Základy teorie matic

Transkript

1 Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, pp Persistent URL: Terms of use: Akdemie věd ČR Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 1. POJEM MATICE NAD ČÍSELNÝM TĚLESEM 1.1. Definice číselného těles. Číselné těleso Tje kždá neprázdná množin (komplexních) čísel, která má tyto dvě vlstnosti: () Obshuje spoň jedno číslo p 4= 0. (b) S kždou dvojicí (stejných nebo různých) čísel e T, b e T obshuje též součet + fc, rozdíl b, součin b 9 je-li fc + 0, též podíl tf/ft. Příkldy číselných těles: 1. Množin K všech komplexních čísel. Je to největší číselné těleso v tom smyslu, že kždé jiné číselné těleso Tje jeho podmnožinou, tj. T cz K. 2. Množin D všech reálných čísel. 3. Množin R všech rcionálních čísel. Příkld 1. Dokžme, že množin R všech rcionálních čísel je nejmenší číselné těleso, tkže kždé jiné číselné těleso Tobshuje těleso K. Důkz. Buď T libovolné číselné těleso. Podle vlstnosti () předešlé definice obshuje těleso T spoň jedno čišelo p 4= 0. Podle vlstnosti (b) téže definice obshuje těleso Ttéž číslo pjp = 1, tedy též čísl 1 + 1=2,2+1=3,..., 1-1=0, 0-l=-l, 0-2 -= -2,..., tedy všechn celá čísl. Odtud n zákldě vlstnosti (b) plyne, že těleso Tobshuje podíl mfn kždých dvou celých čísel m, n + 0, tedy kždé rcionální číslo. Proto R cz T 1.2. Definice mtice nd číselným tělesem. Mticí typu min nd libovolným číselným tělesem T rozumíme skupinu čísel vybrných z těles T uspořádných do m řádků?? sloupců (m, n ^ 1). Tto čísl nzýváme pk prvky mtice.

3 Npř. symbol Гl J2-2 (Л Ь 0 0 4] předstvuje mtici typu 2/4 (tj. o 2 řádcích 4 sloupcích) nd tělesem reálných čísel. Jednoduchým příkldem mtice libovolného typu mjn nd tělesem rcionálních čísel je mtice, jejíž všechny prvky jsou 0. Tková mtice se nzývá nulová neboli mtice nul. Mtice nd tělesem čísel reálných nzýváme stručně reálné Oznčení. 1. Vezměme v úvhu libovolnou mtici typu mjn nd tělesem T. Její prvky vhodně pojmenujeme, tj. oznčíme, podle tohoto prvidl: Prvek, který leží v j-tém řádku (pro 1 ú j ú m ) & v fc-tém sloupci (pro 1 ^ k <; n) uvžovné mtice oznčíme týmž písmenem, npř. 9 s indexy j, fc,tedy znkem jk. Při tomto oznčení se pk kždá mtice typu mfn dá npst ve tvru Чí "12 *21 "22 ín Пn, stručněji \ jk J nebo též \j k \ ml m2 n Tk npř. v mtici uvedené v odst. 1.2 je ti = 1, i2 = ^2, 13 = -2,..., 23 0, Vyskytnou-li se v nějké úvze dvě nebo více mtic, znčíme prvky jedné z nich npř. iu 12,..., kdežto druhé b ii9 b ll9..., pod. * 3. Mtice oznčujeme pro stručnost jediným, obvykle velkým tučným písmenem, npř. popř. též s indexy, npř. /*, c, A, i,..., A i9 A l9 E í9 12, A 2, A' podobně. Mtice nulové oznčujeme zprvidl písmenem O. 10

4 1.4. Rovnost dvou mtic. Nechť A, B jsou mtice téhož typu m/n nd týmž tělesem T. Řekneme, že mtice A, B jsou si rovny píšeme A = B 9 když kždý prvek jk mtice A se rovná stejnolehlému prvku b jk mtice B tj. pltí-li vzthy jk = b jk (proj = 1,2,..., m; k = 1,2,..., n). Z uvedené definice rovnosti mtic plyne, že (mticová) rovnost A^ B zstupuje celkem mn rovností tvru ^11 ^ ^115 ^12 ^ ^12? > ín ^ Vln» 21 ^ ^21* 22 ^ ^22' > 2n ^ ^2»? ^ml ~~ b m í, ú m2 O m2? - ^fřin ~ ^#n«1.5. Úmluv. Pokud v dlších kpitolách odstvcích nebude výslovně uvedeno jink, budeme mlčky předpokládt, že jsme zvolili určité číselné těleso že všechny uvžovné mtice jsou nd tímto tělesem T Poznámk o hodnosti mtice. Hodností mtice A typu m/n rozumíme, jk je známo z nuky o determinntech, tkové celé nezáporné číslo p, že všechny determinnty řádu p -f 1 vybrné z mtice A mjí, pokud existují, hodnotu rovnou nule, při p > 0 spoň jeden determinnt řádu p vybrný z této mtice má hodnotu různou od nuly. Přitom říkáme, že determinnt řádu j byl vybrán z dné mtice A, když byl utvořen z jejích řádků sloupců vypuštěním některých řádků (v počtu m j) některých sloupců (v počtu «- J)- V nuce o determinntech se dokzují následující věty o hodnosti mtice A typu m/n: 11

5 1. Pro hodnost p mtice A pltí vzthy p ^ m, p ^ n. 2. Má-li mtice A hodnost p 9 pk z jejích m řádků (z jejích n sloupců) je právě p lineárně nezávislých, kdežto osttní řádky (sloupce) jsou lineárními kombincemi těchto lineárně nezávislých řádků (sloupců). Dlší vlstnosti hodnosti mtice odvodíme v kp