Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Václv Hübner Drobnosti mthemtické Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 43 (1914), No. 3-4, Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists, 1914 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 474 Drobnosti mthemtické. Podává škol. rd Václv Hiibner, Král. Vinohrdy. (Dokončení.) IX. Jn Bernoulli podává následující konstrukci, kterk nlézti kruhový oblouk, jehož délk rovná se dné úsečce. ъ/j AІf-:. / щ -.:; : д p в Ћ йx } 3 c Obr. 4. Budiž dná úsečk AP kolmo n přímce p m Libovolný bod C n přímce p spojme s bodem A učiňme CB = CA, sestrojme CD ± AB učiňme CE = CD; pokrčujíce dále, sestrojme CF ± BĚ, CG = ČF, CH ±FG td. Mez kolmic z C vedených budiž CM* i jest CM poloměr hledného kruhového oblouku MN t opsného z bodu C v úhlu ACB. (Důkz v násl. odstvci X.) Body Z), F, H,... jsou n křivce zvné kvdrtrix. * X. Doszujeme-li do rovnic 2 sin /3 sin = cos ( /?) cos ( -j- /5) z úhel postupně, + /3, -f- 2/3,... -f- w/3, vyvodíme tyto rovnice:

3 2 sin (i sin = cos ( /3) cos ( +/?) 2 sin /9 siw ( + ) = cos cos ( + 2/3) 2 srn /3 sin ( + 2/3) = c0s ( + /?) c0s ( + 3/3) 2 sin /3 sin ( + 3/3) = c0s ( + 2/3) c0s ( + 4/?) sin 0 siw ( + (n 1) /3) = cos [ + (n 2) /?] c0s ( + n/3) 2 5ÍM /3 sin ( + n/3) = cos [ + (n 1) /3] cos [ + n + 1) /3]. Sečteme-li všechny tyto rovnice oznčíme-li součet sin + sin ( + /3) + sin ( + 2/3) +... sin («+ n/j) =, obdržíme: (2 sin P).S = c0s ( /3)+ cos [cos ( + n/3) + cos ( + (n + 1) /2)] 2 c0s í 2 ) c05 2 ~~ 2 C05 [^ + ( n + i) $ CM "f" cos ( s= («-4)-«w в +(,, +тй 2 sin - - Z rovnice. / n/j\. n-fl. sinf-f-^jsin 0. _ 2 sm T 2 sin /3 cos = sin ( + /3) sin ( /?) obdržíme obdobnou cestou: 2 sin /? c0s ( + /3) = sin ( + 2/2) sin 2 sin /3 c0s ( + 2/3) = sin ( + 3/3) sin (OJ + /?) 2 sin /3 c0s ( + n/9) = sin [ + (n + 1) /3] sin [ + (n 1) /J].

4 476 Sečtením všech těchto rovnic dostneme: (2 sin ) S" = sin ( + nfi) + sin ( + (n + 1) /?) {sin + sin ( /3)) znčí-li S f 2 sin I + (n + ) /?) 008 -^- 2 srn I 1-) c05 -^«= c0s + cos ( + /3) ( + 2/?) c0s ( + n/3) fl' = sin _. 2 sin 2.. n \. n +1. («+ sгn-ţ- Dosdíme-li do výsledních rovnic /3 = z n pk n 1, obdržíme 8 = 8m + sin 2 + sin sin n cos -ñ cos I и + -õ-l o 2 sгn - -. cos - c0s n c0s sгn n sm sгn - - 2S sѓn n = (1 c0s n) c0fø - -; též jest. n + 1.no: sin ~ sin -5- s = -.

5 477 Obđobn jest S f = cos + cos cos n. /, 1 \. sгn \n + - -J sгn nebo o 2 sгn -ӯ.. sгn n cos - - sгn cos n SШ Z 2 T o 2 sгn - Ĺ 2S r cos n = sin n cot g --, 1 ; též jest S'z= n + 1. n cos -75 sгn sш т sin + sin 2 + sin sin n S, n + 1 c0s + cos cos n S f 2 Je-li n = 90, jest sin + 8m srn 90 = ~ j 1 + cotg -x-) cos + c cos 90 = -j (00^-75 l)í t. j. (sin + sin sin 90 ) (cos + c0s cos 90 ) = 1. Budiž Dodtek k odst. IX. AC r\ <ACB = q>,

6 478 pk jest CD = r cos ~; CF = CD cos ~- = r cos - - c0s - - = -~ cos- - + c0s f g>j; OS = r cos c0s -J- cos ~zzz - {cos \y + c0s f q> + cos I y + cos g>) /Пî7 JP Ч> Ч> Ч> <P 2 C0v. vw o... ww CM = r cos ~r cos ~- cos-тr-... c05 - z - 2r/ 1, 3 4 m-3 8. m m l \ = (cos w + cos op C0S <jp + C0S cp). m\ m x m T ' m T ' m ^ J Souřet řdy 1 3,, m 1 c0s <p + cos qp cos op m m T ' m obdržíme přímo ze vzorce pro S', kde 1. 2 m * = ф, Æ = ф W = ---r 1. m ^7 r m x 2 Jest cos S' = '(Î+(Ť-1 [~ + ("o i ) )Î)*(TT.) ťrl sw I ~ <J> I cos - - sm - - ф. ф cos - sги - m m Jest-li pk ježto jest Oж = Ф. ф o cos г-õ- sгn -^- 2r 2 2 r sгn ф m. ф. Ф sгn - msгn - m m lim m = oo, TYГ-; r sw ф OM = -: -4P = r siw ф rc. MN = OЖ ф, rc MN = Жřv

7 479 Kháticus ukázl v díle: Fbric cnonis doctrine tringulorum" geometrickou konstrukcí, kterk sinus úhlů postupujících dle řdy rithmetické lze nlézti, jsou-li první dv úhly známy, dvojím způsobem. První postup vede ke vzorcům: sin n(p zz 2 cos <p sin (n 1) q> sin (n 2) qp; cos ntp zz cos (n 2) <p 2 sin <p sin (n 1) qp. Druhý postup vede k vzorcům: sin ( -f- wqp) zz sin ( + (n 2) <p) -f- 2 sin cp cos ( -f- (n 1) ~o); cos ( + ncp) zz 2 cos ( + (w 2) qp) 2 sin <p sin ( -f- (n 1) <p). XI. První, který kvdrturu kruhu horlivě hledl, byl krdinál Cusnus (f 1464). Ve spise: De trnsmuttionibus geometricis" podává konstrukci, kterk z dné úsečky lze sestrojiti kružnici, jejíž délk rovná se dné úsečce: Sestrojí trojúhelník rovnostrnný, jehož obvod rovná se dné délce, ze středu trojúhelníku vede k ± jeho zákldny příčku; přidá-li k této příčce \ její délky, obdrží poloměr kruhu, jehož obvod = obvodu trojúhelníku, t. j. dné úsečce. Příčk ;) jest přeponou trojúhel. prvoúhlého, jehož odvěsny jsou -J-, i. - y3 =--5- V 3 (~ = -q- strn A rovnostrnného, O jeho obvod): jest tedy nebo t. j. \ / cc 2. 3cc s x \ j l -, = Vifi + -jfi=xv--- _l_ P 5 5 \/ 7 - p + J r = -TP = 16 m x \!T' r A. V21 ~ 16 ' 3 * 3 O _24y21 2r ~~ 35 '

8 480 Dle této konstrukce jest JI = , které jest o něco přesnější než. Opčnou úlohu: úsečku nlézti, by se rovnl délce dné kružnice, učí Cusn ve spise: De mthemticis complementis ťí. V dném kruhu sestrojí se dv n sobě kolmé průměry (n př. horizontální vertikální), v krjním bodě vertikálního průměru sestrojí se tětiv příslušná k úhlu 120, délkou této tětivy sestrojí se kruh, který se dného kruhu v krjním bodě vertik. průměru uvnitř dotýká; kruh tento n horizont, průměru (n obě strny prodlouženém) utíná část, která se rovná \ obvodu dného kruhu. Konstrukce udává: 2JV : O = 1 : Je-li t délk tětivy, r poloměr* dného kruhu, 2x odetnutá část n horizont průměru, jest ježto t = r\3, x = \Jt* - (t ry = \J2tr r 2 ; pk x = r V2V3 1 = r\/2lsli... -Ş. = 2r V-4б4i, li čili 0 =- 2r. 313 XII. Budiž F(x) = (l + xy, pk jest F (O) = 1. Vyvineme-li F (x) v řdu postupující dle mocnin veličiny x, jsme oprávněni psáti: Položíme-li jest (1 + x) n = 1 + Ax + Bx* + Cx 3 + Dx* +... A = f(n), (1 + «) = 1 + / («) x- +..

9 481 (1 +,)"+- = 1 + / (n + 1) * +... = (1 + x) (1 -\-xy = + x)[l + f(n)x +...-] = l+x+f(n)x+f(n)x' Srovnáme-li členy v této rovnici, shledáváme, že ptrno, že při obecně tudíž />,+ 1) = 1+ /(»); n = 0, jest / (1) = 1, n = 1, / (2) = = 2, «= 2, /(3) = l + 2 = 3 / («) = n = A, (1 + xf = 1 + nx + BX* + Cx 3 + Dx* +... Zvětšíme-li # o mlý přírůstek z/, jest (1 + ; + z/)" = 1 + n (* + z/) + -B (* + ^) 2 + C (x + ^) = (1 + xf (l + j^j = (l +,) n [l+n^ + B (^+c^+...] Eozvineme-li nznčené součiny, vyvodíme: 1 + noí + na + Bx xz/ + 5^* + Cx x 2 z/ + 3c;z/ 2 + Cd = (1 + x)» + nz/ (1 + :)"- 1 + z/ 2 (1 + x) n , čili 1 + nx + I?* 2 + C: [n + Wx + SCx" + 4Dx ] z/ +... = 1 + nx + BX* + Cx MZ/ (1 +?)"-' + -Bz/ 2 (1 + x)" tudíž n + 2Bx + 3Gr 2 + 4Dx = (1 + ;) 1, nebo (1 + ;) («+ 2Bx + 3C; ) = n (1 + x)\ t. j. «+ 2B + 3C; nx + 2J5; 2 + 3C; = n (1 + nx + j&c 2 + c; ), pročež n + (2fi + n) ; + (3c + 2B) x* +... = n + n* + iír 1 + cm?

10 482 I jest td. 2B -ł- n = и s, ЪC + 2B=Bn,... B = n O 1) _ Bn -2B n 2 D Ђ 2 "> ' C = 5 3 = ~ B 3 _ n (n 1) (w 2) 2.3. Málo známé jubileum. Dr. Krel Čupr. Dnes, kdy zveden jest počet infinitesimální n střední školy, nebude snd nevhodno vzpomenouti si n spisovtele mthemtické učebnice, jenž prvý se o to pokusil. Jest to Václv Šimerk, církevní kněz. Jméno mthemtik toho jeho dílo jest mldší generci neznámo. Psáno bylo o něm celkem málo; ni Pánkův nekrolog v XVII. ročníku Čsopisu pro pěstování mthemtiky fysiky, ni Adámkov studie v České revui z r nevystihují jeho význm jko mthemtik spisovtele. Místo mnohých dt životopisných uvedu jeho utobiogrfii, jk ji vlstnoručně npsl ve frní pmětní knize v Jenšovicích u Luze (pod zříceninmi historického Košumberku, hejtmnství Vys. Mýto). Jest zjímvá nejen svými dty o osobě pistelově, nýbrž i tím, že obshuje leckterou podrobnost z veřejného život dnes neznámou (interní poměry gymnsi budějovického, řízení pprobční td.). Pátý frář jenšovický byl Václv Šimerk, nrozen ve Vysokém Veselí (u Jičín) dne 20./XII Gymnsium studovl v Jičíně, filosofii v Prze, při čemž též dv ročníky vyšší mthemtiky, stronomii prktickou geometrii slyšel zkoušky z těchto předmětů odbyl. Bohosloví studovl v Hrdci Králové, kdež byl dne 25. července 1845 spolu s Jos. Jklem (bývlým dministrátorem v Jenšovicích) n kněžství vysvěcen. N to byl 6 let 4 měsíce, totiž ž do vánoc 1851 kplnem poslední čs dministrátorem ve Žlunicích. Tm še nepohodl r z