedná se v podstatě o speciální případ následujícího binomického rozdělení pro počet pokusů, respektive sečteme-li náhodných veličin majících Bernoulliho rozdělení, dostaneme veličinu, která bude mít binomické rozdělení. Binomické rozdělení je definováno jako počet úspěchů v posloupnosti nezávislých pokusů. V každém z nezávislých pokusů je potom pravděpodobnost úspěchu rovna (z teorie pravděpodobnosti platí, že pravděpodobnost neúspěchu je ( ) a zároveň ). Jedná se v podstatě o opakování Bernoulliho pokusu, ve kterém je pro všechny pokusy stejná pravděpodobnost, že nastane škoda. Toto rozdělní lze využít pro modelování počtu náhodných událostí ( ) v pojistném kmeni s smlouvami a se škodou v hodnotě, kde známe pravděpodobnost vzniku náhodné (pojistné) události. Jedná se tedy o dvouparametrické rozdělení s následujícími charakteristikami: 135 ( ) ( ) ( ) ( ) kde a str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) ( ) sme rodatna odchylka: ( ) ( ) Podle uvedených charakteristik je jisté, že ( ) a používá se tedy v případech, kdy je ( ) ( ), tedy střední hodnota je větší než rozptyl. Pro je binomické rozdělení symetrické, zatímco v ostatních případech je zešikmené. S rostoucím počtem pokusů se ale stává symetričtějším a plošším Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str

50 Pokud budeme pozorovat výskyt škod v konkrétním časovém úseku a časový interval budeme považovat za jeden pokus, vyskytne se u binomického rozdělení nepříjemné omezení. V každém pokusu může dojít pouze k úspěchu nebo neúspěchu, tj. v jednom intervalu může nastat maximálně jedna pojistná událost. Pro lepší odhad počtu škod je možné zkrátit intervaly a tím navýšit počet pokusů, anebo použít limitní přechod k Poissonově rozdělení. 137 Binomické rozdělení lze pro dostatečný počet pokusů aproximovat normálním rozdělením, jak bylo uvedeno výše, a potom platí: 138 ( ( ) ) ( ( )) Aproximaci ( ) ( ( )) lze využít, je-li splněna nerovnost a zároveň ( ). Pro symetrické rozdělení (tj. pro ) jsou tyto nerovnosti splněny již pro 10 pokusů, které jsou v našem případě reprezentovány uzavřenými pojistnými smlouvami z konkrétního pojistného kmene. Čím více se pravděpodobnost oddaluje od 0,5, tím více pokusů je třeba, aby mohla být aproximace použita. Jelikož se přechodem od binomického rozdělení k normálnímu dostáváme od diskrétní náhodné veličiny ke spojité, používá se korekce na spojitost, kdy se místo pevné hodnoty binomického rozdělení ( ) použije interval normálního rozdělení ( ). 139 Při znalosti pravděpodobnosti ( ), se kterou nastává nějaká pojistná událost s vyčíslitelnou škodou ( ), můžeme určit pojistně-technické riziko a s ním související výši pojistného, které bude toto riziko krýt. Pro stanovení výše pojistného je důležitá především výše škody připadající v průměru na jednu pojistnou smlouvu v pojistném kmeni. Průměrná škoda je tedy součin výše škody a počtu pojistných událostí vydělených počtem smluv v pojistném kmeni. Pojistné lze určit pomocí střední hodnoty této veličiny a riziko, že pojistné nebude dostatečné pro krytí škod, se vyjádří jako její směrodatná odchylka. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z uvedeného plyne, že výše pojistného je zcela nezávislá na počtu smluv v pojistném kmeni a záleží pouze na výši škody a na pravděpodobnosti výskytu pojistných událostí (resp. pojistného plnění), jak je vidět na příkladu v příloze Viz PROMISLOW, Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2006, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str Konkrétně se jedná o Příklad s binomickým rozdělením počtu škod v příloze Základní příklady modelování počtu škod. 50

51 Máme-li pojistný kmen, ve kterém se pravděpodobnost škody řídí binomickým rozdělením, lze určit míru kolísání škodního průběhu: ( ) Poissonovo rozdělení Při dostatečně velkém počtu nezávislých pokusů ( ) je možné dostat z binomického rozdělení limitním přechodem rozdělení Poissonovo s konstantní střední hodnotou rovnou parametru (kde ). Jedná se o ekvivalent binomického rozdělení ( ). 141 Pravděpodobnost jevu v Poissonově rozdělení je velmi malá a charakteristiky jsou následující: 142 ( ) ( ) kde str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) Pro Poissonovo rozdělení platí, že se střední hodnota stejně jako rozptyl rovnají parametru používá se proto v případech, kdy jsou rozptyl a střední hodnota shodné. a Používá se jako aproximace binomického rozdělení, pokud je počet pokusů ( ) alespoň 100 a pravděpodobnost, že dojde k pojistné události je menší než 5 %. Přitom hodnoty aproximace nezávisí na jednotlivých hodnotách a, ale pouze na jejich součinu. 143 Stejně jako binomické rozdělení, lze také Poissonovo aproximovat normálním rozdělením. Již z definice je zřejmé, že je splněna podmínka velkého počtu pokusů ( ) a aproximace je tedy v tomto případě velmi výhodná, jelikož usnadňuje výpočty. Platí následující vztahy: 144 Jsou li ( ) neza visle, potom ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ) Tedy ( ) ( ) je li alespon Má-li náhodná veličina Poissonovo rozdělení s parametrem ( ) ( ). větším než 5, platí přibližně 141 Viz PROMISLOW, Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2006, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str

52 V našem případě lze toto rozdělení podle výše uvedených charakteristik použít v případě velmi obsáhlého pojistného kmene a malé pravděpodobnosti, že dojde k pojistné události. Parametr bude v tomto případě roven škodní frekvenci, která je definována jako podíl počtu pojistných událostí k počtu pojistných smluv. Rozdělení počtu škod lze tedy přepsat přímo jako ( ). Má-li -tá pojistná smlouva v homogenním pojistném kmeni škodní frekvenci, platí, že parametr Poissonova rozdělení se podle předchozího rovná, tj. ( ) a obecně potom platí ( ). Pro velké soubory smluv lze využít různé aproximace, například aproximace normálním rozdělením: 145 ( ) lze aproximovat jako ( ) Je-li parametr náhodný, dostaneme smíšené Poissonovo rozdělení. Parametr má v tomto případě pravděpodobnostní hustotu ( ) závisející na dalších proměnných. Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny je tedy následující: 146 ( ( )) ( ) ( ) kde Toto rozdělení se používá především pro pojistné kmeny, které mají heterogenní rizika a nabývá při malém riziku malých hodnot a při velkém riziku hodnot velkých. Lze tak modelovat například požární pojištění lesů (počet požárů ), které závisí na počasí v konkrétním regionu a není tedy konstantní. Pro vyčíslení pravděpodobnosti počtu škod je třeba znát také distribuční funkci parametru, na kterém závisí vznik pojistné události (u požárů se bude jednat například o počasí) Pólyovo a geometrické rozdělení Negativní binomické rozdělení (neboli Pólyovo) má dva parametry kladné a pravděpodobnost. Jelikož značí pravděpodobnost úspěchu v nezávislých pokusech, je z využití doplňkové pravděpodobnosti zřejmé, že značí pravděpodobnost nezdaru. Pólyovo rozdělení modeluje počet nezdarů ( ) před -tým úspěchem v nezávislých pokusech. Následují základní charakteristiky tohoto rozdělení: 148 ( ) ( ) ( ) ( ) kde 145 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str

53 str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) ( ) ( ) Z těchto vztahů vyplývá, že se používá pro případy, kdy je rozptyl větší než střední hodnota, ( ) ( ) jelikož, neboť pro je výraz na pravé straně větší. Speciálním případem tohoto rozdělení pro charakteristikami. 149 je geometrické rozdělení s následujícími ( ) ( ) ( ) str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) Toto rozdělení se používá, pokud máme posloupnost pokusů, při kterých je konstantní pravděpodobnost ( ), že nastane sledovaný jev, a tyto pokusy opakujeme, dokud událost nenastane (počet provedených pokusů je potom roven ). Jelikož je pouze konkrétním typem Pólyova rozdělení, používá se opět v případech, kdy je rozptyl větší než střední hodnota. Jednotlivé základní příklady na výpočet počtu škod s jednotlivými typy rozdělení jsou uvedeny v příloze. 3.2 Modely výše škod V následující podkapitole již nebude náhodnou veličinou počet pojistných událostí, ale bude jí výše škody ( ) na jednu pojistnou událost. Škoda bude zpravidla nabývat kladných hodnot a v některých případech může být shora omezena pojistnou hodnotou pojištěné věci. Platí tedy, že. Ačkoli škoda nabývá pouze celočíselných hodnot (vyjádřených v peněžních jednotkách), lze pro zjednodušení předpokládat spojité rozdělení namísto diskrétního s konkrétní pravděpodobnostní hustotou ( ). V neživotním pojištění může docházet k extrémně vysokým škodám, což způsobuje velký rozptyl a pravostrannou asymetrii rozdělení. Z tohoto důvodu je vhodné využívat pro modelování výše škod spojitá rozdělení, která mají pravostranné zešikmení, jako jsou například logaritmickonormální (dále jen log-normální), gama, exponenciální, Paretovo či Weibullovo rozdělení. 150 Pro některé modely lze použít také Burrovo, Benktanderovo, log-gama rozdělení nebo kombinaci předchozích, kdy se výše škod rozdělí na jednotlivé intervaly, ve kterých se použijí 149 Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str

54 různá pravděpodobnostní rozdělení. Takové výpočty neslouží pouze pro samotné vyčíslení škod, ale jsou vhodným nástrojem pro určení částky, která bude postoupena do zajištění. Pro aproximaci výpočtů se často podobně jako u modelů počtu škod využívá centrální limitní věta, podle níž se stručně řečeno výběrový průměr ve velkých datových souborech blíží normálnímu rozdělení. Klasické normální rozdělení se pro modelování výše škod nepoužívá, jelikož škody nabývají kladných hodnot, zatímco normální rozdělení pokrývá celou reálnou osu. Proto by muselo mít toto rozdělení vysokou střední hodnotu a malý rozptyl, aby se eliminovala šance záporných hodnot. Druhým problémem je nedostatečná pravděpodobnost malých škod, oproti jiným rozdělením, kde je vyšší koncentrace v levé části (tj. střední hodnota je vyšší než medián) Log-normální rozdělení Základní charakteristiky log-normálního rozdělení jsou následující: 152 ( ), kde a ( ) pro ( ) { ( ) pro ( ) ( ), pro str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) ( ) Toto rozdělení se nejčastěji využívá v havarijním či živelním pojištění (požární pojištění zděných budov, pojištění pro případ vichřice, ). V příloze je uveden jednoduchý příklad pro výpočet výše škod právě s tímto rozdělením Gama a exponenciální rozdělení Gama rozdělení je vhodné při pojištění motorových vozidel, ale nehodí se pro modelování vysokých škod, které mohou nastávat například v majetkovém pojištění proti riziku požáru. Jedná se o dvouparametrické rozdělení s parametry a a následujícími charakteristikami: 153 ( ) ( ) ( ), kde a ( ) je gama funkce definovana jako: ( ) 151 Viz PROMISLOW, Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2006, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str

55 str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) Pro parametr dostaneme speciální případ nazývaný exponenciální rozdělení, které se chová následovně: 154 ( ) ( ) ( ) { pro pro ( ), pro a str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) Exponenciální rozdělení lze využít k modelování doby mezi jednotlivými pojistnými událostmi, ale pro modelování výše škod není příliš vhodné, jelikož špatně modeluje malé a velké škody. Hodí se tedy spíše na modelování průměrných škod. Toto rozdělení není tak flexibilní jako gama, protože závisí jen na jednom parametru místo dvou Beta rozdělení Beta rozdělení má následující charakteristiky: 156 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), pro,, a str edn hodnota: ( ) rozptyl: ( ) ( ) ( ) Beta rozdělení s hustotou ve tvaru U se využívá v případech, kde nastávají buď velmi malé, anebo naopak velmi velké škody, jak je tomu například v požárním pojištění Paretovo rozdělení Paretovo rozdělení má (podobně jako např. Cauchyovo rozdělení) těžké konce. Takováto rozdělení přisuzují velkým hodnotám větší váhu než jiná, a lze je tedy využít v případech s odlehlými extrémními hodnotami škod Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str. 57, Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str

56 Následují charakteristiky dvouparametrického Paretova rozdělení: 158 ( ) ( ) { pro ( ) pro ( ) ( ), pro a str edn hodnota: ( ) pro rozptyl: ( ) ( ) pro Extrémní hodnoty, pro které je toto rozdělení vhodné, nastávají například u požárního pojištění dřevěných budov nebo v nemocenském pojištění Weibullovo, Gumbelovo a Johnsonovo rozdělení Weibullovo rozdělení se v neživotním pojištění používá především pro hodnoty parametru, jelikož v tomto případě leží hustota v pravé části rozdělení mezi exponenciálním a Paretovým, pro jiné hodnoty parametru konverguje hustota v intervalu nejvyšších hodnot k nule rychleji než u exponenciálního a není tedy vhodné. Na rozdíl od Paretova rozdělení lze vždy určit střední hodnotu a rozptyl. 159 ( ) ( ) ( ), pro str edn hodnota: ( ) ( ) rozptyl: ( ) { ( ) [ ( )] } U velmi vysokých pojistných plnění je ale vhodnější využít rozdělení Paretovo, které lépe odpovídá skutečnosti. 157 Viz PROMISLOW, Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2006, str Viz BÍLKOVÁ, Pravděpodobnost a statistika, 2009, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str

57 Ačkoli není Johnsonovo SB rozdělení zcela běžné, jedná se o spojité rozdělení podobné normálnímu, jak je vidět na podobné konstrukci hustoty 160. Toto rozdělení má čtyři parametry, které je třeba odhadnout. ( ) ( ) ( ) ( ( )), pro 3.3 Složené pojistné modely, modely v čase a pravděpodobnost ruinování Pojistné modely nelze brát izolovaně pouze pro jednotlivé pojistné smlouvy, ale důležitý je také aspekt celkových škod či vývoje v čase Složené pravděpodobnostní rozdělení Celková výše škod ( ) v rámci pojistných nároků (součet náhodného počtu náhodných veličin ) má složené pravděpodobnostní rozdělení vzniklé složením rozdělení nezávislých náhodných veličin, které mají konečnou střední hodnotu a rozptyl a jsou navíc stejně rozdělené. Střední hodnota a rozptyl takového součtu náhodných veličin jsou následující: 161 str edn hodnota: ( ) ( ) ( ) rozptyl: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] Předpoklad nezávislosti náhodných veličin bývá splněn v krátkém období, nicméně v delším časovém úseku může docházet k sezónním rozdílům. 162 Má-li počet škod Poissonovo rozdělení ( ( )) a rozdělení výše škod má distribuční funkci, popisuje celkovou výši škod složené Poissonovo rozdělení: 163 ( ) str edn hodnota: ( ) ( ) ( ) ( ) rozptyl: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) Má-li náhodná veličina definovaná výše složené pravděpodobnostní rozdělení, nazývá se toto rozdělení zpravidla podle typu rozdělení veličiny, jak je vidět v předchozím odstavci Viz mathwave Johnson SB Distribution [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 161 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PROMISLOW, Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2006, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PROMISLOW, Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2006, str

58 3.3.2 Čas v pojistných modelech Zahrne-li se do modelů také vliv času, můžeme získat různé tzv. procesy. Modely se tím stanou reálnější ale také složitější. Model ve tvaru { } se nazývá proces rizika. Kde je náhodnou veličinou popisující výši škody, která bude uplatněna jako -tá v pořadí a značí délku mezi uplatněním -tého a následujícího nároku -tý nárok je uplatněn v čase. Předpokládá se, že veličiny a jsou nezávislé. S tímto procesem úzce souvisí proces počtu pojistných nároků { }, kde popisuje počet škod v časovém intervalu (, tedy do času a proces celkové výše pojistných nároků { }, kde je náhodná veličina celkové výše pojistných nároků do času. 165 Podobně jako finanční matematika využívá k modelování pohybu finančních aktiv Brownův pohyb, je základem modelů v neživotním pojištění proces Poissonův 166. Se zahrnutím proměnné času je potom spíše homogenní Poissonův proces neboli Poissonův proces s intenzitou speciálním případem procesu rizika v pojišťovnictví. V tomto modelu se předpokládá, že intervaly mezi jednotlivými škodami mají exponenciální rozdělení ( ). Počet pojistných nároků do času (tedy v intervalu ( ) má Poissonovo rozdělení ( ) s charakteristikami ( ) ( ). Intenzita Poissonova procesu odpovídá střednímu počtu pojistných nároků za časovou jednotku, což odpovídá tomu, že střední doba mezi jednotlivými škodami (tj. střední hodnota exponenciálního rozdělení) je ( ). 167 Náhodná událost může nastat v libovolném z intervalů a nezávisí na událostech, které nastaly v předchozích časových úsecích. Platí tedy, že počet výskytů pojistné události do konkrétního času má tzv. homogenní Poissonovo rozdělení ( ) s hustotou ( ) ( ). Pokud jsou výše pojistných nároků stejně rozdělené s distribuční funkcí, potom celková výše škod má složené Poissonovo rozdělení a je definovaná jako ( ) ( ) se střední hodnotou ( ) ( ) a rozptylem ( ) ( ). Distribuční funkce proměnné je ( ) ( ) je konvoluce distribučních funkcí Pravděpodobnost ruinování v pojišťovnictví ( ) ( ), pro nezáporná a, kde ( ) Pravděpodobnost ruinování se v pojišťovnách používá především k výpočtu pravděpodobnosti, že pojišťovna dospěje ke krachu respektive, že se její rezervy dostanou v budoucnu do záporných hodnot. Je-li rezerva pojišťovny vytvořená do času a je počáteční rezerva (počáteční kapitál) v čase, roste s přibývajícím inkasovaným pojistným do času a ubývá s počtem uznaných pojistných nároků. Rezervu lze tedy vyjádřit jako:. 165 Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz EMBRECHTS, KLÜPPELBERG, MIKOSCH, Modelling Extremal Events, 2003, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz EMBRECHTS, KLÜPPELBERG, MIKOSCH, Modelling Extremal Events, 2003, str

59 Pravděpodobnost ruinování { } je pravděpodobnost toho, že rezerva klesne na zápornou hodnotu, což úzce souvisí se solventností pojišťovny. Teorii ruinování lze mimo jiného využít ke stanovení přiměřeného pojistného tak, aby pravděpodobnost byla pro pojišťovnu přijatelná, respektive aby pojišťovna splňovala podmínky solventnosti. 169 Střední hodnota rezervy v čase potom závisí na rozdělení škod, protože: ( ) ( ) ( ) ( ) Je-li proces rizika { } Poissonovým procesem s intenzitou, jak byl definovaný výše, a navíc ( ), potom platí Cramér-Lundbergova nerovnost, kde je kladný Lundbergův koeficient splňující rovnost: ( ( )). Někdy se také používá Cramér-Lundbergova aproximace pravděpodobnosti ruinování 170 především předpokládají-li se velké škody. 171 ( ) ( ( )), 3.4 Modelování pro případ extrémních událostí Většina škod v neživotním pojištění je nižší než průměrné pojistné plnění, ale může dojít také k extrémně vysokým škodám (důsledkem je velký rozptyl a pravostranná asymetrie rozdělení). Pro modelování extrémních škod je důležitá pravděpodobnost intervalu nejvyšších hodnot jednotlivých pojistných plnění, neboli ( ), která je v pojišťovnictví velmi důležitá. Někdy se tento interval nazývá také pravý konec rozdělení. Při hledání vhodného rozdělení pro modelování extrémních událostí je třeba nalézt takový typ, který se v pravém konci neblíží nule tak rychle jako ostatní. Například log-normální rozdělení, které je kladně zešikmené, je možné využít pro velké hodnoty, protože ačkoli jsou nejpravděpodobnější střední škody, i velmi vysoké hodnoty mají kladnou pravděpodobnost. 172 Poissonovo rozdělení se používá k modelování málo pravděpodobných tzv. řídkých jevů 173 a mohlo by tedy být vhodné pro modelování extrémních událostí. Gama rozdělení má tvar, jaký se předpokládá pro chování rozdělení běžných škod 174 a nehodí se tedy pro modelování vysokých a extrémních škod. Jeho speciálním případem je exponenciální rozdělení, pro které platí: ( ) ( ). Pravděpodobnost pravého konce rozdělení konverguje exponenciálně k nule, a proto se nehodí pro velmi vysoké hodnoty škod, čímž je nevhodné pro modelování extrémních událostí. Vhodné je jeho využití pro modelování spíše průměrných škod. 175 Naproti tomu beta rozdělení se využívá v případech velmi malých anebo naopak velmi velkých škod. V případě odlehlých extrémních hodnot (například v požárním pojištění) lze také využít Paretovo rozdělení. 169 Viz EMBRECHTS, KLÜPPELBERG, MIKOSCH, Modelling Extremal Events, 2003, str Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Další podrobnosti přesahují rámec této práce, nicméně lze je nalézt například v EMBRECHTS, KLÜPPELBERG, MIKOSCH, Modelling Extremal Events, 2003, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str , Viz CIPRA, Pojistná matematika: teorie a praxe, 2006, str Viz PROMISLOW, Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2006, str Viz PACÁKOVÁ, Aplikovaná poistná štatistika, 2004, str. 57,

60 Jelikož klasická rozdělení pro modelování výše škod jako log-normální, Weibullovo, exponenciální či gamma mohou selhat při popisech velkých škod, uplatňují se pro velké škody tzv. rozdělení nad prahovou hodnotou. Například Paretovo, Benktanderovo a zobecněné Paretovo Benktanderovo rozdělení Tento typ rozdělení zobecňuje Paretovo rozdělení tak, aby se jeho konce (podle vhodně zvoleného parametru) nacházely mezi hodnotami exponenciálního a Paretova rozdělení. Distribuční funkce tohoto rozdělení je dána následovně: 177 ( ) ( ) { ( ) ( ) pro jinak Všechny parametry jsou kladné a navíc. Pro přechází toto rozdělení do Paretova a pro a vhodně zvolený parametr přechází v posunuté exponenciální Gumbelovo rozdělení Gumbelovo rozdělení je nejpoužívanějším ze tří typů rozdělení extrémních hodnot (extreme value distribution) a mohlo by tedy být pro zkoumanou problematiku vhodné. Hustota je následující 178 : ( ) ( ) ( ) ( ) 176 Viz DRÁPAL, Oceňování rizikového XL zajištění (Pojistné rozpravy č. 27, 2011, str Viz DRÁPAL, Oceňování rizikového XL zajištění (Pojistné rozpravy č. 27, 2011, str Viz WolframMathWorld. Extreme Value Distribution [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 60

61 4 Modelování škod občansko-majetkového pojištění Celá následující kapitola bude založena na datech, která byla pro tuto práci poskytnuta odpovědným pojistným matematikem Ing. Mgr. Jakubem Mertlem z Direct Pojišťovny, a.s. 4.1 Představení konkrétních dat Jedná se o upravený datový vzorek týkající se občansko-majetkového pojištění (není zde tedy zahrnuto pojištění podnikatelských rizik) od roku 2002 v České republice. Data sice nejsou vzhledem k obchodnímu tajemství reálná, ale jsou upravena tak, aby odpovídala realitě a zachovávala trendy, které se projevily v jednotlivých letech. Nejprve bude uveden souhrnný přehled těchto dat podrobná data počtu škod a výše škod v tomto vzorku jsou uvedena na samostatném CD, které je k této práci přiloženo. rok počet pojistných smluv Tabulka 2: Souhrnný přehled dat od roku 2002 do 2012 celkové (zasloužené) pojistné (Kč) celkové plnění (Kč) průměrné pojistné (Kč) škodní průběh (škodní poměr) průměrné pojistné plnění (Kč) % % % % % % % % % % % Vlastní konstrukce z modelovaných dat. Pro větší přehlednost je v následujícím grafu uveden vývoj přijatého (zaslouženého) pojistného a vyplaceného pojistného plnění. Graf 8: Výše pojistného a výše pojistného plnění v jednotlivých letech mil. Kč zasloužené pojistné pojistné plnění rok Vlastní konstrukce z modelovaných dat. 61

62 V datovém vzorku je tedy pojistných smluv občansko-majetkového pojištění s průměrným pojistným přes 5 tisíc korun. Jelikož celkové průměrné pojistné plnění (3 073 Kč) nepřesahuje celkové průměrné pojistné a škodní průběh nedosahuje 60% hranice, je možné konstatovat, že pojišťovna vykazuje zisk. Samozřejmě za předpokladu, že nemá příliš vysoké náklady na správu a provoz, neboť v tomto případě můžeme vyvodit pouze zisk vypočtený z přijatého pojistného a nákladů na pojistná plnění podle teorie rizika a rovnice ekvivalence. Kromě roku 2002, kdy zasáhly Českou republiku rozsáhlé povodně srovnatelné s těmi v roce 1997, byl vždy škodní poměr pro pojišťovnu přijatelný. V roce 2002 ale dosáhl téměř 370 %, a pojišťovna tedy musela vyplatit více než třikrát tolik, než činilo její zasloužené pojistné. Jelikož se práce zaměřuje na extrémní události, jsou dále detailněji uvedeny souhrnné počty škod a výše škod v jednotlivých letech. Škody se zde dělí na katastrofické škody, velké škody a běžné homogenní škody 179. Dělení dat na tyto tři kategorie probíhá v praxi následujícím způsobem. Nejprve se vyčlení data vztahující se k extrémním událostem způsobených některým z katastrofických rizik (v našem případě se jedná o povodně, vichřice a krupobití). Aby modely pro výpočet výše škod a počtu škod neovlivňovaly odlehlé hodnoty a nedocházelo ke zkreslení, jsou ještě vylučovány škody přesahující určitou hranici plnění (zde se jedná konkrétně o hranici 600 tisíc korun). Teprve běžné škody, které zůstanou, se modelují podle klasických pravděpodobnostních rozdělení, jak je uvedeno v teoretické části diplomové práce. V dalším textu budou modelovány již jen velké a katastrofické škody. Počty plnění jsou uvedeny pouze v tabulce, jelikož grafické znázornění rozlišující velké, katastrofické a celkové škody je málo vypovídající a v podstatě kopíruje počet plnění z katastrofických událostí. Tabulka 3: Počet pojistných plnění v modelovaných datech podle jednotlivých let rok počet plnění z počet plnění z počet plnění z extrémních událostí velkých škod katastrof Celkem Vlastní konstrukce z modelovaných dat. Z předchozího je vidět, že co do počtu škod resp. nároků na pojistné plnění jsou rozhodující události způsobené katastrofickými riziky. Ve srovnání s nimi je počet plnění z velkých škod, které nespadají do kategorie katastrof téměř zanedbatelný. 179 U běžných škod je uvedena pouze výše vyplaceného pojistného plnění, jelikož nebyla data poskytnuta v detailu, a tudíž nelze zjistit počet těchto škod. 62

63 Toto ale jistě neplatí pro výši vyplaceného plnění, kde v některých letech dokonce velké škody přesahují škody katastrofické. Následující tabulka shrnující souhrnná vyplacená plnění podle uvedených typů škod v jednotlivých letech je vyjádřena pro lepší přehlednost také graficky. Tabulka 4: Pojistné plnění v modelovaných datech podle jednotlivých let rok celkové plnění (Kč) velké škody (Kč) katastrofy (Kč) běžné škody (Kč) Celkem Vlastní konstrukce z modelovaných dat. V grafickém znázornění jsou lépe vidět výkyvy v letech 2002 a 2010 způsobené povodněmi v Čechách, resp. povodněmi a krupobitím. Je zde také dobře vidět, že v pěti letech v našem vzorku nenastala žádná katastrofická událost. Graf 9: Výše pojistného plnění podle typu škod mil. Kč celkové škody velké škody katastrofické škody běžné škody rok Vlastní konstrukce z modelovaných dat. V grafickém zobrazení je také zřejmý rostoucí trend výše plnění s občasnými výkyvy. Rostoucí trend v této formě není nijak vypovídající, jelikož výplaty pojistných plnění jsou v cenách jednotlivých let, a tudíž jsou pro jakékoli závěry v neupravené podobě nevhodné. Teprve po očištění dat o inflaci je možné formulovat z vývoje nějaké závěry. Ideální proměnnou pro porovnání ale není absolutní výše vyplaceného pojistného plnění, jelikož zde není zohledněn vyvíjející se pojistný kmen a počet škod. Proto by v tomto případě bylo nejlepší zkoumat výši průměrného pojistného plnění na jednu pojistnou událost. Následující výpočty a modely jsou prováděny převážně ve statistickém softwaru STATISTICA

64 4.2 Modelování počtu škod zaznamenaných pojišťovnou V této kapitole bude pozornost zaměřena na počty škod v jednotlivých letech a možnosti jejich modelování. V prvé řadě je třeba uvést některé základní charakteristiky. Jelikož soubor dat je z několika let, ve kterých se měnil celkový počet uzavřených smluv, je nutné tuto změnu ošetřit, abychom se vyhnuli zkreslení výpočtů. Počty škod budou tedy dále uvažovány pro pojistný kmen s pojistných smluv. Předchozí souhrnná tabulka počtů škod v jednotlivých letech po uvedené úpravě vypadá následovně: Tabulka 5: Počet škod v modelovaných datech na pojistných smluv rok počet plnění z extrémních událostí na PS počet plnění z velkých škod na PS počet plnění z katastrof na PS ,74 8, , ,45 5, ,80 7, ,38 6, ,62 6,71 161, ,97 5,85 688, ,83 6,72 563, ,57 9,00 133, ,54 8,26 396, ,52 14, ,32 9,32 - Celkem 3 682,74 88, ,40 Vlastní konstrukce z modelovaných dat. Z této tabulky již lze snadno vypočítat základní popisné statistiky. Střední hodnota, která vyjadřuje průměrný počet pojistných událostí v pojistném kmeni, je pro extrémní události rovna 334,79. Znamená to, že budeme-li mít v našem portfoliu smluv, dojde během jednoho roku průměrně k 335 pojistným událostem, které budou spadat do kategorie extrémních událostí, přičemž jich pouze 8 bude z velkých škod a zbytek (tj. 327) bude připadat na plnění z katastrofických událostí. V tomto souboru dat je velká směrodatná odchylka katastrofických škod, a tedy i celkových extrémních událostí. Pro obě proměnné je ( ). U velkých škod je ( ), což značí, že jsou u takových škod mnohem menší výkyvy v jednotlivých letech. Hodnoty se pohybují přibližně od pěti do patnácti škod v jednom roce. U katastrofických škod jsou výkyvy mnohem výraznější, jelikož v některých letech nedošlo ani k jedné pojistné události, zatímco v nejkatastrofičtějším roce bylo škod zaznamenáno V souborech, kde se vyskytují nějaké extrémní či odlehlé hodnoty, lze použít pro vyjádření střední škody spíše medián. Vzhledem k analyzované problematice je vysoce pravděpodobné, že se v souboru dat takovéto hodnoty vyskytnou, a je tedy vhodné uvést i tuto popisnou statistiku. Pro datové soubory s homogenními hodnotami se medián rovná (nebo alespoň blíží) hodnotě střední hodnoty. V našem případě je medián extrémních událostí resp. jejich počtu roven ( ). Ve srovnání se střední hodnotou se tedy jedná o úplně jinou hodnotu. U velkých škod, které nemají takové odchylky, jsou naopak obě hodnoty velmi podobné. Medián je u těchto škod ( ), což je téměř střední hodnota ( ( ) ). 64

65 Medián a ostatní kvartily jsou používané pro sestrojení krabicového grafu, který znázorňuje, jak jsou data rozložená. Krabicový diagram extrémních událostí jako celku a katastrofických událostí je téměř totožný, jak lze vidět na zobrazení v příloze. V obou případech je jasně vidět jedna odlehlá hodnota, která představuje počet pojistných událostí v roce 2002, kdy Českou republiku zasáhly vydatné povodně a záplavy a došlo k velkým škodám. Tento údaj významně ovlivňuje veškeré výpočty a modely. Krabicový graf počtů škod velkých událostí na první pohled sice vypadá velmi podobně předchozím, ale stačí si uvědomit, že jsou zde odlišné jednotky, a je jasné, že se jedná o zcela jiný případ. Odlehlá hodnota je v řádech jednotek, což je sice významné vzhledem k tomu, že analýzu provádíme na vzorku poměrně malého počtu dat (11 měření), ale jedná se o méně závažný případ ve srovnání s odlehlou hodnotou v řádech sto až tisíců u katastrofických a celkových extrémních škod. Další běžně používaná charakteristika modus je v tomto případě nevypovídající, jelikož jedinou opakující hodnotou jsou nulové počty škod v některých letech u katastrofických událostí, zatímco v jiných letech žádné shody nejsou. Vzhledem k těmto skutečnostem nelze tuto charakteristiku využít. Pravděpodobnost, že dojde ke škodě zapříčiněné nějakou extrémní událostí je kolem jednoho procenta. Konkrétně, máme-li střední hodnotu počtu extrémních škod 335 a v pojistném kmeni je smluv, potom je pravděpodobnost vzniku škody. Máme-li pojistnou smlouvu je zde tedy 1,34% pravděpodobnost, že nastane extrémní událost. Pokud by nás ovšem zajímalo, jak je pravděpodobné, že bude na smlouvě uplatněna škoda přesahující , která nebude způsobena katastrofickou událostí (tj. spadá do kategorie velkých škod), pravděpodobnost vypočtená podle stejného vzorce zde nedosahuje ani 0,05 procent, konkrétní hodnota je po zaokrouhlení 0,032 % ( ). Ačkoli počet škod v reálném světě nabývá pouze nezáporných celočíselných hodnot a nabízí se tedy využití diskrétního rozdělní, po úpravách a přepočtech je pravděpodobné, že datový soubor neobsahuje pouze celočíselné hodnoty. Pro diskrétní modelování bude nutné data zaokrouhlit na celá čísla. Mimo to lze analyzovat také vhodnost některých typů spojitých rozdělení. Pro určení vhodnosti jednotlivých rozdělení bude mimo jiného využíván Kolmogorův-Smirnův test, a proto jsou zde uvedeny základní hodnoty testovací statistiky pro nejběžnější hladiny významnosti, aby bylo jasné, s čím se následně empirické hodnoty porovnávají. Jelikož je zřejmé, že počty velkých škod a počty extrémních škod se chovají úplně jinak, bude v následujícím textu provedeno modelování odděleně, aby nedošlo ke zbytečnému zkreslení. 65

66 4.2.1 Počty škod z katastrofických událostí Nejjednodušší diskrétní typ rozdělení (Bernoulliho) není pro tuto záležitost vůbec vhodný, neboť nabývá pouze dvou hodnot 0 a 1, a nevypovídá tedy nic zásadního o tom, kolik pojistných událostí v jednotlivých letech nastává. Vhodnost binomického rozdělení lze v tomto případě také zpochybnit, jelikož se používá v případech, kdy je rozptyl menší než střední hodnota, a v našem případě je dokonce už směrodatná odchylka větší než průměr. Toto potvrzuje také hodnota K-S statistiky ( ) na jejímž základě zamítneme hypotézu o binomickém rozdělení s odhadnutými parametry pro celkový počet škod a. Stejnou hodnotu K-S statistiky má také Poissonovo rozdělení (v našem případě s parametrem ), které se používá za určitých podmínek k aproximaci binomického. I v tomto případě tedy zamítáme nulovou hypotézu. Z diskrétních rozdělení je pro modelování počtu katastrofických škod nejvhodnější geometrické rozdělení, které má s parametrem hodnotu K-S statistiky a na hladině významnosti nezamítneme hypotézu, že jsou data z tohoto rozdělení. Na 5% hladině významnosti již ale hypotézu opět zamítneme. Co se týče spojitých rozdělení je nejvhodnějším rozdělením normální rozdělení s parametry odpovídajícími střední hodnotě a rozptylu. Na základě K-S statistiky nezamítneme nulovou hypotézu, a lze tedy využít tohoto rozdělení k aproximaci předchozích Počty velkých škod, které nejsou klasifikovány jako katastrofické Na rozdíl od katastrofických škod je v případě těch velkých průměr (8) větší než je směrodatná odchylka (2,5) i rozptyl (6,3), je vhodné provést modelování binomického rozdělení tohoto souboru dat. Parametry ( a ) jsou v tomto případě zcela odlišné stejně jako hodnota testovací statistiky, na jejímž základě nezamítneme hypotézu o binomickém rozdělení počtu velkých škod. S diskrétních rozdělení je tento typ pro modelování počtu velkých škod dokonce nejvhodnějším (bráno podle hodnoty K-S testu). Poissonovo rozdělení má parametr roven střední hodnotě ( ) a bývá vhodné pro aproximaci binomického. V tomto případě je ale vhodnější předchozí rozdělení, jelikož nemáme velký datový soubor (pouze 11 pozorování). K-S statistika ( ) nám přesto i v tomto případě povoluje nezamítnout nulovou hypotézu. Pokud modelujeme data spojitými rozdělením, nezamítneme na hladině významnosti hypotézu o rozdělení na základě K-S testu u velkého počtu rozdělení, konkrétně se jedná o lognormální, normální, Weibullovo, Paretovo a další. Nejvhodnější je v tomto případě zvolit normální rozdělení, jelikož hodnota K-S statistiky se v jednotlivých případech moc neliší a s normálním rozdělením se nejlépe pracuje Počty celkových škod Pro modelování škod z extrémních událostí bez rozlišení na katastrofické a velké škody vychází nejlépe log-normální rozdělení s odhadnutými parametry a, kde nabývá K-S statistika malé hodnoty ( ), a nezamítneme tedy hypotézu o log-normálním rozdělení. 66

67 Dalším vhodným rozdělením je Paretovo s parametry a. K-S statistika má v tomto případě jen o málo vyšší hodnotu než v předchozím případě ( ) a opět nezamítáme nulovou hypotézu. Nicméně pro modelování především katastrofických událostí resp. počtu pojistných plnění způsobených nějakou katastrofou jsou vhodné modely, které nevychází pouze z historických údajů. Jelikož hlavně u přírodních katastrof lze vysledovat nějaké ukazatele již před jejich samotným vznikem, je lepší využívat pro jejich určení spíše expertní odhady založené například na meteorologických údajích a dalších vědeckých indikátorech. 4.3 Modelování výše pojistného plnění pojišťovny Po ukázce modelování počtu škod bude přistoupeno k modelování výše škod, která je pro pojišťovnu důležitější, protože samotný výskyt škody nesděluje žádnou informaci o tom, jak vysoké bude pojistné plnění, které bude pojistitel nucen na základě pojistné smlouvy klientovi vyplatit. Není tedy jasné, jaké rezervy musí pojistitel vytvořit, aby mohl dostát svým závazkům a zůstal solventní. Jelikož máme k dispozici data za 10 let, je nutné očistit škody o inflaci, aby nebyly výsledky zkreslené. Data jsou od roku 2002 do roku 2012 a inflace se v těchto letech vyvíjela následovně: Tabulka 6: Míra inflace v ČR od roku 2002 rok inflace 1,8% 0,1% 2,8% 1,9% 2,5% 2,8% 6,3% 1,0% 1,5% 1,9% 3,3% Převzato z Český statistický úřad. Inflace druhy, definice, tabulky [online]. Dostupné na < Veškeré následující výpočty jsou prováděny na datech přepočítaných na cenovou hladinu roku 2012, jak je vidět v následující tabulce. Tabulka 7: Pojistné plnění v modelovaných datech v cenách roku 2012 rok celkové plnění (Kč) v cenách roku 2012 velké škody (Kč) v cenách roku 2012 katastrofy (Kč) v cenách roku 2012 běžné škody (Kč) v cenách roku Celkem Vlastní konstrukce z modelovaných dat. 67

68 Pro přehlednost následuje grafické znázornění upravených dat, je vidět, že veškeré trendy jsou v porovnání s původním grafem shodné, jen se o něco změnily jednotky na ose y. Graf 10: Výše pojistného plnění podle typu škod v cenách roku 2012 mil. Kč celkové škody velké škody katastrofické škody běžné škody rok Vlastní konstrukce z modelovaných dat. V následujícím je vhodné roztřídit škody na velké a katastrofické, protože z předchozího textu plyne, že se tato data chovají odlišně, co do počtu škod a je vysoce pravděpodobné, že zde budou markantní rozdíly také ve výši plnění a modely a výpočty by v souhrnném souboru byly zkreslené Katastrofické škody Střední hodnota pojistných nároků pro katastrofické škody je ( ), ale medián ( ) je úplně odlišný. Střední hodnota je více než pětinásobkem mediánu, a je tedy vidět, že data nejsou zdaleka symetrická. Soubor dat má veliké rozpětí, jelikož se výše plnění pohybuje od nulových hodnot až do Kč vyplacených v rámci nároků plynoucích ze smluv. Modus je v tomto případě nevypovídající, jelikož se v našem souboru dat vyskytuje 254 škod, které byly způsobeny katastrofou a byly nahlášeny na pojišťovně, ale nakonec nebylo vyplaceno žádné pojistné plnění. Dolní i horní kvartil mají vzhledem k nejvyšší vyplacené škodě také poměrně nízké hodnoty. Dolní kvartil má přibližnou hodnotu a horní Další velmi využívanou charakteristikou je směrodatná odchylka, která vyjadřuje variabilitu proměnné. Směrodatná odchylka ( ) je poměrně vysoká a potvrzuje, že v katastrofických škodách může docházet k velkým výkyvům ve výši plnění. Co se týče dalších charakteristik, které mohou pomoci představit si, jak se data chovají, patří šikmost 9,5 a špičatost 130,3. Kladná šikmost značí, že rozdělení má tzv. pravý ocas, neboli hodnoty na pravé straně jsou více odlehlé, než nalevo od střední hodnoty. Koeficient špičatosti má poměrně vysokou hodnotu a značí, že se většina hodnot nachází poblíž průměru, ale vzhledem k několika odlehlým hodnotám je přesto vysoký rozptyl. Pro lepší přehled je zde uvedena tabulka četností pojistných plnění: 68

69 Tabulka 8: Četnosti výše plnění z katastrofických škod interval četnost kumulativní četnost x<= <x<= <x<= <x<= <x<= <x<= <x Vlastní konstrukce z modelovaných dat. V příloze je uvedena tabulka s podrobnějším tříděním. I když rozdělíme data na více než dvacet intervalů, stéle se v jednom z nich vyskytuje přes 85 procent událostí. Je tedy vidět, že jen několik málo dat je odlehlých, ale většina je kumulována kolem průměru. Nulové hodnoty v souboru dat mohou být zavádějící, a je tedy vhodné je ze souboru zcela vyjmout. Každého pojistitele u pojistných smluv zajímá kolik škod a v jaké výši bude vyplaceno. Není-li z nahlášené pojistné události na smlouvě vyplaceno nic (je-li zde nulové pojistné plnění, ať už kvůli neoprávněnosti nároku nebo v důsledku vysoké spoluúčasti klienta), lze tuto smlouvu zařadit mezi ty s nulovým škodním průběhem a není třeba zahrnovat ji do výpočtů. Pokud nulová plnění eliminujeme, vypadne nám sice z tabulky četností první řádek a máme o 254 pozorování méně, ale popisné charakteristiky se nijak zásadně nezmění. Průměrná škoda se zvýší přibližně o na hodnotu ( ) a zůstává více než pětinásobkem mediánu ( ( ) ). Nejnižší plnění v tomto souboru už není nula, ale 299 Kč, což je oproti největší hodnotě převyšující 10 milionů zanedbatelná částka. Modus nelze určit, jelikož je zde více hodnot, které se vyskytují v celkovém souboru třikrát. Hodnoty kvartilů se sice o něco zvýšily, ale stále jsou poměrně nízké. Dolní kvartil je roven a horní kvartil je se svou hodnotou stále ještě menší než střední hodnota. Znamená to, že se v souboru vyskytuje velký počet škody s nízkým plněním hluboko pod střední hodnotou a s nemnoha škodami, které dalece přesahují střední hodnotu. Konkrétně hodnot nižších než střední hodnota je v souboru celkem 2784, zatímco vyšších je 569. Podprůměrných hodnot je tedy téměř pětinásobek. V novém datovém souboru se zvýšila i směrodatná odchylka ( ). Pouze šikmost (9,2) a špičatost (121,8) se oproti předchozímu případu snížily. Jelikož vyloučení nulových hodnot nemá nijak zásadní vliv na chování datového souboru jako celku, je možné je eliminovat. Po vyloučení nulových hodnot máme soubor s 3607 pozorováními a lze zanalyzovat, jaký typ rozdělení nejlépe odpovídá tomuto souboru. Jelikož při ověřování, zda se soubor dat řídí jednotlivými typy rozdělení, budeme využívat mimo jiného Kolmogorův-Smirnův test, jsou zde uvedeny teoretické hodnoty testovací statistiky pro různé hladiny významnosti Hladina významnosti je v podstatě riziko, že zamítneme hypotézu, která je pravdivá. 69

70 Vyšší hodnoty hladiny významnosti, již není třeba uvádět, jelikož by zde byl prostor pro velké chyby. Už 10% pravděpodobnost, že zamítneme platnou hypotézu, je poměrně vysoká. Nejprve zkusíme porovnat rozložení dat s log-normálním. Ze vzorců pro střední hodnotu a rozptyl, lze odhadnout parametry tohoto rozdělení: a. Pro ověření, zda se data dají modelovat log-normálním rozdělením, využijeme nejdříve K-S test. Hodnota K-S statistiky je, a jelikož teoretická hodnota této statistiky pro hladinu významnosti je, a tudíž, zamítneme na hladině významnosti 1 % hypotézu o log-normálním rozdělení. Při vyšší hladině významnosti nabývá teoretická hodnota K-S statistiky ještě nižších hodnot, a rozdělení tedy zamítáme i na vyšších hladinách významnosti. Jiným typem testu je -test, u kterého se nezamítá hypotéza, že má datový soubor dané rozdělení, pokud se její testovací statistika blíží nule. V našem případě nabývá ale empirická statistika velmi vysokých hodnot v řádu desítek (120,11 s 11 stupni volnosti), a platnost hypotézy tedy zamítáme. Oba testy dobré shody tedy zamítly hypotézu, že se pozorovaná data řídí log-normálním rozdělením. O něco vhodnějším rozdělením pro takovýto soubor dat je Paretovo rozdělení. Opět je třeba nejprve odhadnout parametry tohoto rozdělení: a. Už z grafického znázornění distribuční funkce je zřejmé, že se toto rozdělení téměř shoduje s empirickou distribuční funkcí a je vhodnější než log-normální, jak je vidět také na P-P grafu v příloze. Pro jistotu je přesto vhodné provést opět testy dobré shody. K-S statistika má v tomto případě hodnotu a je vidět, že opět zamítneme hypotézu o Paretově rozdělení na poměrně nízké hladině významnosti ( ). Také v -testu je hodnota testovací statistiky vysoká (169,48 s 11 stupni volnosti) a dojde tak k zamítnutí nulové hypotézy. 70

71 Graf 11: Empirická distribuční funkce log-normálního a Paretova rozdělení katastrofických škod Vlastní zobrazení modelovaných dat ze softwaru STATISTICA. Přesto je na první pohled zřejmé, že Paretovo rozdělení odpovídá datovému vzorku lépe než lognormální. V příloze je uvedeno také porovnání log-normálního rozdělení a Paretova rozdělní pomocí P-P grafů, u kterých jsou na ose x hodnoty teoretické distribuční funkce a na ose y hodnoty empirické distribuční funkce. Ideálně by tedy data měla tvořit přímku svírající s osou x úhel 45. Dalším typem spojitého rozdělení, které by mohlo odpovídat datovému souboru je gama rozdělení. Odhadnuté parametry mají hodnoty a a testovací K-S statistika. Opět tedy zamítáme naši hypotézu o gama rozdělení těchto dat. Pro parametr lze dostat z gama rozdělení exponenciální. Druhý parametr by potom měl hodnotu. Testy dobré shody ovšem v tomto případě zamítají nulovou hypotézu s ještě vyššími hodnotami, a je tedy zřejmé, že tento typ rozdělení není pro naše účely vůbec vhodný. Pouhým grafickým srovnáním lze ke stejnému závěru dospět i porovnáním P-P grafu v příloze. Podobně lze na základě grafického zhodnocení vyloučit Weibullovo rozdělení. Toto rozdělení má vypočtené parametry a. Splňuje tedy podmínku, že parametr a tedy je možné s ním modelovat data v neživotním pojištění. K-S statistika nabývá hodnoty a také -testovací statistika s hodnotou 722,77 s 11 stupni volnosti potvrzuje zamítnutí hypotézy o tomto rozdělení. Pokud budeme hledat rozdělení, které nejlépe odpovídá datům vyplaceného pojistného plnění, dostaneme se ke Gumbelovu rozdělení (rozdělení extrémních hodnot), které má nejnižší hodnotu -testu (45,44 a 10 stupni volnosti). Jedná se o rozdělení, které má pro náš soubor dat parametry a. Pokud pro posouzení platnosti hypotézy o rozdělení použijeme K-S test, máme hodnotu. Pro hladinu významnosti 1 % tedy nezamítáme hypotézu, že se data chovají podle Gumbelova rozdělení. Na 5% hladině 71

72 významnosti již nulovou hypotézu zamítáme. Je tedy vidět, že toto rozdělení z matematického hlediska nejlépe odpovídá empirickému souboru, přestože není úplně ideální. Graf 12: Empirická distribuční funkce Weibullova a Gumbelova rozdělení katastrofických škod Vlastní zobrazení modelovaných dat ze softwaru STATISTICA. Podle statistických výpočtů tedy výši pojistného plnění v katastrofických událostech nejlépe odpovídá Gumbelovo a případně Paretovo rozdělení, což kromě nízkých hodnot K-S statistiky potvrzují i grafy empirické distribuční funkce a P-P grafy uvedené v příloze. Méně vhodné, ale stále ještě použitelné by mohlo být log-normální a Weibullovo rozdělení Velké škody Stejný postup nyní aplikujeme na velké škody, které přesahují stanovenou hranici plnění, ale nejsou klasifikované jako extrémní události. Nejprve budou uvedeny základní popisné statistiky a poté stručně vhodnost použití jednotlivých typů rozdělení. Střední hodnota vyplaceného plnění pro velké škody je ( ), medián je ( ). Modus je opět nevypovídající, jelikož jej nelze jednoznačně určit. Již podle mnohem menšího rozdílu mezi průměrem a mediánem je zřejmé, že data nemají tolik odlehlá data, jako tomu bylo v případě katastrofických škod. Také hodnoty kvartilů jsou v tomto případě běžnější, jelikož medián i střední hodnota leží mezi nimi (0,25-kvartil = a 0,75-kvartil = ). U katastrofických škod ležel průměr až nad hodnotou horního kvartilu, což bylo způsobeno velmi vysokými odlehlými hodnotami. Směrodatná odchylka je nicméně stále poměrně velká: ( ). Data také nevykazují přílišné odchylky, co se šikmosti (1,19) a špičatosti (1,79) týká. Jelikož se zde nevyskytují žádné nulové hodnoty, není třeba data nijak upravovat a je možné rovnou analyzovat vhodnost využití jednotlivých rozdělení. V datovém vzorku velkých škod je pouze 105 údajů, takže je třeba přepočítat hodnoty K-S statistiky. 72

73 V tomto případě, dostaneme při modelování zcela odlišné výsledky. Log-normální rozdělení s odhadnutými parametry a poměrně dobře popisuje sledovaná dat. Hodnota K-S statistiky je v tomto případě, a nezamítáme tedy hypotézu na žádné z vypočtených hladin významnosti. Hodnota statistiky je také nízká (11,76 se 17 stupni volnosti), a lze tedy předpokládat, že se data chovají právě podle lognormálního rozdělení. Dalším rozdělením, u kterého nezamítneme na základě K-S testu s hodnotou nulovou hypotézu, že lze data modelovat právě tímto rozdělením, je Weibullovo s odhadnutými parametry a. Také hodnota statistiky je relativně nízká. Porovnání empirických distribučních funkcí s teoretickými pro toto a předchozí rozdělení jsou znázorněna na následujících grafech. Z těch je zřejmé na první pohled, že log-normální rozdělení odpovídá pozorovaným datům lépe než Weibullovo, což si lze mimo vypočtených hodnot testů dobré shody ověřit také na P-P grafech v příloze. Graf 13: Empirická distribuční funkce log-normálního a Weibullova rozdělení velkých škod Vlastní zobrazení modelovaných dat ze softwaru STATISTICA. V případě gama rozdělení jsou hodnoty odhadnutých parametrů a a K-S statistika s hodnotou nám opět umožňuje nezamítnout hypotézu, že mají sledovaná data právě toto rozdělení. statistika má také nízkou hodnotu (15,25 se 6 stupni volnosti). 73

74 Položíme-li dostaneme exponenciální rozdělení s parametrem. Toto rozdělení, ale podle testů dobré shody ani podle grafického porovnání neodpovídá vzorku dat, která máme k dispozici. K-S statistika ( ) stejně jako statistika (96 s 10 stupni volnosti) nám indikují zamítnutí nulové hypotézy. Pro grafické porovnání jsou v příloze uvedeny P-P grafy všech rozdělení zmíněných v této části, které jsou aplikované na velké škody. Ačkoli u katastrofických škod bylo Paretovo rozdělení jedním z nejvhodnějších, u velkých škod, které nejsou způsobeny katastrofou, není toto rozdělení dobré. Pro odhadnuté parametry a je K-S statistika rovna a se 17 stupni volnosti má hodnotu přes 80, a jsme tedy nuceni zamítnout hypotézu, že má soubor dat Paretovo rozdělení. I z grafického porovnání teoretické a empirické distribuční funkce je jasné, že toto rozdělení vůbec neodpovídá zkoumaným datům. Lépe než Paretovo rozdělení vzhledem k hodnotě K-S statistiky a statistiky (37,29 se 17 stupni volnosti) vychází i klasické normální rozdělení s parametry odpovídajícími střední hodnotě a směrodatné odchylce souboru dat ( a ). Porovnání P-P grafů lze opět nalézt v příloze a empirické distribuční funkce následují. Graf 14: Empirická distribuční funkce Paretova a normálního rozdělení velkých škod Vlastní zobrazení modelovaných dat ze softwaru STATISTICA. Nejlépe ovšem datům vyhovuje Johnson SB rozdělení s odhadnutými parametry,, a, kterému vychází K-S statistika a nezamítáme tedy nulovou hypotézu. Společně s Gumbelovým rozdělením s parametry a, které má hodnotu 11,76 se 19 stupni volnosti a K-S statistiku, je nejvhodnějším rozdělením pro modelování velkých škod. Následuje grafické porovnání jejich distribučních funkcí. 74

75 Graf 15: Empirická distribuční funkce Johnsonova a Gumbelova rozdělení velkých škod Vlastní zobrazení modelovaných dat ze softwaru STATISTICA. Nejvhodnějšími rozděleními pro modelování výše velkých škod, které nejsou klasifikovány jako katastrofické, jsou tedy v pořadí podle nejnižší hodnoty K-S statistiky: Johnson, Gumbelovo, lognormální, Weibullovo a normální, u kterých nezamítneme nulovou hypotézu o tom, že se data řídí právě tímto rozdělením. 75

76 76

77 Závěr Problematika řešená v této práci je pro pojišťovny velmi důležitá z hlediska jejich solventnosti a v současné době také zavádění evropské směrnice Solvency II, ve které jsou na pojišťovny mimo jiného kladeny větší požadavky na rizikové modelování a vytváření adekvátních rezerv pro zachování požadované míry solventnosti. Pro správné řízení rizik je třeba alespoň odhadem vědět, kolik prostředků bude potřeba ke krytí pojistného plnění v budoucnosti. Tento odhad musí být samozřejmě podložen relevantními daty a postupy. Jelikož se jedná o události budoucí, využívají se pro určení pravděpodobnosti jejich výskytu a výše pojistného plnění matematickostatistické metody společně s některými ekonomickými teoriemi. Je třeba brát v potaz, že veškeré modely ústí v odhad, který nelze brát za striktní predikci, jelikož se při výpočtu vychází z historických dat a jak známo, historie se nemusí opakovat. Může dojít k nějaké extrémní události, která vůbec nebyla v modelech zahrnuta, a ta potom otestuje stabilitu pojišťovny a správnost jejího řízení rizika. Pro modelování extrémních událostí (resp. k modelování počtu škod a výše škod při extrémních událostech) již nelze spoléhat pouze na základní teorii pravděpodobnosti a matematické statistiky, ale je třeba využít složitější matematický aparát doplněný expertními odhady. V práci byly nejprve stručně uvedeny základní instituty neživotního pojištění se zaměřením na teorii rizika, která je základem pro následné modelování. Značná část byla také věnována charakteristice a dělení extrémních událostí a uvedení příkladů. Nejčastějšími extrémními událostmi jsou především přírodní katastrofy, například povodně, zemětřesení, sopečná činnost apod. V České republice nicméně přicházejí v úvahu jen některé z nich. V největší míře se zde vyskytují právě povodně, následované vichřicemi a krupobitím. Nezanedbatelné škody jsou také na našem území způsobovány požáry. Z jiného hlediska lze mezi extrémní události zařadit také škody, které přesahují nějaký konkrétní limit, a tedy představují pro pojišťovnu jakýsi extrém, který nezapadá do modelů běžných (homogenních) škod. Takové události nemusí být způsobeny katastrofickou událostí, ale například zničením uměleckých děl, nových technologických či výzkumných objektů apod. Pojišťovny mohou k extrémním rizikům zaujímat různé postoje. Mohou tato rizika zcela vyloučit ze svého pojistného kmene, například zahrnutím do výluk, což je častá varianta. Tím ale ztrácí potenciální klienty a v některých případech tak může dojít k poskytnutí konkurenční výhody ostatním pojistitelům. Pokud se tedy pojišťovna rozhodne i takováto rizika pojišťovat, ale chce se chránit před možnými negativními důsledky, může se zachovat podobně jako pojistníci a využít institutu zajištění, čímž dojde ke snížení rizika. Jinou možností je také vytvoření pojišťovacího poolu. Nedojde-li k úplné eliminaci rizik je ale vždy třeba odhadnout možné náklady na pojistná plnění, tj. namodelovat vývoj počtu škod a jejich výše. Následující část práce (spolu s několika přílohami) shrnuje matematický aparát potřebný pro samotné modelování. Jsou zde uvedeny nejčastější typy rozdělení používané pro modelování počtu škod a výše škod v neživotním pojištění, které jsou dále prakticky využity v poslední části. Pro modelování byla využita data občansko-majetkového pojištění od roku 2002 do roku 2012 poskytnutá pojistným matematikem Ing. Mgr. Jakubem Mertlem z pojišťovny Direct. Vzhledem k obchodnímu tajemství se nejedná o zcela reálná data, nicméně datový vzorek byl upraven tak, aby odpovídal realitě a zůstaly zachovány veškeré trendy, které se v jednotlivých letech 77

78 vyskytovaly. Pro samotné modelování bylo využito statistického softwaru STATISTICA 12. Nejprve byla představena data včetně základních popisných statistik a dále byly modelovány počty škod a následně výše pojistného plnění. Jelikož byla v datovém vzorku obsažena jak data z katastrofických událostí, tak data velkých škod, které nebyly klasifikovány jako katastrofické, bylo nezbytné zpracovávat tyto soubory každý zvlášť, jelikož mají úplně jiné charakteristiky a jak vyplynulo z analýzy, chovají se také podle různých rozdělení. Nejvhodnějším rozdělením pro počty škod z katastrofických událostí je normální rozdělení, které mimo jiné aproximuje některá méně vhodná rozdělení. U velkých škod nedošlo ve většině případů k zamítnutí hypotézy o tom, že mají data jednotlivá rozdělení, a výsledek tedy nemá velkou vypovídací hodnotu. Počty škod z extrémních událostí jako celku pak odpovídají nejlépe log-normálnímu a Paretovu rozdělení, které dobře modeluje data s odlehlými extrémními událostmi. Pro modelování katastrofických událostí, resp. počtu pojistných plnění způsobených nějakou katastrofou jsou vhodné modely, které nevychází pouze z historických údajů a neopírají se čistě o matematickou teorii. U přírodních katastrof je velmi důležitým faktorem modelování profesionálů v oblasti meteorologie, kde se do výpočtů zahrnují geografické a jiné faktory, které slouží k lepšímu pochopení a předpovědi výskytu takových událostí. Výše škod podle provedených modelů odpovídá v katastrofických událostech nejlépe Paretovu a Gambelovu rozdělení, zatímco u velkých (ne katastrofických) škod odpovídají data spíše několika následujícím rozdělením (řazeným od nejnižší K-S statistiky): Johnsonovo, Gambelovo, log-normální, Weibullovo a normální rozdělení, u kterých nezamítneme nulovou hypotézu v testech dobré shody. Některá rozdělení nejsou pro modelování této problematiky vůbec vhodná. Například Beta rozdělení, které má hustotu ve tvaru písmene U a předpokládá tedy, že kolem střední hodnoty bude pouze málo škod, což se vymyká rozdělení zkoumaného souboru dat, není vůbec příhodné pro modelování extrémních událostí. Tato práce si v žádném případě neklade za cíl vyrovnat se světovým agenturám provádějícím modelování v této oblasti. Cílem práce bylo analyzovat jednotlivé typy používaných rozdělení a aplikovat je na reálný datový vzorek. Bohužel je v dnešní době téměř každý podrobný datový soubor předmětem obchodního tajemství a ani po ujištění, že nebude práce obsahující takto důvěrná data zveřejněna, není na straně vlastníků takových souborů ochota ke sdílení. Proto si velmi cením poskytnutí dat pro tuto práci, byť není tak podrobné a obsáhlé, jak by bylo vhodné. Modelování výskytu škod a jejich výše v neživotním pojištění v extrémních událostech je závislé na dostatečném počtu podrobných nejlépe světových dat. Taková data mají ovšem k dispozici pouze velké zajišťovny a pouze několik málo agentur provádí detailní modely a pojišťovny i světové zajišťovny od nich modely, resp. výsledky těchto modelů, přejímají a neprovádí si analýzy vlastní. Takový přístup je pochopitelný, jelikož personální a softwarové nároky a samozřejmě také nároky na detailní a rozsáhlé datové soubory pro dostatečně vypovídající modely a analýzy jsou velmi vysoké a pro běžné pojišťovny a jednotlivce nereálné. 78

79 Seznam literatury odborné publikace [1] BÍLKOVÁ, Diana, Petr BUDINSKÝ a Václav VOHÁNKA. Pravděpodobnost a statistika. Plzeň : Vydavatelství a nakladatelství Aleš Čeněk, 2009, 639 s. ISBN [2] BOOTH, P. Modern Actuarial Theory and Practice. 2nd ed. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, xxxiii, 79. ISBN [3] BOROWIAK, Dale S. Financial and Actuarial Statistics : An Introduction. New York : Marcel Dekker, Inc., s. ISBN [4] CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika : teorie a praxe. Vydání II. Praha : Ekopress, s. ISBN [5] CIPRA, Tomáš. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Vydání II. Praha : Ekopress, s. ISBN [6] CIPRA, Tomáš. Zajištění a přenos rizik v pojišťovnictví. První vydání. Praha : GRADA Publishing, s. ISBN [7] ČÁMSKÝ, František. Pojistná matematika II. 1. vyd. Brno : Masarykova univerzita, 2004, 84 s. ISBN [8] ČÁMSKÝ, František. Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění. 1. vydání. Brno : Masarykova univerzita, s. ISBN [9] EMBRECHTS, Paul, Claudia KLÜPPELBERG, Thomas MIKOSCH. Modelling Extremal Events : For Insurance and Finance. corr. 4th printing, Springer-Verlag, s. ISBN [10] MANDL, Petr a Lucie MAZUROVÁ. Matematické základy neživotního pojištění. Vyd. 1. Praha : Matfyzpress, 1999, 113 s. ISBN [11] MIKOSCH, Thomas. Non-Life Insurance Mathematics : An Intrudoction with Stochastic Processes. Corrected Second Printing. Berlin : Springer-Verlag, s. ISBN [12] PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. 3. vyd. Bratislava : IURA EDITION, 2004, 261 s. ISBN [13] PROMISLOW, S. David. Fundamentals of Actuarial Mathematics. Chichester: John Wiley & Sons, xix, 372 s. ISBN [14] ŘEZÁČ, František. Řízení rizik v pojišťovnictví. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita. Ekonomicko-správní fakulta, 2011, 222 s. ISBN [15] ŠLOSAR, Dušan, Jan STEKLÍK. Jazyčník, Vydání první. Praha : Dokořán, s. ISBN internetové zdroje [1] aktuálně.cz Největší jaderné havárie v dějinách [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [2] BUČKOVÁ, Michaela, HEGER, Lubomír. SPECIÁL: Hurikán Katrina ve faktech a obrazech [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < /domaci.aspx?c=a050831_094317_prilohy_bih> [3] ČAP.cz Povodňové mapy [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 79

80 [4] deník.cz Tragédie na Kaprunu míří k soudu pro lidská práva [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [5] idnes.cz Tunel je po tragickém požáru opět v provozu [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < /zahranicni.aspx?c=990825_144513_zahranicni_itu> [6] Český statistický úřad. Inflace druhy, definice, tabulky [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [7] Jaderná bezpečnost: Bezpečnost jaderné elektrárny Temelín [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [8] Jaderná bezpečnost: Riziko nehody atomové elektrárny [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [9] KŘEN, Josef. 2008: v Praze došlo k jednomu z největších požárů poslední doby, hořel Průmyslový palác [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [10] MAREK, Petr. Riziko přístupy k jeho vymezení [online] VŠB-TU Ostrava. 2010, [cit ]. Dostupné na WWW: < sites-root/ekf/konference/cs/okruhy/rmfr/prispevky/dokumenty/marek.petr.pdf> [11] Mathwave. Johnson SB Distribution [online][cit ]. Dostupné na WWW: < [12] Meteocentrum.cz Encyklopedie meteorologie a klimatologie Vítr [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [13] Ministerstvo vnitra České republiky. Definice pojmu terorismus [online] Odbor bezpečnostní politiky [cit ]. Dostupné na WWW: < definice-pojmu-terorismus.aspx> [14] Munich RE Press release, Natural catastrophe statistics for 2012 dominated by weather extremes in the USA [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < ress_release.aspx> [15] Novinky.cz VIDEO: Mohutná krajta velká jako mikrobus narušila rodinný piknik [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < video-mohutna-krajta-dlouha-jako-mikrobus-narusila-rodinny-piknik.html> [16] Novinky.cz Zemětřesení v Japonsku bylo šesté nejsilnější v novodobé historii [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [17] Požáry.cz 2000: Při požáru rakouské lanovky zemřelo 155 lidí, byla mezi nimi i Češka [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 155-lidi-byla-mezi-nimi-i-ceska/> [18] The Weather Channel Katrina s statistics tell story of its wrath [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < katrinastats.html> [19] Triglav.cz Archív aktualit Povodeň nebo záplava? [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < 80

81 [20] VACA, Jan, VESELÝ, Jan. Hygienici: Požár chemičky vzduch neotrávil [online] [cit ]. Dostupné na WWW: < [21] WEISSTEIN, Eric W. Extreme Value Distribution [online] MathWorld : A Wolfram Web Resource [cit ]. Dostupné na WWW. < ExtremeValueDistribution.html> články z periodik [1] Aktuality ze zahraničí : Nejnebezpečnější místo na světě. Pojistný obzor, 2001, roč. 78, č. 8, str [2] Aktuality ze zahraničí : Tokio nejrizikovější město. Pojistný obzor, 2003, roč. 80, č. 6, str. 15 [3] Pojistný trh České republiky Pojistné rozpravy, 2011, č. 27, str. 25 [4] Pojišťovny a povodně v letech Pojistný obzor, 2000, roč. 77, č. 11, str. 5 [5] Základní fakta o povodních v České republice v posledních letech. Pojistný obzor, 2002, roč. 79, č. 9, str. 4 [6] Zemětřesení v Japonsku ovlivní globální zajistný trh, říká člen představenstva VIG Re. Pojistný obzor, 2011, roč. 88, č. 2, str [7] BÁNOVSKÝ, Ivo. Povodně povodňové zóny. Pojistné rozpravy, 2011, č. 27, str [8] ČECHOVÁ, Jana. Emma a Kyrill Nic výjimečného. Pojistný obzor, 2008, rč. 85, č. 3, str. 20 [9] ČÍŽEK, Josef. Ochrana proti povodním: Evropská komise navrhuje jednotný postup EU. Pojistný obzor, 2005, roč. 82, č. 4, str. 3-4 [10] ČÍŽEK, Lukáš. Konference Benfield: Důsledky výskytu orkánu Kyrill. Pojistný obzor, 2007, roč. 84, č. 8, str. 10 [11] DRÁPAL, Roman. Oceňování rizikového XL zajištění. Pojistné rozpravy, 2011, č. 27, str [12] DUCHÁČKOVÁ, Eva. Katastrofy a světové pojišťovnictví v roce Pojistný obzor, 2007, roč. 84, č. 3, s [13] HRDÝ, Martin. Podcenění rizika terorizmu není na místě. Pojistný obzor, 2011, roč. 88, č. 3, str [14] HRUBEŠ, Josef. Velké pojistné události : Ničivá povodeň v roce 1890 v Praze. Pojistný obzor, 2004, roč. 81, č. 9, str. 18 [15] HRUBEŠ, Josef. Velké pojistné události : Požár Národního divadla. Pojistný obzor, 2004, roč. 81, č. 1, str. 18 [16] HRUBEŠ, Josef. Velké pojistné události : Požár Veletržního paláce. Pojistný obzor, 2004, roč. 81, č. 5, str. 18 [17] HRUBEŠ, Josef. Velké škody : Největší požár v historii Prahy. Pojistný obzor, 2006, roč. 83, č. 7, str. 18 [18] JANATA, Jiří. Největší majetkové škody v průmyslu zpracování ropy. Pojistný obzor, 2011, roč. 88, č. 4, str [19] JANATA, Jiří. Rizika v chemickém průmyslu a jejich omezování. Pojistný obzor, 2001, roč. 78, č. 8, str [20] JANATA, Jiří. Problematika živelního pojištění v České republice. Pojistný obzor, 2007, roč. 84, č. 3, s [21] JANATA, Jiří. Velké požáry v České republice. Pojistný obzor, 2008, roč. 85, č. 4, str

82 [22] JANATA, Jiří. Zemětřesení na Haiti či erupce islandské sopky. I takový byl rok Pojistný obzor, 2011, roč. 88, č. 2, str [23] KALOUDA, František a Jan KRAJÍČEK. Problematika živelních pohrom. Pojistný obzor, 2007, roč. 84, č. 8, str. 5-6 [24] KELLER, Josef. Orkán v boji s vichřicí. Pojistný obzor, 2008, roč. 85, č. 3, str [25] KOVÁRNOVÁ, Marie. Katastrofy roku Pojistný obzor, 2000, roč. 77, č. 11, str [26] LLOYD S COMMUNICATIONS. Africké pirátství je globální hrozbou. Pojistný obzor, 2012, roč. 89, č. 2, str [27] MAJTÁNOVÁ, Anna a Peter MARKO. Teroristické riziká a opatrenie štátu při ich krytí (1. část). Pojistný obzor, 2007, roč. 84, č. 8, str. 6-8 [28] MESRŠMÍD, Jaroslav. 10 let od povodně na Moravě. Pojistný obzor, 2007, roč. 84, č. 8, str. 3-4 [29] MESRŠMÍD, Jaroslav. Pojišťovací pooly a jejich úloha v pojištění. Pojistný obzor, 2002, roč. 79, č. 7, str. 5 [30] MV-generální ředitelství HZS ČR. Statistická ročenka 2012 Česká republika : Požární ochrana, Integrovaný záchranný systém, Hasičský záchranný sbor ČR, Praha, 2013 [31] NEUWIRTH, Michael. Pojištění živelních událostí: Jaký bude další vývoj. Pojistný obzor, 2010, roč. 87, č. 4, str [32] PLÁŠEK, Aleš. Tragédie v Maďarsku: Ekologická katastrofa optikou pojištění. Pojistný obzor, 2010, roč. 87, č. 4, str. 23 [33] STEJSKAL, Vladimír. Vývoj a trendy v oblasti katastrofického modelování. Pojistný obzor, 2011, roč. 88, č. 1, str [34] SVOBODOVÁ, Eva. Zrádné tunely: I běžné nehody mohou znamenat katastrofu. Pojistný obzor, 2004, roč. 81, č. 4, str. 15 [35] ŠKORPIL, Michal. Hurikány metla i činitel rozvoje světového pojišťovnictví a zajištění (1. část). Pojistný obzor, 2006, roč. 83, č. 2, str. 11 [36] ŠKORPIL, Michal. Nový obrat při likvidaci škod WTC. Pojistný obzor, 2003, roč. 80, č. 11, str. 16 [37] TACL, Miroslav. Útoky na USA představovaly novou dimenzi rizika. Pojistný obzor, 2003, roč. 80, č. 10, str. 3 [38] Tisková zpráva ČAP. Povodně úloha státu, pojišťoven a zajišťoven. Pojistný obzor, 2000, roč. 77, č. 11, str. 3 [39] TROJANOVÁ, Eva. Zeptali jsme se ředitele Úřadu státního dozoru v pojišťovnictví a penzijním připojištění Ministerstva financí Ing. Václava Křivohlávka, CSc. V jakém stádiu je řešení problematiky povodní z let ? Pojistný obzor, 2000, roč. 77, č. 10, str. 16 další zdroje [1] Zákon č. 37/2004 Sb., o pojistné smlouvě v platném znění [2] Zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví v platném znění [3] Vyhláška Ministerstva vnitra č. 246/2001 Sb., o stanovení podmínek požární bezpečnosti a výkonu státního požárního dozoru v platném znění (vyhláška o požární prevenci) [4] Ministerstvo vnitra generální ředitelství Hasičského záchranného sboru České republiky. Statistická ročenka 2012 Česká republika [5] Zákon č. 89/2012 Sb., občanský zákoník v platném znění 82

83 Seznam tabulek Tabulka 1: Stupnice INES Tabulka 2: Souhrnný přehled dat od roku 2002 do Tabulka 3: Počet pojistných plnění v modelovaných datech podle jednotlivých let Tabulka 4: Pojistné plnění v modelovaných datech podle jednotlivých let Tabulka 5: Počet škod v modelovaných datech na pojistných smluv Tabulka 6: Míra inflace v ČR od roku Tabulka 7: Pojistné plnění v modelovaných datech v cenách roku Tabulka 9: Četnosti výše plnění z katastrofických škod Seznam grafů Graf 1: Podíl životního a neživotního pojištění Graf 2: Počet pojistných událostí při povodních v roce 1997 dle jednotlivých segmentů Graf 3: Počet požárů v ČR od roku Graf 4: Průměrné škody na jeden požár v ČR od roku Graf 5: Rozdělení škod z 11. září 2001 podle jednotlivých pojistných odvětví Graf 6: Poruchy v elektrárně Temelín podle INES Graf 7: Podíl škod a obětí podle jednotlivých katastrofických příčin Graf 8: Výše pojistného a výše pojistného plnění v jednotlivých letech Graf 9: Výše pojistného plnění podle typu škod Graf 10: Výše pojistného plnění podle typu škod v cenách roku Graf 11: Empirická distribuční funkce log-normálního a Paretova rozdělení katastrofických škod Graf 12: Empirická distribuční funkce Weibullova a Gumbelova rozdělení katastrofických škod Graf 13: Empirická distribuční funkce log-normálního a Weibullova rozdělení velkých škod Graf 14: Empirická distribuční funkce Paretova a normálního rozdělení velkých škod Graf 15: Empirická distribuční funkce Johnsonova a Gumbelova rozdělení velkých škod

84 Seznam příloh Příloha č. 1: Požáry v České republice Příloha č. 2: Beauffortova stupnice Příloha č. 3: Hurikán Katrina a Saffir-Simpsonova stupnice Příloha č. 4: Přírodní katastrofy Příloha č. 5: Základní příklady modelování počtu škod Příloha č. 6: Základní příklady modelování výše škod Příloha č. 7: Metoda maximální věrohodnosti Příloha č. 8: Testy dobré shody Příloha č. 9: Četnosti výše plnění z katastrofických škod Příloha č. 10: Krabicové grafy výše škod Příloha č. 11: P-P grafy jednotlivých rozdělení pro katastrofické škody Příloha č. 12: P-P grafy jednotlivých rozdělení pro velké škody Příloha č. 13: Fotodokumentace k jednotlivým pojistným událostem 84

85 Příloha č. 1: Požáry v České republice Tab.: Údaje o požárech v ČR v letech rok počet požárů škoda (Kč) usmrceno zraněno 1996 a Vlastní konstrukce na základě údajů z MV generální ředitelství HZS ČR, Statistická ročenka 2012 Česká republika, 2013, str. 25. Příloha č. 2: Beauffortova stupnice Tab.: Beauffortova stupnice síly větru stupeň označení rozpoznávací znaky rychlost (m/s) 0 bezvětří kouř stoupá kolmo vzhůru 0,0-0,2 1 vánek směr větru je poznatelný podle pohybu kouře, vítr neúčinkuje na větrnou korouhev 0,3-1,5 2 slabý vítr vítr je cítit ve tváři, listy stromu šelestí 1,6-3,3 3 mírný vítr listy stromů a větvičky jsou v trvalém pohybu 3,4-5,4 4 dosti čerstvý vítr vítr zvedá prach, pohybuje slabšími větvemi 5,5-7,9 5 čerstvý vítr 6 silný vítr listnaté keře se začínají hýbat, na vodních plochách se tvoří menší vlny vítr pohybuje silnějšími větvemi, je těžké používat deštník 8,0-10,7 10,8-13,8 7 prudký vítr vítr pohybuje celými stromy, chůze proti větru je obtížná 13,9-17,1 8 bouřlivý vítr vítr ulamuje větve, chůze proti větru je téměř nemožná 17,2-20,7 9 vichřice vítr způsobuje menší škody na stavbách 20,8-24,4 10 silná vichřice vyvrací stromu, způsobuje větší škody na stavbách 24,5-28,4 11 mohutná vichřice působí rozsáhlá zpustošení 28,5-32,6 12 orkán ničivé účinky 32,7 a více Převzato z Meteocentrum.cz Encyklopedie meteorologie a klimatologie Vítr [online]. Dostupné na <

86 Příloha č. 3: Hurikán Katrina a Saffir-Simpsonova stupnice Obr.: Cesta hurikánu Katrina v roce 2005 a Saffir-Simpsonova stupnice Převzato z <