Životní pojištění s podílem na zisku

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Životní pojištění s podílem na zisku Bakalářská práce Kateřina Chábová Vedoucí práce: Mgr. Silvie Kafková, Ph.D. Brno 2016

2 Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Kateřina Chábová Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Životní pojištění s podílem na zisku Matematika Finanční a pojistná matematika Mgr. Silvie Kafková, Ph.D. Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: Klíčová slova: ix + 36 životní pojištění; netto pojištění; pojištěnci; technické rezervy; investiční pojištění; úmrtnostní tabulky; podíly na zisku; bonusy

3 Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Kateřina Chábová Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics With-profits policy Mathematics Financial and insurance mathematics Mgr. Silvie Kafková, Ph.D. Academic Year: 2015/2016 Number of Pages: Keywords: ix + 36 life insurance; net insurance; policyholders; technical reserves; unit-linked; life tables; shares of profits; bonuses

4 Abstrakt Cílem této bakalářské práce je analýza různých typů pojištění s podílem na zisku. Nejprve vysvětlíme základní terminologii používající se v pojišťovnictví. Dále uvedeme jednotlivé metody a formy podílení se pojištěnců na zisku pojišťoven. Na závěr uvedeme praktické příklady od pojišťoven, které fungují na českém pojistném trhu. Abstract The goal of this Bachelor s thesis is analysis of various types of insurance profits. To begin, we define the basic terms that are used in insurance theory. In the next section there are mentioned the various methods and forms of sharing profits by policyholders of the commercial insurance company. In conclusion we introduce practical examples from insurers that operate on the Czech insurance market.

5

6 Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat Mgr. Silvii Kafkové, Ph.D za cenné rady a trpělivost při jejím vypracování. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 23. května Kateřina Chábová

7 Obsah Úvod viii Kapitola 1. Základní pojmy Kapitola 2. Princip pojištění Princip ekvivalence Kapitola 3. Úmrtnostní tabulky Modelování úmrtnosti Tvar úmrtnostních tabulek Komutační čísla Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění Brutto pojistné Rezervy pojistného životních pojištění Netto rezerva Brutto rezerva Kapitola 5. Podíl na zisku Praxe Kooperativa a.s NN pojišťovna Komerční pojišťovna a.s Česká Pojišťovna a.s Daňová úleva Investiční pojištění Závěr Příloha Seznam tabulek Seznam použité literatury

8 Úvod Životní pojištění je důležitou součástí pojistného trhu a našich životů. S jeho pomocí jsme schopni krýt rizika úrazu, invalidity, pobytu v nemocnici a smrti. Díky němu máme jistotu, že v důsledku nepříznivých událostí zůstaneme my, nebo naši blízcí finančně zajištěni. Pojišťovny za nás tato rizika přebírají a v případě jejich naplnění nám pomůžou se s ním vypořádat. Kromě krytí rizik se pojišťovny věnují ještě vedlejší úloze, a to je investování našich financí, které jim svěříme. Berou na sebe tedy další riziko, a tím je investiční riziko, tj. riziko související s úrokovou mírou, když pojišťovna poskytuje finanční garance. Toto riziko spočívá v tom, že garantovaná pojistná suma je menší než suma, kterou pojišťovna nakumulovala z pojistného zmenšeného o všechny náklady pojišťovny souvisejících s produktem. Pojišťovna tedy nese riziko, že uvedený výnos bude menší než předpokládala, a potom nebude schopna vyplatit garantovanou pojistnou částku. Nejen kvůli existenci tohoto druhu rizika si pojišťovna vytváří rezervy. Podle zákona č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, jsou pojišťovny, které poskytují životní pojištění, povinny vytvářet technické rezervy. Ve své práci se budu zabývat speciálním případem životního pojištění,a to kapitálovým pojištěním s podílem na zisku pojišťovny. Někdy jsou tyto podíly také označovány jako tzv. podíly na výnosech z rezerv pojištění. Samotné pojištění se skládá ze dvou složek, a to z rizikové a rezervotvorné. Rezervotvornou složku pojišťovna dále zhodnocuje a klient má garantovanou část z jejího zisku. Tato garantovaná část je dána technickou úrokovou mírou, ale může být navýšena o tzv. podíl na zisku. Jedná se v podstatě o jakýsi druh spoření, který má dlouhou historii a prošlo mnoha změnami. Podobné produkty byly nabízeny již za Rakouska-Uherska, první republiky i za dob komunismu. Základní idea zůstala vždy stejná a lišila se pouze výše podílu. Zatímco za dob Rakouska-Uherska byla poměrně nízká, během první republiky mírně vzrostla. Po měnové reformě v roce 1953 byl zvýšen úrok využívaný pro počítání pojistného a rezervy z původních 2, 5% na 4%. V novodobých dějinách byla garantovaná míra zhodnocení rezerv, tzv. technická úroková míra, několikrát změněna a její výši určuje Česká národní banka. Cílem mé práce je objasnit fungování podílení se pojištěnců na zisku pojišťovny a rovněž analýza aktuálních produktů na českém pojistném trhu. Svou práci jsem viii

9 Úvod ix rozdělila do pěti kapitol. V první kapitole jsou zadefinovány základní pojmy, které se vyskytují v každé pojistné smlouvě a odborné literatuře zabývající se pojistnou teorií a praxí. Následuje vysvětlení principu pojištění a principu ekvivalence. Další kapitola je věnovaná úmrtnostním tabulkám a komutačním číslům, které využívám v navazující kapitole, kde jsou vypsány základní vzorce pro výpočet pojistného a rezerv pojišťovny pro jednotkovou pojistnou částku. V této kapitole jsou také uvedeny příklady pro názornou ukázku samotného výpočtu. Poslední a nejdůležitější kapitola je věnovaná samotnému podílu na zisku. Obsahuje vzorce pro výpočet podílu na zisku, a také několik aktuálních produktů, které u nás nabízejí naše největší pojišťovny. Kapitola je opět doplněna o ukázkový příklad skutečných výnosů, které mohou pojištěnci získat, budou-li využívat toto pojištění. V závěru kapitoly provedu porovnání s oblíbenějším druhem pojištění a to investičním pojištění. Všechna komutační čísla jsou z úmrtnostní tabulky z roku 2013, která je uvedena v příloze mé práce.

10 Kapitola 1 Základní pojmy Jako první si zadefinujeme několik základních pojmů, bez jejichž znalosti se neobejdeme. Tyto pojmy se vyskytují v každé odborné literatuře i pojistných smlouvách. Pojistitel -Právnická osoba, obvykle pojišťovna, která je oprávněna provozovat pojišťovací činnost podle zákona. Pojistník -Osoba, která s pojistitelem uzavřela pojistnou smlouvu a platí pojistné. Pojištěný -Osoba, na jejíž život, zdraví, majetek, odpovědnost za škodu nebo jiné hodnoty pojistného zájmu se soukromé pojištění vztahuje. Oprávněná osoba Osoba, které v důsledku pojistné události vznikne právo na pojistné plnění. Někdy se používá výraz obmyšlená osoba. Pojistná smlouva Písemná dohoda mezi pojistitelem a pojistníkem, kterou se obě strany zavazují plnit pojistné podmínky v ní uvedené. Pojistné Úplata za soukromé pojistné ( cena pojištění). Pojistné plnění Náhrada za vzniklou škodu. Pojistná doba Doba, na kterou bylo soukromé pojištění sjednáno. Pojistné období Časové období dohodnuté v pojistné smlouvě, za které se platí pojistné. Současná hodnota pojištění Současná hodnota očekávaných částek, které bude muset v rámci tohoto pojištění pojišťovna vyplatit. Pojistná částka Maximální plnění pojišťovny dohodnuté v pojistné smlouvě. 1

11 Kapitola 1. Základní pojmy 2 Pojistně-Technická úroková míra (TUM) Úroková míra využívaná při výpočtu zhodnocení pojistné rezervy v životním pojištění. Klienti mají na toto zhodnocení smluvní nárok a její maximální výši vyhlašuje ČNB. Úroková míra je v době trvání pojištění neměnná. Čili po celou dobu trvání pojištění se počítá s výší TUM, která byla stanovena na začátku pojištění. Jedná se vlastně o minimální zhodnocení, které mají klienti garantované od své pojišťovny. Není to ale jediné zhodnocení, které může klient získat. Svůj zisk na pojistné smlouvě může oprávněná osoba zvýšit o podíly na výnosech pojišťovny. Celkový zisk může být tedy i o několik procent vyšší, než kolik je Pojistně-Technická úroková míra vyhlášená ČNB. Tento rok ČNB ponechala TUM na 1, 3%. Vývoj TUM v České Republice ukazuje následující Tabulka 1.1. V tabulce jsou uvedeny pouze roky, v nichž došlo ke změně výše TUM. Rok TUM 4, 0% 2, 4% 2, 5% 1, 9% 1, 3% Tabulka 1.1: Vývoje TUM, zdroj: [10]

12 Kapitola 2 Princip pojištění Pokud se ekonomický subjekt rozhodne využít pojištění, tak riziko vzniku náhodné události na sebe přebírá pojišťovna. Pojištění je tedy nástroj finanční eliminace negativních důsledků nahodilosti. Pojištění samotné nemůže ovlivňovat výskyt náhodných událostí a vznik škod, ale finančně nahrazuje ztráty při realizaci oné události. Pojištění je také důležitým odvětvím v tržní ekonomice, které je založeno na pojistné ochraně, krytí rizik a tvorbě pojistných rezerv. Základní principy pojištění: Solidárnost I když všichni pojistníci platí pojistné, které se ukládá do rezerv pojišťovny, pojistné plnění bude vyplaceno pouze tomu, u něhož nastala pojistná událost blíže určená v pojistné smlouvě. Podmíněná návratnost Oprávněné osobě bude poskytnuta pojistná náhrada pouze v případě, že nastala pojistná událost blíže určena v pojistné smlouvě. Neekvivalentnost - Výše pojistné náhrady nezávisí na výši zaplaceného pojistného. Může být tedy vyšší nebo nižší. 2.1 Princip ekvivalence Základní princip, na kterém jsou založeny všechny pojistně-matematické výpočty v životním, ale i neživotním pojištění, vychází z logického požadavku, aby se příjmy pojišťovny rovnaly jejím výdajům. Ovšem na konci trvání pojištění mají pojišťovny vyšší zisky než náklady. Takto vzniká zisk, který většinou pojišťovna přerozděluje zpětně klientům jako jejich podíl na zisku. 3

13 Kapitola 2. Princip pojištění 4 Při využívání pojistně-matematických výpočtů, musí pojišťovna odhadnout své budoucí příjmy a výdaje. Při těchto výpočtech pojišťovna zohledňuje především tyto dva aspekty: Časové rozložení příjmů a výdajů Obvykle se finanční toky rozložené v čase pomocí diskontování vztáhnou do počáteční hodnoty, nebo úročením do jejich koncové hodnoty. V životním pojištění se diskontuje pomocí diskontního faktoru, a to většinou k okamžiku uzavření pojištění. Náhodný charakter finančních toků Pojišťovna musí brát v úvahu, že jak pojistné plnění, tak pojistné nemusí v budoucnosti nastat, např. nedojde k úrazu, smrt klienta, atd. V praxi se proto počítá s očekávanými hodnotami, tj. se středními hodnotami příslušných náhodných veličin. Díky těmto aspektům pojišťovny oceňují své příjmy a výdaje pomocí očekávaných počátečních hodnot. Princip ekvivalence pak tedy vyjadřuje rovnice Očekávaná počáteční hodnota pojistného=očekávaná počáteční hodnota pojistného plnění.

14 Kapitola 3 Úmrtnostní tabulky Úmrtnostní tabulka je jeden ze základních nástrojů pro výpočty v životním pojištění. Pomocí demografických metod na základě pozorování velkých populačních souborů (celé populace, pojistných kmenů, atd.) lze odhadnout pravděpodobnost úmrtí mužů a žen různých věkových kategorií. Odtud poté můžeme odhadnout spoustu dalších důležitých charakteristik. Je důležité dodat, že nás informují o úmrtnosti populace, v níž nedochází k migraci obyvatelstva a nemění se ani velikost a věkové složení populace. Rozlišujeme typy tabulek: Úplné jednoleté věkové intervaly; Zkrácené víceleté věkové intervaly; Běžné vychází z úmrtnostních zkušeností populace během krátkého časového období obvykle 10 let; Generační udávají skutečný záznam průběhu života konkrétní generace; V pojišťovací praxi se pracuje zejména s běžnými úmrtnostními tabulkami. 3.1 Modelování úmrtnosti Pojistná událost v rámci pojištění osob spočívá v úmrtí nebo dožití se určitého věku. Úmrtnost můžeme charakterizovat následujícím způsobem: Máme dva stavy, a to naživu a zemřelý. O každém stavu můžeme jednoznačně rozhodnout. Přechod mezi uvedenými stavy nastane pouze jedním směrem, označovaným jako úmrtí. 5

15 Kapitola 3. Úmrtnostní tabulky 6 Okamžik úmrtí je sice nezvratný, ale náhodný. Popíšeme ho pouze s využitím pravděpodobnostních nástrojů, s jejichž pomocí dokážeme vytvořit pravděpodobnostní model úmrtnosti. Jako základ modelu úmrtnosti můžeme položit veličinu T 0, která představuje délku života právě narozeného jedince. Měří se v letech, ale může nabývat i neceločíselných hodnot na spojité časové ose. Jedná se tedy o spojitou náhodnou veličinu. Model úmrtnosti je založen na představě, že náhodně vybereme jedince z velké skupiny x-letých. Jeho budoucí délku života sice neznáme, ale můžeme na ni pohlížet jako na náhodnou veličinu s odhadnutelným pravděpodobnostním rozdělením. Distribuční funkce naší náhodné veličiny vypadá následovně F 0 (t) = P(T 0 t), díky spojitosti můžeme psát P(T 0 t) = P(T 0 < t). Někdy se také zavádí funkce přežití S 0 (t) = P(T 0 > t) = 1 F 0 (t). Jako T x označíme náhodnou veličinu vyjadřující budoucí délku života ve věku x za podmínky, že daný jedinec se dožil věku x. Kvůli této podmínce nemůžeme pravděpodobnostní rozdělení T x založit na vztahu T x = T 0 x, ale musíme distribuční funkci délky života ve věku x spočítat pomocí podmíněné pravděpodobnosti: F x (t) = P(T x t) = P(T 0 x + t T 0 > x) = P(x < T 0 x + t) P(T 0 > x) = F 0(x + t) F 0 (x). 1 F 0 (x) (3.1.1) Podobně pro funkce přežití ve věku x platí: S x (t) = P(T x > t) = P(T 0 > x + t T 0 > x) = P(T 0 > x + t) P(T 0 > x) = S 0(x + t). (3.1.2) S 0 (x) Dále označíme jako střední délku života ve věku x za podmínky, že daný jedinec se dožil věku x. Udává průměrný počet zbývajících let života jedince ve věku x. e x = E(T x ) (3.1.3)

16 Kapitola 3. Úmrtnostní tabulky 7 Náhodná veličina T 0 má pravděpodobnostní hustotu f 0 (t) = t F 0(t) = t tp 0. Pak je pravděpodobnostní hustota náhodné veličiny T x tvaru f x (t) = t F x(t) = t F 0 (x + t) F 0 (x) 1 F 0 (x) = t x+t p 0 x p 0 = t t p x. (3.1.4) Důležitým pojmem je také intenzita úmrtnosti ve věku x (značíme µ x ), jejíž přesné vyjádření zní: µ x = f 0(x) = 1 x p 0 x p 0 x x p 0 = x ln( x p 0 ) V praxi bývá pouze pravděpodobnost p x pro celočíselné x jediným zdrojem pro výpočet µ x. V takovém případě můžeme využít následující aproximaci S využitím vzorce µ x Tvar úmrtnostních tabulek 0 µ x 1+s ds = 1 2 ln( 2p x 1 ). (3.1.5) t np x = exp( µ x+s ds). (3.1.6) 0 Sloupce úmrtnostních tabulek zpravidla obsahují tyto hodnoty: x -věk, např. x = 0, 1,..., ω (poslední ω znamená dosažení věku ω a více) l x -Počet dožívajících se věku x. Vyjadřuje počet jedinců z populace l 0 současně narozených jedinců, kteří se dožijí věku x. l 0 -Kořen úmrtnostní tabulky. Vyjadřuje počet osob současně narozených jedinců. l 0 l 1 l Dekrementní řád vymírání populace. Vyjadřuje vymírání populace. d x -Počet zemřelých ve věku x. Vyjadřuje počet jedinců z l 0, kteří zemřou ve věku x. Většinou vyjadřuje počet zemřelých za jeden rok. p x -Pravděpodobnost dožití ve věku x. Vyjadřuje pravděpodobnost, že jedinec, který se dožil věku x, se dožije věku x + 1.

17 Kapitola 3. Úmrtnostní tabulky 8 q x -Pravděpodobnost úmrtí ve věku x. Vyjadřuje pravděpodobnost, že jedinec, který se dožil věku x, zemře před dosažením věku x + 1. Platí následující vztahy: d x = l x l x+1 d x+1 = l x+1 l x+2. d ω = l ω p x = l x+1 l x (3.2.1) Postupnými úpravami dostaneme: q x = d x l x (3.2.2) p x = l x+1 l x = l x l x + l x+1 l x = l x (l x l x+1 ) l x = l x d x l x = 1 d x l x = 1 q x (3.2.3) Vzorec (3.2.3) dostaneme i jednoduchou úvahou. A to, když si uvědomíme, co obě pravděpodobnosti představují. Je jasné, že součet pravděpodobnosti dožití a úmrtí musí dávat jedničku. Tedy p x + q x = 1. Dále platí: d 0 + d d x = l 0 l x+1 (3.2.4) l x+1 = l 0 (d 0 + d d x ) (3.2.5) np x -Vyjadřuje pravděpodobnost, že osoba, která se dožila věku x bude žít dalších n let. Čili pravděpodobnost, že se dožije věku x + n. Platí: np x = l x+n l x (3.2.6)

18 Kapitola 3. Úmrtnostní tabulky 9 np x = l x+1 l x lx+2 l x+n = p x p x+1 p x+2 p x+n 1 (3.2.7) l x+1 l x+n 1 = (1 q x ) (1 q x+1 ) (1 q x+n 1 ) Platí: nq x - Vyjadřuje pravděpodobnost, že se osoba ve věku x nedožije věku x + n. nq x = l x l x+n l x (3.2.8) n q x - Vyjadřuje pravděpodobnost, že se osoba ve věku x dožije věku x + n, ale nedožije se věku x + n + 1. Platí: n q x = d x+n l x = l x+n l x+n+1 l x (3.2.9) L x -Počet let prožitých osobami ve věku x. Vyjadřuje střední počet roků, které ve věku x celkem prožije l x jedinců. Využívá aproximace: L x = l x d x = l x + l x+1 2 (3.2.10) T x -Počet zbylých let života člověka ve věku x. V úmrtnostních tabulkách se také vyskytuje pojistně technická úroková míra. Její maximální výše je regulována vyhláškou. Vyjadřuje vlastně zhodnocení, které pojišťovny garantují svým klientům po celou dobu trvání pojištění. Označuje se jako i. 3.3 Komutační čísla Jedná se o pomocné součiny a součty, které se často vyskytují v pojistně-matematických výpočtech. Vznikají finančním diskontováním hodnot z úmrtnostních tabulek. Využívá se diskontní faktor v = i. (3.3.1)

19 Kapitola 3. Úmrtnostní tabulky 10 Rozlišujeme 3 druhy komutačních čísel: Nultého řádu D x = l x v x, diskontovaný počet dožívajících se věku x. C x = d x v x+1, diskontovaný počet zemřelých ve věku x, využívá se x + 1 z důvodu, že x počet zemřelých d x vyjadřuje stav až na konec roku x (př. 20letá osoba může zemřít v průběhu celého následujícího roku, tedy může zemřít až den před 21. narozeninami). Prvního řádu N x = ω x j=1 D x+j = D x + D x D ω M x = ω x j=1 C x+j = C x + C x C ω Druhého řádu S x = ω x j=1 N x+j = N x + N x N ω R x = ω x j=1 M x+j = M x + M x M ω

20 Kapitola 4 Výpočet pojistného v Životním pojištění Jak už bylo řečeno v Kapitole 1, pojistné je úplata za soukromé pojištění. Pojistné se také nazývá Brutto pojistné a platí : Brutto pojistné = netto pojistné + náklady pojišťovny. Jak uvádí Daňhel v [7], netto pojistné je u tradičních produktů životního pojištění tvořeno částí, která kryje v průměru riziko pojistné události při zohlednění vytvořené netto rezervy. Tato část se nazývána riziková. Další složkou netto pojistného je tzv. ukládací část pojistného, která je nutná k navýšení současné rezervy, abychom po zúročení získali novou hodnotu netto rezervy. Dělení pojistného si můžeme představit tak, že po zaplacení pojistného je netto pojistné pomyslně rozděleno na dvě části. První je riziková část, ze které jsou hrazena pojistná plnění v případě úmrtí, nastalá v daném pojistném období v celém kmeni (tj. je zohledněn princip solidarity). Druhou je ukládací část, kterou je nutno uložit do rezerv, aby v případě dožití sjednaného věku byl k dispozici dostatečný kapitál pro výplatu pojistného plnění. Výpočet pojistného se provádí buď pomocí střední hodnoty vhodné náhodné veličiny, nebo pomocí komutačních čísel. V mé práci uvedu pouze vzorce s komutačními čísly. Při výpočtu pojistného vycházíme ze dvou základních principů: Princip fiktivního souboru-předpokládáme, že všechny živé osoby ve věku x uzavřou stejné pojištění. Za tohoto předpokladu situaci sice velmi zjednodušíme, ale nakonec dostaneme dostatečně přesné výsledky, abychom je mohli použít v praxi. Princip ekvivalence-blíže popsaný v Kapitole

21 Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění 12 Pojistné rozlišujeme podle frekvence placení na: Jednorázové -Pojistné se zaplatí celé naráz na počátku pojistné doby. Běžné -Pojistné je placeno jednou ročně. Področní -Pojistné je placeno m-krát za rok, např. měsíčně, čtvrtročně, atd. Vzorce pro jednorázové netto pojistné: 1 Pojištění pro případ dožití -Pojišťovna vyplatí pojistnou částku, jestliže se osoba ve věku x dožije konce sjednané doby n, tedy věku x + n. Pojištění pro případ smrti: ne x = D x+n D x (4.0.1) Doživotní -Pojišťovna vyplatí pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba zemře. A x = M x D x (4.0.2) Dočasné -Pojišťovna vyplatí pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba zemře, pokud k úmrtí dojde před uplynutím pojistné doby n. A 1 xn = M x M x+n D x (4.0.3) Doživotní odložené -Pojišťovna vyplatí pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba zemře, pokud k úmrtí dojde po uplynutí doby x + t. t A x = M x+t D x (4.0.4) Dočasné odložené -Pojišťovna vyplatí pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba zemře, pokud k úmrtí dojde po uplynutí doby x + t a zároveň před uplynutím doby x + n + t. k A xn = M x+t M x+n+t D x (4.0.5) 1 Počítáme s jednotkovou pojistnou částkou.

22 Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění 13 S lineárně rostoucí pojistnou částkou-pokud x-letá osoba zemře v prvním roce pojištění pojišťovna vyplatí obmyšleným osobám pojistnou částku. Pokud osoba zemře v druhém roce pojištění pojišťovna vyplatí dvojnásobek pojistné částky, atd. (LA) x = R x D x (4.0.6) Smíšené pojištění -Pojišťovna vyplatí pojištěnému ve věku x + n. Pokud zemře před dosažením věku x + n tak pojišťovna vyplatí pojistné plnění obmyšleným osobám. A xn = M x M x+n + D x+n D x (4.0.7) Běžné netto pojistné odpovídá jednorázovému pojistnému poděleným důchodem, který odpovídá době placení pojištění. Vzorce důchodů: Doživotní důchod Předlhůtní -Pojišťovna vyplácí důchod sjednané výše vždy na počátku pojistného roku, pokud pojištěná osoba žije. ä x = N x D x (4.0.8) Polhůtní -Pojišťovna vyplácí důchod sjednané výše vždy na konci pojistného roku, pokud pojištěná osoba žije. Dočasný důchod a x = N x+1 D x (4.0.9) Předlhůtní -Pojišťovna vyplácí důchod na počátku pojistného roku, pokud pojištěná osoba žije a neuplynula pojistná doba n. ä xn = N x N x+n D x (4.0.10) Polhůtní -Pojišťovna vyplácí důchod na konci pojistného roku, pokud pojištěná osoba žije a neuplynula pojistná doba n. a xn = N x+1 N x+n+1 D x (4.0.11)

23 Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění 14 Doživotní odložený důchod Předlhůtní -x-letá osoba se pojistní tak, že na začátku každého roku, pokud je naživu, jí bude vyplacen sjednaný důchod. První výplata bude až ve věku x + t. t äx = N x+t D x (4.0.12) Polhůtní -x-letá osoba se pojistní tak, že na konci každého roku, pokud je naživu, jí bude vyplacen sjednaný důchod. První výplata bude až ve věku x + t. Dočasný odložený důchod t a x = N x+t+1 D x (4.0.13) Předlhůtní -Pojišťovna vyplatí x-letému pojištěnému první výplatu až na začátku pojistného roku x + t a bude vyplácet pouze n důchodů. t äxn = N x+t N x+n+t D x (4.0.14) Polhůtní -Pojišťovna vyplatí x-letému pojištěnému první výplatu až na konci pojistného roku x + t a bude vyplácet pouze n důchodů. Výpočet běžného pojistného si ukážeme na příkladě. t a xn = N x+t+1 N x+n+t+1 D x (4.0.15) Příklad Jaké je roční nettopojistné pro smíšené pojištění 30letého muže na dobu 35 let na Kč pojistné částky? Řešení. Podle vzorce umíme vypočítat jednorázové netto pojistné, ale nyní chceme platit pojistné ročně, a pouze 35 let. Při odvození vzorce vyjdeme z rovnice ekvivalence, která je : přijaté jednorázové pojistné π = součet ročních pojistných přijatých od žijících osob Jelikož není řečeno jinak, předpokládejme předlhůtní placení a počítejme se splátkou P, kterou bude zákazník platit m let. Pak můžeme rovnici matematicky zapsat jako π l x = P l x + P l x+1 v + + P l x+n 1 v n 1.

24 Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění 15 Rovnici vynásobíme v x a pomocí D x = l x v x přejdeme na komutační čísla. Dostaneme rovnici Vytkneme P a využijeme Odtud π D x = P D x + P D x P D x+n 1. N x = ω x j=1 D x+j. π D x = P (N x N x+n ) π P = N x N x+n D x Nyní dosadíme x = 30, n = 35, π = A x,n a vynásobíme pojistnou částkou. P = A30,35 ä 30,35 = M 30 M D D 30 = M30 M 65 + D 65 N 30 N N 30 + N 65 D 30 Příslušná komutační čísla zjistíme z úmrtnostní tabulky a po dopočítání nám vyjde, že muž bude platit 13,78 Kč ročně. Stejný postup aplikujeme na různé druhy pojištění a dob placení. 4.1 Brutto pojistné Brutto pojistné je součet netto pojistného a správních nákladů pojišťovny. Počítáme jej opět jako jednorázové, které značíme JB nebo běžné (roční), které značíme B. Správní náklady, které přičítáme k netto pojistnému představují veškeré mzdové, materiální a ostatní náklady, které pojišťovny vynaloží v souvislosti s provozováním daného druhu pojištění. Podle období vzniku dělíme správní náklady na: Počáteční správní náklady (α) -Náklady související se vznikem nového pojištění, např. propagace, vyhotovení pojistky, atd. Určují se v procentech z pojistné částky nebo jako procenta z ročního důchodu. Běžné správní náklady (β) -Souvisejí se správou pojištění se zahrnutím nákladů na řídicí aparát pojišťovny, např. náklady na daně, administrativa, atd. Určují se v promilích z pojistné částky nebo z ročního důchodu.

25 Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění 16 V případě, že pojistná doba je delší než doba placení pojistného, se správní náklady rozdělují na β 1 a β 2, přičemž platí β = β 1 + β 2. β 1 jsou náklady, které trvají během celé délky pojištění a β 2 jsou náklady, které vznikají pouze v době placení pojistného. Inkasní náklady (γ) -Jsou spojené s inkasem běžného pojistného. Počítají se jako procenta z brutto pojistného. Náklady při výplatě důchodu (δ) -Náklady spojené s výplatami důchodu. Vzorce pro výpočet brutto pojistného: Jednorázové Doživotní pojištění -JB = π + α + β ä x Dočasné pojištění -JB = π + α + β ä xn Běžné pro m = n, tedy doba placení pojistného se rovná době trvání pojištění Doživotní -B = 1 1 γ (P + α ä x + β) Dočasné -B = 1 γ 1 (P + ä α + β) xn Běžné pro m < n, tedy doba placení pojistného je kratší, než doba trvání pojištění Doživotní - m B = 1 1 γ ( mp + α ä xm + β 1 ä x ä xm + β 2 ) Dočasné - m B = 1 γ 1 ( mp + ä α + β xm 1 äxn ä + β xm 2 ) Ve vzorcích π označuje příslušné jednorázové netto pojistné a P příslušné běžné netto pojistné. 4.2 Rezervy pojistného životních pojištění Pojišťovny jsou ze zákona povinny vytvářet rezervy pro schopnost v budoucnu plnit své závazky. V rezervách jsou shromážděny dočasně volné peněžní prostředky pojišťovny. Pojišťovny tyto prostředky investují, a to s ohledem na bezpečnost prováděných operací, na výši výnosnosti, a také na likviditě. V průběhu pojištění neplatí princip ekvivalence. Jako příklad uvažujme pojištění pro případ smrti běžně placené splátkami. V prvních letech trvání pojištění se odčerpává málo peněz na krytí pojistného, protože pravděpodobnost úmrtí

26 Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění 17 je malá.v tomto období pojišťovna vytváří rezervy. V pozdějších letech pravděpodobnost úmrtí roste a vybrané pojistné již nestačí krýt pojistné plnění a proto musí pojišťovna čerpat ze svých rezerv. Rezervy dělíme na netto rezervy a brutto rezervy podle toho, jestli do rezerv započítáváme správní náklady Netto rezerva Při počítání netto rezervy nezohledňujeme správní náklady a počítáme pouze s netto hodnotami. Zároveň požadujeme, aby byla netto rezerva v době uzavření smlouvy (v čase t = 0) nulová. Pro lepší zapsání a následné počítání netto rezervy uvažujeme následující situaci: Pojišťujeme jedince ve věku x a na pojistnou dobu n. Roční pojistné P xn poskytuje na konci t tého roku pojištění(t = 1,..., n): pojistné plnění ve výši a t při dožití t tého roku pojištění; pojistné plnění ve výši b t při úmrtí t tého roku pojištění; Netto rezervu označíme t V xn, resp. t V x při trvalém pojištění. Vzorce pro počítání netto rezervy: Prospektivní tv xn = π x+t P ä x (4.2.1) Znamená: budoucí výdaje zmenšené o budoucí příjmy. První část je pojistné plnění na jednu pojistnou smlouvu očekávané a diskontované od počátku (t + 1)-ního roku. Druhá část je pojistné na jednu pojistnou smlouvu očekávané a diskontované od počátku (t + 1)-ního roku. Pokud máme jednorázové pojistné, tak tato část zmizí. Retrospektivní tv xn = P xn t j=1 D x+j 1 D x+t t j=1 (a j D x+j + b j C x+j 1 ) D x+t (4.2.2) Znamená: minulé příjmy - minulé náklady. První zlomek pojistné na jednu pojistnou smlouvu očekávané a zúročené do konce t-tého roku. Druhý zlomek pojistné plnění na jednu pojistnou smlouvu očekávané a zúročené do konce t-tého roku.

27 Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění 18 I když skutečnou tvorbu netto rezervy přesně popisuje retrospektivní vzorec, v praxi se mnohem více využívá prospektivní, neboť umožňuje provádět průběžné změny vzhledem k budoucímu vývoji Brutto rezerva Brutto rezerva t Vxn brutto je netto rezerva s připočítáním správních nákladů (postupujeme stejně jako při vztahu netto pojistného a brutto pojistného v Kapitole 4.1). Jestliže máme běžné pojistné, tak odečteme od netto rezervy α äx+t ä x při trvalém pojištění nebo α äx+t,n t ä při dočasném pojištění. V takovém případě mluvíme xn o Zillmerově rezervě. Zlomek představuje rozložení nákladů do anuit. Při vynásobení druhým členem (ä x+t,n t ) získáme neumořenou část tohoto dluhu na jednotkovou pojistnou částku nebo důchod v čase t. Je zřejmé, že Zillmerova rezerva může být v prvních letech trvání pojistky záporná. V takovém případě se pokládá rovna nule. Jestliže máme jednorázové pojistné tak k netto rezervě přičteme člen β ä x+t při trvalém pojištění nebo β ä x+t,n t při dočasném pojištění. V tomto případě mluvíme o Rezervě běžných správních nákladů. Pro lepší představu si ukážeme výpočet Zillmerovi rezervy na příkladě. Příklad Určete Zillmerovu rezervu v desátém roce běžně placeného pojištění pro případ smrti na pojistnou částku Kč, které uzavřela 30-ti letá osoba, pokud správní náklady pojišťovny jsou 3 % z pojistné částky. Řešení. Máme trvalé pojištění, takže využijeme vzorec tv Z x = t V x α äx+t ä x. Nejdříve si musíme vypočítat netto rezervu, která je dána vzorcem Nyní využijeme vzorečky a Musíme si, ale uvědomit, že nyní nepočítáme ve věku x, ale ve věku x + t. Ptáme se totiž na brutto rezervu v desátém roce trvání pojištění. Po úpravě netto pojistného vypadá vzoreček takto: tv x = π x+t P ä x = M x+t D x+t M x N x Nx+t D x+t. Dosadíme x = 30 a t = 10. Potřebná komutační čísla najdeme v úmrtnostních tabulkách a odtud 10V 30 = π 40 P ä 30 = M 40 D 40 M 30 N 30 N40 D 40 = 0,

28 Kapitola 4. Výpočet pojistného v Životním pojištění 19 Ovšem toto je netto rezerva pro jednotkovou pojistnou částku, ale v našem případě máme pojistnou částku ve výši Kč. Takže musíme ještě vynásobit naši pojistnou částkou, abychom dostali požadovanou netto rezervu. 10V 30 = 0, = Nyní známe vše potřebné pro vypočítání Zillmerovy rezervy. Ale nesmíme opět zapomenout na pojistnou částku (označíme PC), kterou vynásobíme se správními náklady α. 10V Z 30 = 10V 30 α PC N 30 D 30 N40 D 40 = , 8. V našem případě je tady Zillmerova rezerva v 10. roce pojištění rovna ,8 Kč.

29 Kapitola 5 Podíl na zisku Kapitálové životní pojištění je dlouhodobé pojištění, a proto je pro pojišťovnu výhodné vzniklé rezervy vhodně investovat, aby navýšila jejich hodnotu. Jestliže má pojišťovna větší zisky z takovýchto investic než původně čekala, tak jejich část rozděluje mezi své klienty. Klientům tedy předá tzv. podíly na zisku. Ta část přebytku, kterou pojišťovna rozděluje mezi své klienty, je určována každoročně a její výše je dána rozhodnutím managementu nebo správní rady, atd. Po zveřejnění její výše se stává závazkem pojišťovny vůči pojištěnci. Výše přebytku, která se bude dále distribuovat mezi klienty, může být předem určena v pojistné smlouvě, ale má na ni samozřejmě vliv i konkurence na pojistném trhu. Zisky pojišťovny ovšem nezávisí pouze na investování rezerv, ale také na nákladech a škodním průběhu. Z pojistně-matematického hlediska rozlišujeme výpočetní podklady prvního řádu a výpočetní podklady druhého řádu. Mezi výpočetní podklady prvního řádu patří kalkulované hodnoty, např. TUM (značíme i), pravděpodobnost úmrtí ve věku x (značíme q x ) nebo náklady (značíme α, β, γ). Tyto podklady se využívají při výpočtu pojistného. Naproti tomu výpočetní podklady druhého řádu představují skutečné hodnoty, které ale nejsou známe v době, kdy je pojištění uzavřeno. Jedná se opět o TUM (značíme i ), pravděpodobnost úmrtí ve věku x (značíme q x) nebo náklady (značíme α, β, γ ). Právě rozdíly mezi kalkulovanými a skutečnými hodnotami vytváří zisk pojišťovny, který můžeme vypočítat pomocí vzorců, které jsou uvedeny níže. Kontribuční vzorec: Počítá zisk t Z xn v t-tém roce pojištění v závislosti na rozdílech výpočetních podkladů prvního řádu a výpočetních podkladů druhého řádu. kde tz xn = t Zxn rok + tzxn umrtnost + t Z spravninaklady, (5.0.1) xn tzxn rok = 1 1 q (i i) [ t 1 V Z x+t 1 xn + (1 γ ) B xn δ(t) α β ], tzxn umrtnost 1 = 1 q (q x+t 1 q x+t 1 ) (1 tv brutto x+t 1 xn ), 20

30 Kapitola 5. Podíl na zisku 21 tz spravninaklady 1 = xn 1 q (1 + i) [δ(t) (α α ) + (β β ) + (γ γ ) B xn ], x+t 1 kde δ(t) = 1 pro t = 1 a δ(t) = 0 jinak. Aproximativní vzorec: tz xn = k (i i) t 1 Vxn Z + tvxn Z, (5.0.2) 2 kde k je zaručený podíl na výnosech (je přesně určen v pojistných podmínkách, např. 90%). V praxi se nejvíce můžeme setkat s aproximativním vzorcem, kde zisk vzniká na základě rozdílnosti i a i. Rovněž určuje podíl na zisku za t-tý rok. Zlomek představuje průměrný stav rezervy po t-tém roce. Aby se předešlo případné záporné hodnotě, volí se Zillmerova rezerva. Výplatu podílu na zisku lze provádět několika způsoby: Jestliže smlouva nezanikne v průběhu pojistné doby bude připsána tzv. Zvláštní prémie, které zaručuje dopředu sjednané procento pojistné částky. Přímá výplata podílu na výnosech je vyplácena v pravidelných intervalech. Kvůli velké administrativní náročnosti, a z ní plynoucích vysokých nákladů na její realizaci, se tento způsob v praxi často nevyužívá. Bonusy, při této metodě se na začátku pojištění uzavře smlouva na nižší pojistnou částku, ale se stejným pojistným, jako je u pojištění bez podílu na zisku. V průběhu pojištění je ovšem pojistná částka navýšena o její procentuální část, tzv bonusy. Tyto bonusy se můžou kumulovat dvojím způsobem. Jednoduše nebo složeně. Pojišťovna každoročně zjistí výsledky svého hospodaření a zisky vypočítá jako procento b z pojistné částky (jednoduchá kumulace) nebo jako procento b z pojistné částky zvýšený o všechny bonusy z předchozích let od data trvání pojištění. V podstatě se jedná o jednoduché a složené úročení, jak ukazuje Tabulka 5.1, kde je uvedený růst pojistné částky s připsanými bonusy v n letech trvání pojištění Sleva na pojistném. Zkrácení pojistné doby.

31 Kapitola 5. Podíl na zisku 22 Rok Jednoduchá kumulace Složená kumulace 1 S + Sb = S(1 + b) S + Sb = S(1 + b) 2 S(1 + b) + Sb = S(1 + 2b) S(1 + b) + S(1 + b)b = S(1 + b) 2. n 1 n. S(1 + (n 2)b) + Sb = = S(1 + (n 2)b) S(1 + (n 1)b) + Sb = = S(1 + nb) Tabulka 5.1: Růst pojistné částky, zdroj: [16]. S(1 + b) n 2 + S(1 + b) n 2 b = = S(1 + b) n 1 S(1 + b) n 1 + S(1 + b) n 1 b = = S(1 + b) n Výpočet podle aproximativního vzorce si ilustrujeme na příkladu. Příklad Vypočítáme podíly na zisku v průběhu dočasného pojištění pro případ dožití, které si v roce 2004 uzavřela 30-ti letá osoba na 10 let s pojistnou částkou Kč. Pojišťovna vyplácí svým klientů 90 % podíl na zisku a to následujícím způsobem: pomocí aproximativního vzorce vypočítáme na konci každého roku podíl na zisku. Je-li podíl kladné hodnoty, připočte jej k Zillmerově rezervě následujícího roku. Při dožití se konce pojistné doby vyplatí pojišťovna pojistnou částku s připsanými podíly na zisku. Pro výpočet potřebujeme znát hodnoty TUM a skutečné výnosy pojišťovny. TUM známe z Tabulky 1.1 a skutečné výnosy pojišťovny jsou uvedeny v Tabulce 5.4. Rok Výnos v % 4,12 4,10 4,07 4,10 4,00 4,00 3,80 4,00 3,80 Tabulka 5.2: Skutečné výnosy pojišťovny, zdroj: [11] Řešení. Nejdříve musíme určit vzorec pro příslušnou netto rezervu a následně pro Zillmerovu rezervu. Netto rezerva pro dočasné pojištění na dožití má vzorec: Vzorec pro Zillmerovu rezervu je: tv xn = ( D x+n D x+t Nx N x+t N x N x+n ) PC. tv Z xn = tv xn α PC N x N x+n D x Nx+t N x+n D x+t. Tradičně dosazujeme za x věk pojištěnce v době uzavření pojistky, za t rok trvání pojištění ve kterém vypočítáváme rezervu a za n dobu trvání pojištění.

32 Kapitola 5. Podíl na zisku 23 Vypočítáme 1 V30 Z. V prvním roce pojištění je Zillmerova rezerva 1 V30 Z = Zápornou Zillměrovu rezervu pokládáme rovnu nule. Ve druhém roce pojištění (čili v roce 2005) máme poprvé kladnou Zillmerovu rezervu, kdy 2 V30 Z = 7927, 34. Můžeme tedy dosadit do vzorce t Z xn = k (i i) t 1 V Z xn + tv Z xn 2. TUM měla v roce 2004 hodnotu 2,4 % a s touto hodnotou počítáme po celou dobu trvání pojištění. Pojišťovna v roce 2005 dosáhla skutečného zhodnocení 4,12 %. Teď známe vše potřebujeme a můžeme dosadit do vzorce 2Z 30 = 0, 9 (0, , 024) 1V Z V Z 30 2 = 61, 35. Nesmíme zapomenout, že 1 V Z 30 = 0 Podíl na zisku ve čtvrtém roce pojištění tedy činil 61,35 Kč. Tuto částku přičteme k Zillmerově rezervě ve třetím roce pojištění a opět vypočítáme podíl na zisku. Nesmíme zapomenout počítat s aktuální hodnotou skutečného výnosu pojišťovny, kdy pojišťovna v roce 2006 dosáhla skutečného zhodnocení 4,1 %. Tedy: 3Z 30 = 0, 9 (0, 041 0, 024) 2V Z V Z 30 2 = 220, 63, kdy 3V Z 30 = 3V Z Z 30. Takto pokračujeme až do devátého roku pojištění. Podíly na zisku se vypočítávají na konci kalendářního roku. Tedy v roce, kdy končí pojistná smlouva, se již nepočítají. 9Z 30 = 0, 9 (0, 041 0, 024) 8V Z V Z 30 2 = 1552, 26. Celkové podíly na zisku za deset let trvání pojištění tedy činí 1552,26 Kč. 5.1 Praxe Na první podhled se vidina podílu na zisku pojišťovny může zdát pro klienta lákavá, ale jeho skutečná výše nebývá příliš veliká. V dnešní době, kdy je TUM velice nízká se může stát, že podíly na zisku nepokryjí ani inflaci, která se nejvíce projeví právě u pojištění s dlouhou dobou trvání. V současnosti už většina pojišťoven na nově sjednávaných smlouvách ustupuje od garantování jakékoliv kladné TUM, neboť výnosy státních dluhopisů (které

33 Kapitola 5. Podíl na zisku 24 musí tvořit většinu aktiv pod rezervami) jsou nulové, nebo dokonce záporné. TUM je tak v produktech nahrazována instrumentem vyhlašované úrokové míry (negarantované v čase, obdoba spořících účtů u bank) nebo negarantovanou investicí do unit-linked fondů 1. Pro lepší představu si ukážeme tento problém u několik pojišťoven, které obchodují na českém pojistném a finančním trhu Kooperativa a.s. Pojišťovna Kooperativa nabízí podíly na výnosech ve svých produktech pojištění života. Má-li pojišťovna výnos ze zhodnocení aktiv, jejichž zdrojem jsou technické rezervy životního pojištění, může jeho část použít na připsání podílu na zisku k jednotlivým pojistným smlouvám. Podíl na zisku lze přiznávat po celou dobu trvání životního pojištění a cena pojistné smlouvy se stanoví v závislosti na rezervě pojistného včetně již připsaného podílu na zisku ke dni, ke kterému se podíl na zisku přiznává. Podíl na zisku pojišťovna vyplácí společně s pojistným plněním z pojistné události, v jejímž důsledku pojištění zanikne, nebo spolu s odkupným, není-li v pojistné smlouvě dohodnuto jinak. Přesný vzorec pro výpočet podílu na zisku je obchodním tajemstvím, ale jedná se o obdobu vzorce V loňském roce pojišťovna připsala svým klientům u běžně placeného pojištění zhodnocení ve výši 3,4 %. Klientům, kteří mají sjednané pojištění s jednorázovou platbou pojistného bylo připsáno zhodnocení 2,7 %. Ovšem zde se jedná o celkový hrubý výnos, který je stanoven včetně technické úrokové míry a představuje celkový výnos z finančního umístění aktiv, jejichž zdrojem jsou technické rezervy životních pojištění. Část tohoto výnosu nad technickou úrokovou míru se připisuje na pojistné smlouvy jako podíl na zisku, a to po schválení představenstvem společnosti zpravidla v polovině následujícího roku. Tedy klientům, kteří si v roce 2004 sjednali jednorázově placené produkty životního pojištění, bylo za rok 2014 připsáno celkové zhodnocení ve výši 2,7 %. Jelikož mají tito klienti stejnou TUM jako při sjednání pojištění tj. 2,4 %, byl jim přiznán podíl na zisku v celkové výši 0,3 %. Rozdíl mezi TUM a přiznaným podílem na zisku závisí na výši TUM, se kterou bylo při sjednání pojištění kalkulováno tato TUM zůstává po celou dobu trvání pojištění neměnná. Samozřejmě může taky nastat případ, kdy bylo pojištění sjednáno s vyšší TUM např. 4 % - v takovém případě k připsání podílu na zisku nedošlo, protože celkový dosažený výnos byl za rok 2014 pod úrovní TUM. 1 Kolektivní investování do fondů.

34 Kapitola 5. Podíl na zisku 25 Rok Hrubý výnos , ,9 1, ,8 0 1,4 1,3 1, ,0 0 1,6 1, ,8 0 1,4 1, ,4 0,4 2 1,9 0 Tabulka 5.3: Podíl na zisku, Kooperativa, zdroj: [11] V Tabulce 5.3 jsou zobrazeny hrubý výnosy a skutečné podíly na zisku, které pojišťovna Kooperativa připsala svým klientům během let 2010 až Všechny hodnoty jsou uvedeny v procentech NN pojišťovna Pojišťovna NN dává klientům podíly na výnosech u kapitálového pojištění Rodina. Podíly pojišťovna vypočítává každoročně a je-li výsledek kladný je připočítán k hlavní pojistné částce. Dojde-li k pojistné události, vyplatí pojišťovna pojistnou částku společně s připsanými podíly. Při výpočtu podílu na zisku se pojišťovna řídí následujícím vzorcem P (V (TUM + N)), kde P je procento pro výpočet podílu 2, V je skutečný výnos, kterého pojišťovna v roce dosáhla, TUM je technická úroková míra a N je poplatek spojený s podílem na zisku 3. O tento podíl z pojistné rezervy se navýší pojistná částka. Podle jejich sazeb, ale musí být skutečný výnos pojišťovny vyšší než TUM + N, aby byl klientovi připsán podíl na zisku. Příklad Uvažujme stejnou situaci jako v Příkladě 5.0.1, pouze si upravíme vzorec pro výpočet podílu na zisku, a to tím, že k TUM přičteme poplatek ve výši 2,1 %. Řešení. Postupujeme totožně jako v příkladu 5.0.1, ale s upraveným vzorcem tz xn = k (i (i + N)) t 1 Vxn Z + tvxn Z. 2 Zillmerova rezerva v prvním roce trvání pojištění vyšla záporná, takže podíl na zisku vypočítáme až za druhý rok. 2 V aktuálním sazebníků poplatků je P = 90%. 3 V aktuálním sazebníků poplatků je N = 2, 1%.

35 Kapitola 5. Podíl na zisku 26 2Z 30 = k (i (i + N)) 1V 30 Z + 2V 30 Z 2 = 0, 9 (0, 041 (0, , 02)) ,336 = 9, 98 2 = Podíl na zisku je připsán pouze v případě, že je kladný. V našem případě tedy k připsání nedojde. Je jasné, že jestli má dojít k navýšení pojistné částky o podíl na zisku musí být zisky pojišťovny vyšší než i + N. Musí tedy platit i < i + N. Následující tabulka ukazuje, kdy je tato podmínka v našem případě splněna. Rok Výnos v % 4,12 4,10 4,07 4,10 4,00 4,00 3,80 4,00 3,80 Rozdíl v % -0,28-0,3-0,33-0,3-0,4-0,4-0,6-0,4-0,6 Tabulka 5.4: Podíly na zisku, zdroj:[11] Poslední řádek tabulky obsahuje rozdíl i (i + N) = i (2, 4 + 2) = i 4, 4. Vidíme, že v našem případě nevyšel ani jednou kladný rozdíl. Tedy k připsání podílu na výnosech nedojde v žádném roce trvání pojištění. A klientova rezerva se bude zhodnocovat pouze garantovanou úrokovou mírou 2,4 % Komerční pojišťovna a.s. Komerční pojišťovna nabízí podíly na výnosech u pojištění Životní pojištění Vital Premium v EUR a Vital Premium v USD. Jak už název napovídá všechny peněžní transakce jsou prováděny v eurech nebo amerických dolarech. Pojišťovna garantuje minimální zhodnocení ve výši 1,4 % p. a., a pokud je pojištění vedeno v USD tak garantuje zhodnocení minimálně 1,6 %. Rezerva je každoročně navýšena o garantované zhodnocení, které vyhlašuje představenstvo na začátku kalendářního roku. Pokud pojišťovna dosáhne většího zisku, může představenstvo rozhodnout o dalším navýšení rezervy. Zhodnocení, které převýší garantované zhodnocení je uváděno v pojistných podmínkách jako podíl na výnosech pojišťovny. Celá rezerva (i s připsanými podíly na zisku) je vyplacena při pojistné události se vznikem práva na pojistné plnění. Toto pojištění, ač je kapitálové, nabízí zajímavá zhodnocení aktiv. Bohužel je spíše pro movitější klienty. Minimální jednorázové pojistné je e.

36 Kapitola 5. Podíl na zisku Česká Pojišťovna a.s. Rok Garance Zisk ,3 3, ,8 3, ,5 2, ,0 2, ,9 2,3 Tabulka 5.5: Podíl na zisku, Komerční, zdroj: [13] Česká pojišťovna nabízí podíly na zisku pouze u pojištění s garantovanou úrokovou mírou. V dnešní době je to pojištění Sluníčko. Případná sazba podílů na zisku je rozdíl mezi garantovanou úrokovou mírou a skutečným zhodnocením rezerv. U nejstarších smluv můžeme najít garantovanou úrokovou míru až 6 %, ale u smluv sjednaných po je už pouze 1,3 %. V roce 2013 bylo skutečné zhodnocení v průměru ve výši 3,3 %. Podíly na výnosech jsou vyplaceny společně s pojistným plněním. Při počítání podílu na zisku pojišťovna vychází z následujícího vzorce: tz xn = max{i i; 0} k t 1 V Z xn + tv Z xn 2 + t 1 Z xn i. (5.1.1) Kde k je zaručený podíl na výnosech. Ze vzorce je patrné, že platí: Je-li i nulové, nevzniká nový podíl a loňský podíl se dále nezhodnocuje. Je-li i i, nevzniká nový podíl, ale loňský se zhodnocuje. Je-li i > i, vzniká nový podíl a starý se zhodnocuje. Příklad Uvažujme stejnou situaci jako v Příkladě 5.0.1, kde pro výpočet podílu na zisku využijeme vzorec Řešení. Z Příkladu víme, že první kladná Zillmerova rezerva je ve druhém roce trvání pojištění. Dosadíme tedy do vzorce a dostaneme: 2Z 30 = max{0, , 024; 0} 0, 9 1V 30 Z + 2V 30 Z Z 30 0, 0412 = 0, , , , 0412 = 61, 35. Musíme si uvědomit, že za první rok je jak Zillmerova rezerva, tak i podíl na zisku nulový. Ve třetím roce trvání pojištění ale tento problém již nenastane. 3Z 30 = max{0, 041 0, 024; 0} 0, 9 2V 30 Z + 3V 30 Z Z 30 0, 041 = 0, 017 0, , , , 35 0, 041 = 223, 15.

37 Kapitola 5. Podíl na zisku 28 Stejným způsobem počítáme pro všechny následující roky až do roku 2013, kdy se provádí poslední výpočet. Pojištěné totiž trvá pouze do roku 2014, kdy je vyplacena pojistná částka společně s podíly na zisku, tedy v tomto roce pojištěný nemá nárok na nové podíly. 9Z 30 = max{0, 038 0, 024; 0} 0, 9 8V 30 Z + 9V 30 Z Z 30 0, 038 = 0, 014 0, , , , 391 0, 038 = 1594, 45. Tato částka se přičte k pojistné částce. Tedy v roce 2014 bude pojistná částka s připsanými podíly na zisku pojišťovny ,45 Kč Daňová úleva Jak vidíme, zhodnocení rezervy nedosahuje velkých částek, a tak by si mohl potenciální klient vybrat jinou variantu, jak zhodnotit své peníze. Jedná se ale o důležité pojištění, a tak je podporované ze strany státu. Pro stát je samozřejmě výhodné, že si občané sami zajistí svou budoucnost, a proto je část pojistného odečitatelná položka z daní. Klient, který si uzavře kapitálové pojištění má nárok, po splnění daných podmínek, na odpočet zaplaceného pojistného z daních, a to až ve výši Kč za rok. Podmínky jsou následující: Jedná se o pojištění na dožití nebo úmrtí. Minimální pojistná doba je 5 let a minimální věk dožití je 60 let klienta. V pojistné smlouvě nesmí být povoleny mimořádné výběry. Pojištěná osoba je zároveň pojistník. Pokud smlouva splňuje tyto podmínky, může na ni navíc přispívat zaměstnavatel, a to až ve výši Kč 5. Daňová úspora závisí na výšce zaplaceného pojistného, jak ukazuje Tabulka V případě, že dodrží pravidla, která jsou napsáná v pojistné smlouvě. Mezi ně patří včasné placení pojistného, během trvání pojištění nedošlo k redukci pojištění, atd Kč je maximum, které může zaměstnavatel poskytnout součtem na kapitálové, rizikové nebo penzijní pojištění.

38 Kapitola 5. Podíl na zisku 29 Měsíční pojistné v Kč Snížení základu daně za rok Daňová úspora Tabulka 5.6: Roční daňová úspora, zdroj: [1] Velmi často pojišťovny nabízí obě varianty pojištění. S možností předčasného výběru úspor, i bez této možnosti, právě kvůli využití odpočtu z daní. Při využívání tohoto odpočtu si ale musíme dávat pozor na předčasné ukončení smlouvy. Pokud předčasně ukončíme pojištění musíme dodanit odpočty za 10 let zpátky, a to včetně případných příspěvků od zaměstnavatele. 5.2 Investiční pojištění Velkou konkurenci pro pojištění s podílem na zisku představuje investiční životní pojištění (budeme značit IŽP), které nabízí klientům větší zhodnocení a možnost rozhodnutí se, kam své dočasně volné finanční prostředky vloží. IŽP vzniklo z kapitálového životného pojištění za účelem zvýšení výnosu z rezervy. V dnešní době je více oblíbené než původní kapitálové pojištění, a tato kapitola přiblíží základní principy fungování tohoto druhu pojištění. IŽP představuje na našem území poměrně mladý produkt. Začal se zde vyvíjet až po roce 1989, ale největší zájem o něj byl po roce 2000, kdy začaly klesat výnosy z kapitálového pojištění. Nejběžnějším typem je pojištění na dožití, nebo pro případ smrti. Většina pojistného je investováno do klientem vybraného finančního fondu. Klient je také nositelem celého investičního rizika. Nakoupené jednotky jsou zpravidla připsány na klientův podílový účet, ze kterého si pojišťovna strhává náklady na krytí rizika úmrtí a rovněž správní náklady. Při dožití se konce pojistné doby, je vyplacena cena podílového účtu. Jedná se o dlouhodobé pojištění a doporučená doba je 10 let trvání pojištění. Může však být uzavřeno i na kratší dobu. V takovém případě, už ale postrádá funkci pojištění a jedná se spíše o investici. Pokud si klient přeje peníze z účtu vybrat před uplynutím pojistné doby, musí většinou zaplatit nemalé poplatky. U některých produktů je dokonce v pojistných podmínkách napsáno, že si pojišťovna vyhrazuje právo na zamítnutí předčasného výběru peněz z podílového účtu. IŽP zpravidla dosahuje většího zisku než kapitálové pojištění, ale není zde žádná garance jeho výše. V dnešní době pojišťovny nabízí mnoho možností kam investovat a jakou zvolit investiční strategii. Můžou si tedy vybrat jak lidé konzervativní, tak i klienti s větší toleranci k riziku. Všichni se ovšem musí připravit na případné záporné zisky a tyto výkyvy nemusí být v zanedbatelné výši.